高三数学公开课(不等式的性质)

课题：不等式的性质（2）教学目的：1理解同向不等式，异向不等式概念；2理解不等式的性质定理1—3及其证明；3理解证明不等式的逻辑推理方法．4严谨周密的习惯教学重点：掌握不等式性质定理1、2、3及推论，注意每个定理的条件教学难点：1理解定理1、定理2的证明，即“a＞b⇔b＜a和a＞b，b＞c⇒a ＞c”的证明这两个定理证明的依据是实数大小的比较与实数运算的符号法则2定理3的推论，即“a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d”是同向不等式相加法则的依据但两个同向不等式的两边分别相减时，就不能得出一般结论授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪教学方法:引导启发结合法——即在教师引导下，由学生利用已学过的有关知识，顺利完成定理的证明过程及定理的简单应用教学过程：一、复习引入：1．判断两个实数大小的充要条件是：ab>ba⇔>-aba=b⇔-=aab<b⇔<-2．(1)如果甲的年龄大于乙的年龄，那么乙的年龄小于甲的年龄吗?为什么?(2)如果甲的个子比乙高，乙的个子比丙高，那么甲的个子比丙高吗?为什么?从而引出不等式的性质及其证明方法．二、讲解新课：1．同向不等式：两个不等号方向相同的不等式，例如：a>b，c>d，是同向不等式异向不等式：两个不等号方向相反的不等式例如：a>b，c<d，是异向不等式2．不等式的性质：定理1：如果a>b，那么b<a，如果b<a，那么a>b．(对称性)即：a>b⇒b<a；b<a⇒a>b证明：∵a>b ∴a-b>0由正数的相反数是负数，得-(a-b)<0即b-a<0 ∴b<a (定理的后半部分略) ．点评：可能个别学生认为定理l 没有必要证明，那么问题：若a>b ，则a 1和b1谁大？根据学生的错误来说明证明的必要性“实数a 、b 的大小”与“a-b 与零的关系”是证明不等式性质的基础，本定理也称不等式的对称性．定理2：如果a>b ，且b>c ，那么a>c ．(传递性)即a>b ，b>c ⇒a>c证明：∵a>b ，b>c ∴a-b>0， b-c>0根据两个正数的和仍是正数，得(a-b)+( b-c)>0 即a -c>0∴a>c根据定理l ，定理2还可以表示为：c<b ，b<a ⇒c<a点评：这是不等式的传递性、这种传递性可以推广到n 个的情形． 定理3：如果a>b ，那么a+c>b+c ．即a>b ⇒a+c>b+c证明：∵a>b ， ∴a-b>0，∴(a+c)-( b+c)>0 即a+c>b+c点评：(1)定理3的逆命题也成立；(2)利用定理3可以得出：如果a+b>c ，那么a>c-b ，也就是说，不等式中任何一项改变符号后，可以把它从—边移到另一边．推论：如果a>b ，且c>d ，那么a+c>b+d ．(相加法则)即a>b ， c>d ⇒a+c>b+d ．证法一：⇒⎭⎬⎫+>+⇒>+>+⇒>d b c b d c c b c a b a a+c>b+d 证法二：⇒>-+-⇒⎭⎬⎫>-⇒>>-⇒>000d c b a d c d c b a b a a+c>b+d 点评：（1）这一推论可以推广到任意有限个同向不等式两边分别相加，即：两个或者更多个同向不等式两边分别相加，所得不等式与原不等式同向；（2）两个同向不等式的两边分别相减时，不能作出一般的结论；三、讲解范例：例 已知a>b ，c<d ，求证：a-c>b-d ．(相减法则)分析：思路一：证明“a －c ＞b －d ”，实际是根据已知条件比较a －c 与b －d 的大小，所以以实数的运算性质与大小顺序之间的关系为依据，直接运用实数运算的符号法则来确定差的符号，最后达到证题目的证法一：∵a ＞b ，c ＜d∵a －b ＞0，d －c ＞0∴（a －c ）－（b －d ）＝（a －b ）＋（d －c ）＞0(两个正数的和仍为正数)故a －c ＞b －d思路二：我们已熟悉不等式的性质中的定理1～定理3及推论，所以运用不等式的性质，加以变形，最后达到证明目的证法二：∵c ＜d ∴－c ＞－d又∵a ＞b∴a ＋（－c ）＞b ＋（－d ）∴a －c ＞b －d四、课堂练习： 1判断下列命题的真假，并说明理由：(1)如果a ＞b ，那么a －c ＞b －c ；(2)如果a ＞b ，那么c a c 分析：从不等式性质定理找依据，与性质定理相违的为假，与定理相符的为真 答案：(1)真因为推理符号定理3 (2)假2，3(初中)可知，当c ＜0时，c a c 即不等式两边同乘以一个数，必须明确这个数的正负2回答下列问题：（1)如果a ＞b ，c ＞d ，能否断定a ＋c 与b ＋d 谁大谁小?举例说明；(2)如果a ＞b ，c ＞d ，能否断定a －2c 与b －2d 谁大谁小?举例说明 答案：(1)不能断定例如：2＞1，1＜3⇒2＋1＜1＋3；而2＞1，－1＜－0⇒2－1＞1－0８异向不等式作加法没定论(2)不能断定例如a ＞b ，c ＝1＞d ＝－1⇒a －2c ＝a －2，b ＋2＝b －2d ，其大小不定a ＝８＞1＝b 时a －2c ＝６＞b ＋2＝3而a ＝2＞1＝b 时a －2c ＝0＜b ＋2＝33求证：(1)如果a ＞b ，c ＞d ，那么a －d ＞b －c ；(2)如果a ＞b ，那么c －2a ＜c －2b 证明：(1).c b d a d b c b d c d c d b d a b a ->-⇒⎪⎭⎪⎬⎫-<-⇒-<-⇒>->-⇒>(2)a ＞b ⇒－2a ＜－2b ⇒c －2a ＜c －2b 4已和a ＞b ＞c ＞d ＞0，且dc b a =，求证：a ＋d ＞b ＋c证明：∵dc b a = ∴d d c b b a -=- ∴（a －b ）d ＝（c －d ）b又∵a ＞b ＞c ＞d ＞0∴a －b ＞0，c －d ＞0，b ＞d ＞0且d b ＞1 ∴db dc b a =--＞1 ∴a －b ＞c －d 即a ＋d ＞b ＋c评述：此题中，不等式性质和比例定理联合使用，使式子形与形之间的转换更迅速这道题不仅有不等式性质应用的信息，更有比例的信息，因此这道题既要重视性质的运用技巧，也要重视比例定理的应用技巧五、小结 ：本节课我们学习了不等式的性质定理1～定理3及其推论，理解不等式性质的反对称性(a ＞b ⇔b ＜a ＝、传递性(a ＞b ，b ＞c ⇒a ＞c )、可加性(a ＞b ⇒a ＋c ＞b ＋c )、加法法则（a ＞b ，c ＞d ⇒a ＋c ＞b ＋d ），并记住这些性质的条件，尤其是字母的符号及不等式的方向，要搞清楚这些性质的主要用途及其证明的基本方法六、课后作业：1．如果R b a ∈,，求不等式ba b a 11,>>同时成立的条件． 解：00011<⇒⎪⎭⎪⎬⎫<-⇒>>-=-ab a b b a ab a b b a 2．已知R c b a ∈,,，0,0<=++abc c b a 求证：0111>++c b a 证：∵0=++c b a ∴222c b a ++0222=+++bc ac ab又∵0≠abc ∴222c b a ++>0 ∴0<++bc ac ab ∵abcca bc ab c b a ++=++111 0<abc 且0<++bc ac ab ∴0111>++cb a 3．已知||||,0b a ab >> 比较a 1与b 1的大小．解：a 1-b 1aba b -= 当0,0>>b a 时∵||||b a >即b a >0<-a b 0>ab ∴0<-ab a b ∴a 1<b1 当0,0<<b a 时∵||||b a >即b a <0>-a b 0>ab ∴0>-ab a b ∴a 1>b1 4．如果0,>b a 求证：a b ab >⇔>1 证：01>-=-aa b a b ∵0>a ∴0>-a b ∴b a < 0>-⇒>a b a b ∵0>a ∴01>-=-a b a a b ∴1>a b 七、板书设计（略）八、课后记：。

数学高考复习名师精品教案第45课时：第六章 不等式——不等式的概念与性质课题：不等式的概念与性质一．复习目标：1．掌握并能运用不等式的性质，灵活运用实数的性质；2．掌握比较两个实数大小的一般步骤．二．知识要点：1．不等式的性质：①对称性： ；②传递性： ． ③加法性质； ． ④乘法性质： ， ． ⑤乘方性质： ；开方性质 ．2．比较两数大小的一般方法是： ．三．课前预习：1．命题（1）,n n a b ac bc n N *>⇒>∈，（2）22a b a b c c >⇒>，（3）11a b a b>⇒<， （4）0,0a b c d ac bd <<<<⇒>，（5()a b n N *⇒>∈（6）a b a c b d c d<⎧+<+⇔⎨<⎩，（7）220a b a ab b <<⇒>> 其中真命题的是 ．2．已知01x y a <<<<，则 （ ）()A log ()0a xy <()B 0log ()1a xy <<()C 1log ()2a xy <<()D log ()2a xy >．3．如果0m b a <<<，则 （ ）()A coscos cos b m b b m a m a a m +-<<+- ()B cos cos cos b b m b m a a m a m-+<<-+ ()C cos cos cos b m b b m a m a a m -+<<-+ ()D cos cos cos b m b m b a m a m a +-<<+-． 四．例题分析：例1．比较11n n x y +++和*(,,)n n x y xy n N x y R ++∈∈的大小．例2．设0,1a a >≠，0t >，比较1log 2a t 和 1log 2at +的大小，并证明你的结论．例3．在等比数列{}n a 与等差数列{}n b 中，11330,0a b a b =>=>，且31a a ≠，比较2a 与2b ，5a 与5b 的大小．例4．设数列{}n a 的通项公式是21000n n n a =， （1）讨论数列{}n a 的单调性；（2）求数列中的最大项．五．课后作业：1．设,(,0)a b ∈-∞，则“a b >”是“11a b a b->-”成立的 （ ）()A 充分非必要条件()B 必要非充分条件 ()C 充要条件()D 既不充分也不必要条件 2．下列不等式：（1）232()x x x R +≥∈，（2）553223(,)a b a b a b a b R +≥+∈，（3）222(1)a b a b +≥--．其中正确的个数为 （ ）()A 0 ()B 1 ()C 2 ()D 33．给出下列条件①1a b <<；②01a b <<<；③01a b <<<．其中，能推出 11log log log b a a b b b<<成立的条件的序号是 （填所有可能的条件的序号）．4．函数()y f x =是(0,2)上的减函数，且关于x 的函数(2)y f x =+是偶函数， 则15((),(3)22f f f 的大小关系是 ．5．已知,,,a x y b 依次成等差数列，,,,c x y d 依次成等比数列，其中,0,0x y x y ≠>>， 比较a b +与c d +的大小．6．某人乘坐出租车从A 地到B 地，有两种方案：第一种方案，乘起步价为10元，每Km 价1.2元的出租车；第二种方案，乘起步价为8元，每Km 价1.4元的出租车，按出租车管理条例，在起步价内，不同型号的出租车行驶的里路是相等的，则此人从A 地到B 地选择哪一种方案比较适合？7．设()f x =，比较 11|()()|f x f x -与1212||()x x x x -≠的大小．8．设,m R x R ∈∈，比较21x x -+与222m mx --的大小．9．设()1log 3,()2log 2x x f x g x =+=，其中0,1x x >≠，比较()f x 与()g x 的大小。

高三数学知识点不等式公式高三数学知识点：不等式与公式在高中数学中，不等式和公式是学习数学的基础知识点之一。

掌握不等式和公式的性质和应用，能够帮助学生更好地理解和解决数学问题。

本文将从不等式和公式的定义、性质和应用几个方面来探讨这个主题。

一、不等式的定义和性质不等式是数学中一种用来表达大小关系的符号集合。

常见的不等号有大于号(>)、小于号(<)、大于等于号(≥)、小于等于号(≤)等。

例如，对于任意实数a和b，a > b可以表示a大于b。

不等式有一些基本性质。

首先，两个数的大小关系可以通过它们的差来确定。

例如，若a > b，则a - b > 0。

其次，不等号在两边同时乘以或除以一个正数时，不等号的方向不变；而当乘以或除以一个负数时，不等号的方向要反向。

例如，若a > b，且c > 0，则ac > bc；若a > b，且c < 0，则ac < bc。

最后，对于两个不等式，我们可以根据它们的大小关系进行合并。

例如，若a > b，且c > d，则a + c > b + d。

二、公式的定义和应用公式是数学中描述事物间关系的等式或近似等式。

它们可以准确地计算数值，提供一种快速、简便的方法来解决问题。

在高三数学中，我们熟悉的一些公式包括平方差公式、勾股定理以及二次函数的解法公式等。

平方差公式是用来求两个数平方之差的公式。

它的表达形式是(a + b)(a - b) = a² - b²。

这个公式的应用十分广泛，例如在因式分解、证明等方面都能发挥重要作用。

勾股定理是描述直角三角形边长关系的公式。

以三角形的直角为顶点，直角边的长度分别为a和b，斜边的长度为c。

则有a² +b² = c²。

勾股定理的应用非常广泛，可以用于解决三角形相关的计算和证明问题，也是建立数学模型的重要工具。

二次函数的解法公式则是用来求解二次方程的公式。

高三数学不等式的性知识点在高中数学的学习过程中，不等式是一个非常重要的知识点。

特别是在高三这一年，不等式是数学考试中常常出现的题型之一。

掌握不等式的性质和解题技巧对于高考成绩的提升起着关键作用。

本文将重点介绍高三数学不等式的性知识点，以帮助大家更好地理解和应用这一知识。

一、不等式的基本性质不等式是比较两个数的大小关系的一种数学表达式。

不等式的基本性质包括：1.永真性：对于任何实数a，a≤a永真成立；对于任何实数a和b，若a≤b且b≤a，则a=b；2.传递性：对于任何实数a、b和c，若a≤b且b≤c，则a≤c；3.等式性：若a=b，则对于任意实数c，有a+c=b+c；4.加法性：对于任意实数a、b和c，若a≤b，则a+c≤b+c；5.乘法性：对于任意实数a、b和c，若a≤b且c>0，则ac≤bc；若a≤b且c<0，则ac≥bc。

二、不等式的运算法则不等式的运算法则主要包括加法法则和乘法法则。

1.加法法则：若对于实数a、b和c，有a≤b，则a+c≤b+c成立；2.乘法法则：若对于实数a、b和c，有a≤b且c>0，则ac≤bc成立；若对于实数a、b和c，有a≤b且c<0，则ac≥bc成立。

三、不等式的解法不等式的解法主要有图像法、代数法和绝对值法等。

1.图像法：可以通过绘制函数图像或者数轴上的点来解不等式，例如对于不等式x-3>0，我们可以将其转化为x>3，并在数轴上标出x>3的区间。

2.代数法：利用代数运算的方法解不等式，例如对于不等式x^2-4<0，可以将其化简为(x-2)(x+2)<0，再根据乘积为负数的性质求解得到-2<x<2。

3.绝对值法：对于带有绝对值的不等式，可以进行绝对值的分情况讨论，例如对于不等式|2x-1|<3，可以分别讨论2x-1>0和2x-1<0两种情况，然后解得-1<x<2和x>\frac{2}{3}。

高三数学 不等式的概念和性质、有理不等式的解法、指数不等式、对数不等式的解法、绝对值和无理不等式的解法知识精讲一. 不等式的概念和性质 1. 不等式有关概念不等式：用不等号>≥≤<，，，连接的式子叫做不等式。

分类：条件不等式、矛盾不等式与绝对不等式。

2. 不等式的基本性质 （1）a b b a >⇔<（2）a b b c a c >>⇒>， （3）a b a c b c >⇒+>+； a b c d a c b d >>⇒+>+， （4）a b c ac bc >>⇒>，0 a b c ac bc ><⇒<，0a b c d ac bd >>>>⇒>00， （5）a b a b n N n n >>⇒>∈+0() （6）a b a b n N n n >>⇒>∈+0() 3. 实数的大小理论对于任意两个实数a b a b R ，，()∈，（1）a b a b c >⇔-> （2）a b a b =⇔-=0 （3）a b a b <⇔-<0 4. 重点难点不等式的性质是本节的重点内容，它是解不等式和证明不等式的理论依据。

因此，我们必须掌握不等式的基本性质，注意它们成立的条件。

（1）同向不等式可以相加，异向不等式可以相减，不等号方向与被减不等式同向。

（2）正数的同向不等式可以相乘，正数的异向不等式可以相除，取被除不等式的方向。

5. 综合运用不等式的性质应用非常广泛，其主要应用： （1）根据条件和性质判别不等式是否成立；（2）利用实数大小性质比较两个代数式的大小； （3）利用不等式的性质求X 围。

二. 有理不等式的解法 1. 一元一次不等式任何一元一次不等式变形后一定可化为ax b >的形式，其解有下面几种情况：（1）若a x ba >>0时，；（2）若a x ba<<0时，；（3）若a b x R =<∈00时，时，； （4）若a b x =≥∈00时，，Φ2. 一元二次不等式任何一元二次不等式变形后，一定可化为ax bx c 20++>（或<0）其中a >0，其解集随∆=-b ac 24的符号而定，结合y ax bx c =++2的图像，可得到它们的解集。

高三数学不等式的性质教案14第六不等式总览知识结构网络61不等式的性质一、明确复习目标掌握不等式的性质及其证明，能正确使用这些性质解决一些简单问题二．建构知识网络1比较原理：两实数之间有且只有以下三个大小关系之一：a&gt;b;a&lt;b;a=b；；；．以此可以比较两个数（式）的大小，——作差比较法．或作商比较：a&gt;0时, ；a&lt;0时,2．不等式的性质：（1）对称性: ，证明：（比较法）（2）传递性: ，（3）可加性:移项法则:推论：同向不等式可加（4）可乘性: ，推论1：同向(正)可乘:证明：（综合法）推论2：可乘方(正):() 可开方(正):证明：（反证法）不等式的性质有五个定理,三个推论,一个比较原理,是解、证不等式的基础，对于这些性质，关键是正确理解和熟练运用，要弄清每一个条和结论，学会对不等式进行条的放宽和加强三、双基题目练练手1(2006春上海) 若，则下列不等式成立的是( )A&nt; B D2(2004北京）已知a、b、满足，且，那么下列选项中不一定成立的是（）A．B．．D．3 对于实数，下命题正确的是( )A若a&lt;b,则B若,则若,则D若a&gt;b&gt;0,d&gt;&gt;0,则4（2004春北京）已知三个不等式：ab＞0，b－ad＞0，－＞0（其中a、b、、d均为实数），用其中两个不等式作为条，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，可组成的正确命题的个数是A0B12D3(2004辽宁)对于，给出下列四个不等式①②③④其中成立的是_________6a＞b＞0，＞0，n＞0，则，，，的由大到小的顺序是____________ 练习简答:1-4D; ②与④; 6特殊值法,答案：＞＞＞四、经典例题做一做【例1】已知a&lt;2，&lt;b≤2a，＝b-2a，求的取值范围．解：∵b≤2a∴=b-2a≤0,∴b-4&gt; -2a= ．∴的取值范围是：&lt;≤0．【例2】设f(x)=ax2+bx,且1≤f(－1) ≤2, 2≤f(1) ≤4 ,求f(－2)的取值范围解：由已知1≤a－b≤2, ①, 2≤a+b≤4 ②若将f(－2)=4a－2b用a－b与a+b,表示，则问题得解设4a－2b=(a－b)+n(a+b), (,n为待定系数)即4a－2b=（+n）a－(－n)b,于是得得：=3, n=1由①×3+②×1得≤4a-2b≤10即≤f(－2)≤10,另法：由得∴f(－2)=4a－2b=3 f(－1)+ f(1)……◆特别提醒:常见错解:由①②解出a和b的范围,再凑出4a－2b的范围错误的原因是a和b不同时接近端点值,可借且于线性规划知识解释【例3】(1)设A=xn+x－n，B=xn－1+x1－n，当x∈R+，n∈N时，比较A与B的大小(2)设0＜x＜1，a＞0且a≠ ，试比较|lg3a（1－x）3|与|lg3a（1+x）3|的大小解: (1)A－B=（xn+x－n）－（xn－1+x1－n）=x－n（x2n+1－x2n－1－x）=x－n［x（x2n－1－1）－（x2n－1－1）］=x－n（x－1）（x2n－1－1）由x∈R+，x－n＞0，得当x≥1时，x－1≥0，x2n－1－1≥0；当x＜1时，x－1＜0，x2n－1＜0，即x－1与x2n－1－1同号∴A－B≥0∴A≥B(2)∵0＜x＜1，所以①当3a＞1，即a＞时，|lg3a（1－x）3|－|lg3a（1+x）3|=|3lg3a（1－x）|－|3lg3a（1+x）|=3［－lg3a（1－x）－lg3a（1+x）］=－3lg3a（1－x2）∵0＜1－x2＜1，∴－3lg3a（1－x2）＞0②当0＜3a＜1，即0＜a＜时，|lg3a（1－x）3|－|lg3a（1+x）3|=3［lg3a（1－x）+lg3a（1+x）］=3lg3a（1－x2）＞0综上所述，|lg3a（1－x）3|＞|lg3a（1+x）3|◆提炼方法：(1)作差分解因式、配方或利用单调性,分类判断差式的符号【例4】已知函数，，试比较与的大小．解作差—=当时，得= 。

不等式的性质【知识提要】一、 差比法：利用差比法可判断两实数的大小：1．0<-⇔<b a b a ；0=-⇔=b a b a ；0>-⇔>b a b a2．⎩⎨⎧=-的和”“几个正数或几个负数”“几个最简因式的乘积b a 3．当C b a ∈、时：0;0;0>-⇒>=-⇔=<-⇒<b a b a b a b a b a b a注意：(1)当R b a ∈、时b a -表示数轴上b a 、对应两点间的距离(2)比较大小的基本方法有：ⅰ差比法；ⅱ函数的单调性；ⅲ不等式的性质；ⅳ特值法例一、1．比较大小：（1）21_____142aa + （2）()2242244_______6b a ab b b a a +++ （3）()()()11______12222+-+++a a a a a （4）()()()22_______51--+x x x 2．（1）已知,01,0<<-<b a 那么2ab ab a 、、之间的大小是___________（2）已知0,0>>>>d c b a 那么dc bd ac d c bd ac b a --++、、、之间的大小是 _______________________3．（1）已知+∈R b a 、，求证：2233ab b a b a +≥+； （2）已知,R c b a ∈、、求证：()c b a c b a ++≥+++23222；（3）已知R b a ∈、，求证：()52222--≥+b a b a二、 不等式的基本性质：不等式的基本性质是解不等式与证明不等式的基础，因此涉及到不等式运算时，每一步都必须严格按照不等式的基本性质来进行，切记1．a b b a >⇔<（对称性）；2．c a c b b a >⇒>>,（传递性）；3．c b c a b a +>+⇔>；注意：当C c b a ∈、、时：b a >是c b c a +>+的既不充分也不必要条件4．bc ac c b a bc ac c b a <⇒<>>⇒>>0,;0, (1)b a ab b a 110<⇒⎭⎬⎫>> (2)ba ab b a 110>⇒⎭⎬⎫<> 注意：在进行不等式运算时，若要约分，则需考虑公因式（或公因数）的符号（若不明确则需讨论）5．d b c a d c b a +>+⇒>>,；（慎用此条性质解不等式或证明）例二、（1）已知p(x,y)是圆C ：122=+y x 上的任意一点，求：x+y 的取值范围；（2）已知22πβαπ<<<-，求βα-及βα2-的取值范围 6．bd ac d c b a >⇒>>>>0,0（易错）7．b a b a 1100<<⇔>>(有关范围问题特别要注意此条性质，如值域问题)例三、(1)在实数范围内判断下列各命题的真假：①22bc ac b a >⇒>； ②b a bc ac >⇒>； ③b a c b c a >⇒>22； ④d b c a d c b a ->-⇒⎭⎬⎫>>.； ⑤d b c a cd d c b a >⇒⎪⎭⎪⎬⎫≠>>0 (2)求函数xx x f 21)(2-=的值域 8．n n b a N n n b a >⇒∈>>>,1,0且n n b a >注意：1,>>n b a 且n 为奇数nn b a >⇒且n n b a >例四、解不等式()()313131--->-x x三、 不等式的其他性质： 1． 若R b a ∈、，则22222b a b a ab +≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤（当且仅当a=b 时等号成立） 2． 若+∈R b a 、，则ab b a 2≥+（当且仅当a=b 时等号成立）注意：（1）①应用公式的条件；②取等号的条件；③正确选择公式；④公式的逆用与变式：ⅰR a ∈且210≥+⇒≠a a a （当且仅当a=1±时等号成立） ⅱ20≥+⇒>ba ab ab （当且仅当a=b 时等号成立） ⅲca bc ab c b a ++≥++222（当且仅当a=b=c 时等号成立）（2）当a+b 或22b a +为定值时，ab 有最大值；当ab 为定值时，a+b 或22b a +有最小值（3）对研究“对勾”函数的性质有重要意义例五、（1）已知122=+y x ，求：①y x +的最值；②xy 的最值；（2）已知+∈R y x 、且1=+y x ，求证：①41≤xy ；②2122≥+y x ； ③411≥+y x ；④91111≥⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+y x ；⑤2251122≥⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+y y x x （3）已知+∈R y x 、且233=+y x ，求证：2≤+y x注意：求此类最值也可转化为函数问题来解决，方法的选择以简便为主3． 柯西不等式：b a b a b a +≤±≤-||||注意：（1）几何意义及取等号的条件；（2）适用于解决含绝对值的极值问题例六、（1）已知1≤x ，求1-x 的取值范围；（2）已知31≤≤-x ,求12+x 的取值范围方法：①柯西不等式；②不等式的性质；③三角；④数形结合（数轴、函数）【课后练习】1．若R b a ∈、，且b a >则（ ）（A ）22b a >； （B ）1<a b ； （C ）()0lg >-b a ； （D ）ba ⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛21212．若0<<b a ，则以下结论中不成立的是（ ）（A ）b a 11>； （B ）ab a 11>-； （C ）b a >； （D ）22b a > 3．给定命题： ①b a >且0<ab ba 11<⇔； ②b a b a >⇔>； ③b a b b a <<-⇔<； ④b a bc ac >⇔>22 其中真命题的个数是（ ）（A ）0； （B ）1； （C ）2； （D ）34．若0>>b a ，下列各不等式中恒成立的是（ ）（A ）b a b a b a >++22；（B ）222211ab a b >++；（C ）b b a a 11+>+；（D ）b a b a > 5．下列命题中，正确的一个是（ ）（A ） 若c a >或c b >，则c b a 2>+；（B ）若c a >且c b <，则c b a 2>+；（C ）若c a >且c b >，则c b a 2>+；（D ）若c a >或c b <，则c b a 2>+6．若b a >、0≠>cd d c 、，则（ ）（A ）d b c a ->-；（B ）db c a >；（C ）bd ac >；（D ）3333c b d a ->- 7．下列命题中正确的个数是（ ） ①22b a b a >⇒>；②bc ac b a ≥⇒>；③b a b a >⇒>；④22bc ac b a ≥⇒>（A ） 1； （B ）2； （C ）3； （D ）48．下列命题中不正确的个数是（ ） ①b a b a 11<⇒>；②1>⇒>b a b a ；③b c a c b a -<-⇒>；④bc a c b a <⇒> （A ） 1； （B ）2； （C ）3； （D ）49．若0<<b a ，则下列不等式中正确的是（ ）（A ）1<b a ；（B ）ba 11<；（C ）22ab <；（D ）b a -<- 10．设R a ∈且02<+a a ，则有（ ）（A ）a a a a ->->>22；（B ）a a a a >->>-22；（C ）22a a a a ->>>-；（D ）22a a a a ->>->11．若4log log 33≥+N M ，则M+N 的最小值是（ ） （A ） 4； （B ）34； （C ）18； （D ）1912．设R b a ∈、且3=+b a ，则b a 22+的最小值是（ ）（A ）24； （B ）23； （C ）4； （D ）313．若+∈R y x 、且182=+yx ，则xy 有（ ） （A ） 最大值64；（B ）最小值641；（C ）最小值21；（D ）最小值64 14．设+∈R y x 、且满足404=+y x ,则y x lg lg +的最大值为（ ） （A ）40； （B ）10； （C ）4； （D ）215．函数)14(,22222<<--+-=x x x x y 有（ ） （A ）最小值1； （B ）最大值1； （C ）最小值-1； （D ）最大值-116．函数)0(,132<++=x x x x y 的值域为（ ） （A ）（-1，0）； （B ）[)0,3-； （C ）[]1,3--； （D ）()0,∞-17．y x >与yx 11>同时成立的充要条件是_____________________ 18．若ab<0，比较大小：|a+b|_________|a-b|19．ba 11<是不等式ab(a-b)>0的__________________条件 20．函数1522++=x x y 的最小值为___________ 21．函数())370(,37<<-=x x x y ，当=x _________时，有最______值,其值是________ 22．若+∈R b a 、且,12122=+b a 则21b a +的最大值是____________ 23．不用计算器，比较大小：（1）31+与7； （2）23-与12-；（3）78-与56-，试推导出一个一般性的结论，并加以证明；（4）331x x +与441x x +（1,0≠>x x ），试推导出一个一般性的结论，并加以证明；24．若,0,0d c b a <<>>求证：db c a >25．某厂产量第一年的增长率a, 第二年的增长率b,(a>0,b>0),这两年的平均增长率为x ，试判断x 与2b a +的大小26．某单位用木料制作窗框，窗框的下部是边长分别为x 、y （单位：m ）的矩形，上部是等腰直角三角形（斜边为矩形的一边），要求窗框围成的 y 总面积为82m ，问x 、y 分别为多少（精确到0.001m ）时用料最省？x。