第十二章无穷级数
1下列无穷级数中发散的无穷级数是（ ）
A.∑
∞
=+1
n 2
2
1n 3n B. ∑
∞
=+-1
n n
1n )1( C. ∑
∞
=--3
n 1
n n ln )1( D.
∑
∞
=+1
n 1n n
32 2.设幂级数∑∞
--1
)3(n n n x a 在x =1处收敛,则在x =4处该幂级数( )
A.绝对收敛
B.条件收敛
C.发散
D.敛散性不定 3．下列无穷级数中，收敛的无穷级数是（ ）
A ．∑
∞
=++15312n n n B ．∑
∞
=--+11)1(1n n n C ．∑
∞
=-15
1
n n
D ．∑
∞
=--1
1
)1(n n n
4．设正项级数∑∞
=1
n n u 收敛，则下列无穷级数中一定发散的是（ ）
A ．∑∞=+1
100n n u B ．∑∞=++1
1)(n n n u u C ．∑∞
=1
)3(n n u
D ．∑∞
=+1
)1(n n u
5.下列无穷级数中，发散的无穷级数为（ ） A.()∑
∞
=+11
1
n n n B. ∑
∞
=???
??+13101n n
C.
∑
∞
=??
? ??+12
110
1
n n n D. ∑
∞
=+11
3
2n n n
6.无穷级数∑∞
=023n n n
的前三项和S 3=( )
A.-2
B.
419 C.8
27
D.
8
65
7.幂级数1!
n
n x n ∞
=∑的和函数为（ ）
A.1x e -
B.x e
C.1x e +
D.2x e +
8.已知幂级数()n
1
1n n a x ∞
=+∑在x =-3处收敛，则该级数在x =0处是 A.绝对收敛 B.条件收敛 C.发散 D.敛散性不确定 9.无穷级数1
1
!n n ∞
=∑
的和为______. 10.设()f x 是周期为2π的周期函数，它在[,)ππ-上表达式为1()1
f x -?=?? ,
,
0x x ππ
-≤≤≤＜
()S x 是()f x 傅里叶级数的和函数，则()S π-=______________.
11.设f (x )是周期为2π的函数，f (x )在[-π, π]，上的表达式为f
(x )=?
??∈-∈),0[,)0,[,0ππx e x x S (x )为f (x )的傅里叶级数的和函数，则S (0)=_________.
12.设函数f (x )是周期为2π的函数,f (x )的傅里叶级数为
()
∑∞
=--+-1
21
2,cos 4
1π3
1
n n nx n
则傅里叶级数b 3=_____________. 13．设)(x f 是周期为2π的函数，)(x f 在[)ππ,-上的表达式为
[)[)???
??∈-∈=.π,0,2
3
sin .0,π,0
)(x x x x f )(x S 是)(x f 的傅里叶级数的和函数，则S （0）=__________.
14．设f (x )是周期为2π的函数，f(x)的傅里叶级数为
∑
∞
=+-+--+-11
2)sin )1()12cos(π)12(2(2πn n nx n
x n n 则傅里叶系数a 2=___________. 15.无穷级数∑∞
=0!
2n n
n 的和为 .
16. 函数f(x)=sin x 展开成x 的幂级数为___________.
17．求幂级数∑
∞
=+1n n 3
2
x 1
n n 的收敛半径和收敛区间. 18.判断级数()∑
∞
=-+-1
3
1
321n n n
n 是否收敛,如果收敛,是条件收敛还是绝对收敛?
19．判断无穷级数∑
∞
=1
!n n
n n 的敛散性.
20．判断无穷级数∑
∞
=--+1
2
1
2)1(1n n n 的敛散性. 21.判断无穷级数()∑∞=-2ln 1n n
n
的敛散性.
22.判断无穷级数∑∞
=+1
)1
1ln(n n 的敛散性.
23.判断级数121
2(1)sin
n n n
π
∞
-=-∑是否收敛，如果收敛是条件收敛还是绝对收敛？
24．判断无穷级数1
2(
)31
n
n n n ∞
=+∑的敛散性。 25．设函数3
()sin f x x x =的马克劳林级数为0
n n n a x ∞
=∑，求系数10a 。
26.已知无穷级数1
n n u ∞=∑收敛，并且1
n
n k
k S u ==∑
(1)求112;n n n S S S +-+-(2)求11lim(2).n n n n S S S +-→∞
+- 27.将函数f (x )=x arctan x 展开为x 的幂级数. 28.将函数()x x x f +=1ln )(2展开为x 的幂级数. 29．将函数5
1
)(+=x x f 展开为x +1的幂级数. 30．将函数4
)(+=
x x
x f 展开为x －1的幂级数. 31.设()???<≤<≤-=ππx x x x f 0,0
,0的傅里叶级数展开式为()∑∞=++10sin cos 2n n n nx b nx a a ,求
系数b 7.
32．设函数f(x)=x+1,x ∈[)ππ-,的傅里叶级数展开式为∑
∞
=++1
n n n 0)nx sin b nx cos a (2a 求
系数a 5 .
33．设无穷级数∑
∞
=1n 2n
a 和∑
∞
=1
n 2n
b 均收敛，证明无穷级数∑∞
=1
n n n b a 是绝对收敛.
34.将函数()2
31
2
+-=
x x x f 展开为(x +1)的幂级数. 35.证明无穷级数 +++++++++++
n
21132112111收敛,并求其和. 36．设无穷级数∑∞
=1n n u 收敛，证明：0lim =∞
→n n u .
37.证明无穷级数∑∞
==+1
.1)!1(n n n
38.将函数21
()2
f x x x =--展开成1x -的幂级数.
39.将函数f (x )=
2
1
x 展开为(x +1)的幂级数.
40．证明：无穷级数∑∞
=
-
=
+
+
-
+
1
2
1
)
1
2
2
(
n
n
n
n
第十二章无穷级数A 同步测试卷
第十二章 无穷级数同步测试A 卷 一、单项选择题(每小题3分，共15分) 1．下列级数中，收敛的是（ ） 2100111111 () 22223++++++++L L L A n 2111111()23100222 ++++++++L L L n B 211111 ()(1)()()2222+++++++L L n C n 2111111 ()(1)()23222++++++++++L L L L n D n 2．设1 ∞ =∑n n u 为数项级数，下列结论中正确的是（ ） 1 ()lim ,1+→∞= 4. 设常数0>k ，则级数1 21 (1)∞ -=+-∑n n k n n （ ）. ()A 发散. ()B 条件收敛. ()C 绝对收敛. ()D 收敛性与k 有关. 5. 周期为2π的函数()f x ，在一个周期上的表达式为 (0) ()2(2)πππππ≤≤?=? -≤≤?x f x x x ，设它的傅里叶级数的和函数是()S x ，则(2)π=S （ ）. () ()()2()02 π ππA B C D 二、填空题(每小题4分，共20分) 6. 级数111 ( )23∞ =+∑n n n 的和为 . 7. 幂级数21 12(3) ∞ -=+-∑ n n n n n x 的收敛半径为 . 8. 已知级数1 211 1 (1)2,5∞ ∞ --==-==∑∑n n n n n u u ，则级数1 ∞ ==∑n n u . 9．将1 ()2= -f x x 展开为x 的幂级数时，其收敛域为 . 10．将()1(0)π=+≤≤f x x x 展开为余弦级数时，0=a . 三、解答题(共65分) 11. （8分）判断下列运算过程是否正确，若不正确，指出错误所在. 因为1 1ln(1)(1) ∞ -=+=-∑n n n x x n ，因此取2=x 得11 2ln 3(1)∞ -==-∑n n n n . 12. （8 分）讨论级数2∞ =n . 13. （8分）求级数2012!∞ =+∑g n n n n x n 的和函数. 常见幂级数求和函数方法综述 引言 级数是高等数学体系的重要组成部分，它是在生产实践和科学实验推动下逐步形成和发展起来的。中国魏晋时期的数学家刘徽早在公元263年创立了“割圆术”，其要旨是用圆内接正多边形去逐步逼近圆，从而求得圆的面积。这种“割圆术”就已经建立了级数的思想方法，即无限多个数的累加问题。而将一个函数展开成无穷级数的概念最早来自于14世纪印度的马徳哈瓦，他首先发展了幂级数的概念，对泰勒级数、麦克劳林级数、无穷级数的有理数逼近等做了研究。同时，他也开始讨论判断无穷级数的敛散性方法。到了19世纪，高斯、欧拉、柯西等各自给出了各种判别级数审敛法则，使级数理论全面发展起来。中国传统数学在幂级数理论研究上可谓一枝独秀，清代数学家董祐诚、坎各达等运用具有传统数学特色的方法对三角函数、对数函数等初等函数幂级数展开问题进行了深入的研究。而今，级数的理论已经发展的相当丰富和完整，在工程实践中有着广泛的应用，级数可以用来表示函数、研究函数的性质、也是进行数值计算的一种工具。它在自然科学、工程技术和数学本身方面都有广泛的作用。 幂级数是一类最简单的函数项级数，在幂级数理论中，对给定幂级数分析其收敛性，求收敛幂级数的和函数是重要内容之一。但很多人往往对这一内容感到困难。产生这一问题的一个重要原因是教材对这一问题讨论较少，仅有的一两个例题使得我们对幂级数求和中的诸多类型问题感到无从下手。事实上，求幂级数和函数的方法与技巧是多种多样的，一般要综合运用求导、拼凑、分解等来求解，因此它是一个难度较大、技巧较高的有趣的数学问题。 一、幂级数的基本概念 （一）、幂级数的定义 [1] 1、设()(1,2,3)n u x n =L 是定义在数集E 上的一个函数列，则称 12()()(),n u x u x u x x E ++++∈L L 为定义在E 上的函数项级数，简记为1()n n u x ∞ =∑ 。 2、具有下列形式的函数项级数 200102000 ()()()()n n n n n a x x a a x x a x x a x x ∞ =-=+-+-++-+∑L L 一: 选择题 1.lim 0n n u →∞ =是级数1 n n u ∞ =∑收敛的 【 B 】 (A)充分条件 （B ）必要条件 (C) 充要条件 (D)既非充分又非必要条件 2.若级数1 n n u ∞ =∑收敛于S ,则级数11 ()n n n u u ∞ +=+∑ 【 C 】 (A)收敛于2S （B ）收敛于12S u + (C) 收敛于12S u - (D)发散 3.级数 111113 35 57 79 + + + +???? 【 B 】 (A)发散 （B ）收敛且和为 12 (C) 收敛且和为2 (D) 收敛且和为1 4.设a 为非零常数,且级数1 n n a r ∞ =∑ 收敛,则 【 D 】 (A)1r < （B ）1r ≤ (C) r a ≤ (D) 1r > 5.部分和数列{}n s 有界是正项级数1n n u ∞ =∑收敛的 【 C 】 (A)充分条件 （B ）必要条件 (C) 充要条件 (D)既非充分又非必要条件 6.下列结论正确的是 【 A 】 (A)若2 1 n n u ∞ =∑,21 n n v ∞ =∑都收敛,则21 ()n n n u v ∞ =+∑收敛 (B) 若1 n n n u v ∞ =∑收敛,则21 n n u ∞ =∑,2 1 n n v ∞ =∑都收敛 (C) 若正项级数1 n n u ∞ =∑发散,则1n u n ≥ (D) 若1 n n u ∞ =∑收敛,且n n u v ≥,则1 n n v ∞ =∑发散 7.判别交错级数1111112221 2 123 3 3 n n - + - ++ - +- - - 的敛散性时下列说法中正确的 是 【 D 】 (A)因lim 0n n u →∞ =,故收敛 (B)因lim 0n n u →∞ =,且1n n u u +>,故由莱布尼兹判别法知级数收敛 幂级数求和函数方法概括与总结 常见幂级数求和函数方法综述 引言 级数是高等数学体系的重要组成部分，它是在生产实践和科学实验推动下逐步形成和发展起来的。中国魏晋时期的数学家刘徽早在公元263年创立了“割圆术”，其要旨是用圆内接正多边形去逐步逼近圆，从而求得圆的面积。这种“割圆术”就已经建立了级数的思想方法，即无限多个数的累加问题。而将一个函数展开成无穷级数的概念最早来自于14世纪印度的马徳哈瓦，他首先发展了幂级数的概念，对泰勒级数、麦克劳林级数、无穷级数的有理数逼近等做了研究。同时，他也开始讨论判断无穷级数的敛散性方法。到了19世纪，高斯、欧拉、柯西等各自给出了各种判别级数审敛法则，使级数理论全面发展起来。中国传统数学在幂级数理论研究上可谓一枝独秀，清代数学家董祐诚、坎各达等运用具有传统数学特色的方法对三角函数、对数函数等初等函数幂级数展开问题进行了深入的研究。而今，级数的理论已经发展的相当丰富和完整，在工程实践中有着广泛的应用，级数可以用来表示函数、研究函数的性质、也是进行数值计算的一种工具。它在自然科学、工程技术和数学本身方面都有广泛的作用。 幂级数是一类最简单的函数项级数，在幂级数理论中，对给定幂级数分析其收敛性，求收敛幂级数的和函数是重要内容之一。但很多人往往对这一内容感到困难。产生这一问题的一个重要原因是教材对这一问题讨论较少，仅有的一两个例题使得我们对幂级数求和中的诸多类型问题感到无从下手。事实上，求幂级数和函数的方法与技巧是多种多样的，一般要综合运用求导、拼凑、分解等来求解，因此它是一个难度较大、技巧较高的有趣的数学问题。 一、幂级数的基本概念 （一）、幂级数的定义 [1] 1、设()(1,2,3 )n u x n =是定义在数集E 上的一个函数列，则称 12()()(),n u x u x u x x E ++++ ∈ 为定义在E 上的函数项级数，简记为1 ()n n u x ∞=∑ 。 2、具有下列形式的函数项级数 2 00102000 ()()()()n n n n n a x x a a x x a x x a x x ∞ =-=+-+-+ +-+ ∑ 第十二章 习题 二 幂级数与傅里叶级数 一．选择题 1．若∑∞ =-1)1(n n n x a 在1-=x 处收敛，则此级数在2=x 处（ Ｂ ） （A ）条件收敛； （B ）绝对收敛； （C ）发散； （D ）不能确定． 2．级数∑∞ =-1)1(n n n x n 的收敛区间为（ Ａ ） （A ）)1,1(-； （B ）)1,1[-； （C ）]1,1(-； （D ）]1,1[-． 3．若3lim 1 =+∞→n n n a a ，则∑∞=-0)1(n n n x a （ D ） （A ）必在3||>x 时收敛； （B ）必在3||≤x 时发散； （C ）在3-=x 处敛散性不定； （D ）收敛半径为3． 4．当0>p 时，∑∞ =-1)1(n n p n x n 在其收敛区间的右端点处（ D ） （A ）条件收敛； （B ）绝对收敛； （C ）发散； （D ）当1≤p 时条件收敛，当1>p 时绝对收敛． 5．设???≤<+≤<--=π πx x x x f 0,10,1)(2， 则其傅氏级数在点π处收敛于（ Ｃ ） （A ）1-； （B ）21π+； （C ）22π； （D ）2 2 π-． 二．填空题 1．若2lim 1=+∞→n n n a a ，则级数∑∞=+012n n n x a 的收敛半径为 22 ． 2．已知幂级数0(2)n n n a x +∞=+∑在0x =处收敛，在4x =-处发散，则幂级数0(3)n n n a x +∞ =-∑的收敛域为________________(1,5] 三．计算题 1．求下列级数的收敛域及和函数： （1）1(1)n n n x ∞ =-∑． 解：1=R ，且1|1|=-x 时，即11±=-x 时，级数发散．∴收敛域为)2,0(． 1(1) n n n x ∞=-∑∑∞=---=11)1()1(n n n x n x 消[]∑∞='--=1 )1()1(n n x x 第十二章无穷级数 1下列无穷级数中发散的无穷级数是（ ） A.∑ ∞ =+1 n 2 2 1n 3n B. ∑ ∞ =+-1 n n 1n )1( C. ∑ ∞ =--3 n 1 n n ln )1( D. ∑ ∞ =+1 n 1n n 32 2.设幂级数∑∞ --1 )3(n n n x a 在x =1处收敛,则在x =4处该幂级数( ) A.绝对收敛 B.条件收敛 C.发散 D.敛散性不定 3．下列无穷级数中，收敛的无穷级数是（ ） A ．∑ ∞ =++15312n n n B ．∑ ∞ =--+11)1(1n n n C ．∑ ∞ =-15 1 n n D ．∑ ∞ =--1 1 )1(n n n 4．设正项级数∑∞ =1 n n u 收敛，则下列无穷级数中一定发散的是（ ） A ．∑∞=+1 100n n u B ．∑∞=++1 1)(n n n u u C ．∑∞ =1 )3(n n u D ．∑∞ =+1 )1(n n u 5.下列无穷级数中，发散的无穷级数为（ ） A.()∑ ∞ =+11 1 n n n B. ∑ ∞ =??? ??+13101n n C. ∑ ∞ =?? ? ??+12 110 1 n n n D. ∑ ∞ =+11 3 2n n n 6.无穷级数∑∞ =023n n n 的前三项和S 3=( ) A.-2 B. 419 C.8 27 D. 8 65 7.幂级数1! n n x n ∞ =∑的和函数为（ ） A.1x e - B.x e C.1x e + D.2x e + 8.已知幂级数()n 1 1n n a x ∞ =+∑在x =-3处收敛，则该级数在x =0处是 A.绝对收敛 B.条件收敛 C.发散 D.敛散性不确定 9.无穷级数1 1 !n n ∞ =∑ 的和为______. 10.设()f x 是周期为2π的周期函数，它在[,)ππ-上表达式为1()1 f x -?=?? , , 0x x ππ -≤≤≤＜ 第十二章 级数 一、本章提要 1．基本概念 正项级数，交错级数，幂级数，泰勒级数，麦克劳林级数，傅里叶级数，收敛，发散，绝对收敛，条件收敛，部分和，级数和，和函数，收敛半径，收敛区间，收敛域． 2．基本公式 )1()(x f 在0x x =处的泰勒级数系数：)(00x f a =，! ) (0)(k x f a k k = ； (2)傅里叶系数： ππ ππ11()cos d (0,1,2,),()sin d (1,2,)ππ n n a f x nx x n b f x nx x n --= ===?? ． 3．基本方法 比较判别法，比值判别法，交错级数判别定理，直接展开法，间接展开法． 4．定理 比较判别定理，比值判别定理，交错级数判别定理，求收敛半径定理，幂级数展开定理，傅里叶级数展开定理． 二、要点解析 问题1 有限个数相加与无穷个数相加有什么区别和联系？何谓无穷级数的和？ 解析 有限个数相加与无穷个数相加是有本质区别的．为了叙述方便，称前者为有限加法，后者为无限累加．我们知道有限个数相加之和是一个确定的数值，而无穷个数相加只是一种写法，即沿用了有限加法的符号来表示无限累加．我们不可能用有限加法的方法来完成无限累加，尤其是无限累加未必是一个确定的数值．另外，有限加法中的结合律和交换律在无限累加中也不一定成立． 但是，无限累加与有限加法又是紧密联系的．我们在研究无限累加时，是以有限加法(部分和)为基础的，即从部分和出发，讨论其极限是否存在．若极限存在，则无限累加有和，也就是无穷级数有和(收敛)，其和等于这个极限值；否则，无限累加无和，当然，无穷级数也无和(发散)．由此看出，级数的收敛与发散，反映了无穷多个数累加的趋势．级数收敛就是无穷多个数累加可以得到一个确定的数值．一般情况下，这个和的数值不易求得，教科书上只就和是否存在，即级数是否收敛给出一些判别法则． 例1 我们考察著名的波尔查诺（Bolzano ，B ．）级数的求和问题． 设 +-+-=1111x ，则有： 解一 0)11()11(=+-+-= x ； 解二 1)11()11(1=-----= x ； 解三 x x -=+-+--=1)1111(1 ，于是12 x = ． 这些矛盾的结果，在历史上曾使人怀疑过数学的精确性不可靠．柯西指出：以上解法犯了墨守成规的错误，即把有限的结合律、交换律以及有限项总存在代数和的观念照搬到无限项的运算之中．柯西的研究，澄清了那个时代对无限运算的糊涂观念，引起了思想解放，其实级数 ∑∞ =--1 1 ) 1(n n 是发散的．幂级数求和函数方法概括与总结
第十二章 无穷级数复习题
幂级数求和函数方法概括与总结
第12章幂级数与傅里叶级数
第十二章无穷级数
高等数学 第十二章 级数
第十二章无穷级数(解题方法归纳)