人教B版数学选修2-2第一章1.3第2课时导数的应用(一)——单调性.docx

【人教B版】高中数学选修2-2学案全集（全册共65页附答案）目录1.2 导数的运算1.3.1 利用导数判断函数的单调性1.3.2 利用导数研究函数的极值1.3.3 导数的实际应用1.4.1 曲边梯形面积与定积分1.4.2 微积分基本定理2.1.1 合情推理2．1.2 演绎推理2.2.1 综合法与分析法2.2.2 反证法2.3 数学归纳法3.1.2 复数的概念3.1.3 复数的几何意义3.2.1 复数的加法与减法3.2.2 复数的乘法3.2.3 复数的除法1.2 导数的运算1．掌握基本初等函数的导数公式，并能利用这些公式求基本初等函数的导数． 2．熟练运用导数的运算法则．3．正确地对复合函数进行求导，合理地选择中间变量，认清是哪个变量对哪个变量求导数．1．基本初等函数的导数公式表y ＝f (x ) y′＝f′(x )(1)求导公式在以后的求导数中可直接运用，不必利用导数的定义去求． (2)幂函数的求导规律：求导幂减1，原幂作系数．【做一做1－1】给出下列结论：①若y ＝1x 3，则y′＝－3x 4；②若y ＝3x ，则y′＝133x ；③若y ＝1x2，则y′＝－2x －3；④若y ＝f (x )＝3x ，则f′(1)＝3；⑤若y ＝cos x ，则y′＝sin x ；⑥若y ＝sin x ，则y′＝cos x ．其中正确的个数是( )．A ．3B ．4C ．5D ．6【做一做1－2】下列结论中正确的是( )．A ．(log a x )′＝a xB ．(log a x )′＝ln 10xC ．(5x )′＝5xD ．(5x )′＝5xln 5 2．导数的四则运算法则(1)函数和(或差)的求导法则： 设f (x )，g (x )是可导的，则(f (x )±g (x ))′＝__________，即两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的____________．(2)函数积的求导法则：设f (x )，g (x )是可导的，则[f (x )g (x )]′＝____________，即两个函数的积的导数等于第一个函数的导数乘上第二个函数，加上第一个函数乘上第二个函数的导数．由上述法则立即可以得出[Cf (x )]′＝Cf′(x )，即常数与函数之积的导数，等于常数乘以____________．(3)函数的商的求导法则：设f (x )，g (x )是可导的，g (x )≠0，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (x )g (x )′＝________________.(1)比较：[f (x )g (x )]′＝f′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )，⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (x )g (x )′＝g (x )f ′(x )－f (x )g ′(x )g 2(x )，注意差异，加以区分．(2)f (x )g (x )≠f ′(x )g ′(x )，且⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (x )g (x )′≠g (x )f ′(x )＋f (x )g ′(x )g 2(x ).(3)两函数的和、差、积、商的求导法则，称为可导函数四则运算的求导法则．(4)若两个函数可导，则它们的和、差、积、商(商的分母不为零)必可导． 若两个函数不可导，则它们的和、差、积、商不一定不可导．例如，设f (x )＝sin x ＋1x ，g (x )＝cos x －1x，则f (x )，g (x )在x ＝0处均不可导，但它们的和f (x )＋g (x )＝sin x ＋cos x 在x ＝0处可导． 【做一做2】下列求导运算正确的是( )．A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ′＝1＋1x2B ．(log 2x )′＝1x ln 2C ．(3x )′＝3x·log 3eD ．(x 2cos x )′＝－2x sin x 3．复合函数的求导法则对于两个函数y ＝f (u )和u ＝g (x )，如果通过变量u ，y 可以表示成x 的函数，那么称这个函数为函数y ＝f (u )和u ＝g (x )的复合函数，记作y ＝f [g (x )]．如函数y ＝(2x ＋3)2是由y ＝u 2和u ＝2x ＋3复合而成的．复合函数y ＝f [g (x )]的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为 y′x ＝y′u ·u ′x .即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．对于复合函数的求导应注意以下几点：(1)分清复合函数是由哪些基本函数复合而成的，适当选定中间变量．(2)分步计算的每一步都要明确是对哪个变量进行求导的，而其中要特别注意的是中间变量的导数．如(sin 2x )′＝2cos 2x ，而(sin 2x )′≠cos 2x .(3)根据基本初等函数的导数公式及导数的运算法则，求出各函数的导数，并把中间变量转换成自变量的函数．如求y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的导数，设y ＝sin u ，u ＝2x ＋π3，则y′x ＝y′u ·u ′x ＝cos u ·2＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3. (4)复合函数的求导熟练后，中间步骤可省略不写． 【做一做3】函数y ＝ln(2x ＋3)的导数为________．1．如何看待导数公式与用定义法求导数之间的关系？剖析：导数的定义本身给出了求导数的最基本的方法，但由于导数是用极限定义的，因此求导数总是归结到求极限，这在运算上很麻烦，有时甚至很困难，利用导数公式就可以比较简捷地求出函数的导数．2．导数公式表中y′表示什么？剖析：y′是f′(x )的另一种写法，两者都表示函数y ＝f (x )的导数． 3．如何理解y ＝C (C 是常数)，y′＝0；y ＝x ，y′＝1?剖析：因为y ＝C 的图象是平行于x 轴的直线，其上任一点的切线即为本身，所以切线的斜率都是0；因为y ＝x 的图象是斜率为1的直线，其上任一点的切线即为直线本身，所以切线的斜率为1.题型一 利用公式求函数的导数 【例题1】求下列函数的导数：(1)y ＝x x ；(2)y ＝1x4；(3)y ＝5x 3；(4)y ＝log 2x 2－log 2x ；(5)y ＝－2sin x2(1－2cos 2x4)．分析：熟练掌握常用函数的求导公式．运用有关的性质或公式将问题转化为基本初等函数后再求导数．反思：通过恒等变形把函数先化为基本初等函数，再应用公式求导． 题型二 利用四则运算法则求导 【例题2】求下列函数的导数：(1)y ＝x 4－3x 2－5x ＋6； (2)y ＝x ·tan x ；(3)y ＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)；(4)y ＝x －1x ＋1.分析：仔细观察和分析各函数的结构规律，紧扣求导运算法则，联系基本函数求导公式，不具备求导法则条件的可适当进行恒等变形，然后进行求导．反思：对于函数求导问题，一般要遵循先化简再求导的基本原则．求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用．在实施化简时，必须注意变换的等价性，避免不必要的运算错误．题型三 求复合函数的导数 【例题3】求下列函数的导数：(1)y ＝(2x ＋1)n(x ∈N ＋)；(2)y ＝⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 5；(3)y ＝sin 3(4x ＋3)；(4)y ＝x cos x 2.分析：选择中间变量是复合函数求导的关键．必须正确分析复合函数是由哪些基本函数经过怎样的顺序复合而成的，分清其间的复合关系．要善于把一部分量、式子暂时当作一个整体，这个暂时的整体就是中间变量．求导时需要记住中间变量，注意逐层求导，不遗漏，其中还应特别注意中间变量的关系，求导后，要把中间变量转换成自变量的函数．反思：对于复合函数的求导，要注意分析问题的具体特征，灵活恰当地选择中间变量．易犯错误的地方是混淆变量，或忘记中间变量对自变量求导．复合函数的求导法则，通常称为链条法则，因为它像链条一样，必须一环一环套下去，而不能丢掉其中的一环．题型四 易错辨析易错点：常见函数的导数公式、导数的四则运算法则、复合函数的求导法则等，记忆不牢或不能够灵活运用，所以在求导时容易出错．牢记公式、灵活应用法则是避免求导出错的关键．【例题4】求函数y ＝12(e x ＋e －x)的导数．错解：y′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12(e x ＋e －x )′＝12(e x ＋e －x )′＝12[(e x )′＋(e －x )′]＝12(e x ＋e －x)．1下列各组函数中导数相同的是( )． A ．f (x )＝1与f (x )＝xB ．f (x )＝sin x 与f (x )＝cos xC ．f (x )＝1－cos x 与f (x )＝－sin xD ．f (x )＝x －1与f (x )＝x ＋12已知函数f (x )＝ax 3＋3x 2＋2，若f′(－1)＝4，则a 的值为( )． A ．193 B ．103 C ．133 D ．1633函数y ＝cos xx的导数是( )．A ．－sin xx2 B ．－sin xC ．－x sin x ＋cos x x 2D ．－x cos x ＋cos xx 24设y ＝1＋a ＋1－x (a 是常数)，则y′等于( )．A ．121＋a ＋121－xB ．121－xC ．121＋a －121－xD ．－121－x5已知抛物线y ＝ax 2＋bx －5(a ≠0)，在点(2,1)处的切线方程为y ＝－3x ＋7，则a ＝________，b ＝________.答案：基础知识·梳理1．nxn －1a xln a1x ln acos x －sin x 【做一做1－1】B 由求导公式可知，①③④⑥正确． 【做一做1－2】D2．(1)f′(x )±g′(x ) 导数和(或差) (2)f′(x )g (x )＋f (x )g′(x ) 函数的导数 (3)fx g x －f x gxg 2x【做一做2】B 由求导公式知，B 选项正确.⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x′＝x ′＋(x －1)′＝1－x －2＝1－1x2.(3x )′＝3x ln 3，(x 2cos x )′＝(x 2)′cos x ＋x 2(cos x )′＝2x cos x －x 2sin x . 【做一做3】y′＝22x ＋3函数y ＝ln(2x ＋3)可看作函数y ＝ln u 和u ＝2x ＋3的复合函数，于是y′x ＝y′u ·u ′x ＝(ln u )′·(2x ＋3)′＝1u ×2＝22x ＋3.典型例题·领悟【例题1】解：(1)y′＝(x x )′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 32′＝32x 32－1＝32x . (2)y′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x4′＝(x －4)′＝－4x －4－1＝－4x －5＝－4x5.(3)y′＝(5x 3)′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 35′＝35x 35－1＝35x －25＝355x 2. (4)∵y ＝log 2x 2－log 2x ＝log 2x ，∴y′＝(log 2x )′＝1x ln 2. (5)∵y ＝－2sin x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2cos 2x 4＝2sin x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos 2x 4－1＝2sin x 2cos x2＝sin x ，∴y′＝cos x .【例题2】解：(1)y′＝(x 4－3x 2－5x ＋6)′＝(x 4)′－3(x 2)′－5x ′－6′＝4x 3－6x －5.(2)y′＝(x ·tan x )′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ·sin x cos x ′＝x ·sin x ′·cos x －x ·sin x cos x ′cos 2x＝sin x ＋x ·cos x ·cos x ＋x ·sin 2xcos 2x＝sin x ·cos x ＋x ·cos 2x ＋x ·sin 2x cos 2x ＝12sin 2x ＋x cos 2x ＋x sin 2x cos 2x ＝sin 2x ＋2x 2cos 2x . (3)方法1：y′＝[(x ＋1)(x ＋2)]′(x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)′＝[(x ＋1)′(x ＋2)＋(x ＋1)(x ＋2)′](x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2) ＝(x ＋2＋x ＋1)(x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2) ＝(2x ＋3)(x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2)＝3x 2＋12x ＋11.方法2：y ＝x 3＋6x 2＋11x ＋6， y′＝3x 2＋12x ＋11.(4)方法1：y′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x ＋1′＝x －1′x ＋1－x －1x ＋1′x ＋12＝x ＋1－x －1x ＋12＝2x ＋12.方法2：y ＝1－2x ＋1， y′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2x ＋1′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x ＋1′＝－2′x ＋1－2x ＋1′x ＋12＝2x ＋12.【例题3】解：(1)y′＝[(2x ＋1)n]′＝n (2x ＋1)n －1·(2x ＋1)′＝2n (2x ＋1)n －1.(2)y′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 5′＝5·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 4·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x ′＝5x4x ＋16.(3)y′＝[sin 3(4x ＋3)]′＝3sin 2(4x ＋3)[sin(4x ＋3)]′＝3sin 2(4x ＋3)·cos(4x ＋3)·(4x ＋3)′＝12sin 2(4x ＋3)cos(4x ＋3)．(4)y′＝(x cos x 2)′＝x ′·cos x 2＋(cos x 2)′·x＝cos x 2－2x 2sin x 2.【例题4】错因分析：y ＝e －x 的求导错误，y ＝e －x 由y ＝e u与u ＝－x 复合而成，因此其导数应按复合函数的求导法则进行．正解：令y ＝e u ，u ＝－x ，则y′x ＝y′u ·u ′x ，所以(e －x )′＝(e u )′(－x )′＝e －x×(－1)＝－e －x，所以y′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12x ＋e －x ′＝12[(e x )′＋(e －x )′]＝12(e x －e －x )． 随堂练习·巩固1．D2．B f′(x )＝3ax 2＋6x ，∴f′(－1)＝3a －6＝4，∴a ＝103.3．C y′＝⎝⎛⎭⎪⎫cos x x ′＝xx －cos x ·x ′x ＝－x sin x －cos xx ＝－x sin x ＋cos xx 2.4．D 由x 是自变量，a 是常数，可知(1＋a )′＝0，所以y′＝(1＋a )′＋(1－x )′＝[(1－x )12]′＝12(1－x )－12·(1－x )′＝－121－x .5．－3 9 ∵y′＝2ax ＋b ，∴y′|x ＝2＝4a ＋b ，∴方程y －1＝(4a ＋b )(x －2)与方程y ＝－3x ＋7相同，即⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋b ＝－3，1－a ＋b ＝7，即4a ＋b ＝－3，又点(2,1)在y ＝ax 2＋bx －5上， ∴4a ＋2b －5＝1.即4a ＋2b ＝6.由⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋b ＝－3，4a ＋2b ＝6，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝9.1.3.1 利用导数判断函数的单调性1．理解可导函数单调性与其导数的关系，会用导数确定函数的单调性． 2．通过比较体会用导数求函数单调区间的优越性．用函数的导数判定函数单调性的法则1．如果在(a ，b )内，f′(x )＞0，则f (x )在此区间是______，(a ，b )为f (x )的单调增区间；2．如果在(a ，b )内，f′(x )＜0，则f (x )在此区间是______，(a ，b )为f (x )的单调减区间．(1)在(a ，b )内，f′(x )＞0(＜0)只是f (x )在此区间是增(减)函数的充分条件而非必要条件．(2)函数f (x )在(a ，b )内是增(减)函数的充要条件是在(a ，b )内f′(x )≥0(≤0)，并且f′(x )＝0在区间(a ，b )上仅有有限个点使之成立．【做一做1－1】已知函数f (x )＝1＋x －sin x ，x ∈(0,2π)，则函数f (x )( )． A ．在(0,2π)上是增函数 B ．在(0,2π)上是减函数C ．在(0，π)上是增函数，在(π，2π)上是减函数D ．在(0，π)上是减函数，在(π，2π)上是增函数【做一做1－2】设f′(x )是函数f (x )的导数，f′(x )的图象如图所示，则f (x )的图象最有可能是( )．1．函数的单调性与其导数有何关系？剖析：(1)求函数f(x)的单调增(或减)区间，只需求出其导函数f′(x)＞0(或f′(x)＜0)的区间．(2)若可导函数f(x)在(a，b)内是增函数(或减函数)，则可以得出函数f(x)在(a，b)内的导函数f′(x)≥0(或f′(x)≤0)．2．利用导数判断函数单调性及单调区间应注意什么？剖析：(1)在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，解决问题时只能在定义域内，通过讨论导数的符号，来判断函数的单调区间．(2)在对函数划分单调区间时，要注意定义域内的不连续点和不可导点．(3)如果一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个，这些单调区间不能用“∪”连接，而只能用“逗号”或“和”字隔开．题型一求函数的单调区间【例题1】求下列函数的单调区间：(1)f(x)＝x－x3；(2)f(x)＝x ax－x2(a＞0)．分析：先求f′(x)，然后解不等式f′(x)＞0得单调增区间，f′(x)＜0得单调减区间．反思：运用导数讨论函数的单调性需注意如下几点：(1)确定函数的定义域，解决问题时，只能在函数的定义域内，通过讨论函数导数的符号，来判断函数的单调区间；(2)在对函数划分单调区间时，要注意定义域内的不连续点和不可导点；(3)在某一区间内f′(x)＞0(或f′(x)＜0)是函数f(x)在该区间上为增(或减)函数的充分不必要条件．题型二根据函数的单调性求参数的取值范围【例题2】已知函数f(x)＝2ax－1x2，x∈(0,1]，若f(x)在x∈(0,1]上是增函数，求a 的取值范围．分析：函数f(x)在(0,1]上是增函数，则f′(x)≥0在(0,1]上恒成立．反思：函数f(x)在区间M上是增(减)函数，即f′(x)≥0(≤0)在x∈M上恒成立．题型三证明不等式【例题3】已知x＞1，求证：x＞ln(1＋x)．分析：构造函数f(x)＝x－ln(1＋x)，只要证明在x∈(1，＋∞)上，f(x)＞0恒成立即可．反思：利用可导函数的单调性证明不等式，是不等式证明的一种重要方法，其关键在于构造一个合理的可导函数．此法的一般解题步骤为：令F(x)＝f(x)－g(x)，x≥a，其中F(a)＝f(a)－g(a)＝0，从而将要证明的不等式“当x＞a时，f(x)＞g(x)”转化为证明“当x＞a时，F(x)＞F(a)”．题型四易错辨析易错点：应用导数求函数的单调区间时，往往因忘记定义域的限制作用从而导致求解结果错误，因此在求函数的单调区间时需先求定义域．【例题4】求函数f (x )＝2x 2－ln x 的单调减区间．错解：f′(x )＝4x －1x ＝4x 2－1x ，令4x 2－1x ＜0，得x ＜－12或0＜x ＜12，所以函数f (x )的单调减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12，⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12.1在区间(a ，b )内f′(x )＞0是f (x )在(a ，b )内为增函数的( )． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2函数y ＝x cos x －sin x 在下面哪个区间内是增函数( )． A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2 B ．(π，2π)C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，5π2 D ．(2π，3π)3若f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d 为增函数，则一定有( )．A ．b 2－4ac ≤0 B．b 2－3ac ≤0C ．b 2－4ac ≥0 D．b 2－3ac ≥04如果函数f (x )＝－x 3＋bx (b 为常数)在区间(0,1)上是增函数，则b 的取值范围是__________．5函数y ＝－13x 3＋x 2＋5的单调增区间为________，单调减区间为________．答案：基础知识·梳理 1．增函数 2．减函数 【做一做1－1】A f′(x )＝1－cos x ，当x (0,2π)时，f′(x )＞0恒成立，故f (x )在(0,2π)上是增函数．【做一做1－2】C 由f′(x )的图象知，x (－∞，0)或x (2，＋∞)时，f′(x )＞0，故f (x )的增区间为(－∞，0)，(2，＋∞)，同理可得f (x )的减区间为(0,2)．典型例题·领悟【例题1】解：(1)f (x )′＝1－3x 2.令1－3x 2＞0，解得－33＜x ＜33.因此函数f (x )的单调增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33. 令1－3x 2＜0，解得x ＜－33或x ＞33.因此函数f (x )的单调减区间为⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－33和⎝ ⎛⎭⎪⎫33，＋∞. (2)由ax －x 2≥0得0≤x ≤a ，即函数的定义域为[0，a ]．又f (x )′＝ax －x 2＋x ×12(ax －x 2)－12·(a －2x )＝－4x 2＋3ax 2ax －x2， 令f (x )′＞0，得0＜x ＜3a 4；令f (x )′＜0，得x ＜0或x ＞34a ，又x [0，a ]，∴函数f (x )的单调增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，3a 4，单调减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫3a 4，a .【例题2】解：由题意，得f′(x )＝2a ＋2x3.。

选修2-2
第一章导数及其应用
1.1导数
1.1.1函数的均匀变化率
1.1.2刹时速度与导数
1.1.3导数的几何意义
1.2导数的运算
1.2.1常数函数与幂函数的导数
1.2.2导数公式表及数学软件的应用1.2.3导数的四则运算法例
1.3导数的应用
1.3.1利用导数判断函数的单一性1.3.2利用导数研究函数的极值
1.3.3导数的实质应用
1.4定积分与微积分的基本定理
1.4.1曲边梯形面积与定积分
1.4.2微积分基本定理
本章小结
阅读与赏识
微积分与极限思想
第二章推理与证明
2.1合情推理与演绎推理
2.1.1合情推理
2.1.2演绎推理
2.2直接证明与间接证明
2.2.1综合法与剖析法
2.2.2反证法
2.3数学概括法
2.3.1数学概括法
2.3.2数学概括法应用举例
本章小结
阅读与赏识
《本来》与公义化思想
数学证明的机械化——机器证明
第三章数系的扩大与复数
3.1数系的扩大与复数的观点3.1.1实数系
3.1.2复数的观点
3.1.3复数的几何意义
3.2复数的运算
3.2.1复数的加法和减法
3.2.2复数的乘法
3.2.3复数的除法本章小结
阅读与赏识
复平面与高斯。

1．3.1 函数的单调性与导数1．结合实例，直观探索并掌握函数的单调性与导数的关系． 2．能利用导数研究函数的单调性．3．会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)．1．一般地，函数的单调性与其导函数的正负有如下关系：在某个区间(a ，b )内，如果f ′(x )＞0，那么函数y ＝f (x )在这个区间内____；如果______，那么函数y ＝f (x )在这个区间内单调递减．(1)用曲线的切线的斜率来理解单调性与导函数的关系，当切线斜率为正时，切线的倾斜角小于90°，函数曲线呈向上增加状态；当切线斜率为负时，切线的倾斜角大于90°，小于180°，函数曲线呈向下减少状态．(2)如果在某个区间内恒有f ′(x )＝0，则f (x )在这个区间内等于常数．(3)对于可导函数f (x )来说，f ′(x )＞0是f (x )在(a ，b )上为单调增函数的充分不必要条件，f ′(x )＜0是f (x )在(a ，b )上为单调减函数的充分不必要条件．例如：f (x )＝x 3在R 上为增函数，但f ′(0)＝0，所以在x ＝0处不满足f ′(x )＞0.【做一做1－1】 函数f (x )＝5x 2－2x 的单调增区间是( )A.⎝⎛⎭⎫15，＋∞B.⎝⎛⎭⎫－∞，15 C.⎝⎛⎭⎫－15，＋∞D.⎝⎛⎭⎫－∞，－15 【做一做1－2】 函数f (x )＝sin x －2x 在(－∞，＋∞)上是__________(填“增”、“减”)函数．2．一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较____，那么函数在这个范围内变化得快，这时，函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下)；反之，函数的图象就“平缓”一些．通过函数图象，不仅可以看出函数的增减，还可以看出函数的增减快慢．从导数的角度研究了函数的单调性及增减快慢后，我们就能根据函数图象大致画出导函数的图象，反之也可行．“函数变化快慢与其导数的关系”如下：【做一做2】 若函数y ＝f (x )的导函数．．．在区间[a ，b ]上是增函数，则函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象可能是( )答案：1．单调递增 f ′(x )＜0【做一做1－1】 A f ′(x )＝10x －2，由f ′(x )＞0，得x ＞15.【做一做1－2】 减 ∵f ′(x )＝cos x －2＜0， ∴f (x )在R 上为减函数． 2．大【做一做2】 A ∵y ＝f (x )的导函数在区间[a ，b ]上是增函数，则函数f (x )图象上的点的切线斜率是递增的．1．如何理解函数的单调性与导数的关系？剖析：(1)在利用导数来讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，解决问题的过程中只能在定义域内通过讨论导数的符号来判断函数的单调区间．(2)一般利用使导数等于零的点来对函数划分单调区间． (3)如果函数在某个区间内恒有f ′(x )＝0，则f (x )为常数函数．如f (x )＝3，则f ′(x )＝3′＝0.(4)利用导数的符号判断函数的增减性，这是导数的几何意义在研究曲线变化规律中的一个应用，它充分体现了数形结合思想．若在某区间上有有限个点使f ′(x )＝0，其余的点恒有f ′(x )＞0，则f (x )仍为增函数(减函数的情形完全类似)．也就是说：在某区间内f ′(x )＞0是f (x )在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要条件．2．求可导函数单调区间的一般步骤和方法是什么？ 剖析：第一步，确定函数f (x )的定义域．第二步，求f ′(x )，令f ′(x )＝0，解此方程，求出它在定义域内的一切实根． 第三步，把函数f (x )在间断点(即f (x )的无定义点)的横坐标和上面的各实根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数f (x )的定义区间分成若干个小区间．第四步，确定f ′(x )在各个小区间的符号，根据f ′(x )的符号判定函数f (x )在每个相应小区间的增减性．(1)当f (x )不含参数时，也可通过解不等式f ′(x )＞0(或f ′(x )＜0)直接得到单调递增(或递减)区间．(2)当由第四步求得的单调区间不止一个时，单调区间之间要用“，”隔开，或用“和”相连．3．已知函数是增函数(或减函数)，如何求参数的取值范围？剖析：f ′(x )＞0(或f ′(x )＜0)是函数递增(或递减)的充分条件，但这个条件并不是必要的．在(a ，b )内可导的函数f (x )在(a ，b )上递增(或递减)的充要条件是f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)，x ∈(a ，b )恒成立，且f ′(x )在(a ，b )的任意子区间内都不恒等于0，这就是说，函数f (x )在区间上的单调性并不排斥在区间内个别点处有f ′(x 0)＝0，甚至可以在无穷多个点处f (x 0)＝0，只是这样的点不能充满所给区间的任何一个子区间．因此，在已知函数f (x )是增函数(或减函数)的条件下求参数的取值范围时，应令f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)恒成立，解出参数的取值范围(一般可用不等式恒成立理论求解)，然后检验参数的取值能否使f ′(x )不恒为0，则由f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)恒成立解出的参数的取值范围确定．题型一 利用导数信息画函数图象【例题1】 已知函数y ＝f (x )的导数f ′(x )满足如下条件： ①当x ＜－1或x ＞13时，f ′(x )＞0；②当－1＜x ＜13时，f ′(x )＜0；③当x ＝－1或x ＝13时，f ′(x )＝0.试画出函数y ＝f (x )的大致图象． 分析：根据函数y ＝f (x )在某个区间上导数f ′(x )的符号，可以得到函数y ＝f (x )的单调性，即函数y ＝f (x )图象的“上升下降”趋势，然后就能画出函数y ＝f (x )的大致图象．反思：研究一个函数的图象与其导函数的图象之间的关系时，要注意抓住各自的关键要素，对原函数，我们重点考查其图象在哪个区间上单调递增，哪个区间上单调递减；而对于导函数，则应考查其函数值在哪个区间上大于零，哪个区间上小于零，并考查这些区间与原函数的单调区间是否一致．题型二 求函数的单调区间【例题2】 求下列函数的单调区间： (1)f (x )＝x 3－x ； (2)f (x )＝3x 2－2ln x .分析：解答本题先确定函数的定义域，然后对函数求导，求解不等式f ′(x )＞0，f ′(x )＜0并与定义域求交集得到相应的单调区间．反思：求函数单调区间时需注意： ①步骤：求f (x )的定义域→求f ′(x )→求解不等式f ′(x )＞0，f ′(x )＜0→求f ′(x )＞0，f ′(x )<0与定义域的交集或求f (x )的定义域→求f ′(x )→令f ′(x )＝0求x i →用x i 将定义域分成n 个区间→列表考察各个区间内f ′(x )的符号→确定单调区间②含有参数的函数求单调区间时注意正确运用分类讨论思想． 题型三 已知函数的单调性求参数的取值范围 【例题3】 已知函数f (x )＝ln x, g (x )＝12ax 2＋2x ，a ≠0.(1)若函数h (x )＝f (x )－g (x )存在单调递减区间，求a 的取值范围； (2)若函数h (x )＝f (x )－g (x )在[1,4]上单调递减，求a 的取值范围． 分析：解答本题首先确定h (x )的定义域为(0，＋∞)．(1) h (x )存在单调减区间，则f ′(x )＜0在(0，＋∞)上有解．(2)h (x )在[1,4]上单调递减，即h ′(x )≤0，在x ∈[1,4]上恒成立．反思：函数在区间(a ，b )上单调递增(减)是f ′(x )≥0(f ′(x )≤0)在区间(a ，b )上恒成立的充分条件，可利用分离参数或函数性质求解恒成立问题，对等号成立可单独验证说明．题型四 易错辨析【例题4】 已知函数f (x )＝ax 3＋3x 2－x ＋1在R 上是减函数，求a 的取值范围． 错解：求函数的导数f ′(x )＝3ax 2＋6x －1.当f ′(x )＜0时，f (x )是减函数，则f ′(x )＝3ax 2＋6x －1＜0(x ∈R )．故⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ<0，解得a ＜－3.错因分析：f ′(x )＜0(x ∈(a ，b ))是f (x )在(a ，b )上单调递减的充分不必要条件，在解题过程中易误作是充要条件，如f (x )＝－x 3在R 上递减，但f ′(x )＝－3x 2≤0.反思：本题在第一步后再对a ＝－3进行了讨论，确保其充要性．在解题中，常会将必要条件作充分条件或将既不充分又不必要条件误作充要条件使用而导致错误，这需要同学们在学习过程中注意思维的严密性．答案：【例题1】 解：①当x ＜－1或x ＞13时，f ′(x )＞0，可知函数y ＝f (x )在区间(－∞，－1)和⎝⎛⎭⎫13，＋∞内单调递增； ②当－1＜x ＜13时，f ′(x )＜0，可知函数y ＝f (x )在区间⎝⎛⎭⎫－1，13内单调递减； ③当x ＝－1或x ＝13时，f ′(x )＝0.综上可知，函数的图象的大致形状如图所示．【例题2】 解：(1)函数的定义域为R ， f ′(x )＝3x 2－1＝(3x ＋1)(3x －1)， 令f ′(x )＞0得到x ＞33或x ＜－33， 令f ′(x )＜0得－33＜x ＜33. 因此函数的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫－∞，－33和⎝⎛⎭⎫33，＋∞，单调递减区间为⎝⎛⎭⎫－33，33. (2)函数的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝6x －2x ＝2·3x 2－1x .令f ′(x )＞0，即2·3x 2－1x ＞0，解得－33＜x ＜0或x ＞33. 又∵x ＞0，∴x ＞33； 令f ′(x )＜0，即2·3x 2－1x ＜0.解得x ＜－33或0＜x ＜33， 又∵x ＞0，∴0＜x ＜33.∴f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫33，＋∞， 单调递减区间为⎝⎛⎭⎫0，33. 【例题3】 解：(1)h (x )＝ln x －12ax 2－2x ，x ∈(0，＋∞)，所以h ′(x )＝1x－ax －2.因为h (x )在(0，＋∞)上存在单调递减区间， 所以当x ∈(0，＋∞)时，1x －ax －2＜0有解，即a ＞1x 2－2x 有解． 设G (x )＝1x 2－2x ，所以只要a ＞G (x )min 即可．而G (x )＝⎝⎛⎭⎫1x －12－1，所以G (x )min ＝－1， 所以a ＞－1.(2)因为h (x )在[1,4]上单调递减，所以x ∈[1,4]时，h ′(x )＝1x －ax －2≤0恒成立，即a ≥1x 2－2x恒成立，所以a ≥G (x )max .而G (x )＝⎝⎛⎭⎫1x －12－1. 因为x ∈[1,4]，所以1x ∈⎣⎡⎦⎤14，1， 所以G (x )max ＝－716(此时x ＝4)， 所以a ≥－716.当a ＝－716时，h ′(x )＝1x ＋716x －2＝16＋7x 2－32x 16x＝(7x －4)(x －4)16x∵x ∈[1,4]，∴h ′(x )＝(7x －4)(x －4)16x ≤0，即h (x )在[1,4]上为减函数． 故实数a 的取值范围是a ≥－716.【例题4】 正解：求函数的导数f ′(x )＝3ax 2＋6x －1(1)当f ′(x )＜0时，f (x )是减函数，则f ′(x )＝3ax 2＋6x －1＜0(x ∈R )．故⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ<0解得a＜－3.(2)当a ＝－3时，f (x )＝－3x 3＋3x 2－x ＋1＝－3⎝⎛⎭⎫x －133＋89，易知此时函数也在R 上是减函数．综上a 的取值范围是a ≤－3.1若函数y ＝x 2－2bx ＋6在(2,8)内是增函数，则( ) A ．b ≤2 B ．b ＜2 C ．b ≥2 D ．b ＞22若在区间(a ，b )内有f ′(x )＞0，且f (a )≥0，则在(a ，b )内有( ) A ．f (x )＞0 B ．f (x )＜0 C ．f (x )＝0 D ．不能确定3已知f (x )＝2cos 2x ＋1，x ∈(0，π)，则f (x )的单调递增区间是( ) A ．(π，2π) B ．(0，π)C.,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭D. 0,2π⎛⎫⎪⎝⎭4函数y ＝f (x )＝ln(x 2－x －2)的递减区间为__________．5已知函数y ＝ax 3＋bx 2＋6x ＋1的递增区间为(－2,3)，求a ，b 的值．答案：1．A y ′＝2x －2b ，由题意知y ′≥0在(2,8)内恒成立，即b ≤x 在(2,8)内恒成立，∴b ≤2.故选A.2．A ∵在区间(a ，b )内有f ′(x )＞0， ∴f (x )在区间(a ，b )内是增函数． ∴f (x )＞f (a )．又f (a )≥0，∴f (x )＞0.故选A.3．C ∵f (x )＝2cos 2x ＋1＝2＋cos2x ，x ∈(0，π)， ∴f ′(x )＝－2sin2x .令f ′(x )＞0，则sin2x ＜0.又x ∈(0，π)， ∴0＜2x ＜2π.∴π＜2x ＜2π，即2π＜x ＜π. 4．(－∞，－1) ∵f ′(x )＝2212x x x ---，由f ′(x )＝2212x x x ---＜0，得x ＜－1或12＜x ＜2，而函数的定义域为(－∞，－1)∪(2，＋∞)，故递减区间为(－∞，－1)．5．分析：因为函数y ＝ax 3＋bx 2＋6x ＋1的递增区间是(－2,3)，根据求单调区间的步骤可知，－2和3是方程y ′＝0的两根．解：y ′＝3ax 2＋2bx ＋6.∵函数的递增区间为(－2,3)，∴y′＝3ax2＋2bx＋6＞0的解集为－2＜x＜3，也就是说，－2和3是方程3ax2＋2bx＋6＝0的根，即1246027660.a ba b-+=⎧⎨++=⎩﹐解得a＝13-，b＝12.所以a，b的值分别为13-，12.。