当前位置：文档之家 › 基本不等式-公开课课件

基本不等式-公开课课件

  • 格式：pptx
  • 大小：6.93 MB
  • 文档页数：15

下载文档原格式

  / 15

合集下载

2.2.1 基本不等式 课件(28张)

2.2.1 基本不等式 课件(28张)

【定向训练】
已知a,b,c都是非负实数,试比较 a2＋b2＋ b2＋c2＋ c2＋a2 与 2 (a+b+c)的大小. 【解析】因为a2+b2≥2ab,
所以2(a2+b2)≥a2+b2+2ab=(a+b)2,
所以 a2＋b2(a+b2 ),
2
同理 b2＋c2(b +c2),
2
c(2c＋+aa2), 2
xyz
【证明】因为x,y,z是互不相等的正数,且x+y+z=1,
所以 1－1＝1－x＝ y＋z 2 yz ，①
x
x
x
x
1－1＝1－y＝x＋z 2 xz ，②
y
yy
y
1－1＝1－z＝x＋y 2 xy ，③
z
zz
z
又x,y,z为互不相等的正数,由①×②×③,
得 ( 1－1)( 1－1)( 1－1>) 8.
【定向训练】
已知a,b,c为正数,
求证: b＋c－a＋c＋a－b＋a＋b－c 3.
a
b
c
课堂素养达标
1.下列不等式中,正确的是
()
A.a+ 16 ≥8
B.a2+b2≥4ab
a
C. ab a＋b
2
D.
x
2＋
3 x2
2
3
【解析】选D.若a<0,则a+ 16 ≥8不成立,故A错;若a=1,b=1,a2+b2<4ab,故B错,
x
C.当x≥2时,x+ 1 的最小值为2
x
D.当0<x≤2时,x-
1

基本不等式-公开课课件-课件ppt

基本不等式-公开课课件-课件ppt

猜想：关于a+b有怎样的不等式？
ab
a 0, b 0
②基本不等式： ab
2
当且仅当a=b时，等号成立.
a b ：算术平均数
2
ab ：几何平均数
两个正数几何平均数不大于它们的算术平均
数
几何解释
如图，AB是圆的直径，点C是AB上的一点,过
点C的弦 DD ' 垂直于AB,AC= a ,BC=b.
公开课
3.4 基本不等式
如图，这是2002在北京
召开的第24届国际数学
家大会会标．
创设情境、体会感知：
三国时期吴国的数学家
赵爽
思考：这会标中含有
怎样的几何图形？
思考：你能否在这个图
案中找出一些相等关系
或不等关系？
你能在图中找出一些面积的相等或不等关系吗？
赵爽“弦图”
D
A
a
c
证明
a b c ?
2ab
角形，它们的面积总和是S’=———
D
问3：观察图形S与S’有什么样的大
小关系？易得，s > s’,即
a b 2ab
2
G
H
C
2
问4：那么它们有相等的情况吗？
何时相等？
变化的弦图
E
A
F
a
c
a 2 b2
b
B
①重要不等式：a 2 b 2 2ab (a ,b R )
a 2 b2 2ab
x -1
归纳小结：用基本不等式要注意
，
例题2. 若 > , > , 且 + = , 求的最小值.
变式1. 若 > , > , 且 + = , 求的最小值.

高中数学配套基本不等式公开课获奖课件

高中数学配套基本不等式公开课获奖课件

题型一
运用基本不等式证明简朴不等式
【例 1】 已知 x>0，y>0，z>0. 求证：xy＋xz xy＋yz xz ＋yz ≥8.
思维启迪 解析 探究提高 由题意，先局部运用基本不等式， 再利用不等式的性质即可得证．
第12页
题型分类·深度剖析
题型一
运用基本不等式证明简朴不等式
【例 1】 已知 x>0，y>0，z>0. 求证：xy＋xz xy＋yz xz ＋yz ≥8.
14分
方法二 y＝a＋1ab＋1b＝ab＋a1b＋ab＋ba
＝ab＋a1b＋a2a＋bb2＝ab＋a1b＋a＋ba2b－2ab＝a2b＋ab－2.
6分
令 t＝ab≤a＋2 b2＝14，即 t∈0，14.
第30页
题型分类·深度剖析
易错警示
9.忽视最值获得条件致误
典例：(14 分)已知 a、b 均为正实数，且 a＋b＝1，求 y＝a＋1ab＋1b的最 小值．
数学 苏（文）
§7.4 基本不等式
第七章 不等式
第1页
基础知识·．基本不等式
ab≤a＋2 b
难点正本 疑点清源
1．在应用基本不等式求
(1)基本不等式成立的条件：a≥ 0,b≥ 0 . 最值时，要把握不等式
(2)等号成立的条件：当且仅当 a＝b 时 成立的三个条件，就是
取等号．
“ 一 正 —— 各 项 均 为
【例 1】 已知 x>0，y>0，z>0. 求证：xy＋xz xy＋yz xz ＋yz ≥8.
思维启迪 解析 探究提高
利用基本不等式证明不等式是综 合法证明不等式的一种情况，证明
思路是从已证不等式和问题的已

基本不等式课件(共43张PPT)

基本不等式课件(共43张PPT)

02
基本不等式的证明方法
综合法证明基本不等式
利用已知的基本不等式推导
01
通过已知的不等式关系，结合不等式的性质（如传递性、可加
性等），推导出目标不等式。
构造辅助函数
02
根据不等式的特点，构造一个辅助函数，通过对辅助函数的分
析来证明原不等式。
利用数学归纳法
03
对于涉及自然数n的不等式，可以考虑使用数学归纳法进行证明。
分析法证明基本不等式
寻找反例
通过寻找反例来证明某个不等式不成 立，从而推导出原不等式。
利数，可以利用中间值定理 来证明存在某个点使得函数值满足给 定的不等式。
通过分析不等式在极限情况下的性质， 来证明原不等式。
归纳法证明基本不等式
第一数学归纳法
通过对n=1和n=k+1时的情况进行归纳假设和推导，来证 明对于所有正整数n，原不等式都成立。
拓展公式及其应用
要点一
幂平均不等式
对于正实数$a, b$和实数$p, q$，且$p < q$，有 $left(frac{a^p + b^p}{2}right)^{1/p} leq left(frac{a^q + b^q}{2}right)^{1/q}$，用于比较不同幂次的平均值大小。
要点二
切比雪夫不等式
算术-几何平均不等式（AM-GM不等式）：对于非负实数$a_1, a_2, ldots, a_n$，有 $frac{a_1 + a_2 + ldots + a_n}{n} geq sqrt[n]{a_1a_2ldots a_n}$，用于求解最值问题。
柯西-施瓦茨不等式（Cauchy-Schwarz不等式）：对于任意实数序列${a_i}$和${b_i}$，有 $left(sum_{i=1}^{n}a_i^2right)left(sum_{i=1}^{n}b_i^2right) geq left(sum_{i=1}^{n}a_ib_iright)^2$，用于证明与内积有关的不等式问题。

基本不等式公开课课件完整版

基本不等式公开课课件完整版
4
基本不等式的形式与特点
基本不等式的形式
包括一元一次不等式、一 元二次不等式、分式不等 式等。
2024/1/25
基本不等式的特点
具有普遍性、客观性、可 解性等。
基本不等式的应用
在解决数学问题时，经常 需要运用基本不等式进行 求解或证明。
5
基本不等式的几何意义
1 2
一元一次不等式的几何意义
表示平面直角坐标系中的一条直线将平面分成两 部分，其中一部分为满足不等式的区域。
应用
在证明不等式、求最值等问题中有广泛应用，如利用柯西-施瓦茨不 等式证明均值不等式。
2024/1/25
22
赫尔德不等式
2024/1/25
定义
对于非负实数序列 {a_i} 和正实数 p, q 满足 1/p + 1/q = 1，有 (∑a_i^p)^(1/p) * (∑a_i^q)^(1/q) ≥ ∑a_i，其中“∑”表示求和符号。
感谢观看
2024/1/25
31
26
常见误区与注意事项
2024/1/25
不等式性质理解的误区
学生常常对不等式的基本性质理解不透彻，如反向不等式的错误 使用等。
忽视定义域的问题
在解不等式时，学生有时会忽视定义域的限制，导致解集错误。
解法选择不当
针对不同类型的不等式，应选择适当的解法。学生有时会选择复杂 的解法，导致解题效率低下。
27
例题3
已知函数$f(x) = x^2 - 2ax + 3$在区间$(-infty, 2]$上是减函 数，求$a$的取值范围。
例题4
已知不等式$|x - a| < b$的解集 为${ x | -1 < x < 3 }$，求$a +

基本不等式课件(公开课)

基本不等式课件(公开课)
(2)若a 0,b 0, 那么 ab a b 2
（当且仅当a=b时，取“=”号）
2.注意公式的正向、逆向使用的条件以及“=”
成立的条件.
3.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.
课本第100页习题3.4A第1﹑2题。
３.S与S′有什么关系？
形的角度 D
G
F
C
A
HE
B
当直角三角形变为等腰直角三角形时，正方形 EFGH缩为一个点，这时有正方形的面积等于四个 等腰直角三角形的面积和.
数的角度
当a=b时，a2+b2=2ab
5.当a,b为任意实数时， a2 b2 2a b
还成立吗？
结论1：一般地,对于任意实数a、b，我们有
变式1：x
1
有最小值吗？
x
变式2：
x2
2
1
最小值是2吗？
x2 2
变式3：若x>1，求 x 1 的1最小值.
变式4：若x>1，求 x 的1最小x 值1能直接用均值不等式
吗？
x 1
课堂小结
1.本节课主要学习了基本不等式的证明与 初步应用.
(1)若a,b∈R，那么a2+b2≥2ab
（当且仅当a=b时，取“=”号）
3.4.1基本不等式
这是2002年在北京召开的第24届国际数学家 大会会标．会标根据中国古代数学家赵爽的弦 图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车， 代表中国人民热情好客。
D
a2 b2
b
G
F
A
aH E
B
探究１：
1.正方形ABCD的
面积S=＿a＿2＿＿＿b 2
C
２.四个直角三角形的
面积和S′=＿2＿ab

基本不等式ppt课件

对于任意实数a和b，$(a-b)^2 \geq 0$，即 $a^2 - 2ab + b^2 \geq 0$。
利用均值不等式证明
对于任意实数a和b，$a^2 + b^2 \geq 2ab$，即$(a-b)^2 \geq 0$。
利用导数证明
对于任意实数a和b，设f(x) = x^2 - 2x(a+b) + (a+b)^2，则f'(x) = 2x - 2(a+b) = 2(x-ab)，当x≥a+b时，f'(x) ≥0；当x ≤ a+b时， f'(x) ≤0。故f(x)在区间[a+b, +\infty)上单调 递增，在区间(-\infty, a+b]上单调递减。于 是有f(x) ≥ f(a+b) = a^2 - 2ab + b^2 ≥0 。
02
基本不等式的应用
几何意义
直线和圆
利用基本不等式可以判断直线和圆的 位置关系，以及求解圆中弦长等几何 问题。
面积和体积
利用基本不等式可以求解一些涉及面 积和体积的问题，例如在给定周长的 条件下，求矩形或立方体的最大面积 或体积等。
代数意义
方程
利用基本不等式可以求解一些涉及方程的问题，例如利用基本不等式求根，判 断方程解的个数等。
证明方法
利用代数公式和实数的性质进行 证明。
基本不等式的性质
非负性
对于任意实数a和b，总有$(a-b)^2 \geq 0$，即$a^2 - 2ab + b^2 \geq 0$。
等号成立条件
当且仅当a=b时，基本不等式取等号。
传递性
若a≥b，c≥d，则ac≥bd。
基本不等式的证明

基本不等式(共43张)ppt课件

15
判别式及根的关系
根的关系
判别式：$Delta = b^2 4ac$，用于判断一元二次方
程的根的情况。
01
02
03
当 $Delta > 0$ 时，方程有 两个不相等的实根；
当 $Delta = 0$ 时，方程有 两个相等的实根（即一个重
根）；
04
2024/1/25
05
当 $Delta < 0$ 时，方程无 实根，有两个共轭复根。
基本不等式性质
传递性
若$a > b$且$b > c$，则$a > c$。
正数乘法保序性
若$a > b > 0$且$c > d > 0$ ，则$ac > bd$。
对称性
若$a = b$，则$b = a$；若 $a > b$，则$b < a$。
2024/1/25
可加性
若$a > b$且$c > d$，则$a + c > b + d$。
2024/1/25
35
思考题与练习题
思考题：如何利用均值不 等式证明其他不等式？
2024/1/25
|x - 3| < 5
练习题：解下列不等式， 并在数轴上表示解集
(x + 1)/(x - 2) > 0
36
THANKS。
2024/1/25
37
次不等式组来解决。
12
03
一元二次不等式解法
2024/1/25
13
一元二次不等式概念
一元二次不等式
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式。
标准形式
$ax^2+bx+c>0$ 或 $ax^2+bx+c<0$，其中 $a neq 0$。

基本不等式公开课课件


三角函数值的比较
三角函数的最值
三角恒等式的证明
04
基本不等式的推广
柯西不等式
总结词 详细描述
均值不等式
总结词 详细描述
贝努利不等式
总结词
详细描述
贝努利不等式表明对于任何正整数n和 正实数x，都有(x+1/x)^n >= x^n + n*x^(n-1)/n。这个不等式在证明其他 不等式和解决优化问题时非常有用。
对于任何正数a、b，有$frac{a+b}{2} geq sqrt{ab}$。
性质
不等式的传递性 不等式的加法性质 不等式的乘法性质
分类
严格不等式与非严格不等式
1
单调性
2
可比与不可比
3
02
基本不等式的证明方法
代数证法
代数证法是通过代数运算和代数 恒等式来证明基本不等式的方法。
常用的代数恒等式包括平方差公 式、完全平方公式、均值不等式
等。
代数证法通常需要经过一系列的 推导和变换，最终得出基本不等
式的结论。
几何证法
几何证法是通过几何图形和几 何性质来证明基本不等式的方法。
常用的几何图形包括三角形、 矩形、圆等。
几何证法通常利用几何图形的 性质和面积、周长等计算来证 明基本不等式。
Hale Waihona Puke 函数证法反证法反证法是通过假设相反的结论来证明 基本不等式的方法。
反证法需要严密的逻辑推理和推理能 力，是数学证明中常用的一种方法。
反证法通常先假设基本不等式不成立， 然后推导出矛盾，从而证明基本不等 式成立。
03
基本不等式的应用
在代数中的应用
01
02
代数式简化

基本不等式公开课课件

基本不等式公开课课件一、引言基本不等式是数学中的重要概念，它在解决实际问题、证明数学定理等方面起到了重要的作用。

本课件旨在介绍基本不等式的概念、性质和解题方法，帮助学生理解并掌握基本不等式的应用。

二、基本不等式的概念1. 不等式的定义和符号不等式是数学中一种表示大小关系的表达式。

通常用不等号（>、<、≥、≤）表示。

2. 基本不等式的定义基本不等式是指具有普遍适用性和重要性的不等式。

常见的基本不等式有：算术平均-几何平均不等式、柯西-施瓦茨不等式、均值不等式等。

三、基本不等式的性质1. 不等式的运算性质基本不等式满足不等式的运算性质，包括加法法则、乘法法则和取反法则等。

2. 不等式的传递性质如果对于任意的实数a、b、c，若a < b，b < c，则有a < c。

这种传递性质在解决不等式问题时具有重要意义。

四、基本不等式的应用1. 不等式求解方法不等式求解的一般步骤包括：将不等式转化为等价的形式、求解等价不等式，最后给出不等式的解集。

2. 基本不等式的应用举例例1：应用算术平均-几何平均不等式证明某个数值组的最优解。

例2：利用基本不等式解决实际问题，如最优化问题、优化调整问题等。

五、基本不等式的证明1. 不等式的证明方法常见的不等式证明方法有：直接证明法、间接证明法（反证法）、数学归纳法等。

2. 不等式的证明举例例：使用间接证明法证明算术平均-几何平均不等式。

六、课堂练习为了巩固学生对基本不等式的掌握，本课件设置了一些课堂练习，供学生在课后完成。

七、总结通过本课件的学习，我们了解了基本不等式的概念、性质和应用。

基本不等式作为数学中的重要工具，在解决实际问题和证明数学定理中具有广泛的应用。

希望同学们能够通过课后的练习进一步巩固对基本不等式的理解和运用能力。

  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
易得|| ≤ ||
D
且
A
a
O
C b
D’
B
故
+
得CD= 即 ≤

ab
ab
几何解释：
2
基本不等式
半弦长小于等于半径。
常用的不等式
①重要不等式：a 2 b 2 2ab (a ,b R )
②基本不等式：
注意：
ab
a 0, b 0
ab
2
不等式的适用范围
品味数学之美，感悟数学文化.
作
业
1. 书面作业：
课本Ｐ114页习题3.4 A组 1
2. 知识拓展：
是否还有其他证明基本不等式的方法
和几何解释？
谢谢大家！
猜想：关于a+b有怎样的不等式？
ab
a 0, b 0
②基本不等式： ab
2
当且仅当a=b时，等号成立.
a b ：算术平均数
2
ab ：几何平均数
两个正数几何平均数不大于它们的算术平均
数
几何解释
如图，AB是圆的直径，点C是AB上的一点,过
点C的弦 DD ' 垂直于AB,AC= a ,BC=b.
③基本不等式的变形：
a b 2 ab
a b

ab
2
2
例1.求函数 f( x ) x
1
x
变式1.求函数f( x ) x
( x ＞ 0 ）求最小值.
4
x
( x ＞ 0 ）求最小值.
1
变式2.求函数 f( x ) x
( x ＞ 1 ）求最小值.
x -1
归纳小结：用基本不等式要注意
，
例题2. 若 > , > , 且 + = , 求的最小值.
变式1. 若 > , > , 且 + = , 求的最小值.
结论: 已知x、y都是正数,则：
(1)如果和x y是 定值S ,
1 2
那么当x y时,积xy有最大值 S ;
2
2
2
= + − =
G
F
H
E
b
B
2
C 而+ − = +
得 + =
“用面积关系证明相等关系”
探索不等关系
问1：在正方形ABCD中,设AF=a,BF=b,
则AB= a 2 b 2 则正方形的面积为S= a 2 b 2 。
问2：Rt△ABF,Rt△BCG,Rt△CDH,Rt△ADE是全等三
4
(2)如果积xy是 定值P ,
那么当x y时,和x y有最小值2 p
归纳小结
（1）两个正数的 积 为定值，和
有最小值
（2）两个正数的 和 为定值，积
有最大值
ab
基本不等式：a, b R , ab
2
当且仅当a=b时，等号成立.
基本不等式求证过程中蕴含的数学
思想方法：数形结合（数形统一）.
公开课
3.4 基本不等式
如图，这是2002在北京
召开的第24届国际数学
家大会会标．
创设情境、体会感知：
三国时期吴国的数学家
赵爽
思考：这会标中含有
怎样的几何图形？
思考：你能否在这个图
案中找出一些相等关系
或不等关系？
你能在图中找出一些面积的相等或不等关系吗？
赵爽“弦图”
D
A
a
c
证明
a b c ?
2ab
角形，它们的面积总和是S’=———
D
问3：观图形S与S’有什么样的大
小关系？易得，s > s’,即
a b 2ab
2
G
H
C
2
问4：那么它们有相等的情况吗？
何时相等？
变化的弦图
E
A
F
a
c
a 2 b2
b
B
①重要不等式：a 2 b 2 2ab (a ,b R )
a 2 b2 2ab