高等数学教学教案
第7章无穷级数
授课序号01
教 学 基 本 指 标
教学课题 第7章 第1节 常数项级数的概念与性质 课的类型 新知识课 教学方法 讲授、课堂提问、讨论、启发、自学 教学手段 黑板多媒体结合
教学重点 级数的基本性质及收敛的必要条件，几何级数的收敛与发散的条件
教学难点 几何级数的收敛与发散的条件
参考教材 同济七版《高等数学》下册 作业布置
大纲要求
1．理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数和的概念，掌握级数的基本性质及收敛的必要条件. 2．掌握几何级数的收敛与发散的条件.
教 学 基 本 内 容
一．常数项级数的基本概念
1.常数项级数的定义
（1）两个具体问题（一个收敛，一个发散的例子）．
（2）无穷级数定义：如果给定一个数列 则表达式 叫做（常数项）无穷级数，简称（常数项）级数，记作
，即
，其中
叫做级数的项，叫做级数的首项，级数的第项叫做级数的通项或一般项．
2．常数项级数的敛散性
（1）部分和：级数
的前项和叫做级数的部分和，记为．即
．
,,,,,,321 n u u u u +++++n u u u u 321∑∞
=1
n n
u
∑∞
=1
n n
u
+++++=n u u u u 321 ,,,,,321n u u u u 1u n n u ∑∞
=1
n n
u
n n s ∑==++++=n
i i n n u u u u u s 1
321
（2）级数收敛与发散：若级数
的部分和数列收敛于，即，则称级数
收敛，
其和为，也称级数收敛于，记为
．若级数的部分和数列极限不存在，则称级数发散．
（3）余项：级数和与部分和的差称为级数
的余项，记为．即
=．
用部分和替代级数和所产生的误差就是这个余项的绝对值，即误差是．
由级数定义可知，研究级数的敛散性就是研究其部分和数列是否有极限，因此，级数的敛散性问题是一种特殊的数列极限问题． 二．收敛级数的基本性质
1．收敛级数的性质
性质1 若级数
收敛于和，则级数
也收敛，其和为（为常数）．
即级数的每一项同乘一个常数后，它的收敛性不变．
推论1 如果级数
发散，当时，级数
也发散．
性质2 如果级数
、
收敛于和，则级数
也收敛，且其和为．即两个
收敛级数可以逐项相加或相减，其敛散性不变．
推论2 如果级数
收敛，
发散，则级数
发散．
性质3 在级数中去掉、加上或改变有限项，不会改变级数的敛散性． 性质4 如果级数
收敛，则在不改变其各项次序的情况下，对该级数的项任意添加括号后所形成的
级数仍收敛，且其和不变．
推论3 如果加括号后所形成的级数发散，则原级数也发散．
注 收敛级数去掉括号后可能发散，发散的级数加括号后可能收敛．例如级数
是收敛的，但去掉括号后得到的级数是发散的．
∑∞
=1n n
u
∑∞
=1
n n
u
∑∞
=1
n n
u
}{n s s s s n n =∞
→lim ∑∞
=1
n n
u
s ∑∞
=1
n n
u
s ∑∞
==1
n n
s u
}{n s ∑∞
=1
n n
u s n s ∑∞
=1
n n
u
n r n r s n s - ++=++21n n u u n s s n r ||n r ∑∞
=1
n n
u
s ∑∞
=1
n n
ku
ks k ∑∞
=1n n
u
0≠k ∑∞
=1
n n
ku
∑∞
=1
n n
u
∑∞
=1
n n
v
σ、s ∑∞
=±1
)(n n n
v u
σ±s ∑∞
=1
n n
v
∑∞
=±1
)(n n n
v u
+-++-+-+-)11()11()11()11( +-++-+-+-11111111
2．级数收敛的必要条件
定理1 如果级数
收敛，则它的一般项趋于零，即．
注 定理1中是级数
收敛的必要条件，但非充分条件． 如果级数
收敛，则
；若，级数可能发散，如调和级数是发散的，然而；但
若，则级数
一定发散． 因此，判别级数敛散性时，首先考察级数是否满足，如果
这个条件不满足，则级数发散；如果这个条件满足，再用其它方法判定其敛散性． 三．例题讲解
例1．判定级数
的敛散性． 例2．无穷级数
叫做几何级数（又称为等比级数）
．其中，首项称为级数的公比，试讨论几何级数的敛散性．
例3．证明：调和级数
发散． 例4．甲、乙两个人进行比赛，每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，如果一个选手连赢两局，那么该选手就成为整个比赛的胜者，比赛终止；否则，比赛继续进行．分析甲获得整
场比赛胜利的所有可能进程，并求甲最后成为胜利者的概率．
例5．判断级数是否收敛，若收敛，求其和． 例6．判断级数
的敛散性． 例7．患有某种心脏病的病人经常要服用洋地黄毒苷.洋地黄毒苷在体内的清除速率正比于体内洋地黄毒苷的药量.一天（24小时）大约有的药物被清除.假设每天给某病人的维持剂量，试估算长期如此服用该药物，该病人体内的洋地黄毒苷的总量.
0lim =∞
→n n u ∑∞
=11n n ∑∞
=1
n n
u
0lim =∞
→n n u ∑∞
=1
n n
u
n u 0lim =∞
→n n u ∑∞
=1
n n
u
∑∞
=1
n n
u
0lim =∞→n n u 0lim =∞
→n n u ∑∞
=1
n n u 01
lim lim ==∞→∞→n u n n n 0lim ≠∞
→n n u ∑∞
=+1)
1(1
n n n +++++=-∞
=-∑121
1
n n n aq aq aq a aq
q a ,0≠1
1111123n n n ∞
==+++++∑ )10(<
=--+1
1
3)1(2n n
n n 2
12121213++++ %10mg 05.0
