单利、复利和连续复利

第三章　利率的计算3.1　复习笔记一、利率的分类1. 年利、月利和日利按计算利息的时间长短，可以将利率分为年利、月利和日利。

（1）年利是以年为时间单位计算利息，通常以百分之几计算；（2）月利是以月为时间单位计算利息，通常以千分之几计算；（3）日利是以天为时间单位计算利率，习惯叫“拆息”，通常以万分之几计算。

（4）年利率与月利率之间的换算关系是：月利乘12为年利率；年利除以12为月利。

2. 固定利率与浮动利率（1）固定利率是指在整个借贷期限内，利率不随借贷供求状况而变动的利率，它适用于短期借贷。

（2）浮动利率是指在借贷期限内随市场利率的变化而定期调整的利率，它适用于借贷时期较长，市场利率多变的借贷关系。

3. 市场利率与官方利率市场利率是指由货币资金的供求关系决定的利率，货币供大于求，市场利率下跌，货币求大于供，市场利率上升。

（1）市场利率是不受限制的利率，其水平高低由市场供求的均衡点决定。

（2）官方利率是由政府金融管理部门或者中央银行确定的利率，是国家手中为了实现宏观调节目标的一种政策手段。

以时间长短为标准，可以将利率划分为短期利率与长期利率。

短期利率一般指借贷时间在一年以内的利率；长期利率一般指借贷时间在一年以上的利率。

利率的高低与期限长短、风险大小有着直接的联系。

5. 名义利率和实际利率在经济活动中，区别名义利率和实际利率，至关重要。

是赔是赚不能看名义利率，而要看实际利率。

实际利率有两种，一种是事后的实际利率，它等于名义利率减七实际发生的通货膨胀率；一种是事前的实际利率，它等于名义利率减去预期的通货膨胀率。

二、复利与终值1. 单利与复利单利和复利是两种不同的计息方法。

单利是指以本金为基数计算利息，所生利息不再加入本金计算下期利息。

单利的计算公式为：J表示利息额，P表示本金，r表示利率，n表示时间，S表示本金与利息之和。

在现实中，更有意义的往往是复利。

复利也称利滚利，计算时，要将每一期的利息加入本金一并计算下一期的利息。

玫瑰花事件的思考上海市曹杨中学顾慧珠一、问题背景：拿破伦玫瑰花事件1797年3月，法兰西总统拿破仑在卢森堡第一国立小学演讲时，潇洒地把一束价值3路易的玫瑰花送给该校的校长，并且说了这样一番话：“为了答谢贵校对我、尤其是对我夫人约瑟芬的盛情款待，我不仅今天呈献上一束玫瑰花，并且在未来的日子里，只要我们法兰西存在一天，每年的今天我都将派人送给贵校一束价值相等的玫瑰花，作为法兰西与卢森堡友谊的象征。

”从此卢森堡这个小国即对这“欧洲巨人与卢森堡孩子亲切、和谐相处的一刻”念念不忘，并载之入史册。

后来，拿破仑穷于应付连绵的战争和此起彼伏的政治事件，并最终因失败而被流放到圣赫勒那岛，自然也把对卢森堡的承诺忘得一干二净。

谁都不曾料到，1984年底，卢森堡人竟旧事重提，向法国政府提出这“赠送玫瑰花”的诺言，并且要求索赔。

他们要求法国政府：一、要么从1798年起，用3个路易作为一束玫瑰花的本金，以5厘复利计息全部清偿；二、要么在法国各大报刊上公开承认拿破仑是个言而无信的小人。

法国政府当然不想有损拿破仑的声誉，但电脑算出来的数字让他们惊呆了：原本3路易的许诺，至今本息已高达1375596法郎。

最后，法国政府通过冥思苦想，才找到一个使卢森堡比较满意的答复，即：“以后无论在精神上还是在物质上，法国将始终不渝地对卢森堡大公国的中小学教育事业予以支持与赞助，来兑现我们的拿破仑将军那一诺千金的玫瑰花信誓。

”为什么1798年的3路易到1984年就成了1375596法郎？二、问题提出：在普通复利计算中，所给定或采用的利率一般都是年利率，即利率的时间单位是年，而且在不特别指明时，计算利息的计息周期也是以年为单位，即一年计息一次。

在实际工作中，所给定的利率虽然还是年利率,由于计息周期可能是比年还短的时间单位，比如计息周期可以是半年、一个季度、一个月、一周或者为一天等等，因此一年内的计息次数就相应为2次、4次、12次、52次、或365次等等。

复利法的概念
复利法则表示的是投资本金翻番的时间。

复利法则又称为72定律，具体以投资人投资项目的投资款翻一番所需花费的时间正好是72除以年度回报率。

知识拓展：
复利和单利的区别主要体现在:
1、计息方式不同。

复利是在计算利息时，某一计息周期的利息是由本金加上先前周期所积累利息总额来计算的计息方式，也就是通常所说的"利滚利”。

单利是无论一笔资金存期多长，只有本金计取利息，而以前各期利息在下一个利息周期内不计算利息。

2、利息计算结果不同。

同样的利率水平，同样的本金，用单利和复利计算利息的结果中，复利由于在计算利息时，加上了先前周期积累的利息，因此最终利息会高于单利的利息。

第4章理解利率4.1 本章要点●利率（interest rate）是借款的成本或为借入资金支付的价格，由于使用资金是有成本的，所以货币具有时间价值，不同时期收到的等额货币具有不同的价值；将来收到的资金折算成今天的价值，叫现值；今天收到的资金将来的价值叫终值。

●信用市场工具大致包括普通贷款、固定支付贷款、息票债券、贴现债券。

●债券的现价与利率是负相关的，当市场利率上升时，债券价格下跌，当市场利率下降时，债券价格上升。

债务工具的到期收益率是使未来支付的现值与债券当前价值相等的利率。

●由于市场利率的波动，债券的价格也会随之波动，回报率是债券的利息收入与债券价值变动之和占债券购买价格的比率。

只有持有期与到期期限一致的债券的回报率才与最初的到期收益率相等。

●名义利率是未调整通货膨胀因素的利率，实际利率是是指剔除通货膨胀率后的真实利率。

费雪方程式表明，名义利率等于实际利率加上预期的通货膨胀率。

4.2 重难点导学一、利率的计算将来收到的1美元不如现在收入的1美元值钱，我们称之为货币的时间价值。

1.终值：终值：现在的1美元，在将来某个时点的价值。

单利、复利和连续复利单利：以首期的本金为基数计算的各期利息P t＝P0（1＋r×t）复利：在每期届满时，将应得利息加入本金再计息的方式P t＝P0（1＋r）t连续复利：P t＝P0 ×e r n2.现值现值（present value）将来支付的现在的价值。

3年后的133美元，即$100×（1+i）3相当于今天的100美元，即如果利率为15％，2年后的250美元的现值是多少?假定你购买纽约州政府彩票获得2000万美元的头奖，这意味着你将在未来的20年中每年获得100万美元。

你赢了多少钱？是2000万美元?二、四种类型的信用市场工具根据偿付时间安排的不同，信用市场工具可以分为四种基本类型。

1．普通贷款（simple loan）。

贷款人向借款人提供一定数量的资金，借款人必须在到期向贷款人归还本金，并支付额外的利息。

复利-完全攻略篇日期：2009-06-11 想彻底了解复利的读者，一定得详加阅读，本篇对复利有精辟的解说，让你完全了解复利的意义及其计算方式。

单利了解复利之前一定得先知道单利是什么，因为单利与复利之间有着密不可分的关系。

复利一定有付息期间，也就是在当期的最后一天，才将利息加到本金上，在期间内所产生的利息均是以单利计算。

例如「每月」付息一次的复利，只有在每月的最后一天才以「单利」算出利息，然后再将此利息加上期初的本金，做为下一期计息的本金。

这样的复利也称作月复利。

同样道理，若每季计息一次，就称作季复利，意思是当季内产生的利息都是以「单利」计算。

单利的意义：不论付息期间是多久，所兹生的利息均不会加入本金再循环计息，也就是说计息的本金从期初到期末都是一样的。

这样单利公式就变得很简单：设期初本金为PV，名目利率为Rn，期间为"t" 年，所以一年会产生的利息金额就是PV* Rn，再乘上期间"t"，就是单利的公式了：利息= PV*Rn*t期末终值(FV)= PV + 利息= PV + PV*Rn*t= PV*(1+Rn*t) ---------公式(1)Rn为名目年利率，t 为年数，不足一年以小数或分数表示。

例如一季就是(t=1/4)，Rn*t 等于Rn/4。

依此类推一个月(t = 1/12)，一日(t=1/365)，半年(t=1/2)。

上图是100元随着时间(单位：年)以单利成长，可以看出不论时间多长、利率多少，终值或未来值都是以直线上升。

例一：张三跟朋友借款100万元，约定利息以年利率6%『单利』计算，3年后还款。

请问3年后张三必须归还朋友本金及利息总共多少钱？本金(PV) = 1,000,000年利率(Rn) = 6%年数(t) = 3期末终值(本利和)= 1000000*(1+6%*3)= 1,180,000例二：李四跟朋友借款10万元，约定利息以年利率10%『单利』计算，借款3个月，请问期末李四必须偿还朋友多少钱？本金(PV) = 100,000年利率(Rn) = 10%年数(t) = 3/12期末终值(本利和)=100000*(1+10%*(3/12)) = 102,500Excel档案下载这里提供一个Excel档案供读者下载，里面共有四张工作表，都是本篇会用到之试算，分别为：•单利•复利•复利次数之影响•实质利率复利单利的计息方式对贷款者(出借方)似乎不是很公平，因为利息必须等到期末才拿得回来。

第三章资金时间价值及其等值计算3．1 资金时间价值资金时间价值（The time value of money）是指等额货币在不同时点上具有不同的价值；即资金在扩大再生产及其循环周转过程中，随着时间变化而产生的增值。

资金的时间价值是商品经济中的普遍现象，它是社会劳动创造价值的能力的一种表现形式。

它表明一定的资金，在不同时点具有不同的价值，也即不同时间发生的等额资金在价值上的差别，就称为资金的时间价值。

需要指出的是，一般的货币并不会增值，资金的时间价值不是货币本身产生的，也不是时间产生的，而是在资金运动中产生的。

在商品经济条件下，资金是不断运动着的，资金的运动伴随着生产与交换的进行，生产与交换会给投资者带来利润，表现为资金的增值。

所以，只有当资金作为生产的基本要素，经过生产和流通的周转，才会产生增值。

如果把资金积压起来，锁在保险箱里，不投入运动，那么时间再长，也不会产生增值。

因为资金增值的实质是劳动者在生产过程中创造了新的价值。

利润和利息是资金时间价值的基本形式，它们都是社会资金增值的一部分，是社会剩余劳动在不同部门的再分配。

利润由生产和经营部门产生，利息是以信贷为媒介的资金使用权的报酬，它们都是资金在时间推移中的增值。

3．2 利息和利率资金的时间价值体现为资金运动所带来的利润（或利息），它是衡量资金时间价值的绝对尺度。

资金在单位时间内产生的增值（利润或利息）与投入的资金额（本金）之比，简称为“利率”或“收益率”，它是衡量资金时间价值的相对尺度，记作i。

i越大，表明资金增值越快。

一、单利和复利利息的计算有单利计息和复利计息之分。

1．单利法单利（Simple interest）仅以本金为基数计算利息，即不论年限有多长，每年均按原始本金计息，而已取得的利息不再计息。

设贷款额（本金）为P，贷款年利率为i，贷款年限为n，本金与利息和用F 表示，则计算单利的公式推导过程如表3．1。

由表3．1可知，n年末本利和的单利计算公式为：F=P（1＋in）（3．1）表3．1 单利法计算公式的推导过程例3．1某人拟从证券市场购买一年前发行的三年期年利率为6％（单利）、到期一次还本付息、面额为100元的国债，若此人要求在余下的二年中获得5％的年利率（单利），问此人应该以多少的价格买入？解：设该人以P元买入此国债，则P（1+5％×2）＝100（1+6％×3）P=107．27万元所以，此人若以不高于107．27元的价格买入此国债，能保证在余下的二年中获得5％以上的年利率。