1.5有理数除法〔第3课时〕教学目标：1．了解有理数除法的定义．2.经历根据除法是乘法的逆运算的过程, 归纳出有理数的除法法那么3.掌握有理数除法法那么, 理解零不能做除数．4.理解除法转化为乘法, 让学生体会转化思想．5.会运用除法法那么求两个有理数的商, 会进行简单的混合运算 教学重点：除法法那么的灵活运用和倒数的概念．教学难点：有理数除法确定商的符号后, 怎样根据不同的情况来取适当的方法求商的绝对值．学法引导： 1．教学方法：遵循启发式教学原那么, 注意创设问题情境, 精心构思启发导语并及时点拨,使学生主动开展思维和能力．2．学生学法：通过练习探索新知→归纳除法法那么→ 教学程序设计：二．探索新知 讲授新课新知一 有理数除法法那么一交流：１.两数相除, 商的符号与被除数、除数符号有何关系？ ２. 商的绝对值与被除数、除数符号有何关系？ ３.零除以一个不为零的数, 商为多少？ 有理数除法法那么一：１. .两数相除, 同号得正, 异号得负, 并把绝对值相除. ２. 零除以一个不为零的数仍得零, 零不能做除数.1.小学里学过有关倒数的概念是什么？怎么求一个数的倒数？〔用1除以这个数〕 4和32的倒数是多少？0有倒数吗？为什么没有？2.小学里学过的除法与乘法有何关系？例如10÷0.5=10×2；0÷5=0×51, 你能总结出一句话吗？〔除以一个数等于乘以这个数的倒数〕÷0=？, 0÷0=？呢？〔这些式子无意义〕也就是说0是没有倒数的.4.我们的求倒数的法那么在有理数范围中同样适用吗？你能说说以下各数的倒数是多少吗？4, 2．5, -9, -37, -1, a , a －1, 3a , abc , -xy 〔各字母式不为0〕说明：一个数的倒数与其是正数或负数无关． 【教法说明】有理数的除法同小学算术中除法一样—除以一个数等于乘以这个数的倒数, 所以必须以学好求一个有理数的倒数为根底学习有理数的除法． 新知二 倒数口答： 4×〔 〕＝1；32×〔 〕＝1； 0.5×〔 〕＝1； 0×〔 〕＝1； －4×〔 〕＝1； 53- ×〔 〕＝1．【教法说明】在有理数乘法的根底上, 学生很容易地做出这几个题目, 在题目的选择上, 注意了数的全面性, 即有正数、0、负数, 又有整数、分数, 在数的变化中, 让学生回忆、体会出求各种数的倒数的方法．师问：两个数乘积是1, 这两个数有什么关系？ 学生活动：乘积是1的两个数互为倒数．〔板书〕 师问：0有倒数吗？为什么？学生活动：通过题目0×〔 〕＝1得出0乘以任何数都不得1, 0没有倒数． 师：引入负数后, 乘积是1的两个负数也互为倒数, 如－4与41-, 56-与65-互为倒数, 即的倒数是a1〔≠０〕．练习：求以下各数的倒数： 722-； 3；；5； －5；1；-1, a, a －1, 3a, abc, -xy 〔各字母式不为0〕学生活动：通过思考口答这个小题, 讨论后得出, 求整数的倒数是用1除以它, 求分数的倒数是分子分母颠倒位置；求小数的倒数必须先化成分数再求． 说明：一个数的倒数与其是正数或负数无关 新知三：有理数的除法法那么二 计算：8÷〔－4〕．计算：8×〔41-〕＝？ 〔－2〕 ∴8÷〔－4〕＝8×〔41-〕．再尝试：－16÷〔－2〕＝？ －16×〔21-〕＝？ 师：根据以上题目, 你能说出怎样计算有理数的除法吗？能用含字母的式子表示吗？ 有理数除法法那么二：除以一个不为零的数, 等于乘以这个数的倒数用式子表示为：【教法说明】通过学生亲自演算和教师的引导, 对有理数除法法那么及字母表示有了非常清楚的认识, 教师放手让学生总结法那么, 尤其是字母表示, 训练学生的归纳及口头表达能力．三．应用迁移 稳固提高例1 计算〔-8〕÷〔-4〕； 〔-3.2〕÷0.08； 〔61-〕÷32；尝试反应, 稳固练习1．计算：〔1〕〔－18〕÷6；〔2〕〔－63〕÷〔－7〕；〔3〕〔－36〕÷6；〔4〕1÷〔－9〕；〔5〕0÷〔－8〕；〔6〕16÷〔－3〕．2．计算：〔1〕〔〕÷〔〕；〔2〕〔－6.5〕÷0.13；〔3〕〔〕÷〔〕；〔4〕÷〔－1〕．学生活动：1题让学生抢答2题在练习本上演示, 两个同学板演〔教师订正〕．一元二次方程根的判别式及根与系数的关系◆【课前热身】1.方程〔2x－1〕〔3x+1〕=x2+2化为一般形式为______, 其中a=____, b=____, c=____．2.关于x的一元二次方程mx2+nx+m2+3m=0有一个根为零, 那么m的值等于_____．3.关于x的一元二次方程x2+mx+n=0的两个根为x1=1, x2=－2, 那么x2+mx+n分解因式的结果是______．4.关于x的一元二次方程2x2－3x－a2+1=0的一个根为2, 那么a的值是〔〕A．1 B33 D35.假设关于x的一元二次方程〔m－1〕x2+5x+m2－3m+2=0的常数项为0, 那么m的值等于〔〕 A．1 B．2 C．1或2 D．0【参考答案】1. 5x2－x－3=0 5 －1 －32.－33.〔x－1〕〔x+2〕◆【考点聚焦】知识点：一元二次方程根的判别式、判别式与根的个数关系、判别式与根、韦达定理及其逆定理 大纲要求:1.掌握一元二次方程根的判别式, 会判断常数系数一元二次方程根的情况.对含有字母系数的由一元二次方程, 会根据字母的取值范围判断根的情况, 也会根据根的情况确定字母的取值范围；2.掌握韦达定理及其简单的应用；3.会在实数范围内把二次三项式分解因式；4.会应用一元二次方程的根的判别式和韦达定理分析解决一些简单的综合性问题. ◆【备考兵法】〖考查重点与常见题型〗1.利用根的判别式判别一元二次方程根的情况, 有关试题出现在选择题或填空题中, 如：关于x 的方程ax 2－2x ＋1＝0中, 如果a<0, 那么根的情况是〔 〕 〔A 〕有两个相等的实数根 〔B 〕有两个不相等的实数根 〔C 〕没有实数根 〔D 〕不能确定的关系求有关两根的代数式的值, 有关问题在中考试题中出现的频率非常高, 多为选择题或填空题, 如：设x 1, x 2是方程2x 2－6x ＋3＝0的两根, 那么x 12＋x 22的值是〔 〕 〔A 〕15 〔B 〕12 〔C 〕6 〔D 〕33．在中考试题中常出现有关根的判别式、根与系数关系的综合解答题.在近三年试题中又出现了有关的开放探索型试题, 考查了考生分析问题、解决问题的能力. 在一元二次方程的应用中, 列一元二次方程解应用问题的步骤和解法与前面讲过的列方程解应用题的方法步骤相同, 但在解题中心须注意所求出的方程的解一定要使实际问题有意义, 凡不满足实际问题的解〔虽然是原方程的解〕一定要舍去． 易错知识辨析：〔1〕在使用根的判别式解决问题时, 如果二次项系数中含有字母, 要加上二次项系数不为零这个限制条件.〔2〕应用一元二次方程根与系数的关系时, 应注意：① 根的判别式042≥-ac b ；② 二次项系数0a ≠, 即只有在一元二次方程有根的前提下, 才能应用根与系数的关系.◆【考点链接】关于x 的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的根的判别式为 .〔1〕ac b 42->0⇔一元二次方程()002≠=++a c bx ax 有两个 实数根, 即=2,1x .〔2〕ac b 42-=0⇔一元二次方程有 相等的实数根, 即==21x x .〔3〕ac b 42-<0⇔一元二次方程()002≠=++a c bx ax 实数根.2．一元二次方程根与系数的关系假设关于x 的一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有两根分别为1x , 2x , 那么=+21x x , =⋅21x x .◆【典例精析】例1〔四川绵阳〕关于x 的一元二次方程x 2+ 2〔k －1〕x + k 2－1 = 0有两个不相等的实数根．〔1〕求实数k 的取值范围；〔2〕0可能是方程的一个根吗？假设是, 请求出它的另一个根；假设不是, 请说明理由．【分析】这是一道确定待定系数m 的一元二次方程, •又讨论方程解的情况的优秀考题, 需要考生具备分类讨论的思维能力．【答案】〔1〕△= [ 2〔k —1〕] 2－4〔k 2－1〕= 4k 2－8k + 4－4k 2+ 4 =－8k + 8． ∵ 原方程有两个不相等的实数根,∴ －8k + 8＞0, 解得 k ＜1, 即实数k 的取值范围是 k ＜1．〔2〕假设0是方程的一个根, 那么代入得 02+ 2〔k －1〕· 0 + k 2－1 = 0, 解得 k =－1 或 k = 1〔舍去〕． 即当 k =－1时, 0就为原方程的一个根．此时, 原方程变为x2－4x = 0, 解得x1 = 0, x2 = 4, 所以它的另一个根是4．例2〔北京〕以下n〔n为正整数〕个关于x的一元二次方程：x2－1=0 〔1〕x2+x－2=0 〔2〕x2+2x－3=0 〔3〕……x2+〔n－1〕x－n=0 〔n〕〔1〕请解上述一元二次方程〔1〕, 〔2〕, 〔3〕, 〔n〕；〔2〕请你指出这n个方程的根具有什么共同特点, 写出一条即可．【分析】由具体到一般进行探究．【答案】〔1〕<1>〔x+1〕〔x－1〕=0, 所以x1=－1, x2=1．<2>〔x+2〕〔x－1〕=0, 所以x1=－2, x2=1．<3>〔x+3〕〔x－1〕=0, 所以x1=－3, x2=1．……<n>〔x+n〕〔x－1〕=0, 所以x1=－n, x2=1．〔2〕比方：共同特点是：都有一个根为1；都有一个根为负整数；两个根都是整数根等．【点评】本例从教材要求的根本知识出发, 探索具有某种特点的方程的解题规律及方程根与系数之间的关系, 注重了对学生观察、类比及联想等数学思想方法的考查．例3〔江苏南京〕某村方案建造如下图的矩形蔬菜温室, 要求长与宽的比为2：1, 在温室内沿前侧内墙保存3m宽的空地, 其他三侧内墙各保存1m宽的通道．当矩形温室的长与宽各为多少时, 蔬菜种植区域的面积是288m2？【答案】解法一：设矩形温室的宽为xm, 那么长为2xm, 根据题意, 得〔x－2〕·〔2x－4〕=288．解这个方程, 得x1=－10〔不合题意, 舍去〕, x2=14．所以x=14, 2x=2×14=28．答：当矩形温室的长为28m, 宽为14m 时, 蔬菜种植区域的面积是288m 2． 解法二：设矩形温室的长为xm, 那么宽为12xm ． 根据题意, 得〔12x －2〕·〔x －4〕=288． 解这个方程, 得x 1=－20〔不合题意, 舍去〕, x 2=28． 所以x=28×12x =12×28=14． 答：当矩形温室的长为28m, 宽为14m 时, 蔬菜种植区域的面积是288m 2．【解析】在一元二次方程的应用中, 列一元二次方程解应用问题的步骤和解法与前面讲过的列方程解应用题的方法步骤相同, 但在解题中心须注意所求出的方程的解一定要使实际问题有意义, 凡不满足实际问题的解〔虽然是原方程的解〕一定要舍去． ◆【迎考精练】 一、选择题1.〔台湾〕假设a 、b 为方程式x 2-4(x +1)=1的两根, 且a ＞b , 那么ba=______？ A ．－5 B ．－4 C ．1 D. 32.〔2021年湖南株洲〕定义：如果一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠满足0a b c ++=, 那么我们称这个方程为“凤凰〞方程. 20(0)ax bx c a ++=≠ 是“凤凰〞方程, 且有两个相等的实数根, 那么以下结论正确的选项是A ．a c =B ．a b =C ．b c =D ． a b c ==3.(四川成都)假设关于x 的一元二次方程2210kx x --=有两个不相等的实数根, 那么k 的取值范围是A.1k >-B.1k >-且0k ≠C.1k <D. 1k <且0k ≠ 4.〔内蒙古包头〕关于x 的一元二次方程2210x mx m -+-=的两个实数根分别是12x x 、,且22127x x +=, 那么212()x x -的值是〔 〕A ．1B ．12C ．13D ．255.〔湖北荆州〕关于x 的方程2(2)20ax a x -++=只有一解〔相同解算一解〕, 那么a 的值为〔 〕A ．0a =B ．2a =C ．1a =D ．0a =或2a = 6.〔山东烟台〕设a b ，是方程220090x x +-=的两个实数根, 那么22a a b ++的值为〔 〕A ．2006B ．2007C ．D ．7．〔湖北宜昌〕设方程x 2－4x －1=0的两个根为x 1与x 2, 那么x 1x 2的值是( )．A ．－4B ．－1C ．1D ． 0 8．〔湖北十堰〕以下方程中, 有两个不相等实数根的是〔 〕．A ．0122=--x xB ．0322=+-x xC ．3322-=x x D ．0442=+-x x9．〔四川眉山〕假设方程2310x x --=的两根为1x 、2x , 那么1211x x +的值为( ) A ．3 B ．－3 C ．13D ．13-10．〔山东东营〕假设n 〔0n ≠〕是关于x 的方程220x mx n ++=的根, 那么m +n 的值为〔 〕A.1B.2 1 D.-2二、填空题1.(上海市)如果关于x 的方程20x x k -+=〔k 为常数〕有两个相等的实数根, 那么k = ．2.〔山东泰安〕关于x 的一元二次方程02)12(22=-+++-k x k x 有实数根, 那么k 的取值范围是 .3.〔广西崇左〕一元二次方程230x mx ++=的一个根为1-, 那么另一个根为 ． 4.〔广西贺州〕关于x 的一元二次方程02=--m x x 有两个不相等的实数根, 那么实数m 的取值范围是 ． 三、解答题1.〔山东淄博〕 12x x ，是方程220x x a -+=的两个实数根, 且12232x x +=-〔1〕求12x x ，及a 的值； 〔2〕求32111232x x x x -++的值．2．(广东中山)：关于x 的方程2210x kx +-= 〔1〕求证：方程有两个不相等的实数根；〔2〕假设方程的一个根是1-, 求另一个根及k 值．3.〔重庆江津区〕ａ、ｂ、ｃ分别是△ABC 的三边, 其中ａ＝1, ｃ＝4, 且关于x 的方程042=+-b x x 有两个相等的实数根, 试判断△ABC 的形状.4．〔湖南怀化〕如图, 二次函数22)(m k m x y -++=的图象与x 轴相交于两个不同的点1(0)A x ，、2(0)B x ，, 与y 轴的交点为C ．设ABC △的外接圆的圆心为点P ．〔1〕求P ⊙与y 轴的另一个交点D 的坐标；〔2〕如果AB 恰好为P ⊙的直径, 且ABC △的面积等于5, 求m 和k 的值．5．〔湖北黄石〕关于x 的函数21y ax x =++〔a 为常数〕 〔1〕假设函数的图象与x 轴恰有一个交点, 求a 的值；〔2〕假设函数的图象是抛物线, 且顶点始终在x 轴上方, 求a 的取值范围．【参考答案】 选择题 1. A 2. A 3. B 4. C【解析】此题考查一元二次方程根与系数的关系及根的判别式.由题意知：1212.21x x m x x m +=⎧⎨=-⎩又∵()22212121227x x x x x x +=+-= ∴()22217m m --= 得11m =-, 25m = , 而当5m =时, 原方程的判别式2549110∆=-⨯=-<, 此时方程无解, ∴5m =不合题意舍去. ∴12121.3x x x x +=-⎧⎨=-⎩ ()()()()222121212414313x x x x x x -=+-=--⨯-=, 应选 C此题易出错, 学生易在求得11m =-或25m =的两个值后, 代入1212.21x x mx x m +=⎧⎨=-⎩, 求出()()22121212413x x x x x x -=+-=或－11, 易漏掉检验方程是否存在实根.5. D 【解析】此题考查方程的有关知识, 关于x 的方程2(2)20ax a x -++=只有一解, 有两种情况, ①该方程是一元一次方程, 此时0a =, ②该方程是一元二次方程, 方程有两个相等等的实数根, ()22420a a +-=, 解得2a =, 应选D.6. C7. B8. A9. B10. D填空题 1. 41 2. 49-＞k 3.﹣34.14m >- 解答题1. 解：〔1〕由题意,得1212223x x x x +=⎧⎪⎨+=-⎪⎩，解得1211x x =+=-，所以12(11a x x =⋅=+-=-．〔2〕法一： 由题意, 得211210x x --=．所以32111232x x x x -++=32211111223x x x x x x ---++=21112211211x x x x -++++-=-=．法二： 由题意, 得21121x x =+,所以32111232x x x x -++=11112(21)3(21)2x x x x x +-+++=2111122632x x x x x +--++=1122(21)33x x x +--+=1121242331211x x x x x +--+=+-=-=．2. 解：〔1〕2210x kx +-=,2242(1)8k k ∆=-⨯⨯-=+,无论k 取何值, 2k ≥0, 所以280k +>, 即0∆>, ∴方程2210x kx +-=有两个不相等的实数根．〔2〕设2210x kx +-=的另一个根为x , 那么12k x -=-, 1(1)2x -=-, 解得：12x =, 1k =, ∴2210x kx +-=的另一个根为12, k 的值为1． 3. 解:∵方程240x x b -+=有两个相等的实数根∴△=2(4)40b --=∴b=4. ∵c=4.∴b=c=4.∴△ABC 为等腰三角形.4. 解 〔1〕易求得点C 的坐标为(0)k ，由题设可知12x x ，是方程0)(22=-++m k m x 即 022=++k mx x 的两根, 故2122(2)42m m k x -±--=，, 所以12122x x m x x k +=-•=，如图3, ∵⊙P 与y 轴的另一个交点为D , 由于AB 、CD 是⊙P 的 两条相交弦, 设它们的交点为点O , 连结DB ,∴△AOC ∽△DOC , 那么.121===⨯=k k k x x OC OB OA OD由题意知点C 在y 轴的负半轴上, 从而点D 在y 轴的正半轴上, 所以点D 的坐标为〔0, 1〕〔2〕因为AB⊥CD, AB 又恰好为⊙P 的直径, 那么C 、D 关于点O 对称,所以点C 的坐标为(01)-，, 即1-=k 〕 又2222212112()4(2)4221AB x x x x x x m k m k m =-=+-=--=-=+, 所以211211522ABC S AB OC m =⨯=⨯+⨯=△解得.2±=m5. 解：〔1〕当0a =时, 函数为1y x =+, 它的图象显然与x 轴 只有一个交点(10)-，．当0a ≠时, 依题意得方程210ax x ++=有两等实数根． 140a ∴∆=-=, 14a ∴=． ∴当0a =或14a =时函数图象与x 轴恰有一个交点． 〔2〕依题意有4104a a ->分类讨论解得14a >或0a <． 当14a >或0a <时, 抛物线顶点始终在x 轴上方．。
