下载文档原格式
目录第1 章行列式 (1)§1.1 二阶与三阶行列式 (1)§1.2 排列及其逆序数 (3)§1.3 n 阶行列式的定义 (4)§1.4 对换 (6)§1.5 行列式的性质 (8)§1.6 行列式按行(列)展开 (14)§1.7 Matlab 在行列式计算中的应用 (22)习题1 (22)第2 章矩阵 (26)§2.1 矩阵的概念 (26)§2.2 矩阵的关系和运算 (31)§2.3 伴随矩阵和逆矩阵 (39)§2.4 矩阵的分块法 (45)§2.5 矩阵的初等变换和初等矩阵 (52)§2.6 矩阵的秩 (59)§2.7 Matlab 在矩阵运算与初等变换中的应用 (63)习题2 (66)第3 章线性方程组 (72)§3.1 Cramer 法则 (72)§3.2 一般线性方程组的解 (74)§3.3 Matlab 在解线性方程组中的应用 (85)习题3 (86)·1·高等代数第4 章向量组的线性相关性 (89)§4.1 向量组及其线性组合 (89)§4.2 向量组的线性相关性 (92)§4.3 向量组的秩 (97)§4.4 线性方程组解的结构 (100)§4.5 Matlab 在向量组线性相关性中的应用 (106)习题4 (107)第5 章线性空间与线性变换 (111)§5.1 数环、数域与映射 (111)§5.2 线性空间及其性质 (115)§5.3 基、维数与坐标 (118)§5.4 基变换与坐标变换 (120)§5.5 线性变换 (123)§5.6 线性变换的矩阵表示 (127)§5.7 欧氏空间 (132)§5.8 Matlab 在线性空间和线性变换中的应用 (141)习题5 (144)第6 章相似矩阵及二次型 (150)§6.1 方阵的特征值与特征向量 (150)§6.2 相似矩阵 (155)§6.3 实对称矩阵的相似矩阵 (158)§6.4 二次型及其标准形 (161)§6.5 化二次型为标准形 (163)§6.6 正定二次型 (169)§6.7 Matlab 在相似矩阵和二次型中的应用 (172)习题6 (175)第7 章多项式 (179)§7.1 一元多项式的定义和运算 (179)§7.2 多项式的整除性 (182)§7.3 多项式的最大公因式和互素 (186)§7.4 多项式的分解 (191)·2·高等代数§7.5 多项式的重因式 (194)§7.6 多项式函数多项式的根 (197)§7.7 复数域和实数域上的多项式 (200)§7.8 有理数域上的多项式 (202)§7.9 Matlab 在多项式中的应用 (208)习题7 (211)习题答案与选解 (215)参考文献 (243)·3·第 1 章行列式行列式是基于解线性方程组的需要建立起来的. 作为一个重要工具，行列式在数学和其他学科中都有广泛的应用. 本章主要介绍n 阶行列式的定义、性质及其计算.§1.1二阶与三阶行列式1.1.1 二阶行列式定义1.1 把4 个数排成两横排两竖列构成数表a 11 a 21 a12a22(1.1)表达式a11a22-a12a21称为由数表(1.1)确定的二阶行列式(two order determinant)，记为a11a21 即a12a22(1.2)a 11 a12 =a a -a aa 21 a2211 22 12 21其中横排称为行(row)，竖排称为列(column). 数aij( i = 1, 2 ；j = 1, 2 ) 称为行列式(1.2)的元素或元(entry)，元素aij 的第一个下标i 称为行标，表明元素aij位于第i行，第二个下标j 称为列标，表明元素aij位于第j 列.例1.1 计算二阶行列式D =1 2 3 4解 D = 1⨯ 4 - 2 ⨯3 =-2·1·高等代数例1.2 解方程解方程左端的行列式为x - 24-1= 0x + 3方程化为解得 x = 1 或 x =-2 .1.1.2 三阶行列式D = (x - 2 )(x + 3) - (-1) ⨯ 4 =x2+x - 2x2 +x - 2 = 0定义1.2 把9 个数排成三行三列构成数表a11a21a31a12a22a32a13a23a33(1.3)表达式a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32-a11a23a32-a12a21a33-a13a22a31称为由数表(1.3) 确定的三阶行列式(three order determinant)，记为a11a21a31a12a22a32a13a23a33=a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32-a11a23a32-a12a21a33-a13a22a31(1.4)三阶行列式中的6 项可以借助图1.1 来记忆，如图1.1 所示，实线上三元素的乘积前加正号，虚线上三元素的乘积前加负号.a11a12a13a21a22a23a31a32a33图 1.1·2·第 1 章行列式例1.3 计算三阶行列式2 -3 3D = 1 2 -74 0 -5解 D = 2 ⨯ 2 ⨯ (-5) + (-3) ⨯ (-7) ⨯ 4 + 3⨯1⨯ 0 -2 ⨯ (-7) ⨯ 0 - (-3) ⨯1⨯ (-5) -3 ⨯ 2 ⨯4 = 25 例1.4 证明1 1 1 a bcb cac ab= (b -a)(c -a)(c -b) = (a -b)(b -c)(c -a)证明左端=ab2 +a2 c +bc2 -ac2 -a2b -b2c=c2 (b -a) +ab(b -a) -c(b +a)(b -a)= (b -a)(c2 +ab -ac -bc) = (b -a)[c(c -a) -b(c -a)]= (b -a)(c -a)(c -b) = (a -b)(b -c)(c -a) =右端§1.2排列及其逆序数为了给出n 阶行列式的定义并讨论它的性质，这里先讨论排列及其逆序.定义 1.3 由n 个数1, 2, , n 组成的有序数组称为一个n 元排列，简称排列(permutation).由中学排列组合知识可知所有不同的n 元排列共有n! 个. 如3 元排列共有3! = 6 个，它们是123, 132 , 213, 231, 312, 321通过观察发现3 元排列中除排列123 按照自然顺序排列外，其余的排列中，都有较大的数排在了较小的数的前面.定义 1.4 在一个排列中，如果一个较大的数排在了一个较小的数的前面，那么称这两个数构成一个逆序(inverted sequence). 一个排列中所有逆序的总数，称为该排列的逆序数(number of inverted sequence).例如排列3214 中，3 与2，3 与1，2 与1 分别构成逆序，其余都不构成逆序，所以排列3214 的逆序数是3 .排列12n 称为标准排列或自然排列，显然它的逆序数是0 . 一般地，排列p 1 p2pn的逆序数记为( p1p2pn) . 于是(3214 )= 3 ，(12n)=0 .设pi后面比pi小的数有ti( i = 1, 2, , n ) 个，则·3·高 等 代 数21 22 23 1 p 12 p 2( p 1 p 2p n ) = t 1 + t 2 ++ t n = ∑t ii =1例 1.5 求排列5761423 的逆序数.解 按照上面的记号，5 后面比5 小的数有1, 4 , 2 , 3 ，所以t 1 = 4 ，同理t 2 = 5 ， t 3 = 4 ， t 4 = 0 ， t 5 = 2 ， t 6 = 0 ， t 7 = 0 . 故排列5761423 的逆序数为(5761423) = 4 + 5 + 4 + 0 + 2 + 0 + 0 = 15逆序数为奇数的排列称为奇排列，逆序数为偶数的排列称为偶排列.§1.3n 阶行列式的定义为了给出 n 阶行列式的定义，需要对三阶行列式的结构作进一步的分析，找出它们的结构规律。
《高等代数》课程标准一、课程概述高等代数是高等师范院校数学教育专业的一门重要基础课程，本课程的主要内容是多项式理论和线性代数理论.此外,还介绍群丶环丶域的基本概念。
通过本课程的教学,应使学生掌握为进一步提高专业知识水平所必需的代数基础理论和基本方法,并能处理中学数学的有关教材内容。
同时,培养学生的科学思维丶逻辑推理和运算的能力,以及学生的辩证唯物论观点。
在教学中应注意理论联系实际,联系中学教学。
二、课程目标1、知道《高等代数》这门学科的性质、地位、研究对象及内容、研究方法、知识架构、学科进展及未来发展方向。
2、理解该学科的主要概念、基本原理。
如多项式、行列式、矩阵、向量空间、二次型等。
3、掌握该课程的基本方法和计算与证明技巧。
4、学会应用该学科的原理和基本方法解决实际问题，为学习其它课程打下必要的基础，高观点解决中学数学实际问题。
三、课程内容和教学要求本课程主要内容:基本概念、多项式、行列式、线性方程组、矩阵、向量空间、线性变换、欧氏空间、二次型以及群、环和域简介。
教学内容和要求表中的“√”号表示教学知识和技能的教学要求层次。
本标准中打“*”号的内容可作为自学，教师可根据实际情况确定要求或不布置要求。
第一章基本概念第二章多项式第三章行列式第四章线性方程组第五章矩阵第六章向量空间第七章线性变换第八章欧氏空间第九章二次型第十章群丶环和城简介*四、课程实施(一) 课时安排与教学建议高等代数是数学专业的基础必修课,系主干课程。
一般情况下,每周安排5课时,共165课时.具体课时安排如下:(二) 教学组织形式与教学方法要求教学组织形式：采用以教学班为单位进行授课的教学形式。
教学方法要求：以课堂讲授结合多媒体和讨论为主，辅以课外作业、单元测验、答疑等,有条件的话，可以进行专业调查和课程设计，或组织课外兴趣小组，培养学生对该课程知识综合运用能力和发现问题、分析问题、解决问题的能力。
五、教材编写与选用《高等代数》，张禾瑞、郝鈵新。
这是丘维声先生《高等代数学习指导书（下册）》里面例题的截图，只截了其中的大部分，而且每节所截例题的情况也可能不同，刚开始漏的比较多，后面的可能比较全了。
我也试着打印了一下，效果还不错；只是没有去排版，每节只写了标题，下面就是例题。
以后可以拿着一两张纸来做题思考，而且不用受答案的干扰。
我希望这个能对大家有用。
不过我要声明一下，这个文件或者习题截图只是用来学习，勿用做他处。
7.1 一元多项式环7.2 整除关系，带余除法7.3 最大公因式7.4 不可约多项式，唯一因式分解定理7.5 重因式7.6多项式的根，复数域上的不可约多项式7.7实数域上不可约多项式，实系数多项式的根7.8有理数域上的不可约多项式7.9多元多项式环7.10对称多项式7.11 结式7.12 域与域上的一元多项式环第八章线性空间8.1 域F上线性空间的基和维数8.2 子空间及其交与和，子空间的直和8.3域F上线性空间的同构8.4商空间第九章线性映射9.1 线性映射及其运算9.2 线性映射的核与像9.3 线性映射和线性变换的矩阵表示9.4线性变换的特征值和特征向量，线性变换的可对角化的条件9.5 线性变换的不变子空间，Hamilton-Cayley定理9.6 线性变换和矩阵的最小多项式9.7 幂零变换的Jordan的标准型9.8 线性变换的Jordan标准型9.9线性变换的有理标准型9.10 线性函数与对偶空间第10章具有度量的线性空间10.1 双线性函数10.2 欧几里得空间10.3正交补，正交投影10.4 正交变换，对称变换。
资料范本本资料为word版本，可以直接编辑和打印，感谢您的下载高等代数北京大学第三版北京大学精品课程地点：__________________时间：__________________说明：本资料适用于约定双方经过谈判，协商而共同承认，共同遵守的责任与义务，仅供参考，文档可直接下载或修改，不需要的部分可直接删除，使用时请详细阅读内容第一学期第一次课第一章代数学的经典课题§1 若干准备知识代数系统的概念一个集合，如果在它里面存在一种或若干种代数运算，这些运算满足一定的运算法则，则称这样的一个体系为一个代数系统。
数域的定义定义（数域）设是某些复数所组成的集合。
如果K中至少包含两个不同的复数，且对复数的加、减、乘、除四则运算是封闭的，即对内任意两个数、（可以等于），必有，则称K为一个数域。
例1.1 典型的数域举例：复数域C；实数域R；有理数域Q；Gauss数域：Q (i) = {i |∈Q}，其中i =。
命题任意数域K都包括有理数域Q。
证明设为任意一个数域。
由定义可知，存在一个元素。
于是。
进而Z,。
最后，Z，，。
这就证明了Q。
证毕。
集合的运算，集合的映射（像与原像、单射、满射、双射）的概念定义(集合的交、并、差) 设是集合，与的公共元素所组成的集合成为与的交集，记作；把和B中的元素合并在一起组成的集合成为与的并集，记做；从集合中去掉属于的那些元素之后剩下的元素组成的集合成为与B的差集，记做。
定义（集合的映射）设、为集合。
如果存在法则，使得中任意元素在法则下对应中唯一确定的元素（记做），则称是到的一个映射，记为如果，则称为在下的像，称为在下的原像。
的所有元素在下的像构成的的子集称为在下的像，记做，即。
若都有则称为单射。
若都存在，使得，则称为满射。
如果既是单射又是满射，则称为双射，或称一一对应。
1.1.4 求和号与求积号1．求和号与乘积号的定义. 为了把加法和乘法表达得更简练，我们引进求和号和乘积号。
