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第1次课的教学整体安排n a +越大，则近似程度越好。
如果内接正多边形的边数无限增加，即n a +的极限就是所要求的圆面积。
这时和数中的项数无限增多，于是出现了无穷多个数依次相加得式子。
将上面面积问题抽象出来，就得到无穷级数的一般概念。
,,n u ，那末表达式3n u u ++++（常数项）级数，记为1nn u∞=∑，即n u ++， 一般项或通项．上述级数的定义只是一个形式上的定义，怎样理解无穷级数中无穷多个相加呢？联系到我们可以从有限项的和出发，观察它们的变化趋势，由此来理解无穷多个数n u + ，时，级数的部分和就构成一个新的数列：，1n n s u u u =++，根据这部分和数列有没有极限，我们引进无穷级数（1-1）的收敛与发散的概念。
n u ++，发散，这时级数（1-1）没有和是级数和s 的近似n k u ++++发散；级数发散，但(11)(1-+-在级数中去掉、加上或改变有限项，不改变级数的敛散性n收敛，则对这个级数的各项间任意加括号所得的级数112111)()()k k n n n n n u u u u u -+++++++++++(1-4)仍收敛，且其和不变。
）性质4推论：如果加括号后所成的数列发散，那么原来级数也发散。
）收敛级数去括号后所成的级数不一定收敛．例如，级数 (11)(11)-+-+收敛于零，但级数1n++但是它是发散的。
（这是一个常用级数，能否既表示级数又表示级数的和？n u ++。
不论级数收敛还表示，当且仅当级数收敛时，记号1nn u∞=∑才表示这级数的1,2,），这种级数称为n u ++，由于0n u ，其部分和=1k u ∑ （1,2,n =）2,)，即正项级数1n n u ∞=∑的部分和数列增加数列，于是有下列两种可能情形：2,)，故10=≤∑n k k u 的部分和数列有界，由定理1知级数。
1n u∞=∑收敛。
．根据极限定义，存在正整数)，且级数1 (1,2,)n n n b +=，因此即根据正项级数1nn b∞=∑收敛，11a b ≤，于是2,)，又级数1na∞=∑收敛。
第八章 无穷级数（数学一和数学三）引言：所谓无穷级数就是无穷多项相加，它与有限项相加有本质不同，历史上曾经对一个无穷级数问题引起争论。
例如：ΛΛ+-++-+-+1)1(1111n历史上曾有三种不同看法，得出三种不同的“和” 第一种 0)11()11()11(=+-++-+-ΛΛ 第二种 1)11()11()11(1=-------ΛΛ 第三种 设S n =+-++-+-+ΛΛ1)1(1111则[]S =+-+--Λ11111,1S S =- ,12=S 21=S 这种争论说明对无穷多项相加，缺乏一种正确的认识。
1) 什么是无穷多项相加？如何考虑？ 2) 无穷多项相加，是否一定有“和”？3) 无穷多项相加，什么情形有结合律，什么情形有交换律等性质。
因此对无穷级数的基本概念和性质需要作详细的讨论。
§ 8.1 常数项级数（甲） 内容要点 一、基本概念与性质 1. 基本概念无穷多个数ΛΛ,,,,,321n u u u u 依次相加所得到的表达式ΛΛ+++++=∑∞=n n nu u u u u3211称为数项级数（简称级数）。
∑===nk k n u S 1123n u u u u ++++L （Λ,3,2,1=n ）称为级数的前n 项的部分和，{}),3,2,1(Λ=n S n 称为部分和数列。
S u S ，，u S ，S n n n n n n ==∑∑∞=∞=∞→11)(lim 记以且其和为是收敛的则称级数存在若n n S ∞→lim 若不存在，则称级数∑∞=1n n u 是发散的，发散级数没有和的概念。
（注：在某些特殊含义下可以考虑发散级数的和，但在基础课和考研的考试大纲中不作这种要求。
）2． 基本性质 （1） 如果∑∑∑∑∑∞=∞=∞=∞=∞=++11111)(,n n n n n n n nnn nv b u a ，bv au，b ，a v u 且等于收敛则为常数皆收敛和（2） 在级数中增加或减少或变更有限项则级数的收敛性不变。
无穷级数——高等数学下册国家级精品课程教案第一章：无穷级数的概念与性质1.1 无穷级数的定义1.2 无穷级数的收敛性与发散性1.3 无穷级数的分类1.4 无穷级数的运算性质第二章：幂级数2.1 幂级数的定义与收敛半径2.2 幂级数的运算2.3 幂级数在函数逼近中的应用第三章：泰勒级数与泰勒公式3.1 泰勒级数的定义3.2 泰勒公式的推导与意义3.3 泰勒级数在函数逼近中的应用第四章：傅里叶级数4.1 傅里叶级数的定义与收敛性4.2 傅里叶级数的运算4.3 傅里叶级数在信号处理中的应用第五章：斯特林级数与级数的热传导问题5.1 斯特林级数的概念与性质5.2 级数的热传导问题及其求解方法5.3 斯特林级数在概率论与数学物理中的运用第六章：级数的一致收敛性与绝对收敛性6.1 一致收敛性与绝对收敛性的定义6.2 级数的一致收敛性与绝对收敛性的判定方法6.3 级数的一致收敛性与绝对收敛性的性质与应用第七章：交错级数7.1 交错级数的定义与性质7.2 交错级数的收敛性判定7.3 交错级数在数学分析中的应用第八章：多重级数8.1 多重级数的定义与性质8.2 多重级数的收敛性判定8.3 多重级数在数学分析中的应用第九章：级数逼近与数值计算9.1 级数逼近的基本概念与方法9.2 数值计算中常用的级数逼近方法9.3 级数逼近在科学计算中的应用第十章：特殊级数10.1 常用特殊级数的概念与性质10.2 特殊级数的求和方法10.3 特殊级数在数学分析中的应用第十一章：级数展开与积分11.1 级数展开的基本方法11.2 常用积分公式与级数展开11.3 级数展开在微分方程求解中的应用第十二章：级数解微分方程12.1 级数解的一阶微分方程12.2 级数解的二阶线性微分方程12.3 级数解微分方程在物理学和工程学中的应用第十三章：级数在常微分方程中的应用13.1 级数方法在常微分方程定性分析中的应用13.2 级数方法在常微分方程数值解中的应用13.3 级数方法在常微分方程几何解释中的应用第十四章：级数在偏微分方程中的应用14.1 级数方法在偏微分方程求解中的应用14.2 级数方法在偏微分方程数值解中的应用14.3 级数方法在偏微分方程稳定性分析中的应用第十五章：级数方法在其他数学领域的应用15.1 级数方法在概率论与数理统计中的应用15.2 级数方法在数值分析中的应用15.3 级数方法在其他数学分支学科中的应用重点和难点解析重点：1. 无穷级数的基本概念、性质及其分类；2. 幂级数、泰勒级数、傅里叶级数和斯特林级数的基本概念、性质与应用；3. 级数的一致收敛性与绝对收敛性的判定方法及其性质；4. 交错级数、多重级数的收敛性判定及其在数学分析中的应用；5. 级数逼近与数值计算的基本方法及其在科学计算中的应用；6. 特殊级数的概念、性质与求解方法；7. 级数展开与积分在微分方程求解中的应用；8. 级数解微分方程、常微分方程定性分析、数值解及几何解释中的应用；9. 级数方法在偏微分方程求解、数值解及稳定性分析中的应用；10. 级数方法在概率论与数理统计、数值分析及其他数学分支学科中的应用。
第1篇一、引言无穷级数是数学分析中的一个重要分支，它研究的是无穷多个数相加的结果。
在高等数学教学中，无穷级数的教学对于培养学生的逻辑思维能力和解决实际问题的能力具有重要意义。
本文将结合教学实践，探讨无穷级数的教学方法、教学策略以及存在的问题和改进措施。
二、教学目标1. 理解无穷级数的基本概念和性质。
2. 掌握常见的无穷级数收敛与发散的判别方法。
3. 能够运用无穷级数解决实际问题。
4. 培养学生的逻辑思维能力和严谨的数学素养。
三、教学方法1. 讲授法：教师通过讲解无穷级数的基本概念、性质和判别方法，引导学生逐步理解无穷级数的内涵。
2. 例题分析法：通过典型例题的讲解，让学生掌握无穷级数的计算方法和应用技巧。
3. 启发式教学：教师提出问题，引导学生思考，激发学生的学习兴趣和求知欲。
4. 小组讨论法：将学生分成小组，讨论无穷级数的相关问题，培养学生的团队协作能力和沟通能力。
5. 实践教学：利用计算机软件（如MATLAB、Mathematica等）进行无穷级数的计算和分析，提高学生的实践操作能力。
四、教学策略1. 注重基础知识：在教学中，教师应注重对无穷级数基本概念和性质的讲解，为学生后续学习打下坚实的基础。
2. 循序渐进：从简单的无穷级数开始，逐步过渡到复杂的无穷级数，让学生在逐步掌握知识的过程中提高数学思维能力。
3. 强化练习：通过大量的练习题，让学生熟练掌握无穷级数的计算方法和应用技巧。
4. 注重实际应用：结合实际应用案例，让学生了解无穷级数在各个领域的应用，提高学生的学习兴趣。
5. 关注学生个体差异：针对不同学生的学习水平和兴趣，教师应采取不同的教学策略，使每个学生都能在教学中得到提高。
五、教学实践案例分析案例一：讲解无穷级数收敛与发散的判别方法。
教学过程：1. 教师讲解无穷级数收敛与发散的概念。
2. 通过典型例题，让学生掌握判别无穷级数收敛与发散的方法。
3. 学生分组讨论，分析不同类型无穷级数的收敛与发散情况。
高等数学教学教案第7章无穷级数授课序号01++ n授课序号02授课序号03授课序号04授课序号05其中0=nb),2,1(=n，⎰=lnxlxnxfladcos)(2π),2,1,0(=n. (13)另外，若x是函数)(xf的间断点，那么)(xf的傅里叶级数收敛于2)0()0(-++xfxf.四．例题讲解例1．设)(xf是周期为π2的周期函数，它在),[ππ-上的表达式为⎩⎨⎧<≤<≤-=.)(ππxxxxf，，，将)(xf展为傅里叶级数，并作出级数的和函数的图形.例2．(脉冲矩形波) 矩形波用来表示电闸重复地断开和接通时的电流模型.设脉冲矩形波的信号函数)(xf是以π2为周期的周期函数(如图7.2所示)，它的表达式为⎩⎨⎧<≤<≤--=.11)(ππxxxf，，，求此函数的傅里叶级数展开式.图7.2例3．设)(xf是周期为π2的周期函数，试将函数⎩⎨⎧<≤<≤--=,0,,0,)(ππxxxxxf展开为傅里叶级数，并作出级数的和函数的图形.例4．将函数xxf+=1)()0(π≤≤x分别展开为正弦级数和余弦级数.例5．设)(xf是以4为周期的函数，在)2,2[-上的表达式为020,()02,xf xh x-≤<⎧=⎨≤<⎩，，其中常数0≠h. 将函数)(xf展开为傅里叶级数，并作出级数的和函数的图形.例6．将函数]2,0[1)(∈-=xxxf，展开为以4为周期的余弦级数.1。
380 第十章 无穷级数在许多科学技术领域中，常常要求我们将无穷多个数或者函数相加，我们把这种和式叫做无穷级数．无穷级数是表示函数、研究函数性态以及进行数值计算的一种有效工具．无穷级数分为常数项级数和函数项级数，本章将先介绍常数项级数的概念及其敛散性的审敛法，然后讨论函数项级数，最后将着重讨论如何将函数展开成幂级数和三角级数的问题．第一节 常数项级数的概念与性质一、常数项级数的基本概念设给定一个数列1u ，2u ，n u ，，用加号把这些项连结起来所构成的和的表达式 1u +2u +n u +（1）称为（常数项）无穷级数，简称（常数项）级数，记作1n n u ∞=∑1u =+2u +n u ++，级数的第n 项u n 通常称为级数的一般项或通项．例如 111111!2!3!!n n n ∞==+++++∑,1(1)1111(1)nn n ∞=-=-+-+-+-+∑,1123n n n ∞==+++++∑ 都是常数项级数．上述级数的定义仅仅是一种形式上的定义，这种加法是否具有“和数”，这个“和数”的意义是什么？为了解决这个问题，我们先作（常数项）级数（1）的前n 项和n s =12n u u u +++1ni i u ==∑， （2）n s 称为级数（1）的部分和．当n 依次取1，2，3，…时，部分和又构成一个新的数列11s u =， 122s u u =+，3123,s u u u =++， n s =12n u u u +++，，即数列12,,,,n s s s ．把这个数列{n s }称为级数1n n u ∞=∑的部分和数列（简称为部分和）．当n 趋于无穷大时，如果级数1n n u ∞=∑的部分和数列{n s }有极限s ，即lim n n s s →∞=,则称无穷级数1n n u ∞=∑收敛，并称极限s 为级数的和，写成12n s u u u =+++．如果部分和数列{n s }没有极限，则称无穷级数1n n u ∞=∑发散．当级数1n n u ∞=∑收敛时，其部分和n s 是级数的和s 的近似值，它们之间的差值12n n n n r s s u u ++=-=++称为级数的余项．用近似值n s 代替和s 所产生的误差是这个余项的绝对值，即误差是n r ．381●●例1 判别无穷级数1123n n n ∞==+++++∑的敛散性．解 由于 (1)122n n n s n +=+++=, 则 (1)lim lim 2n n n n n s →∞→∞+==∞,所以该级数发散．●●例2 讨论级数11111(1)n --+-++-+的敛散性． 解 部分和数列11s =，2110s =-=，31111s =-+=，，11111(1)n n s -=-+-++-．易知，当n 为奇数时，1n s =；当n 为偶数时，0n s =．所以没有极限，故原级数发散． ●●例3 无穷级数20nn n aqa aq aq aq ∞==+++++∑． （3）叫做等比级数（又称为几何级数），其中0a ≠，q 叫做级数的公比，试讨论级数（3）的敛散性．解 如果||1q ≠，级数的部分和1n n s a aq aq-=+++1n a aq q -==-11na aq q q---． 当||1q <时, lim n n s →∞=lim 111n n a aq a q q q →∞⎡⎤-=⎢⎥---⎣⎦, 此时级数（3）收敛，且其和为 1aq -； 当||1q >时，lim n n s →∞=∞，此时级数（3）发散．如果||1q =，则当1q =时，n s na =→∞，因此级数（3）发散；当1q =-时，级数(3)变为n s =a a a a -+-+1(1)n a -+-．显然，n s 随着n 为奇数或为偶数而等于a 或为零，因此n s 的极限不存在，此时级数（3）也发散．综上讨论可知，等比级数11n n aq ∞-=∑当||1q <时收敛，其和为1aq-，当||1q ≥时发散． 例如级数23422223333⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，其公比213q =<，则该级数是收敛的．又例如级数23433332222⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，其公比312q =>，故该级数是发散的． 二、收敛级数的基本性质由上面的讨论可知，级数的收敛问题，实际上也就是研究它的部分和数列的收敛问题，因此，我们可以应用数列极限的有关知识来研究无穷级数的收敛与发散．从而可以得到收敛级数的一些基本性质．性质1 如果级数123n u u u u ++++收敛于和s ，则它的各项同乘以一个常数a 所得的级数123n au au au au ++++也收敛，且其和为as ． 证 设级数1n n u ∞=∑与级数1n n au ∞=∑的部分和分别为n s 和n σ，则n s =12n u u u +++，n σ12n au au au =+++n as =．382 由数列极限的性质知lim lim n n n n as as σ→∞→∞==．即级数1nn au∞=∑收敛于as ．性质2 如果级数1n n u ∞=∑和1n n v ∞=∑都收敛，且其和分别为s 与σ，则级数1()nn n uv ∞=±∑1122()()()n n u v u v u v =±+±++±+．也收敛，并且有111()nn n n n n n uv u v ∞∞∞===±=±∑∑∑s σ=±．证 令1nn i i s v ==∑，1nn i i u σ==∑，1()nn i i i T u v ==±∑，则1()nn i i i T u v ==±=∑11n ni in n i i u vs σ==±=±∑∑,所以有lim lim()lim lim n n n n n n n n n T s s s σσσ→∞→∞→∞→∞=±=±=±．也就是说，1()n n n u v ∞=±∑收敛于s σ±．●●例4 判别级数212211131313(11)242424n n n ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++++++⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的敛散性．若收敛时求出它的和．解 由于级数211111222n -+++++与 21213331444n n --+++++都是公比小于1的等比级数，所以它们都收敛，且其和分别为2和4，由性质2知所给级数收敛，其和为212211131313(11)242424n n n ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭211111222n -⎛⎫=+++++ ⎪⎝⎭21213331444n n --⎛⎫++++++ ⎪⎝⎭246=+=． 性质3 在级数的前面部分去掉或加上有限项，不改变级数的敛散性.证 设将级数121k k k n u u u u u +++++++++的前k 项去掉，则得级数12k k k n u u u +++++++．令新级数的部分和n T =12k k k n u u u ++++++．则12n k k k n T u u u +++=+++k n k s s +=-，其中k n s +为原级数的前k n +项的和，而k s 12k u u u =+++是常数，所以当n →∞时，n T 和n k s +或者同时具有极限，或者同时没有极限，当有极限时，k T s s =-．其中lim n n T T →∞=，lim k n n s s +→∞=．类似地，可以证明在级数的前面加上有限项，也不改变级数的敛散性． 性质4 收敛级数对其项任意加括弧后所成级数仍为收敛的级数，且其和不变． 应该注意，加括号后的级数收敛时，原来未加括弧的级数未必收敛，例如下面的级数(11)(11)(11)-+-+-+ 收敛于零，但级数111111-+-+-+却是发散的．由性质4可得: 如果加括弧后所成的级数发散，则原来级数也发散．383性质5 （级数收敛的必要条件）如果级数1n n u ∞=∑收敛，则当n 无限增大时，它的一般项n u 趋于零，即lim 0n n u →∞=．证 设级数1n n u ∞=∑的部分和数列为{}n s ，且lim n n s s →∞=．因为1n n n u s s -=-，所以1lim lim()n n n n n u s s -→∞→∞=-0s s =-=．性质5表明，若lim 0n n u →∞≠，则1n n u ∞=∑一定发散，但要注意，若lim 0n n u →∞=时，级数1n n u ∞=∑可能收敛，也可能发散． ●●例5 无穷级数111123n+++++ （4）称为调和级数．证明调和级数是发散的．证法1 顺序把级数（4）的两项、两项、四项、八项、2m 项、加括号得级数111111112345678⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭111121222m mm +⎛⎫+++++ ⎪++⎝⎭ 因为 11122+>，1111134442+>+=，111111111,567888882+++>+++=11111111111212222222m m m m m m +++++++>+++=++, 所以这个加括号的级数的前1m +项的和大于12m +，从而可知加括号后的级数发散．由性质4所得的结论可知，调和级数（4）发散．证法2 由0x >时，ln(1)x x >+知，11ln 1n n ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭，所以1111ln 1nn n i i s i i ==⎛⎫=>+ ⎪⎝⎭∑∑341ln 2ln ln ln 23n n +=++++341ln 223n n +⎛⎫=⋅⋅⋅⎪⎝⎭ln(1)n =+．由于lim limln(1)nn n s n →∞→∞≥+=∞，故调和级数发散．●●例6 -+-+11n n +-+-+的敛散性．解 对级数每两项加括号后所成的级数为2n ∞=∑221n n ∞==-∑2121n n ∞==-∑，而211n n ∞=-∑为调和级数，它是发散的，故知原级数发散． 习 题 10-11．写出下列级数的前5项:384 （1）21(2)n nn ∞=+∑； （2）113(21)24(2)n n n ∞=⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅∑；（3）11(1)10n n n -∞=-∑；（4）1!(1)nn n n ∞=+∑． 2．写出下列级数的一般项:（1）111246+++；（2）231153759711a a a ++++⋅⋅⋅⋅；（3）35791113149162536-+-+-+-；（42242468x x +⋅⋅⋅⋅ (0x >)．3．判定下列级数的敛散性: （1）1n ∞=∑；（2）11(21)(21)n n n ∞=-+∑；（3）1111223(1)n n ++++⋅⋅+；（4）π2ππsin sin sin 666n ++++；（5）1n ∞=∑；（6）13++；（7）22111111323232n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-++-+⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；（8）135721357921n n -+++++++；（9）221(n ∞=∑ （0a >）；（10）23111111111111123nn +++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 4．证明下列级数收敛，并求其和：11111447710(32)(31)n n +++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅⋅⋅-+．5．若级数1n n u ∞=∑与1n n v ∞=∑都发散时，级数1()n n n u v ∞=±∑的敛散性如何？若其中一个收敛，一个发散，那么，级数1()n n n u v ∞=±∑散敛性又如何？第二节 常数项级数的审敛法一、正项级数及其审敛法在第一节中，我们介绍了判别一般常数项级数（即级数的各项可以是正数、负数或者零）是否收敛的方法.如果级数1n n u ∞=∑的每一项都是非负的，即0n u ≥（1n =，2，），则称级数1nn u∞=∑为正项级数． 在这一节，我们将对正项级数给出一些常用的审敛判别法．385设正项级数12n u u u ++++ （1） 的部分和为n s ，显然部分和数列{n s }是单调增加数列，也就是说12n s s s ≤≤≤≤根据单调有界数列必有极限的准则可得，如果部分和数列n s 有界，也就是说存在一正数M ，使得n s M ≤对所有的n 都成立，则级数（1）一定收敛；反之，如果正项级数收敛于s ，则数列{n s }一定有界． 由此可得下面的正项级数收敛的基本定理．正项级数1n n u ∞=∑收敛的充分必要条件是它的部分和数列{n s }有界．根据这一定理，我们可以得到正项级数收敛或发散的一些基本判别法则．(比较审敛法）设级数1n n u ∞=∑，1n n v ∞=∑为两个正项级数，且满足不等式n nu v ≤（1n =，2，）则下面的结论成立：（1）如果级数1n n v ∞=∑收敛， 则级数1n n u ∞=∑也收敛； （2）如果级数1n n u ∞=∑发散，则级数1n n v ∞=∑也发散．证 （1）设1n n v ∞==∑σ，1n n k k s u ==∑，1nn k k v σ==∑，则由条件知n s =12n u u u +++12n v v v ≤+++n σ=≤1nn vσ∞==∑，即部分和数列{n s }有界，由定理1知级数1n n u ∞=∑收敛．（2）反证法，若正项级数1n n v ∞=∑收敛，则根据（1）知级数1n n u ∞=∑收敛，与1n n u ∞=∑发散矛盾，故级数1n n v ∞=∑发散．由第一节的性质1和性质3可知，级数的每一项同乘以不为零的常数k ，以及去掉级数前面部分的有限项不会影响级数的收敛性，于是可得如下推论：推论 设1n n u ∞=∑和1n n v ∞=∑是两个正项级数．如果从某项开始（比如从第N 项开始），满足不等式n n u kv ≤（n N ≥，0k >），则（1）若级数1n n v ∞=∑收敛，则级数1n n u ∞=∑收敛；（2）若级数1n n u ∞=∑发散，则级数1n n v ∞=∑发散．为了便于应用，我们下面接着给出比较审敛法的极限形式．(比较审敛法的极限形式） 设1n n u ∞=∑和1n n v ∞=∑为给定的两个正项级数，(1) 如果lim nn nu l v →∞=（0l ≤<+∞），且级数1n n v ∞=∑收敛，则级数1n n u ∞=∑收敛；386 (2) 如果lim 0n n n u l v →∞=>或lim nn nu v →∞=+∞，且级数1n n v ∞=∑发散，则级数1n n u ∞=∑发散．证 (1) 根据极限的定义，对1ε=，存在自然数N ，使得当n N >时，有不等式1nnu l v <+, 即 (1)n n u l v <+ 而级数1n n v ∞=∑收敛，再由比较审敛法的推论，便可知1n n u ∞=∑收敛.(2) 反证法，如果级数1n n u ∞=∑收敛，则由结论(1)得级数1n n v ∞=∑收敛，但已知级数1n n v ∞=∑发散，矛盾．因此，级数1n n u ∞=∑发散．●●例1 证明级数1131nn ∞=+∑是收敛的． 证 因为11313n n ≤+，而且几何级数113n n ∞=∑收敛，故由比较判别法知，1131nn ∞=+∑是收敛的． ●●例2 判别级数11(0)1nn a a ∞=>+∑的收敛性． 解 （1）当01a <<时，11lim 10110n n a →∞==≠++，所以级数111n n a ∞=+∑发散． （2）当1a =时，11lim 012n n a →∞=≠+，所以级数111n n a ∞=+∑发散． （3）当1a >时，111nn a a ⎛⎫< ⎪+⎝⎭． 由于级数11nn a ∞=⎛⎫⎪⎝⎭∑收敛，所以级数111nn a ∞=+∑收敛． 综上所述，当01a <≤时，原级数发散，当1a >时，原级数收敛． ●●例3 级数11111123pp p p n nn ∞==++++∑． （2） 称为p -级数，其中0p >是常数，试讨论p -级数的敛散性．解 （1）当1p ≤时，有 11p n n ≤，由于11n n ∞=∑发散，故由比较审敛法知，级数（2）发散．（2）当1p >时，由1k x k -≤≤知 11p p k x≤，所以111k p pk x k k -=≤⎰d 11k p k x x -⎰d ，（2,3,n =） 从而级数（2）的部分和1n s =+21n p k k =≤∑1+12n k p k k x x -=∑⎰d 11n p x x =+=⎰ d 111111p p n -⎛⎫+- ⎪-⎝⎭111p <+-（2,3,n =）， 故数列{}n s 有界，所以级数（2）收 敛．综上所述可得p -级数11pn n∞=∑当1p >时收敛，当1p ≤时发散． ●●例4 判别下列级数的敛散性：387（1）3132n n n n ∞=+-∑； （2）1111n nn∞+=∑； （3）11n n ∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭； （4）21e n n n ∞-=∑．解 （1）因为 323323312lim lim 122n n n n n n n n n n →∞→∞++-==-，而211n n ∞=∑收敛，所以级数3132n n n n ∞=+-∑收敛． （2）因为111lim 11nn n nn+→∞==，又级数11n n ∞=∑发散，所以级数1111n nn∞+=∑发散． （3）因为321ln 1lim 11n n n nn →∞→∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭==， 而级数3121n n∞=∑收敛，所以级数11n n ∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭收敛．（4）因为 242e lim lim 01e n n n n n n n -→∞→∞==，而级数211n n ∞=∑收敛，所以级数21e n n n ∞-=∑收敛． ●●例5 判别级数11ln 1p n n ∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑的敛散性．（0p >，且为常数）解 因为1ln 1lim 1p n pn n→∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭1lim ln 1p n p n n →∞⎛⎫=+ ⎪⎝⎭1ln lim 11p n p n n →∞⎡⎤⎛⎫⎢⎥=+= ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦ 而p -级数11p n n ∞=∑当1p >时收敛，所以当1p >时原级数收敛；当1p ≤时11p n n∞=∑发散，故当1p ≤原级数发散．判别级数的敛散性，如果已知一些收敛级数和发散级数，则可以以它们为标准进行比较．常用于比较的级数有p -级数、等比级数与调和级数，因此必须记住它们．由比较审敛法的定理我们知道，它是通过与某个敛散性已知的级数的比较来判断给定级数的敛散性，但有时作为比较对象的级数不容易找到，那么能不能从给定的级数自身直接判别级数的敛散性？为此，下面我们将给出使用上很方便的比值审敛法和根值审敛法．(比值审敛法） 设级数1n n u ∞=∑是正项级数，且1lim n n nuu ρ+→∞=．则（1）当1ρ<时，级数1n n u ∞=∑收敛； （2）当1ρ>（或1lim n n nu u +→∞=∞）时，级数1n n u ∞=∑发散；（3）当1ρ=时，级数1n n u ∞=∑可能收敛，也可能发散．388 正项级数敛散性的这一判别法称为比值审敛法或达朗贝尔（D alembert '）审敛法．证（1）当1ρ<时，取一个适当小的正数ε，使得1r ρε+=<，由1lim n n nuu ρ+→∞=知，存在正整数N ，使得当n N >时，有不等式1n nur u ρε+<+=成立，即有1N N u ru +<， 221N N N u ru r u ++<<， 332N N N u ru r u ++<<，…而等比级数23N N N ru r u r u +++收敛（公比1r <），由比较审敛法可知123N N N u u u ++++++收敛．由于级数1n n u ∞=∑只是比级数1nn N u∞=+∑多了前N 项，所以级数1n n u ∞=∑收敛．（2）当1ρ>时，取一个适当小的正数ε ，使得1ρε->，由极限的定义知，存在正整数N ，使得当n N >时，有不等式11n n uu ρε+>->成立，也就是1n n u u +>．所以，当n N >时，级数的一般项逐渐增大，因此lim 0n n u →∞≠，由级数收敛的必要条件可知，级数1n n u ∞=∑发散．类似地，可以证明，当1lim n n nu u +→∞=∞时，级数1n n u ∞=∑发散．（3）当1ρ=时，级数1n n u ∞=∑可能收敛，也可能发散．例如p -级数11p n n ∞=∑，不论0p >为何值，总有1lim n n nu u +→∞=1(1)lim11pn pn n →∞+=．但我们已经知道当1p >时p -级数收敛，而当1p ≤时p -级数发散．所以，仅根据ρ=1是不能判别级数的敛散性的．●●例6 判别级数2222231232222n n +++++的敛散性． 解 因为22n n n u =，22112(1)112lim lim lim 22n n n n n nnn u n n u n ++→∞→∞→∞++⎛⎫== ⎪⎝⎭112=<，根据比值审敛法，所以原级数是收敛的．●●例7 判别级数2132nn n n ∞=∑的敛散性．解 因为232nn n u n =，所以1limn n nu u +→∞=122212323lim lim (1)232(1)n n n nn n n nn n ++→∞→∞⋅=++2313lim 11221n n →∞⎛⎫⎪==> ⎪ ⎪+ ⎪⎝⎭， 所以级数2132nn n n ∞=∑发散．●●例8 判别级数1111123456(21)2n n+++++⋅⋅⋅-⋅的敛散性．389解 由于1(21)2n u n n =-⋅，所以1lim n n nu u +→∞=(21)2lim 1(21)(22)n n nn n →∞-⋅=++，比值审敛法此时失效．但注意到211(21)2n n n <-⋅，而级数211n n ∞=∑收敛，所以级数11(21)2n n n ∞=-⋅∑收敛． (根值审敛法）设级数1n n u ∞=∑是正项级数，且n ρ=,则（1）当1ρ<时，级数1n n u ∞=∑收敛； （2）当1ρ>（或n =+∞）时，级数1n n u ∞=∑发散；（3）当1ρ=时，级数1n n u ∞=∑可能收敛，也可能发散．正项级数敛散性的这一判别法称为根值审敛法或柯西审敛法．证 （1）当1ρ<时，由极限的定义，取一个适当小的0ε>，存在自然数N ，使得当n N >1r ρε<+=<成立，即nn u r <．由于等比级数1n n r ∞=∑（公比1r <）收敛，所以级数1n n u ∞=∑收敛．（2）当1ρ>时，根据极限的定义，取一个适当小的0ε>，存在正整数N ，使n N >时，1ρε>->成立，即1n u >．由于lim 0n x u →∞≠，所以级数1n n u ∞=∑发散．（3）当1ρ=时，根值审敛法失效．仍以p -级数11pn n∞=∑为例，由根值审敛法=1p=→（n →∞）． 即1ρ=，但p -级数当1p >时收敛；当1p ≤时发散．因此在1ρ=时级数的敛散性不能由根值审敛法判定． ●●例9 判别级数211115n n n n ∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑的敛散性．解因为11e lim 1<155nn n n n →∞⎛⎫=+= ⎪⎝⎭所以由根值审敛法可知级数211115n n n n ∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑收敛． ●●例10 判别级数ln 123nn n ∞=∑的敛散性．解 因为=ln 23n n=，而当n →∞时，ln nn的极限为0，所以n ln 2lim 3n n n→∞=21=>，因此所给级数发散．390 二、交错级数及其审敛法如果级数的各项是正负交替出现的，也就是形如 1234u u u u -+-+1(1)n n u -+-+ （3） 或 1234u u u u -+-++(1)n n u +-+(3')（0n u >，1,2,n =）的级数称为交错级数．下面的定理说明了如何对于交错级数的敛散性进行判别．(莱布尼兹(Leibniz )审敛法） 如果交错级数11(1)n n n u ∞+=-∑（0,1,2,n u n >=）满足下面的条件：（1）1n n u u +≥（1,2,3,n =）；（2）lim 0n n u →∞=则级数11(1)n n n u ∞+=-∑收敛，且其和1S u ≤，其误差1n n r u +≤．证 先证交错级数（3）的前2n 项和2n s 的极限存在，其和1s u ≤． 因为2n s 可表示为2n s =1234212()()()n n u u u u u u --+-++-，及 2n s =1234522212()()()n n n u u u u u u u u ----------所以由条件（1）知，括弧中的所有项都是非负的，因此由2n s 的第一种表达形式可知，2n s 单调增加，由2n s 的第二个表达式可知，21n s u <．于是，由单调有界数列必有极限的准则可知，当n 无限增大时，2n s 趋于一个极限s ，且s 不大于1u ，即21lim n n s s u →∞=≤．再证交错级数（3）的前21n +项的和21n s +的极限为s ，且1s u ≤． 因为 21221n n n s s u ++=+， 所以由条件（2）知21lim 0n n u +→∞=，所以21221lim lim lim n n n n n n s s u s ++→∞→∞→∞=+=．由于级数的前2n 项的和与前21n +的和趋于同一极限s ，故级数11(1)n n n u ∞+=-∑的部分和n s 当n →∞时具有极限s ，这就证明了交错级数11(1)n n n u ∞+=-∑收敛于和s ，并且1s u ≤．对于级数（3）的余项n r ，可写成如下的形式：12()n n n r u u ++=±-+．它的绝对值12||n n n r u u ++=-+．也是一个交错级数，也满足交错级数收敛的两个条件，因此其和不超过级数的第一项1n u +，也就是说 1|| n n r u +． ●●例11 判别级数111111(1)234n n+-+-++-+的敛散性，并求其和s 的近似值（精确到0.1）．解 令1n u n =, 显然有 （1） 1111n n u u n n +=>=+， （1,2,n =）， （2）1lim lim0n n n u n→∞→∞==． 由定理6知，原级数收敛．且11111(1)23n n s s n +≈=-+++-．其中11n rn ≤+．因为取9n =时，9110r ≤0.1=，所以111110.74562349s ≈-+-++≈．391●●例12判别级数1(1))πn n n ∞=-∑的敛散性．解 因为(1))πn n -(1)n =-．又s in n u =是单调减少数列，且lim 0n n n u →∞→∞==．由莱布尼兹审敛法可知，原级数收敛．三、绝对收敛与条件收敛上面我们讨论了正项级数和交错级数敛散性的判别法，如果级数1n n u ∞=∑中的项n u(1,2,)n =是任意实数，则把这种级数称为任意项级数．下面我们来讨论任意项级数的敛散性．如果对于任意项级数1n n u ∞=∑中的各项取绝对值所得的正项级数1||n n u ∞=∑收敛，则称级数1nn u∞=∑绝对收敛；如果级数1||n n u ∞=∑发散，而级数1n n u ∞=∑收敛，则称级数1n n u ∞=∑条件收敛．由上述定义，容易得到结论：收敛的正项级数是绝对收敛的．绝对收敛级数和收敛级数之间有如下重要关系．如果级数1||n n u ∞=∑收敛，则级数1n n u ∞=∑收敛．证 令1(||)2n n n v u u =+ （1,2,3,n =）．则当0n u ≥时，n n v u =；当0n u <时，0n v =，所以0n v ≥，且||n n v v =11||||(||||)22n n n n u u u u =+≤+||n u =．因为级数1||n n u ∞=∑收敛，由比较审敛法知1n n v ∞=∑收敛，从而12n n v ∞=∑也收敛．又因为2||n n n u v u =-，所以级数1n n u ∞=∑是由两个收敛级数逐项相减而形成的, 即11(2||)nnnn n u v u∞∞===-∑∑．由级数的性质2可知，级数1n n u ∞=∑收敛．该定理表明，对于任意项级数1n n u ∞=∑，如果由正项级数审敛法判定级数1||n n u ∞=∑收敛，则级数1n n u ∞=∑收敛．进而可知，一些任意项级数的敛散性可借助于正项级数的审敛法而得到判定．一般来说，如果1||n n u ∞=∑发散,我们不能断定1n n u ∞=∑发散,但是,如果我们用比值法或根值法，根据1ρ>判定1||n n u ∞=∑发散,则可断定1n n u ∞=∑发散．这是因为从1ρ>可推知lim 0n n u →∞≠，从而可392 知lim 0n n u →∞≠，因此级数1n n u ∞=∑发散．●●例13 证明级数11sin rn n n α∞+=∑（其中0r >）绝对收敛． 证 因为11sin 1r r n nn α++≤，而级数111r n n ∞+=∑收敛，所以由比较审敛法知，11sin r n n n α+∞+=∑收敛，因此所给级数绝对收敛．●●例14 判别级数2111(1)13n n nn n ∞=⎛⎫-+ ⎪⎝⎭∑的敛散性．解 1113nn ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，而11lim 13nn n n →∞⎛⎫=+ ⎪⎝⎭e13=<．故由根值审敛法知所给级数收敛．由定理7，我们注意到每个绝对收敛的级数都是收敛的，但反过来不一定成立．也就是说，并不是每个收敛级数都是绝对收敛的．例如，级数111111(1)234n n+-+-++-+是收敛级数，但对各项取绝对值后得到的级数为11111234n++++++是调和级数，它是发散的．●●例15 判别级数1np n x n∞=∑的敛散性，若收敛，讨论其是绝对收敛还是条件收敛解 对级数11||n np p n n x x n n ∞∞===∑∑应用根值审敛法，因为||n x =，由此可知： 当||1x <时，p 为任意实数，级数收敛（绝对收敛）；当||1x >时，p 为任意实数，级数发散；当1x =时，(1)1p >时，级数收敛（绝对收敛）；(2)1p ≤时，级数发散； 当1x =-时，(1)1p >时，级数收敛（绝对收敛）；(2)01p <≤时，级数收敛（条件收敛）；(3)0p ≤时，级数发散．绝对收敛级数有一些很好的运算性质，我们不加证明地给出如下：绝对收敛级数不因改变项的位置而改变它的和．1n u 及1n n v ∞=∑都绝对收敛，其和分别为s 和σ，则它们的柯西乘积111221()u v u v u v ++++1211()n n n u v u v u v -+++也是绝对收敛的，且其和为s σ．习 题 10-21．用比较审敛法或其极限形式判定下列各级数的敛散性：（1）1111253647(1)(4)n n ++++⋅⋅⋅+⋅+;（2）1+111357+++;（3）2221111135(21)n +++++-;（4）2222(sin 2)(sin 4)(sin 2)666nn ++++;393（5）ππππsinsin sin sin 2482n +++++． 2．用比值审敛法判别下列级数的敛散性：（1）234521333n n ++++++; （2）232332!33!3!323n n n n ⋅⋅⋅+++++;（3）231111sin 2sin 3sin sin 2222n n +⋅+⋅+++;（4）21(!)(3)!n n n ∞=∑; （5）n ∞=; （6）1!n n n n ∞=∑; （7）213n n n ∞=∑． 3．用根值审敛法判定下列各级数的敛散性：（1）152n n n n ∞=⎛⎫ ⎪+⎝⎭∑; （2）2111n n n ∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑; （3）2122n n n n n ∞=+⎛⎫ ⎪⎝⎭∑ ; （4）131ennn ∞=+∑; （5）1nn n b a ∞=⎛⎫⎪⎝⎭∑，其中(),,,n n a a n a b a →→∞均为正数；（6）1(0,lim ,0)nn n n n n x x a a a a ∞→∞=⎛⎫>=> ⎪⎝⎭∑．4．判别下列级数的敛散性：（1）23433332344444⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭; （2）()11sin 2n n n n ∞=π+∑;（3）1111(1sin1)sin sin 22nn ⎛⎫⎛⎫-+-++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭;（4）222222ln 1ln 1ln 1123⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭;（5）222sin 2sin 2sin 333n n πππ⋅+⋅++⋅+;（6）21cos 32nn n n ∞=π∑； （7）111(e e 2)nn n ∞-=+-∑． 5．判别下列级数是否收敛？若收敛的话，是绝对收敛还是条件收敛？ （1）1(1)n n ∞-=-∑ （2）111(1)8n n n n ∞-=-∑; （3）1311(1)sin n n n ∞-=-∑; （4）111(1)ln n n n n ∞-=+-∑;（5）11111234a a a a -+-+-++++（a 不为负整数）;（6）1111ln 2ln3ln 4ln5-+-+;（7）234111sin sin sin 234πππ-+-πππ;394 （8）22221111sinsin sin sin 1234-+-+．第三节 幂级数一、函数项级数的概念在前两节内容中，我们讨论了常数项级数，这一节我们将研究应用更为广泛的函数项级数．如果1()u x ，2()u x ，, ()n u x ，，是定义在区间I 上的函数列，则由该函数列构成的和式12()()()n u x u x u x ++++（1）称为定义在区间I 上的（函数项）无穷级数，简称（函数项）级数, ()n u x 称为一般项或通项．当x 在区间I 中取某个确定的值0x 时，函数项级数1()n n u x ∞=∑成为常数项级数10200()()()n u x u x u x ++++,该级数可能收敛，也可能发散．如果常数项级数01()n n u x ∞=∑收敛，则称点0x 是函数项级数1()nn u x ∞=∑的收敛点；如果级数01()nn u x ∞=∑发散，则称点0x是函数项级数1()n n u x ∞=∑的发散点． 函数项级数1()n n u x ∞=∑的所有收敛点组成的集合称为它的收敛域，所有发散点组成的集合称为它的发散域．对应于收敛域内的任意一个数x ，函数项级数1()n n u x ∞=∑成为一收敛的常数项级数，因而有一确定的和s ．因此，在收敛域上，函数项级数的和是x 的函数()s x ，我们把()s x 称为函数项级数的和函数，和函数的定义域就是级数的收敛域，并记为()s x =12()()()n u x u x u x ++++．类似于常数项级数，把函数项级数1()n n u x ∞=∑的前n 项的部分和记为()n s x ，则在收敛域内有lim ()()n n s x s x →∞=．把()()()n n r x s x s x =-仍然称为函数项级数的余项． 当然，只有在收敛域上()n r x 才有意义．于是当1()n n u x ∞=∑收敛时，有lim ()0n n r x →∞=．●●例1 级数12111n n n x x x x ∞--==+++++∑是定义在(,)-∞+∞上的函数项级数．它的前n 项和为()n s x =21111n n x x x xx --++++=-当||1x <时，该级数收敛，其和函数为11x-，且有21111n x x x x-=+++++- （2） 而当||1x ≥时该级数发散．该级数的收敛域为(1,1)-，而其发散域为(,1][1,)-∞-+∞．395二、幂级数及其收敛性在函数项级数中，简单且常见的一类级数就是幂级数．它的表达形式是2012n n a a x a x a x +++++， （3） 或2010200()()()n n a a x x a x x a x x +-+-++-+（4）其中，012,,,,,n a a a a 叫做幂级数的系数．由于在函数项级数00()n n n a x x ∞=-∑中，如果作变换0y x x =-，则级数（4）就变成级数0n n n a y ∞=∑，因此由级数（3）的性质可以推得级数（4）的性质，所以这里我们主要讨论幂级数（3）．由例1 知道，幂级数0n n x ∞=∑的收敛域为（1, 1-），发散域为(,1][1,)-∞-+∞．对于一般的幂级数（3），显然至少有一个收敛点0x =，除此之外，它还有哪些收敛点，怎样得到像例1那样的收敛域呢？对此，下面的阿贝尔（Abel ）定理给出了明确的回答．(阿贝尔定理） 如果幂级数0n n n a x ∞=∑在0x x =（00x ≠）处收敛，则对于满足0||||x x <的一切x ，幂级数0nn n a x ∞=∑绝对收敛；反之，如果幂级数0n n n a x ∞=∑在0x x =0(0)x ≠处发散，则对于满足0||||x x >的一切x ，幂级数0n n n a x ∞=∑发散．证 设0x 是幂级数（3）的收敛点，即级数2010200nn a a x a x a x +++++收敛．根据级数收敛的必要条件，有0lim 0nn n a x →∞=．于是，存在一个正数M ，使得nn a x ≤M （0,1,2,3,n =）．从而有0000nnn n nn n n n x x a x a x a x x x =⋅=≤0nx M x ． 因为当0x x <时，等比级数00nn xM x ∞=∑收敛（公比01x x <），所以级数0n n n a x ∞=∑收敛，故级数0nn n a x∞=∑绝对收敛．定理的第二部分可以用反证法证明．如果幂级数0n n n a x ∞=∑当0x x =（00x ≠）时发散，如果有一点1x 适合10||||x x >，10nn n a x ∞=∑收敛，则根据该定理的第一部分的证明可知，级数0nn n a x ∞=∑收敛，这与假设矛盾，定理得证．定理1说明，如果幂级数（3）在0x x =处收敛，则对于开区间00(||,||)x x -内的任何x ，幂级数（3）都收敛；如果幂级数（3）在0x x =处发散，则对于闭区间00[||,||]x x -以外的任何x ,幂级数都发散．由此可知，如果幂级数（3）既有非零的收敛点，又有发散点，则收敛396 点和发散点不可能交错地落在同一区间内，也就是一定存在收敛区间和发散区间的分界点x R =与x R =-（0R >）使得当||x R <时，幂级数（3）绝对收敛；当||x R >时，幂级数（3）发散；当x R =与x R =-时，幂级数（3）可能收敛也可能发散．通常称正数R 为幂级数（3）的收敛半径；开区间(,)R R -称为幂级数（3）的收敛区间． 由幂级数（3）在x R =±处的收敛性可以决定它的收敛域，其收敛域是(,)R R -，[,)R R -(,]R R -，或[,]R R -中之一．如果幂级数（3）只在0x =处收敛，则规定其收敛半径为0R =；如果幂级数（3）对一切x 都收敛，则规定其收敛半径为R =+∞，此时的收敛域为（,-∞+∞）．收敛半径的求法由下面的定理给出．设n a 与1n a +是幂级数0n n n a x ∞=∑的相邻两项的系数，且1limn n na a ρ+→∞=．如果 （1）0ρ≠，则1R ρ=；（2）0ρ=，则R =+∞；（3）ρ=+∞，则0R =．证 记nn n u a x =，则1lim n n n u u +→∞=111lim lim ||n n n n n n n na x a x a a x +++→∞→∞=||x ρ=．由比值审敛法知： （1） 当||1x ρ<，即1||x ρ<时，级数0n n n a x ∞=∑收敛，从而级数（3）绝对收敛；当||1x ρ>即1||x ρ>时，级数0n n n a x ∞=∑发散，因此收敛半径1R ρ=．（2）如果0ρ=，则对任何0x ≠，有||01x ρ=<，所以级数0n n n a x ∞=∑收敛，从而级数（3）绝对收敛，于是收敛半径R =+∞．（3）如果ρ=+∞，则对于除0x =以外的任何x ，有||1x ρ>，所以对任何0x ≠，幂级数（3）发散，即收敛半径0R =．●●例2 求幂级数231(1)23nn x x x x n +-+++-+的收敛半径、收敛区间和收敛域．解 根据定理2有1lim n n na a ρ+→∞==11lim 11n n n→∞+=，所以收敛半径11R ρ==．所给级数的收敛区间为(1,1)-．对于端点1x =，所给幂级数成为交错级数11111(1)23n n +-+-+-+，该级数收敛． 对于端点1x =-，所给幂级数成为111123n------，该级数发散．故所给级数的收敛域为(1,1]-．●●例3求幂级数212nn n x ∞=∑的收敛域．解 本题为缺项幂级数，由于幂级数相邻两项的系数有零，不能直接求收敛半径．可以397利用比值审敛法来处理，考虑幂级数211||2n n n x ∞=∑，因为2212221||112lim lim 122||2n n n n n n x x x x ++→∞→∞==，当2112x <，即||x <时，级数211||2n n n x ∞=∑收敛； 当2112x >,即||x >,级数211||2n n n x ∞=∑发散；收敛半径R =,收敛区间为(；当x =2111(12nn n n ∞∞===∑∑发散，所以幂级数212n n n x ∞=∑的收敛域为(．●●例4 求幂级数12112n n n x ∞--=∑的收敛半径．解 与标准幂级数（3）比较，级数缺少偶次幂项．因此定理2不能直接应用，但可用比值审敛法来求收敛半径．因1lim n n n u u +→∞=2121212lim 22n n n n n x x x +--→∞=．当221x <，即||x <时，级数收敛；当221x >，即||x >R =●●例5求幂级数n n ∞=的收敛域．解 令1t x =-，则1)n nn n x ∞∞==-=．因为1lim ||1n n n n a a +→∞==,所以收敛半径11R ρ==，收敛区间为(1,1)-．当1t =-时，1)nnn n ∞∞===-收敛；当1t =时，nn n ∞∞===所以n n ∞=的收敛域为[1,1)-，即11t -≤<，把1t x =-代入，得02x ≤<,故幂级数nn ∞=[0,2)．三、幂级数的运算如果幂级数2012n n a a x a x a x +++++()s x = 的收敛半径为1R ，而幂级数2012n n b b x b x b x +++++()x σ=的收敛半径为2R ，则（1）幂级数的加法和减法：()nnn nnnn n n n a x b x ab x ∞∞∞===+=+∑∑∑()()s x x σ=+；398 0()nnn nnnn n n n a x b x ab x ∞∞∞===-=-∑∑∑()()s x x σ=-．收敛半径为12min{,}R R R =．（2）幂级数乘法：n nnnn n a x b x∞∞==⋅∑∑000110()a b a b a b x =++2021120()a b a b a b x ++++0110()n n n n a b a b a b x -+++++()()s x x σ=⋅．收敛半径为12min{,}R R R =．（3）幂级数除法：220120122012n n n n n n a a x a x a x c c x c x c x b b x b x b x +++++=++++++++++．这里假设00b ≠, 将0nn n b x ∞=∑与0nn n c x ∞=∑相乘，所得多项式的系数分别等于0n n n a x ∞=∑中同次幂的系数，从而可求出012,,,,,n c c c c ． 相除后所得幂级数0n n n c x ∞=∑的收敛区间可能比原来的两级数0nn n a x ∞=∑与0n n n b x ∞=∑的收敛区间小得多．关于幂级数的和函数，有下面的重要性质：如果幂级数0nn n a x ∞=∑收敛半径为R （0R >），和函数为()s x ，即()s x 0n n n a x ∞==∑，则有（1）()s x 在收敛区间(,)R R -内连续，且如果级数0n n n a x ∞=∑在收敛区间的端点x R =（或x R =-）也收敛，则和函数()s x 在x R =处左连续（或在x R =-处右连续）． （2）()s x 在收敛区间（,R R -）内可导，并且有逐项求导公式()()n n n s x a x ∞=''=∑0()n n n a x ∞='=∑11n n n na x ∞-==∑．逐项求导后所得到的新级数收敛半径仍为R ．（3）()s x 在收敛区间（,R R -）内可积，并且有逐项积分公式1()d ()d d 1xxxnnn n n n n n n a s t t a t t a t t x n ∞∞∞+======+∑∑∑⎰⎰⎰． 逐项积分后所得到的新级数收敛半径仍为R ．●●例6 求幂级数011nn x n ∞=+∑的收敛域及其和函数． 解 因为1limn n n a a ρ+→∞==1lim 12n n n →∞+=+，故所给级数的收敛半径11R ρ==，收敛区间为(1, 1)-．当1x =时，原级数成为011n n ∞=+∑，发散；当1x =-时，原级数成为0(1)1nn n ∞=-+∑，是交错级399数，收敛；因此原级数的收敛域为[1,1)-．设所求级数的和函数为()s x ,即() [1,1)1nn x s x x n ∞==∈-+∑，给上面的等式两端乘以x ，得1()1n n x xs x n +∞==+∑．等式两边求导，得11000[()]()()11n n n n n n x x xs x x n n ++∞∞∞==='''===++∑∑∑1 (||).<11x x =-对上式两端从0到x 积分，得0d ()ln(1)1x txs x x t ==---⎰ (||1)x <．故当0x ≠且[1,1)x ∈-时，1()ln(1)s x x x =--，当0x =时，由2() 1123n n x x x s x n ∞===++++∑，得(0)1s =．因此[)1ln(1), 1,0(0,1),()1, =0.x x s x x x ⎧--∈-⎪=⎨⎪⎩●●例7 求幂级数210(1)21n n n x n +∞=-+∑的和函数，并求01(1)21n n n ∞=-+∑的和．解 级数的收敛半径为1，收敛域为[1,1]-． 设级数的和函数为()s x ，即()s x 21(1)21n nn x n +∞==-+∑， 逐项求导，得()s x '210(1)()21n nn x n +∞='=-+∑20(1)n nn x ∞==-∑20()n n x ∞==-=∑211x +． 对上式从0到x 积分，得2001()d d arctan .1xxs t t t x t '==+⎰⎰即所求和函数为()(0)arctan ,s x s x -=又因为(0)0,s =所以()arctan ,[1,1].s x x x =∈-在原级数中，令1x =，得0(1)21n n n ∞=-+∑arctan1=4π=．习 题 10-31．求下列幂级数的收敛域：（1）2323x x x +++; （2）2342221234x x x x -+-+-;（3）23224246x x x +++⋅⋅⋅; （4）2323222222112131x x x ++++++;（5）23423421!22!23!24!x x x x ++++⋅⋅⋅⋅; （6）23423413233343x x x x ++++⋅⋅⋅⋅;400 （7）2111(1)(21)!n n n x n -∞+=--∑; （8）11(1)(1)n n n x n ∞-=--∑; （9）221212n n n n x ∞-=-∑; （10）nn ∞=．2．利用逐项求导或逐项积分，求下列级数在收敛区间内的和函数： （1）231234x x x ++++; （2）111(1)n n n nx ∞--=-∑;（3）41141n n x n +∞=+∑;（4）3535x x x +++，并求11(21)2nn n ∞=-∑的和． 第四节 函数展开成幂级数一、泰勒级数第三节讨论了幂级数的收敛域及其和函数的性质，由此可知，一个幂级数()nnn a x x ∞=-∑在它的收敛域内收敛于和函数()s x ，即()s x 00()n n n a x x ∞==-∑．但是，在许多应用中，我们需要解决的是与此相反的问题，也就是对于给定的函数()f x ，它是否可以在某个区间上展开成为幂级数？即是否可以找到一个幂级数，它在某区间内收敛，且其和恰好就是给定的函数()f x ，如果可以的话，如何来确定这个幂级数．下面我们就来讨论这个问题．由第三章第二节的泰勒公式可知，如果函数()f x 在点0x 的某个邻域内具有直到(1)n +阶连续导数，则在该邻域内()f x 的n 阶泰勒公式为()f x =200000()()()()()2!f x f x f x x x x x '''+-+-+()00()()()!n n n f x x x R x n +-+ （1） 其中()n R x =(1)10()()(1)!n n f x x n ξ++-+ （ξ介于0x 与x 之间）为拉格朗日型余项． 这时在该邻域内()f x 可用n 次多项式()n P x =200000()()()()()2!f x f x f x x x x x '''+-+- ()00()()!n n f x x x n ++- （2） 来近似地表示，其误差等于余项的绝对值()n R x ．如果()n R x 随着n 的增大而减小，那么我们就可以用增加多项式的项数的办法来提高精确度．如果()f x 在点0x 的某邻域内具有任意阶导数()f x ',()f x '',(),(),n f x ，则可以设想多项式（2）的项数趋向无穷而成为幂级数200000()()()()()2!f x f x f x x x x x '''+-+-++()00()()!n n f x x x n -+⋅⋅⋅ （3） 幂级数（3）称为函数()f x 在0x 处的泰勒级数．显然，当0x x =时，该级数收敛于0()f x ，但除了0x x =外，该级数是否还收敛？如果收敛的话，是否收敛于()f x ？关于这些问题，下。
第五章无穷级数教学要求1.理解无穷级数收敛﹑发散以及和的概念,了解无穷级数基本性质及收敛的必要条件。
2.掌握几何级数和P—级数的收敛性。
3.掌握正项级数的审敛法。
4.了解交错级数的莱布尼兹定理。
5.了解无穷级数绝对收敛与条件收敛的概念以及绝对收敛与收敛的关系。
6.了解函数项级数的收敛域及和函数的概念,了解幂级数的收敛特点。
7.掌握比较简单的幂级数收敛域的求法。
8.理解幂级数的和函数在其收敛区间内的连续性、可积性与可导性，会求简单幂级数的和函数。
9.了解函数展开为泰勒级数的意义，会利用间接法将一些较简单的函数展开成幂级数.了解幂级数的简单应用。
10.会将在[-π，π]上函数展开为傅里叶级数、会将在[0，π]上的函数展开为正弦级数与余弦级数，会写出傅里叶级数的和的表达式。
教学重点级数的收敛、发散、绝对收敛、条件收敛概念；正项级数三种审敛法的灵活运用；求幂级数的收敛半径与收敛域；求幂级数的和函数；常用幂级数开展式，利用间接法将函数展开成幂级数。
教学难点级数的绝对收敛与条件收敛；求幂级数的和函数；利用间接法将函数展开成幂级数。
教学内容第一节数项级数一、数项级数的定义与性质1.数项级数的定义；2.数项级数的基本性质。
二、数项级数的审敛法1.正项级数及其审敛法；2.交错级数及其审敛法；3.级数的绝对收敛与条件收敛。
第二节幂级数一、函数项级数的概念二、幂级数及其收敛性1.幂级数的定义；2.幂级数的性质。
三、函数的幂级数展开1.泰勒公式与麦克劳林公式；2.泰勒级数与麦克劳林级数；3.将函数展开成幂级数的方法；4.幂级数的应用。
第三节傅里叶级数一、以2π为周期的函数展开成傅里叶级数1.傅里叶级数的收敛性；2.在[-π，π]或[0，π]上的函数展开成傅里叶级数；3.正弦级数和余弦级数。
二、以2l为周期的函数展开成傅里叶级数。
无穷级数——高等数学下册国家级精品课程教案一、教学目标1. 理解无穷级数的基本概念，掌握无穷级数的相关性质。
2. 学会无穷级数的收敛性判断，掌握常见级数的收敛性判定方法。
3. 熟悉无穷级数的部分和，理解部分和的性质及其在无穷级数中的应用。
4. 掌握无穷级数求和的方法，会求解常见无穷级数的和。
5. 能够运用无穷级数的基本知识解决实际问题，提高数学建模能力。
二、教学内容1. 无穷级数的基本概念：级数定义、级数项、级数收敛等。
2. 无穷级数的收敛性：收敛判定、发散判定、绝对收敛与条件收敛。
3. 无穷级数的部分和：部分和公式、部分和的性质、部分和的界。
4. 无穷级数求和的方法：逐项求和、部分分式分解、积分求和等。
5. 常见无穷级数的求和：等比级数、等差级数、幂级数等。
三、教学方法1. 采用讲授法，系统讲解无穷级数的基本概念、性质、判定方法和求和技巧。
2. 利用案例分析，让学生通过具体例子理解无穷级数的应用。
3. 运用互动教学，鼓励学生提问、讨论，提高学生的参与度和积极性。
4. 利用数学软件或板书演示无穷级数的相关性质和求和过程，增强学生的直观感受。
四、教学步骤1. 引入无穷级数的基本概念，讲解级数定义及级数项的性质。
2. 讲解无穷级数的收敛性，引导学生理解收敛与发散的判断方法。
3. 介绍无穷级数的部分和，讲解部分和公式及部分和的性质。
4. 教授无穷级数求和的方法，让学生掌握逐项求和、部分分式分解等技巧。
5. 通过案例分析，让学生应用无穷级数的基本知识解决实际问题。
五、教学评价1. 课堂问答：检查学生对无穷级数基本概念的理解和掌握程度。
2. 课后作业：布置相关练习题，检验学生对无穷级数收敛性、部分和及求和方法的掌握。
3. 课程报告：让学生选择一个无穷级数应用实例进行研究，培养学生的实际应用能力。
4. 期末考试：全面测试学生对无穷级数知识的掌握和运用能力。
六、教学资源1. 教材：《高等数学下册》等相关教材。
,,n u 则式子1n u u ++叫做无穷级数,记前n 项和为12n u u u =+++，当，即lim n n SS →∞=则称无穷级数收敛，其极限值S 称为级数的和，并记为n u ++； 若n S 没有极限，就称无穷级数发散。
．无穷级数的基本性质n u 收敛于S ，则每一项乘以一个不为零的常数设有两个收敛级数：12n Su u u =++++，1n v v σ=+++()n n u v +±+收敛于和S σ±。
在级数的前面部分去掉或加上有限项，不影响级数的敛散性，但是其级数和会发生相应变化。
收敛级数加括弧后所成的级数仍然收敛于原来的和S 。
常数项级数收敛的必要条件：若级数1nn u∞=∑收敛，则当n 趋于无穷大时，它的一般项n u 必趋近|n p u ++<nn n n n a x a x ∞=++=∑这种级数称为幂级数，其中a n (n=0,1,2,…)均为常数。
时，它就变为一个常数项级数。
(x 0≠0)时收敛，则适合不等式|x|<|x 111n n n n n na xna x ∞--=++=∑求导后的幂级数与原级数有相同的收敛半径。
s(x)在敛区内可以积分，并且有逐项积分公式：00)1xnn n n n a x dx a x dx n ∞∞====+∑∑⎰()(!n f x n +，称为拉格朗日余项。
阶泰勒公式中的余项趋于零。
此时函数展开式称为()(0)!n n f x n ++）的麦克劳林级数是x 的幂级数，那么这种展开是唯一的，=0的某一临域内收敛，它不一定收敛于）的麦克劳林级数虽然能做出来，但这个级数能否在某个区）都需要进一步验证 1,!nx x n ++-∞<<+∞1211(1),(21)!n n x x n --+-+-∞<<+∞-的展开式2(1)(1)(1),2!!nm m m m m n x x n ---+++++）的展开式：,11n x x +++-<<一般情况下函数展开成幂级数采用间接展开法，即利用简单的函数的展开式、幂级数在收敛域内可逐项求导及可逐项求积分的性质以及变量代换等对复杂函数进行展开。
高等数学教学教案第7章无穷级数授课序号01教 学 基 本 指 标教学课题 第7章 第1节 常数项级数的概念与性质 课的类型 新知识课 教学方法 讲授、课堂提问、讨论、启发、自学 教学手段 黑板多媒体结合教学重点 级数的基本性质及收敛的必要条件，几何级数的收敛与发散的条件教学难点 几何级数的收敛与发散的条件参考教材 同济七版《高等数学》下册 作业布置大纲要求1．理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数和的概念，掌握级数的基本性质及收敛的必要条件. 2．掌握几何级数的收敛与发散的条件.教 学 基 本 内 容一．常数项级数的基本概念1.常数项级数的定义（1）两个具体问题（一个收敛，一个发散的例子）．（2）无穷级数定义：如果给定一个数列 则表达式 叫做（常数项）无穷级数，简称（常数项）级数，记作，即，其中叫做级数的项，叫做级数的首项，级数的第项叫做级数的通项或一般项．2．常数项级数的敛散性（1）部分和：级数的前项和叫做级数的部分和，记为．即．,,,,,,321 n u u u u +++++n u u u u 321∑∞=1n nu∑∞=1n nu+++++=n u u u u 321 ,,,,,321n u u u u 1u n n u ∑∞=1n nun n s ∑==++++=ni i n n u u u u u s 1321（2）级数收敛与发散：若级数的部分和数列收敛于，即，则称级数收敛，其和为，也称级数收敛于，记为．若级数的部分和数列极限不存在，则称级数发散．（3）余项：级数和与部分和的差称为级数的余项，记为．即=．用部分和替代级数和所产生的误差就是这个余项的绝对值，即误差是．由级数定义可知，研究级数的敛散性就是研究其部分和数列是否有极限，因此，级数的敛散性问题是一种特殊的数列极限问题． 二．收敛级数的基本性质1．收敛级数的性质性质1 若级数收敛于和，则级数也收敛，其和为（为常数）．即级数的每一项同乘一个常数后，它的收敛性不变．推论1 如果级数发散，当时，级数也发散．性质2 如果级数、收敛于和，则级数也收敛，且其和为．即两个收敛级数可以逐项相加或相减，其敛散性不变．推论2 如果级数收敛，发散，则级数发散．性质3 在级数中去掉、加上或改变有限项，不会改变级数的敛散性． 性质4 如果级数收敛，则在不改变其各项次序的情况下，对该级数的项任意添加括号后所形成的级数仍收敛，且其和不变．推论3 如果加括号后所形成的级数发散，则原级数也发散．注 收敛级数去掉括号后可能发散，发散的级数加括号后可能收敛．例如级数是收敛的，但去掉括号后得到的级数是发散的．∑∞=1n nu∑∞=1n nu∑∞=1n nu}{n s s s s n n =∞→lim ∑∞=1n nus ∑∞=1n nus ∑∞==1n ns u}{n s ∑∞=1n nu s n s ∑∞=1n nun r n r s n s - ++=++21n n u u n s s n r ||n r ∑∞=1n nus ∑∞=1n nkuks k ∑∞=1n nu0≠k ∑∞=1n nku∑∞=1n nu∑∞=1n nvσ、s ∑∞=±1)(n n nv uσ±s ∑∞=1n nv∑∞=±1)(n n nv u+-++-+-+-)11()11()11()11( +-++-+-+-111111112．级数收敛的必要条件定理1 如果级数收敛，则它的一般项趋于零，即．注 定理1中是级数收敛的必要条件，但非充分条件． 如果级数收敛，则；若，级数可能发散，如调和级数是发散的，然而；但若，则级数一定发散． 因此，判别级数敛散性时，首先考察级数是否满足，如果这个条件不满足，则级数发散；如果这个条件满足，再用其它方法判定其敛散性． 三．例题讲解例1．判定级数的敛散性． 例2．无穷级数叫做几何级数（又称为等比级数）．其中，首项称为级数的公比，试讨论几何级数的敛散性．例3．证明：调和级数发散． 例4．甲、乙两个人进行比赛，每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，如果一个选手连赢两局，那么该选手就成为整个比赛的胜者，比赛终止；否则，比赛继续进行．分析甲获得整场比赛胜利的所有可能进程，并求甲最后成为胜利者的概率．例5．判断级数是否收敛，若收敛，求其和． 例6．判断级数的敛散性． 例7．患有某种心脏病的病人经常要服用洋地黄毒苷.洋地黄毒苷在体内的清除速率正比于体内洋地黄毒苷的药量.一天（24小时）大约有的药物被清除.假设每天给某病人的维持剂量，试估算长期如此服用该药物，该病人体内的洋地黄毒苷的总量.0lim =∞→n n u ∑∞=11n n ∑∞=1n nu0lim =∞→n n u ∑∞=1n nun u 0lim =∞→n n u ∑∞=1n nu∑∞=1n nu0lim =∞→n n u 0lim =∞→n n u ∑∞=1n n u 01lim lim ==∞→∞→n u n n n 0lim ≠∞→n n u ∑∞=+1)1(1n n n +++++=-∞=-∑1211n n n aq aq aq a aqq a ,0≠11111123n n n ∞==+++++∑ )10(<<p p )1(=+q p q ∑∞=--+113)1(2n nn n 212121213++++ %10mg 05.0授课序号02教 学 基 本 指 标教学课题 第7章 第2节 常数项级数审敛法 课的类型 新知识课 教学方法 讲授、课堂提问、讨论、启发、自学 教学手段 黑板多媒体结合教学重点 比较审敛法、比值审敛法、根值审敛法、莱布尼茨判别法、绝对收敛与条件收敛教学难点 比较审敛法、比值审敛法、根值审敛法、莱布尼茨判别法的灵活运用参考教材 同济七版《高等数学》下册 作业布置大纲要求1．掌握-级数的收敛与发散的条件.2．掌握正项级数收敛性的比较审敛法和比值审敛法，会用根值审敛法. 3．掌握交错级数的莱布尼茨判别法.4．了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念，以及绝对收敛与条件收敛的关系.教 学 基 本 内 容一．正项级数及其审敛法1.正项级数定义1 若级数的每一项都是非负的，即，则称级数为正项级数．定理1 正项级数收敛的充分必要条件是：它的部分和数列有界．注：如果正项级数的部分和数列无界，则级数一定发散，且，即．2．正项级数的审敛法定理2（比较审敛法）设有两个正项级数及，而且.p ∑∞=1n nu0≥n u ),2,1( =n ∑∞=1n nu∑∞=1n nu}{n s }{n s ∑∞=1n nu)(∞→+∞→n s n ∑∞=+∞=1n nu∑∞=1n nu∑∞=1n nvn n v u ≤),2,1( =n（1）如果级数收敛，则级数也收敛;（2）如果级数发散，则级数也发散．推论1 设和都是正项级数，且存在，使当时有成立．如果级数收敛，则级数收敛；如果级数发散，则级数发散．定理3（比较审敛法的极限形式）设和都是正项级数，且．（1）如果，则级数和同时收敛或同时发散;（2）如果，若收敛，则收敛；若发散，则发散;（3）如果，若收敛，则收敛；若发散，则发散．定理4（比值审敛法,达郎贝尔判别法）设是正项级数，,则（1）当时，级数收敛；（2）当时，级数发散；（3）当时，级数可能收敛，也可能发散．定理5（根值审敛法, 柯西判别法）设是正项级数，如果，则∑∞=1n nv∑∞=1n nu∑∞=1n nu∑∞=1n nv∑∞=1n nu∑∞=1n nvN N n ≥)0(>≤k kv u n n ∑∞=1n nv∑∞=1n nu∑∞=1n nu∑∞=1n nv∑∞=1n n u ∑∞=1n n v l v u nnn =∞→lim+∞<<l 0∑∞=1n nu∑∞=1n nv0=l ∑∞=1n nv∑∞=1n nu∑∞=1n nu∑∞=1n nv+∞=l ∑∞=1n nu∑∞=1n nv∑∞=1n nv∑∞=1n nu∑∞=1n n u ρ=+∞→nn n u u 1lim1<ρ∑∞=1n nu1>ρ∑∞=1n nu1=ρ∑∞=1n nu∑∞=1n nuρ=∞→n n n u lim（1）当时，级数收敛； （2）当时，级数发散；（3）当时，级数可能收敛，也可能发散．注 判别一个正项级数的收敛性，一般而言，可按以下程序进行考虑：（1）检查一般项，若，可判定级数发散；若，先试用比值审敛法．如果比值审敛法失效，则用比较审敛法或根值审敛法．（2）用比值（根值）审敛法判定，若比值（根值）极限为1时，改用其它的判定法． （3）检查正项级数的部分和是否有界或判别部分和是否有极限．二．交错级数及其审敛法1．定义：数项级数或，其中，称为交错级数．2．判别方法定理6（莱布尼兹定理） 如果交错级数满足条件：（1）； （2），则交错级数收敛，且其和，余项．注 （1）莱布尼兹定理中要求单调递减的条件不是多余的．例如，级数是发散的，虽然它的一般项，但是的单调递减性当每一项由变到时都被破坏了．（2）另一方面，单调递减的条件也不是必要的．例如，级数是收敛的，但其一般项趋于零时并不具有单调递减性．由上说明了莱布尼兹定理是判别交错级数的充分非必要条件．1<ρ1>ρ1=ρ0lim ≠+∞→n n u 0lim =+∞→n n u 11(1)n n n u ∞-=-∑1(1)n n n u ∞=-∑),2,1(0 =>n u n ∑∞=--11)1(n n n u ),2,1(01 =>≥+n u u n n 0lim =∞→n n u 1u s ≤1||+≤n n u r n u +-++-+-n n 511512151120511→-=n n n u n u n 51-11+n n u +--++-+-23232)2(1)12(14131211n n n u三．绝对收敛和条件收敛1．定义：如果级数各项的绝对值所构成的正项级数收敛，则称级数绝对收敛；如果级数收敛，而级数发散，则称级数条件收敛．2．判别方法 定理7 若级数绝对收敛，则级数一定收敛．注 （1）对于任意项级数，如果我们用正项级数审敛法判定级数收敛，那么此级数一定收敛，这就使得一大类级数的敛散性判定问题，转化成正项级数的敛散性判定问题．（2）如果级数发散，我们不能断定级数也发散．但是，如果我们用比值审敛法(或根值审敛法)判定级数发散，那么我们可以断定级数必定发散．这是因为从可以推知，从而，因此级数发散．由此可以得到下面的推论．推论：设是任意项级数，如果（或），则 （1）当时，级数绝对收敛；（2）当时，级数发散；（3）当时，级数可能收敛，也可能发散．四．例题讲解例1．级数称为级数，试讨论其敛散性，其中常数． ∑∞=1n nu∑∞=1n nu∑∞=1n nu∑∞=1n nu∑∞=1n nu∑∞=1n nu∑∞=1n nu∑∞=1n nu∑∞=1n nu∑∞=1n nu∑∞=1n nu∑∞=1n nu∑∞=1n nu∑∞=1n nu1>ρ0||lim ≠∞→n n u 0lim ≠∞→n n u ∑∞=1n nu∑∞=1n n u ρ=+∞→||lim 1nn n u u ρ=∞→n n n u ||lim 1<ρ∑∞=1n nu1>ρ∑∞=1n nu1=ρ∑∞=1n nu+++++=∑∞=pp p n p n n13121111-p 0>p例2．利用比较审敛法判别级数的敛散性． 例3．判别级数的敛散性．例4．判别级数的敛散性． 例5．判断下列级数的敛散性．（1）；（2）．例6．判断级数的敛散性． 例7．判断级数的敛散性． 例8．判别级数的敛散性． 例9．判别级数的敛散性． 例10．证明：当时，级数绝对收敛． 例11．判别级数的敛散性．∑∞=+1)1(1n n n ∑∞=11sin n n ∑∞=+12)11ln(n n∑∞=-112n n n∑∞=1!n nn n ∑∞∞→⋅-n n n 2)12(1∑∞=-+12)1(2n nn∑∞=--+-++-+-=-1111)1(41312111)1(n n n n n ∑∞=--+-++-+-=-1143212)1(242322212)1(n n n n n n n 1>λ∑∞=1sin n n nxλ∑∞=+-12)11(21)1(n n nnn授课序号03教 学 基 本 指 标教学课题 第7章 第3节 幂级数课的类型 新知识课教学方法 讲授、课堂提问、讨论、启发、自学 教学手段 黑板多媒体结合 教学重点 幂级数的收敛半径以及幂级数和函数的求法 教学难点 幂级数和函数的求法 参考教材 同济七版《高等数学》下册作业布置大纲要求 1．了解函数项级数的收敛域及和函数的概念.2．理解幂级数收敛半径的概念，并掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法. 3．了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质（和函数的连续性、逐项微分和逐项积分），会求一些幂级数在收敛区间内的和函数，并会由此求出某些常数项级数的和.教 学 基 本 内 容一．函数项级数1.定义: 给定一个定义在某区间上的函数列,则表达式叫做函数项无穷级数，简称函数项级数，记作, 其中第项叫做函数项级数的通项或一般项.2．收敛域与发散域如果在定义域上取定，使得常数项级数收敛，那么称点为函数项级数的收敛点；否则称为函数项级数的发散点.函数项级数的所有收敛点组成的集合，称为函数项级数的收敛域；所有发散点组成的集合称为发散域.3．和函数对于收敛域内的任意一个实数，函数项级数就变成了一个收敛的常数项级数，因而有一确定的和，并与对应.这样在函数项级数收敛域上，就确定了函数项级数的和是一个关于的函数，通常称此函数∑∞=1)(n nx uI ),(,),(),(21x u x u x u n ++++)()()(21x u x u x u n n )(x u n I 0x x =∑∞=10)(n nx u0x ∑∞=1)(n n x u ∑∞=1)(n nx u∑∞=1)(n n x u x s x x )(x s为函数项级数的和函数.和函数的定义域就是该级数的收敛域.即.4．余项：函数项级数的前项的部分和记为，则在收敛域上有，记，称为函数项级数的余项（当然，只有在收敛域上，才有意义），并且在收敛域上.二．幂级数及其收敛性1．幂级数的概念定义2 函数项级数，称为的幂级数，记作.其中为常数，称为幂级数的系数.特别地，当时，上式变为，称为的幂级数，记作. 2．幂级数的收敛性（1）幂级数，收敛域为.（2）幂级数，收敛域为.定理1（阿贝尔定理）如果幂级数在处收敛，则对所有满足不等式的，幂级数绝对收敛；如果幂级数在处发散，则对所有满足不等式的，幂级数发散.推论1 如果幂级数不是仅在一点处收敛，也不是在整个数轴上都收敛，那么一定存在一)(x s ∑∞==1)()(n n x u x s ++++=)()()(21x u x u x u n n )(x s n )()(lim x s x s n n =∞→)()()(x s x s x r n n -=)(x r n ∑∞=1)(n n x u x )(x r n 0)(lim =∞→x r n n +-++-+-+nn x x a x x a x x a a )()()(02020100x x -∑∞=-00)(n n nx x a,,,,,210n a a a a 00=x +++++nn x a x a x a a 2210x ∑∞=0n nn x a ∑∞=1n nn x )1,1[-∑∞=-11n n x(1,1)-∑∞=0n nn xa )0(00≠=x x x ||||0x x <x ∑∞=0n nn xa ∑∞=0n nnxa 0x x =||||0x x >x ∑∞=0n nn xa ∑∞=0n nn x a 00=x个完全确定的正数，当时，幂级数绝对收敛；当时，幂级数发散；当和时，幂级数可能收敛，也可能发散.注：（1）正数叫做幂级数的收敛半径.（2）开区间叫做幂级数的收敛区间.（3）若幂级数只在收敛， 则规定收敛半径.（4）若幂级数对一切都收敛, 则规定收敛半径， 这时收敛域为.定理2 设、是幂级数的相邻两项系数，如果，则幂级数的收敛半径为三．幂级数的运算与和函数1．幂级数的代数运算 设幂级数和的收敛区间分别为与，这里，.（1）加法：两个收敛的幂级数相加（减）仍为收敛的幂级数，等于它们对应项的系数相加（减）作为系数的幂级数，其收敛半径为这两个收敛幂级数收敛半径的最小值.即，.（2）乘法：两个收敛的幂级数之积仍收敛，其收敛半径为这两个收敛幂级数收敛半径的最小值.即，，（其中）.R R x <||R x >||R x =R x -=R ∑∞=0n nn xa ),(R R -∑∞=0n nn xa ∑∞=0n nn xa 0=x 0=R ∑∞=0n nn xa x +∞=R ),(+∞-∞n a 1+n a ∑∞=0n n n x a ρ=+∞→nn n a a 1lim⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∞+≠+∞==.0,,0,1,,0ρρρρR ∑∞=0n nn xa ∑∞=0n nn xb ),(11R R -),(22R R -01>R 02>R )(0n n n n n n nn n nnx b x a x b x a±=±∑∑∑∞=∞=∞=),min(21R R R =)()(0∑∑∞=∞=⋅n nn n nn x b x a ∑∞==0n n n x c ),min(21R R R =01100nn n n n k n kk c a b a b a b a b--==+++=∑（3）除法：（收敛域内），其中系数可通过比较等式两边的系数来决定.2．幂级数的分析运算及和函数的性质 性质1 幂级数的和函数在其收敛域上一定连续.性质2 幂级数的和函数在其收敛区间内可积，并有逐项积分公式.逐项积分后所得的幂级数和原幂级数有相同的收敛半径.性质3 幂级数的和函数在其收敛区间内可导，并有逐项求导公式 .逐项求导后所得的幂级数和原幂级数有相同的收敛半径.注 幂级数与其逐项求导、逐项求积分后得到的幂级数和尽管具有相同的收敛半径，但在收敛区间的端点的收敛性未必相同，因此，它们的收敛域未必相同.例如，的收敛域为，逐项积分后幂级数的收敛域为.四．例题讲解例1．求级数的收敛域.例2．求幂级数的收敛区间和收敛域. 例3．求幂级数的收敛区间.∑∑∑∞=∞===00n nn n nnn nnx c xb x a00≠∑∞=n n n x b n c )()(0∑∑∞=∞=⋅n nn n nn x c x b ∑∞==0n n n x a ∑∞=0n nn xa )(x s ∑∞=0n n nx a)(x s ),(R R -)|(|1d ]d [d )(01R x x n a t t a t t a t t s n n n n xnn x n nn x<+===∑∑⎰⎰∑⎰∞=+∞=∞=∑∞=0n nnx a)(x s ),(R R -)|(|)()()(010R x x na x a x ax s n n n n nn n nn<='='='∑∑∑∞=-∞=∞=∑∞=0n nn x a ∑∞=-01n n n xna ∑∞=++011n n n x n a ∑∞=0n nx )1,1(-∑∞=++011n n n x )1,1[-nn n x n ∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛+-111)1( +⋅+++⋅+⋅+nnn x x x 5)1(5352122∑∞=1!n nn x例4．求幂级数的收敛区间.例5．求幂级数的收敛半径. 例6．求幂级数的收敛域. 例7．求幂级数的和函数.例8．求幂级数的和函数.例9．求幂级数的和函数. 例10．求幂级数的和函数.例11．假设银行的年存款利率为，且以年复利计息，某人一次性将一笔资金存入银行，若要保证自存入之后起，（此人或其他人）第年年末都能从银行提取万元，则其存入的资金至少是多少？∑=1n n nx n∑∞=022)!()!2(n nx n n ∑∞=-12)1(n nnn x +++++nx x x 21∑∞=1n nnx ∑∞=-11n n nx ∑∞=++11414n n n x %5),3,2,1( =n n n授课序号04教 学 基 本 指 标教学课题 第7章 第4节 函数的幂级数展开式 课的类型 新知识课 教学方法 讲授、课堂提问、讨论、启发、自学 教学手段 黑板多媒体结合 教学重点 、、、、的麦克劳林展开式，会将简单函数间接展开成幂级数教学难点 函数的幂级数展开式的求法 参考教材 同济七版《高等数学》下册作业布置大纲要求 1．了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件.2．掌握、、、、的麦克劳林展开式，会用它们将一些简单函数间接展开成幂级数.教 学 基 本 内 容一．泰勒级数1．若函数在的某邻域内具有阶导数，由泰勒公式可知，对任一，函数可以表示为泰勒多项式与拉格朗日型余项之和，即（1） 其中，是介于与之间的某个值.2．定义：如果函数在点的某邻域内有定义，且具有任意阶导数，则幂级数e x x sin x cos ()x +1ln ()αx +1e x x sin x cos ()x +1ln ()αx +1)(x f 0x )(0x U 1+n )(0x U x ∈)(x f +-''+-'+=200000)(!2)())(()()(x x x f x x x f x f x f ，)()(!)(00)(x r x x n x f n n n +-+10)1()()!1()()(++-+=n n n x x n f x r ξξ0x x )(x f 0x )(0x U +-++-''+-'+nn x x n x f x x x f x x x f x f )(!)()(!2)())(()(00)(200000,)(!)(000)(∑∞=-=n n n x x n x f称为函数在点处的泰勒级数，展开式叫做函数在点处的泰勒展开式.注 如果函数在内能展开成幂级数，则这个幂级数展开式是唯一的.3．定理（泰勒收敛定理）如果函数在点的某邻域内有任意阶导数，则函数的泰勒级数在内收敛于的充分必要条件是泰勒公式(1)中余项的极限.特别地，当时，称为函数的麦克劳林级数. 即函数在处的泰勒级数称为麦克劳林级数.同理，若函数能在的某邻域内展开成的幂级数，即当拉格朗日型余项趋于零时，称， 为函数的麦克劳林展开式. 二．函数的幂级数展开1．直接展开法把函数展开成的幂级数，可以按照以下步骤进行： 第一步 求出函数的各阶导数.如果在处某阶导数不存在，则停止运算，这时函数不能展开成的幂级数；第二步 求出函数及各阶导数在处的值；第三步 写出的麦克劳林级数，并求出收敛半径； 第四步 在内考察，当时，余项(介于与之间）是否趋于零.若)(x f 0x ()0000()()(),()!n n n f x f x x x x U x n ∞==-∈∑)(x f 0x )(x f )(0x U )(x f 0x )(0x U )(x f ∑∞=-000)()(!)(n n n x x n x f )(0x U )(x f )(,0)(lim 0x U x x r n n ∈=∞→00=x ∑∞==+++''+'+0)()(2!)0(!)0(!2)0()0()0(n nn n n x n f x n f x f x f f )(x f )(x f 00=x )(x f 00=x ),(r r -x ),(,!)0()(0)(r r x x n f x f n nn -∈=∑∞=)(x f )(x f x )(x f ),(,),(),()(x f x f x f n '''0=x )(x f x )(x f 0=x ),0(,),0(),0(),0()(n ff f f ''')(x f +++''+'+nn x n f x f x f f !)0(!2)0()0()0()(2R ),(R R -∞→n 1)1()!1()()(+++=n n n x n f x r ξξ0x是，则函数的麦克劳林级数收敛于，麦克劳林级数即为函数的幂级数展开式，即.2．间接展开法（1） ，， （2），， （3） （4），.；（5）； （6） ，；（7），； （8）. 三．函数幂级数展开式的应用1．求根式的近似值 2．求对数的近似值 3．求三角函数的近似值 4．求积分的近似值四．例题讲解例1．将函数展开成的幂级数. 例2．将函数展开成的幂级数.)(x f )(x f )(x f )(!)0(!2)0()0()0()()(2R x R x n f x f x f f x f nn <<-+++''+'+= 01e !xnn x n ∞==∑),(+∞-∞∈x ∑∞=++-=012)!12()1(sin n n n xn x ),(+∞-∞∈x 20(1)cos ,(,)(2)!n nn x x x n ∞=-=∈-∞+∞∑∑∞=-=+0)1(11n n n x x )1,1(-∈x 1101(1)(1)ln(1),(1,1]1n n n nn n x x x x n n -∞∞+==--+==∈-+∑∑ln 0(ln )e!n x x an n a a x n ∞===∑),(+∞-∞∈x ∑∞=-=+022)1(11n n n x x )1,1(-∈x 211(1)arctan ,[1,1]21n n n x x x n ∞+=-=∈-+∑xe xf =)(x x x f sin )(=x例3．将函数展开成的幂级数. 例4．将函数展开成的幂级数.例5．计算的近似值，要求误差不超过. 例6．计算的近似值，要求误差不超过. 例7．计算的近似值，要求误差不超过. 例8．计算的近似值，要求误差不超过. 例9．距离地球表面高处质量为的物体受到的重力为，式中为地球半径，为重力加速度.(1) 将表示为的幂级数； (2) 观察当远远小于地球半径时，我们可以使用级数的第一项近似，即我们经常使用的表达式.使用交错级数估计当近似式的精确度在0.01以内时，的取值范围（选用）.x xx f -+=11ln)(x xx f -=41)(2+x 5240410-2ln 410-10sin 610-⎰10d sin x xx 410-h m 22)(h R mgR F +=R g F Rhh R F mg F ≈mg F ≈h km 6400=R授课序号05教 学 基 本 指 标教学课题 第7章 第5节 傅里叶级数 课的类型 新知识课 教学方法 讲授、课堂提问、讨论、启发、自学 教学手段 黑板多媒体结合 教学重点 函数的傅里叶级数展开以及定义在上的函数展开为正弦级数与余弦级数教学难点 函数的傅里叶级数展开以及上的函数展开为正弦级数与余弦级数参考教材 同济七版《高等数学》下册 作业布置大纲要求了解傅里叶级数的概念和函数展开为傅里叶级数的狄利克雷定理，会将定义在上的函数展开为傅里叶级数，会将定义在上的函数展开为正弦级数与余弦级数，会写出傅里叶级数和的表达式.教 学 基 本 内 容一．三角级数与三角函数系的正交性1．三角级数：级数，称为三角级数，其中,,都是常数.2．三角函数系的正交性函数系 (1)称为三角函数系.性质1 在三角函数系(1)中，任意两个不同函数的乘积在区间上的定积分为零，即， ，，，.[]l ,0[]l ,0[]l l ,-[]l ,0∑∞=++10)sin cos (2n n n nx b nx a a 0a n a n b ),2,1( =n ,sin ,cos ,,2sin ,2cos ,sin ,cos ,1nx nx x x x x [π,π]-0d cos =⎰-ππx nx ),2,1( =n 0d sin =⎰-ππx nx ),2,1( =n 0d cos sin =⋅⎰-ππx nx kx ),2,1,( =n k 0d sin sin =⋅⎰-ππx nx kx ),,2,1,(n k n k ≠= 0d cos cos =⋅⎰-ππx nx kx ),,2,1,(n k n k ≠=这个性质叫做三角函数系在区间上的正交性.性质2 在三角函数系(1)中，任意一个函数（常数1除外）的平方在区间上的积分都等于，即, .二．周期为的函数展开成傅里叶级数1．傅里叶系数与傅里叶级数定理1 设三角级数的和函数为，即, (1)且等式右端级数可以逐项积分，则有(2)(1)式称为傅里叶公式.由(2)式所得的系数，及称为函数的傅里叶系数，将所得系数代入三角级数后所得的级数称为函数的傅里叶级数.2．傅里叶级数的收敛性定理2（收敛定理，狄利克雷充分条件） 设是周期为的周期函数.如果满足条件： (1)在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点， (2)在一个周期内至多只有有限个极值点，那么函数的傅里叶级数收敛，并且当是的连续点时，级数收敛于；当是的间断点时，级数收敛于.三．函数展开成正弦级数或余弦级数若是以为周期的奇函数，那么是奇函数，是偶函数，则],[ππ-],[ππ-π=⎰-ππx nx d sin 2πππ=⎰-x nx d cos 2),2,1( =n π2∑∞=++10)sin cos (2n n n nx b nx a a )(x f ∑∞=++=1)sin cos (2)(n n n nx b nx a a x f ⎪⎩⎪⎨⎧====⎰⎰--ππππππ.,2,1d sin )(1,2,1,0d cos )(1 n x nx x f b n x nx x f a n n ，，，0a n a n b ),2,1( =n )(x f ∑∞=++10)sin cos (2n n n nx b nx a a )(x f )(x f π2)(x f )(x f x )(x f )(x f x )(x f 2)0()0(++-x f x f )(x f π2nx x f cos )(nx x f sin )((4) 因此，奇函数展为傅里叶级数时，只含有正弦项，此时的傅里叶级数称为正弦级数. 即正弦级数为. (5)若是以为周期的偶函数，那么是奇函数，偶函数，则(6) 因此，偶函数展为傅里叶级数时，只含有余弦项，此时的傅里叶级数称为余弦级数. 即余弦级数为. (7)四．周期为的函数展开成傅里叶级数定理3 设周期为的周期函数满足收敛定理的条件，则它的傅里叶级数展开式为， (8)其中(9).这就是周期为的周期函数在连续点处的傅里叶级数及其傅里叶级数系数的计算公式. 当是以为周期的奇函数时，它的傅里叶级数是正弦级数， (10) 其中， . (11) ⎪⎭⎪⎬⎫====⎰ππ).,2,1(d sin )(2),,2,1,0(0 n xnx x f b n a n n )(x f ∑∞=1sin n nnx b)(x f π2nx x f sin )(nx x f cos )(⎪⎭⎪⎬⎫====⎰).,2,1(0),,2,1,0(d cos )(2n b n x nx x f a n n ππ)(x f ∑∞=+10cos 2n n nx a a l 2l 2)(x f ∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛++=10sin cos 2)(n n n l x n b l x n a a x f ππ)(C x ∈⎪⎩⎪⎨⎧====⎰⎰--l l n l ln n x l x n x f l b n x lx n x f l a ),,3,2,1(,d sin )(1),2,1,0(,d cos )(1 ππ，⎭⎬⎫⎩⎨⎧++-==2)0()0()(x f x f x f x C l 2)(x f )(x f l 2∑∞==1sin)(n n lxn bx f π)(C x ∈0=n a ),2,1,0( =n ⎰=l n x lxn x f l b 0d sin )(2π),3,2,1( =n21当是以为周期的偶函数时，它的傅里叶级数是余弦级数， (12) 其中 ， . (13) 另外，若是函数的间断点，那么的傅里叶级数收敛于. 四．例题讲解例1．设是周期为的周期函数，它在上的表达式为将展为傅里叶级数，并作出级数的和函数的图形.例2．(脉冲矩形波) 矩形波用来表示电闸重复地断开和接通时的电流模型.设脉冲矩形波的信号函数是以为周期的周期函数(如图7.2所示)，它的表达式为求此函数的傅里叶级数展开式.图7.2例3．设是周期为的周期函数，试将函数展开为傅里叶级数，并作出级数的和函数的图形.例4．将函数 分别展开为正弦级数和余弦级数.例5．设是以4为周期的函数，在上的表达式为其中常数. 将函数展开为傅里叶级数，并作出级数的和函数的图形.例6．将函数展开为以4为周期的余弦级数. )(x f l 2∑∞=+=10cos 2)(n n lx n a a x f π)(C x ∈0=n b ),2,1( =n ⎰=l n x lx n x f l a 0d cos )(2π),2,1,0( =n x )(x f )(x f 2)0()0(-++x f x f )(x f π2),[ππ-⎩⎨⎧<≤<≤-=.000)(ππx x x x f ，，，)(x f )(x f π2⎩⎨⎧<≤<≤--=.0101)(ππx x x f ，，，)(x f π2⎩⎨⎧<≤<≤--=,0,,0,)(ππx x x x x f x x f +=1)()0(π≤≤x )(x f )2,2[-020,()02,x f x h x -≤<⎧=⎨≤<⎩，，0≠h )(x f ]2,0[1)(∈-=x x x f ，。
