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公开课
3.4 基本不等式
如图，这是2002在北京
召开的第24届国际数学
家大会会标．
创设情境、体会感知：
三国时期吴国的数学家
赵爽
思考：这会标中含有
怎样的几何图形？
思考：你能否在这个图
案中找出一些相等关系
或不等关系？
你能在图中找出一些面积的相等或不等关系吗？
赵爽“弦图”
D
A
a
c
证明
a b c ?
x -1
归纳小结：用基本不等式要注意
，
例题2. 若 > , > , 且 + = , 求的最小值.
变式1. 若 > , > , 且 + = , 求的最小值.
结论: 已知x、y都是正数,则：
(1)如果和x y是 定值S ,
1 2
那么当x y时,积xy有最大值 S ;
品味数学之美，感悟数学文化.
作
业
1. 书面作业：
课本Ｐ114页习题3.4 A组 1
2. 知识拓展：
是否还有其他证明基本不等式的方法
和几何解释？
谢谢大家！
③基本不等式的变形：
a b 2 ab
a b
ab
2
2
例1.求函数 f( x ) x
1
x
变式1.求函数f( x ) x
( x ＞ 0 ）求最小值.
4
x
( x ＞ 0 ）求最小值.
1
变式2.求函数 f( x ) x
wk.baidu.com( x ＞ 1 ）求最小值.
2
2
2
= + − =
G
F
H
E
b
B
2
C 而+ − = +
得 + =
“用面积关系证明相等关系”
探索不等关系
问1：在正方形ABCD中,设AF=a,BF=b,
则AB= a 2 b 2 则正方形的面积为S= a 2 b 2 。
问2：Rt△ABF,Rt△BCG,Rt△CDH,Rt△ADE是全等三
4
(2)如果积xy是 定值P ,
那么当x y时,和x y有最小值2 p
归纳小结
（1）两个正数的 积 为定值，和
有最小值
（2）两个正数的 和 为定值，积
有最大值
ab
基本不等式：a, b R , ab
2
当且仅当a=b时，等号成立.
基本不等式求证过程中蕴含的数学
思想方法：数形结合（数形统一）.
2ab
角形，它们的面积总和是S’=———
D
问3：观察图形S与S’有什么样的大
小关系？易得，s > s’,即
a b 2ab
2
G
H
C
2
问4：那么它们有相等的情况吗？
何时相等？
变化的弦图
E
A
F
a
c
a 2 b2
b
B
①重要不等式：a 2 b 2 2ab (a ,b R )
a 2 b2 2ab
易得|| ≤ ||
D
且
A
a
O
C b
D’
B
故
+
得CD= 即 ≤
ab
ab
几何解释：
2
基本不等式
半弦长小于等于半径。
常用的不等式
①重要不等式：a 2 b 2 2ab (a ,b R )
②基本不等式：
注意：
ab
a 0, b 0
ab
2
不等式的适用范围
猜想：关于a+b有怎样的不等式？
ab
a 0, b 0
②基本不等式： ab
2
当且仅当a=b时，等号成立.
a b ：算术平均数
2
ab ：几何平均数
两个正数几何平均数不大于它们的算术平均
数
几何解释
如图，AB是圆的直径，点C是AB上的一点,过
点C的弦 DD ' 垂直于AB,AC= a ,BC=b.
