第四章三维几何变换

立体几何变换学习平移旋转和放缩等立体几何变换方法立体几何变换学习平移、旋转和放缩等立体几何变换方法立体几何变换是一种在三维空间中改变物体位置、方向、形状和大小等属性的方法。

其中，平移、旋转和放缩是最基础的立体几何变换方法。

本文将介绍这三种方法的原理和应用。

一、平移平移是将一个物体在空间中移动到不同的位置，保持其大小和形状不变。

在二维几何中，平移是沿着平行于坐标轴的直线将物体移动到新的位置。

在三维几何中，我们可以通过向量表示物体的平移变换。

在三维空间中，设物体初始位置为P(x,y,z)，平移向量为T(a,b,c)，则物体移动到新位置P'(x',y',z')后，有以下关系：x' = x + ay' = y + bz' = z + c平移变换可以用于物体的移动和场景的布局。

在计算机图形学中，平移变换通常用于物体的位移，以及相机在场景中的位置变换。

二、旋转旋转是围绕某个中心点将物体按照特定角度进行旋转。

在二维几何中，我们可以通过角度表示旋转的大小，并通过中心点进行旋转变换。

在三维几何中，我们使用旋转矩阵来表示旋转变换。

对于一个物体P(x,y,z)在三维空间中的旋转：x' = x*cosθ - y*sinθy' = x*sinθ + y*cosθz' = z其中，θ表示旋转角度。

旋转矩阵可以通过矩阵乘法的方式来计算，将初始点P(x,y,z)与旋转矩阵相乘，得到旋转后的点P'(x',y',z')。

旋转变换可以用于物体的姿态调整、动画效果的制作等方面。

在计算机图形学中，旋转变换是非常常用的一种变换方法。

三、放缩放缩是通过改变物体的尺寸来进行变换。

在二维几何中，我们通常使用一个比例因子来表示放缩的大小。

在三维几何中，我们可以通过三个比例因子来表示物体在不同维度上的放缩。

对于一个物体P(x,y,z)在三维空间中的放缩变换：x' = kxy' = kyz' = kz其中，k表示放缩因子，可以是正数、负数或零。

《计算机图形学》习题与解答第一章概述1. 试描述你所熟悉的计算机图形系统的硬软件环境。

计算机图形系统是计算机硬件、图形输入输出设备、计算机系统软件和图形软件的集合。

例如：计算机硬件采用PC、操作系统采用windows2000，图形输入设备有键盘、鼠标、光笔、触摸屏等，图形输出设备有CRT、LCD等，安装3D MAX图形软件。

2. 计算机图形系统与一般的计算机系统最主要的差别是什么？3. 图形硬件设备主要包括哪些？请按类别举出典型的物理设备?图形输入设备：鼠标、光笔、触摸屏和坐标数字化仪，以及图形扫描仪等。

图形显示设备：CRT、液晶显示器（LCD）等。

图形绘制设备：打印机、绘图仪等。

图形处理器：GPU（图形处理单元）、图形加速卡等等。

4. 为什么要制定图形软件标准？可分为哪两类？为了提高计算机图形软件、计算机图形的应用软件以及相关软件的编程人员在不同计算机和图形设备之间的可移植性。

图形软件标准通常是指图形系统及其相关应用系统中各界面之间进行数据传送和通信的接口标准，另外还有供图形应用程序调用的子程序功能及其格式标准。

5. 请列举出当前已成为国际标准的几种图形软件标准，并简述其主要功能。

（1）CGI(Computer Graphics Interface)，它所提供的主要功能集包括控制功能集、独立于设备的图形对象输出功能集、图段功能集、输入和应答功能集以及产生、修改、检索和显示以像素数据形式存储的光栅功能集。

（2）GKS(Graphcis Kernel System)，提供了应用程序和图形输入输出设备之间的接口，包括一系列交互和非交互式图形设备的全部图形处理功能。

主要功能如下：控制功能、输入输出功能、变换功能、图段功能、询问功能等。

6. 试列举计算机图形学的三个应用实例。

（1）CAD/CAM（2）VISC（3）VR.第二章光栅图形学1. 在图形设备上如何输出一个点？为输出一条任意斜率的直线，一般受到哪些因素影响？若图形设备是光栅图形显示器，光栅图形显示器可以看作是一个像素的矩阵，光栅图形显示器上的点是像素点的集合。

三维空间旋转变换公式摘要：1.三维空间的基本概念2.三维空间的旋转变换公式3.旋转变换公式的应用4.总结正文：一、三维空间的基本概念三维空间是一个由三个相互垂直的维度组成的空间，通常用长、宽、高三个参数来表示。

在三维空间中，每个点都具有三个坐标值，即x、y、z，它们分别表示该点在三个维度上的位置。

三维空间广泛应用于物理、数学、工程等领域，对于研究和解决实际问题具有重要意义。

二、三维空间的旋转变换公式在三维空间中，旋转变换是一种基本的几何变换，它可以将一个点或一个物体从一个位置旋转到另一个位置。

旋转变换公式可以用来描述这种变换。

假设有一个点P(x, y, z) 在一个以原点为中心，长、宽、高分别为a、b、c 的三维空间中，现在将这个点围绕原点逆时针旋转α角度，那么旋转后的点P"(x", y", z") 可以通过以下公式计算：x" = xco sα - zsinαy" = ycosα + xsinαz" = zcosα + ysinα其中，α表示旋转的角度，x、y、z 表示点P 的坐标，x"、y"、z"表示旋转后点P"的坐标。

三、旋转变换公式的应用旋转变换公式在实际应用中具有广泛的应用，例如在计算机图形学中，利用旋转变换公式可以将一个图形从一个位置旋转到另一个位置，从而实现图形的变换；在物理学中，旋转变换公式可以用来描述物体的旋转运动，从而研究物体的运动规律；在工程领域，旋转变换公式可以用来解决各种实际问题，如机械设备的旋转、建筑物的倾斜等。

四、总结三维空间的旋转变换公式是一种基本的几何变换公式，它可以描述一个点或一个物体在一个三维空间中的旋转变换。

3.1.2 三维图形几何变换三维几何变换包括平移、旋转和变比。

三维几何变换可以表示为公式，或三维齐次坐标和4×4变换矩阵的乘积。

下面分别以公式，矩阵乘积和简记符号来描述三维几何变换。

并记变换前物体的坐标为x,y,z；变换后物体的坐标为x′，y′，z′。

一、平移设Tx,Ty,Tz是物体在三个坐标方向上的移动量，则有公式：x′＝x＋T xy′＝y＋T yz′＝z＋T z矩阵运算表达为：［x′ y′ z′ 1］＝［x y z 1］简记为：T(Tx,Ty,Tz)二、旋转旋转分为三种基本旋转：绕z轴旋转，绕x轴旋转，绕y轴旋转。

在下述旋转变换公式中，设旋转的参考点在所绕的轴上，绕轴转θ角，方向是从轴所指处往原点看的逆时针方向(图3.5(a),(b))。

1 绕z轴旋转的公式为：x′＝xcosθ－ysinθy′＝xsinθ＋ycosθz′＝z矩阵运算的表达为：［x′ y′ z 1］＝［x y z 1］简记为R z(θ)。

2 绕x轴旋转的公式为：x′＝xy′＝ycosθ－zsinθz′＝ysinθ＋zcosθ矩阵运算的表达为：［x′ y′ z′ 1］＝［x y z 1］简记为R x(θ)2 绕y轴旋转的公式为：x′＝zsinθ＋xcosθy′＝yz′＝zcosθ－xsinθ矩阵的运算表达式为：［x′ y′ z′ 1］＝［x y z 1］简记为Ry(θ)。

如果旋转所绕的轴不是坐标轴，而是一根任意轴，则变换过程变显得较复杂。

首先，对物体作平移和绕轴旋转变换，使得所绕之轴与某一根标准坐标轴重合。

然后，绕该标准坐标轴作所需角度的旋转。

最后，通过逆变换使所绕之轴恢复到原来位置。

这个过程须由7个基本变换的级联才能完成。

设旋转所绕的任意轴为p1, p2两点所定义的矢量。

旋转角度为 (图3.6)。

这7个基本变换是：1 T(－x1,－y1,－z1)使p1点与原点重合(图3.6(b))；2 R x(α)，使得轴p1p2落入平面xoz内(图3.6(c))；3 R y(β)，使p1p2与z轴重合(图3.6(d));4 R z(θ)，执行绕p1p2轴的θ角度旋转(图3.6(e))；5 R y(－β)，作3的逆变换；6 R x(－α)，作2的逆变换；7 T(x1,y1,z1)作1的逆变换。

第四章 四元数在3D 物体姿态变化中的应用4.1引言对于三维仿真系统中鱼雷运动的可视化研究，一般的仿真系统采用了按照鱼雷的六自由度参数来直接驱动模型的视景仿真。

为了保证计算速度，往往需要在计算运动方程时选取较大的计算步长，这样有时会无法实现仿真运动的光滑和连续，甚至出现鱼雷运动跳跃的现象，如果选取较小的计算步长，那么计算速度的降低同样会影响到鱼雷的可视化效果。

目前，国内的仿真系统里用来解决此问题的专用软件模块十分少见。

本课题着重研究了四元数在三维仿真系统中的应用，包括利用四元数对物体进行自由旋转和利用四元数来解决鱼雷运动可视化中的问题，本文利用四元数对模型姿态角变化进行插值，很好地解决了上述的鱼雷运动可视化仿真中存在的矛盾。

4.2四元数简介四元数是1843年由英国数学家William Rowan Hamilton 发明的数学概念。

它的出现很好地把二维空间中的复数扩展到了三维空间。

由于四元数的乘法不满足交换律，对它的研究较实数和复数都要困难，以至在它出现后一个多世纪都得不到很好的应用。

直到1985年Ken Shoemake [20]将它引入计算机图形学之后，四元数在计算机动画和三维图形绘制方面才得到实际的应用。

随着计算机技术和图形学的发展，四元数所表现出来的优势也日渐得到人们的重视。

4.2.1四元数记法一个四元数包含了四个分量，一个标量分量和一个3D 向量分量。

也可以说是一个实部，三个虚部，表示如式4.1所示：i = + +j +k Q w b c d (4.1) 式4.1中w , b , c , d 为实数，i , j , k 为虚数，满足i 2= j 2 = k 2 =－1。

四元数也可以表示为：[w ,v ] 或 [w , (x ,y ,z )]，其中w 为标量，v ＝(x ,y ,z )为矢量。

4.2.2四元数的运算四元数的加减法和一般复数的加减法相同，也满足交换律和结合律。

但是四元数的乘法满足结合律但不满足交换律，这是与实数和复数最显著的不同[5]。

三维几何变换矩阵-回复什么是三维几何变换矩阵？怎样表示一个三维几何变换矩阵？这些矩阵有哪些性质？在三维图形的空间变换中，如何使用这些矩阵来实现平移、旋转、缩放和剪切等操作？本文将一步一步回答这些问题。

首先，我们来介绍一下三维几何变换矩阵。

在三维空间中，几何变换是指对点、线、面等进行平移、旋转、缩放、剪切等操作的数学表示。

而三维几何变换矩阵是用来表示这些变换操作的一种工具。

它由一个3×3的旋转矩阵和一个3×1的平移向量组成。

接下来，我们来看一下如何表示一个三维几何变换矩阵。

一般来说，一个三维几何变换矩阵可以写成如下的形式：[T] = [R T][0 1]其中，[R]是一个3×3的旋转矩阵，[T]是一个3×1的平移向量，表示矩阵的分割线，0和1是分别表示的3×1的零向量和1这两个数。

这种表示方法被称为仿射变换矩阵。

这样的表示方法非常直观，便于对变换进行组合和计算。

接下来，我们来看一下三维几何变换矩阵的性质。

首先，几何变换矩阵是可逆的，即可以通过逆矩阵将一个变换恢复到原来的状态。

其次，变换矩阵的乘法满足结合律，即[T1][T2][T3]=[T1T2][T3]。

此外，变换矩阵的乘法顺序也影响着变换的结果。

例如，平移变换的矩阵和旋转变换的矩阵乘积的结果与旋转变换的矩阵和平移变换的矩阵乘积的结果是不同的。

在三维图形的空间变换中，我们经常需要用到平移、旋转、缩放和剪切等操作。

下面，我们来分别介绍这些操作在三维几何变换矩阵中的表示方法。

首先是平移操作。

平移是指将一个点或物体沿着指定的方向按照指定的距离移动。

在三维几何变换矩阵中，平移操作可以通过平移向量来表示。

假设平移向量为(Tx, Ty, Tz)，则平移变换矩阵可以表示为：[T] = [1 0 0 Tx][0 1 0 Ty][0 0 1 Tz][0 0 0 1]其中，Tx、Ty和Tz分别表示在x、y和z轴上的平移距离。

山东专升本高数三前五章知识点一、第一章数列的概念1. 数列的概念及性质：数列是一组有规律排列的数的有限或无限有序集合，其构成具有一定规律，依据推导而得出的等差数列、等比数列；2.等比数列：如果给定任意一项，他们的比值相同，则这个数列称为等比数列；3.等差数列：如果两个相邻数之差一定，则叫做等差数列；4.数列的前n项和：前n项和是指数列中所有项组成的和。

二、第二章平面向量的概念1. 向量的概念：向量是一组具有方向和大小的有序数。

2. 向量的基本运算：向量的加法、减法、数乘、点乘和叉乘3. 向量的应用：用于表达目标的位置、速度、加速度等，并用于描述物体间的相互作用和变化；4. 向量空间：向量空间是由一组线性无关的向量所组成的集合。

三、第三章平面几何的基本概念1. 平面几何的基本概念：平面几何是指研究平面中的几何形状和它们之间的关系的数学学科；2. 平面的几何图形：圆形、椭圆形、矩形、正三角形、三角洲形等；3. 平面的几何概念：距离、夹角、直角、平行线、垂线等；4. 平面几何的应用：应用于几何图形及计算图形的面积、周长、切线等。

四、第四章几何变换1. 几何变换的基本概念：几何变换是指将某个几何图形变为另一个几何图形的过程；2. 几何变换的种类：旋转、缩放、平移、对称及坐标变换等；3. 形状的保持不变：几何变换可保持某些特定的形状不变，如点的不变，线段的不变，把一个几何图形放大、缩小、拉伸、对称等；4. 几何变换的应用：应用于机器视觉，用于图像的分割、定位及识别。

五、第五章函数的概念1.函数的定义：若存在一种关系，每个元素X都有一个且只有一个与之对应的元素Y，则称关系为函数；2. 函数的种类：线性函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数等；3. 函数的基本性质：唯一性、单调性、凹性、解析性、可微性等；4. 函数的应用：不管是现实生活还是科学研究中，函数都扮演着重要角色，函数可用来描述物理关系、分析、求解微分和积分方程。