高考数学：第54课平面向量的基本定理与坐标运算 Word版含解析

高三数学平面向量基本定理及坐标表示试题答案及解析1.已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，离心率为，椭圆上的点到焦点距离的最大值为．（1）求椭圆的标准方程；（2）若过点的直线与椭圆交于不同的两点，且，求实数的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】（1）设所求的椭圆方程为：由题意：所求椭圆方程为：．（2）若过点的斜率不存在，则．若过点的直线斜率为，即：时，直线的方程为由因为和椭圆交于不同两点所以，所以①设由已知，则②③将③代入②得：整理得：所以代入①式得，解得．所以或．综上可得，实数的取值范围为：．2.（2013•湖北）已知点A（﹣1，1），B（1，2），C（﹣2，﹣1），D（3，4），则向量在方向上的投影为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，，则向量方向上的投影为：•cos＜＞=•===，故选A．3.如图，在正方形ABCD中，E为AB的中点，P为以A为圆心，AB为半径的圆弧上的任意一点，设向量．【答案】【解析】以为原点，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系.设正方形的边长为，则设 .又向量所以，∴，∴，∴．由题意得∴当时，同时，时，取最小值为.【考点】平面向量的坐标运算，三角函数的性质.4.如图，在直角梯形ABCD中，AB//CD，AB=2，AD=DC=1，P是线段BC上一动点，Q是线段DC上一动点，，则的取值范围是．【答案】【解析】解：建立平面直角坐标系如图所示，则因为，所以所以，, 所以， 故答案应填.【考点】1、平面向量基本定理；2、向量的坐标表示；3、向量的数量积；4、一元二次函数的最值.5. 如图，△ABC 中，D 为BC 的中点，G 为AD 的中点，过点G 任作一直线MN 分别交AB 、AC 于M 、N 两点．若＝x ，＝y ，求的值．【答案】4 【解析】设＝a ，＝b ，则＝x a ，＝y b ，＝＝ (＋)＝ (a ＋b )．∴＝－＝ (a ＋b )－x a ＝a ＋b ，＝－＝y b －x a ＝－x a ＋y b . ∵与共线，∴存在实数λ，使＝λ.∴a ＋b ＝λ(－x a ＋y b )＝－λx a ＋λy b .∵a 与b 不共线，∴消去λ，得＝4.6. 已知点O (0,0)，A 0(0,1)，A n (6,7)，点A 1，A 2，…，A n －1(n ∈N ，n ≥2)是线段A 0A n 的n 等分点，则| ＋＋…＋OA n －1＋|等于( ) A ．5n B ．10n C ．5(n ＋1) D ．10(n ＋1)【答案】C【解析】取n ＝2，，则＋＋＝(0,1)＋(3,4)＋(6,7)＝(9,12)，所以| ＋＋|＝＝15，把n ＝2代入选项中，只有5(n ＋1)＝15，故排除A 、B 、D ，选C.7. 已知向量a=(cosθ,sinθ),b=(,-1),则|2a-b|的最大值为( ) A ．4 B ．4 C ．16D ．8【答案】B【解析】∵2a-b=(2cosθ-,2sinθ+1), ∴|2a-b|===故最大值为4.8. 已知向量a=(1,-2),b=(m,4),且a ∥b,那么2a-b=( )A．(4,0)B．(0,4)C．(4,-8)D．(-4,8)【答案】C【解析】由a∥b,得4=-2m,∴m=-2,∴b=(-2,4),∴2a-b=2(1,-2)-(-2,4)=(4,-8).9.已知向量a=(cosα,-2),b=(sinα,1)且a∥b,则tan(α-)等于()A．3B．-3C．D．-【答案】B【解析】选B.∵a=(cosα,-2), b=(sinα,1)且a∥b,∴=(经分析知cosα≠0),∴tanα=-.∴tan(α-)===-3,故选B.【方法技巧】解决向量与三角函数的综合题的方法向量与三角函数的结合是近几年高考中出现较多的题目,解答此类题目的关键是根据条件将所给的向量问题转化为三角问题,然后借助三角恒等变换再根据三角求值、三角函数的性质、解三角形的问题来解决.10.已知向量a＝(3,1)，b＝，若a＋λb与a垂直，则λ等于________．【答案】4【解析】根据向量线性运算、数量积运算建立方程求解．由条件可得a＋λb＝，所以(a＋λb)⊥a⇒3(3－λ)＋1＋λ＝0⇒λ＝4.11.设向量，，若满足，则( )A．B．C．D．【答案】D【解析】因为,所以, ,解得：，故选D.【考点】向量共线的条件.12.在所在的平面内，点满足，，且对于任意实数，恒有，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】过点作，交于，是边上任意一点，设在的左侧，如图，则是在上的投影，即，即在上的投影，，令，，，，故需要，，即，为的中点，又是边上的高，是等腰三角形，故有,选C.【考点】共线向量，向量的数量积.13.已知向量，若,则的最小值为．【答案】4【解析】,所以.【考点】1、向量的平行关系；2、向量的模；3、重要不等式14.已知向量，向量，且，则的值是（）A．B．C．D．【答案】C.【解析】，，即得．【考点】向量的坐标运算.15.已知点，，则与共线的单位向量为（）A．或B．C．或D．【答案】C【解析】因为点，，所以，，与共线的单位向量为.【考点】向量共线.16.已知向量，，若，则实数等于．【答案】.【解析】，两边平方得，则有，化简得，即，解得.【考点】平面向量的模、平面向量的坐标运算17.在中,已知,且,则( )A．B．C．D．【答案】A【解析】因为，，所以，，，故选A。

平面向量的基本定理及坐标表示【课前回顾】1．平面向量基本定理如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.其中，不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 2．平面向量的坐标运算(1)向量的加法、减法、数乘向量及向量的模： 设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，λa ＝(λx 1，λy 1)，|a |＝x 21＋y 21.(2)向量坐标的求法：①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标． ②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB ―→＝(x 2－x 1，y 2－y 1)， |AB ―→|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2. 3．平面向量共线的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0，则a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0.【课前快练】1．已知平面向量a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，则向量12a －32b ＝( )A ．(－2，－1)B ．(－2,1)C ．(－1,0)D ．(－1,2)解析：选D 因为a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，所以12a －32b ＝12(1,1)－32(1，－1)＝⎝⎛⎭⎫12，12－⎝⎛⎭⎫32，－32＝(－1,2)． 2．设向量a ＝(x,1)，b ＝(4，x )，且a ，b 方向相反，则x 的值是( ) A ．2 B ．－2 C ．±2D ．0解析：选B 因为a 与b 方向相反，所以b ＝m a ，m <0，则有(4，x )＝m (x,1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧4＝mx ，x ＝m ，解得x ＝±2.又m <0， 所以x ＝m ＝－2.3．已知平行四边形ABCD 中，AD ―→＝(3,7)，AB ―→＝(－2,3)，对角线AC 与BD 交于点O ，则CO ―→的坐标为( )A.⎝⎛⎭⎫－12，5B.⎝⎛⎭⎫12，5 C.⎝⎛⎭⎫12，－5 D.⎝⎛⎭⎫－12，－5 解析：选D ∵AC ―→＝AB ―→＋AD ―→＝(－2,3)＋(3,7)＝(1,10)，∴OC ―→＝12AC ―→＝⎝⎛⎭⎫12，5，∴CO ―→＝⎝⎛⎭⎫－12，－5. 4．已知向量a ＝(1,3)，b ＝(－2，k )，且(a ＋2b )∥(3a －b )，则实数k ＝________. 解析：a ＋2b ＝(－3,3＋2k )，3a －b ＝(5,9－k )，由题意可得－3(9－k )＝5(3＋2k )，解得k ＝－6.答案：－65．在▱ABCD 中，AB ―→＝a ，AD ―→＝b ，AN ―→＝3NC ―→，M 为BC 的中点，则MN ―→＝________(用a ，b 表示)．解析：因为AN ―→＝3NC ―→，所以AN ―→＝34AC ―→＝34(a ＋b )，又因为AM ―→＝a ＋12b ，所以MN ―→＝AN―→－AM ―→＝34(a ＋b )－⎝⎛⎭⎫a ＋12b ＝－14a ＋14b . 答案：－14a ＋14b考点一 平面向量基本定理及其应用1．用平面向量基本定理解决问题的一般思路(1)先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示为向量的形式，再通过向量的运算来解决．(2)在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便．另外，要熟练运用平面几何的一些性质定理．2．应用平面向量基本定理应注意的问题(1)只要两个向量不共线，就可以作为平面向量的一组基底，基底可以有无穷多组．(2)利用已知向量表示未知向量，实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加减运算或数乘运算．【典型例题】1.如图，在△ABC 中，BE 是边AC 的中线，O 是边BE 的中点，若AB ―→＝a ，AC ―→＝b ，则AO ―→＝( )A.12a ＋12b B.12a ＋13b C.14a ＋12b D.12a ＋14b 解析：选D ∵在△ABC 中，BE 是边AC 上的中线， ∴AE ―→＝12AC ―→.∵O 是边BE 的中点，∴AO ―→＝12(AB ―→＋AE ―→)＝12AB ―→＋14AC ―→＝12a ＋14b .2．已知向量e 1，e 2不共线，实数x ，y 满足(3x －4y )e 1＋(2x －3y )e 2＝6e 1＋3e 2，则2x －y ＝________.解析：由平面向量基本定理可知⎩⎪⎨⎪⎧3x －4y ＝6，2x －3y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝3，故2x －y ＝9.答案：93.如图，已知▱ABCD 的边BC ，CD 的中点分别是K ，L ，且AK ―→＝e 1，AL ―→＝e 2，试用e 1，e 2表示BC ―→，CD ―→.解：设BC ―→＝x ，CD ―→＝y ，则BK ―→＝12x ，DL ―→＝－12y .由AB ―→＋BK ―→＝AK ―→，AD ―→＋DL ―→＝AL ―→，得⎩⎨⎧－y ＋12x ＝e 1， ①x －12y ＝e 2， ②①＋②×(－2)，得12x －2x ＝e 1－2e 2，即x ＝－23(e 1－2e 2)＝－23e 1＋43e 2，所以BC ―→＝－23e 1＋43e 2.同理可得y ＝－43e 1＋23e 2，即CD ―→＝－43e 1＋23e 2.4．如图，以向量OA ―→＝a ，OB ―→＝b 为邻边作▱OADB ，BM ―→＝13BC ―→，CN ―→＝13CD ―→，用a ，b 表示OM ―→，ON ―→，MN ―→.解：∵BA ―→＝OA ―→－OB ―→＝a －b ， BM ―→＝16BA ―→＝16a －16b ，∴OM ―→＝OB ―→＋BM ―→＝16a ＋56b .∵OD ―→＝a ＋b ， ∴ON ―→＝OC ―→＋13CD ―→＝12OD ―→＋16OD ―→ ＝23OD ―→＝23a ＋23b ， ∴MN ―→＝ON ―→－OM ―→＝23a ＋23b －16a －56b ＝12a －16b .综上，OM ―→＝16a ＋56b ，ON ―→＝23a ＋23b ，MN ―→＝12a －16b .考点二 平面向量的坐标运算平面向量坐标运算的技巧(1)向量的坐标运算主要是利用向量的加、减、数乘运算的法则来进行求解，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．要注意点的坐标和向量的坐标之间的关系，一个向量的坐标等于向量终点的坐标减去始点的坐标．(2)解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解．【典型例题】1．若向量a ＝(2,1)，b ＝(－1,2)，c ＝⎝⎛⎭⎫0，52，则c 可用向量a ，b 表示为( )A.12a ＋b B ．－12a －bC.32a ＋12b D.32a －12b 解析：选A 设c ＝x a ＋y b ，则⎝⎛⎭⎫0，52＝(2x －y ，x ＋2y )，所以⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝0，x ＋2y ＝52，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝1，则c ＝12a ＋b .2．(2018·江西九校联考)已知O 为坐标原点，向量OA ―→＝(2,3)，OB ―→＝(4，－1)，且AP ―→＝3PB ―→，则|OP ―→|＝________.解析：设P (x ，y )，由题意可得A ，B 两点的坐标分别为(2,3)，(4，－1)，由AP ―→＝3PB ―→，可得⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝12－3x ，y －3＝－3y －3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝72，y ＝0，故|OP ―→|＝72.答案：723．已知A (－2,4)，B (3，－1)，C (－3，－4)．设AB ―→＝a ，BC ―→＝b ，CA ―→＝c ，且CM ―→＝3c ，CN ―→＝－2b ，(1)求3a ＋b －3c ；(2)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n ； (3)求M ，N 的坐标及向量MN ―→的坐标．解：由已知得a ＝(5，－5)，b ＝(－6，－3)，c ＝(1,8)． (1)3a ＋b －3c ＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8) ＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)． (2)∵m b ＋n c ＝(－6m ＋n ，－3m ＋8n )，∴⎩⎪⎨⎪⎧－6m ＋n ＝5，－3m ＋8n ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝－1.(3)设O 为坐标原点， ∵CM ―→＝OM ―→－OC ―→＝3c ，∴OM ―→＝3c ＋OC ―→＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)． ∴M (0,20)．又∵CN ―→＝ON ―→－OC ―→＝－2b ，∴ON ―→＝－2b ＋OC ―→＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)， ∴N (9,2)，∴MN ―→＝(9，－18)．考点三 平面向量共线的坐标表示1．平面向量共线的充要条件的2种形式(1)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件是x 1y 2－x 2y 1＝0. (2)若a ∥b (b ≠0)，则a ＝λb .2．共线问题解含参，列出方程求得解向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数．当两向量的坐标均非零时，也可以利用坐标对应成比例来求解．【典型例题】已知a ＝(1,0)，b ＝(2,1)．(1)当k 为何值时，k a －b 与a ＋2b 共线；(2)若AB ―→＝2a ＋3b ，BC ―→＝a ＋m b ，且A ，B ，C 三点共线，求m 的值． 解：(1)∵a ＝(1,0)，b ＝(2,1)， ∴k a －b ＝k (1,0)－(2,1)＝(k －2，－1)， a ＋2b ＝(1,0)＋2(2,1)＝(5,2)， ∵k a －b 与a ＋2b 共线， ∴2(k －2)－(－1)×5＝0， ∴k ＝－12.(2)AB ―→＝2(1,0)＋3(2,1)＝(8,3)，BC ―→＝(1,0)＋m (2,1)＝(2m ＋1，m )． ∵A ，B ，C 三点共线， ∴AB ―→∥BC ―→， ∴8m －3(2m ＋1)＝0， ∴m ＝32.【针对训练】1．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(1,0)，c ＝(3,4)．若λ为实数，(a ＋λb )∥c ，则λ＝( ) A.14 B.12 C ．1D ．2解析：选B 因为a ＋λb ＝(1＋λ，2)，(a ＋λb )∥c ， 所以1＋λ3＝24，所以λ＝12.2．已知A (－1，－1)，B (1,3)，C (2,5)，求证：A ，B ，C 三点共线．证明：由题意得AB ―→＝(1,3)－(－1，－1)＝(1＋1,3＋1)＝(2,4)，AC ―→＝(2,5)－(－1，－1)＝(2＋1,5＋1)＝(3,6)．因为2×6－4×3＝0，所以AB ―→∥AC ―→，又直线AB 和直线AC 有公共点A ，所以A ，B ，C 三点共线．【课后演练】1．向量a ，b 满足a ＋b ＝(－1,5)，a －b ＝(5，－3)，则b ＝( ) A ．(－3,4) B ．(3,4) C ．(3，－4)D ．(－3，－4)解析：选A 由a ＋b ＝(－1,5)，a －b ＝(5，－3)，得2b ＝(－1,5)－(5，－3)＝(－6,8)，所以b ＝12(－6,8)＝(－3,4)．2．若向量AB ―→＝(2,4)，AC ―→＝(1,3)，则BC ―→＝( ) A ．(1,1) B ．(－1，－1) C ．(3,7)D ．(－3，－7)解析：选B 由向量的三角形法则，BC ―→＝AC ―→－AB ―→＝(1,3)－(2,4)＝(－1，－1)． 3．已知向量a ＝(5,2)，b ＝(－4，－3)，c ＝(x ，y )，若3a －2b ＋c ＝0，则c ＝( )A ．(－23，－12)B ．(23,12)C ．(7,0)D ．(－7,0)解析：选A 由题意可得3a －2b ＋c ＝3(5,2)－2(－4，－3)＋(x ，y )＝(23＋x,12＋y )＝(0,0)，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 23＋x ＝0，12＋y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－23，y ＝－12，所以c ＝(－23，－12)．4．在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，若AB ―→＝(2,4)，AC ―→＝(1,3)，则BD ―→＝( ) A ．(－2，－4) B ．(－3，－5) C ．(3,5)D ．(2,4)解析：选B 由题意得BD ―→＝AD ―→－AB ―→＝BC ―→－AB ―→＝(AC ―→－AB ―→)－AB ―→＝AC ―→－2AB ―→＝(1,3)－2(2,4)＝(－3，－5)．5．已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(a ，3b )与n ＝(c os A ，sin B )平行，则A ＝( )A.π6B.π3C.π2D.2π3解析：选B 因为m ∥n ，所以a sin B －3bc os A ＝0，由正弦定理，得sin A sin B －3sin B c os A ＝0，又sin B ≠0，从而t a n A ＝3，由于0<A <π，所以A ＝π3.6．在△ABC 中，P ，Q 分别是AB ，BC 的三等分点，且AP ＝13AB ，BQ ＝13BC ，若AB―→＝a ，AC ―→＝b ，则PQ ―→＝( )A.13a ＋13b B ．－13a ＋13bC.13a －13b D ．－13a －13b解析：选A 由题意知PQ ―→＝PB ―→＋BQ ―→＝23AB ―→＋13BC ―→＝23AB ―→＋13(AC ―→－AB ―→)＝13AB ―→＋13AC ―→＝13a ＋13b . 7．已知向量a ＝(2,1)，b ＝(1，－2)，若m a ＋n b ＝(9，－8)(m ，n ∈R)，则m －n 的值为________．解析：∵m a ＋n b ＝(2m ＋n ，m －2n )＝(9，－8)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2m ＋n ＝9，m －2n ＝－8，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝5，∴m －n ＝2－5＝－3. 答案：－38．设e 1，e 2是平面内一组基向量，且a ＝e 1＋2e 2，b ＝－e 1＋e 2，则向量e 1＋e 2可以表示为另一组基向量a ，b 的线性组合，即e 1＋e 2＝________a ＋________b .解析：由题意，设e 1＋e 2＝m a ＋n b . 因为a ＝e 1＋2e 2，b ＝－e 1＋e 2，所以e 1＋e 2＝m (e 1＋2e 2)＋n (－e 1＋e 2)＝(m －n )e 1＋(2m ＋n )e 2.由平面向量基本定理，得⎩⎪⎨⎪⎧m －n ＝1，2m ＋n ＝1，所以⎩⎨⎧m ＝23，n ＝－13.答案：23 －139．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(x,1)，u ＝a ＋2b ，v ＝2a －b ，且u ∥v ，则实数x 的值为________． 解析：因为a ＝(1,2)，b ＝(x,1)，u ＝a ＋2b ，v ＝2a －b ， 所以u ＝(1,2)＋2(x,1)＝(2x ＋1,4)， v ＝2(1,2)－(x,1)＝(2－x,3)．又因为u ∥v ，所以3(2x ＋1)－4(2－x )＝0， 即10x ＝5，解得x ＝12.答案：1210．已知梯形ABCD ，其中AB ∥DC ，且DC ＝2AB ，三个顶点A (1，2)，B (2,1)，C (4,2)，则点D 的坐标为________．解析：∵在梯形ABCD 中，DC ＝2AB ，AB ∥DC ， ∴DC ―→＝2AB ―→.设点D 的坐标为(x ，y )， 则DC ―→＝(4－x ，2－y )，AB ―→＝(1，－1)， ∴(4－x,2－y )＝2(1，－1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 4－x ＝2，2－y ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4， 故点D 的坐标为(2,4)．答案：(2,4)11．已知点M 是△ABC 的边BC 的中点，点E 在边AC 上，且EC ―→＝2AE ―→，则EM ―→＝( )A.12AC ―→＋13AB ―→B.12AC ―→＋16AB ―→C.16AC ―→＋12AB ―→D.16AC ―→＋32AB ―→ 解析：选C 如图，因为EC ―→＝2AE ―→，所以EC ―→＝23AC ―→，所以EM ―→＝EC ―→＋CM ―→＝23AC ―→＋12CB ―→＝23AC ―→＋12(AB ―→－AC ―→)＝12AB ―→＋16AC ―→.12．在平面直角坐标系xOy 中，已知A (1,0)，B (0,1)，C 为坐标平面内第一象限内的点，且∠AOC ＝π4，|OC |＝2，若OC ―→＝λOA ―→＋μOB ―→，则λ＋μ＝( )A ．2 2 B. 2 C ．2D ．4 2解析：选A 因为|OC |＝2，∠AOC ＝π4，所以C (2，2)，又因为OC ―→＝λOA ―→＋μOB ―→，所以(2，2)＝λ(1,0)＋μ(0,1)＝(λ，μ)，所以λ＝μ＝2，λ＋μ＝2 2.13．在△ABC 中，点P 在BC 上，且BP ―→＝2PC ―→，点Q 是AC 的中点，若PA ―→＝(4,3)，PQ ―→＝(1,5)，则 BC ―→＝________.解析：AQ ―→＝PQ ―→－PA ―→＝(－3,2)，因为Q 是AC 的中点，所以AC ―→＝2AQ ―→＝(－6,4)，PC ―→＝PA ―→＋AC ―→＝(－2,7)，因为BP ―→＝2PC ―→，所以BC ―→＝3PC ―→＝(－6,21)．答案：(－6,21)14．已知A (－3,0)，B (0，3)，O 为坐标原点，C 在第二象限，且∠AOC ＝30°，OC ―→＝λOA ―→＋OB ―→，则实数λ的值为________．解析：由题意知OA ―→＝(－3,0)，OB ―→＝(0，3)， 则OC ―→＝(－3λ，3)，由∠AOC ＝30°知，以x 轴的非负半轴为始边，OC 为终边的一个角为150°， 所以t a n 150°＝3－3λ，即－33＝－33λ，所以λ＝1. 答案：115．平面内给定三个向量a ＝(3,2)，b ＝(－1,2)，c ＝(4,1)．(1)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n 的值；(2)若(a ＋k c )∥(2b －a )，求实数k 的值．解：(1)由题意得(3,2)＝m (－1,2)＋n (4,1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧ －m ＋4n ＝3，2m ＋n ＝2，解得⎩⎨⎧ m ＝59，n ＝89.(2)a ＋k c ＝(3＋4k,2＋k )，2b －a ＝(－5,2)，由题意得2×(3＋4k )－(－5)×(2＋k )＝0，解得k ＝－1613. 16.如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，且AD ＝13BC ，E ，F 分别为线段AD 与BC 的中点．设BA ―→＝a ，BC ―→＝b ，试用a ，b 为基底表示向量EF ―→，DF ―→，CD ―→.解：EF ―→＝EA ―→＋AB ―→＋BF ―→＝－16b －a ＋12b ＝13b －a ， DF ―→＝DE ―→＋EF ―→＝－16b ＋⎝⎛⎭⎫13b －a ＝16b －a ， CD ―→＝CF ―→＋FD ―→＝－12b －⎝⎛⎭⎫16b －a ＝a －23b . 17.若点M 是△ABC 所在平面内一点，且满足AM ―→＝34AB ―→＋14AC ―→. (1)求△ABM 与△ABC 的面积之比；(2)若N 为AB 的中点，AM 与CN 交于点O ，设BO ―→＝xBM ―→＋y BN ―→，求x ，y 的值．解：(1)由AM ―→＝34AB ―→＋14AC ―→，可知M ，B ，C 三点共线． 如图，设BM ―→＝λBC ―→，则AM ―→＝AB ―→＋BM ―→＝AB ―→＋λBC ―→＝AB ―→＋λ(AC ―→－AB ―→)＝(1－λ)AB ―→＋λAC ―→，所以λ＝14， 所以S △ABM S △ABC ＝14，即△ABM 与△ABC 的面积之比为1∶4. (2)由BO ―→＝xBM ―→＋y BN ―→，得BO ―→＝xBM ―→＋y 2BA ―→， BO ―→＝x 4BC ―→＋y BN ―→， 由O ，M ，A 三点共线及O ，N ，C 三点共线 ⇒⎩⎨⎧x ＋y 2＝1，x 4＋y ＝1⇒⎩⎨⎧ x ＝47，y ＝67.。

高考数学平面向量的基本定理总结一、平面向量的定义在平面上，任意给定的两个点A和B，我们可以由点A指向点B画出一条有向线段，这条有向线段就是一个平面向量，记作AB。

二、平面向量的表示平面向量既可以用有向线段表示，也可以用坐标表示。

对于平面上的向量AB，用坐标表示为：AB = (x2-x1, y2-y1)其中(x1, y1)和(x2, y2)分别是向量起点A和终点B的坐标。

这种表示方法非常直观，也很容易理解。

三、平面向量的基本运算在平面向量的基本定理中，我们需要掌握平面向量的基本运算，主要包括向量的加法、减法和数量乘法。

1. 向量的加法设有向量A的坐标为(x1, y1)，向量B的坐标为(x2, y2)，则向量A和向量B的和向量C的坐标为：C = A + B = (x1+x2, y1+y2)2. 向量的减法设有向量A的坐标为(x1, y1)，向量B的坐标为(x2, y2)，则向量A减去向量B的差向量D的坐标为：D = A - B = (x1-x2, y1-y2)3. 数量乘法设k为实数，向量A的坐标为(x1, y1)，则向量A的数量乘积ka的坐标为：ka = (kx1, ky1)四、平面向量的基本定理平面向量的基本定理是指任何一个平面向量都可以表示成两个非零向量的和。

具体而言，对于平面上的向量A，可以找到两个非零向量B和C，使得：A =B + C其中，向量B和向量C的坐标满足条件：B = (x1, y1)，C = (x2, y2)B和C分别称为向量A的两个互补向量。

根据平面向量的基本定理，我们可以将任意一个向量拆分成两个向量的和，从而简化向量的运算和应用。

五、基本定理的应用平面向量的基本定理在高考数学中有着广泛的应用。

主要包括以下几个方面：1. 向量的坐标运算：利用基本定理，我们可以通过向量的坐标进行加法、减法、数量乘法和求模等运算，从而简化向量的运算。

2. 向量的平衡力：基于平面向量的基本定理，我们可以将受力问题转化为向量的平衡问题，通过求解向量的平衡条件，得到力的大小和方向。

平面向量的基本定理及坐标运算知识讲解一、平面向量的基本定理1.平面向量基本定理：如果1e u r和2e u u r是一平面内的两个不平行的向量，那么该平面内的任一向量a r ，存在唯一的一对实数1a ，2a ，使a =r1122a e a e +u r u u r ．2.基底：我们把不共线向量1e u r ，2e u u r 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记作{}12,e e u r u u r ．1122a e a e +u r u u r 叫做向量a r关于基底{}12,e e u r u u r 的分解式．注：①定理中1e u r ，2e u u r是两个不共线向量；②a r是平面内的任一向量，且实数对1a ，2a 是惟一的；③平面的任意两个不共线向量都可作为一组基底．3.平面向量基本定理的证明：在平面内任取一点O ，作11OE e =u u u u r u r ，22OE e =u u u u r u u r ，OA a =u u u r r ．由于1e u r 与2e u u r不平行，可以进行如下作图：过点A 作2OE 的平行（或重合）直线，交直线1OE 于点M ， 过点A 作1OE 的平行（或重合）直线，交直线2OE 于点N ， 于是依据平行向量基本定理，存在两个唯一的实数1a 和2a 分别有11OM a e =u u u u r u r ，22ON a e =u u u r u u r ，所以1122a OA OM ON a e a e ==+=+r u u u r u u u u r u u u r u r u u r证明表示的唯一性：如果存在另对实数x ，y 使12OA xe ye =+u u u r u r u u r ，则112212a e a e xe ye +=+u r u u r u r u u r ，E 2E 1e 2e 1O ANM即1122()()0x a e y a e -+-=u r u u r r ，由于1e u r 与2e u u r不平行，如果1x a -与2y a -中有一个不等于0，不妨设20y a -≠，则1212x a e e y a -=--u u r u r ， 由平行向量基本定理，得1e u r 与2e u u r平行，这与假设矛盾，因此10x a -=，20y a -=，即1x a =，2y a =．4‘证明A ，B ，P 三点共线或点在线上的方法：已知A 、B 是直线l 上的任意两点，O 是l 外一点，则对直线l 上任意一点P ，存在实数t ，使OP u u u r关于基底{},OA OB u u u r u u u r 的分解式为(1)OP t OA tOB =-+u u u r u u u r u u u r ……①，并且满足①式的点P一定在l 上．证明：设点P 在直线l 上，则由平行向量定理知，存在实数t ，使AP t AB =u u u r u u u r()t OB OA =-u u u r u u u r ，∴(1)OP OA AP OA tOB tOA t OA tOB =+=+-=-+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r设点P 满足等式(1)OP t OA tOB =-+u u u r u u u r u u u r ，则AP t AB =u u u r u u u r，即P 在l 上．其中①式可称为直线l 的向量参数方程式5.向量AB u u u r的中点的向量表达式：点M 是AB 的中点，则1()2OM OA OB =+u u u u r u u u r u u u r ．可推广到OAB ∆中，若M 为边AB 中点，则有1()2OM OA OB =+u u u u r u u u r u u u r存在．二、向量的正交分解与向量的直角坐标运算：1.向量的直角坐标：如果基底的两个基向量1e u r ，2e u u r 互相垂直，则称这个基底为正交基底．在正交基底下分解向量，叫做正交分解．向量的坐标表示：在直角坐标系中，一点A 的位置被点A 的位置向量OA u u u r所唯一确定．设点A 的坐标为(,)x y ，由平面向量基本定理，有12(,)OA xe ye x y =+=u u u r u r u u r，即点A 的位置向量OA u u u r的坐标(,)x y ，也就是点A 的坐标；反之，点A 的坐标也是点A 相对于坐标原点的位置向量OA u u u r的坐标．3.设12(,)a a a =r ，12(,)b b b =r，则①1122(,)a b a b a b +=++r r ；②1122(,)a b a b a b -=--r r ；③1212(,)(,)a a a a a λλλλ==r注：① 两个向量的和与差的坐标等于两个向量相应坐标的和与差；② 数乘向量的积的坐标等于数乘以向量相应坐标的积．4.坐标含义：若11(,)A x y ，22(,)B x y ，则向量2121(,)AB OB OA x x y y =-=--u u u r u u u r u u u r；即：一个向量的坐标等于向量的终点的坐标减去始点的坐标．5.用平面向量坐标表示向量共线条件：设12(,)a a a =r ，12(,)b b b =r，则12210a b a b -=就是两个向量平行的条件．若向量b r不平行于坐标轴，即10b ≠，20b ≠，则两个向量平行的条件是，相应坐标成比例．典型例题一．选择题（共11小题）1．（2018•新课标Ⅰ）在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB →=（ ）A ．34AB →﹣14AC → B ．14AB →﹣34AC → C ．34AB →+14AC →D ．14AB →+34AC →【解答】解：在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点， EB →=AB →﹣AE →=AB →﹣12AD →=AB →﹣12×12（AB →+AC →）=34AB →﹣14AC →， 故选：A ．2．（2018•城关区校级模拟）在△ABC 中，点D 在BC 边上，且BD →=3DC →，AD →=xAB →+yAC →，则（ ）A ．x =13，y =23B ．x =14，y =34C ．x =23，y =13D ．x =34，y =14【解答】解：在△ABC 中，点D 在BC 边上，且BD →=3DC →，AD →=xAB →+yAC →，AD →=AB →+BD →=AB →+34BC →=AB →+34(BA →+AC →)=14AB →+34AC →，所以x=14，y=34．故选：B ．3．（2018•资阳模拟）平行四边形ABCD 中，M 是BC 的中点，若AC →=λAM →+μBD →，则λ+μ=（ ）A ．94B ．2C ．158 D ．53【解答】解：∵AC →=AB →+AD →，AM →=AB →+BM →=AB →+12AD →BD →=AD →−AB →．∴AC →=λAM →+μBD →=λ(AB →+12AD →)+μ(AD →−AB →)，∴{λ−μ=1λ2+μ=1⇒{λ=43μ=13则λ+μ=53．故选：D ．4．（2018•黄浦区一模）已知向量a →=(−3，4)，则下列能使a →=λe 1→+μe 2→(λ、μ∈R)成立的一组向量e 1→，e 2→是（ ）A ．e 1→=(0，0)，e 2→=(−1，2) B ．e 1→=(−1，3)，e 2→=(2，−6)C ．e 1→=(−1，2)，e 2→=(3，−1)D ．e 1→=(−12，1)，e 2→=(1，−2)【解答】解：作为基底不共线即可， e 1→=(0，0)，e 2→=(−1，2)共线， e 1→=(−1，3)，e 2→=(2，−6)共线， e 1→=(−1，2)，e 2→=(3，−1)不共线，e 1→=(−12，1)，e 2→=(1，−2)共线， 故选：C ．5．（2018•吉林三模）下列各组向量中，可以作为基底的是（ ）A ．e 1→=(0，0)，e 2→=(1，−2)B ．e 1→=(2，−3)，e 2→=(12，−34)C ．e 1→=(3，5)，e 2→=(6，10)D ．e 1→=(−1，2)，e 2→=(5，7)【解答】解：选项A ，可得0×（﹣2）﹣0×1=0，故e 1→∥e 2→，不可作基底，故错误；选项B ，可得2×（﹣34）﹣（﹣3）×12=0，故e 1→∥e 2→，不可作基底，故错误；选项C ，可得3×10﹣5×6=0，故e 1→∥e 2→，不可作基底，故错误；选项D ，可得﹣1×7﹣2×5≠0，故e 1→，e 2→不平行，故可作基底，故正确． 故选：D ．6．（2018春•薛城区校级期末）如图，已知AB →=a →，AC →=b →，BD →=3DC →，用a →、b →表示AD →，则AD →等于（ ）A ．a →+34b →B ．34a →+14b →C ．14a →+14b →D ．14a →+34b →【解答】解：AD →=AB →+BD →=a →+34BC → =a →+34(AC →−AB →)=a →+34(b →−a →) =14a →+34b →； 故选：D ．7．（2018春•尧都区校级期末）如图所示，在△ABC 中，BD=2CD ，若AB →=a →，AC →=b →，则AD →=（ ）A ．23a →+13b →B ．23a →−13b →C ．13a →+23b →D ．23a →−23b →【解答】解：AD →=AC →+CD →=AC →+13CB →=AC →+13（AB →﹣AC →）=13AB →+23AC →=13a →+23b →，故选：C ．8．（2018•三明二模）已知平面向量a →=（1，2），b →=（﹣2，m ），且a →∥b →，则|a →+b →|=（ ）A ．√5B ．2√5C ．3√5D ．4√5【解答】解：平面向量a →=（1，2），b →=（﹣2，m ），且a →∥b →， 可得m=﹣4，|a →+b →|=|（﹣1，﹣2）|=√5． 故选：A ．9．（2018•梅河口市校级二模）若向量AB →=(1，2)，BC →=(−4，2)，则|AC →|=（ ） A ．2√5 B ．5C ．20D ．25【解答】解：向量AB →=(1，2)，BC →=(−4，2)，AC →=（﹣3，4） 则|AC →|=√(−3)2+42=5． 故选：B ．10．（2018•咸阳二模）设向量a →和b →满足：|a →+b →|=2√3，|a →−b →|=2，则a →⋅b →=（ ）A ．√2B ．√3C ．2D ．3【解答】解：∵|a →+b →|=2√3，|a →−b →|=2；∴a →2+2a →⋅b →+b →2=12，a →2−2a →⋅b →+b →2=4，两式相减得：4a →⋅b →=8； ∴a →⋅b →=2． 故选：C ．11．（2018•东莞市模拟）已知AB →=(3，6)，点B 的坐标为（2，3），则点A 的坐标为（ ） A ．（﹣1，﹣3）B ．（﹣3，﹣1）C ．（1，3）D ．（5，9）【解答】解：AB →=(3，6)，点B 的坐标为（2，3）， 设A （x ，y ），∴（2﹣x ，3﹣y ）=（3，6）， 即2﹣x=3，3﹣y=6， 解得x=﹣1，y=﹣3， ∴A （﹣1，﹣3）， 故选：A ．二．解答题（共9小题）12．在△ABC 中，E 为线段AC 的中点，试问在线段AC 上是否存在一点D ．使得BD →=13BC →+23BE →，若存在，说明D 点位置：若不存在，说明理由．【解答】解：∵E 是AC 的中点，∴BE →=12（BA →+BC →），则BD →=13BC →+23BE →=13BC →+23•12（BA →+BC →） =23BC →+13BA →；又∵AD →=BD →﹣BA →=23BC →+13BA →﹣BA →=23BC →﹣23BA → =23（BC →﹣BA →） =23AC →， ∴A ，C ，D 三点共线，且D 是线段AC 的三等分点（靠近C 的那个）．13．已知△ABC 中，对于任意实数t ，CP →=t （CA→|CA →|+CB→|CB →|），证明：点P 始终在∠ACB 的平分线上．【解答】证明：CA→|CA →|，CB→|CB|→都是单位向量，即长度为1，并且CA→|CA →|与CA →同向，CB→|CB →|与CB →同向，如图，在AC 上取|CD |=1，CB 上取|CE |=1，作平行四边形CDFE ； 则该平行四边形为菱形，∴对角线CF 为∠ACB 的平分线，且CF →=CA →|CA →|+CB→|CB →|，t(CA→|CA →|+CB→|CB →|)与CF →共线；∴点P 始终在∠ACB 的平分线上．14．已知：平行四边形ABCD ，对角线AC ，BD 交于点O ，点E 为线段OB 中点，完成下列各题（用于填空的向量为图中已有有向线段所表示向量）． （1）当以{AB →，AD →}为基底时，设AB →=a →，AD →=b →，用a →，b →表示OD →=12(b →−a →) ；用a →，b →表示AE →= 34a →+14b → ；（2）设点MN 分别为边DC ，BC 中点． ①当以{AB →，AD →}为基底时，设AB →=c →，AD →=d →，用c →，d →表示AN →，则AN →= c →+12d →．②当以{AM →，AN →}为基底时，设AM →=m →，AN →=n →，用m →，n →表示：AB →= 43n →−23m → ，AC →= 23n →+23m → ，OE = 12n →+12m →．【解答】解：（1）OD →=12BD →=12(AD →−AB →)=12(b →−a →)；AE →=12(AO →+AB →)，AO →=12(AB →+AD →)，∴AE →=34a →+14b →； （2）①依题意AN →=AB →+BN →=c →+12d →；②2AM →=AD →+AC →=2AD →+AB →，2AN →=AB →+AC →=AD →+2AB →；⇒AB →=43AN →−23AM →=43n →−23m →，AD →=43AM →−23AN →=43m →−23n →，AC →=AB →+AD →=23m →+23n →；OE →=14DB →=14(AB →−AD →)=12n →−12m →．15．过△ABC 的重心G 任作一条直线分别交AB ，AC 于点D 、E ，设AB →=a →，AC →=b →． （1）用a →，b →表示向量AG →；（2）若AD →=x AB →，AE →=y AC →，且xy ≠0，求1x +1y的值．【解答】解：（1）G 为△ABC 的重心；∴AG →=23AM →=13(AB →+AC →)=13(a →+b →)；（2）根据条件，AB →=1x AD →，AC →=1y AE →； ∴AG →=13(AB →+AC →) =13(1x AD →+1y AE →) =13x AD →+13y AE →； 又D ，G ，E 三点共线； ∴13x +13y =1； ∴1x +1y =3．16．如图，△ABC 中，点E 、F 、G 分别在边BC 、AC 、AB 上，且AG GB =BE EC =CF FA =12，设AB →=a →，BC →=b →．（1）用a →、b →表示向量AF →； （2）证明：AE →+BF →+CG →=0．【解答】解：（1）∵AG GB =BE EC =CF FA =12，∴AF →=23AC →=23（AB →+BC →）=23a →+23b →．（2）AE →=AB →+BE →=AB →+13BC →=a →+13b →，BF →=BC →+CF →=BC →+13CA →=BC →﹣13（AB →+BC →）=﹣13AB →+23BC →=﹣13a →+23b →，CG →=CB →+BG →=﹣BC →﹣23AB →=﹣23a →﹣b →．∴AE →+BF →+CG →=a →+13b →﹣13a →+23b →﹣23a →﹣b →=0→．17．若AD 与BE 分别为△ABC 的边，BC 与AC 上的中线AD 交BE 于点O ，AD →=a →，BE →=b →，试用a →，b →表示OC →．【解答】解：如图，B ，D ，C 三点共线，所以向量BC →∥BD →，∴存在实数λ，使BC →=λBD →；∴OC →−OB →=λ(OD →−OB →)；∴OC →=(1−λ)OB →+λOD →=λ3AD →+2(λ−1)3BE →=λ3a →+2(λ−1)3b →；同理，A ，E ，C 三点共线，所以存在实数μ，使OC →=2(μ−1)3a →+μ3b →；∴{λ3=2(μ−1)32(λ−1)3=μ3，解得λ=μ=2； ∴OC →=23a →+23b →．18．已知A （1，﹣2），B （2，1），C （3，2），D （﹣2，3）． （1）求AD →+2BD →﹣3BC →；（2）设CM →=3CA →，CN →=﹣2BC →，求MN →及M 、N 点的坐标．【解答】解：（1）∵A （1，﹣2），B （2，1），C （3，2），D （﹣2，3）， ∴AD →=（﹣3，5），BD →=（﹣4，2），BC →=（1，1），∴AD →+2BD →﹣3BC →=（﹣3，5）+2（﹣4，2）﹣3（1，1）=（﹣10，6）， （2）设M 、N 点的坐标为（x ，y ），（m ，n ），∴CM →=（x ﹣3，y ﹣2），CN →=（m ﹣3，n ﹣2），CA →=（﹣2，﹣4）， ∵CM →=3CA →，CN →=﹣2BC →，∴{x −3=−6y −2=−12，或{m −3=−1n −2=−1，解得{x =−3y =−10，或{m =2n =1，∴M 、N 点的坐标为（﹣3，﹣10），（2，1）， ∴MN →=（5，11）．19．已知向量a →=（1，﹣3），b →=（3，0），求下列向量的坐标：（1）a →+b →；（2）12a →﹣3b →．【解答】解：（1）∵向量a →=（1，﹣3），b →=（3，0）， ∴a →+b →=（4，﹣3）．（2）12a →﹣3b →=（12，﹣32）﹣（9，0）=（﹣172，﹣32）．20．已知点O （0，0），A （1，2），B （4，5），OP →=t 1OA →+t 2AB →． （1）证明：当t 1=1时，不论t 2为何实数，A 、B 、P 三点共线；（2）试求当t 1、t 2满足什么条件时，O 、A 、B 、P 能组成一个平行四边形． 【解答】证明：（1）由题意知，t 1=1，代入OP →=t 1OA →+t 2AB →得， OP →=OA →+t 2AB →，则OP →﹣OA →=t 2AB →，即AP →=t 2AB →，所以当t 1=1时，不论t 2为何实数，A 、B 、P 三点共线； （2）设P 的坐标是（x ，y ），由O （0，0），A （1，2），B （4，5）得，OA →=（1，2），AB →=（3，3），因为OP→=t1OA→+t2AB→，所以（x，y）=t1（1，2）+t2（3，3），解得x=t1+3t2，y=2t1+3t2，若四边形OABP能成为平行四边形，如图所得，OA→=PB→，即（1，2）=（4﹣t1﹣3t2，5﹣2t1﹣3t2），所以{1=4−t1−3t22=5−2t1−3t2，得{t1+3t2=32t1+3t2=3，解得{t1=0t2=1，所以当t1=0、t2=1时，O、A、B、P能组成一个平行四边形．平面向量的基本定理及坐标运算一、选择题（共12小题；共60分）1. 若向量 a ⃗=(1,1)，b ⃗⃗=(−1,1)，c ⃗=(4,2)，则 c ⃗= ( )A. 3a ⃗+b⃗⃗ B. 3a ⃗−b⃗⃗ C. −a ⃗+3b⃗⃗ D. a ⃗+3b⃗⃗ 2. 若向量 BA⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(2,3)，CA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(4,7)，则 BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗= ( )A. (−2,−4)B. (3,4)C. (6,10)D.(−6,−10)3. 若向量 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(1,2)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(3,4)，则 AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗= ( )A. (4,6)B. (−4,−6)C. (−2,−2)D. (2,2)4. 若向量 a ⃗=(x +1,2) 和向量 b ⃗⃗=(1,−1) 平行，则 ∣a ⃗+b⃗⃗∣=( )A. √10B.√102C. √2D.√225. 平行四边形 ABCD 的对称中心为 O ，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(3,7)，AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(−2,3)，则 CO⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 等于 ( )A. (−12,5)B. (−12,−5)C. (12,−5)D. (12,5)6. 若向量 a ⃗=(1,2),b ⃗⃗=(−3,4)，则 (a ⃗⋅b ⃗⃗)(a ⃗+b⃗⃗) 等于 ( )A. 20B. (−10,30)C. 54D.(−8,24)7. 已知向量 a ⃗=(1,1)，b ⃗⃗=(2,x )，若 a ⃗+b ⃗⃗ 与 4b ⃗⃗−2a ⃗ 平行，则实数 x 的值是 ( )A. −2B. 0C. 1D. 28. 已知点 A (0,1)，B (3,2)，向量 AC⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(−4,−3)，则向量 BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗= ( ) A. (−7,−4)B. (7,4)C. (−1,4)D. (1,4)9. 设向量 a ⃗=(1,−2)，向量 b ⃗⃗=(−3,4)，向量 c ⃗=(3,2)，则 (a ⃗+2b ⃗⃗)⋅c ⃗= ( )A. (−15,12)B. 0C. −3D. −1110. 已知向量 a ⃗=(5,2)，b ⃗⃗=(−4,−3)，c ⃗=(x,y )，若 3a ⃗−2b ⃗⃗+c ⃗=0⃗⃗，则 c ⃗= ( )A. (−23,−12)B. (23,12)C. (7,0)D. (−7,0)11. 已知 M (3,−2) ， N (−5,−1) 且 MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=12MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗，则点 P 的坐标为 ( ) A. (−8,1)B. (1,32)C. (−1,−32)D. (8,−1)12. 已知向量 a ⃗=(4,2)，向量 b ⃗⃗=(x,3)，且 a ⃗∥b ⃗⃗，则实数 x 等于 ( ) A. 9 B. 6 C. 5 D. 3二、填空题（共5小题；共25分）13. 若三点 A (2,2)，B (a,0)，C (0,6)（ab ≠0）共线，则 1a +1b 的值等于 ． 14. 设平面向量 a ⃗=(3,5)，b ⃗⃗=(−2,1)，则 a ⃗−2b ⃗⃗= ． 15. 已知向量 a ⃗=(−2,1)，b ⃗⃗=(1,0)，则 ∣2a ⃗+b⃗⃗∣= ．16. 已知向量 a ⃗=(1,3)，b ⃗⃗=(−2,1)，c ⃗=(3,2)．若向量 c ⃗ 与向量 ka ⃗+b⃗⃗ 共线，则实数 k = ．17. 已知向量 a ⃗=(1,2)，b ⃗⃗=(−2,3)，c ⃗=(x,1)，若 c ⃗ 与 a ⃗+b⃗⃗ 平行，则 x = ．三、解答题（共5小题；共65分） 18. 在 △ABC 中，A (4,1)，B (7,5)，C (−4,7)，求 ∠A 的平分线所在直线的方程．19. 已知 A (−2,4)，B (3,−1)，C (−3,−4)，且 CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=3CA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，CN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2CB⃗⃗⃗⃗⃗⃗，求点 M ，N 的坐标及向量 MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标．20. 已知向量 a ⃗=(2,0)，b⃗⃗=(1,4)． （1）求 2a ⃗+3b ⃗⃗，a ⃗−2b ⃗⃗； （2）若向量 ka ⃗+b ⃗⃗ 与 a ⃗+2b ⃗⃗ 平行，求 k 的值．21. 已知 a ⃗=(cosα,sinα)，b⃗⃗=(cosβ,sinβ)，0<β<α<π． （1）若 ∣∣a ⃗−b ⃗⃗∣∣=√2，求证：a ⃗⊥b ⃗⃗； （2）设 c ⃗=(0,1)，若 a ⃗+b ⃗⃗=c ⃗，求 α,β 的值．22. （1）已知向量 a ⃗=(1,2)，b ⃗⃗=(x,1)，u ⃗⃗=a ⃗+2b ⃗⃗，v ⃗=2a ⃗−b ⃗⃗，且 u ⃗⃗∥v ⃗，求 x 的值．（2）在直角三角形 ABC 中，AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(2,3)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(1,k )，求实数 k 的值．答案第一部分 1. B【解析】点拨：设 c =xa +yb ，则 (4,2)=x (1,1)+y (−1,1)．所以 4=x −y ，2=x +y ．所以 x =3， y =−1．故 c =3a −b ． 2. A 【解析】BC⃗⃗⃗⃗⃗⃗=BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−CA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(−2,−4)． 3. A 【解析】AC⃗⃗⃗⃗⃗⃗=AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(4,6)． 4. C【解析】依题意得，−(x +1)−2×1=0，得 x =−3，又 a ⃗+b ⃗⃗=(−2,2)+(1,−1)=(−1,1)， 所以 ∣a ⃗+b ⃗⃗∣=√2． 5. B【解析】AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(3,7)，AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(−2,3)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(1,10)，则 CO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=−12AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(−12,−5)． 6. B【解析】a ⃗⋅b ⃗⃗=−3+8=5，a ⃗+b ⃗⃗=(−2,6)， 所以 (a ⃗⋅b ⃗⃗)(a ⃗+b ⃗⃗)=5×(−2,6)=(−10,30)． 7. D【解析】解法一：因为 a ⃗=(1,1)，b⃗⃗=(2,x )， 所以 a ⃗+b ⃗⃗=(3,x +1)，4b ⃗⃗−2a ⃗=(6,4x −2)，由于 a ⃗+b ⃗⃗ 与 4b ⃗⃗−2a ⃗ 平行，得 6(x +1)−3(4x −2)=0，解得 x =2． 解法二：因为 a ⃗+b ⃗⃗ 与 4b ⃗⃗−2a ⃗ 平行，则存在常数 λ，使 a ⃗+b ⃗⃗=λ(4b ⃗⃗−2a ⃗)，即 (2λ+1)a ⃗=(4λ−1)b ⃗⃗， 根据向量共线的条件知，向量 a ⃗ 与 b ⃗⃗ 共线，故 x =2． 8. A9. C【解析】因为 a ⃗=(1,−2)，b⃗⃗=(−3,4)， 所以 a ⃗+2b ⃗⃗=(1,−2)+2(−3,4)=(−5,6)． 因为 c ⃗=(3,2)，所以 (a ⃗+2b ⃗⃗)⋅c ⃗=(−5,6)⋅(3,2)=−5×3+6×2=−3． 10. A11. C 【解析】设 P (x,y )，由 (x −3,y +2)=12⋅(−8,1)，所以 x =−1 ， y =−32． 12. B 第二部分 13. 1214. (7,3) 15. √13 16. −1 17. x =−15【解析】a ⃗+b ⃗⃗=(−1,5)，又 c ⃗∥(a ⃗+b⃗⃗)，则 x =−15． 第三部分18. AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(3,4)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(−8,6)， ∠A 的平分线的一个方向向量为：AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗∣AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗∣+AC⃗⃗⃗⃗⃗⃗∣AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗∣=(35,45)+(−45,35)=(−15,75)=−15(1,−7)， 所以 ∠A 的平分线所在直线的斜率为 −7， 因为 ∠A 的平分线过点 A ．所以所求直线方程为 y −1=−7(x −4)． 整理得：7x +y −29=0．19. ∵A (−2,4)，B (3,−1)，C (−3,−4)， ∴CA⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(1,8)，CB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(6,3)， ∴CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=3CA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=3(1,8)=(3,24)，CN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2CB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2(6,3)=(12,6)． 设 M (x,y )，则 CM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(x +3,y +4)， ∴{x +3=3,y +4=24, 得 {x =0,y =20,∴ 点 M 坐标为 M (0,20)． 同理可得 N (9,2)，∴MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(9−0,2−20)=(9,−18)． 20. （1） ∵a ⃗=(2,0)，b⃗⃗=(1,4)， ∴2a ⃗+3b ⃗⃗=2(2,0)+3(1,4)=(4,0)+(3,12)=(7,12)， a ⃗−2b⃗⃗=(2,0)−2(1,4)=(2,0)−(2,8)=(0,−8)． （2） 依题意得 ka ⃗+b ⃗⃗=(2k,0)+(1,4)=(2k +1,4)， a ⃗+2b⃗⃗=(2,0)+(2,8)=(4,8)． ∵ 向量 ka ⃗+b ⃗⃗ 与 a ⃗+2b ⃗⃗ 平行， ∴8(2k +1)−4×4=0，解得 k =12． 21. （1） 由题意得 ∣∣a ⃗−b ⃗⃗∣∣2=2，即(a ⃗−b ⃗⃗)2=a ⃗2−2a ⃗⋅b⃗⃗+b ⃗⃗2=2. 又因为 a ⃗2=b ⃗⃗2=∣a ⃗∣2=∣∣b ⃗⃗∣∣2=1，所以2−2a ⃗⋅b⃗⃗=2, 即 a ⃗⋅b ⃗⃗=0，故 a ⃗⊥b⃗⃗． （2） 因为 a ⃗+b⃗⃗=(cosα+cosβ,sinα+sinβ)=(0,1)，所以 {cosα+cosβ=0,sinα+sinβ=1,由此得cosα=cos (π−β),由 0<β<π，得0<π−β<π.又 0<α<π，故 α=π−β．代入 sinα+sinβ=1，得sinα=sinβ=12,而 α>β，所以α=5π,β=π.22. （1） u ⃗⃗=(2x +1,4)，v ⃗=(2−x,3)．因为 u ⃗⃗∥v ⃗，所以 3(2x +1)−4(2−x )=0，解得 x =12．（2） 若 ∠A =90∘，则 AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0，即 2+3k =0，所以 k =−23． 若 ∠B =90∘，则 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0，而 BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(−1,k −3)，所以 2×(−1)+3(k −3)=0，所以 k =113．若 ∠C =90∘，则 AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0，所以 1×(−1)+(k −3)k =0，即 k 2−3k −1=0，所以 k =3±√132． 因此，k =−23 或 113或 3±√132．。

平面向量的基本定理及坐标表示全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：平面向量是我们在高中数学学习中接触到的一个重要知识点，它在几何学和代数学中都有着重要的作用。

平面向量本质上是有大小和方向的量，它可以用箭头表示出来，箭头的长度表示向量的大小，箭头的方向表示向量的方向。

而平面向量的基本定理和坐标表示是我们学习平面向量的重要内容，下面我就来详细介绍一下。

一、平面向量的基本定理1. 平行向量的概念两个向量如果它们的方向相同或者相反，那么我们称这两个向量为平行向量。

平行向量的特点是它们的模相等，方向相同或者相反。

2. 向量的加法如果有两个向量a和b，它们的起点相同，那么我们可以通过平行四边形法则将这两个向量相加，即将向量b平移至向量a的终点，然后连接向量a的起点和向量b的终点，这条连接线就是向量a+b的结果。

3. 向量的数量积向量的数量积，也称为点积或内积，是两个向量的特殊乘积。

设有两个向量a和b，它们之间夹角为θ，那么a·b=|a||b|cosθ，其中|a|和|b|分别表示向量a和b的模长。

二、平面向量的坐标表示在平面直角坐标系中，我们可以用坐标表示一个向量。

设有一个向量a，它在平面直角坐标系中的起点为O(0,0)，终点为A(x,y)，那么我们可以用坐标(x,y)表示向量a。

在平面直角坐标系中，向量a与坐标轴之间的夹角为θ，那么向量a的方向角为θ。

根据三角函数的定义，我们有cosθ=x/|a|，sinθ=y/|a|，tanθ=y/x，这三个公式可以帮助我们求解向量的方向角。

对于向量的数量积和叉积，我们也可以通过向量的坐标表示来进行计算。

设向量a在坐标系中的起点为O(0,0)，终点为A(x1,y1)，向量b在坐标系中的起点为O(0,0)，终点为B(x2,y2)，那么向量a和向量b 的数量积为x1x2+y1y2，向量a和向量b的叉积为x1y2-x2y1。

平面向量的基本定理和坐标表示是我们学习平面向量的重要内容，通过深入理解这些知识点，我们可以更好地解决平面向量的相关问题，为我们的数学学习打下坚实的基础。

平面向量的坐标与基本定理平面向量是解决平面几何问题的重要工具之一。

在平面直角坐标系中，我们可以用坐标表示平面中的向量，并且可以利用向量的坐标进行运算和推导。

本文将介绍平面向量的坐标表示方法以及基本定理的应用。

一、平面向量的坐标表示方法1. 平面直角坐标系在平面直角坐标系中，我们通常将横轴称为x轴，纵轴称为y轴。

一个平面向量可以用其在x轴和y轴上的投影（即坐标）表示。

例如，一个向量a在x轴上的投影为aₓ，在y轴上的投影为aᵧ。

那么向量a的坐标表示为(aₓ,aᵧ)。

2. 向量的坐标运算（1）向量的加法运算：设有两个向量a=(aₓ,aᵧ)和b=(bₓ,bᵧ)，则它们的和向量c=a+b的坐标表示为(cₓ,cᵧ)，其中cₓ=aₓ+bₓ，cᵧ=aᵧ+bᵧ。

（2）向量的数乘运算：设有一个向量a=(aₓ,aᵧ)和一个实数k，那么向量ka的坐标表示为(kaₓ,kaᵧ)，其中kaₓ=kaₓ，kaᵧ=kaᵧ。

二、平面向量的基本定理1. 向量共线定理如果有两个非零向量a和b，它们的坐标表示分别为(aₓ,aᵧ)和(bₓ,bᵧ)，那么a与b共线的充要条件是存在一个不为零的实数k，使得ka=b。

即a与b共线的条件是：aₓ/bₓ=aᵧ/bᵧ。

2. 平行四边形定理设有两个向量a=(aₓ,aᵧ)和b=(bₓ,bᵧ)，那么以a和b为邻边的平行四边形的面积S等于向量a和b的叉乘的模长。

即S=|a×b|=|aₓbᵧ-aᵧbₓ|。

3. 向量的数量积向量的数量积是指两个向量之间的乘积。

设有两个向量a=(aₓ,aᵧ)和b=(bₓ,bᵧ)，那么向量a和b的数量积a·b等于aₓbₓ+aᵧbᵧ。

三、平面向量的应用1. 判断向量共线根据向量共线定理，我们可以通过计算向量的坐标比值来判断向量是否共线。

如果两个向量的坐标比值相等，则它们共线；否则，它们不共线。

2. 计算平行四边形的面积根据平行四边形定理，我们可以通过计算向量的叉乘的模长来求平行四边形的面积。

平面向量的基本定理及坐标运算好啦，今天我们来聊聊平面向量的基本定理和坐标运算。

这可是个很有趣的话题，别被那些数学术语吓跑哦！你知道吗，向量其实就像是一把钥匙，可以打开很多数学大门。

听上去挺高大上的，但实际上，我们生活中处处都离不开它们，就像你每天都离不开饭一样。

想象一下，你在操场上跑来跑去，运动会的时候，标记你起跑的地方和终点的地方。

用坐标来表示，就是一个个的点，比如 (2, 3) 代表着你起跑的地方，(5, 7) 是终点。

平面向量就像是连接这两个点的一根线，从 A 点到 B 点的过程就叫做向量的运算。

听起来是不是有点神秘？其实也没那么复杂。

向量不仅有方向，还有长度，这样一来，我们就能把它当成一个小箭头，指向目标，越远越好，嘿嘿。

再来看看坐标运算，简单来说，就是把这些向量在坐标系上转来转去。

比如说你要把一条向量从起点搬到终点，怎么搬？很简单，向量的加法就可以搞定。

想象一下，你有一个从 (2, 3) 到 (5, 7) 的向量，再加上一个从 (5, 7) 到 (8, 10) 的向量，结果就是从 (2, 3) 直接到 (8, 10)。

这就像你在操场上先跑到朋友那儿，然后一起跑到更远的地方，简直爽翻了。

向量的减法也好玩，想象你在吃汉堡，先吃了一个大汉堡，接着又吃了一个小汉堡。

这样一来，你的胃口就会受到影响嘛，向量的减法就是把一部分“胃口”给减掉。

把(5, 7) 的向量减去 (2, 3)，就好比把你吃过的那部分减掉，最后留下的结果就是 (3, 4)。

这就像是记账，进账和出账的过程，清清楚楚，明明白白。

平面向量的基本定理告诉我们，两个向量如果相加，结果其实就是个新向量。

这和我们日常生活的积累特别像，不管是友情还是经历，都是点点滴滴积累起来的。

你在学校交了朋友，跑步时又认识了新伙伴，这些都是向量的相加。

每个人都是一个小向量，带着自己独特的方向和长度，拼凑起来就是一幅美丽的画面。

再说说方向和大小，向量的大小就是它的长度，方向就是箭头指向的地方。