二维图形几何变换三维图形几何变换参数图形几何变换

第五章图形变换重 点：掌握二维几何变换、二维观察变换、三维几何变换以及三维观察变换。

难 点：理解常用的平移、比例、旋转变换，特别是复合变换。

课时安排：授课4学时。

图形变换包括二维几何变换， 二维观察变换，三维几何变换和三维观察变换。

为了能使各种几何变换（平移、旋转、比例等）以相同的矩阵形式表示，从而统一使用矩阵乘法运算来实现变 换的组合，现都采用齐次坐标系来表示各种变换。

有齐次坐标系齐次坐标系：n 维空间中的物体可用 n+1维齐次坐标空间来表示。

例如二维空间直线 ax+by+c=O ，在齐次空间成为 aX+bY+cW=0 ，以X 、Y 和W 为三维变量，构成没有常数项的 三维平面（因此得名齐次空间）。

点P （x 、y ）在齐次坐标系中用P （wx,wy,w ）表示，其中 W 是不为零的比例系数。

所以从 n 维的通常空间到 n+1维的齐次空间变换是一到多的变换，而其反变换 是多到一的变换。

例如齐次空间点P （X 、Y 、W ）对应的笛卡尔坐标是 x=X/W 和y=Y/W 。

将通一地用矩阵乘法来实现变换的组合。

常笛卡尔坐标用齐次坐标表示时， W 的值取1。

采用齐次坐标系可以将平移、比例、旋转这三种基本变换都以相同的矩阵形式来表示,并统齐次坐标系在三维透视变换中有更重要的作用, 示形它使非线形变换也能采用线形变换的矩阵表式。

图形变换平移变换图示如图所示，它使图形移动位置。

新图 p'的每一图元点是原图形 p 中每个图元点在向分别移动Tx 和Ty 产生，所以对应点之间的坐标值满足关系式x'=x+Tx y'=y+Ty可利用矩阵形式表示成：[x' y' ] = : x y ] + : Tx Ty ]简记为：P'= P+T , T= : Tx Ty ］是平移变换矩阵（行向量）二堆几何变换1 1二维观察变換三维几诃变换平移变换 比例变换 陡转变换 对称变换 错切变换 仿肘变换 复合变换平移变换 比例变换 旋转变换 绕空间任意轴離转 对称变换 蜡切变换三维观察变5.1二维几何变换二维几何变换就是在平面上对二维点的坐标进行变换，从而形成新的坐标。

各种变换的原理各种变换的原理是指不同类型的变换所依据的基本原理和数学方法。

在数学中，变换是指将一个对象映射到另一个对象的过程。

不同类型的变换可以应用于不同的领域，如几何变换、信号处理、图像处理等。

以下是常见的几种变换的原理的详细解释。

1. 几何变换几何变换是指在二维平面或三维空间中对图形进行的变换。

常见的几何变换有平移、旋转、缩放和剪切。

- 平移：平移是指将图形沿着指定方向和指定距离移动。

平移变换的原理是将图形上的每一个点的坐标都增加相同的平移量。

- 旋转：旋转是指围绕某一点或轴心旋转图形。

旋转变换的原理是通过将图形上的每一个点的坐标绕着旋转中心按照一定的角度进行计算。

- 缩放：缩放是指将图形的尺寸按照一定比例进行放大或缩小。

缩放变换的原理是通过对图形上的每一个点的坐标进行相应比例的计算。

- 剪切：剪切是指将图形沿着指定方向进行裁剪或延伸。

剪切变换的原理是通过对图形上的每一个点的坐标按照一定的规则进行计算。

2. 傅里叶变换傅里叶变换是一种将时域信号转换为频域信号的数学工具。

它基于傅里叶级数的思想，将一个非周期信号转化为一系列正弦和余弦函数的加权和。

傅里叶变换的原理是将一个函数表示为频率的函数，表明了信号在不同频率上的成分。

通过傅里叶变换，可以将时域上的信号转化为频域上的信号，从而更好地分析信号的频谱特征和频率成分。

3. 小波变换小波变换是一种能够分析信号的时域和频域特征的数学工具。

它通过将信号与一系列小波函数进行卷积，得到信号在不同尺度和不同位置的时频信息。

小波变换的原理是将信号分解成不同频率的小波基函数，并通过对这些小波基函数进行缩放和平移得到信号的不同尺度和不同位置的表示。

通过小波变换，可以在时域和频域上同时分析信号的特征，从而更全面地理解信号的性质。

4. 离散余弦变换（DCT）离散余弦变换是一种将一个离散信号转化为一组离散余弦函数的线性组合的数学工具。

它主要应用于图像和音频的压缩编码中。

离散余弦变换的原理是将信号表示为一系列余弦函数的线性组合，通过对信号的频谱进行变换，将信号在不同频率上的成分进行分离。

几何变换知识点总结几何变换是数学中一个重要的研究领域，它涉及到几何图形在平面上的移动、旋转、缩放和翻转等操作。

在这篇文章中，我将对几何变换相关的知识点进行总结和介绍。

一、平移变换平移是指将一个几何图形沿着平行于某个方向的直线移动一定的距离，保持图形的形状和大小不变。

平移变换可以用矩阵表示，对于平面上的点P(x, y)，进行平移变换时，坐标变为P'(x', y')，其中：x' = x + ay' = y + b其中a和b分别为平移的位移量。

二、旋转变换旋转是指将一个几何图形围绕某个点或者某条轴线进行旋转。

旋转变换可以用矩阵表示，对于平面上的点P(x, y)，绕原点进行逆时针旋转θ度，则旋转后的坐标为P'(x', y')，其中：x' = x * cosθ - y * sinθy' = x * sinθ + y * cosθ这是一个二维的旋转变换，需要注意的是，参数θ的单位为弧度。

三、缩放变换缩放是指改变几何图形的大小，使其变大或者变小。

缩放变换可以用矩阵表示，对于平面上的点P(x, y)，进行缩放变换时，坐标变为P'(x', y')，其中：x' = kxy' = ky其中k为缩放的比例因子，当k>1时，图形被放大；当0<k<1时，图形被缩小。

四、翻转变换翻转是指将几何图形以某条轴线或者某个点进行对称镜像。

翻转变换分为水平翻转和垂直翻转两种类型。

1. 水平翻转：对于平面上的点P(x, y)，进行水平翻转变换时，坐标变为P'(x', y')，其中：x' = -xy' = y即原来的x坐标变为相反数，而y坐标保持不变。

2. 垂直翻转：对于平面上的点P(x, y)，进行垂直翻转变换时，坐标变为P'(x', y')，其中：x' = xy' = -y即原来的y坐标变为相反数，而x坐标保持不变。

图形变换（转）主要内容：图形处理是CAD/CAM中的关键技术，包括图形⽣成、编辑和图形变换。

计算机图形学计算机图形学的概念计算机图形学的研究内容图形变换点的变换⼆维图形的变换⼆维图形的齐次变换⼆维图形的基本变换复合变换三维图形的齐次变换三维图形的基本变换复合变换1、什么是计算机图形学计算机图形学（Computer Graphics）是近30年来发展迅速、应⽤⼴泛的新兴学科，是计算机科学最活跃的分⽀之⼀。

计算机图形学是研究在计算机中如何表⽰图形，以及利⽤计算机进⾏图形的计算、处理和显⽰的相关原理与算法的⼀门学科。

随着计算机技术的发展，计算机图形学在CAD/CAM等计算机应⽤领域中占有越来越重要的地位。

计算机图形学的研究内容是⼗分丰富的。

虽然许多研究⼯作已经进⾏了多年，取得了不少成果，但随着计算机技术的进步和图形显⽰技术应⽤领域的扩⼤和深⼊，计算机图形学的研究、开发与应⽤还将得到进⼀步的发展。

2、图形变换的概念根据需要将已定义的图形从屏幕的某⼀位置移动到另⼀位置，或改变图形的⼤⼩和形状或利⽤已有的图形⽣成复杂的图形，这种图形处理的⽅法称为图形的⼏何变换，简称图形变换。

图形变换是计算机图形学的核⼼基础，通过图形变换，能够很⽅便地由简单图形派⽣出所需要的图形。

图形变换主要包括⼆维图形和三维图形的⼏何变换，投影变换等。

图形变换通常采⽤矩阵变换的⽅法，图形变换不同，其变换矩阵也不同，本节将重点介绍图形变换的矩阵⽅法及图形变换的程序设计。

2.1 点的变换在计算机绘图中，常常要进⾏诸如⽐例、对称、旋转、平移、投影等各种变换，图形可以⽤点集来表⽰，也就是点集定了，图形也就确定了。

如果点的位置变了，图形也就随之改变。

因此，要对图形进⾏变换，只要变换点就可以了。

由于点集可以⽤矩阵的⽅法来表达，因此对点的变换可以通过相应的矩阵运算来实现，即旧点（集）×变换矩阵矩阵运算新点（集）。

2.2 ⼆维图形变换⼆维图形变换主要包括⽐例，对称、错切、旋转、平移等。

图形的所有知识点图形是我们日常生活中经常会遇到的一个概念，从简单的几何图形到复杂的三维模型，每一种图形都有自己的特点和应用场景。

本文将介绍图形的所有知识点，包括图形的定义、分类、性质、参数方程、平移、旋转、缩放等内容。

一、图形的定义和分类图形是指在平面或者空间内的有形物体，具有形状和大小的概念。

根据图形的维度可以分为二维图形和三维图形两类。

二维图形包括点、线、面等基本图形，三维图形则包括基本立体如球体、立方体、圆锥体、棱锥体、圆柱体、棱柱体等以及复杂的多面体。

在二维图形中，点是最基本的图形，没有大小，仅仅表示一个位置坐标，用于作为其他图形的基础。

线是由点连接而成，可以表示一条直线或者曲线，根据其长度和形状可分为直线、折线、曲线等。

面是由线或曲线围成的区域，可以分为平面图形和曲面图形两类。

其中平面图形包括三角形、矩形、正方形、梯形、菱形、圆等基本图形，曲面图形则包括弧、扇形、椭圆等。

在三维图形中，球体是最基本的图形，具有无限接近于圆形的表面。

立方体是具有6个相等的正方形面的立体，是最简单的几何体。

棱锥体则是由一个多边形底面和一个顶点连接而成的立体，其中根据底面不同又可以分为三角形棱锥、正四边形棱锥、正五边形等。

圆柱体是由圆形的底面和端面连接而成的立体，同样可以分为任意圆柱、圆柱台等。

多面体则是由平面图形所组成的三维立体，其中最为著名的是五种正多面体，分别是四面体、六面体、八面体、十二面体和二十面体。

二、图形的性质和参数方程每一种图形都有自己的特点和性质，根据图形的性质我们可以对其进行分类和判断。

这里介绍几种最为基本的图形性质。

1. 几何属性几何属性是指各种基本图形具有的标准的属性，包括长度、面积、体积等。

其中长度通常使用直线或曲线的长度表示，面积通常使用平面内形状所覆盖的区域表示，体积则是三维图形内所占据的空间。

2. 对称性对称性是指图形的一部分在沿对称轴将其翻折后可以与另一部分重合。

其中对称轴可以是直线、点、面等。

二维与三维几何关系形的变换与投影几何关系形的变换与投影是数学中的重要内容，它们在二维和三维几何中起着至关重要的作用。

本文将探讨二维和三维几何关系形的变换与投影，并分析它们在实际应用中的意义。

一、二维几何关系形的变换与投影在二维几何中，形的变换是指通过平移、旋转、镜像等操作，改变二维图形的位置、方向和形状。

投影则是指将三维物体在一个平面上的投影结果。

这些变换和投影在计算机图形学、工程绘图等领域中扮演着重要的角色。

首先，平移变换是指将图形沿着指定的方向平行移动一定的距离，而不改变其形状和方向。

平移变换可以用矩阵运算表示。

对于一个二维平面上的点(x, y)，经过平移变换(Tx, Ty)后的坐标可以表示为：Tx = x + aTy = y + b其中a和b分别代表平移的距离。

通过平移变换，我们可以改变二维图形的位置，使其适应不同的要求。

其次，旋转变换是指将图形按照一定中心点旋转一定的角度，使其方向和形状发生变化。

旋转变换同样可以使用矩阵运算表示。

对于一个二维平面上的点(x, y)，经过旋转变换后的坐标可以表示为：x' = x * cosθ - y * sinθy' = x * sinθ + y * cosθ其中θ代表旋转的角度。

通过旋转变换，我们可以改变二维图形的方向，使其具有更灵活的表现形式。

此外，镜像变换是指将图形按照指定的轴线进行对称，使其形状和方向发生反转。

镜像变换同样可以使用矩阵运算表示。

对于一个二维平面上的点(x, y)，经过镜像变换后的坐标可以表示为：x' = xy' = -y通过镜像变换，我们可以在二维图形中实现左右翻转、上下翻转等操作，使其具有更多样的展示效果。

最后，在投影中，我们常用的有平行投影和透视投影两种方式。

平行投影是指将三维物体投影到一个平面上，形成二维图像。

透视投影则是指根据透视原理，将远近物体产生大小不同的投影效果。

这两种投影方式在艺术绘画、建筑设计等领域中被广泛应用。