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南京航空航天大学高等数学竞赛培训
无穷级数
2016年5月
1级数的基本性质及收敛条件
数项级数的收敛与发散
收敛级数的性质
收敛级数的性质
加括号级数
级数收敛的必要条件
常用级数的收敛性
D
D
2 正项级数审敛法
正项级数收敛的充要条件
比较审敛法
比较审敛法的极限形式
与p-级数结合
回顾：无穷小等价替换与常用极限
比值审敛法和根值审敛法
3 交错级数审敛法
交错级数的定义
莱布尼茨审敛法
使用莱布尼茨审敛法时：
4 绝对收敛与条件收敛
绝对收敛的性质（条件收敛不具备）
讨论：收敛级数逐项相乘后的收敛性
5 幂级数的收敛域
收敛定理
收敛半径、收敛区间、收敛域
收敛半径的计算公式
（不要求掌握）
幂级数运算后的收敛半径
6 幂级数的和函数
和函数的性质
和函数的性质。
高等数学无穷级数知识点总结
无穷级数是高等数学中的一个重要内容，它涉及到很多重要的概念和定理。
以下是一些高等数学无穷级数的知识点总结:
1. 无穷级数的基本概念：无穷级数是指一个数列的项按一定规律相加而成的数列。
其中，无穷级数的定义域可以是实数集或复数集。
2. 无穷级数的分类：无穷级数可以分为数项级数和函数项级数两大类。
数项级数是指以常数项级数的形式表示的无穷级数，而函数项级数则是以函数项的形式表示的无穷级数。
3. 无穷级数的敛散性：无穷级数的敛散性是指级数是否收敛或发散。
如果一个无穷级数收敛，则称其为收敛级数，反之则称为发散级数。
4. 无穷级数的判别法：无穷级数的判别法是指判断一个无穷级数是否收敛的方法。
常用的判别法包括比较判别法、比值判别法、根值判别法和莱布尼兹判别法等。
5. 无穷级数的和应用：无穷级数在数学中有着广泛的应用，例如求和、积分、微积分等。
在实际应用中，无穷级数往往被用来求解各种问题。
6. 无穷级数的和函数：无穷级数的和函数是指级数的每一项相加得到的总和。
无穷级数的和函数具有很多重要的性质，例如连续性、可导性等。
7. 无穷级数的广义性质：无穷级数的广义性质是指关于无穷级数的一些扩展概念和定理。
例如，无穷级数的前 n 项和的广义性质、
无穷级数的广义收敛性等。
以上是高等数学无穷级数的一些重要知识点总结。
希望能对读者有所帮助。
无穷级数的概念与性质无穷级数（Infinite series）是数学中一个非常重要的概念，它是由无限多个数相加或相减得到的数列。
在数学中，我们经常会遇到各种各样的无穷级数，它们具有丰富的性质和应用。
本文将介绍无穷级数的基本概念，并探讨其性质及应用。
一、无穷级数的概念无穷级数指的是无限多个数按照一定的规律连加（或连减）得到的数列。
一般可以表示为下面的形式：S = a₁ + a₂ + a₃ + ...其中，a₁、a₂、a₃是无穷级数的通项，S是无穷级数的和。
无穷级数的和并不一定存在，它可能是一个有限数值，也可能是无穷大或不存在。
二、常见的无穷级数1.等差数列等差数列是最简单的无穷级数之一。
它的通项公式为：aₙ = a₁ + (n-1)d其中，a₁是首项，d是公差，n表示项数。
等差数列的无穷级数可以通过求和公式来计算：S = a₁ + (a₁+d) + (a₁+2d) + ...通过对等差数列求和，我们可以得到如下公式：S = (a₁ + aₙ) * n / 22.等比数列等比数列也是常见的无穷级数之一，它的通项公式为：aₙ = a₁ * q^(n-1)其中，a₁为首项，q为公比，n表示项数。
等比数列的无穷级数可以通过求和公式来计算：S = a₁ / (1-q)其中，当0<q<1时，S存在且为有限值，当q≥1时，S不存在。
3.调和级数调和级数是指无穷级数的通项是倒数的情况，它的通项公式为：aₙ = 1/n调和级数可以表示为：S = 1/1 + 1/2 + 1/3 + ...调和级数是一个特殊的无穷级数，它的和可以无限增大。
例如，前n项和可以表示为：Sₙ = 1/1 + 1/2 + ... + 1/n当n趋向于无穷大时，Sₙ趋向于无穷大。
三、无穷级数的性质1.收敛与发散无穷级数的和可能是有限的，也可能是无穷大，也有可能不存在。
如果一个无穷级数的和存在并且有限，我们称该级数是收敛的；反之，如果一个无穷级数的和不存在或者无穷大，我们称该级数是发散的。
无穷级数知识点
嘿，朋友们！今天咱来聊聊无穷级数这个有意思的知识点。
啥是无穷级数呢？简单来说，就是把一堆数按照一定规则加起来，不过这堆数有无穷多个呢！就好像你有无限多的糖果，然后把它们一个一个地加起来。
无穷级数有很多种类型哦。
比如说正项级数，这些数都是正数呢。
那怎么判断一个正项级数收不收敛呢？有好多方法呀！就像我们判断一件事情能不能成功一样，有各种标准。
还有交错级数，这些数一会儿正一会儿负，就像坐过山车一样起起伏伏。
对于交错级数，也有专门的判别法来看看它是不是收敛的。
那无穷级数有啥用呢？哎呀，用处可大啦！比如在数学的很多领域都能看到它的身影。
它就像是一把万能钥匙，可以打开很多知识的大门。
想象一下，如果没有无穷级数，很多数学问题就没办法解决啦，那该多可惜呀！它就像一个神奇的工具，帮助我们更好地理解和探索数学的奥秘。
在物理学中，无穷级数也常常出现呢！比如在研究一些波动现象的时候，无穷级数就能发挥大作用啦。
总之，无穷级数是数学中非常重要的一部分，它充满了魅力和神奇。
它让我们看到了数学的无限可能，让我们对知识的追求永无止境。
所以呀，大家可别小看了无穷级数哦，它真的超级厉害的！。
无穷级数总结无穷级数是数学中的重要概念，常出现在分析学、代数学、数论等领域。
它的形式为一列数相加的无穷和。
无穷级数的研究对于了解数学的发展历程和数学的基本思想方法具有重要意义。
本文将对无穷级数的定义、性质、收敛与发散的判定方法以及一些典型的无穷级数进行介绍和总结。
无穷级数的定义意味着\[S_n=a_1+a_2+...+a_n\]\[S=a_1+a_2+a_3+...\]其中，$S_n$表示级数的前n项和，S表示整个级数的和，$a_n$表示级数的第n项。
我们称一个无穷级数收敛或发散取决于它的部分和序列。
具体来说，如果存在一个有限的实数 S，使得对于任意给定的正数 $\varepsilon $，当 n 大于一些自然数 N 时，总有\[ ，S-S_n，< \varepsilon \]那么我们说该级数是收敛的，并把这个实数S叫做级数的和，记做\[ S=\sum_{n=1}^{+ \infty } a_n\]如果上述性质不成立，即对于任意给定的正数S，当n大于一些自然数N时，总存在\[ ，S-S_n， \geq \varepsilon \]那么我们说该级数是发散的。
在判断无穷级数是否收敛时，可以运用收敛的充分条件。
其中，比较判别法、比值判别法、根值判别法是最常用的方法之一1.比较判别法：如果存在一个收敛的级数 $\sum b_n$，使得对于所有的正整数 n，有 $，a_n， \leq b_n$，那么级数 $\sum a_n$ 收敛。
反之，如果级数$\sum a_n$ 发散，那么对于所有的正整数 n，必有 $，a_n， \geqb_n$ 对一些发散的正项级数 $\sum b_n$ 成立。
2.比值判别法：对于正项级数 $\sum a_n$，如果存在一个常数 L，使得当 n 大于一些正整数 N 时，总有 $\frac{a_{n+1}}{a_n} \leq L < 1$，那么级数$\sum a_n$ 收敛。
无穷级数知识点总结一、无穷级数的定义无穷级数是指由无限个实数或复数项组成的数列之和。
一般地，我们用数列 {a_n} 来表示无穷级数的各项，那么无穷级数就可以表示为：S = a_1 + a_2 + a_3 + ...其中 S 代表无穷级数的和，而 a_1, a_2, a_3, ... 分别代表无穷级数的各项。
无穷级数通常可以用极限的概念来进行定义，即无穷级数的和就是数列的极限。
如果数列 {S_n} 的部分和数列收敛到某个数 L，那么无穷级数 S 的和便为 L，即：S = lim (n->∞) S_n = L这里的 S_n 代表无穷级数的部分和数列，它可以写成：S_n = a_1 + a_2 + ... + a_n无穷级数的定义是无穷数列极限的推广，它引入了无穷个数的概念，因此无穷级数的性质和收敛性等问题相对于有限级数来说更加复杂和多样。
二、无穷级数的性质无穷级数在数学中有着许多重要的性质，这些性质对于研究无穷级数的收敛性、计算方法以及应用等方面都有着重要的作用。
下面我们将详细介绍无穷级数的一些重要性质。
1. 无穷级数的有限项相加结果相同如果无穷级数的有限项相加的结果相同，那么这个无穷级数的和也相同。
即如果无穷级数S = a_1 + a_2 + a_3 + ... 的前 n 项之和等于 S_n，而无穷级数 T = b_1 + b_2 + b_3 + ... 的前 n 项之和等于 T_n，并且 S_n = T_n，那么这两个无穷级数的和也相等，即 S = T。
2. 无穷级数的倒序相加结果相同如果无穷级数的倒序相加的结果与原来的无穷级数相同，那么这个无穷级数的和同样相同，即如果无穷级数 S = a_1 + a_2 + a_3 + ... 的倒序相加的结果也等于 S，那么这个无穷级数的和就等于 S。
3. 无穷级数的部分和数列的有界性如果无穷级数的部分和数列 {S_n} 是有界的，即存在一个正数 M，使得对于所有的正整数n，都有 |S_n| <= M，那么这个无穷级数是收敛的。
无穷级数知识要点：（一）正项级数收敛的方法：1. 柯西准则：数项级数1231 n n n u u u u u ∞==+++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅∑收敛的充要条件是对任意的0ε>，总存在()N N ε=，使得当n N >时，对任意的0P >都有不等式1n pn p n ii n S S uε++=+-=<∑成立。
2. 比较判别法： 设∑∞=1n n u 和∑∞=1n n v 都是正项级数, 且存在0n 使得0n n >时有u n ≤ cv n .则若级数∑∞=1n n v 收敛, 则级数∑∞=1n n u 收敛; 反之, 若级数∑∞=1n n u 发散, 则级数∑∞=1n n v 发散.3. 比较判别法的极限形式：设∑∞=1n n u 和∑∞=1n n v 都是正项级数, 且nnn v u l ∞→=lim(1)如果 0<l <+∞, 则级数∑∞=1n n v 与级数∑∞=1n n u 有相同敛散性;(2)如果0=l 且∑∞=1n n v 收敛，则∑∞=1n n u 收敛;（3）如果+∞=l 且级数∑∞=1n n v 发散, 则级数∑∞=1n n u 发散.4. 比值判别法定理—达朗贝尔判别法：设正项级数∑∞=1n n u () 3,2,1,0=>n u n 且nn n u u l 1lim+∞→=, 则当l <1时级数收敛; 当l >1(或+∞=+∞→nn n u u 1lim)时级数发散; 当l =1时级数可能收敛也可能发散.5. 根值判别法—柯西判别法设∑∞=1n n u 是正项级数满足n n n u l ∞→=lim , 则当l <1时级数收敛; 当l >1(或+∞=∞→n n n u lim )时级数发散; 当l =1时级数可能收敛也可能发散.6. 拉阿伯判别法：设∑∞=1n n u 是正项级数满足1lim (1)nn n u n l u →∞+-=，则当1l >时级数收敛;当1l <时级数发散。
第四章 无穷级数4.1.基本概念与内容提要级数11n n n n a ca ∞∞==∑∑与收敛性相同。
若级数11n n n n a b ∞∞==∑∑与都收敛，则级数1()n n n a b ∞=±∑也收敛，且111()n n n n n n n a b a b ∞∞∞===±=±∑∑∑。
若级数11n n n n a b ∞∞==∑∑与都发散，则级数1()n n n a b ∞=±∑不一定发散。
若级数11n n n n a b ∞∞==∑∑收敛，发散，则级数1()n n n a b ∞=±∑必发散。
由级数1()n n n a b ∞=+∑收敛不能得到级数11n n n n a b ∞∞==∑∑与收敛。
11111,1;11n n n n qq q q q∞∞--==<=≥-∑∑等比级数当时收敛且当时发散。
P 级数11p n n ∞=∑，当p>1时收敛，当01p <≤发散。
其中调和级数11n n ∞=∑发散。
级数11n n k ∞=+∑发散，其中k 为正常数。
级数11()n n n a a ∞+=-∑收敛lim n n a →∞⇔存在。
如果级数1n n a ∞=∑收敛，则lim 0n n a →∞=。
如果lim 0n n a →∞≠，则级数1n n a ∞=∑必发散。
改变一个级数的任意有限项，不改变其敛散性，但在收敛时原级数的和改变。
收敛级数加括号后仍收敛于原级数和。
若加括号后所得级数发散，则原级数也发散。
正项级数审敛法：()n 1n 11111.S 2.lim 0,n n nn n n n n n n n na Ma l lb a a b b ∞=∞∞∞∞→∞====⇔≤=>⇒⇒∑∑∑∑∑正项级数的收敛准则：收敛正项级数比较判别法：大收小必收，小散大必散。
若则收敛收敛；发散发散。
n n 1111111lim 0,lim ,13.0111n nn n n n n n n n n n n n p n n n n a a b a b a b b a p a n ρρρρρ∞∞∞∞→∞→∞====∞∞∞====⇒=+∞⇒=≤<>=∑∑∑∑∑∑∑若则收敛收敛。
若则发散发散。
解题时常将级数与级数比较，以判定的敛散性。
根值判别法：设：时，级数收敛；当时，级数发散；当时，不确定。
注意：=0时级数也收敛。
()[)14.lim 01115.1n n naa f x ρρρρρ+→∞=≤<>=+∞比值判别法：设：，则当时，级数收敛；当时，级数发散；当时，不确定。
注意：=0时级数也收敛。
积分判别法：是在，上单调递减的正项连续函数，()()11n f n f x dx ∞+∞=∑⎰则正项级数与广义积分具有相同的收敛性。
广义积分()1f x dx +∞⎰的敛散性的判别方法与正项级数的相同。
126.;lim n n n n s u u u s →∞=+++定义法：存在，则收敛；否则发散。
1234123(,0)n u u u u u u u u -+-+-+-+>交错级数或的审敛法——莱布尼兹定理：111,lim 0n n n n n n n u u s u r r u u ++→∞≥⎧⎪≤≤⎨=⎪⎩如果交错级数满足，那么级数收敛且其和其余项的绝对值。
交错级数()11nn n a ∞=-∑判断收敛一般用下述方法：（1）{}111lim 0,n n n n n n n n a a a s a r r a a +→∞+≥=≤≤莱布尼兹定理：如果交错级数满足，那么级数收敛且其和其余项的绝对值。
如果不满足条件，则一般可改用：（2）取通项的绝对值所构成的级数，若收敛则原级数绝对收敛；若此绝对值所构成的级数用比值法或根值法判定发散，则通项不趋于0，原级数发散。
（3）拆项或并项的方法，将通项拆成两项，若以此两项分别作通项的级数均收敛，则原级数收敛；若一级数收敛另一发散，则原级数发散。
若并项后的级数发散，则原级数也发散。
（4）如果能立即看出lim 0n n a →∞≠，则级数1n n a ∞=∑必发散。
绝对收敛与条件收敛：1111111n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a ∞∞∞∞====∞∞∞===∑∑∑∑∑∑∑若收敛，则收敛且称为绝对收敛；若发散但收敛则称为条件收敛。
由发散不能断言也发散。
但如果的发散是由比值法（或根值法）n 12lim 0lim 01(1)1n n n n n na a a n n n∞→∞→∞=≠≠-∑∑∑∑推断出的，则，从而，于是也发散。
调和级数发散，而收敛；级数收敛。
绝对收敛级数的和仍绝对收敛，绝对收敛级数与条件收敛级数的和是条件收敛。
任意项级数的判别法：①绝对值判别：若级数11nnn n a a ∞∞==∑∑收敛，则收敛。
即绝对收敛的级数一定收敛。
②拆项或并项的方法，将通项拆成两几项之和，利用交错级数和正项级数的判别方法。
其一般判别步骤如下图所示：幂级数：23201211111(3)n n n x xx x x x x a a x a x a x x R R x R R x R <-++++++≥+++++<>=时，收敛于 时，发散对于级数 ，如果它不是仅在原点收敛，也不是在全时收敛数轴上都收敛，则必存在，使时发散，其中称为收敛半径。
时不定1110lim(3)00n n n n nR a a a R a R ρρρρρ++→∞≠====+∞=+∞=时，求收敛半径的方法：设，其中，是的系数，则时，时，幂级数在收敛域上的性质：若幂级数1nn n a x∞=∑的收敛半径为1R ，1nn n b x∞=∑的收敛半径为2R ，则111()nnn nn n n n n n ab x a x b x ∞∞∞===+=+∑∑∑，收敛半径{}12min R ,R R =。
例：幂级数212n n n x ∞=⎫+⎪⎭∑的收敛域为_______________解：由于1211,lim 22n n n n +→∞==，2211,2n n n n n x ∞∞==∴∑的收敛半径为的收敛 半径为2，∴212n n n x ∞=⎫+⎪⎭∑的收敛半径为1，当1x=±时，级数212n n n x ∞=⎫+⎪⎭∑绝对收敛，所以，收敛域为[]1,1-。
当两个幂级数的收敛域不同时，它们的和的收敛域是两个收敛域的交集，这种方法可以简化求幂级数的收敛域。
幂级数在收敛域()R,R -上绝对收敛，且和函数S(x)为连续函数。
若1n n n a x ∞=∑在-R 或R 处收敛，则S(x)在-R 或R 处分别右连续、左连续。
和函数S(x)为可导函数且()11n n n S x a nx ∞-==∑、，逐项求导后收敛半径不变。
和函数S(x)为可积函数且()01xxn n n S t dt a t dt ∞==∑⎰⎰，逐项积分后收敛半径不变。
逐项求导、逐项积分后，收敛半径不变但收敛域可能改变，在端点处的敛散性可能改变。
若幂级数1nn n a x∞=∑在0x x =处发散，则当01n n n x x a x ∞=>∑时级数发散。
如果在某点00x x x x ==处幂级数条件收敛，则必位于该幂级数的收敛域的端点。
例：设幂级数()1x-1nn n a ∞=∑在x=3处条件收敛，则幂级数111n n n a x n ∞+=+∑在x=3处（ C ） A.条件收敛 B.绝对收敛 C.发散 D.收敛性与{}n a 相关解：原幂级数在x=3处条件收敛说明收敛半径为3-1=2。
幂级数经逐项积分、平移后，收敛半径不变，所以后一幂级数的收敛域为（-2，2]。
X=3在收敛域外，所以在该点处发散。
幂级数1n n n a x ∞=∑收敛半径的求法：设)1limn n n na a ρρρ+→∞==∞或可以为，则当0R=;ρ=∞时1R=0R=ρρρ∞≠∞当=时；当0，时。
此种求收敛半径的方法是充分条件，若1limn n na a +→∞不存在时并不能说收敛半径不存在，因为收敛半径总是存在的。
对于类似21nn n a x ∞=∑、31n n n a x ∞=∑等级数的收敛半径不能这样做，应根据1u lim1n n nu +→∞<求收敛半径。
例：求()()2212!!n n n x n ∞=∑的收敛半径。
解：设()()222!,!n n n u x n =用比值判别法，由()()()22122221lim lim 41n n n nn n u x x u n +→∞→∞++==+得：当12x <时241x <，级数()()2212!!n n n x n ∞=∑绝对收敛；当12x >时241x >，级数()()2212!!n n n x n ∞=∑发散；所以收敛半径为12R =。
错解：由公式()()()122221limlim 41n n n n n n a a n ρ+→∞→∞++===+，所以14R =。
小试身手：幂级数()2123n nnn n x ∞=+-∑的收敛半径为__________级数的和的求法：观察所给幂级数通项n x 的系数n a ，若n a 为n 的简单有理式，则通过拆项将其拆成更简单的分式之和；通过逐项积分，设法消去分式中分子的n(或n-1,n+1等)；通过逐项求导，设法消去分式中分母的n(或n-1，n+1等)；最后设法利用级数之和011n n x x ∞==-∑。
若n a 的分母为()()!2!2n-1!n n 或或也可通过上述方法化简，最后利用,sin ,cos x e x x 的展开式求和。
若n a 的分母为()()2!!2n-1!!n 或也可通过上述方法化简，最后利用()1mx +的展开式求和。
幂级数求和还应求出收敛域。
常用方法举例：设()1,n n n s x a x ∞==∑用下列两种途径求和函数()s x ：（1）()101()xn n n s x na x dx ∞-==∑⎰；（2）()111n n n a s x x n ∞+=⎛⎫= ⎪+⎝⎭∑、。
用幂级数求和的方法求某些数项级数的和时，要找到一个适当的幂级数，求出它的和，再命x 为某值得到欲求的数项级数的和。
已知某些和求另一些与此相关的和时，关键步骤时，将欲求的前n 项部分和表示成已知部分和，然后取极限。
函数展开成幂级数：直接展开法：利用泰勒级数公式，将函数在某个区间上直接展开成指定点的泰勒级数。
()()()2000000(1)10()20()()()()()()()2!!()(),()lim 0(1)!(0)(0)0()(0)(0)2!!1n n n n n n n n n f x f x f x f x x x x x x x n f R x x f x R n f f x f x f f x x x n f x ξ++→∞''=-+-++-+=-=+'''==+++++函数展开成泰勒级数：余项：可以展开成泰勒级数的充要条件是：时即为麦克劳林公式：展开成x 的幂级数的步骤：求出()()()()()()()()()()()()()()2(1)1n n ()21,2,...;201,2,...;(0)(0)3(0)(0)R 2!!()4,lim lim 00(1)!(0)(0)()(0)(0)2!!n n n n n n n n nf x n f n f f f f x x x n f x R R R x x x f x n f f f x f f x x x n ξξ++→∞→∞=='''+++++∈-==+'''=+++++求写出并求出敛散半径；当时，位于与之间是的迈克劳林级数收敛的充要条件。
