大于
＞
至多
≤
小于
＜
至少
≥
大于等于 ≥
不少于
≥
小于等于 ≤
不多于
≤
2. 当问题中同时满足几个不等关系时， 应当用不等式组来表示它们之间的关系。
3. 当问题中涉及两个变量时，则选用 两个未知数x,y来表示对应的变量，并抽象 概括出二元不等式（组）。
4. 实际应用中注意所设未知数本身的 实际意义
关于实数a,b大小的比较，有以下的事实：
a - b > 0 <=> a > b a - b = 0 <=> a = b a - b < 0 <=> a < b
比较两个实数a与b的大小,归结为判断它们的差a-b 的符号
二. 比较两实数大小的方法 —作差比较法：
a - b > 0 <=> a > b
a - b = 0 <=> a = b
这是我们研究不 等关系的出发点
0.2
x
万元.
那么不等关系“销售的总收入不低于20万元”可
以表示为不等式：
8
x
2.5 0.1
0.2
x
20
问题3.某钢铁厂要把长度为4000mm的钢管截成 500mm和600mm两种,按照生产的要求,600mm钢 管的数量不能超过500mm钢管的3倍.怎样写出 满足上述所有不等关系的不等式呢?
a - b < 0 <=> a < b
比较两个实数a与b的大小,归结为判断它们的差a-b的符号
比较两个代数式的大小，实际上也是比较它们的值的 大小，而这也归结为判断它们的差的符号．
比较x 2 y 2 1与2x y 1的大小
研探新知：
思考：等式有一些基本性质,如“等式两边加（减 ）同一个数（或 式子），结果仍相等”。不等式 是否也有类似的性质呢？ 三.不等式的基本性质：
证明：a c b d a b c d 0
性质6
a c b d 如果a>b>0,c>d>0,则ac>bd.
(同向且正可 乘性)
注：两边都是正数的同向不等式相乘，所得不等式与原不
等式同向. 证明：
a
b
0, c
d
0,
ac bc 0,bc bd 0,
性质1 如果a>b,那么b<a;如果a<b,那么b>a.即
abba
(对称性)
性质2 如果a>b,b>c,那么a>c.即 (传递性)
a b,b c a c
注意：同向不等式才能传递.
性质3 如果a>b,那么a+c>b+c.
变式：移项法则 a b c a c b
注：不等式中任何一项可以改变符号后移到不等 号的另一边.
现实世界和日常生活中，既有相等关系， 又存在着大量的不等关系．如两点之间线 段最短，三角形两边之和大于第三边，等 等．
A
A
B
B
C实际生活中: 长短源自轻重一.用不等式表示不等关系
请看下面现实生活的例子:
1.右图是限速40 km/h的路标，
指示司机在前方路段行驶时，
40
应使汽车的速度v不超过40 km/h，
解:设截得500mm的钢管数x根,截得600mm的钢管y根，则
500x 600y 4000
不等关系为不等式组： 3x y
x0 y0
【提升总结】
1. 将实际的不等关系写成对应的不等 式时，应注意实际问题中关键性的文字语 言与数学符号间的正确转换.
文字语言 数学符号 文字语言 数学符号
写成不等式就是：__v_≤__4__0____.
2.某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪
的含量f应不少于2.5％ ，蛋白质的含量p应
不少于2.3％， 写成不等式组为
f≥2.5% p≥2.3%
请看下面数学中的问题: 问题1 设点A与平面α 的距离为d，B为平面 α 上的任意一点，则d ≤ |AB| （填“≤”，“≥”） A
B
d
Ｏ
B
B
问. 题2：某种杂志原以每本2.5元的价格销售 ，可以售出8万本。根据市场调查，若单价每 提高0.1元，销售量就可能相应减少2000本。 若把提价后杂志的定价设为x元，怎样用不等 式表示销售的总收入仍不低于20万元？
分析：若杂志的定价为x元，则销售的总收入为：
8
x
2.5 0.1
如果a>b,c=0,那么ac=bc.
性质5 如果a>b,c>d,那么a+c>b+d.
性质6 如果a>b>0,c>d>0,则ac>bd. 性质7 如果a>b>0,那么 an bn(n∈N,n≥2)
性质8 如果a>b>0,那么 n a n b, (n∈N,n≥2)
例题选讲
题型一、利用不等式的性质判断命题真假
例1.判断题:
1.若a b,则ac2 bc2.
×
2.若a b,c d,则ac bd.
×
3.若a b,则an bn (n N, n 2) ×
4.若a b,则n a n bn N,n 2 ×
5.若a b,则 1 1 ab
×
6.若a b 0,则 1 1
以上这些关于不等式的事实和性质是解决 不等式问题的基本依据.
三.不等式的基本性质：
性质1 a b b a
性质2 a b,b c a c
使用时注意弄 清每条性质的 条件和结论.
性质3 如果a>b,那么a+c>b+c.
性质4 如果a>b,c>0,那么ac>bc.
如果a>b,c<0,那么ac<bc.
性质4 如果a>b,c>0,那么ac>bc. 如果a>b,c<0,那么ac<bc. 如果a>b,c=0,那么ac=bc.
注意：不等式两边同乘一个正数，不等式方向不变；
不等式两边同乘一个负数，不等式方向相反.
思考：证明不等式的下列性质：
性质5 如果a>b,c>d,则a+c>b+d. (同向可加性)
注：同向不等式相加，所得不等式与原不等式同向.
ac bd
由两个可推广到多个
性质7 如果a>b>0,那么 an bn (n∈N,n≥１)
(乘方法则)
注意:当不等式两边都是正数时，不等式两边同时乘 方所得的不等式和原不等式同向.
性质8 如果a>b>0,那么 n a n b (n∈N,n≥2)
(开方法则) 注意:当不等式两边都是正数时，不等式两 边同时开方所得的不等式和原不等式同向.
√
ab
6.若a b 0,则 1 1 ab
