2020届四川省凉山州高三上学期期末模拟(二)数学试卷(解析版)

2019-2020学年四川省凉山州高二上学期期末模拟（二）数学题号 一 二 三 总分 得分一、选择题（本大题共12小题，共60.0分） 1. 以点为圆心，且与y 轴相切的圆的标准方程为A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查求圆的标准方程的方法，直线和圆相切的性质，求出圆的半径，是解题的关键，属于基础题．由条件求得圆的半径，即可求得圆的标准方程． 【解答】 解：以点为圆心且与y 轴相切的圆的半径为3， 故圆的标准方程是， 故选C ．2. 直线和直线的距离是A. B. C.D.【答案】B【解析】【分析】本题考查了两平行直线间的距离，属于基础题． 直线和直线，代入两平行线间的距离公式，即可得到答案．先把两平行直线的对应变量的系数化为相同的，再利用两平行线间的距离公式求出两平行线间的距离． 【解答】解：由题意可得：和直线， 即直线和直线， 结合两平行线间的距离公式得： 两条直线的距离是，故选：B ．3. 命题p ：，；命题q ：，，下列选项真命题的是A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】本题考查命题的真假的判断与复合命题的真假，是基础题． 判断命题p ，q 的真假，然后求解结果即可． 【解答】 解：因为时不成立，故命题p ：，是假命题；命题q：，，当时，命题成立，所以是真命题．所以是真命题；是假命题；是假命题；是假命题；故选A．4.有两个问题：有1000个乒乓球分别装在3个箱子内，其中红色箱子内有500个，蓝色箱子内有200个，黄色箱子内有300个，现从中抽取一个容量为100的样本；从20名学生中选出3人参加座谈会．则下列说法中正确的是A.随机抽样法系统抽样法 B. 分层抽样法随机抽样法C.系统抽样法分层抽样法 D. 分层抽样法系统抽样法【答案】B【解析】解：1000个乒乓球分别装在3个箱子内，其中红色箱子内有500个，蓝色箱子内有200个，黄色箱子内有300个，总体的个体差异较大，可采用分层抽样；从20名学生中选出3名参加座谈会，总体个数较少，可采用抽签法．故选B．简单随机抽样是从总体中逐个抽取；系统抽样是事先按照一定规则分成几部分；分层抽样是将总体分成几层，再抽取．抽样选用哪一种抽样形式，要根据题目所给的总体情况来决定，若总体个数较少，可采用抽签法，若总体个数较多且个体各部分差异不大，可采用系统抽样，若总体的个体差异较大，可采用分层抽样．5.“若或，则”的否命题为A. 若或，则B. 若，则或C. 若或，则D. 若且，则【答案】D【解析】【分析】本题考查否命题与原命题的关系，是基础题．利用原命题与否命题的定义写出结果即可．【解答】解：“若或，则”的否命题为：若且，则．故选D．6.下列说法中正确的是A. 表示过点，且斜率为k的直线方程B.直线与y轴交于一点，其中截距C. 在x轴和y轴上的截距分别为a与b的直线方程是D. 方程表示过点，的直线【答案】D【解析】【分析】本题考查命题的真假判断与应用，考查了直线方程的几种形式，关键是对直线方程形式的理解，属于基础题．分别由直线的点斜式方程、直线在y轴上的截距、直线的截距式方程、两点式方程的变形式逐一核对四个选项进行分析判断，即可得答案．【解答】解：对于A，点不在直线上，故A不正确；对于B，截距不是距离，是B点的纵坐标，其值可正可负．故B不正确；对于C，经过原点的直线在两坐标轴上的截距都是0，不能表示为，故C不正确；对于D，此方程即直线的两点式方程变形，即，故D正确．故选：D．7.已知命题p：若为钝角三角形，则；命题q：，，若，则或，则下列命题为真命题的是A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查命题的逆否命题，及复合命题的真假判断，考查三角形内角的函数值大小比较、考查了推理能力与计算能力，属于中档题．命题p：由为钝角三角形，当B为钝角时，可得，，即可判断出真假；命题q：判断其逆否命题的真假即可得出结论．【解答】解：命题p：若为钝角三角形，当B为钝角时，可得，，，可知命题p是假命题；命题q的逆否命题为：若且，则，是真命题，因此命题q是真命题，则选项中命题为真命题的是．故选B．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量单位：万人的数据，绘制了下面的折线图．8.根据该折线图，下列结论错误的是A. 月接待游客逐月增加B. 年接待游客量逐年增加C. 各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月D. 各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳【答案】A【解析】【分析】本题考查的知识点是数据的分析，难度不大，属于基础题．根据已知中2014年1月至2016年12月期间月接待游客量的数据，逐一分析给定四个结论的正误，可得答案．【解答】解：由已知中2014年1月至2016年12月期间月接待游客量单位：万人的数据可得：月接待游客量逐月有增有减，故A错误；年接待游客量逐年增加，故B正确；各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月，故C正确；各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳，故D正确；故选A．9.过双曲线的右顶点A作斜率为的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B、若，则双曲线的离心率是A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．要求学生有较高地转化数学思想的运用能力，能将已知条件转化到基本知识的运用．分别表示出直线l和两个渐近线的交点，进而表示出和，进而根据求得a和b的关系，进而根据，求得a和c的关系，则离心率可得．【解答】解：直线l：与渐近线：交于，l 与渐近线：交于，又，，，，，，，，，故选：C．10.执行如图所示的程序框图，输出的S值为A.1 B. C. D.【答案】D【解析】解：由于，则，；，；，；，；，，此时不再循环，则输出．故选：D．分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算S 值并输出，模拟程序的运行过程，即可得到答案．本题考查的知识点是程序框图，在写程序的运行结果时，模拟程序的运行过程是解答此类问题最常用的办法．11.已知点A，B是抛物线上的两点，点是线段AB的中点，则的值为A.4 B. C. 8 D.【答案】C【解析】【分析】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理，弦长公式，中点坐标公式，考查计算能力，属于中档题．利用中点坐标公式及作差法，求得直线AB的斜率公式，求得直线直线AB的方程，代入抛物线方程，利用弦长公式及韦达定理，即可求得的值．【解答】解：设，，则，，由中点坐标公式可知：，两式相减可得，，则直线AB的斜率k，，直线AB的方程为即，联立方程消去y，得，，，，．故选C．12.若x、y满足，则的最小值是A. B. C. D.无法确定【答案】C【解析】【分析】本题考查圆的一般方程与圆的标准方程，考查了数形结合的数学思想，属于中档题．把圆的方程化为标准方程后，找出圆心坐标和圆的半径r，设圆上一点的坐标为，原点坐标为，则表示圆上一点和原点之间的距离的平方，根据图象可知此距离的最小值为圆的半径r减去圆心到原点的距离，利用两点间的距离公式求出圆心到原点的距离，利用半径减去求出的距离，然后平方即为的最小值．【解答】解：把圆的方程化为标准方程得：，设圆心为点A，则圆心坐标为，圆的半径，设圆上一点的坐标为，原点O坐标为，如图所示：则，，所以，则的最小值为，故选C．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知双曲线的渐近线方程为，且过点，则此双曲线的方程为______．【答案】【解析】【分析】本题考查双曲线的简单性质的应用，双曲线方程的求法，设出双曲线的方程是解题的关键，属于中档题．设出双曲线方程，利用双曲线经过的点，求解即可．【解答】解：双曲线的渐近线方程为，可设双曲线方程为：，双曲线经过点，可得：，解得，所求双曲线方程为：．故答案为．14.98与63的最大公约数为a，二进制数110011化为十进制数为b，则____________．【答案】58【解析】【分析】利用辗转相除法，用较大的数字除以较小的数字，得到商和余数，然后再用上一式中的除数和得到的余数中较大的除以较小的，以此类推，当整除时，就得到要求的最大公约数，可求a；根据二进制转化为十进制的方法，我们分别用每位数字乘以权重，累加后即可得到b的值，求和即可得解．【解答】解：由题意，，，，，与63的最大公约数为7，可得：；又，可得：，．故答案为58．15.某班有学生52人，现将所有学生随机编号，用系统抽样方法，抽取一个容量为4的样本，已知5号、31号、44号学生在样本中，则样本中还有一个学生的编号是______．【答案】18【解析】解：某班有学生52人，现将所有学生随机编号，用系统抽样方法，抽取一个容量为4的样本，则抽样间隔为，号、31号、44号学生在样本中，样本中还有一个学生的编号是：．故答案为：18．用系统抽样方法，抽取一个容量为4的样本，则抽样间隔为，由此能求出样本中还有一个学生的编号．本题考查样本编号的求法，考查系统抽样的性质等基础知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力．16.已知椭圆的左、右焦点分别为，，过且与x轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，直线与椭圆的另一个交点为C，若，则椭圆的离心率为______．【答案】【解析】【分析】本题考查直线和椭圆的位置关系，离心率的求法，属于中档题．由题意画出图形，求出A的坐标，结合向量加法的坐标运算，求得C的坐标，代入椭圆方程可解e的值．【解答】解：不妨设点A在x轴下方，如图，由题意，，，，，，，，，代入椭圆，得，由，整理得：，解得，椭圆的离心率．故答案为．三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）17.已知p：，q：．若p是q的充分条件，求实数m的取值范围；若“”是“”的充分条件，求实数m的取值范围．【答案】解：：，q：．故p：，q：，若p是q的充分条件，则，故解得：；若“”是“”的充分条件，即q是p的充分条件，则，，解得：．【解析】本题主要考查了一元二次不等式的解法，以及充分而不必要条件的应用，同时考查了运算求解的能力，属于基础题．解出关于p，q的不等式，根据若p是q的充分条件，得到，求出m的范围即可；根据q是p的充分条件，得到，求出m的范围即可．18.已知圆C经过，两点，且圆心C在直线上求圆C的方程；动直线l：过定点M，斜率为1的直线m过点M，直线m和圆C相交于P，Q两点，求PQ的长度．【答案】解：设圆C的方程为，则，解得，，，圆C的方程：，即为：动直线l的方程为．则，得，动直线l过定点，直线m：，圆心到m的距离为，的长为．【解析】本题考查圆的方程、线段长的求法，考查直线、圆、弦长公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．设圆C 的方程为，利用待定系数法能求出圆C 的方程；动直线l 的方程为，列出方程组求出动直线l 过定点，从而求出直线m：，由此能求出圆心到m 的距离．19. 随着我国经济的发展，居民的储蓄存款逐年增长．设某地区城乡居民人民币储蓄存款年底余额如下表：年份2010 2011 2012 2013 2014时间代号t 1 2 3 4 5 储蓄存款千亿元567810Ⅰ求y 关于t 的回归方程．Ⅱ用所求回归方程预测该地区2015年的人民币储蓄存款．附：回归方程中：．【答案】解：Ⅰ由题中数据可计算得到下表： i1 2 3 4 51 2 3 4 55 6 7 8 10 1 4 9 16 255 12 21 32 5015 36 55120，，，，，，关于t 的回归方程．Ⅱ时，千亿元，所以该地区2015年的人民币储蓄存款为千亿元．【解析】本题考查线性回归方程，考查学生的计算能力，属于中档题．Ⅰ利用公式求出，，即得到y 关于t的回归方程；Ⅱ，代入回归方程，即可预测该地区2015年的人民币储蓄存款．20.对甲、乙两名自行车赛手在相同条件下进行了6次测试，测得他们的最大速度单位：的数据如下表：甲273830373531乙332938342836画出茎叶图；分别求出甲、乙两名自行车赛手最大速度单位：数据的平均数、方差，并判断选谁参加比赛更合适？【答案】解：画茎叶图如图所示，中间数为数据的十位数．由茎叶图把甲、乙两名选手的6次成绩按从小到大的顺序依次排列为甲：27，30，31，35，37，38；乙：28，29，33，34，36，38．所以甲组数据的平均值为：乙组数据的平均值为：甲组数据的方差为：乙组数据的方差为：因为平均值相等，乙的方差更小，所以乙的成绩更稳定，故乙参加比赛更合适．【解析】以十位数为茎，个位数为叶，能画出茎叶图．由茎叶图把甲、乙两名选手的6次成绩按从小到大的顺序依次排列，能求出甲、乙两名自行车赛手最大速度单位：数据的平均数、方差，因为平均值相等，乙的方差更小，所以乙的成绩更稳定，故乙参加比赛更合适本题考查茎叶图、平均数、方差等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力，是基础题．21.已知椭圆的左焦点为，且椭圆上的点到点F的距离最小值为1．求椭圆的方程；已知经过点F的直线l与椭圆交于不同的两点A、B，且，求直线l的方程．【答案】解：由题意可得，椭圆上的点到点F的距离最小值为1，即为，解得，，即有椭圆方程为；当直线的斜率不存在时，可得方程为，代入椭圆方程，解得，则不成立；设直线AB的方程为，代入椭圆方程，可得，，设，，即有，，则，即为，解得，带入验证可得都有成立．则直线l的方程为．【解析】本题考查椭圆方程的求法，注意运用椭圆上的点与焦点的距离的最值，考查直线和椭圆方程联立，运用韦达定理和弦长公式，考查化简整理的运算能力，属于中档题．由题意可得，，由a，c，b的关系，可得b，进而得到椭圆方程；讨论直线l的斜率不存在和存在，设直线的方程，代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，解方程可得斜率k，进而得到直线l的方程．22.已知椭圆，斜率为的动直线l与椭圆C交于不同的两点A、B．设M为弦AB的中点，求动点M的轨迹方程；设、为椭圆C在左、右焦点，P是椭圆在第一象限上一点，满足，求面积的最大值．【答案】解：设，，，则，；得：，即，即．又由中点在椭圆内部得，所以M点的轨迹方程为，．由，得P点坐标为，设直线l的方程为，代入椭圆方程中整理得：，由得，则，，，，所以．，当时，．即面积的最大值为1．【解析】本题考查了椭圆的性质及几何意义，曲线的轨迹方程及最值问题，属于中档题．设，，，代入椭圆方程作差，利用点差法求得轨迹方程又由中点在椭圆内部得，从而可得M点的轨迹方程．由，得P点坐标为，设直线l的方程为，与椭圆方程联立，利用韦达定理结合弦长公式将三角形的面积表示出，再利用基本不等式求面积的最大值．。

理科数学本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

第Ⅰ卷1至2页。

第Ⅱ卷3至4页。

全卷满分150分，考试时间120分钟。

考生注意事项： 1．答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．2．答第Ⅱ卷时，必须答题卡上作答．在试题卷上作答无效． 参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+ 如果事件A 、B 相互独立，那么()()()P AB P A P B =棱柱的体积公式V Sh =，其中S 、h 分别表示棱柱的底面积、高．第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求． 1．12i i +=A ．i --2B ．i +-2C ．i -2D ．i +22．集合{||2|2}A x x =-≤，2{|,12}B y y x x ==--≤≤，则A B =IA ．RB ．{|0}x x ≠C ．{0}D ．∅3．若抛物线22y px =的焦点与双曲线22122x y -=的右焦点重合，则p 的值为 A ．2- B ．2 C ．4- D ．44．不等式10x x->成立的一个充分不必要条件是 A ．10x -<<或1x > B ．1x <-或01x << C ．1x >- D ．1x > 5．对于平面α和共面的两直线m 、n ，下列命题中是真命题的为 A ．若m α⊥，m n ⊥，则//n α B ．若//m α，//n α，则//m nC ．若m α⊂，//n α，则//m nD ．若m 、n 与α所成的角相等，则//m n6．平面四边形ABCD 中0AB CD +=u u u r u u u r r ，()0AB AD AC -=⋅u u u r u u u r u u u r，则四边形ABCD 是A ．矩形B ．菱形C ．正方形D ．梯形 7．等比数列{}n a 中5121=a ，公比21-=q ，记12n n a a a ∏=⨯⨯⨯L （即n ∏表示 数列{}n a 的前n 项之积），8∏ ，9∏，10∏，11∏中值为正数的个数是 A ． 1 B ． 2 C ． 3 D ． 48．定义域R 的奇函数()f x ，当(,0)x ∈-∞时()'()0f x xf x +<恒成立，若3(3)a f =，(log 3)(log 3)b f ππ=⋅，()c f =－２－２，则A ．a c b >>B ．c b a >>C ．c a b >>D ． a b c >>第Ⅱ卷（非选择题，共110分）二 填空题：本题共6小题，共30分，把答案填在答题卷相应的位置上．9．某校有4000名学生，各年级男、女生人数如表，已知在全校学生中随机抽取一名奥运火炬手，抽到高一男生的概率是0.2，现用分层抽样的方法在全校抽取100名奥运志愿者，则在高二抽取的学生人数为______．10．如果实数x 、y 满足条件101010x y y x y -+≥⎧⎪+≥⎨⎪++≤⎩，那么2x y -的最大值为______．11．在ABC ∆中角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若(2)cos cos b c A a C -=， 则cos A =________． 12．右图给出的是计算201614121+⋅⋅⋅+++的值 的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是i >___？13．由数字0、1、2、3、4组成无重复数字的 五位数，其中奇数有 个． 14．若一个正三棱柱的三视图如下图所示，则这 个正三棱柱的体积为__________．三．解答题（本大题共6小题，共80分 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（本小题共12分）已知函数()sin cos f x x x =+，()f x '是()f x 的导函数． （1）求函数()()'()g x f x f x =⋅的最小值及相应的x 值的集合； （2）若()2()f x f x '=，求tan()4x π+的值．16．（本题满分12分）近年来，政府提倡低碳减排，某班同学利用寒假在两个小区逐户调查人们的生活习惯是否符合低碳观念．若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳题12图 主视图 俯视图左视图族”．数据如下表（计算过程把频率当成概率）．（1）如果甲、乙来自A小区，丙、丁来自B小区，求这4人中恰有2人是低碳族的概率；（2）A小区经过大力宣传，每周非低碳族中有20%的人加入到低碳族的行列．如果2周后随机地从A小区中任选25个人，记X表示25个人中低碳族人数，求()E X．17．（本小题满分14分）已知点(4,0)M、(1,0)N，若动点P满足6||MN MP NP=⋅u u u u r u u u r u u u r．（1）求动点P的轨迹C；（2）在曲线C上求一点Q，使点Q到直线l：2120x y+-=的距离最小．18．(本小题满分14分)已知梯形ABCD中，AD∥BC，2π=∠=∠BADABC，42===ADBCAB，E、F分别是AB、CD上的点，EF∥BC，xAE=．沿EF将梯形ABCD翻折，使平面AEFD⊥平面EBCF(如图)．G是BC的中点，以F、B、C、D为顶点的三棱锥的体积记为()f x．（1）当2=x时，求证：BD⊥EG；（2）求()f x的最大值；（3）当()f x取得最大值时，求异面直线AE与BD所成的角的余弦值．19．（本题满分14分）数列{}na中112a=，前n项和2(1)n nS n a n n=--，1n=，2，…．（1）证明数列1{}nnSn+是等差数列；（2）求nS关于n的表达式；（3）设3n nnb S=１，求数列{}nb的前n项和nT．20．（本题满分14分）二次函数()f x满足(0)(1)0f f==，且最小值是14-．A小区低碳族非低碳族频率p0.50.5B小区低碳族非低碳族频率p0.80.2（1）求()f x 的解析式；（2）设常数1(0,)2t ∈，求直线l ： 2y t t =-与()f x 的图象以及y 轴所围成封闭图形的面积是()S t ；（3）已知0m ≥，0n ≥，求证：211()()24m n m n +++≥．答案及评分标准：8~1：CCDD ；CBB A ；9．30；10．1；11．12；12．10；13．36；14．以下是各题的提示：1．21222i i i i i i+-+==-．2．[0,4]A =，[4,0]B =-，所以{0}A B =I ．3．双曲线22122x y -=的右焦点为(2,0)，所以抛物线22y px =的焦点为(2,0)，则4p =．4．画出直线y x =与双曲线1y x=，两图象的交点为(1,1)、(1,1)--，依图知10x x->10x ⇔-<<或1x >(*)，显然1x >⇒(*)；但(*)⇒/1x >．5．考查空间中线、面的平行与垂直的位置关系的判断．６．由0AB CD +=u u u r u u u r r ，得AB CD DC =-=u u u r u u u r u u u r，故平面四边形ABCD 是平行四边形，又()0AB AD AC -=⋅u u u r u u u r u u u r ，故0DB AC =⋅u u u r u u u r，所以DB AC ⊥，即对角线互相垂直．７．等比数列{}n a 中10a >，公比0q <，故奇数项为正数，偶数项为负数，∴110∏<，100∏<，90∏>，80∏>，选B ．8．设()()g x xf x =，依题意得()g x 是偶函数，当(,0)x ∈-∞时()'()0f x xf x +<，即'()0g x <恒成立，故()g x 在(,0)x ∈-∞单调递减，则()g x 在(0,)+∞上递增，3(3)(3)a f g ==，(log 3)(log 3)(log 3)b f g πππ==⋅，2(2)(2)(2)c f g g =--=-=．又log 3123π<<<，故a c b >>． 9．依表知400020002000x y z ++=-=，0.24000x=，于是800x =， 1200y z +=，高二抽取学生人数为112003040⨯=．10．作出可行域及直线l ：20x y -=，平移直线l 至可行域的点(0,1)-时2x y -取得最大值．11．由(2)cos cos b c A a C -=，得2cos cos cos b A c A a C =+，2sin cos sin cos sin cos B A C A A C =+，故2sin cos sin()B A A C =+，又在ABC ∆中sin()sin 0A C B +=>，故1cos 2A =，12．考查循环结构终止执行循环体的条件．13．1132336636C C A =⨯=⋅⋅．14．由左视图知正三棱柱的高2h =，设正三棱柱的底面边长a ，=，故4a =，底面积142S =⨯⨯=，故2V Sh === 15．解：（1）∵()sin cos f x x x =+，故'()cos sin f x x x =-， …… 2分∴()()'()g x f x f x =⋅(sin cos )(cos sin )x x x x =+-22cos sin cos 2x x x =-=， ……… 4分∴当22()x k k Z ππ=-+∈，即()2x k k Z ππ=-+∈时，()g x 取得最小值1-，相应的x 值的集合为{|,}2x x k k Z ππ=-+∈． ……… 6分评分说明：学生没有写成集合的形式的扣1分． （2）由()2()f x f x '=，得sin cos 2cos 2sin x x x x +=-，∴cos 3sin x x =，故1tan 3x =， …… 10分 ∴11tan tan34tan()2141tan tan 143x x x πππ+++===--． …… 12分 16．解：（1）设事件C 表示“这4人中恰有2人是低碳族”． …… 1分2222112222222222()0.50.20.50.50.20.80.50.8P C C C C C C C =+⨯⨯⨯+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅0.010.160.160.33=++=． …… 4分 答：甲、乙、丙、丁这4人中恰有2人是低碳族的概率为0.33； …… 5分（2）设A 小区有a 人，两周后非低碳族的概率20.5(120%)0.32a P a⨯⨯-==．故低碳族的概率10.320.68P =-=． ………… 9分 随机地从A 小区中任选25个人，这25个人是否为低碳族相互独立，且每个 人是低碳族的概率都是0.68，故这25个人中低碳族人数服从二项分布，即17~(25,)25X B ，故17()251725E X =⨯=． ………… 12分 17．解：（1）设动点(,)P x y ，又点(4,0)M 、(1,0)N ，∴(4,)MP x y =-u u u r ，(3,0)MN =-u u u u r ，(1,)NP x y =-u u u r． ……… 3分由6||MN MP NP =⋅u u u u r u u u r u u u r，得3(4)x --= ……… 4分∴222(816)4(21)4x x x x y -+=-++，故223412x y +=，即22143x y +=， ∴轨迹C 是焦点为(1,0)±、长轴长24a =的椭圆； ……… 7分 评分说明：只求出轨迹方程，没有说明曲线类型或交代不规范的扣1分． （2）椭圆C 上的点Q 到直线l 的距离的最值等于平行于直线l ：2120x y +-=且与椭圆C 相切的直线1l 与直线l 的距离．设直线1l 的方程为20(12)x y m m ++=≠-． ……… 8分由22341220x y x y m ⎧+=⎨++=⎩，消去y 得2242120x mx m ++-= （*）． 依题意得0∆=，即0)12(16422=--m m ，故216m =，解得4m =±．当4m =时，直线1l ：240x y ++=，直线l 与1l 的距离5d ==当4m =-时，直线1l ：240x y +-=，直线l 与1l 的距离d ==由于55<，故曲线C 上的点Q 到直线l 的距离的最小值为5．…12分 当4m =-时，方程（*）化为24840x x -+=，即2(1)0x -=，解得1x =．由1240y +-=，得32y =，故3(1,)2Q ． ……… 13分 ∴曲线C 上的点3(1,)2Q 到直线l 的距离最小． ……… 14分18．（法一）（1）证明：作EF DH ⊥，垂足H ，连结BH ，GH ， ∵平面AEFD ⊥平面EBCF ，交线EF ，DH ⊂平面EBCF ， ∴⊥DH 平面EBCF ，又⊂EG 平面EBCF ，故DH EG ⊥， ∵12EH AD BC BG ===，//EF BC ，90ABC ∠=o ． ∴四边形BGHE 为正方形，故BH EG ⊥．又BH 、DH ⊂平面DBH ，且BH DH H =I ，故⊥EG 平面DBH ． 又⊂BD 平面DBH ，故BD EG ⊥．（2）解：∵AE EF ⊥，平面AEFD ⊥平面EBCF ，交线EF ，AE ⊂平面AEFD ．∴AE ⊥面EBCF ．又由（1）⊥DH 平面EBCF ，故//AE DH ，∴四边形AEHD 是矩形，DH AE =，故以F 、B 、C 、D 为顶点的三棱 锥D BCF - 的高DH AE x ==，又114(4)8222BCF S BC BE x x ∆==⨯⨯-=-⋅． ∴三棱锥D BCF -的体积()f x =13BFC S DH ∆⋅13BFC S AE ∆=⋅2128(82)333x x x x =-=-+2288(2)333x =--+≤．∴当2x =时，()f x 有最大值为83．（3）解：由（2）知当()f x 取得最大值时2AE =，故2BE =，由（2）知//DH AE ，故BDH ∠是异面直线AE 与BD 所成的角． 在Rt BEH ∆中222422BH BE EH AD =+=+=，由⊥DH 平面EBCF ，BH ⊂平面EBCF ，故DH BH ⊥ 在Rt BDH ∆中222823BD BH DH AE =+=+=，∴3cos 323DH BDH BD ∠===． ∴异面直线AE 与BD 所成的角的余弦值为33． 法二：（1）证明：∵平面AEFD ⊥平面EBCF ，交线EF ，AE ⊂平面AEFD ，EF AE ⊥，故AE ⊥平面EBCF ，又EF 、BE ⊂平面EBCF ，∴AE ⊥EF ，AE ⊥BE ，又BE ⊥EF ，取EB 、EF 、EA 分别为x 轴、y轴、z 轴，建立空间坐标系E xyz -，如图所示． 当2x =时，2AE =，2BE =，又2AD =，122BG BC ==． ∴(0,0,0)E ，(0,0,2)A ，(2,0,0)B ，(2,2,0)G ，(0,2,2)D ．∴(2,2,2)BD =-u u u r ，(2,2,0)EG =u u u r，∴440BD EG ⋅=-+=u u u r u u u r．∴BD EG ⊥u u u r u u u r，即BD EG ⊥；（2）解：同法一；（3）解：异面直线AE 与BD 所成的角θ等于,AE BD <>u u u r u u u r或其补角．又(0,0,2)AE =-u u u r ， 故3cos ,3|||2444|AE BD AE BD AE BD <>===-++⋅⋅u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r u u u r ∴3cos 3θ=，故异面直线AE 与BD 所成的角的余弦值为33． 19．（1）证明：由2(1)n n S n a n n =--，得21()(1)(2)n n n S n S S n n n -=---≥．∴221(1)(1)n n n S n S n n ---=-，故111(2)1n n n nS S n n n -+-=≥-．…２分 ∴数列由1{}n n S n+是首项11221S a ==，公差1d =的等差数列； …… 4分 （2）解：由（1）得112(1)11n n S S n d n n n+=+-=+-=．……… 6分∴21n n S n =+； ………８分（3）由（２），得3n n nb S =１＝321n n n +g １＝111(1)1n n n n =-++．…… 10分∴数列{}n b 的前n 项和1211111111122311n n n T b b b b n n n n -=++++=-+-++-+--+L L …１２分 1111n n n =-=++． ……… 14分 20．解：（1）由二次函数()f x 满足(0)(1)0f f ==．设()(1)(0)f x ax x a =-≠，则221()()24af x ax ax a x =-=--． ……………… ２分 又()f x 的最小值是14-，故144a -=-．解得1a =．∴2()f x x x =-； ………………４分（2）依题意，由22x x t t -=-，得x t =，或1x t =-．（1t -p ｔ）……６分由定积分的几何意义知3232222002()[()()]()|3232t tx x t t S t x x t t dx t x tx =---=--+=-+⎰…… ８分（3）∵()f x 的最小值为14-，故14m -，14n ≥-． …… １０分∴12m n +-≥-，故12m n ++． ……… 12分∵1()02m n +，102m n ++≥≥， ……… 13分∴11()()22m n m n +++≥=，∴211()()24m n m n +++≥． ……… 14分。

高考数学二诊数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.复数z=在复平面内对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2.若集合A＝{x|x2≤1}，则下列结论正确的是( )A. －2AB. －2∈AC. {－2}∈AD. {－2}A3.执行如图程序框图，则输出的S值为（）A. 31B. 32C. 62D. 644.已知双曲线的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为（）A. y=±2xB.C.D. y=±4x5.若点在角α的终边上，则sin2α的值为( )A. B. C. D.6.如图是某几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为（）A. 4πB. 8πC. 12πD. 16π7.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，S m－1＝16，S m＝25，a1＝1(m≥2，且m∈N)，则m的值是( )A. 4B. 5C. 6D. 78.设p：实数a，b满足a＞1，且b＞1；q：实数a，b满足；则p是q的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件9.设Ω=，有下面两个命题：p：∃（x，y）∈Ω，2（y+1）≤3（x+1）；q：∀（x，y）∈Ω，x-2y≥-3，则下面命题中真命题是（）A. p∧qB. ￢p∧qC. p∧￢qD. ￢p10.已知3a=5b=15，则a，b不可能满足的关系是（）A. a+b＞4B. ab＞4C. （a-1）2+（b-1）2＞2D. a2+b2＜811.我们把F n＝+1（n＝0，1，2…）叫“费马数”（费马是十七世纪法国数学家）．设a n＝log2（F n﹣1），n＝1，2，…，S n表示数列{a n}的前n项之和，则使不等式成立的最小正整数n的值是（）A. 8B. 9C. 10D. 1112.设函数f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x＋2)＝f(2－x)，当x∈[－2，0)时，，则在区间(－2，6)内关于x的方程f(x)－log8(x＋2)＝0解得个数为( )A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知直线l1：ax＋y＋2＝0，直线l2：x＋y＝0，若l1⊥l2，则a＝__________．14.在甲、乙、丙、丁4名同学中选出两名代表，则甲当选的概率为__________．15.点B(x0，2)在曲线y＝2sinωx(ω＞0)上，T是y＝2sinωx的最小正周期，设点A(1，0)，若，且0＜x0＜T，则T＝__________．16.设分别是圆和椭圆上的点，则两点间的最大距离是________.三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在△ABC中，，．(1)求角C；(2)若，求AC的长．18.设矩形ABCD中，AD＝4，，点F、E分别是BC、CD的中点，如图1．现沿AE将△AED折起，使点D至点M的位置，且ME⊥MF，如图2．(1)证明：AF⊥平面MEF；(2)求三棱锥M－AEF的体积．19.火把节是彝族、白族、纳西族、基诺族、拉祜族等民族的古老传统节日，有着深厚的民俗文化内涵，被称为“东方的狂欢节”．凉山州旅游局为了解民众对火把节知识的知晓情况，对西昌市区A，B两小区的部分居民开展了问卷调查，他们得分（满分100分）数据，统计结果如下：（）以每组数据的中点值作为该组数据的代表，求小区的平均分；（2）若A小区得分在[80，90）内的人数为45人，B小区得分在[80，90）内的人数为15人，求在A，B两小区中所有参加问卷调查的居民中得分不低于90分的频率．20.椭圆长轴右端点为A，上顶点为M，O为椭圆中心，F为椭圆的右焦点，且=，离心率为．（1）求椭圆的标准方程；（2）直线l交椭圆于P，Q两点，判断是否存在直线l，使点F恰为△PQM的垂心？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．21.设函数，a∈R．（1）当a＝1时，求f(x)的单调区间；（2）若f(x)存在极值点，求a的取值范围．22.已知直线1的参数方程为（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求直线l的普通方程和极坐标方程；（2）设点A的极坐标为（2，），求点A到直线l的距离．23.已知f（x）=|2x+3|-|2x-1|．（Ⅰ）求不等式f（x）＜2的解集；（Ⅱ）若存在x∈R，使得f（x）＞|3a-2|成立，求实数a的取值范围．答案和解析1.【答案】D【解析】解：由z==，得复数z=在复平面内对应的点的坐标为（1，-1），位于第四象限．故选：D．直接利用复数代数形式的乘除运算化简，求出复数所对应点的坐标得答案．本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．2.【答案】A【解析】解：集合A={x|x2≤1}={x|-1≤x≤1}．所以-2∉A，{-2}⊄A．故选：A．根据元素与集合，集合与集合间的关系进行判断解答．本题主要考查元素与集合的关系，属于基础题．3.【答案】C【解析】解：模拟程序的运行，可得S=0，k=1满足条件k＜6，执行循环体，S=0+2=2，k=2满足条件k＜6，执行循环体，S=2+4=6，k=3满足条件k＜6，执行循环体，S=6+8=14，k=4满足条件k＜6，执行循环体，S=14+16=30，k=5满足条件k＜6，执行循环体，S=30+32=62，k=6此时，不满足条件k＜6，退出循环，输出S的值为62．故选：C．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．4.【答案】B【解析】解：由题意可得e==，即c=a，则b==2a，由渐近线方程y=±x，可得y=±x．故选：B．运用双曲线的离心率公式和a，b，c的关系，结合渐近线方程，即可得到所求．本题考查双曲线的渐近线方程的求法，考查离心率公式和基本量a，b，c的关系，考查运算能力，属于基础题．5.【答案】B【解析】解：∵点P（sin，cos）=（，-）在角α的终边上，∴|OP|=1，则sin，cos，∴sin2α=2sinαcosα=2×=．故选：B．利用任意角的三角函数的定义求得sinα，cosα的值，再由倍角公式求sin2α的值．本题考查三角函数的化简求值，考查任意角的三角函数的定义及倍角公式的应用，是基础题．6.【答案】C【解析】【分析】如图所示，该几何体为四棱锥P-ABCD，其中PA⊥底面ABCD，底面ABCD是边长为2的正方形，PA=2．取PC的中点O，则点O是该几何体的外接球的球心．求出即可．本题考查了四棱锥外接球的表面积、三视图的有关知识，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．【解答】解：如图所示，该几何体为四棱锥P-ABCD，其中PA⊥底面ABCD，底面ABCD是边长为2的正方形，PA=2．取PC的中点O，则点O是该几何体的外接球的球心．OC=PC==．∴该几何体的外接球的表面积=4πR2=12π．故选C．7.【答案】B【解析】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵S m-1=16，S m=25，a1=1（m≥2，且m∈N），∴a m=S m-S m-1=25-16=9=1+（m-1）d，m+d=25，联立解得m=5，d=2．故选：B．利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出．本题考查了等差数列的通项公式及其求和公式、数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．8.【答案】A【解析】解：当a＞1且b＞1时，ab＞1，a+b＞2成立，即充分性成立，反之当a=4，b=1时，满足足但a＞1且b＞1不成立，即必要性不成立，即p是q的充分不必要条件，故选：A．根据不等式的关系，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合不等式的关系以及充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键．9.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查复合命题真假关系的应用，作出不等式组对应的平面区域，利用数形结合判断命题p，q的真假是解决本题的关键．作出不等式组对应的平面区域，利用区域关系判断命题p，q的真假，结合复合命题真假关系进行判断即可．【解答】解：由2（y+1）≤3（x+1），得y≤x+，作出不等式组对应的平面区域如图：由图象知A（1，2），满足不等式2（y+1）≤3（x+1），即命题p是真命题，平面区域所有的点都在不等式x-2y≥-3对应的区域内，即命题q是真命题，则p∧q是真命题，其余为假命题.故选：A．10.【答案】D【解析】解：∵3a=5b=15，∴（3a）b=15b，（5b）a=15a，∴3ab=15b，5ba=15a，∴3ab•5ba=15b•15a，∴（15）ab=15a+b，∴ab=a+b，则有ab=a+b≥2，∵a≠b，∴ab＞2，∴a+b=ab＞4，∴（a-1）2+（b-1）2=a2+b2-2（a+b）+2＞2ab-2（a+b）+2＞2，∵a2+b2＞2ab＞8，故D错误故选：D．由已知条件可得a+b=ab，再根据基本不等式即可判断．本题考查了指数幂的运算性质，基本不等式，考查了转化与化归能力，属于中档题．11.【答案】B【解析】【分析】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于较难题型．首项利用已知条件求出数列的通项公式，进一步利用裂项相消法求出数列的和，进一步确定结果．【解答】解：把F n=+1（n=0，1，2…）叫“费马数”（费马是十七世纪法国数学家）．由于a n=log2（F n-1），=，=2n，故：，则：，则：不等式，=成立，当不等式成立时n的最小值为9．故选：B．12.【答案】C【解析】、【分析】由题意求得函数的周期，根据偶函数的性质，及当x∈[-2，0]时，函数解析式，画出函数f（x）的图象，根据图象可得y=f（x）与y=log 8（x+2）在区间（-2，6）上有3个不同的交点．本题综合考查了函数的奇偶性、周期性、函数的交点及方程的根，考查数形结合思想，属于中档题．【解答】解：对于任意的x∈R，都有f（2+x）=f（2-x），∴f（x+4）=f[2+（x+2）]=f[（x+2）-2]=f（x），∴函数f（x）是一个周期函数，且T=4．又∵当x∈[-2，0]时，f（x）=（）x-1，且函数f（x）是定义在R上的偶函数，且f（6）=1，则函数y=f（x）与y=log 8（x+2）在区间（-2，6）上的图象如下图所示：根据图象可得y=f（x）与y=log 8（x+2）在区间（-2，6）上有3个不同的交点．故选C．13.【答案】-1【解析】解：直线l1：ax+y+2=0，直线l2：x+y=0，若l1⊥l2，则1•a+1×1=0，解得a=-1．故答案为：-1．根据两直线垂直的条件，列出方程求a的值．本题考查了两条直线垂直的应用问题，是基础题．14.【答案】【解析】解：在甲、乙、丙、丁4名同学中选出两名代表，基本事件总数n=，甲当选包含的基本事件个数m==3，∴甲当选的概率为p=．故答案为：．推导出基本事件总数n=，甲当选包含的基本事件个数m==3，由此能求出甲当选的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．15.【答案】4【解析】解：∵B（x0，2），A（1，0），∴=（1，0），=（x0，2），∴=x0=1，∵B（1，2）在曲线y=2sinωx（ω＞0）上，∴ω=，k∈z，0＜x0＜T，∴T＞1，∵T=＞1，∴ω＜2π，∴ω=，T=4故答案为：4由=1，结合向量数量积的坐标表示可求x0，然后由B在曲线y=2sinωx（ω＞0）上，代入可求ω=，k∈z，再结合0＜x0＜T，及周期公式可求．本题主要考查了正弦函数的性质及向量数量积的定义的坐标表示，属于中档试题16.【答案】【解析】【分析】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、两点之间的距离公式、三角函数的单调性与值域，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．圆心C（0，1）到椭圆上的点Q（2cosα，sinα）（α∈[0，2π））的距离d==，可得P，Q两点间的最大距离是d max+r．【解答】解：圆心C（0，1）到椭圆上的点Q（2cosα，sinα）（α∈[0，2π））的距离d==≤，当且仅当时取等号．∴P，Q两点间的最大距离是d+r=+=．故答案为．17.【答案】解：（1）△ABC中，cos A=，∴sin A=，tan A=7，∵tan B=，∴tan C=-tan（A+B）===1，∵0＜C＜π，∴C=；法二：：△ABC中，cos A=，∴sin A=，∵sin B=，cos B=，∴cos C=-cos（A+B）=sin A sin B-cos A cos B==，∵0＜C＜π，∴C=（2）∵=21，∴ac cos B=21，即ac=35①∵即∴②由①②得：a=7，c=5，又b2=a2+c2-2ac cos B=49+25-42=32，∴b=4．【解析】（1）法一：由已知可求tan A，tan B，然后由tan C=-tan（A+B）=可求；法二：由已知可求sin A，sin B，cos B，然后由cos C=-cos（A+B）=sin A sin B-cos A cos B可求；（2）由已知结合向量数量积的定义可求ac，然后由正弦定理可求a，c，再由余弦定理b2=a2+c2-2ac cos B可求b．本题主要考查了同角平方关系，和角的三角公式的应用，向量的数量积及正弦定理余弦定理的综合应用，属于中档试题．18.【答案】证明：（1）由题设知AM⊥ME，又ME⊥MF，AM∩MF=M，AM,MF在平面AMF内，∴ME⊥平面AMF，∵AF⊂面AMF，∴AF⊥ME，在矩形ABCD中，AD=4，AB=，点F，E分别是BC、CD的中点，∴AE2=42+2=18，EF2=22+2=6，AF2=8+22=12，∴AE2=EF2+AF2，∴AF⊥EF，∵ME∩EF=E，ME,EF在平面MEF内，∴AF⊥平面MEF．解：（2）∵AF⊥面MEF，∴V M-AEF=V A-MEF=，在Rt△FME中，ME=，EF=，则MF=2，∴S△FME===，又AF=2，∴三棱锥M-AEF的体积V M-AEF==．【解析】本题考查线面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．（1）推导出AM⊥ME，ME⊥MF，从而ME⊥平面AMF，进而AF⊥ME，再求出AF⊥EF，由此能证明AF⊥平面MEF．（2）由V M-AEF=V A-MEF=，能求出三棱锥M-AEF的体积．19.【答案】解：（1）设B小区的平均分为，则=45×0.1+55×0.2+65×0.3+75×0.2+85×0.15+95×0.05=67.5，∴B小区的平均分为67.5．（2）∵A小区得分为80-90分的频率为0.3．∴A小区被问卷调查的居民共有=150人，∵B小区得分为80-90的频率为0.15，∴B小区被调查问卷的居民共有：=100人，A小区不低于90分的居民共有150×0.1=15人，B小区不低于90分的居民共有100×0.05=5人，∴所有参加问卷调查的居民中，得分不低于90分的频率为：=．【解析】（1）由频率分布表能求出B小区的平均分．（2）由A小区得分为80-90分的频率为0.3．求出A小区被问卷调查的居民共有150人，由B小区得分为80-90的频率为0.15，求出B小区被调查问卷的居民共有100人，A小区不低于90分的居民共有150×0.1=15人，B小区不低于90分的居民共有100×0.05=5人，由此能求出所有参加问卷调查的居民中，得分不低于90分的频率．本题考查平均分、频率的求法，考查频率分布表、频率分布图的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．20.【答案】解：（1）设椭圆的标准方程为+=1，（a＞b＞0），半焦距为c，则A（a，0），M（0，b），F（c，0），∴（c，-b），（a-c，0），∵=，∴ac-c2=-1，又e==，a2=b2+c2，∴a2=2，b2=1．故椭圆的标准方程为+y2=1．（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），F为△PQM的垂心，∴MP⊥FQ．∵M（0，1），F（1，0），∴k MF=-1，∴k PQ=1，设直线PQ的方程为y=x+m，代入到+y2=1得3x2+4mx+2m2-2=0，∴△=（4m）2-12（2m2-1）＞0，解得-＜m＜且m≠1∴x1+x2=-m，x1x2=，∵⊥，（1-x1，-y1），=（x2，y2-1）∴x2-x1x2+y1-y1y2=0，即（1-m）（x1+x2）-2x1x2+m-m2=0由根与系数的关系，得3m2+m-4=0．解得m=-或m=1（舍去）．故存在直线l，使点F恰为△PQM的垂心，且直线l的方程为y=x-．【解析】（1）设椭圆的标准方程，且=，可得ac-c2=-1，再根据离心率，b2=a2-c2，即可得出．（2）假设存在直线l交椭圆于P，Q两点，且F恰为△PQM的垂心，设P（x1，y1），Q（x2，y2），k PQ=1．可设直线l的方程为y=x+m．与椭圆方程联立得3x2+4mx+2m2-2=0．又F为△PQM的垂心，可得⊥，利用根与系数的关系即可得出．本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为一元二次方程的根与系数的关系、向量垂直与数量积的关系、三角形垂心的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21.【答案】解：（1）当a=1时，f′（x）=1+=（x＞0），设g（x）=x2+1-ln x，则g′（x）=2x-=（x＞0），令g′（x）=0，解得：x=，故g（x）在（0，）递减，在（，+∞）递增，故g（x）≥g（）=-ln＞0，故f′（x）＞0恒成立，故f（x）在（0，+∞）递增；（2）∵f（x）存在极值点，∴f′（x）=0在x＞0上有解，即f′（x）=1+==0有解，即a（1-ln x）+x2=0在x＞0上有解，当x=e时，上式不成立，即当x≠e，a=在（0，e）∪（e，+∞）上有解，即曲线y=a与曲线g（x）=在（0，e）∪（e，+∞）上有交点，故g′（x）==0，故x=，当0＜x＜e或e＜x＜时，g′（x）＜0，当x＞，g′（x）＞0，故g（x）min=g（）=2e3，∵0＜x＜e时，g′（x）＜0，故作出y=g（x）的图象如图示：有a＜0或a＞2e3，即a∈（-∞，0）∪（2e3，+∞）．【解析】本题考查了函数的单调性，极值，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．（1）代入a的值，求出函数的导数，解关于导函数的不等式求出函数的单调区间即可；（2）求出函数的导数，问题转化为a（1-ln x）+x2=0在x＞0上有解，即曲线y=a与曲线g（x）=在（0，e）∪（e，+∞）上有交点，求出g（x）的最小值，从而确定a的范围即可．22.【答案】解：（1）将t=x-1代入y=+t得y=，所以倾斜角为，∴l的极坐标方程为θ=，l的普通方程为y=x．（2）A（2，）的直角坐标为（，1），A到直线l的距离d==1．【解析】（1）消去t得直线l的直角坐标方程，再用互化公式化成极坐标方程；（2）将A的极坐标化成直角坐标后，用点到直线的距离可得．本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档．23.【答案】解：（Ⅰ）不等式f（x）＜2，等价于或或，得x＜-或-≤x＜0，即f（x）＜2的解集是（-∞，0）；（Ⅱ）∵f（x）≤|（2x+3）-（2x-1）|=4，∴f（x）max=4，∴|3a-2|＜4，解得实数a的取值范围是（-，2）．【解析】（Ⅰ）通过讨论x的范围，得到关于x的不等式组，解出取并集即可；（Ⅱ）求出f（x）的最大值，得到关于a的不等式，解出即可．本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想，是一道中档题．。

2020届四川省凉山州高三毕业班第二次诊断性检测数学（理）试题一、单选题1．已知集合2{|log (1)2},,A x x B N =-<=则AB =（ ）A ．{}2345，，， B ．{}234，， C ．{}1234，，， D ．{}01234，，，， 【答案】B【解析】解对数不等式可得集合A ，由交集运算即可求解. 【详解】集合2{|log (1)2},A x x =-<解得{}15,A x x =<<,B N =由集合交集运算可得{}{}152,3,4A B x x N ⋂=<<⋂=， 故选：B. 【点睛】本题考查了集合交集的简单运算，对数不等式解法，属于基础题.2．设i 为虚数单位，复数()()1z a i i R =+-∈，则实数a 的值是（ ） A ．1 B ．-1C ．0D ．2【答案】A【解析】根据复数的乘法运算化简，由复数的意义即可求得a 的值. 【详解】复数()()1z a i i R =+-∈， 由复数乘法运算化简可得()11a a i z =++-，所以由复数定义可知10a -=， 解得1a =， 故选：A. 【点睛】本题考查了复数的乘法运算，复数的意义，属于基础题. 3．等比数列{},n a 若3154,9a a ==则9a =（ ）A ．±6B ．6C ．-6D ．132【答案】B【解析】根据等比中项性质代入可得解，由等比数列项的性质确定值即可. 【详解】由等比数列中等比中项性质可知，23159a a a ⋅=，所以96a ===±，而由等比数列性质可知奇数项符号相同，所以96a =， 故选：B. 【点睛】本题考查了等比数列中等比中项的简单应用，注意项的符号特征，属于基础题. 4．曲线24x y =在点()2,t 处的切线方程为（ ） A ．1y x =- B ．23y x =-C ．3y x =-+D ．25y x =-+【答案】A【解析】将点代入解析式确定参数值，结合导数的几何意义求得切线斜率，即可由点斜式求的切线方程. 【详解】曲线24x y =，即214y x =， 当2x =时，代入可得21124t =⨯=，所以切点坐标为()2,1，求得导函数可得12y x '=， 由导数几何意义可知1212k y ='=⨯=， 由点斜式可得切线方程为12y x -=-，即1y x =-， 故选：A. 【点睛】本题考查了导数的几何意义，在曲线上一点的切线方程求法，属于基础题.5．阅读如图的程序框图，若输出的值为25，那么在程序框图中的判断框内可填写的条件是（ ）A ．5i >B ．8i >C ．10i >D ．12i >【答案】C【解析】根据循环结构的程序框图，带入依次计算可得输出为25时i 的值，进而得判断框内容. 【详解】根据循环程序框图可知，0,1S i == 则1,3S i ==，4,5S i ==， 9,7S i ==， 16,9S i ==， 25,11S i ==，此时输出S ，因而9i =不符合条件框的内容，但11=i 符合条件框内容，结合选项可知C 为正确选项， 故选：C. 【点睛】本题考查了循环结构程序框图的简单应用，完善程序框图，属于基础题.6．若双曲线22214x y b -=的离心率72e =，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离为（ ） A ．3B ．2C 3D ．1【答案】C【解析】根据双曲线的解析式及离心率，可求得,,a b c 的值；得渐近线方程后，由点到直线距离公式即可求解. 【详解】双曲线22214x y b -=的离心率2e =，则2a =，c e a ==，解得c =()，所以b ===则双曲线渐近线方程为y x =20y ±=，不妨取右焦点，则由点到直线距离公式可得d ==，故选：C. 【点睛】本题考查了双曲线的几何性质及简单应用，渐近线方程的求法，点到直线距离公式的简单应用，属于基础题.7．若a R ∈，则“3a =”是“()51x ax +的展开式中3x 项的系数为90”的（ ） A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】求得()51x ax +的二项展开式的通项为15C kkk a x+⨯⋅,令2k =时,可得3x 项的系数为90,即25290C =a ⨯,求得a ,即可得出结果. 【详解】若3a =则()()55=113x ax x x ++二项展开式的通项为+15C 3k k k x ⨯⋅,令13k +=,即2k =,则3x 项的系数为252C 3=90⨯,充分性成立;当()51x ax +的展开式中3x 项的系数为90,则有25290C =a ⨯,从而3a =±,必要性不成立. 故选:B. 【点睛】本题考查二项式定理、充分条件、必要条件及充要条件的判断知识,考查考生的分析问题的能力和计算能力,难度较易.8．将函数()2cos 2f x x x =-向左平移6π个单位，得到()g x 的图象，则()g x 满足（ ） A ．图象关于点,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称，在区间0,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭上为增函数 B ．函数最大值为2，图象关于点,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称 C ．图象关于直线6x π=对称，在,123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为1 D ．最小正周期为π，()1g x =在0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π有两个根 【答案】C【解析】由辅助角公式化简三角函数式，结合三角函数图象平移变换即可求得()g x 的解析式，结合正弦函数的图象与性质即可判断各选项. 【详解】函数()2cos 2f x x x =-，则()2sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭， 将()2sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭向左平移6π个单位， 可得()2sin 22sin 2666g x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 由正弦函数的性质可知，()g x 的对称中心满足2,6x k k Z ππ+=∈，解得,122k x k Z ππ=-+∈，所以A 、B 选项中的对称中心错误；对于C ，()g x 的对称轴满足22,62x k k Z πππ+=+∈，解得,6x k k Z ππ=+∈，所以图象关于直线6x π=对称；当,123x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，52,636x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，由正弦函数性质可知[]2sin 21,26x π⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以在,123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为1，所以C 正确；对于D ，最小正周期为22ππ=，当0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，22,663x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，由正弦函数的图象与性质可知，2sin 216x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭时仅有一个解为0x =，所以D 错误； 综上可知，正确的为C ， 故选：C. 【点睛】本题考查了三角函数式的化简，三角函数图象平移变换，正弦函数图象与性质的综合应用，属于中档题.9．若函数()f x 的图象如图所示，则()f x 的解析式可能是（ ）A ．()x e xf x x+=B ．()21x f x x -=C ．()x e xf x x-=D ．()21x f x x +=【答案】A【解析】由函数性质,结合特殊值验证,通过排除法求得结果. 【详解】对于选项B, ()21x f x x -=为 奇函数可判断B 错误;对于选项C,当1x <-时, ()0x e xf x x-=<,可判断C 错误;对于选项D, ()22111=+x f x x x x+=,可知函数在第一象限的图象无增区间,故D 错误; 故选:A. 【点睛】本题考查已知函数的图象判断解析式问题,通过函数性质及特殊值利用排除法是解决本题的关键,难度一般.10．如图，长方体1111ABCD A B C D -中，1236AB AA ==，112A P PB =，点T 在棱1AA 上，若TP ⊥平面PBC .则1TP B B ⋅=（ ）A ．1B ．1-C ．2D ．2-【答案】D【解析】根据线面垂直的性质，可知TP PB ⊥；结合112A P PB =即可证明11PTA BPB ∆≅∆，进而求得1TA .由线段关系及平面向量数量积定义即可求得1TP B B ⋅.【详解】长方体1111ABCD A B C D -中，1236AB AA ==， 点T 在棱1AA 上，若TP ⊥平面PBC . 则TP PB ⊥，112A P PB = 则11PTA BPB ∠=∠，所以11PTA BPB ∆≅∆， 则111TA PB ==，所以11cos TP B B TP B B PTA ⋅=⋅⋅∠2222212221⎛⎫=+⨯=- +⎝， 故选：D. 【点睛】本题考查了直线与平面垂直的性质应用，平面向量数量积的运算，属于基础题. 11．已知12log 13a =131412,13b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，13log 14c =，则,,a b c 的大小关系为（ ）A ．a b c >>B ．c a b >>C ．b c a >>D ．a c b >>【答案】D【解析】由指数函数的图像与性质易得b 最小，利用作差法，结合对数换底公式及基本不等式的性质即可比较a 和c 的大小关系，进而得解. 【详解】根据指数函数的图像与性质可知1314120131b ⎛⎫<= ⎪⎭<⎝，由对数函数的图像与性质可知12log 131a =>，13log 141c =>，所以b 最小； 而由对数换底公式化简可得1132log 13log 14a c -=-lg13lg14lg12lg13=- 2lg 13lg12lg14lg12lg13-⋅=⋅ 由基本不等式可知()21lg12lg14lg12lg142⎡⎤⋅<+⎢⎥⎣⎦，代入上式可得()2221lg 13lg12lg14lg 13lg12lg142lg12lg13lg12lg13⎡⎤-+⎢⎥-⋅⎣⎦>⋅⋅221lg 13lg1682lg12lg13⎛⎫- ⎪⎝⎭=⋅11lg13lg168lg13lg16822lg12lg13⎛⎫⎛⎫+⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⋅((lg13lg130lg12lg13+⋅-=>⋅所以a c >， 综上可知a c b >>， 故选：D. 【点睛】本题考查了指数式与对数式的化简变形，对数换底公式及基本不等式的简单应用，作差法比较大小，属于中档题.12．一个超级斐波那契数列是一列具有以下性质的正整数:从第三项起，每一项都等于前面所有项之和(例如:1，3，4，8，16…).则首项为2，某一项为2020的超级斐波那契数列的个数为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】A【解析】根据定义，表示出数列的通项并等于2020.结合n 的正整数性质即可确定解的个数. 【详解】由题意可知首项为2，设第二项为t ，则第三项为2t +，第四项为()22t +，第五项为()222t +⋅⋅⋅第n 项为()322,*,n t n t N -+∈、且3n ≥，则()3222020n t -+=， 因为2202025101=⨯⨯， 当3n -的值可以为0,1,2； 即有3个这种超级斐波那契数列， 故选：A. 【点睛】本题考查了数列新定义的应用，注意自变量的取值范围，对题意理解要准确，属于中档题.二、填空题13．从甲、乙、丙、丁、戊五人中任选两名代表，甲被选中的概率为__________. 【答案】25【解析】甲被选中,只需从乙、丙、丁、戊中,再选一人即有14C 种方法,从甲、乙、丙、丁、戊五人中任选两名共有25C 种方法,根据公式即可求得概率. 【详解】甲被选中,只需从乙、丙、丁、戊中,再选一人即有14C 种方法, 从甲、乙、丙、丁、戊五人中任选两名共有25C 种方法,1425125C P C ⨯==. 故答案为:25. 【点睛】本题考查古典概型的概率的计算,考查学生分析问题的能力,难度容易.14．定义在R 上的奇函数()f x 满足()()11f x f x +=-，并且当01x ≤≤时()21x f x =-，则()123f =___【答案】1-【解析】根据所给表达式，结合奇函数性质，即可确定函数()f x 对称轴及周期性，进而由01x ≤≤的解析式求得()123f 的值.【详解】()f x 满足()()11f x f x +=-，由函数对称性可知()f x 关于1112x xx ++-==对称，且令1x x =+，代入可得()()2f x f x +=-，由奇函数性质可知()()f x f x -=-，所以()()2f x f x +=- 令2x x =+，代入可得()()()42f x f x f x +=-+=， 所以()f x 是以4为周期的周期函数， 则()()()()123431111f f f f =⨯-=-=-当01x ≤≤时()21xf x =-， 所以()11211f =-=，所以()()12311f f =-=-，故答案为：1-. 【点睛】本题考查了函数奇偶性与对称性的综合应用，周期函数的判断及应用，属于中档题. 15．已知平面向量a ，b 的夹角为3π,(3,1)a =，且||3a b -=，则||b =____ 【答案】1【解析】根据平面向量模的定义先由坐标求得a ，再根据平面向量数量积定义求得a b ⋅；将a b -化简并代入即可求得||b .【详解】(3,1)a =，则()32a ==，平面向量a ，b 的夹角为3π，则由平面向量数量积定义可得1cos 232a b a b b b π⋅=⋅=⨯⨯=，根据平面向量模的求法可知2223a b a a b b -=-⋅+=，2423b b -+=，解得1b =， 故答案为：1. 【点睛】本题考查了平面向量模的求法及简单应用，平面向量数量积的定义及运算，属于基础题. 16．数学家狄里克雷对数论，数学分析和数学物理有突出贡献，是解析数论的创始人之一.函数1,()0,x D x x ⎧⎪=⎨⎪⎩为有理数为无理数，称为狄里克雷函数.则关于()D x 有以下结论:①()D x 的值域为[]01，;②()(),x R D x D x ∀∈-=; ③()(),T R D x T D x ∀∈+=;④(1)(2020)45;D D D D ++++=其中正确的结论是_______(写出所有正确的结论的序号) 【答案】②【解析】根据新定义，结合实数的性质即可判断①②③理数个数，即可确定④. 【详解】对于①，由定义可知，当x 为有理数时()1D x =；当x 为无理数时()0D x =，则值域为{}0,1，所以①错误；对于②，因为有理数的相反数还是有理数，无理数的相反数还是无理数，所以满足()(),x R D x D x ∀∈-=，所以②正确；对于③，因为T R ∈，当x 为无理数时，x T +可以是有理数，也可以是无理数，所以③()(),T R D x T D x ∀∈+=错误；对于④，由定义可知(1)(2020)D D D D ++++2(1)(44)(2)(3)(2020)D D D D D D D D D =+++++++++44=，所以④错误；综上可知，正确的为②. 故答案为：②. 【点睛】本题考查了新定义函数的综合应用，正确理解题意是解决此类问题的关键，属于中档题.三、解答题17．传染病的流行必须具备的三个基本环节是：传染源、传播途径和人群易感性.三个环节必须同时存在，方能构成传染病流行.呼吸道飞沫和密切接触传播是新冠状病毒的主要传播途径，为了有效防控新冠状病毒的流行，人们出行都应该佩戴口罩.某地区已经出现了新冠状病毒的感染病人，为了掌握该地区居民的防控意识和防控情况，用分层抽样的方法从全体居民中抽出一个容量为100的样本，统计样本中每个人出行是否会佩戴口罩的情况，得到下面列联表：（1）能否有99.9%的把握认为是否会佩戴口罩出行的行为与年龄有关？（2）用样本估计总体，若从该地区出行不戴口罩的居民中随机抽取5人，求恰好有2人是青年人的概率.附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++【答案】（1）有99.9%的把握认为是否戴口罩出行的行为与年龄有关. （2）80243【解析】(1) 根据列联表和独立性检验的公式计算出观测值2K ,从而由参考数据作出判断.(2) 因为样本中出行不戴口罩的居民有30人,其中年轻人有10人,用样本估计总体,则出行不戴口罩的年轻人的概率为13，是老年人的概率为23.根据独立重复事件的概率公式即可求得结果. 【详解】（1）由题意可知()221005020201080012.69810.8286040703063K ⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯，∴有99.9%的把握认为是否戴口罩出行的行为与年龄有关.（2）由样本估计总体，出行不戴口罩的年轻人的概率为13，是老年人的概率为23.5∴人未戴口罩，恰有2人是青年人的概率2325128033243P C ⎛⎫==⎪⎝⎭⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题主要考查独立性检验及独立重复事件的概率求法,难度一般.18．如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，点M 是棱PC 的中点，2AB =，()0PD t t =>.（1）若2t =，证明：平面DMA ⊥平面PBC ； （2）若三棱锥C DBM -的体积为43，求二面角B DM C --的余弦值. 【答案】（1）见解析（2）23【解析】(1)由已知可证得AD ⊥平面PDC ,则有AD PC ⊥,在PDC △中,由已知可得DM PC ⊥,即可证得PC ⊥平面ADM ,进而证得结论.(2) 过M 作//MN PD 交DC 于N ,由M 为PC 的中点,结合已知有MN ⊥平面ABCD .则1433C DBM M DBC DBC V V S MN --==⋅=△,可求得4t =.建立坐标系分别求得面DBM 的法向量()2,2,1n =-,平面DMC 的一个法向量为()1,0,0m =,利用公式即可求得结果. 【详解】 （1）证明：PD ⊥平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，AD PD ∴⊥,又四边形ABCD 为正方形，AD DC ∴⊥.又PD 、DC ⊂平面PDC ，且PD DC D ⋂=，AD ∴⊥平面PDC .AD PC ∴⊥.PDC △中，2t PD DC ===，M 为PC 的中点， DM PC ∴⊥.又AD 、DM ⊂平面ADM ，ADDM D =，PC ∴⊥平面ADM .PC ⊂平面PBC ，∴平面DMA ⊥平面PBC .（2）解：过M 作//MN PD 交DC 于N ，如图M 为PC 的中点，1//2MN PD ∴，12MN t ∴=. 又PD ⊥平面ABCD ，MN ∴⊥平面ABCD .21114233223C DBM M DBC DBC t V V S MN --==⋅=⨯⨯⨯=△，4t ∴=.所以4PD =,又PD 、DA 、DC 两两互相垂直，以DP 、DA 、DC 为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系.()0,0,0D ，()2,2,1B ，()0,2,0C ，()0,1,2M设平面DBM 的法向量(),,n x y z =，则00n DB DM DM ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即22020x y y z +=⎧⎨+=⎩. 令1z =，则2x =，2y =-.()2,2,1n ∴=-. 平面DMC 的一个法向量为()1,0,0m =22cos ,133m n m n m n⋅∴===⨯⋅. ∴二面角B DM C --的余弦值为23.【点睛】本题考查面面垂直的证明方法,考查了空间线线、线面、面面位置关系，考查利用向量法求二面角的方法,难度一般.19．如图，在平面四边形ABCD 中，23D π∠=，5sin cos 13BAC B ∠=∠=，13AB =.（1）求AC ；（2）求四边形ABCD 面积的最大值. 【答案】（1）12；（2）12330S =【解析】（1）根据同角三角函数式可求得cos sin BAC B ∠=∠，结合正弦和角公式求得()sin sin B BCA AC B ∠∠=+∠，即可求得2BCA π∠=，进而由三角函数（2）设,,AD x DC y ==根据余弦定理及基本不等式，可求得xy 的最大值，结合三角形面积公式可求得ADC S ∆的最大值，即可求得四边形ABCD 面积的最大值. 【详解】（1）5sin cos 13BAC B ∠=∠=， 则由同角三角函数关系式可得2512cos sin 11313BAC B ⎛⎫∠=∠=-= ⎪⎝⎭，则()sin sin B BCA AC B ∠∠=+∠sin co cos sin s B B AC B AC B ∠+∠⋅=⋅∠∠551212113131313=⨯⨯=+，则2BCA π∠=，所以12sin 131213AC AB B =⋅=⨯=. （2）设,,AD x DC y ==在DAC ∆中由余弦定理可得2222cos AC DA DC DA DC ADC =+-⋅⋅∠，代入可得22144x y xy =++，由基本不等式222x y xy +≥可知1442xy xy -≥，即48xy ≤，当且仅当x y == 由三角形面积公式可得1sin 2ADC S xy ADC ∆=∠14822≤⨯⨯=1125302ACB S ∆=⨯⨯=，所以四边形ABCD 面积的最大值为30S =. 【点睛】本题考查了正弦和角公式化简三角函数式的应用，余弦定理及不等式式求最值的综合应用，属于中档题.20．设33()(4)log (01).11a f x a x x a a a a =--+>≠--且 （1）证明:当4a =时，()ln 0x f x +≤；（2）当1x ≥时()0f x ≤，求整数a 的最大值.（参考数据：20.69,3 1.10ln ln ≈≈，5 1.61,7 1.95ln ln ≈≈）【答案】（1）证明见解析；（2）5a =.【解析】（1）将4a =代入函数解析式可得()1f x x =-+，构造函数()ln 1g x x x =-+，求得()g x '并令()0g x '=，由导函数符号判断函数单调性并求得最大值，由()max 0g x =即可证明()0g x ≤恒成立，即不等式得证.（2）对函数求导，变形后讨论当1a >时的函数单调情况：当()()413ln a a a--≤时，可知满足题意；将不等式化简后构造函数()2543ln ,1g a a a a a =-+->，利用导函数求得极值点与函数的单调性，从而求得最小值为()3g ，分别依次代入检验()()()()3,4,5,6g g g g ⋅⋅⋅的符号，即可确定整数a 的最大值；当()()413ln a a a-->时不满足题意，因为求整数a 的最大值，所以01a <<时无需再讨论. 【详解】（1）证明：当4a =时代入()f x 可得()1f x x =-+， 令()ln 1g x x x =-+，()0,x ∈+∞， 则()111xg x x x-'=-=， 令()0g x '=解得1x =，当()0,1x ∈时()0g x '>，所以()ln 1g x x x =-+在()0,1x ∈单调递增， 当()1,x ∈+∞时()0g x '<，所以()ln 1g x x x =-+在()1,x ∈+∞单调递减， 所以()()max 1ln1110gx g ==-+=，则()ln 10g x x x =-+≤，即()ln 0x f x +≤成立. （2）函数33()(4)log (01).11a f x a x x a a a a =--+>≠--且 则()()()41343ln (),1ln 11ln a a xa af x x x a a x a a----'=-=≥--，若1a >时，当()()413ln a a a--≤时，()0f x '<，则()f x 在[)1,+∞时单调递减，所以()()10f x f ≤=，即当1x ≥时()0f x ≤成立； 所以此时需满足()()1413ln a a a a >⎧⎪--⎨≤⎪⎩的整数解即可，将不等式化简可得2543ln a a a -+≤， 令()2543ln ,1g a a a a a =-+->则()()()2213325325,1a a a a g a a a a a a+---'=--==> 令()0g a '=解得3a =，当()1,3a ∈时()0g a '<，即()g a 在()1,3a ∈内单调递减， 当()3,a ∈+∞时()0g a '>，即()g a 在()3,a ∈+∞内单调递增， 所以当3a =时()g a 取得最小值，则()2335343ln 323ln 30g =-⨯+-=--<，()2445443ln 43ln 40g =-⨯+-=-<，()2555543ln543ln543 1.610g =-⨯+-=-≈-⨯<， ()()2665643ln 6103ln 2ln3103 1.790g =-⨯+-=-+≈-⨯>所以此时满足2543ln a a a -+≤的整数a 的最大值为5a =； 当()()413ln a a a-->时，在()()411,2ln a a x a⎡⎤--∈⎢⎥⎣⎦时()0f x '>，此时()()10f x f >=，与题意矛盾，所以不成立.因为求整数a 的最大值，所以01a <<时无需再讨论， 综上所述，当1x ≥时()0f x ≤，整数a 的最大值为5a =. 【点睛】本题考查了导数在证明不等式中的应用，导数与函数单调性、极值、最值的关系和应用，构造函数法求最值，并判断函数值法符号，综合性强，属于难题.21．已知12(),100(1)F F -，，分别是椭圆2222:1,(0)x y C a b a b+=>>的左焦点和右焦点，椭圆C 的离心率为5AB 、是椭圆C 上两点，点M 满足12BM BA =. (1)求C 的方程；(2)若点M 在圆221x y +=上，点O 为坐标原点，求OA OB ⋅的取值范围.【答案】（1）22154x y +=；（2）1111,45⎡⎫--⎪⎢⎣⎭. 【解析】（1）根据焦点坐标和离心率，结合椭圆中,,a b c 的关系，即可求得,,a b c 的值，进而得椭圆的标准方程.（2）设出直线AB 的方程为y kx m =+，由题意可知M 为AB 中点.联立直线与椭圆方程，由韦达定理表示出1212,x x x x +，由判别式>0∆可得2254k m +>；由平面向量的线性运算及数量积定义，化简OA OB ⋅可得2114OA OB AB ⋅=-，代入弦长公式化简；由中点坐标公式可得点M 的坐标，代入圆的方程221x y +=，化简可得()2222542516k mk +=+，代入数量积公式并化简，由换元法令21t k =+，代入可得()()()20812051259t t OA OB t t -⋅=-⨯--，再令1s t =及52s ω=-，结合函数单调性即可确定1625950ωω++的取值范围，即确定()()()20851259t t t t ---的取值范围，因而可得OA OB ⋅的取值范围.【详解】（1）12(),100(1)F F -，，分别是椭圆2222:1,(0)x y C a b a b+=>>的左焦点和右焦点， 则1c =，椭圆C则15c e a a ===解得a = 所以222514b a c =-=-=，所以C 的方程为22154x y +=.（2）设直线AB 的方程为y kx m =+，点M 满足12BM BA =，则M 为AB 中点，点M 在圆221x y +=上，设()()1122,,,A x y B x y ，联立直线与椭圆方程22154y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，化简可得()22254105200k x kmx m +++-=，所以212122210520,,5454km m x x x x k k --+==++则()()()222104545200km k m ∆=-⨯+⨯->，化简可得2254k m +>，而()()OA OB OM MA OM MB ⋅=+⋅+2OM OM MB MA OM MA MB =+⋅+⋅+⋅22OM MB =-2114AB =-由弦长公式代入可得22111144OA OB AB ⋅=-=-2211454k k +=-⨯+⎝⎭M 为AB 中点，则()121222254,,225454M M k x x b x x kmm x y k k +++-====++点M 在圆221x y +=上，代入化简可得()2222542516k mk +=+，所以()22222154180454k k m OA OB k ++-⋅=-⨯⨯+ ()()()()222212012120542516k k k k ++=-⨯++ 令21t k =+，则()()()20812051259t t OA OB t t -⋅=-⨯--，1t ≥，令1,01s s t=<≤，则()()()()()82020820819512595259525t t s tt t s s t t ---==----⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ ()()()4525259s s s -=--令[)52,3,5s ωω=-∈，则52s ω-=， 所以()()()()()4521616255259559950s s s ωωωωω-==--++++，因为()25950f ωωω=++在[)3,5ω∈内单调递增，所以1643,252516950ωω⎛⎤∈ ⎥⎝⎦++， 即()()()20843,512592516t t t t -⎛⎤∈ ⎥--⎝⎦所以()()()2081111120,5125945t t OA OB t t -⎡⎫⋅=-⨯∈--⎪⎢--⎣⎭ 【点睛】本题考查了椭圆的标准方程求法，直线与椭圆的位置关系综合应用，由韦达定理研究参数间的关系，平面向量的线性运算与数量积运算，弦长公式的应用及换元法在求取值范围问题中的综合应用，计算量大，属于难题.22．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为x t y t =⎧⎨=⎩(t 为参数)，直线l 与曲线:C ()2211x y -+=交于A B 、两点.(1)求AB 的长；(2)在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中，设点P的极坐标为34π⎛⎫ ⎪⎝⎭，求点P 到线段AB 中点M 的距离. 【答案】（1;（2. 【解析】（1）将直线的参数方程化为直角坐标方程，由点到直线距离公式可求得圆心到直线距离，结合垂径定理即可求得AB 的长；（2）将P 的极坐标化为直角坐标，将直线方程与圆的方程联立，求得直线与圆的两个交点坐标，由中点坐标公式求得M 的坐标，再根据两点间距离公式即可求得PM .【详解】（1）直线l 的参数方程为x t y t=⎧⎨=⎩(t 为参数)， 化为直角坐标方程为y x =，即0x y -=直线l 与曲线:C ()2211x y -+=交于A B 、两点.则圆心坐标为()1,0，半径为1，则由点到直线距离公式可知d=所以2AB==（2）点P的极坐标为34π⎛⎫⎪⎝⎭，化为直角坐标可得()2,2-，直线l的方程与曲线C的方程联立()2211y xx y=⎧⎪⎨-+=⎪⎩，化简可得20x x-=，解得0,1x x==，所以A B、两点坐标为()()001,1，、，所以11,22M⎛⎫⎪⎝⎭，由两点间距离公式可得PM==【点睛】本题考查了参数方程与普通方程转化，极坐标与直角坐标的转化，点到直线距离公式应用，两点间距离公式的应用，直线与圆交点坐标求法，属于基础题.23．设()()20f x x x a a=-->（1）当1a=时，求不等式()1f x≥的解集；（2）若()1f x≤，求a的取值范围.【答案】（1）1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦（2）(]0,1【解析】(1)通过讨论x的范围,得到关于x的不等式组,解出取并集即可.(2)去绝对值将函数()f x写成分段函数形式讨论分段函数的单调性由()1f x≤恒成立求得结果.【详解】解：（1）当1a=时，()21f x x x=--，()1f x≥-即21xx<⎧⎨-≥-⎩或01321xx≤≤⎧⎨-≥-⎩或121xx>⎧⎨-+≥-⎩解之得113x≤≤或13x<≤，即133x≤≤∴不等式的解集为1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦. （2）由题意得：()()()()2,032,02,x a x f x x a x a x a x a ⎧-<⎪=-≤≤⎨⎪-+>⎩∴当0x <时()()20f x x a a =->为减函数，显然()1f x ≤恒成立.当0x a ≤≤时，()32f x x a =-为增函数，()()max 1f x f a a ==≤，01a ∴<<当x a >时，()2f x x a =-+为减函数，()1f a a =<01a ∴<<综上所述：使()1f x ≤恒成立的a 的取值范围为(]0,1.【点睛】本题考查了解绝对值不等式问题,考查不等式恒成立问题中求解参数问题,考查分类讨论思想,转化思想,属于中档题.。

四川省凉山州2020届高三二诊 数学（文）试题一,选择题(本大题共12小题,每题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)1.已知集合A={x|log 2(x-1)<2},B=N,则A∩B=( )A.{2,3,4,5}B.{2,3,4}C.{1,2,3,4}D.{0,1,2,3,4}2.设i 为虚数单位,复数z=(a+i)(1-i)∈R,则实数a 的值是( )A.1B.-1C.0D.23.等比数列{a n },若a 3=4,a 15=9则a 9=( )A.±6B.6C.-6D.132 4.若2()(1)(),f x x ax a R =+∈则“23a =”是"f(3)=27"的( ) A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件5.曲线x 2=4y 在点(2,t)处的切线方程为()A.y=x-1B.y=2x-3C.3y x =-+D.y=-2x+56.阅读如图的程序框图,若输出的值为25,那么在程序框图中的判断框内可填写的条件是A.i>5B.i>8C.i>10D.i>127.若双曲线22214x y b-=的离心率7e =,则该双曲线的焦点到其渐近线的距离为 A.23 B.2 C.3 D.18.将函数()3sin 2cos 2f x x x =-向左平移6π个单位,得到g(x)的图象,则g(x)满足 A.图象关于点(,0)12π对称,在区间(0,)4π上为增函数 B.函数最大值为2,图象关于点(,0)3π对称 C.图象关于直线6x π=对称,在,123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为1 D.最小正周期为π.g(x)=1在0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦有两个根 9.若函数f(x)的图象如图所示,则f(x)的解析式可能是( )A.()x e x f x x +=B.21()x f x x -=C.2()x e x f x x -=D.21()x f x x +=10.如图,长方体1111ABCD A B C D -中,1236AB AA ==,112A P PB =u u u r u u u r 点T 在棱AA 1上,若TP ⊥平面PBC,则1TP B B ⋅=u u r u u u r ( )A.1B.-1C.2D.-2 11.已知13141212log 13,b 13a ⎛⎫==⎪⎝⎭c=log 1314,则a,b,c 的大小关系为( ) A.a>b>c B.c>a>bC.b>c>aD.a>c>b 12.一个超级斐波那契数列是一列具有以下性质的正整数:从第三项起,每一项都等于前面所有项之和(例如:1,3,4,8,16…).则首项为2,某一项为2020的超级斐波那契数列的个数为( )A.3B.4C.5D.6二,填空题(共4小题,每小题5分,共20分)13.从甲、乙、丙、丁、戊五人中任选两名代表,甲被选中的概率为___14.定义在R 上的奇函数f(x)满足f(1+x)=f(1-x),并且当0≤x≤1时,f(x)=2x -1,则f(123)=_____15.已知平面向量,a b r r 的夹角为3π,(3,1)a =r 且||3a b -=r r 则||b =r _____ 16.数学家狄里克雷对数论,数学分析和数学物理有突出贡献,是解析数论的创始人之一.函数1,()0,x D x x ⎧⎪=⎨⎪⎩为有理数为无理数,称为狄里克雷函数.则关于D(x)有以下结论:①D(x)的值域为[0,1];②∀x ∈R,D(-x)=D(x);③∀T ∈R,D(x+T)=D(x);④(1)(2)(3)(2020)45;D D D D ++++=L 其中正确的结论是_______(写出所有正确的结论的序号)三,解答题17.(12分)传染病的流行必须具备的三个基本环节是:传染源、传播途径和人群易感性.三个环节必须同时存在,方能构成传染病流行.呼吸道飞沫和密切接触传播是新冠状病毒的主要传播途径,为了有效防控新冠状病毒的流行,人们出行都应该佩戴口罩.某地区已经出现了新冠状病毒的感染病人,为了掌握该地区居民的防控意识和防控情况,用分层抽样的方法从全体居民中抽出一个容量为100的样本,统计样本中每个人出行是否会佩戴口罩的情况,得到下面列联表:（1）能否有99.9%的把握认为是否会佩戴口罩出行的行为与年龄有关？（2）用样本估计总体，若从该地区出行不戴口罩的居民中随机抽取5人，求恰好有2人是青年人的概率。

2020年四川省凉山州高考数学三诊试卷2一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x||x|≤2}，B={x|x∈N}，则A∩B=()A. {0,1，2}B. {1,2}C. [0,2]D. [1,2]2.设复数z满足z(1+i)=2，i为虚数单位，则复数z的虚部是()A. 1B. −1C. iD. −i3.已知集合A={1,2，3，4，5，6}，集合B={1,3，5}，从集合A中随机选取一个数a，从集合B中随机选取一个数b，则a≤b的概率为()A. 19B. 16C. 13D. 124.命题p：“sinα=12是α=π6的充分不必要条件”，命题q：“lga>lgb是√a>√b的充分不必要条件”，下列为真命题的是()A. ¬p∧¬qB. p∧¬qC. p∨qD. p∨¬q5.设随机变量ξ～N(2,4)，若P(ξ>2a+1)=P(ξ<2a−1)，则实数a的值为()A. 1B. 2C. 3D. 46.执行如图的程序框图，如果输入的t=0.01，则输出的n=()A. 5B. 6C. 7D. 87.图为长方体与圆柱构成的组合体的三视图，则该几何体的体积为()A. 64+32πB. 64+64πC. 256+64πD. 256+128π 8. 等比数列{a n }中，a 3=3，a 4=9，若a 1⋅a 2⋅a 3⋅⋯⋅a n =344，则n =( )A. 13B. 12C. 11D.10 9. 函数是常数，ω>0，|φ|<π2)的部分图象如图所示，为得到函数，只需将函数f(x)的图象( )A. 向右平移2π3个长度单位 B. 向右平移π3个长度单位 C. 向左平移π6个长度单位D. 向左平移π3个长度单位10. 已知点A(0,1)，曲线C ：y =alnx 恒过定点B ，P 为曲线C 上的动点且AP⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为2，则a =( )A. −2B. −1C. 2D. 111. 如图，已知抛物线C 1的顶点在坐标原点，焦点在x 轴上，且过点(3,6)，圆C 2：x 2+y 2−6x +8=0，过圆心C 2的直线l 与抛物线和圆分别交于P ，Q 点和M ，N 点，则|PN|+3|QM|的最小值为( )A. 12+4√3B. 16+4√3C. 16+6√3D. 20+6√312. 设数列{a n }满足a 1=13，a n+1=e a n −1(n ∈N ∗)(其中e 为自然对数的底数)，数列{a n }的前n 项和为S n ，则( )A. S 2019>S 2018，a 2019>a 2018B. S 2019<S 2018，a 2019>a 2018C. S 2019>S 2018，a 2019<a 2018D. S 2019<S 2018，a 2019<a 2018二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 求值：log 39+ln √e +2−log 23+(8116)−14=_____________．14. 设a =∫sin π0xdx ，则二项式(a √x −1√x)6的展开式中的常数项是________． 15. 在直角坐标系xOy 中，点A(x 1,y 1)和点B(x 2,y 2)，设集合M ={(x,y)|x 2+y 2=1}，且A ，B ∈M ，|AB|=1，则x 1x 2+y 1y 2=______；点A ，B 到x 轴距离之和的最小值为______． 16. 若正项数列{a n }满足a 2=12，a 6=132，且a n+1a n=a n a n−1(n ≥2,n ∈N)，则______ ．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 从某地区一次中学生知识竞赛中，随机抽取了30名学生的成绩，绘成如图所示的2×2列联表：优秀 一般 合计男生 7 6女生 5 12合计(2)用样本估计总体，把频率作为概率，若从该地区所有的中学(人数很多)中随机抽取3人，用ξ表示所选3人中优秀的人数，试写出ξ的分布列，并求出ξ的数学期望．K 2=n(ad−bc)2(a+b)(a+d)(a+c)(b+d)，其中n =a +b +c +d ． 独立性检验临界表：P(K 2≥k) 0.100 0.050 0.010 0.001 k2.7063.841 6.635 10.82818.如图，在四棱锥P−ABCD中，∠PAB=90°，AB//CD，且PB=BC=BD=√6，CD=2AB=2√2，∠PAD=120°，E和F分别是棱CD和PC的中点．(1)求证：CD⊥BF；(2)求直线PB与平面PCD所成的角的正弦值．19.已知在ΔABC中，2cos(B−C)+1=4cosBcosC．⑴求角A；⑴若a=2√7，SΔABC=2√3，求b+c．20.如图，已知椭圆C的离心率为√3，点A、B、F分别为椭圆的右顶点、上顶点和右焦点，且S△ABF=21−√3．2(1)求椭圆C的方程;(2)已知直线l:y=kx+m与圆O:x2+y2=1相切，若直线l与椭圆C交于M，N两点，求△OMN面积的最大值．+lnx−1,g(x)=x3−3a2x−2a+4，其中a>0．21.已知函数f(x)=1x,e]上有两个不同的实数根，求m的取值范围；(1)若关于x的方程f(x)=m在x∈[1e(2)若对任意x1∈[1,e]，总存在x2∈[0,1]，使得f(x1)=g(x2)成立，求a的取值范围．22.在直角坐标系xOy中，椭圆C的参数方程为{x=cosθ,y=√3sinθ(θ为参数)，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为√2ρcos(α+π4)=1．(1)求椭圆C的普通方程和直线l的直角坐标方程；(2)设直线l与x轴、y轴的交点分别为A，B，点P在椭圆C上，求△PAB面积的最大值．23.已知函数f(x)=|2x−2|+|2x+3|．(1)求不等式f(x)<15的解集；(2)若f(x)≥a−x2+x对于x∈R恒成立，求a的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：解：A ={x|−2≤x ≤2}； ∴A ∩B ={0,1，2}． 故选：A ．可求出集合A ，然后进行交集的运算即可．考查描述法、列举法的定义，以及绝对值不等式的解法，交集的运算．2.答案：B解析： 【分析】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题． 把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案． 【解答】解：由z(1+i)=2，得z = 2 1+i = 2(1−i) (1+i)(1−i)=1−i ， ∴复数z 的虚部是−1． 故选B ．3.答案：D解析： 【分析】本题考查古典概率的求法，先求出基本事件总数n =6×3=18，再用列举法求出a ≤b 包含的基本事件个数由此能求出a ≤b 的概率． 【解答】解：从集合A 中选一个数有6种可能，从集合B 中选一个数有3种可能，通过列举可知共有18种可能，其中满足a ≤b 的有{a =1b =1,{a =1b =3,{a =1b =5,{a =2b =3,{a =2b =5,{a =3b =3,{a =3b =5,{a =4b =5,{a =5b =5，共9种可能，用古典概型的概率计算公式可得P =918=12． 故选D ．4.答案：C解析：【分析】本题考查了命题必要条件、充分条件及充要条件的判断和复合命题的判断，属于基础题．分别判断命题p、q的真假性即可得到答案．【解答】解：不一定成立，反之α=π6，sinπ6=12一定成立，∴“sinα=12是α=π6的必要不充分条件”，∴命题p是假命题；lga>lgb⇒a>b>0⇒√a>√b；如果√a>√b=0，则lga>lgb不成立，所以命题q：“lga>lgb是√a>√b的充分不必要条件”为真命题，由命题的真值表易得p∨q为真命题，故选C．5.答案：A解析：解：∵随机变量ξ～N(2,4)，∴μ=2，由P(ξ>2a+1)=P(ξ<2a−1)，可得2a+1与2a−1关于直线μ=2对称，则(2a+1)+(2a−1)=4，即a=1．故选：A．由已知可得μ=2，由P(ξ>2a+1)=P(ξ<2a−1)，可得2a+1与2a−1关于直线μ=2对称，再由中点坐标公式列式求得a值．本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量μ和σ的应用，考查曲线的对称性，属于基础题．6.答案：C解析：【分析】本题考查程序框图的输入输出值的确定，涉及循环结构，属于基础题．当需要循环次数较多时，看清楚程序的功能是必要的，在这里先求出1−12−...−(12)n，利用等比数列的求和公式解决即可． 【解答】解：本程序的功能是求当S 开始小于等于0.01时，n 的值， 其中S =1−12−...−(12)n=1−12[1−(12)n]1−12=(12)n，当n =6时，S =(12)6=164>0.01， 当n =7时，S =(12)7=1128<0.01，当n =7时，S 才开始小于0.01， ∴输出的n 的值为7， 故选C ．7.答案：C解析： 【分析】由三视图可知：该几何体是由上下两部分组成的，上面是一个圆柱，底面直径为8，高为4；下面是一个长宽高分别为8，8，4的长方体．据此计算即可． 【解答】解：由三视图可知：该几何体是由上下两部分组成的，上面是一个圆柱，底面直径为8，高为4；下面是一个长宽高分别为8，8，4的长方体． ∴该几何体的体积V =8×8×4+π×42×4=256+64π． 故选C ．8.答案：C解析：【分析】本题考查了等差数列的通项公式和求和公式以及指数幂的运算性质，属于中档题． 先求出数列的通项公式，再根据指数幂的运算性质和等差数列的求和公式可得n 2−3n 2=44，解得即可． 【解答】解：设数列{a n }的公比为q.依题意有{a 1q 2=3a 1q 3=9，解得a 1=13，q =3， 所以a 1⋅a 2⋅⋯⋅a n =a 1n⋅q1+2+⋯+(n−1)=a 1n ⋅q(n−1)n 2=13n ⋅3(n−1)n 2=3n 2−3n 2=344，所以n 2−3n 2=44，解得n =11.故选C ．9.答案：B解析： 【分析】本题主要考查了三角函数的图象和性质应用以及函数图象的平移，属于基础题． 根据函数图象得到f(x)的解析式，结合三角函数的图象平移规律求解即可． 【解答】 解：2πω4=T 4=2π3−5π12=π4，所以ω=2,又cos(2×5π12+φ)=−1⇒5π6+φ=2kπ+π⇒φ=π6，所以f(x)=cos(2x +π6)， 又cos(2(x −π3)+π6)=cos(2x +π6−2π3)=cos(2x −π2)=sin2x ， 只需将函数f(x)的图象向右平移π3个长度单位即可． 故选B ．10.答案：D解析：解：曲线C ：y =alnx 恒过点B ，则令x =1，可得y =0， 即B(1,0)，又点A(0,1)，设P(x,alnx)， 则AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =f(x)=x −alnx +1，由于f(x)=x −alnx +1在(0,+∞)上有最小值2， 且f(1)=2，故x =1是f(x)的极值点，即最小值点． f′(x)=1−ax =x−a x，a <0，f′(x)>0恒成立，f(x)在(0,+∞)上是增函数，所以没有最小值；故不符合题意； 当a >0，x ∈(0,a)时，f′(x)<0，函数f(x)在(0,a)是减函数，在(a,+∞)是增函数，有最小值为f(a)=2，即a −alna +1=2，解得a =1； 故选：D ．运用对数函数的图象特点可得B(1,0)，设P(x,alnx)，运用向量的数量积的坐标表示，可得f(x)=AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =x −alnx +1，x ∈(0,+∞)再由导数，求得极值点即为最值点，对a 讨论通过单调性即可判断． 本题考查了利用导数求函数的最值；关键是将数量积表示为关于x 的函数，通过求导，判断单调性，得到最值求参数a ．11.答案：C解析： 【分析】本题考查抛物线的标准方程，直线与抛物线的位置关系，基本不等式的应用，属于较难题． 设出抛物线的标准方程，将点代入抛物线方程，求得抛物线方程，由抛物线的定义，求得1|PF|+1|QF|=2p ，根据基本不等式，即可求得答案． 【解答】解：设抛物线的方程：y 2=2px(p >0)，焦点为F ， 则36=2p ×3，则2p =12，∴抛物线的标准方程：y 2=12x ，焦点坐标F(3,0)，准线方程为x =−3， 圆C 2：x 2+y 2−6x +8=0的圆心为(3,0)，半径为1， 由直线PQ 过圆的圆心即抛物线的焦点，可设直线l 的方程为：my =x −3，设P 、Q 坐标分别为，由{y 2=12x my =x −3，联立得 y 2−12my −36=0， ∵(3,0)在抛物线内，则Δ>0恒成立，∴y1+y2=12m，y1·y2=−36，∴x1+x2=12m2+6，x1·x2=9，∴1|PF|+1|QF|=1x1+3+1x2+3=12m2+6+69+3(12m2+6)+9=13，则|PN|+3|QM|=|PF|+1+3(|QF|+1)=|PF|+3|QF|+4=3(|PF|+3|QF|)(1|PF|+1|QF|)+4=3(4+3|QF||PF|+|PF||QF|)+4≥3×(4+2√3)+4=16+6√3.当且仅当|PF|=√3|QF|时等号成立，故选C．12.答案：A解析：【分析】本题考查数列的函数特征，利用导数研究函数的单调性，属一般题．构造函数f(x)=e x−x−1，求导研究单调性，进而得到答案．【解答】解：设f(x)=e x−x−1，则f′(x)=e x−1，所以当x∈(−∞,0)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，当x∈(0,+∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，所以f(x)≥f(0)=0，所以e x≥x+1，所以a n+1=e a n−1≥a n，当且仅当a n=1时等号成立，而a1=13，所以a n+1>a n>0对任意n成立，所以S2019>S2018，a2019>a2018．故选A．13.答案：72解析：【分析】本题考查了指数与对数运算性质，属于基础题．利用指数与对数运算性质即可得出．【解答】解：=2+12+13+23=72故答案为72．14.答案：−160解析： 【分析】本题主要考查二项式定理的应用，求定积分，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于中档题． 【解答】解：a =∫sin π0xdx =(−cosx)|0π=2，所以(a √x −1√x )6展开式的通项公式为T r+1=C 6r (2√x)6−r (−1√x)r =C 6r 26−r(−1)r x 3−r ， 令3−r =0.则r =3，∴T 4=C 6323(−1)3=−160．故答案为−160．15.答案：12 √32解析：解：因为|AB|=|OA|=|OB|=1，所以三角形AOB 为等边三角形，所以∠AON =60°，∴cos∠AOB =OA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |OA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=12，∴x 1x 2+y 1y 2=12，法2：利用x 12+y 12=1，x 22+y 22=1，且|AB|=√(x 1−x 2)2+(y 1−y 2)2=1， 得(x 1−x 2)2+(y 1−y 2)2=1，即x 12+y 12+x 22+y 22−2x 1y 1−2x 2y 2=1，则2(x 1x 2+y 1y 2)=1，得x 1x 2+y 1y 2=12． 假设A ，B 在x 轴的上方，AB 的中点为C ，分别过A ，B ，C 作x 轴的垂线，垂足分别为D ，E ，F ， 则点A ，B 到x 轴距离之和为AD +EB =2CE ， 要求AD +EB 的最小值， 即求出CE 的最小值即可，当A ，D 重合，即A 在x 轴上时，AD +EB =0+EB =BE =√32，故答案为：12，√32利用两点间的距离公式以及数形结合进行求解即可． 本题主要考查两点间距离的计算，利用条件建立方程组关系以及利用数形结合是解决本题的关键．16.答案：−3解析： 【分析】根据数列的递推关系得到数列{a n }为等比数列，结合等比数列的性质求出a 4的值即可． 本题主要考查等比数列的通项公式的应用，根据条件判断数列是等比数列是解决本题的关键． 【解答】 解：∵a n+1a n=a n a n−1(n ≥2,n ∈N)，∴数列{a n }为等比数列， ∵a 2=12，a 6=132，∴a 42=a 2a 6=12×132=164，则a 4=18， 则，故答案为：−3．17.答案：解：(1)填写2×2列联表，如下：优秀 一般 合计男生 7 6 13 女生 51217 合计 12 1830由列联表数据代入公式得K 2的观测值为k =30×(7×12−6×5)213×17×12×18≈1.83，因为1.83<2.706，所以没有90%的把握认为成绩优秀一般与性别有关； (2)由题知，抽取的30名学生中有12名学生是优秀学生， 抽取1名学生是优秀学生的概率为1230=25，那么从所有的中学生中抽取1名学生是优秀学生的概率是25，又因为所取总体数量较多，抽取3名学生可以看出3次独立重复实验， 于是ξ服从二项分布B(3,25)，显然ξ的所有可能的取值为0，1，2，3，且P(ξ=k)=C 3k⋅(25)k ⋅(1−25)3−k ，k =0，1，2，3， 所以ξ的分布列为：数学期望E(ξ)=3×25=65．解析：本题考查了独立性检验与n 次独立重复实验的概率分布列、数学期望的计算问题，属于中档题．(1)根据题意，填写2×2列联表，根据公式计算K 2的观测值，对照临界表得出结论；(2)求出从所有学生中抽取1名学生是优秀学生的概率值，得出ξ服从二项分布B(3,25)，计算对应的概率值，写出ξ的分布列，计算数学期望E(ξ)．18.答案：(1)证明：∵E 为CD 的中点，CD =2AB ，∴AB =DE ，又∵AB//CD ，∴四边形ABED 为平行四边形，又∵BC =BD ，∴BE ⊥CD ，∴四边形ABED 为矩形，∴AB ⊥AD ， ∵∠PAB =90°，∴PA ⊥AB ，又PA 、AD 为平面PAD 内两条相交直线， ∴AB ⊥平面PAD ，∵AB//CD ，∴CD ⊥平面PAD ， ∵PD ⊂平面PAD ，∴CD ⊥PD ， ∵E 和F 分别是棱CD 和PC 的中点， ∴EF//PD ，∴CD ⊥EF ，又∵CD ⊥BE ，BE 、EF 为平面BEF 内两条相交直线， ∴CD ⊥平面BEF ，∵BF ⊂平面BEF ，∴CD ⊥BF ；(2)解：设直线PB 与平面PCD 所成角为θ，由(1)知AB ⊥平面PAD ，∴以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，过A 作平面ABCD 的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系，∵∠PAD =120°，∴∠PAz =30°，∵PB =√6，AB =√2，AB ⊥PA ，∴PA =2， ∴点P 到z 轴的距离为1，∴P(0,−1,√3)，A(0,0，0)，B(√2,0，0)，∵BC =BD =√6，CD =2√2，BE =2，∴C(2√2,2，0)，D(0,2，0)， PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,3，−√3)，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2√2,0，0)，PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√2,1,−√3)， 设平面PCD 的法向量n⃗ =(x,y ，z)， 则{n⃗ ⋅PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =3y −√3z =0n ⃗ ⋅CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =−2√2x =0，取y =1，得n⃗ =(0,1，√3)， ∴sinθ=|n ⃗⃗ ⋅PB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ |⋅|PB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=6⋅4=√66， ∴直线PB 与平面PCD 所成的角的正弦值为√66．解析：本题考查线线垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．(1)推导出AB =DE ，从而四边形ABED 为平行四边形，推导出BE ⊥CD ，得四边形ABED 为矩形，从而AB ⊥AD ，进而AB ⊥平面PAD ，由AB//CD ，得CD ⊥平面PAD ，CD ⊥PD ，由EF//PD ，得CD ⊥EF ，由CD ⊥BE ，得CD ⊥平面BEF ，由此能证明CD ⊥BF ．(2)以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，过A 作平面ABCD 的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线PB 与平面PCD 所成的角的正弦值．19.答案：解：(1)2cos(B −C)+1=4cosBcosC⇒2(cosBcosC +sinBsinC)+1=4cosBcosC ⇒2(cosBcosC −sinBsinC)=1⇒cos(B +C)=12⇒cosA =−12⇒A =2π3．(2)S ΔABC =12bcsinA =√34⋅bc =2√3⇒bc =8，由余弦定理a 2=b 2+c 2−2bccosA 得： (2√7)2=b 2+c 2+bc =(b +c)2−bc ， 又bc =8，所以(b +c)2=36⇒b +c =6．解析：本题考查两角和与差的余弦公式，考查余弦定理及三角形面积公式在解三角形中的应用，属中档题．(1)本小题考查两角和与差的余弦公式的应用，利用两角和与差的余弦公式化简已知等式可得cos(B +C)=12，再利用三角形内角和得到cosA =−12，结合三角形内角的范围即可得到A 的大小． (2)本小题考查余弦定理及三角形面积公式的应用，根据三角形面积公式，结合已知条件算出bc 的值.再由余弦定理即可求出b +c 的值．20.答案：解：(1)由已知得椭圆的焦点在x 轴上，设其方程为x 2a +y 2b =1(a >b >0)，则A(a,0)，B(0,b)，F(c,0)(c =√a 2−b 2). 由已知可得e 2=a 2−b 2a 2=34，所以a 2=4b 2，即a =2b ，故c =√3b. 又S △ABF =12|AF|·|OB|=12(a −c)b =1−√32．所以b =1，a =2，c =√3.所以椭圆C 的方程为x 24+y2=1．(2)圆O 的圆心为坐标原点，半径r =1，由直线l:y =kx +m ，即kx −y +m =0与圆O:x 2+y 2=1相切，得√1+k 2=1， 故有m 2=1+k 2.①由{x 24+y 2=1,y =kx +m,消去y 得(14+k 2)x 2+2kmx +m 2−1=0． 设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)， 则x 1+x 2=−2km 14+k 2=−8km4k 2+1，x 1x 2=m 2−114+k 2=4m 2−44k 2+1．所以|x 1−x 2|2=(x 1+x 2)2−4x 1x 2=(−8km4k 2+1)2−4×4m 2−44k 2+1=16(4k 2−m 2+1)(4k 2+1)2.②将①代入②中，得|x 1−x 2|2=48k 2(4k 2+1)2， 故|x 1−x 2|=4√3|k|4k 2+1． 所以|MN|=√1+k 2|x 1−x 2|=√1+k 2·4√3|k|4k 2+1=4√3k 2(k 2+1)4k 2+1． 故△OMN 的面积S =12|MN|×1=12×4√3k 2(k 2+1)4k 2+1×1=2√3k 2(k 2+1)4k 2+1．令t =4k 2+1(t ≥1)，则k 2=t−14，代入上式，得S =2√3×t−14(t−14+1)t2=√32√(t−1)(t+3)t 2=√32√t 2+2t−3t2=√32√−3t2+2t +1=32√−1t 2+23t +13=32√−(1t−13)2+49，所以当t =3，即4k 2+1=3，解得k =±√22时，S 取得最大值，且最大值为32×√49=1．解析：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．(1)设出椭圆方程，利用椭圆C 的离心率为√32，S △ABF =1−√32，建立方程，联立，即可求椭圆C 的方程；(2)直线l:y =kx +m ，即kx −y +m =0与圆O:x 2+y 2=1相切，得√1+k 2=1，确定m ，k 的关系，由{x 24+y 2=1,y =kx +m,，得|x 1−x 2|=4√3|k|4k 2+1，|MN|即可求得，△OMN 面积的最大值即可确定．21.答案：解：(1)由题意，f′(x )=x−1x 2，令f′(x)>0，得x >1，令f′(x)<0，得0<x <1， 所以f(x)在区间[1e ,1)上单调递减，在区间[1,e ]上单调递增， 则f (1e )=e −2,f (1)=0,f (e )=1e ,e −2>1e ,所以当0<m ≤1e ，f(x)=m 在x ∈[1e ,e]上有两个不同的实数根， 所以m 的取值范围是(0,1e ]．(2)f(x)在区间[1,e ]上单调递增，当x 1∈[1,e]时，f (x 1)∈[0,1e ]，由题意知，f(x 1)的值域是g(x 2)值域的子集， 又有g′(x )=3x 2−3a 2,x ∈[0,1]，当0<a <1时，g(x)在[0,a]上单调递减，在[a,1]上单调递增， 所以g (x )min =g (a )=−2a 3−2a +4>0，不符合题意， 当a ≥1时，g′(x )≤0,所以g(x)在[0,1]上单调递减， g(1)=1−3a 2−2a +4，g(0)=−2a +4， 由1−3a 2−2a +4≤0，且−2a +4≥1e ， 解得1≤a ≤2−12e ，所以a 的取值范围是[1,2−12e ]．解析：本题主要考查了函数的零点与方程根的关系，利用导数研究函数的单调性，导数中的恒成立与存在性问题，属于较难题．(1)先对f(x)求导，在根据f′(x)>0，f(x)单调递增，f′(x)<0，f(x)单调递减，再分析f(1e)=e−2,f(1)=0,f(e)=1e ,e−2>1e,所以当0<m≤1e，f(x)=m在x∈[1e,e]上有两个不同的实数根；(2)f(x)在区间[1,e]上单调递增，当x1∈[1,e]时，f(x1)∈[0,1e]，由题意知，f(x1)的值域是g(x2)值域的子集，再对g(x)求导，再分别讨论当0<a<1时，当a≥1时的情况．22.答案：解：(1)由{x=cosθ,y=√3sinθ,消去θ，得椭圆C的普通方程x2+y23=1．由√2ρcos(α+π4)=1，得ρcosα−ρsinα−1=0，直线l的直角坐标方程为x−y−1=0．(2)设P(cosθ,√3sinθ)，则点P到直线l的距离d=|cosθ−√3sinθ−1|√2=|2cos(θ+π3)−1|√2≤3√2，当且仅当cos(θ+π3)=−1时取等号．由l：x−y−1=0，得A(1,0)，B(0,−1)，∴|AB|=√2，∴△PAB的面积的最大值为S=12×√2×3√2=32．解析：本题考查了椭圆的参数方程，考查了极坐标方程，以及点到直线的距离公式，属于中档题．(1)由由题意得参数方程消去θ，得椭圆C的普通方程x2+y23=1．由极坐标方程可得ρcosα−ρsinα−1=0，则直线l的直角坐标方程为x−y−1=0．(2)设P(cosθ,√3sinθ)，则点P到直线l的距离公式可得结果．23.答案：解：当x≤ −32时，有，解得x>−4，即；当−32<x<1时，5<15恒成立，即−32<x<1；当x≥1时，有4x+1<15，解得x<72，即．综上，不等式的解集为(−4,72);(2)由f(x)≥a−x2+x恒成立得a≤|2x−2|+|2x+3|+x2−x恒成立，∵|2x−2|+|2x+3|≥|(2x−2)−(2x+3)|=5，当且仅当(2x−2)⋅(2x+3)≤ 0，即−32≤x≤ 1是等号成立；又因为x2−x⩾−14，当且仅当x=12时等号成立，又因为12∈(−32,1)，所以|2x−2|+|2x+3|+x2−x≥5−14=194，所以a≤194．解析：本题考查绝对值不等式的求解及三角不等式的应用，同时考查不等式恒成立问题．(1)将f(x)写成分段函数的形式，然后分段求解即可;(2)将问题转化为a≤|2x−2|+|2x+3|+x2−x恒成立，然后由绝对值不等式的三角不等式及二次函数得出|2x−2|+|2x+3|+x2−x≥194即可求解．。

2025届四川省凉山高三数学第一学期期末统考模拟试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。

3．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．函数tan 42y x ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 的部分图象如图所示，则 ()OA OB AB +⋅=（ ）A ．6B ．5C ．4D ．32．已知集合{2,3,4}A =，集合{},2B m m =+，若{2}AB =，则m =（ ） A ．0B ．1C ．2D ．4 3．已知集合{}10,1,0,12x A xB x -⎧⎫=<=-⎨⎬+⎩⎭，则A B 等于（ ） A ．{}11x x -<< B ．{}1,0,1-C ．{}1,0-D ．{}0,1 4．已知等差数列{}n a 的前13项和为52，则68(2)a a +-=（ ） A ．256 B ．-256 C ．32D ．-32 5．已知甲盒子中有m 个红球，n 个蓝球，乙盒子中有1m -个红球，+1n 个蓝球(3,3)m n ≥≥，同时从甲乙两个盒子中取出(1,2)i i =个球进行交换，（a ）交换后，从甲盒子中取1个球是红球的概率记为(1,2)i p i =.（b ）交换后，乙盒子中含有红球的个数记为(1,2)i i ξ=.则（ ）A ．1212,()()p p E E ξξ><B ．1212,()()p p E E ξξC ．1212,()()p p E E ξξ>>D ．1212,()()p pE E ξξ<<6．从集合{}3,2,1,1,2,3,4---中随机选取一个数记为m ，从集合{}2,1,2,3,4--中随机选取一个数记为n ，则在方程221x y m n +=表示双曲线的条件下，方程221x y m n+=表示焦点在y 轴上的双曲线的概率为（ ）A ．917B ．817C ．1735D ．9357．定义运算()()a ab a b b a b ≤⎧⊕=⎨>⎩，则函数()12x f x =⊕的图象是（ ）． A ． B ．C ．D ．8．已知复数()()2019311i i z i --=（i 为虚数单位），则下列说法正确的是（ ） A ．z 的虚部为4 B ．复数z 在复平面内对应的点位于第三象限C ．z 的共轭复数42z i =-D ．25z =9．在直角梯形ABCD 中，0AB AD ⋅=，30B ∠=︒，23AB =2BC =，点E 为BC 上一点，且AE xAB y AD =+，当xy 的值最大时，||AE =( )A 5B ．2C 30D ．2310．命题“(0,1),ln x x e x -∀∈>”的否定是（ ）A ．(0,1),ln x x e x -∀∈≤B ．000(0,1),ln x x ex -∃∈> C ．000(0,1),ln x x e x -∃∈< D ．000(0,1),ln x x e x -∃∈≤ 11．已知等差数列{a n }，则“a 2＞a 1”是“数列{a n }为单调递增数列”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件12．已知向量a ，b ，b =(1，3)，且a 在b 方向上的投影为12，则a b ⋅等于（ ） A ．2 B ．1 C ．12D ．0 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

数学题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知全集，，，则A. B.C. D.【答案】C【解析】解：；．故选：C．可求出集合A，然后进行并集的运算即可．考查描述法的定义，以及并集、补集的运算．2.复数z满足为虚数单位，则复数A. B. C. D.【答案】A【解析】解：由，得，则．故选：A．把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，然后利用共轭复数的概念得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.展开式中项的系数是A. 270B. 180C. 90D. 45【答案】A【解析】解：，展开式中项的系数为270，故选：A．把按照二项式定理展开，可得展开式中项的系数．本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，属于基础题．运行如图程序框图，输出m的值是4.A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】D【解析】解：，否，，，，否，，，，否，，，，否，，，，是，输出，故选：D．根据程序框图进行模拟运算即可．本题主要考查程序框图的识别和判断，根据条件利用模拟运算法是解决本题的关键．5.已知为锐角，且，则A. B. C. D.【答案】A【解析】解：为锐角，且，则，故选：A．利用诱导公式、二倍角公式，同角三角函数的基本关系，求得的值．本题主要考查诱导公式、二倍角公式，同角三角函数的基本关系，属于基础题．6.已知双曲线的焦距为8，一条渐近线方程为，则此双曲线方程为A. B. C. D.【答案】D【解析】解：双曲线的焦距为8，可得；一条渐近线方程为，可得，，可得：，，所以双曲线方程为：．故选：D．经验双曲线的焦距，求出c，结合渐近线方程求解a，b，即可得到双曲线方程．本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．7.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为8.A. 2B.C.D.【答案】C【解析】解：由题意，几何体的直观图如图，是正方体的一部分，四棱锥，几何体的表面积为：．故选：C．画出几何体的直观图，经验三视图的数据求解几何体的表面积即可．本题考查三视图求解几何体的表面积，判断几何体的形状是解题的关键．9.已知抛物线的准线与圆C：相切，则抛物线的方程为A. B.C. D. 或【答案】B【解析】【分析】本题考查抛物线的相关几何性质及直线与圆的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，注意应用直线与圆相切时圆心到直线的距离等于半径．由抛物线的准线与圆C：相切，知，解得由此能求出抛物线方程．【解答】解：圆C：，抛物线的准线为，抛物线的准线与圆C：相切，，解得．抛物线方程为：．故选：B．10.已知外接圆的圆心为O，若，，则的值是A. 2B. 4C. 8D. 16【答案】C【解析】解：如图，取AC中点D，AB中点E，并连接OD，OE，则：，；，；．可画出图形，并将O和AC中点D连接，O和AB中点E连接，从而得到，，根据数量积的计算公式及条件即可得出，而，从而便可得出的值．考查三角形外心的定义，向量数量积的运算及计算公式，向量减法的几何意义，三角函数的定义．11.公元前5世纪下半叶开奥斯地方的希波克拉底解决了与化圆为方有关的化月牙形为方．如图，以O为圆心的大圆直径为1，以AB为直径的半圆面积等于AO与BO所夹四分之一大圆的面积，由此可知，月牙形图中阴影部分区域的面积可以与一个正方形的面积相等．现在在两个圆所围成的区域内随机取一点，则该点来自于阴影所示月牙形区域的概率是A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查几何概型，属于中档题．先求出阴影部分面积，再用几何概型概率公式可得．【解答】解：阴影部分面积等于，所以根据几何概型得．故选：B．12.中，BD是AC边上的高，，，则A. B. C. D.【答案】A【解析】解：中，BD是AC边上的高，，在等腰直角三角形ABD中，设，在直角三角形BDC中，，即有，则，可得，即，则．故选：A．在等腰直角三角形ABD中，设，可得AD，再由两角差的余弦公式可得，求得，由正切函数的定义，可得CD，进而得到所求值．本题解直角三角形的知识，考查锐角三角函数的定义，以及运算能力，属于基础题．13.函数有且只有一个零点，则实数a的取值范围是A. B. C. D.【答案】C【解析】解：，时不成立，时，化为：．．可得：时，，函数单调递增；时，时，函数单调递减；时，，函数单调递增．画出图象．．可得：当且仅当时，函数与函数由且仅有一个交点．即函数有且只有一个零点，则实数a的取值范围是故选：C．，时不成立，时，化为：利用导数研究函数的单调性极值与最值，画出图象，转化为图象的交点个数即可得出．本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、数形结合方法、函数零点、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）14.某人在公园进行射击气球游戏，排除其它因素的影响，各次射击相互独立，每次击中气球的概率均为，若连续射击10次，记击中气球的次数为，则______．【答案】【解析】解：由题意可知各次射击相互独立，每次击中气球的概率均为，若连续射击10次，记击中气球的次数为，可得，所以．故答案为：．根据变量对应的事件和独立重复试验的概率公式，求出期方差即可．本题主要考查了n次独立重复试验中恰好发生k次的概率，以及离散型随机变量的方程，同时考查了计算能力，属于基本知识的考查．15.若实数x，y满足约束条件，则的最大值是______．【答案】9【解析】解：作出实数x，y满足约束条件对应的平面区域如图：由得，平移直线，由图象可知当直线，经过点B时，直线，的截距最小，此时z最大，由，解得解得．故答案为：9．作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，利用数形结合即可得到结论．本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键．16.正四面体ABCD的体积为，则正四面体ABCD的外接球的体积为______．【答案】【解析】解：如图，设正四面体ABCD的棱长为x，过A作，设等边三角形ABC的中心为O，则，，，即．再设正四面体ABCD的外接球球心为G，连接GA，则，即．正四面体ABCD的外接球的体积为．故答案为：．由题意画出图形，设正四面体ABCD的棱长为x，由已知求得x，进一步求出外接球半径，代入体积公式求解．本题考查多面体外接球体积的求法，考查数学转化思想方法，是中档题．17.已知函数，若在区间上单调递增，则a的最小值是______．【答案】1【解析】解：函数，若，在区间上单调递增，，可得，，可得，．所以a的最小值为：1．故答案为：1．化简函数的解析式，利用函数的导数，转化求解函数的最大值，即可得到结果．本题考查函数的导数的应用，函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）18.已知数列的前n项和为，且满足．19.求证为等比数列；20.数列满足，求的前n项和．【答案】证明：由时，，化为：，时，，解得．．为等比数列，首项为2，公比为2．解：由可得：．，的前n项和，，相减可得：，整理为：．【解析】由时，，化为：，时，，解得即可证明结论．由可得：，利用错位相减法即可得出．本题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式与求和公式、错位相减法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21.某水果种植户对某种水果进行网上销售，为了合理定价，现将该水果按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：单价元789111213销量120118112110108104已知销量与单价之间存在线性相关关系求y关于x的线性回归方程；若在表格中的6种单价中任选3种单价作进一步分析，求销量恰在区间内的单价种数的分布列和期望．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：，．【答案】解：，．，．关于x的线性回归方程为；种单价中销售量在内的单价种数有3种．销量恰在区间内的单价种数的取值为0，1，2，3，，，，．的分布列为：0123P期望为．【解析】由已知表格中数据求得与，则线性回归方程可求；求出的所有可能取值为0，1，2，3，求出概率，可得分布列与期望．本题考查线性回归方程的求法，考查离散型随机变量的期望与方差，考查计算能力，是中档题．22.如图四棱锥中，平面平面ABCD，，，，，．求证：平面平面PAD；若AB与平面PBD所成的角的正弦值为，求二面角的余弦值．【答案】证明：，，，．，，，在四棱锥中，平面平面ABCD，，，，平面PAD，又平面PBD，平面平面PAD．解：以B为原点，BC为x轴，BA为y轴，过B作平面ABCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，设，则4，，0，，4，，2，，0，．4，，4，，2，，设平面PBD的法向量y，，则取，得，与平面PBD所成的角的正弦值为，，解得，，0，，4，，设平面PBC的法向量y，，则取，得，设二面角的平面角为，则．所以二面角的余弦值为．【解析】推导出，从而推出平面PAD，又平面PBD，则平面平面PAD，得证．以B为原点，BC为x轴，BA为y轴，过B作平面ABCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的余弦值．本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．23.已知椭圆C：上的动点P到其左焦点的距离的最小值为1，且离心率为．24.求椭圆的方程；25.若直线l与椭圆C交于A，B两点，Q是椭圆C的左顶点，若，试证明直线l经过不同于点Q的定点．【答案】解：由已知可得，，解得，，椭圆的方程；证明：由，得，设直线AB方程为，，，联立，得．．，．由题意，，则，，由，得，，即，，即或．当时，满足，此时直线方程为：，过定点；当时，满足，此时直线方程为：，过定点，不合题意．综上，直线l经过不同于点Q的定点【解析】由已知可得，求解可得a，b的值，则椭圆方程可求；由，得，设直线AB方程为，，，联立直线方程与椭圆方程，利用根与系数的关系及向量数量积可得，即或，验证判别式后可得直线l经过不同于点Q的定点本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，是中档题．26.已知函数，．27.当时，求在点处的切线方程；28.当时，是否存在两个极值点，若存在，求实数a的最小整数值；若不存在，请说明理由．【答案】解：函数导数，当时，，，，，即在点处的切线斜率，则对应的切线方程为即．当时，若存在两个极值点，则有两个不同的解，即，有两个根，即有两个不同的根，设，，设切点，则，即过原点的切线方程为，即当，时，，设，则，即在上为减函数，，，当时，，即当时，和有两个交点，，，当时，与没有交点，当时，与有两个交点，即当时，是存在两个极值点，此时最小的a的整数值为4【解析】求函数的导数，利用导数的几何意义即可求出切线方程．求函数的导数，结合极值与导数之间的关系，转化为有两个不同的根，构造函数结合导数的几何意义转化求切线，利用数形结合进行求解即可．本题主要考查导数的几何意义以及函数极值的应用，求出函数的导数，结合导数的应用是解决本题的关键．考查学生的运算推理能力．29.在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的参数方程为为参数，曲线的极坐标方程为．30.写出的普通方程和的直角坐标方程；31.若点P、Q分别为曲线及曲线上任意一点，求的最小值及此时P的坐标．【答案】解：因为，，得，即的普通方程为，曲线的极坐标方程为，，由，，可得的直角坐标方程为：．设直线l与平行，且与曲线相切，设l方程为，联立l与的方程消去y得：，因为l与曲线相切，故，解得：，或．的方程为：当时，设切点为P，过P作的垂线，垂足为Q，则此时最小，且此时，值等于l与的距离，．将代入得，，即P点坐标为综上，点P、Q分别为曲线及曲线上任意一点，则的最小值为，此时P点坐标为【解析】本题考查了椭圆的参数方程、直线的极坐标方程，考查了直线与圆锥曲线的位置关系、曲线上的点到直线上一点的距离的最小值的求法等知识，具有一定的综合性，属中档题．根据消参即可得到的普通方程，由，，可得的直角坐标方程．设出的平行线l：，且l为的切线，联立l与令，得C，将最小值转化为直线l和的距离，得到的最小值，再将C代入联立后的方程，得到P点的坐标．32.已知函数．33.当时，求不等式的解集；34.若恒成立，求a的取值范围．【答案】解：Ⅰ时，，即，不等式即为或或，即有或或，则为或，所以不等式的解集为或；Ⅱ由Ⅰ知，函数的值域为，若恒成立，则，即，解得或．实数a的取值范围是．【解析】Ⅰ时利用分段函数表示，再求不等式的解集；Ⅱ由Ⅰ知函数的值域，把不等式恒成立化为，即可求得a的取值范围．本题考查了不等式恒成立应用问题，也考查了分类讨论思想应用问题，是中档题．。