福建省2020届高三数学考前冲刺适应性模拟卷(理)(三)

福建省2020届高三数学考前冲刺适应性考试试题（三）文（含解析）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}{}||12A x x a B x x =<=<<，，且()A B ⋃=R R ，则实数a 的取值范围是（ ） A. 1a ≤ B. 1a <C. 2a ≥D. 2a >【答案】C 【解析】{}|1,2R C B x x x =<≥或.{}{}()||1,22R A C B x x a x x x R a ⋃=<⋃<≥=⇔≥或.故选C2. 复数z i =-（i 为虚数单位），则复数z 的共轭复数为（ ） A. 2i - B. 2i +C. 4i -D. 4i +【答案】B 【解析】试题分析：由题2z i i =-=-，则复数z 的共轭复数为2i +，选B 考点：复数的运算，共轭复数3. 已知平面向量(1,)a x =，(2,3)b =，若向量2a b +与向量b 共线，则x =（ ） A.72B.52C.32D.12【答案】C 【解析】 【分析】首先求2a b +的坐标，再根据向量共线，列式求解. 【详解】()24,23a b x +=+当向量2a b +与向量b 共线时，满足()43232x ⨯=+⨯，解得：32x =.故选：C【点睛】本题考查向量共线的坐标表示，属于基础题型.4. 已知,m n 是两条不同的直线，α是一个平面，且m α⊥，则“m n ⊥”是“//n α”的（ ）A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】通过两者之间的推出关系可判断两者之间的条件关系. 【详解】如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，1A A ⊥平面ABCD ，1BC AA ⊥，但BC ⊂平面ABCD ，所以“m n ⊥”推不出“//n α”.若//n α，如图，设n β⊂，且l αβ=，则//n l ，因m α⊥，l α⊂，故m l ⊥，所以m n ⊥，所以“//n α”能推出“m n ⊥”所以“m n ⊥”是“//n α”的必要不充分条件.故选：A.【点睛】本题考查空间中与线面位置关系有关的命题的真假判断以及必要不充分条件的判断，后者需根据两者之间的推出关系来判断. 5. 已知12434,log 9,log 2a b c -===，则,,a b c 的大小关系是（ ）A. a b c <<B. a c b <<C. c a b <<D.c b a <<【答案】B 【解析】 【分析】利用指数函数与对数函数的单调性，分别得出a b c ，，的大致范围，即可得出结果.【详解】41124331,log 142log 9log 2log 41,22a b c --==>==>===.∴a c b <<.故选：B.【点睛】本题考查了指数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题型. 6. 已知正项等比数列{}n a 的首项和公比相等，数列{}n b 满足2log n n b a =，且123++12b b b =，则4=a （ ） A. 4 B. 32 C. 108 D. 256【答案】D 【解析】 【分析】设正项等比数列{}n a 首项和公比为q ()0q >,则nn a q =，依题意得到方程解出q ，即可求解；【详解】解：设正项等比数列{}n a 的首项和公比为q ()0q >,则nn a q =又因为2log n n b a =，且123++12b b b = 所以()22312223212log log log log a q q qa a ++=⋅⋅=即2log 2q =，所以4q =， 所以4nn a =所以44=4256a =故选：D【点睛】本题考查等比数列通项公式的计算，属于基础题.7. 已知函数,0()ln ,0x e x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，则不等式1()2f x ≤的解集是（ ）A. (,ln 2]-∞-⋃B. (,ln 2)-∞-C. D. (,ln 2)-∞-⋃【答案】A 【解析】 【分析】根据分段函数，分0x ≤或0x >两种情况，分别根据指数函数和对数函数的性质求解即可.【详解】当0x ≤时，由1()2f x ≤得12xe ≤，两边取以e 为底的对数得：ln 2x ≤-， 当0x >时，由1()2f x ≤得1ln 2x ≤，解得120x e <≤=综上ln 2x ≤-或0x <≤故选：A【点睛】本题主要考查了分段函数的性质，利用指数函数、对数函数单调性解不等式，属于中档题.8. 在区间[1,1]-上随机取一个数k ，使直线(3)y k x =+与圆221x y +=相交的概率为（ ）A.12B.13D.3【答案】C 【解析】 【分析】根据直线与圆相交，可求出k 的取值范围，根据几何概型可求出相交的概率.【详解】因为圆心(0,0)，半径1r =，直线与圆相交，所以211d k =≤+，解得2244k -≤≤ 所以相交的概率22224P ==,故选C.【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系，几何概型，属于中档题. 9. 函数()()22sin cos x xf x x x -=-的部分图象大致是（ ）A.B.C. D.【答案】B 【解析】 【分析】利用函数的奇偶性可以排除部分选项，再利用特殊值进行排除，可得正确结果. 【详解】因为()()()()22sin cos ()xx f x x x f x --=---=，所以()f x 是偶函数，排除选项A ；当(0,),()02x f x π∈>，排除选项D ； 当(,),()02x f x 3π∈π>，排除选项C ；故选：B.【点睛】本题主要考查函数图象的识别，利用函数的性质及特殊值，采用排除法是这类问题的常用方法，侧重考查直观想象的核心素养. 10. 已知函数()2sin()(0,)2f x x πωϕωϕ=+><，对于满足12()()4f x f x -=的12,x x ，有12min32x x π-=，又()02f π=，则下列说法正确的是（ ）A. 2ω=B. 函数2y f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭为偶函数C. 函数()f x 在3,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增 D. 函数()y f x =的图象关于点,04π⎛⎫⎪⎝⎭对称 【答案】C 【解析】 【分析】根据最值和周期结合三角函数值解得2()2sin 33f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再根据奇偶性和单调性，对称性依次判断每个选项得到答案. 【详解】根据题意12min23T x x π=-=，则23T ππω==，故23ω=， 2sin 023f ππϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故3k πϕπ+=，k Z ∈，当0k =时，3πϕ=-满足条件，故2()2sin 33f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，故A 错误，222sin 233y f x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，不是偶函数，B 错误； 当3,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，2332,6x πππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦-，故函数单调递增，C 正确； 22sin 2sin 043436f ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-=-≠ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，D 错误. 故选：C.【点睛】本题考查了三角函数解析式，周期，最值，奇偶性，单调性，对称性，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用.11. 过抛物线22(0)C y p x p =>：的焦点F 的直线与抛物线C 交于,A B 两点，且3AF FB =，直线AB 与抛物线C 的准线l 交于点D ，1AA l ⊥于1A ，若1AA D △的面积等于83，则p=（）A. 32B. 2C.52D. 4【答案】B 【解析】【分析】根据抛物线的性质和相似三角形，用p表示出1AA D△底和高，根据面积列方程求出p的值．【详解】设直线AB的倾斜角为锐角，分别过点A B，作11,AA l BB l⊥⊥，垂足为11,A B,由抛物线的性质可知11,,AA AF BB BF EF p===,设,BD m BF n==，则1113BD BB BFAD AA AF===，即1,243mm nm n=∴=+.又12,3BB BD n mEF DF p m n=∴==+,得23pn=12,30DF m n p ADA︒∴=+=∴∠=，又1132,23,AA n p A D p===∴1AA D△的面积为1223832p p⨯⨯=，解得：2p=.故选:B.【点睛】本题主要考查抛物线的定义、直线与圆锥曲线的位置关系,考查了转化思想与逻辑推理能力.12. 如图，正三棱锥P ABC-的侧棱长为2，底面边长为2,D E分别是,AC AB的中点，M是PD上的动点，N是平面PCE上的动点，则AM MN+的最小值是（）3 B.642+62+6【答案】D 【解析】 【分析】根据垂线段的几何性质，结合线面垂直的判定定理、图形翻折的性质、锐角三角函数进行求解即可.【详解】取CB 中点F ,连接DF 交CE 于点O ,由正棱锥的性质可知：底面是正三角形，侧面是等腰三角形，而,D E 分别是,AC AB 的中点，因此有,AB CE AB PE ⊥⊥， 而,,CEPE E CE PE =⊂面PCE ,所以AB ⊥面PCE ，因此有DO ⊥面PCE ,因为M 是PD （,P M 不重合）上的动点，N 是平面PCE 上的动点，所以当MN ⊥平面PCE 时，MN 最小，因此有//MN DF ,因为DO ⊥面PCE ,所以DP 在平面PCE 的射影为OP ，因此点N 在OP 上， 再把平面POD 绕PD 旋转与面PDA 共面，得到'PDO ,如图所示：又可证得90POD ︒∠=.当''PO AN ⊥时，AM MN +有最小值，为'AN 的长度，12PD AC =，11112224DO DF AB AB ==⨯=，1sin 2OD OPD PD ∴∠==，即30OPD ︒∠=，453075APN '︒︒︒∴∠=+=，可得62sin 75︒+=min 62()sin 752AM MN AN PA '︒++==⋅=<, 若,,P M N 重合, MN 的长度为零，此时2AM MN AP +==, 故选:D【点睛】本题考查空间几何体中的距离最值问题，考查了空间想象和思维能力,综合性较强.在解决此类最值问题时,一般采用侧面展开的形式将立体问题转化为平面问题解决.第Ⅱ卷第Ⅱ卷包括必考题和选考题两部分.第13－21题为必考题，每个试题考生都必须做答.第22－23题为选考题，考生按要求做答.二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上.答错位置，书写不清，模棱两可均不得分. 13. cos15cos45cos75cos45=︒︒-︒︒_________. 【答案】12【解析】 【分析】题设中的三角函数值可转化为cos15cos45sin15sin 45︒︒-︒︒，逆用两角和的余弦可求给定的三角函数式的值.【详解】cos15cos45cos75cos45=︒︒-︒︒1cos15cos 45sin15sin 45cos602︒︒-︒︒=︒=.故答案为：12. 【点睛】三角函数的中的化简求值问题，我们往往从次数的差异、函数名的差异、结构的差异和角的差异去分析，处理次数差异的方法是升幂降幂法，解决函数名差异的方法是弦切互化，而结构上差异的处理则是已知公式的逆用等，最后角的差异的处理则往往是用已知的角去表示未知的角.14. 已知变量,x y 满足120480x x y x y ≥⎧⎪--≤⎨⎪+-≤⎩，则22x y z --=的最大值是_________.【答案】12【解析】 【分析】首先画出可行域，设2t x y =--，并令0t =，作出初始目标函数2y x =-表示的直线，根据图象判断目标函数的最大值.【详解】首先画出可行域，设2t x y =--，并令0t =，作出初始目标函数2y x =-表示的直线，当0x =时，y t =-，平移直线2y x =-，当直线过点A 时，目标函数取得最大值，120x x y =⎧⎨--=⎩，解得：1,1x y ==-， 所以()max 2111t =-⨯--=- ，2tz =是增函数，所以当t 取得最大值时，22x y z --=也取得最大值1max 122z -==.故答案为：12【点睛】本题考查线性规划，重点考查数形结合分析问题的能力，属于基础题型. 15. 在ABC 中，点,A B 分别是双曲线E 的左､右焦点，点C 在双曲线E 上，满足0AB AC ⋅=，()0AB AC BC +⋅=， 则双曲线E 的离心率为_________.21 【解析】 【分析】根据平面向量数量积为零的性质，结合平面向量数量积的运算性质可以确定ABC 的形状，结合该三角形的性质，再结合双曲线的定义、离心率的公式进行求解即可. 【详解】因为0AB AC ⋅=，所以AB AC ⊥，即AB AC ⊥， 因此ABC 是以BC 为斜边直角三角形.由22()0()()0AB AC BC AB AC AC AB AC AB AC AB +⋅=⇒+⋅-=⇒=⇒=， 显然ABC 是以BC 为斜边的等腰直角三角形， 因为点,A B 分别是双曲线E 的左､右焦点，所以设双曲线E 的方程为：22221(0,0)x y a b a b-=>>，因此2AB AC c ==，所以2222(2)(2)22BC AB AC c c c =+=+=，由双曲线的定义可知：222222121c CB CA a c c a e a -=⇒-=⇒===-.1【点睛】本题考查了求双曲线的离心率，考查了平面向量数量积的运算性质，考查了平面向量数量积为零的性质，考查了双曲线定义的应用，考查了数学运算能力. 16. 已知ABC 的三个内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且满足()()cos sin 10b C a c b C ++-=，a c +==B _________，ABC 的周长的取值范围是_________.【答案】 (1). 3π (2). [2【解析】 【分析】分别运用正弦定理和两角和差正弦公式化简已知等式可得cos 2sin 1B B =-，根据同角三角函数基本关系式即可求值得解，利用正弦函数的值域，即可得到所求结论．【详解】解：由题意可得cos ()(sin 1)0b C a c b C ++-=，且a c +=所以(cos )sin 0b C a C c -+-=，由正弦定理可得sin cos sin sin sin 0B C A B C C --=，即有sin cos sin()sin sin 0B C B C B C C -+-=，cos sin sin sin 0B C B C C -+-=，sin 0C >，cos 1B B -=，可得：cos 1B B =-，可得：2222sin cos sin 1)1B B B B +=+-=，解得：sin B =，1cos 2B =．所以3B π=因为cos ()(sin 1)0b C a c b C ++-=，可得cos sin b C C =即(cos )b C C +=即为sin()6b C π+=，因为1si 1n 6(2)C π+≤<b ≤所以,2ABCCa b c ⎡=++∈⎢⎣ 故答案为：3π；⎣. 【点睛】本题考查三角形中的正弦定理的运用，考查三角函数的恒等变换的应用，考查运算能力，属于中档题．三、解答题：（共70分.第17—21题为必考题，每个试题考生都必须作答. 第22、23题为选考题，考生根据要求作答. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知等差数列{}n a ，且3105,100a S ==. （1）求数列{}n a 的通项公式以及数列的前n 项和n S ； （2）设121n a n b +=-，求数列{}n b 的前n 项和n T ，并比较n T 与4n S 的大小(不需要证明).【答案】（1）21n a n =-，2n S n =.（2）4(41)3nn T n =⋅--，比较大小答案见解析 【解析】 【分析】（1）由题意得到方程组，解得112a d =⎧⎨=⎩，即可求出数列的通项公式及前n 项和；（2）由（1）可得41nn b =-，再利用分组求和法求出n T ，再比较大小即可；【详解】解：（1）∵1125109101002a d a d +=⎧⎪⎨⨯+⨯=⎪⎩，解得 112a d =⎧⎨=⎩ 1(1)21n a a n d n =+-⨯=-；21(1)2n n n S na d n ⋅-=+⨯=. （2）∵22141n nn b =-=-，∴24(14)4(444)(41)143n nn n T n n n ⋅-=+++-=-=⋅---∴244(41)43nn n T S n n -=⋅---. 又∵4n 比较24n n +的增长速度更快. ①∴当1n =时， 11410T S -=-<； ②当2n =时， 22420T S -=>. ∴当2n ≥时，4n n T S >.【点睛】本题考查等差数列通项公式及前n 项和公式的应用，分组求和法求和，属于中档题. 18. 如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，点E 在PA 线段上，PC //平面BDE（1）请确定点E 的位置；并说明理由.（2）若PAD △是等边三角形，2AB AD =， 平面PAD ⊥平面ABCD ，四棱锥P ABCD -的体积为93E 到平面PCD 的距离.【答案】（1）点E 为AP 的中点，理由见解析（2）334【解析】 【分析】（1）连结AC 、BD ，交于点M ，连结ME 则M 是AC 中点，由PC //平面BDE ，得PC //ME ，由此能证明AE =PE ．（2）以AD 中点O 为原点，OA 为x 轴，在平面ABCD 中，过点O 作AB 的平行线为y 轴，以OP 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出E 到平面PCD 的距离． 详解】（1）连接AC 交BD 于M ，如图，当E 为AP 的中点时， 点M 为AC 的中点. ∴在APC ∆中，//EM PC ，EM ⊂平面BDE ，PC ⊄平面BDE . ∴//PC 平面BDE .（2） PAD 是等边三角形，2AB AD =，平面PAD ⊥平面ABCD ，∴以AD 中点O 为原点，OA 为x 轴，在平面ABCD 中，过点O 作AB 的平行线为y 轴，以OP 为z 轴，建立空间直角坐标系，设AD x =，四棱锥P ABCD -的体积为93，2212()332xx x x ∴⋅-=3x =． 3(,2A ∴0，0)，(0,P 033)，3(,4E 0，334，3(,2D -0，0)，3(,2C -6，0)． 3(,4PE →=0，33)4-，3(,2PC →=-6，332-，3(,2PD →=-0，32-，设平面PCD 的法向量n (x,y,z)→=，则33360233322n PC x y zn PD x z⎧⋅=-+-=⎪⎪⎨⎪⋅=--=⎪⎩，取3x=，得(3,n→=0，1)-，E∴到平面PCD的距离3333224PE ndn→→→⋅===．【点睛】本题考查线段相等的证明，考查点到直线的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．19. 2019年6月25日，《固体废物污染环境防治法(修订草案)》初次提请全国人大常委会审议，草案对“生活垃圾污染环境的防治”进行了专项规定.某小区采取一系列措施，宣传垃圾分类的知识与意义，并采购分类垃圾箱.为了了解垃圾分类的效果，该小区物业随机抽取了200位居民进行问卷调查，每位居民对小区采取的措施给出“满意”或“不满意”的评价.根据调查结果统计并做出年龄分布条形图和持不满意态度的居民的结构比例图，如图，在这200份问卷中，持满意态度的频率是0.65.（1）完成下面的22⨯列联表，并判断能否有95﹪的把握认为“51岁及以上”和“50岁及以下”的居民对该小区采取的措施的评价有差异满意不满意总计51岁及以上的居民50岁及以下的居民总计200（2）按“51岁及以上”和“50岁及以下”的年龄段采取分层抽样的方法从中随机抽取5份，再从这5份调查问卷中随机抽取2份进行电话家访，求电话家访的两位居民恰好一位年龄在51岁及以上，另一位年龄在50岁及以下的概率.附表及参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.【答案】（1）列联表答案见解析，有95﹪的把握认为“51岁及以上”和“50岁及以下”的居民对该小区采取的措施的评价有差异.（2）35【解析】 【分析】（1）依题意完善列联表，计算出卡方，再与参考值比较即可得解；（2）“51岁以上”居民抽到2份记为：12,a a ； “50岁以下”居民抽到3份记为：123,,b b b . 再用列举法列出所有可能结果，最后根据古典概型的概率公式计算可得；【详解】解：（1）在这200份问卷中，持满意态度的频数为2000.65130⨯=，持不满意态度和频数为20013070-=，∴22⨯列联表如下：∴222()200(45358535) 4.487 3.841()()()()8012013070n ad bc K a b c d a c b d -⨯⨯-⨯==≈>++++⨯⨯⨯. 故有95﹪的把握认为“51岁及以上”和“50岁及以下”的居民对该小区采取的措施的评价有差异.（2）利用分层抽样的特点可知：“51岁以上”居民抽到2份记为：12,a a ；“50岁以下”居民抽到3份记为：123,,b b b .∴基本事件共有：121112132122(,),(,),(,),(,),(,),(,),a a a b a b a b a b a b 2312(,),(,),a b b b1323(,),(,)b b b b ，共有10个. 满足条件的事件有：11121321(,),(,),(,),(,)a b a b a b a b 2223(,),(,)a b a b ，共有6个.∴求得电话家访的两位居民恰好一位年龄在“51岁以上”，另一位年龄在“50岁以下” 的概率为：63()105P A ==. 【点睛】本题考查独立性检验，古典概型的概率计算，属于基础题.20. 已知经过圆2221:C x y r +=上点00(,)x y 的切线方程是200x x y y r +=.（1）类比上述性质，直接写出经过椭圆22222:1(0)x y C a b a b+=>>上一点00(,)x y 的切线方程；（2）已知椭圆22:16x E y +=，P 为直线3x =上的动点，过P 作椭圆E 的两条切线，切点分别为A ､B ，①求证：直线AB 过定点.②当点P 到直线AB 时，求三角形PAB 的外接圆方程. 【答案】（1）00221x x y y a b +=.（2）①证明见解析；②2239()(1)24x y -+-=，2239()(1)24x y -++=.【解析】 【分析】（1）直接类比得到答案.（2）①设切点为1222(,),(,)A x y B x y ，点(3,)P t ，根据（1）得到切线方程，代入点(3,)P t ，化简得到答案.②根据点到直线距离得到1t =±，得到切线方程，联立方程组得到交点，设圆一般方程，代入点解得答案.【详解】（1）类比上述性质知：切线方程为00221x x y ya b+=. （2）①设切点为1222(,),(,)A x y B x y ，点(3,)P t ， 由（1）的结论的AP 直线方程：1116x x y y +=，BP 直线方程：2216x xy y +=， 通过点(3,)P t ，∴有1122316316x y t x y t ⨯⎧+⨯=⎪⎪⎨⨯⎪+⨯=⎪⎩， ∴A ，B 满足方程：12xty +=，∴直线AB 恒过点：1020xy ⎧-=⎪⎨⎪=⎩，即直线AB 恒过点(2,0).②已知点(3,)P t 到直线AB=， 故425410t t --=，22(51)(1)0t t +-=， ∴1t =±.当1t =时，点(3,1)P ，直线AB 的方程为：220x y +-=，2222066x y x y +-=⎧⎨+=⎩， 解得01x y =⎧⎨=⎩或12515x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，故点121(0,1),(,),(3,1)55A B P -. 设PAB △的外接圆方程为：220x y Dx Ey F ++++=，代入得131012529E F D E F D E F +=-⎧⎪++=-⎨⎪-+=-⎩，解得321D E F =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩,所以PAB △的外接圆方程为223210x y x y +--+=，即PAB △的外接圆方程为： 2239()(1)24x y -+-=， 当1t =-时，由对称性可知，三角形PAB 的外接圆方程为：2239()(1)24x y -++=. 【点睛】本题考查了类比，直线和椭圆的位置关系，直线过定点，圆方程，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.21. 已知函数()1xf x e x =--，(e 是自然对数的底数). （1）求()f x 的单调区间；（2）若函数()()xF x e f x =，证明：()F x 有极大值0()F x ，且满足0211()4F x e <<. 【答案】（1）函数()f x 的减区间为(,0)-∞，增区间为(0,)+∞.（2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）直接求出函数的导函数，令()0f x '=，解得x ，即可求出函数的单调区间；（2）首先求出()F x 的导函数，设()22xh x e x =--，再对()h x 求导，说明其单调性，根据函数零点存在性定理可得()F x 在(2,1)--上存在极大值；【详解】解：（1）()1()xf x e x R '=-∈，设()0f x '=，0x ∴=，∴当(,0)x ∈-∞时，()0f x '<，()f x 单调递减；当(0,)x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增. 即函数()f x 的减区间为(,0)-∞；增区间为(0,)+∞.（2）因为()(1)x x F x e e x =--，()(1)(1)(22)x x x x x xF x e e x e e e e x '=--+-=-- 设()22x h x e x =--，且0(0)2020h e =--=∵()21xh x e '=-， 在(0,)x ∈+∞时，()0h x '>，所以()h x 在(0,)+∞上单调递增，∴()(0)0h x h >=.∴()0F x '>，()F x 在(0,)x ∈+∞上是单调递增，∴没有极值.令()210xh x e '=-=，解得ln2x =-. 在x ∈(,ln 2)-∞-时，()0h x '<，()h x 单调递减，∴12(1)(212)(1)0h e e--=+-=-<，22(2)(222)(2)0h e e ---=+-=>. 由根的存在性定理：设0(2,1)x ∈--，使得：0()0h x =， 即000()()0xF x e h x '==.∵在0(,)x x ∈-∞，()()0x F x e h x '=>，∴()F x 单调递增； 在0(,)x x ∈+∞，()()0x F x e h x '=<，∴()F x 单调递减；∴()F x 有极大值0()F x .∵有11021()(1)(11)F x F e e e -->-=+-=. 又∵000()220x h x e x =--=， ∴0022x x e +=， 00200000000221111()(1)(1)(2)(1)224444x x x x F x e e x x x x x ++=--=--=-+=-+<. 综上可得：函数()F x 有极大值0()F x ，且满足0211()4F x e <<. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性、极值，证明不等式，属于中档题.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4—4：坐标系与参数方程]22. 在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为1cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩(t 为参数，0απ≤<)，以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为22123sin ρθ=+. （1）求曲线1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；（2）已知(1,0)F ，曲线1C 与2C 的交点A ， B 满足2BF AF =(A 为第一象限的点)，求cos α的值.【答案】（1）1:tan tan C y x αα=⋅-2πα⎛⎫≠ ⎪⎝⎭，当2πα=时，1x =，222:143x y C +=.（2）23【解析】分析】（1）将曲线1C 的参数方程消去参数t ，可得解1C 的普通方程，利用极坐标和直角坐标的互化公式，可得解2C 的直角坐标方程；（2）将直线的参数方程与椭圆方程联立，利用参数t 的几何意义，计算求解即可.【详解】（1）1:tan tan C y x αα=⋅-2πα⎛⎫≠ ⎪⎝⎭， 当2πα=时，1x = 又∵2223312x y y ++= ，∴222:143x y C +=， （2）1C 直线为：1cos sin x t y t αα=+⋅⎧⎨=⎩ (t 为参数，) 不妨设,A B 对应的直线参数为12,t t ，且120,0t t ><，将1cos ,sin ,x t y t αα=+⎧⎨=⎩代入22143x y +=得()223sin 6cos 90t t αα++⋅-=， ∴1226cos 3sin t t αα-+=+， ① 12293sin t t α-⋅=+② ∵已知2BF AF =，∴122t t =-③. 联立①，③得：126cos 3sin t αα=+， 2212cos 3sin t αα-=+. 代入②式， 2226cos 12cos 93sin 3sin 3sin ααααα--⋅=+++， ∴228cos 3sin αα=+ ∴24cos 9α=，(α为锐角) ∴2cos 3α=. 【点睛】本题考查了参数方程、极坐标综合，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算能力，属于中档题[选修4—5：不等式选讲]23. 已知函数()22f x x x =--.（1）求解不等式：2()f x x ≥-；（2）设,,a b c 为正实数，若函数()f x 的最大值为m ，且2a b c m ++=.求证：21ab ac bc c +++≤【答案】（1）{|1x x ≤或2}x ≥.（2）证明见解析【解析】【分析】（1）先利用绝对值的几何意义，化简函数为2(0)()32(02)2(2)x x f x x x x x +≤⎧⎪=-+<<⎨⎪--≥⎩， 然后分0,02,2x x x ≤<<≥，利用一元二次不等式的解法求解.（2）由（1）知：()f x 的最大值是2，根据2a c b c +++=，将2ab ac bc c +++变形为()()b c a c ++，利用基本不等式证明.【详解】（1）当0x ≤时，()(2)22f x x x x =--+=+；当02x <<时，()(2)232f x x x x =---=-+；当2x ≥时，()(2)22f x x x x =--=--.综上：2(0)()32(02)2(2)x x f x x x x x +≤⎧⎪=-+<<⎨⎪--≥⎩.所以2()f x x ≥-等价于： 202x x x ≤⎧⎨+≥-⎩或20232x x x <<⎧⎨-+≥-⎩或222x x x ≥⎧⎨--≥-⎩解得0x ≤或01x <≤或2x ≥所以2()f x x ≥-的解集为{|1x x ≤或2}x ≥（2）由（1）知：()f x 的最大值是2，即2m =.所以22a b c ++=，2a c b c +++=所以 2()()()()ab ac bc c a b c c b c b c a c +++=+++=++ 22()()2[]()122a cbc +++≤==， 当且仅当a b =时，取等号.【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法以及基本不等式证明不等式，还考查了运算求解的能力，属于中档题.。

2020年福建省高考数学模拟试卷（理科）（3月份）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合{|1)A x x =…，{|(4)(2)0)B x x x =-+…，则()(R A B =U ð ) A ．{|21)x x -剟B ．{|4)x l x 剟C ．{|2)x x l -<<D ．{|4)x x <2．（5分）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若44a =，13104S =，则10(a = ) A ．10B ．12C ．16D ．203．（5分）设x ，y 满足约束条件02010x y x y y -⎧⎪-⎨⎪-⎩…„„，则2z x y =+的最大值是( )A ．0B ．3C ．4D ．54．（5分）5(21)(2)x x -+的展开式中，3x 的系数是( ) A ．200B ．120C ．80D ．405．（5分）某市为了解居民用水情况，通过抽样得到部分家庭月均用水量的数据，制得频率分布直方图（如图）．若以频率代替概率，从该市随机抽取5个家庭，则月均用水量在812-吨的家庭个数X 的数学期望是( )A ．3.6B ．3C ．1.6D ．1.56．（5分）在ABC ∆中，2DC BD =u u u r u u u r ，且E 为AC 的中点，则(DE =u u u r )A ．2136AB AC -+u u ur u u u rB ．2136AB AC --u u ur u u u rC ．1136AB AC --u u ur u u u rD ．2536AB AC +u u ur u u u r 7．（5分）若双曲线上存在四点，使得以这四点为顶点的四边形是菱形，则该双曲线的离心率的取值范围是( ) A ．(1,2)B ．(1,3)C ．(2，)+∞D ．(3，)+∞8．（5分）某学生到工厂实践，欲将一个底面半径为2，高为3的实心圆锥体工件切割成一个圆柱体，并使圆柱体的一个底面落在圆锥体的底面内，若不考虑损耗，则得到的圆柱体的最大体积是( ) A ．169πB ．89π C ．1627πD ．827π 9．（5分）已知()f x 是定义在R 上的偶函数，其图象关于点(1,0)对称．以下关于()f x 的结论：①()f x 是周期函数； ②()f x 满足()(4)f x f x =-； ③()f x 在(0,2)单调递减； ④()cos 2xf x π=是满足条件的一个函数，其中正确结论的个数是( ) A ．4B ．3C ．2D ．110．（5分）设抛物线2:6E y x =的弦AB 过焦点F ，||3||AF BF =，过A ，B 分别作E 的准线的垂线，垂足分别是A '，B '，则四边形AA B B ''的面积等于( ) A ．43B ．83C ．163D ．32311．（5分）上世纪末河南出土的以鹤的尺骨（翅骨）制成的“骨笛”（图1)，充分展示了我国古代高超的音律艺术及先进的数学水平，也印证了我国古代音律与历法的密切联系．图2为骨笛测量春（秋)分”，“夏（冬)至”的示意图．图3是某骨笛的部分测量数据（骨笛的弯曲忽略不计），夏至（或冬至）日光（当日正午太阳光线）与春秋分日光（当日正午太阳光线）的夹角等于黄赤交角．由历法理论知，黄赤交角近1万年持续减小，其正切值及对应的年代如表： 黄赤交角 2341︒'2357︒'2413︒'2428︒'2444︒'正切值 0.439 0.4440.4500.4550.461年代公元元年公元前2000年 公元前4000年 公元前6000年 公元前8000年根据以上信息，通过计算黄赤交角，可估计该骨笛的大致年代是( ) A ．公元前2000年到公元元年B ．公元前4000年到公元前2000年C ．公元前6000年到公元前4000年D ．早于公元前6000年12．（5分）在满足04i i x y <<…，i i y x i i x y =的实数对(i x ，)(i y i l =，2，⋯，n ，)⋯中，使得123n l n x x x x -++⋯+<成立的正整数n 的最大值为( ) A ．5B ．6C ．7D ．9二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）复数z 的共轭复数z 满足(2)|34|i z i +=+，则z = ．14．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某四棱锥的三视图，则该四棱锥的外接球的表面积等于 ．15．（5分）2020年初，我国突发新冠肺炎疫情．面对“突发灾难”，举国上下一心，继解放军医疗队于除夕夜飞抵武汉，各省医疗队也陆续增援，纷纷投身疫情防控与病人救治之中，为分担“逆行者”的后顾之忧，某大学学生志愿者团队开展“爱心辅学”活动，为抗疫前线工作者子女在线辅导功课．现随机安排甲、乙、丙3名志愿者为某学生辅导数学、物理、化学、生物4门学科，每名志愿者至少辅导1门学科，每门学科由1名志愿者辅导，则数学学科恰好由甲辅导的概率为 ．16．（5分）数列{}n a 满足2123492(1)n a a a n a n n +++⋯+=+．记不超过x 的最大整数为[]x ，如[0.9]0=，[0.9]1-=-．设2[log ]n n b a =，数列{}n b 的前n 项和为n S ，若0n S <，则n 的最小值为 ．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）已知ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2222c a b ab +-=． （1）若3sin C =，求B ； （2）若D 为AC 中点，且BD BC =．求a b． 18．（12分）如图1，在矩形ABCD 中，2AB =，3BC =，点E 在线段BC 上，2BE EC =．把BAE ∆沿AE 翻折至△1B AE 的位置，1B ∉平面AECD ，连结1B D ，点F 在线段1DB 上，12DF FB =，如图2．（1）证明：//CF 平面1B AE ；（2）当三棱锥1B ADE -的体积最大时，求二面角1B DE C --的余弦值．19．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的焦距为31:4l x =与x 轴的交点为G ，过点(,0)M l 且不与x 轴重合的直线2l 交E 于点A ，B ．当2l 垂直x 轴时，ABG ∆的面33． （1）求E 的方程；（2）若1AC l ⊥，垂足为C ，直线BC 交x 轴于点D ，证明：||||MD DG =．20．（12分）为贯彻落实党中央全面建设小康社会的战略部署，某贫困地区的广大党员干部深入农村积极开展“精准扶贫”工作，经过多年的精心帮扶，截至2018年底，按照农村家庭人均年纯收入8000元的小康标准，该地区仅剩部分家庭尚未实现小康．2019年7月，为估计该地能否在2020年全面实现小康，统计了该地当时最贫困的一个家庭2019年1至6月的人均月纯收入，作出散点图如图：根据相关性分析，发现其家庭人均月纯收人y 与时间代码x 之间具有较强的线性相关关系（记2019年1月、2月⋯⋯分别为x l =，2x =，⋯，依此类推），由此估计该家庭2020年能实现小康生活，但2020年1月突如其来的新冠肺炎疫情影响了奔小康的进展，该家庭2020年第一季度每月的人均月纯收入均只有2019年12月的预估值的23． （1）求该家庭2020年3月份的人均月纯收入；（2）如果以该家庭3月份人均月纯收入为基数，以后每月的增长率为a ，为使该家庭2020年能实现小康生活，a 至少应为多少？（结果保留两位小数）参考数据：619310i i i x y ==∑，68610xy =2454120462.81+⨯⨯，101.15 4.05≈．参考公式：线性回归方程ˆˆˆy bx a =+中，121()()ˆ()niii nii x x yy bx x ==--=-∑∑，ˆˆa y bx =-．12233(1)1(10,||0.15)n n n na C a C a C a n a +≈+++<…． 21．（12分）已知函数()()xf x ln ax a=-． （1）求()f x 的极值；（2）若x e lnx 十2(1)0x mx e x m +-+„，求正实数m 的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos (sin x y ααα=⎧⎨=⎩为参数）．以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为22123sin ρθ=+． （1）求l C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；（2）若直线l 与1C 相切于第二象限的点P ，与2C 交于A ，B 两点，且7||||3PA PB =g ，求直线l 的倾斜角．[选修4-5：不等式选讲]（10分）23．已知函数()|||2|f x x a x b =-++，a ，b R ∈． （1）若a l =，1b =-，求不等式()5f x …的解集； （2）若0ab >，且()f x 的最小值为2，求21||a b+的最小值．2020年福建省高考数学模拟试卷（理科）（3月份）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合{|1)A x x =…，{|(4)(2)0)B x x x =-+…，则()(R A B =U ð ) A ．{|21)x x -剟B ．{|4)x l x 剟C ．{|2)x x l -<<D ．{|4)x x <【解答】解：集合{|1)A x x =…，{|(4)(2)0){|2B x x x x x =-+=-厔或4}x …， 则{||2A B x x x =-U „或1}x …， 则(){|21}R A B x x =-<<U ð， 故选：C ．2．（5分）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若44a =，13104S =，则10(a = ) A ．10B ．12C ．16D ．20【解答】解：Q 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ， 44a =，13104S =，∴11341312131042a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩， 解得10a =，43d =， 10409123a ∴=+⨯=． 故选：B ．3．（5分）设x ，y 满足约束条件02010x y x y y -⎧⎪-⎨⎪-⎩…„„，则2z x y =+的最大值是( )A ．0B ．3C ．4D ．5【解答】解：作出x ，y 满足约束条件表示的平面区域，得到如图阴影部分及其内部，其中(2A，1 )，(1,1)B，O为坐标原点设(,)2z F x y x y==+，将直线:2l z x y=+进行平移，当l经过点A时，目标函数z达到最大值( z F ∴=最大值2，1)2215=⨯+=．故选：D．4．（5分）5(21)(2)x x-+的展开式中，3x的系数是()A．200B．120C．80D．40【解答】解：由于55432(21)(2)(21)(1040808032)x x x x x x x x-+=-+++++，∴含3x项的系数为28040120⨯-=，故选：B．5．（5分）某市为了解居民用水情况，通过抽样得到部分家庭月均用水量的数据，制得频率分布直方图（如图）．若以频率代替概率，从该市随机抽取5个家庭，则月均用水量在812-吨的家庭个数X的数学期望是()A．3.6B．3C．1.6D．1.5【解答】解：由频率分布直方图知，月均用水量在812-吨的频率为(0.160.14)20.6+⨯=； 以样本频率作为概率，从该市居民中任选5家，月均用水量在812-吨的家庭个数为随机变量X ，则~(5,0.6)X B ，所以X 的数学期望为()50.63E X =⨯=． 故选：B ．6．（5分）在ABC ∆中，2DC BD =u u u r u u u r，且E 为AC 的中点，则(DE =u u u r ) A ．2136AB AC -+u u u r u u u r B ．2136AB AC --u u u r u u u r C ．1136AB AC --u u u r u u u r D ．2536AB AC +u u ur u u u r【解答】解：111()223DE DA AE AC DB BA AC AB AC AB =+=++=+--u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r1263AC AB =-u u ur u u u r ， 故选：A ．7．（5分）若双曲线上存在四点，使得以这四点为顶点的四边形是菱形，则该双曲线的离心率的取值范围是( ) A ．2)B ．3)C ．(2，)+∞D ．(3)+∞【解答】解：不妨设该双曲线方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，由双曲线的对称性质可知，该四边形为正方形，所以直线y x =与双曲线有交点， 所以其渐近线与x 轴的夹角大于45︒，即1ba>． 离心率21()2be a=+>所以该双曲线的离心率的取值范围是(2，)+∞． 故选：C ．8．（5分）某学生到工厂实践，欲将一个底面半径为2，高为3的实心圆锥体工件切割成一个圆柱体，并使圆柱体的一个底面落在圆锥体的底面内，若不考虑损耗，则得到的圆柱体的最大体积是()A．169πB．89πC．1627πD．827π【解答】解：设圆柱的半径为r，高为x，体积为V，则由题意可得323r x-=，332x r∴=-，∴圆柱的体积为23()(3)(02)2V r r r rπ=-<<，则33333163331616442()(3)()9442939r r rV r r r rπππ++-=-=g g g g…．当且仅当33342r r=-，即43r=时等号成立．∴圆柱的最大体积为169π，故选：A．9．（5分）已知()f x是定义在R上的偶函数，其图象关于点(1,0)对称．以下关于()f x的结论：①()f x是周期函数；②()f x满足()(4)f x f x=-；③()f x在(0,2)单调递减；④()cos2xf xπ=是满足条件的一个函数，其中正确结论的个数是()A．4B．3C．2D．1【解答】解：对于①：()()f x f x-=Q，其图象关于点(1,0)对称(2)()f x f x+=-所以(4)(2)()f x f x f x+=-+=，∴函数()f x是周期函数且其周期为4．①对．对于②：由①知，对于任意的x R∈，都有()f x满足()(4)f x f x-=-；函数是偶函数，即()(4)f x f x =-； ∴②对．对于③：反例：令函数22,[1,1)()(2),[1,3)x x f x x x ⎧-∈-=⎨-∈⎩满足函数偶函数的图象，关于y 轴对称，图象关于点(1,0)对称．函数的周期为4，但是()f x 在(0,2)上不是单调函数，故③不正确．对于④：()cos 2xf x π=是满足条件的一个函数，∴④对．故选：B ．10．（5分）设抛物线2:6E y x =的弦AB 过焦点F ，||3||AF BF =，过A ，B 分别作E 的准线的垂线，垂足分别是A '，B '，则四边形AA B B ''的面积等于( ) A ．43B ．3C ．163D ．323【解答】解：由抛物线的方程 可得焦点3(2F ，0)，准线方程：32x =-，由题意可得直线AB 的斜率存在且不为0，设直线AB 的方程为：32x my =+，1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，联立直线与抛物线的方程：2326x my y x ⎧=+⎪⎨⎪=⎩，整理可得：2690y my --=，所以126y y m +=，129y y =-，21212()363x x m y y m +=++=+，因为||3||AF BF =，所以3AF FB =u u u r u u u r ，即13(2x -，123)3(2y x -=-，2)y 所以可得：123y y =-，所以可得：2222639y m y -=⎧⎨-=-⎩即213m =，由抛物线的性质可得：21233166668223AA BB AB x x m ''+==+++=+=+=g ， 221212121||()436363636433y y y y y y m -=+-=+=+=g ，由题意开始四边形AA B B ''为直角梯形，所以1211()||84316322AA B B S AA BB y y ''''=+-==g g g ，故选：C ．11．（5分）上世纪末河南出土的以鹤的尺骨（翅骨）制成的“骨笛”（图1)，充分展示了我国古代高超的音律艺术及先进的数学水平，也印证了我国古代音律与历法的密切联系．图2为骨笛测量春（秋)分”，“夏（冬)至”的示意图．图3是某骨笛的部分测量数据（骨笛的弯曲忽略不计），夏至（或冬至）日光（当日正午太阳光线）与春秋分日光（当日正午太阳光线）的夹角等于黄赤交角．由历法理论知，黄赤交角近1万年持续减小，其正切值及对应的年代如表： 黄赤交角 2341︒'2357︒'2413︒'2428︒'2444︒'正切值0.4390.4440.4500.4550.461年代公元元年公元前2000年公元前4000年公元前6000年公元前8000年根据以上信息，通过计算黄赤交角，可估计该骨笛的大致年代是()A．公元前2000年到公元元年B．公元前4000年到公元前2000年C．公元前6000年到公元前4000年D．早于公元前6000年【解答】解：由题意，可设冬至日光与垂直线夹角为α，春秋分日光与垂直线夹角为β，则αβ-即为冬至日光与春秋分日光的夹角，即黄赤交角，将图3近似画出如下平面几何图形：则16tan 1.610α==，169.4tan0.6610β-==，tan tan 1.60.66tan()0.4571tan tan1 1.60.66αβαβαβ---==≈++⨯g．0.4550.4570.461<<Q，∴估计该骨笛的大致年代早于公元前6000年．故选：D．12．（5分）在满足04i ix y<<…，i iy xi ix y=的实数对(ix，)(iy i l=，2，⋯，n，)⋯中，使得123n l nx x x x-++⋯+<成立的正整数n的最大值为()A．5B．6C．7D．9【解答】解：i iy xi ix y=Q，i i i iy lnx x lny∴=，即i ii ilnx lnyx y=，不妨设i ii ilnx lnytx y==，令(),(0,4]lnxf x xx=∈，则函数()y f x=的图象与直线y t=有两个不同的交点，Q2211()x lnxlnxxf xx x--'==g，∴当0x e<<时，()0f x'>，()f x单调递增，当(x e∈，4]时，()0f x'<，()f x单调递减，又2424ln ln =，故24(1i i x e y i <<=剟，2，⋯⋯，n ，)⋯⋯， ()2i min x ∴=，1212(1)n x x x n -∴++⋯⋯+-…，又n x e <且()n max x e →，故33n x e <且(3)3n max x e →， 要使得123n l n x x x x -++⋯+<成立，则2(1)3n e -<， ∴31 5.0652en <+≈， 5max n ∴=．故选：A ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）复数z 的共轭复数z 满足(2)|34|i z i +=+，则z = 2i + ． 【解答】解：由(2)|34|5i z i +=+=， 得55(2)22(2)(2)i z i i i i -===-++-， 则2z i =+． 故答案为：2i +．14．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某四棱锥的三视图，则该四棱锥的外接球的表面积等于 9π ．【解答】解：根据几何体的三视图转换为几何体为：如图所示：设外接球的半径为r，则：2222(2)1229r=++=，解得29 4r=，所以外接球的表面积为9494Sππ=⨯=．故答案为：9π．15．（5分）2020年初，我国突发新冠肺炎疫情．面对“突发灾难”，举国上下一心，继解放军医疗队于除夕夜飞抵武汉，各省医疗队也陆续增援，纷纷投身疫情防控与病人救治之中，为分担“逆行者”的后顾之忧，某大学学生志愿者团队开展“爱心辅学”活动，为抗疫前线工作者子女在线辅导功课．现随机安排甲、乙、丙3名志愿者为某学生辅导数学、物理、化学、生物4门学科，每名志愿者至少辅导1门学科，每门学科由1名志愿者辅导，则数学学科恰好由甲辅导的概率为13．【解答】解：根据题意，要求甲、乙、丙3名志愿者每名志愿者至少辅导1门学科，每门学科由1名志愿者辅导，则必有1人辅导2门学科；则有23436636C A=⨯=种情况，若甲辅导数学，有2212323212C A C A+=种情况，则数学学科恰好由甲辅导的概率为13，故答案为：13．16．（5分）数列{}n a 满足2123492(1)n a a a n a n n +++⋯+=+．记不超过x 的最大整数为[]x ，如[0.9]0=，[0.9]1-=-．设2[log ]n n b a =，数列{}n b 的前n 项和为n S ，若0n S <，则n 的最小值为 8 ．【解答】解：依题意，由2123492(1)n a a a n a n n +++⋯+=+，可得 2123149(1)2(1)n a a a n a n n -+++⋯+-=-，两式相减，可得22(1)2(1)4n n a n n n n n =+--=，4n a n∴=，*n N ∈． 2222,11,24[log ][log ][2log ]0,3,41,5,6,7,8n n n n b a n n n n =⎧⎪=⎪∴===-=⎨=⎪⎪-=⎩， ∴若0n S <，则n 的最小值为8．故答案为：8．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）已知ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2222c a b ab +-=． （1）若sin C =，求B ； （2）若D 为AC 中点，且BD BC =．求a b． 【解答】解：（1）ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2222c a b ab +-=． 整理得2222cos 2c a b ac B ab +-==， 所以cos c B b =，利用余弦定理得：sin cos sin C B B =，整理得：sin tan C B ==，由于0B π<<， 所以6B π=．（2）如图所示：由于BD BC a ==，12AD DC b ==，利用余弦定理：222222cos 22BC AC AB BC DC BD C BC AC BC DC+-+-==g g g g ， 整理得：222222141222a b a a b c ab a b +-+-=⨯，所以222102a b c +-=，由于2222c a b ab +-=．所以两式相加得：221222a b ab -=，整理得22(2)2a b b -=，由于0a >，0b >，利用三角形的三边关系， 整理得a a b +>，即20a b ->， 所以22a b b -=， 解得：12a b +=． 18．（12分）如图1，在矩形ABCD 中，2AB =，3BC =，点E 在线段BC 上，2BE EC =．把BAE ∆沿AE 翻折至△1B AE 的位置，1B ∉平面AECD ，连结1B D ，点F 在线段1DB 上，12DF FB =，如图2．（1）证明：//CF 平面1B AE ；（2）当三棱锥1B ADE -的体积最大时，求二面角1B DE C --的余弦值．【解答】（1）证明：如图所示，在线段1AB 上取点M ，使得12AM MB =，连接EM ，MF ．又12DF FB =，则//MF AD ，13MF AD =，而//EC AD ，13EC AD =， //ME EC =∴．∴四边形MECF 为平行四边形，//FC ME ∴，FC ⊂/平面1B AE ；ME ⊂平面1B AE ． //CF ∴平面1B AE ．（2）解：当平面1B AE ⊥平面AECD 时，三棱锥1B ADE -的体积最大． 取AE 的中点O ，在AD 上取点N ，使得2AN ND =，连接ON ，则ON AE ⊥．连接1B O ，则1B O ，ON ，AE 两两相互垂直，建立空间直角坐标系．(0O ，0，0)，1(0B ，02)，(2E 0，0)，32(2C ，22，0)，2(2D ，322，0)， 1(2EB =u u u r 02)，2(ED =u u u r 320)，设平面1B ED 的法向量为(n x =r，y ，)z ，则10n EB n ED ==u u u r u u u r r r g g ，则220x z -+=，2320x y =， 取(3n =r，1，3)． 取平面CDE 的法向量(0m =r，0，1)，cos m <r，19n >=r ． 由二面角1B DE C --的平面角为钝角． ∴二面角1B DE C --的余弦值为319．19．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的焦距为31:4l x =与x 轴的交点为G ，过点(,0)M l 且不与x 轴重合的直线2l 交E 于点A ，B ．当2l 垂直x 轴时，ABG ∆的面33． （1）求E 的方程；（2）若1AC l ⊥，垂足为C ，直线BC 交x 轴于点D ，证明：||||MD DG =． 【解答】解：（1）由焦距为3223c =3c =，即2223a b c -==，①由题意可得(4,0)G ，1333||||||22AB MG AB ==g ， 可得||3AB =3在椭圆上，可得221314a b+=，② 由①②解得2a =，1b =，则椭圆的方程为2214x y +=；（2）证明：过点(,0)M l 且不与x 轴重合的直线2l 的方程为1x my =+， 联立椭圆方程2244x y +=，可得22(4)230m y my ++-=， 设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，1(4,)C y ，则12224m y y m +=-+，12234y y m =-+， 可得直线BC 的方程为2112(4)4y y y x y x -=-+-， 令0y =，可得121221121211221212121(4)(3)443444y x y my y y my y y y y my y x y y y y y y y y ----+--=-=-==----，由21121212212143()252y y my y y y my y y y y y --+--=--，121222663()2044m m y y my y m m +-=-+=++，可得5(2D ，0)， 则||||MD DG =．20．（12分）为贯彻落实党中央全面建设小康社会的战略部署，某贫困地区的广大党员干部深入农村积极开展“精准扶贫”工作，经过多年的精心帮扶，截至2018年底，按照农村家庭人均年纯收入8000元的小康标准，该地区仅剩部分家庭尚未实现小康．2019年7月，为估计该地能否在2020年全面实现小康，统计了该地当时最贫困的一个家庭2019年1至6月的人均月纯收入，作出散点图如图：根据相关性分析，发现其家庭人均月纯收人y 与时间代码x 之间具有较强的线性相关关系（记2019年1月、2月⋯⋯分别为x l =，2x =，⋯，依此类推），由此估计该家庭2020年能实现小康生活，但2020年1月突如其来的新冠肺炎疫情影响了奔小康的进展，该家庭2020年第一季度每月的人均月纯收入均只有2019年12月的预估值的23． （1）求该家庭2020年3月份的人均月纯收入；（2）如果以该家庭3月份人均月纯收入为基数，以后每月的增长率为a ，为使该家庭2020年能实现小康生活，a 至少应为多少？（结果保留两位小数）参考数据：619310i i i x y ==∑，68610xy =2454120462.81+⨯⨯，101.15 4.05≈．参考公式：线性回归方程ˆˆˆy bx a =+中，121()()ˆ()niii nii x x yy bx x ==--=-∑∑，ˆˆa y bx =-．12233(1)1(10,||0.15)n n n na C a C a C a n a +≈+++<…． 【解答】解：（1）Q 1234563.56x +++++==，619310i i i x y ==∑，68610xy =，∴6162221693108610ˆ40916356i ii ii x yxybxx ==--===-⨯-∑∑g ，ˆˆ41040 3.5270a y bx =-=-⨯=． y ∴关于x 的线性回归方程为40270y x =+．取12x =，得ˆ750y=，∴该家庭2020年3月份的人均月纯收入为27505003⨯=元； （2）由题意，291000500500(1)500(1)500(1)8000a a a ++++++⋯++…， 得10500[1(1)]7000a a-+-…，其中1023(1)11045120a a a a +=+++， 整理得：21204540a a +-…．由不等式对应方程的根a = 得0.45a -„（舍)或0.07a …．a ∴至少应为0.07．21．（12分）已知函数()()x f x ln ax a=-． （1）求()f x 的极值； （2）若x e lnx 十2(1)0x mx e x m +-+„，求正实数m 的取值范围．【解答】解：（1）11()x a f x a x ax-'=-=， 当0a >时，0x >，当(0,)x a ∈时，()0f x '<，()f x 递减；当(,)x a ∈+∞时，()0f x '>，()f x 递增；故()f x 由极小值f （a ）12lna =-；当0a <时，0x <，当(,)x a ∈-∞时，()0f x '<，()f x 递减；当(,)x a ∈+∞时，()0f x '>，()f x 递增；故()f x 由极小值f （a ）12()ln a =--；（2）根据题意，x e lnx 十2(1)0x mx e x m +-+„，0x >，x e lnx 十2(1)(1)0x m x e x ++-„， 分离参数2(1)1x x e lnx e x m x +---„， 由（1），当1a =时，1x lnx -…，即1lnx x -„， 故222(1)(1)111x x x x x e lnx e x e x x xe e x x x x +--+--=--++…， 令2()1x e x g x x -=+，22(1)[(1)1]()(1)x x e x x g x x --++'=+， 对于(1)1x y x e x =-++，10x y xe '=+>，故y 在(0．)+∞上递增，又(0)0y =，故0y >，所以当(0,1)x ∈时，()g x 递减，当(1,)x ∈+∞时，()g x 递增，故()g x 的最小值为g （1）12e -=， 故102e m -<…． （二）选考题：共10分．请考生在第22、23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos (sin x y ααα=⎧⎨=⎩为参数）．以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为22123sin ρθ=+． （1）求l C 的普通方程和2C 的直角坐标方程； （2）若直线l 与1C 相切于第二象限的点P ，与2C 交于A ，B 两点，且7||||3PA PB =g ，求直线l 的倾斜角． 【解答】解：（1）曲线1C 的参数方程为cos (sin x y ααα=⎧⎨=⎩为参数）．转换为直角坐标方程为221x y +=．曲线2C 的极坐标方程为22123sin ρθ=+．转换为直角坐标方程为22143x y +=． （2）由于过点P 的直线与圆相切，如图所示：设直线的倾斜角为θ，所以2POx πθ∠=+，所以(cos(),sin())22P ππθθ++，即(sin ,cos )P θθ-．所以直线l 得参数方程为sin cos (cos sin x t t y t θθθθ=-+⎧⎨=+⎩为参数）， 把直线的参数方程代入椭圆的方程得到：22(cos sin )(cos sin )143t t θθθθ-++=， 整理得：222(3sin )2sin cos cos 90t t θθθθ+++-=． 所以1222sin cos 3sin t t θθθ+=+，2122cos 93sin t t θθ-=+， 所以2122cos 97||||||||3sin 3PA PB t t θθ-===+g ， 解得：1cos 2θ=±（负值舍去）， 所以3πθ=．即直线l 的倾斜角为3π． [选修4-5：不等式选讲]（10分）23．已知函数()|||2|f x x a x b =-++，a ，b R ∈．（1）若a l =，1b =-，求不等式()5f x „的解集；（2）若0ab >，且()f x 的最小值为2，求21||a b+的最小值． 【解答】解：（1）1a =，1b =-时，321()|1||2|112232x x f x x x x x x -⎧⎪=-+-=<<⎨⎪-⎩„…， 1x ∴„时，由325x -„得，11x -剟；12x <<时，15„恒成立，12x ∴<<；2x …时，由235x -„得，24x 剟，∴综上得，不等式()5f x „的解集为[1-，4]；（2）()|||2||2|f x x a x b a b =-+++…，且()f x 的最小值为2， |2|2a b ∴+=，0ab >Q ，∴①0a >，0b >时，22a b +=，∴2121121141||()(2)(22)(44222b a a b a b a b a b a b +=+=++=++++=…，当且仅当4b a a b=，即21a b ==时取等号；②0a <，0b <时，22a b +=-，且40,0b a a b >>，∴2121121141||()()(2)(22)(44222b a a b a b a b a b a b +=-+=++=++++=…，当且仅当4b a a b=，即21a b ==-时取等号， 综上得，21||a b+的最小值为4．。

福州市2020届高三毕业班适应性练习卷理科数学试题（完卷时间120分钟；满分150分）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页． 注意事项：1. 答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的班级、座号、姓名．2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．第Ⅱ卷用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答．在试题卷上作答，答案无效． 3. 考试结束，考生必须将答题卡交回．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 在复平面内，复数z 对应的点与1i +对应的点关于实轴对称，则iz = A ．i 1--B ．i 1-+C ．1i +D ．1i -2. 已知集合(){},|20A x y x y =+=，(){},|10B x y x my =++=．若A B =∅，则实数m =A ．2-B ．12-C ．12D ．23. 已知两个单位向量12,e e ，若()1212-⊥e e e ，则12,e e 的夹角为A ．2π3B ．π3C ．π4D ．π64. 一组数据的平均数为m ，方差为n ，将这组数据的每个数都乘以()0a a >得到一组新数据，则下列说法正确的是 A ．这组新数据的平均数为m B ．这组新数据的平均数为a m +C ．这组新数据的方差为anD ．这组新数据的标准差为5. 已知平面α平面β，直线,l mααβ，则“m l ”是“m β”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6. 若)331231log e,e ,a b c -⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则A ．a b c >>B ．c a b >>C ．a c b >>D ．c b a >>7. 若tan 3cos()2αα⎛⎫-=-π ⎪⎝⎭π，则cos2α=A ．1-B ．79C ．0或79D ．1-或798. 抛物线2:2C y x =的焦点为F ，点P 为C 上的动点，点M 为C 的准线上的动点，当FPM △为等边三角形时，其周长为 A ．2B ．2C ．32D ．69. 在同一平面直角坐标系中，画出三个函数()sin 2cos2,f x x x =+5()sin 2g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭π，()co 7sh x x ⎛⎫=- ⎝π⎪⎭的部分图象如图所示，则A.a 为(),f x b 为(),g x c 为()h xB.a 为(),h x b 为(),f x c 为()g xC.a 为(),g x b 为(),f x c 为()h xD.a 为(),h x b 为(),g x c 为()f x10. 射线测厚技术原理公式为0e t I I ρμ-=，其中0I I ，分别为射线穿过被测物前后的强度，e 是自然对数的底数，t 为被测物厚度，ρ为被测物的密度，μ是被测物对射线的吸收系数．工业上通常用镅241（241Am ）低能γ射线测量钢板的厚度.若这种射线对钢板的半价层厚度为0.8，钢的密度为7.6，则这种射线的吸收系数为（注：半价层厚度是指将已知射线强度减弱为一半的某种物质厚度，ln20.6931≈，结果精确到0.001） A ．0.110B ．0.112C ．0.114D ．0.11611. 已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的一条渐近线方程为20x y -=，,A B 是C 上关于原点对称的两点，M 是C 上异于,A B 的动点，直线,MA MB 的斜率分别为12,k k ，若112k ，则2k 的取值范围为A ．11,84⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．11,48⎡⎤--⎢⎥⎣⎦D ．11,24⎡⎤--⎢⎥⎣⎦12. 在三棱锥P ABC -中，PA ⊥底面ABC ，,6,8AB AC AB AC ⊥==，D 是线段AC 上一点，且3AD DC =．三棱锥P ABC -的各个顶点都在球O 表面上，过点D 作球O 的截面，若所得截面圆的面积的最大值与最小值之差为16π，则球O 的表面积为A ．72πB ．86πC ．112πD ．128π第Ⅱ卷注意事项：用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答．在试题卷上作答，答案无效． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13. 曲线()sin f x x x =在点(),0π处的切线方程为________． 14. 勒洛三角形是具有类似圆的“定宽性”的曲线，它是由德国机械工程专家、机构运动学家勒洛首先发现，其作法是：以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形．如图中的两个勒洛三角形，它们所对应的等边三角形的边长比为1:3，若从大的勒洛三角形中随机取一点，则此点取自小勒洛三角形内的概率为______．15. 已知ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ．若()cos sin cos cos ,A C CB -=2,a c =C 大小为_____．16. 已知函数()1f x +是定义在R 上的偶函数．[)12,1,x x ∀∈+∞，且12x x ≠，都有()()()12210x x f x f x --<⎡⎤⎣⎦,则不等式()()1215x f f +-+<的解集为________．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分． 17. （本小题满分12分）已知数列{}n a 满足12a =，()()1121n n na n a n n +-+=+，设nn a b n=． （1）求数列{}n b 的通项公式；（2）若2n b n c n =-，求数列{}n c 的前n 项和．为抗击新型冠状病毒，普及防护知识，某校开展了“疫情防护”网络知识竞赛活动.现从参加该活动的学生中随机抽取了100名学生，将他们的比赛成绩（满分为100分）分为6组：40,50[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,[),100]，得到如图所示的频率分布直方图．（1）求a 的值，并估计这100名学生的平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（2）在抽取的100名学生中，规定：比赛成绩不低于80分为“优秀”，比赛成绩低于80分为“非优秀”．请将下面的2×2列联表补充完整，并判断是否有99%的把握认为“比赛成绩是否优秀与性别有关”？优秀 非优秀 合计 男生 40 女生 50 合计100参考公式及数据：2(),()()()()n ad bc K n a b c d a b c d a c b d -==+++++++.()20P K k0.05 0.01 0.005 0.001 0k3.8416.6357.87910.82819. （本小题满分12分）在底面为菱形的四棱柱1111ABCD A B C D -中，111,60,2,A B A D BAD AB AA =∠==︒=,A CO A BD O =⊥平面1A BD .（1）证明：1B C ∥平面1A BD ； （2）求二面角1B AA D --的正弦值.ODCC 1B 1A 1D 1已知椭圆2222:1x y C a b +=(0a b ＞＞)C 的短轴为直径的圆与直线:3450l x y +-=相切．（1）求C 的方程；（2）直线y x m =+交C 于()11,M x y ，()22,N x y 两点，且12x x >．已知l 上存在点P ，使得PMN △是以PMN ∠为顶角的等腰直角三角形，若P 在直线MN 的右下方，求m 的值．21. （本小题满分12分）已知函数()()e 4ln,,2x x a f x ax g x x-=-=（1）求函数()f x 的极值点；（2）当0a >时,当函数()()()h x f x g x =-恰有三个不同的零点,求实数a 的取值范围.（二）选考题：共10分．请考生在第22，23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一个题目计分，作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑． 22. （本小题满分10分）选修44-：坐标系与参数方程已知直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为3,x t y t =-+⎧⎨=⎩（t 为参数）．以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为212cos ρρθ=+．（1）写出1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；（2）设点P 为2C 上的任意一点，求P 到1C 距离的取值范围．23. （本小题满分10分）选修45-：不等式选讲已知0,0,0a b c ＞＞＞，且2a b c ++=． （1）求2a b c ++的取值范围； （2）求证：14918a b c++≥．。

福州市2020届高三毕业班适应性练习卷数学(理科)详细解答及评分细则评分说明：1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则。

2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。

3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。

4．只给整数分数。

选择题和填空题不给中间分。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 在复平面内，复数z 对应的点与1i +对应的点关于实轴对称，则iz = A ．i 1--B ．i 1-+C ．1i +D ．1i -【命题意图】本题主要考查复数的概念、运算及其几何意义等基础知识，意在考查直观想象、数学运算的数学核心素养． 【答案】A ．【解析】由题得1i z =-,所以1i i i 11i 1i z +==---=-.故选A. 2. 已知集合(){},|20A x y x y =+=，(){},|10B x y x my =++=．若A B =∅I ，则实数m =A ．2-B ．12-C ．12D ．2【命题意图】本题主要考查集合的概念与运算、解方程等基础知识，意在考查逻辑推理、数学运算等数学核心素养． 【答案】C ．【解析】因为A B =∅I ，所以直线20x y +=与直线10x my ++=平行，所以12m =.故选C.3. 已知两个单位向量12,e e ，若()1212-⊥e e e ，则12,e e 的夹角为A ．2π3B ．π3C ．π4D ．π6【命题意图】本题主要考查平面向量的概念及运算等基础知识，意在考查逻辑推理，数学运算，直观想象的数学核心素养． 【答案】B ．【解析】因为()1212-⊥e e e ，所以()12120-⋅=e e e ，所以11222=⋅e e e ，所以12cos ,=e e 12，又因为[]12,0,∈πe e ，所以12,π3=e e ，故选B. 4. 一组数据的平均数为m ，方差为n ，将这组数据的每个数都乘以()0a a >得到一组新数据，则下列说法正确的是 A ．这组新数据的平均数为mB ．这组新数据的平均数为a m +。

福建省2020届高三考前冲刺适应性模拟卷（三）数学（理）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{}{}||12A x x a B x x =<=<<，，且()A B ⋃=R R ，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1a ≤B ．1a <C ．2a ≥D ．2a >2．复数z i =-（i 为虚数单位），则复数z 的共轭复数为（ ） A ．2i -B ．2i +C ．4i -D ．4i + 3．121(3sin )x x dx --⎰等于（ ）A ．0B ．2sin1C ．2cos1D ．24．已知函数()f x 的定义域为[0，2]，则()()21f x g x x =-的定义域为（） A ．[)(]0,11,2 B ．[)(]0,11,4 C ．[)0,1 D ．(]1,4 5．数列{}n a 的前n 项和为2*23()n S n n n N =-∈，若5p q -=，则p q a a -=（ ）A ．20B ．15C ．10D ．-56．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．83πB ．103πC ．6πD ．3π7．在区间[1,1]-上随机取一个数k ，使直线(3)y k x =+与圆221x y +=相交的概率为（ ）A ．12B ．13C ．4D ．38． 向量a ，b ，c 满足0a b c ++=，a b ⊥，()a b c -⊥，||||||||||||a b c M b c a =++，则M =（ ）A ．3B ．C ．2+D ．19．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为,E F 分别为,BC CD 的中点，P 是线段1A B 上的动点，1C P 与平面1D EF 的交点Q 的轨迹长为（ ）A ．3B C ．4 D ．10．已知曲线x x y e=在1x x =处的切线为1l ，曲线ln y x =在2x x =处的切线为2l ，且12l l ⊥，则21x x -的取值范围是（ ）A ．10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．(),1-∞- C ．,0 D ．1,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭11．某化工厂在定期检修设备时发现生产管道中共有5处阀门（A E -）发生有害气体泄漏.每处阀门在每小时内有害气体的泄露量大体相等，约为0.01立方米.阀门的修复工作可在不停产的情况下实施.由于各阀门所处的位置不同，因此修复所需的时间不同，且修复时必须遵从一定的顺序关系，具体情况如下表：在只有一个阀门修复设备的情况下，合理安排修复顺序，泄露的有害气体总量最小为（ ）A ．1.14立方米B ．1.07立方米C ．1.04立方米D ．0.39立方米 12．设()0,1,2,,2020i a i =是常数，对于x R ∀∈，都有()()()()()()20200122020112122020x a a x a x x a x x x =+-+--++---，则012345201920202!3!4!2018!2019!a a a a a a a a -+-+-+-+-=（ ） A ．2019B ．2020C ．2019！D ．2020！二、填空题 13．cos15cos45cos75cos45=︒︒-︒︒_________.14．寒假里5名同学结伴乘动车外出旅游，实名制购票，每人一座，恰在同一排,,,,A B C D E 五个座位（一排共五个座位），上车后五人在这五个座位上随意坐，则恰有一人坐对与自己车票相符座位的坐法有__________种.15．如图，将地球近似看作球体.设地球表面某地正午太阳高度角为θ，δ为此时太阳直射纬度（当地夏半年取正值，冬半年取负值），ϕ为该地的纬度值.已知太阳每年直射范围在南北回归线之间，即2326,2326δ''⎡⎤∈-⎣⎦.如果在北京地区（纬度数约为北纬40）的一幢高为0h 的楼房北面盖一新楼，要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡，两楼的距离不应小于_________.（只需列出式子）三、双空题16．已知椭圆22:143x y C +=的焦点是12,F F ，,A B 是C 上（不在长轴上）的两点，且1//2F A F B .M 为1F B 与2F A 的交点，则M 的轨迹所在的曲线是______；离心率为_____.四、解答题17．已知数列{}n a ，{}n b 满足112a =，()11n n n a a a +=+，11n nb a =+，{}n b 的前n 项和为n S ，前n 项积为n T .（1）证明：2n n S T +是定值；（2）试比较n S 与n T 的大小.18．已知圆()()222:10C x y r r +-=>，设A 为圆C 与y 轴负半轴的交点，过点A 作圆C 的弦AM ，并使弦AM 的中点恰好落在x 轴上.（1）求点M 的轨迹E 的方程；（2）延长MO 交直线1y =-于点P ，延长MC 交曲线E 于点N ，曲线E 在点N 处的切线与y 轴交于点Q .求证：//MN QP .19．如图，组合体由半个圆锥S O -和一个三棱锥S ACD -构成，其中O 是圆锥S O -底面圆心，B 是圆弧AC 上一点，满足BOC ∠是锐角，2===AC CD DA .（1）在平面SAB 内过点B 作//BP 平面SCD 交SA 于点P ，并写出作图步骤，但不要求证明；（2）在（1）中，若P 是SA 中点，且SO =BP 与平面SAD 所成角的正弦值.20．已知6名某疾病病毒密切接触者中有1名感染病毒，其余5名健康，需要通过化验血液来确定感染者.血液化验结果呈阳性的即为感染者，呈阴性即为健康.（1）若从这6名密切接触者中随机抽取3名，求抽到感染者的概率；（2）血液化验确定感染者的方法有：①逐一化验；②分组混合化验：先将血液分成若干组，对组内血液混合化验，若化验结果呈阴性，则该组血液不含病毒；若化验结果呈阳性，则对该组的备份血液逐一化验，直至确定感染者.（i ）采取逐一化验，求所需检验次数ξ的数学期望；（ii ）采取平均分组混合化验（每组血液份数相同），依据所需化验总次数的期望，选择合理的平均分组方案. 21．已知函数()ln f x e x ax =-，()22x g x x =-. （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若存在直线()y h x =，使得对任意的()0,x ∈+∞，()()h x f x ≥，对任意的x ∈R ，()()g x h x ≥，求a 的取值范围.22．在直角坐标系xoy 中，曲线1C的参数方程为1,2x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以原点O为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为22123sin ρθ=+. （1）求曲线1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；（2）已知()1,0F -，曲线1C 与2C 的交点为,A B ，求AF BF -的值.23．已知()|1||2|.f x x a x =-+-（1）若2a =，求()f x 的最小值；（2）若()1f x ≥-，求实数a 的取值范围.参考答案1．C【解析】{}|1,2R C B x x x =<≥或.{}{}()||1,22R A C B x x a x x x R a ⋃=<⋃<≥=⇔≥或.故选C2．B【解析】试题分析：由题2z i i =-=-，则复数z 的共轭复数为2i +，选B 考点：复数的运算，共轭复数3．D【解析】()()()()()21cos 11cos 1|cos sin 3111132=-+--+=+=-⎰--x x dx x x ，故答案为D. 考点：定积分的计算.4．C【分析】根据()f x 的定义域，计算()2f x 定义域，再考虑分母不为0，计算得到答案.【详解】函数()f x 的定义域是[0，2]，要使函数()()21f xg x x =-有意义,需使()2f x 有意义且10x -≠ .所以10022x x -≠⎧⎨≤≤⎩解得01x ≤< 故答案为C【点睛】本题考查了函数定义域，属于简单题.5．A【解析】试题分析：当2n ≥时，2211123213345,1n n n a S S n n n n n a S -=-=---+-=-==-（）适合上式，所以45n a n =-，所以4p q a a p q -=-（），因为5p q -=，所以20p q a a -=，选A考点：等差数列的性质6．D【详解】解：该几何体是一个底面半径为1、高为4的圆柱被一个平面分割成两部分中的一个部分，故其体积为221141232V πππ=⨯⨯-⨯⨯⨯= . 本题选择D 选项.7．C【分析】由题意结合直线与圆的位置关系可得44k -<<，再由几何概型概率公式即可得解. 【详解】由题意圆221x y +=的圆心(0,0)，半径1r =，由直线与圆相交可得直线(3)y k x =+与圆心的距离1d =<，解得44k -<<，故所求概率为()21124P ⎛ ⎝⎭===--. 故选：C.【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系的应用及几何概型概率的求解，考查了转化化归思想与运算求解能力，属于基础题.8．D【分析】 根据向量运算法则得到a b =，2c a =，代入计算得到答案.【详解】0a b c ++=，故a b c +=-，()a b c -⊥，故()()()220a b c a b a b b a -⋅=--⋅+=-=， 故a b =，()2222222c a ba b a b a =+=++⋅=，故2c a =，||||||211||||||a b c M b c a =++=++. 故选：D.【点睛】本题考查了向量运算，向量的模，意在考查学生的计算能力和应用能力.9．B【分析】作图分析，由P 是线段1A B 上的动点，当P 合于1A 或B 时，找到11C A ，1C B 与平面1D EF 的交点分别为,M N ，即Q 的轨迹为MN ，再求出MN 的长度得到答案.【详解】如图所示，连接1,EF A B ，连接1111,AC B D 交于点M ，连接11,B E BC 交于点N ，由11//EF B D ，即11,,,E F B D 共面，由P 是线段1A B 上的动点，当P 合于1A 或B 时， 11C A ，1C B 与平面1D EF 的交点分别为,M N ，即Q 的轨迹为MN ，由棱长为111132C M A C ==， 则16BC =，又11112BE BN B C NC ==，则11243NCBC ==, 由1111A B BC AC ==，则1160A C B ∠=︒，则MN ===故选：B【点睛】本题以正方体为载体，考查了点线面的位置关系、余弦定理，解决本题的关键在于找到点Q 的轨迹，还考查了学生的分析推理能力，运算能力，属于中档题.10．B【分析】先求出两条切线各自的斜率，再根据它们垂直得到12,x x 的关系，将21x x -表示为1x 的函数后利用导数可求21x x -的取值范围.【详解】令()x x f x e =，()ln g x x =， 则()1x x f x e -'=，()1g x x '=，所以1111x x k e -=，221k x =， 因为12l l ⊥，故112111x x e x -⨯=-，所以1121x x x e -=， 因为20x >，故11x >. 又112111x x x x x e --=-，令()1,1x x h x x x e-=->， 则()221xx x x x e h x e e---=-='， 当()1,x ∈+∞时，2xy x e =--为减函数，故12210x x e e --<--<， 所以()0h x '<在()1,+∞上恒成立，故()h x 在()1,+∞上为减函数，所以()()11h x h <=-，又当1x >时，11111x x x x x x e e e e --⎛⎫-<-=-- ⎪⎝⎭， 所以()h x 的取值范围为(),1-∞-，故选：B.【点睛】本题考查导数的几何意义以及函数的值域的求法，注意函数图象在某点处的切线的斜率就是函数在该点横坐标处的导数，另外，求函数的值域时不仅要依据函数的单调性，而且还要考虑函数的图象有无水平的渐近线. 11．C 【分析】先确定有要求三个阀门,,B C E 的先后顺序必须是,,C B E ，要使泄露的有害气体总量最小，修复时间长的因尽量靠后，确定修复顺序为,,,,C B E D A ，然后计算每个阀门泄露有害气体的时间，计算出泄露的有害气体总量最小值. 【详解】由表知，根据需先修复好的阀门的要求，可确定,A D 顺序无要求，其中三个阀门的先后顺序必须是,,C B E ，要使泄露的有害气体总量最小，修复时间长的因尽量靠后， 故修复顺序为,,,,C B E D A ，则,,,,C B E D A 各阀门泄露有害气体的时间分别为5,13,19,28,39小时， 泄露有害气体的时间共513192839104++++=小时， 故泄露的有害气体总量最小为1040.01 1.04⨯=立方米， 故选：C 【点睛】本题是实际应用问题的最优化问题，理解题意是解决问题的关键，属于中档题. 12．A 【分析】先令1x =，求得0a 的值，再将给定的恒等式两边求关于x 的导数，然后令1x =，从而可得所求的值. 【详解】 因为()()()()()()20200122020112122020xa a x a x x a x x x =+-+--++---，则令1x =可得01a =. 又对()()()()()()20200122020112122020xa a x a x x a x x x =+-+--++---两边求导可得：()()()()()2019122020202012122020x a a x x a x x x ''=+--++---⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，令()()()()12n f x x x x n =--⨯⨯-，则()()()()()()12+2n f x x x x n x x n ''=--⨯⨯--⨯⨯-⎡⎤⎣⎦，所以()()()()()1112111!n n f n n -'=-⨯⨯-=--，所以()()()12201920191232020202011112!12019!a a a a ⨯=+⨯-⨯+⨯-⨯++⨯-故123202020202!2019!a a a a =-+--，所以012345201920202!3!4!2018!2019!202012019a a a a a a a a -+-+-+-+-=-=.故选：A. 【点睛】本题考查函数的导数以及恒等式的系数和的求法，注意根据恒等式的特征选择合适的赋值，本题属于较难题. 13．12【分析】题设中的三角函数值可转化为cos15cos45sin15sin 45︒︒-︒︒，逆用两角和的余弦可求给定的三角函数式的值. 【详解】cos15cos45cos75cos45=︒︒-︒︒1cos15cos 45sin15sin 45cos602︒︒-︒︒=︒=. 故答案为：12. 【点睛】三角函数的中的化简求值问题，我们往往从次数的差异、函数名的差异、结构的差异和角的差异去分析，处理次数差异的方法是升幂降幂法，解决函数名差异的方法是弦切互化，而结构上差异的处理则是已知公式的逆用等，最后角的差异的处理则往往是用已知的角去表示未知的角. 14．45 【分析】先选出坐对位置的人，再对剩下四人进行错排，最后利用分布计数乘法原理求结果.【详解】先选出坐对位置的人，即从5人中选1人，有5种可能；剩下四人进行错排，设四人座位为1234，，，，则四人都不坐在自己位置上有214323412413,3142,3412,3421,4123,4312,4321，，这9种可能；所以恰有一人坐对与自己车票相符座位的坐法有5945⨯=种 故答案为：45 【点睛】本题考查错排问题，考查基本分析求解能力，属基础题. 15．tan 2634h '【分析】根据题意列出不等式，再根据不等式恒成立，转化为对应函数最值问题，结合范围确定最值，即得结果.. 【详解】设两楼的距离为d ， 因为90(40)502634,7326θδδ则要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡，需满足0tan h dθ对2634,7326θ恒成立,因此0min (tan )h dθ 0tan 2634h dtan 2634h d，从而两楼的距离不应小于0tan 2634h '故答案为：0tan 2634h '【点睛】本题考查不等式恒成立问题、正切函数单调性，考查基本分析建模能力与转化求解能力，属中档题. 16．椭圆 45【分析】设()11,A x y ，()22,C x y 则()22,B x y --，设1:1AF l x my =-表示出1BF l ，2AF l联立直线1:1AF l x my =-与椭圆方程，消元列出韦达定理，代入消去m 即可得解； 【详解】解：设()11,A x y ，()22,C x y 则()22,B x y --，1AF 的斜率不为0，可设1:1AF l x my =- 则122:11BF y y l x x =+-①，211:11AF y y l x x =--② 所以()12121221212121211112224y y y y y y y y x x x x my my m y y m y y ⋅=⋅=⋅=+------++ 联立221143x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得2242303m y my ⎛⎫+--= ⎪⎝⎭，得122243m y y m +=+，122343y y m -=+ 所以222316133y x m -=--+由①②得()12122112y y x x m y y y y ++-+=-，所以35x m y =所以22231316353y x x y -=-⎛⎫-+⎪⎝⎭整理得222215344x x +=⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以M 的轨迹所在的曲线是椭圆，14554e == 故答案为：椭圆；45.【点睛】本题考查直线与椭圆的综合应用，属于中档题.17．（1）证明见解析；（2）当1n =时，n n S T =；当2n ≥时，n n S T >. 【分析】（1）将已知递推关系式化为11111n n n n b a a a +==-+，由此可求得,n n S T ，代入2n n S T +整理可得结论；（2）由（1）可得134123n n n S T a +⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，根据数列{}n a 单调递增和334a >可确定结果. 【详解】（1）证明：由()11n n n a a a +=+得：()11111=+11n n n n n a a a a a +=-+， 则11111n n n n b a a a +==-+， 12122311111111111112n n n n n n S b b b a a a a a a a a a +++∴=++⋅⋅⋅+=-+-+⋅⋅⋅+-=-=-， 121122311112n n n n n n a a a a T b b b a a a a a +++=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅==， 22n n S T ∴+=.（2）由（1）知：1111113341222223n n n n n n S T a a a a ++++⎛⎫-=--=-=- ⎪⎝⎭， 112a =，210n n n a a a +-=>，{}n a ∴单调递增. 又112a =，()211314a a a =+=，()3222131164a a a =+=>，∴当2n ≥时，134n a +>， ∴当1n =时，n n S T =；当2n ≥时，n n S T >.【点睛】本题考查数列综合应用问题，涉及到数列中的定值问题、根据数列单调性比较大小的问题；解决定值问题的关键是能够结合裂项的方法，前后相消求得前n 项和和前n 项积. 18．（1）2:40E x y x ；（2）证明见解析.【分析】（1）由A 为圆C 与y 轴负半轴的交点，可得()0,1A r -，再由弦AM 的中点恰好落在x 轴上，可得点M 的纵坐标满足102y r+-=，再由点M 在圆上即得解； （2）设()()1122:1,,,,MN y kx M x y N x y =+，分别表示直线MO ，点N 处切线方程，得到,P Q 的坐标，结合韦达定理，证明MN PQ k k =，即得解 【详解】（1）设(),M x y ，依题意A 为圆C 与y 轴负半轴的交点， 令0,1x y r ==±()0,1A r ∴-又弦AM 的中点恰好落在x 轴上，设(,)M x y 故AM 的中点坐标为1(,)22x y r +- 故102y r+-= ()222101y r x y r +-=⎧⎪∴⎨+-=⎪⎩，消r 得24x y =， 所以2:40E xy x .（2）设()()1122:1,,,,MN y kx M x y N x y =+，将1y kx =+代入24x y =得2440x kx --=，12124,4x x k x x +==-，11:y MO y x x =⋅，令1y =-得11P x x y =-，所以11,1x P y ⎛⎫-- ⎪⎝⎭， 因为2xy '=，所以点N 处的切线为()2222x y y x x -=-，即222x y x y =⋅-， 令0x =得2y y =-，所以()20,Q y -.所以PQ 的斜率222211212111114444416160x y x x x x x k k x y x --+-+'=====-- 所以//MN QP . 【点睛】本题考查了直线与抛物线综合，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算能力，属于较难题19．（1）答案见解析；（2. 【分析】（1）①延长AB 交DC 的延长线于点Q ；②连接SQ ；③过点B 作//BP QS 交SA 于点P ，可得点P.（2）若P 是SA 中点，则B 是AQ 中点，又因为CB AQ ⊥，所以CA CQ =，所以90QAD ∠=，从而30BAC ∠=.依题意，,,OS OC OD 两两垂直，分别以OC ，OD ，OS 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系,运用空间向量线面角的求解方法可得解. 【详解】（1）①延长AB 交DC 的延长线于点Q ；②连接SQ ；③过点B 作//BP QS 交SA 于点P . （2）若P 是SA 中点，则B 是AQ 中点，又因为CB AQ ⊥，所以CA CQ =，所以90QAD ∠=，从而30BAC ∠=.依题意，,,OS OC OD 两两垂直，分别以OC ，OD ，OS 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则()()(111,0,0,,,,,22A D S P B ⎛⎛⎫-- ⎪⎝⎭⎝⎭， 从而()()1,3,0,1,0,3,AD AS BP ⎛===- ⎝⎭，设平面SAD 的法向量为(),,nx y z =，则0,0,AS n AD n ⎧⋅=⎨⋅=⎩即0,0,x x ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩取x =)1,1=--n .则cos ,51n BP n BPn BP⋅====-+， 所以直线BP 与平面SAD 所成角的正弦值为5.【点睛】本题考查空间的线面平行关系，线面角的求解方法，属于中档题. 20．（1）12；（2）（i ）103；（ii ）按（2，2，2）或（3，3）分组进行化验均可. 【分析】（1）总数为36C ，抽到感染者，则从余下5名某疾病病毒密切接触者中，再抽2人，有25C ，从而求得抽到感染者的概率；（2）分别求出方案（i ）和方案（ii ）的分布列和均值，注意方案（ii ）采取平均分组混合化验，又平均分成3组和平均分成2组两种情况，再通过对比得出结论. 【详解】解：（1）从这6名密切接触者中随机抽取3名，共有36C 种，抽到感染者，则从余下5名某疾病病毒密切接触者中，再抽2人，有25C故抽到感染者的概率25361==2C P C（2）（i ）ξ的可能取值是1，2，3，4，5，且分布列如下：()10=3E ξ （ii ）首先考虑（3，3）分组，所需化验次数为η，η的可能取值是2，3，()1311=2==3P C η，()12132=3==3C P C η分布列如下：()8=3E η再考虑（2，2，2）分组，所需化验次数为δ，δ的可能取值是2，3，()15261=2==3C P C δ，()25262=3==3C P C η分布列如下：()8=3E δ所以按（2，2，2）或（3，3）分组进行化验均可. 【点睛】本题主要考查了随机事件概率的计算,以及离散型随机变量的分布列的均值与方差,属于中档题.21．（1）当0a ≤时，()f x 在()0+∞，上单调递增；当0a >时，()f x 在0e a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递增，在+e a ⎛⎫∞⎪⎝⎭，上单调递减；（2）[)1,a ∈+∞. 【分析】(1)对函数()f x 求导，分0a ≤，0a >两种情况讨论即可；(2)先由()()g x h x ≥可转化为二次不等式的恒成立问题，然后构造函数()()()F x f x h x =-，转化为对任意的()0,x ∈+∞，()0F x ≤恒成立问题，即可求解.【详解】（1）函数()f x 的定义域为()0,∞+.()e e ax f x a x x-'=-= （i ）若0a ≤，则()0f x '>；（ii ）若0a >，则由()0f x '>得e x a<，由()0f x '<得e x a >； 综上：当0a ≤时，()f x 在()0+∞，上单调递增； 当0a >时，()f x 在0e a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递增，在+e a ⎛⎫∞⎪⎝⎭，上单调递减. （2）设存在直线y kx b =+满足题意. （i ）由22x x kx b -≥+，即()2102x k x b -+-≥对任意的x ∈R 都成立，得()2=120k b ∆++≤，所以()2102k b +≤-≤，（ii ）令()()ln F x e x a k x b =-+-，()()()e a k x e F x a k x x-+'=-+=， ①若0a k +≤，则()0F x '>，()F x 单调递增，()()0F e e a k e b =-+->，不合题意； ②若0a k +>，则()F x 在0e a k ⎛⎫ ⎪+⎝⎭，上单调递增，在+e a k ⎛⎫∞ ⎪+⎝⎭，上单调递减， 所以()()max =ln =ln e e F x F e e b e a k b a k a k ⎛⎫=---+- ⎪++⎝⎭， 所以()ln 0e a k b -+-≤，即()ln e a k b +≥-，由（i ）得()()21ln 2k e a k ++≥，即()212k e a k e +≥-+，令()()212k e k k e ϕ+=-+，()()21211k e k k e eϕ++'=-+⋅，()()()222112211+0k k e e k k ee e e ϕ+++⎛⎫''=⋅⋅> ⎪⎝⎭，所以()k ϕ'单调递增，又因为)10ϕ'=，所以()x ϕ在()1∞--是单调递减，)1+-∞，是单调递减，所以())min11x ϕϕ=-=，所以[)1,a ∈+∞. 【点睛】 本题主要考查利用导数研究函数的单调性及最值问题，属于能力提升题.22．（1）2212::143x y C y C =-+=；（2）=AF BF --或=13AF BF -. 【分析】 （1）曲线1C 的参数方程消去参数，能求出曲线1C 的普通方程；根据222sin x y y ρρθ⎧=+⎨=⎩可得曲线2C 的直角坐标方程；（2）将1C 的参数方程代入到曲线2C 的直角坐标方程中，根据直线参数方程中参数的几何意义可得结果.【详解】（1）∵曲线1C的参数方程为1,2x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），消去参数t可得33y x =-， ∵曲线2C 的极坐标方程为22123sin ρθ=+，即2223sin 12ρρθ+=， 即2223312x y y ++=，化简得22143x y +=， 故曲线1C的普通方程为y x =，2C 的直角坐标方程为22143x y +=.（2）设,A B 对应的直线参数为12,t t ，将122x ty ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入到22143x y +=得：213360t +-=，故1213t t -+=， 当A 在x 轴上方时，()1212||||22AF BF a t a t t t -=--+=--= 当A 在x轴下方时，||||AF BF -=， 故AF BF -的值为13-或13. 【点睛】 本题考查直线的普通方程、曲线的直角坐标方程的求法，考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想，属于中档题.23．（1）()min 1f x =；（2）[)1,a ∈-+∞.【分析】（1）分别在1x ≤、12x ≤≤和2x ≥三种情况下求得函数最小值，进而得到在R 上的最小值；（2）将不等式变为211a x x -≥---，分别在2x =、2x >、12x ≤<和1x <的情况下，通过分离变量的方法求得结果.【详解】（1）当1x ≤时，()()12253f x x x x =-+-=-，此时()()min 1532f x f ==-=； 当12x ≤≤时，()()1223f x x x x =-+-=-，此时()()min 2321f x f ==-=； 当2x ≥时，()()12235f x x x x =-+-=-，此时()()min 2651f x f ==-=； 综上所述：()f x 的最小值为1.（2）令121x a x -+-≥-，则211a x x -≥---，当2x =时，02≥-恒成立，则a R ∈；当2x ≠时，112x a x +-≥--，若2x >，则2122x a x x ⎛⎫≥-=-+ ⎪--⎝⎭，又2112x +>-，1a ∴≥-； 若12x ≤<，则21222x x a x x x ≥-==+---，又2112x +≤--，1a ∴≥-； 若1x <，则212x a x-≥-=--； 综上所述：实数a 的取值范围为[)1,-+∞.【点睛】本题考查含绝对值的函数最值的求解、绝对值不等式中的恒成立问题的求解；解决此类问题通常采用分类讨论的方式，去除绝对值符号之后再进行求解.。

2020届福建省普通高等学校招生全国统一考试高三高考模拟考试数学（理）试卷★祝考试顺利★（解析版）一、选择题：本题共12小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1.设复数z 满足2z iz i -=+（i 为虚数单位）,则z 在复平面内对应的点位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A【解析】由复数的除法运算可整理得到z ,由此得到对应的点的坐标,从而确定所处象限.【详解】由2z iz i -=+得：()()()()2121313111222i i iiz i i i i ++++====+--+,z ∴对应的点的坐标为13,22⎛⎫⎪⎝⎭,位于第一象限.故选：A .2.已知全集U =R ,集合{|lg(1)}A x y x ==-,|B x y⎧==⎨⎩则()U A B =（ ）A. (1,)+∞B. (0,1)C. (0,)+∞D. [1,)+∞【答案】D【解析】根据函数定义域的求解方法可分别求得集合,A B ,由补集和交集定义可求得结果. 【详解】{}()10,1A x x =->=-∞,()0,B =+∞,[)1,U A ∴=+∞,()[)1,U A B ∴=+∞.故选：D .3.已知3sin 24θ=-,则1tan tan θθ+=（ ）A. 83-B. 43-C. 83 D. 43【答案】A【解析】由二倍角公式求得sin cos θθ,切化弦后,结合同角三角函数平方关系可求得结果. 【详解】3sin 22sin cos 4θθθ==-,3sin cos 8θθ∴=-, 221sin cos sin cos 18tan 3tan cos sin sin cos 38θθθθθθθθθθ+∴+=+===--. 故选：A .4.中国古典乐器一般按“八音”分类．这是我国最早按乐器的制造材料来对乐器进行分类的方法,最先见于《周礼·春官·大师》,分为“金、石、土、革、丝、木、匏（páo）、竹”八音,其中“金、石、木、革”为打击乐器,“土、匏、竹”为吹奏乐器,“丝”为弹拨乐器．现从“八音”中任取不同的“两音”,则含有打击乐器的概率为（ ） A. 314 B. 1114 C. 114 D. 27【答案】B【解析】分别求得所有基本事件个数和满足题意的基本事件个数,根据古典概型概率公式可求得结果.【详解】从“八音”中任取不同的“两音”共有2828C =种取法；“两音”中含有打击乐器的取法共有228422C C -=种取法；∴所求概率22112814p ==. 故选：B .5.已知不同直线l 、m 与不同平面α、β,且l α⊂,m β⊂,则下列说法中正确的是（ ）A. 若//αβ,则l//mB. 若αβ⊥,则l m ⊥C. 若l β⊥,则αβ⊥D. 若αβ⊥,则m α⊥ 【答案】C【解析】根据空间中平行关系、垂直关系的相关判定和性质可依次判断各个选项得到结果.。

福建省2020届高三数学考前冲刺适应性模拟卷理科数学（三）（福建省高三毕业班复习教学指导组福州一中执笔整理）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}||12A x x a B x x =<=<<，，且()A B ⋃=R R ，则实数a 的取值范围是（ ） A. 1a ≤ B. 1a <C. 2a ≥D. 2a >【答案】C 【解析】{}|1,2R C B x x x =<≥或.{}{}()||1,22R A C B x x a x x x R a ⋃=<⋃<≥=⇔≥或.故选C2.复数3iz i i-=-（i 为虚数单位），则复数z 的共轭复数为（ ） A. 2i - B. 2i +C. 4i -D. 4i +【答案】B 【解析】试题分析：由题32iz i i i-=-=-，则复数z 的共轭复数为2i +，选B 考点：复数的运算，共轭复数3.121(3sin )x x dx --⎰等于（ ）A. 0B. 2sin1C. 2cos1D. 2【答案】D 【解析】，故答案为D.考点：定积分的计算.4.已知函数()f x 的定义域为[0，2]，则()()21f xg x x =-的定义域为（） A. [)(]0,11,2 B. [)(]0,11,4 C. [)0,1D. (]1,4【答案】C 【解析】 【分析】根据()f x 的定义域，计算()2f x 定义域，再考虑分母不为0，计算得到答案. 【详解】函数()f x 的定义域是[0，2]，要使函数()()21f xg x x =-有意义,需使()2f x 有意义且10x -≠ .所以10022x x -≠⎧⎨≤≤⎩解得01x ≤<故答案为C【点睛】本题考查了函数定义域，属于简单题.5.数列{}n a 的前n 项和为2*23()n S n n n N =-∈，若5p q -=，则p q a a -=（ ）A. 20B. 15C. 10D. -5【答案】A 【解析】试题分析：当2n ≥时，2211123213345,1n n n a S S n n n n n a S -=-=---+-=-==-（）适合上式，所以45n a n =-，所以4p q a a p q -=-（），因为5p q -=，所以20p q a a -=，选A考点：等差数列的性质6.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A.83π B.103πC. 6πD. 3π【答案】D 【解析】【详解】解：该几何体是一个底面半径为1、高为4的圆柱被一个平面分割成两部分中的一个部分，故其体积为221141232V πππ=⨯⨯-⨯⨯⨯= . 本题选择D 选项.7.在区间[1,1]-上随机取一个数k ，使直线(3)y k x =+与圆221x y +=相交的概率为（ ）A.12B.13C.24D.23【答案】C 【解析】 【分析】根据直线与圆相交，可求出k 的取值范围，根据几何概型可求出相交的概率. 【详解】因为圆心(0,0)，半径1r =，直线与圆相交，所以211d k =≤+，解得22k ≤≤ 所以相交的概率22224P ==,故选C.【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系，几何概型，属于中档题.8.向量a ，b ，c 满足0a b c ++=，a b ⊥，()a b c -⊥，||||||||||||a b c M b c a =++，则M =（ ）A. 3B.C. 22+D. 12+【答案】D 【解析】 【分析】根据向量运算法则得到a b =，2c a =，代入计算得到答案.【详解】a b c ++=，故a b c+=-，()a b c-⊥，故()()()220a b c a b a b b a -⋅=--⋅+=-=，故a b =，()2222222c a b a b a b a =+=++⋅=，故2c a =，||||||211||||||a b c M b c a =++=++=+.故选：D.【点睛】本题考查了向量运算，向量的模，意在考查学生的计算能力和应用能力.9.已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为,E F 分别为,BC CD 的中点，P 是线段1A B 上的动点，1C P 与平面1D EF 的交点Q 的轨迹长为（ ）A. 3 C. 4D. 【答案】B 【解析】 【分析】作图分析，由P 是线段1A B 上动点，当P 合于1A 或B 时，找到11C A ，1C B 与平面1D EF 的交点分别为,M N ，即Q 的轨迹为MN ，再求出MN 的长度得到答案.【详解】如图所示，连接1,EF A B ，连接1111,AC B D 交于点M ，连接11,B E BC 交于点N ，由11//EF B D ，即11,,,E F B D 共面，由P 是线段1A B 上的动点，当P 合于1A 或B 时，11C A ，1C B 与平面1D EF 的交点分别为,M N ，即Q 的轨迹为MN ，由棱长为32111132C M A C ==， 则16BC =，又11112BE BN B C NC ==，则11243NC BC ==, 由1111A B BC AC ==，则1160A C B ∠=︒， 则2211111112cos 916234132MN MC NC MC NC A C B =+-⋅⋅⋅∠=+-⨯⨯⨯=故选：B【点睛】本题以正方体为载体，考查了点线面的位置关系、余弦定理，解决本题的关键在于找到点Q 的轨迹，还考查了学生的分析推理能力，运算能力，属于中档题. 10.已知曲线xxy e =在1x x =处的切线为1l ，曲线ln y x =在2x x =处的切线为2l ，且12l l ⊥，则21x x -的取值范围是（ ） A. 10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B. (),1-∞-C.,0D. 1,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【答案】B 【解析】 【分析】先求出两条切线各自的斜率，再根据它们垂直得到12,x x 的关系，将21x x -表示为1x 的函数后利用导数可求21x x -的取值范围. 【详解】令()x xf x e=，()ln g x x =，则()1x xf x e -'=，()1g x x'=，所以1111x x k e -=，221k x =，因为12l l ⊥，故112111x x e x -⨯=-，所以1121x x x e-=， 因为20x >，故11x >. 又112111x x x x x e --=-，令()1,1xx h x x x e-=->， 则()221xx xx x e h x e e---=-='， 当()1,x ∈+∞时，2xy x e =--为减函数，故12210x x e e --<--<，所以()0h x '<在()1,+∞上恒成立，故()h x 在()1,+∞上为减函数，所以()()11h x h <=-， 又当1x >时，11111x x x x x x e e e e --⎛⎫-<-=-- ⎪⎝⎭， 所以()h x 的取值范围为(),1-∞-， 故选：B.【点睛】本题考查导数的几何意义以及函数的值域的求法，注意函数图象在某点处的切线的斜率就是函数在该点横坐标处的导数，另外，求函数的值域时不仅要依据函数的单调性，而且还要考虑函数的图象有无水平的渐近线.11.某化工厂在定期检修设备时发现生产管道中共有5处阀门（A E -）发生有害气体泄漏.每处阀门在每小时内有害气体的泄露量大体相等，约为0.01立方米.阀门的修复工作可在不停产的情况下实施.由于各阀门所处的位置不同，因此修复所需的时间不同，且修复时必须遵从一定的顺序关系，具体情况如下表：在只有一个阀门修复设备的情况下，合理安排修复顺序，泄露的有害气体总量最小为（ ） A. 1.14立方米 B. 1.07立方米C. 1.04立方米D. 0.39立方米 【答案】C 【解析】 【分析】先确定有要求三个阀门,,B C E 的先后顺序必须是,,C B E ，要使泄露的有害气体总量最小，修复时间长的因尽量靠后，确定修复顺序为,,,,C B E D A ，然后计算每个阀门泄露有害气体的时间，计算出泄露的有害气体总量最小值.【详解】由表知，根据需先修复好的阀门的要求，可确定,A D 顺序无要求，其中三个阀门的先后顺序必须是,,C B E ，要使泄露的有害气体总量最小，修复时间长的因尽量靠后， 故修复顺序为,,,,C B E D A ，则,,,,C B E D A 各阀门泄露有害气体的时间分别为5,13,19,28,39小时， 泄露有害气体的时间共513192839104++++=小时， 故泄露的有害气体总量最小为1040.01 1.04⨯=立方米， 故选：C【点睛】本题是实际应用问题的最优化问题，理解题意是解决问题的关键，属于中档题. 12.设()0,1,2,,2020i a i =是常数，对于x R ∀∈，都有()()()()()()20200122020112122020x a a x a x x a x x x =+-+--++---，则012345201920202!3!4!2018!2019!a a a a a a a a -+-+-+-+-=（ ）A. 2019B. 2020C. 2019！D. 2020！【答案】A 【解析】 【分析】先令1x =，求得0a 的值，再将给定的恒等式两边求关于x 的导数，然后令1x =，从而可得所求的值. 【详解】因为()()()()()()20200122020112122020x a a x a x x a x x x =+-+--++---，则令1x =可得01a =. 又对()()()()()()20200122020112122020xa a x a x x a x x x =+-+--++---两边求导可得：()()()()()2019122020202012122020x a a x x a x x x ''=+--++---⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，令()()()()12n f x x x x n =--⨯⨯-，则()()()()()()12+2n f x x x x n x x n ''=--⨯⨯--⨯⨯-⎡⎤⎣⎦，所以()()()()()1112111!n n f n n -'=-⨯⨯-=--，所以()()()12201920191232020202011112!12019!a a a a ⨯=+⨯-⨯+⨯-⨯++⨯-故123202020202!2019!a a a a =-+--，所以012345201920202!3!4!2018!2019!202012019a a a a a a a a -+-+-+-+-=-=.故选：A.【点睛】本题考查函数的导数以及恒等式的系数和的求法，注意根据恒等式的特征选择合适的赋值，本题属于较难题.二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上.答错位置，书写不清，模棱两可均不得分. 13.cos15cos45cos75cos45=︒︒-︒︒_________. 【答案】12【解析】 【分析】题设中的三角函数值可转化为cos15cos45sin15sin 45︒︒-︒︒，逆用两角和的余弦可求给定的三角函数式的值.【详解】cos15cos45cos75cos45=︒︒-︒︒1cos15cos 45sin15sin 45cos602︒︒-︒︒=︒=. 故答案为：12. 【点睛】三角函数的中的化简求值问题，我们往往从次数的差异、函数名的差异、结构的差异和角的差异去分析，处理次数差异的方法是升幂降幂法，解决函数名差异的方法是弦切互化，而结构上差异的处理则是已知公式的逆用等，最后角的差异的处理则往往是用已知的角去表示未知的角.14.寒假里5名同学结伴乘动车外出旅游，实名制购票，每人一座，恰在同一排,,,,A B C D E 五个座位（一排共五个座位），上车后五人在这五个座位上随意坐，则恰有一人坐对与自己车票相符座位的坐法有__________种. 【答案】45 【解析】 【分析】先选出坐对位置的人，再对剩下四人进行错排，最后利用分布计数乘法原理求结果. 【详解】先选出坐对位置的人，即从5人中选1人，有5种可能； 剩下四人进行错排，设四人座位为1234，，，，则四人都不坐在自己位置上有214323412413,3142,3412,3421,4123,4312,4321，，这9种可能；所以恰有一人坐对与自己车票相符座位的坐法有5945⨯=种 故答案为：45【点睛】本题考查错排问题，考查基本分析求解能力，属基础题.15.如图，将地球近似看作球体.设地球表面某地正午太阳高度角为θ，δ为此时太阳直射纬度（当地夏半年取正值，冬半年取负值），ϕ为该地的纬度值.已知太阳每年直射范围在南北回归线之间，即2326,2326δ''⎡⎤∈-⎣⎦.如果在北京地区（纬度数约为北纬40）的一幢高为0h 的楼房北面盖一新楼，要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡，两楼的距离不应小于_________.（只需列出式子）【答案】tan 2634h '【解析】 【分析】根据题意列出不等式，再根据不等式恒成立，转化为对应函数最值问题，结合范围确定最值，即得结果..【详解】设两楼的距离为d ， 因为90(40)502634,7326θδδ则要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡，需满足0tan h dθ对2634,7326θ恒成立,因此0min (tan )h dθ 0tan 2634h dtan 2634h d，从而两楼的距离不应小于0tan 2634h '故答案为：tan 2634h '【点睛】本题考查不等式恒成立问题、正切函数单调性，考查基本分析建模能力与转化求解能力，属中档题.16.已知椭圆22:143x y C +=的焦点是12,F F ，,A B 是C 上（不在长轴上）的两点，且1//2F A F B .M 为1F B 与2F A 的交点，则M 的轨迹所在的曲线是______；离心率为_____.【答案】 (1). 椭圆 (2). 45【解析】 【分析】设()11,A x y ，()22,C x y 则()22,B x y --，设1:1AF l x my =-表示出1BF l ，2AF l 联立直线1:1AF l x my =-与椭圆方程，消元列出韦达定理，代入消去m 即可得解；【详解】解：设()11,A x y ，()22,C x y 则()22,B x y --，1AF 的斜率不为0，可设1:1AF l x my =- 则122:11BF y y l x x =+-①，211:11AF y yl x x =--② 所以()12121221212121211112224y y y y y y y y x x x x my my m y y m y y ⋅=⋅=⋅=+------++ 联立221143x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得2242303m y my ⎛⎫+--= ⎪⎝⎭，得122243m y y m +=+，122343y y m -=+ 所以222316133y x m -=--+由①②得()12122112y y x x m y y y y ++-+=-，所以35x m y =所以22231316353y x x y -=-⎛⎫-+⎪⎝⎭整理得222215344x x +=⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以M 的轨迹所在的曲线是椭圆，14554e == 故答案为：椭圆；45.【点睛】本题考查直线与椭圆的综合应用，属于中档题. 三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.已知数列{}n a ，{}n b 满足112a =，()11n n n a a a +=+，11n nb a =+，{}n b 的前n 项和为n S ，前n 项积为n T .（1）证明：2n n S T +是定值； （2）试比较n S 与n T 的大小.【答案】（1）证明见解析；（2）当1n =时，n n S T =；当2n ≥时，n n S T >. 【解析】 【分析】（1）将已知递推关系式化为11111n n n n b a a a +==-+，由此可求得,n n S T ，代入2n n S T +整理可得结论；（2）由（1）可得134123n n n S T a +⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，根据数列{}n a 单调递增和334a >可确定结果. 【详解】（1）证明：由()11n n n a a a +=+得：()11111=+11n n n n n a a a a a +=-+， 则11111n n n n b a a a +==-+，12122311111111111112n n n n n n S b b b a a a a a a a a a +++∴=++⋅⋅⋅+=-+-+⋅⋅⋅+-=-=-， 121122311112n n n n n n a a a a T b b b a a a a a +++=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅==， 22n n S T ∴+=.（2）由（1）知：1111113341222223n n n n n n S T a a a a ++++⎛⎫-=--=-=- ⎪⎝⎭， 112a =，210n n n a a a +-=>，{}n a ∴单调递增. 又112a =，()211314a a a =+=，()3222131164a a a =+=>，∴当2n ≥时，134n a +>， ∴当1n =时，n n S T =；当2n ≥时，n n S T >.【点睛】本题考查数列综合应用问题，涉及到数列中的定值问题、根据数列单调性比较大小的问题；解决定值问题的关键是能够结合裂项的方法，前后相消求得前n 项和和前n 项积. 18.已知圆()()222:10C x y r r +-=>，设A 为圆C 与y 轴负半轴的交点，过点A 作圆C 的弦AM ，并使弦AM 的中点恰好落在x 轴上. （1）求点M 的轨迹E 的方程；（2）延长MO 交直线1y =-于点P ，延长MC 交曲线E 于点N ，曲线E 在点N 处的切线与y 轴交于点Q .求证：//MN QP . 【答案】（1）2:40E x y x ；（2）证明见解析.【解析】 【分析】（1）由A 为圆C 与y 轴负半轴的交点，可得()0,1A r -，再由弦AM 的中点恰好落在x 轴上，可得点M 的纵坐标满足102y r+-=，再由点M 在圆上即得解； （2）设()()1122:1,,,,MN y kx M x y N x y =+，分别表示直线MO ，点N 处切线方程，得到,P Q 的坐标，结合韦达定理，证明MN PQ k k =，即得解【详解】（1）设(),M x y ，依题意A 为圆C 与y 轴负半轴的交点，令0,1x y r==±()0,1A r∴-又弦AM的中点恰好落在x轴上，设(,)M x y故AM的中点坐标为1(,)22x y r+-故12y r+-=()222101y rx y r+-=⎧⎪∴⎨+-=⎪⎩，消r得24x y=，所以2:40E x y x.（2）设()()1122:1,,,,MN y kx M x y N x y=+，将1y kx=+代入24x y=得2440x kx--=，12124,4x x k x x+==-，11:yMO y xx=⋅，令1y=-得11Pxxy=-，所以11,1xPy⎛⎫--⎪⎝⎭，因为2xy'=，所以点N处的切线为()2222xy y x x-=-，即222xy x y=⋅-，令0x=得2y y=-，所以()20,Q y-.所以PQ斜率22221121211111444441616xy x x x x xk kxy x--+-+'=====--所以//MN QP .【点睛】本题考查了直线与抛物线综合，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算能力，属于较难题19.如图，组合体由半个圆锥S O -和一个三棱锥S ACD -构成，其中O 是圆锥S O -底面圆心，B 是圆弧AC 上一点，满足BOC ∠是锐角，2===AC CD DA .（1）在平面SAB 内过点B 作//BP 平面SCD 交SA 于点P ，并写出作图步骤，但不要求证明； （2）在（1）中，若P 是SA 中点，且3SO =BP 与平面SAD 所成角的正弦值.【答案】（1）答案见解析；（226. 【解析】 【分析】（1）①延长AB 交DC 的延长线于点Q ；②连接SQ ；③过点B 作//BP QS 交SA 于点P ，可得点P .（2）若P 是SA 中点，则B 是AQ 中点，又因为CB AQ ⊥，所以CA CQ =，所以90QAD ∠=，从而30BAC ∠=.依题意，,,OS OC OD 两两垂直，分别以OC ，OD ，OS 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系,运用空间向量线面角的求解方法可得解.【详解】（1）①延长AB 交DC 的延长线于点Q ；②连接SQ ；③过点B 作//BP QS 交SA 于点P .（2）若P 是SA 中点，则B 是AQ 中点，又因为CB AQ ⊥，所以CA CQ =，所以90QAD ∠=，从而30BAC ∠=.依题意，,,OS OC OD 两两垂直，分别以OC ，OD ，OS 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则()()()13131,0,0,0,3,0,0,0,3,,0,,,,02222A D S P B ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 从而()()331,3,0,1,0,3,1,,22AD AS BP ⎛⎫===- ⎪⎝⎭， 设平面SAD 的法向量为(),,n x y z =，则0,0,AS n AD n ⎧⋅=⎨⋅=⎩即30,30,x z x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩取3x =，得()3,1,1=--n .则232326cos ,331013115442n BP n BP n BP⋅--====-++⨯++⨯ 所以直线BP 与平面SAD 所成角的正弦值为26.【点睛】本题考查空间的线面平行关系，线面角的求解方法，属于中档题.20.已知6名某疾病病毒密切接触者中有1名感染病毒，其余5名健康，需要通过化验血液来确定感染者.血液化验结果呈阳性的即为感染者，呈阴性即为健康. （1）若从这6名密切接触者中随机抽取3名，求抽到感染者的概率；（2）血液化验确定感染者的方法有：①逐一化验；②分组混合化验：先将血液分成若干组，对组内血液混合化验，若化验结果呈阴性，则该组血液不含病毒；若化验结果呈阳性，则对该组的备份血液逐一化验，直至确定感染者. （i ）采取逐一化验，求所需检验次数ξ的数学期望；（ii ）采取平均分组混合化验（每组血液份数相同），依据所需化验总次数的期望，选择合理的平均分组方案.【答案】（1）12；（2）（i ）103；（ii ）按（2，2，2）或（3，3）分组进行化验均可. 【解析】 【分析】（1）总数为36C ，抽到感染者，则从余下5名某疾病病毒密切接触者中，再抽2人，有25C ，从而求得抽到感染者的概率；（2）分别求出方案（i ）和方案（ii ）的分布列和均值，注意方案（ii ）采取平均分组混合化验，又平均分成3组和平均分成2组两种情况，再通过对比得出结论. 【详解】解：（1）从这6名密切接触者中随机抽取3名，共有36C 种， 抽到感染者，则从余下5名某疾病病毒密切接触者中，再抽2人，有25C故抽到感染者的概率25361==2C P C（2）（i ）ξ的可能取值是1，2，3，4，5，且分布列如下：()10=3E ξ （ii ）首先考虑（3，3）分组，所需化验次数为η，η的可能取值是2，3，()1311=2==3P C η，()12132=3==3C P C η分布列如下：()8=3E η再考虑（2，2，2）分组，所需化验次数为δ，δ的可能取值是2，3，()15261=2==3C P C δ，()25262=3==3C P C η分布列如下：()8=3E δ所以按（2，2，2）或（3，3）分组进行化验均可.【点睛】本题主要考查了随机事件概率的计算,以及离散型随机变量的分布列的均值与方差,属于中档题.21.已知函数()ln f x e x ax =-，()22x g x x =-.（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若存在直线()y h x =，使得对任意的()0,x ∈+∞，()()h x f x ≥，对任意的x ∈R ，()()g x h x ≥，求a 的取值范围.【答案】（1）当0a ≤时，()f x 在()0+∞，上单调递增；当0a >时，()f x 在0e a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递增，在+e a ⎛⎫∞ ⎪⎝⎭，上单调递减；（2）[)1,a ∈+∞. 【解析】 【分析】(1)对函数()f x 求导，分0a ≤，0a >两种情况讨论即可；(2)先由()()g x h x ≥可转化为二次不等式的恒成立问题，然后构造函数()()()F x f x h x =-，转化为对任意的()0,x ∈+∞，()0F x ≤恒成立问题，即可求解.【详解】（1）函数()f x 的定义域为()0,∞+.()e e axf x a x x-'=-= （i ）若0a ≤，则()0f x '>； （ii ）若0a >，则由()0f x '>得e x a<，由()0f x '<得ex a >；综上：当0a ≤时，()f x 在()0+∞，上单调递增； 当0a >时，()f x 在0e a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递增，在+e a ⎛⎫∞ ⎪⎝⎭，上单调递减. （2）设存在直线y kx b =+满足题意.（i ）由22x x kx b -≥+，即()2102x k x b -+-≥对任意的x ∈R 都成立，得()2=120k b ∆++≤，所以()2102k b +≤-≤，（ii ）令()()ln F x e x a k x b =-+-，()()()e a k x eF x a k x x-+'=-+=， ①若0a k +≤，则()0F x '>，()F x 单调递增，()()0F e e a k e b =-+->，不合题意； ②若0a k +>，则()F x 在0e a k ⎛⎫ ⎪+⎝⎭，上单调递增，在+e a k ⎛⎫∞⎪+⎝⎭，上单调递减， 所以()()max =ln =ln e e F x F e e b e a k b a k a k ⎛⎫=---+-⎪++⎝⎭， 所以()ln 0e a k b -+-≤，即()ln e a k b +≥-， 由（i ）得()()21ln 2k e a k ++≥，即()212k ea k e+≥-+，令()()212k ek k e ϕ+=-+，()()21211k ek k eeϕ++'=-+⋅，()()()222112211+0k k eek k ee e eϕ+++⎛⎫''=⋅⋅> ⎪⎝⎭，所以()k ϕ'单调递增，又因为)10ϕ'=，所以()x ϕ在()1∞-是单调递减，)1+∞，是单调递减，所以())min11x ϕϕ=-=，所以[)1,a ∈+∞.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性及最值问题，属于能力提升题.请考生在第22、23两题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做第一个题目计分，作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑. [选修4—4：坐标系与参数方程]22.在直角坐标系xoy 中，曲线1C的参数方程为1,2x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为22123sin ρθ=+.（1）求曲线1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；（2）已知()1,0F -，曲线1C 与2C 的交点为,A B ，求AF BF -的值.【答案】（1）2212::143x y C y C =-+=；（2）=AF BF -或=AF BF -【解析】 【分析】（1）曲线1C 的参数方程消去参数，能求出曲线1C 的普通方程；根据222sin x y y ρρθ⎧=+⎨=⎩可得曲线2C 的直角坐标方程；（2）将1C 参数方程代入到曲线2C 的直角坐标方程中，根据直线参数方程中参数的几何意义可得结果.【详解】（1）∵曲线1C的参数方程为1,2x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）， 消去参数t可得y x =， ∵曲线2C 的极坐标方程为22123sin ρθ=+，即2223sin 12ρρθ+=， 即2223312x y y ++=，化简得22143x y +=， 故曲线1C的普通方程为33y x =-，2C 的直角坐标方程为22143x y +=. （2）设,A B 对应的直线参数为12,t t ，将12x ty ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入到22143x y +=得：213360t +-=，故12t t +=， 当A 在x 轴上方时，()1212||||2213AF BF a t a t t t -=--+=--=； 当A 在x 轴下方时，||||13AF BF -=-， 故AF BF -的值为或13. 【点睛】本题考查直线的普通方程、曲线的直角坐标方程的求法，考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想，属于中档题.[选修4—5：不等式选讲]23.已知()|1||2|.f x x a x =-+-（1）若2a =，求()f x 的最小值；（2）若()1f x ≥-，求实数a 的取值范围.【答案】（1）()min 1f x =；（2）[)1,a ∈-+∞.【解析】【分析】（1）分别在1x ≤、12x ≤≤和2x ≥三种情况下求得函数最小值，进而得到在R 上的最小值；（2）将不等式变为211a x x -≥---，分别在2x =、2x >、12x ≤<和1x <的情况下，通过分离变量的方法求得结果.【详解】（1）当1x ≤时，()()12253f x x x x =-+-=-，此时()()min 1532f x f ==-=； 当12x ≤≤时，()()1223f x x x x =-+-=-，此时()()min 2321f x f ==-=； 当2x ≥时，()()12235f x x x x =-+-=-，此时()()min 2651f x f ==-=；综上所述：()f x 的最小值为1.（2）令121x a x -+-≥-，则211a x x -≥---，当2x =时，02≥-恒成立，则a R ∈；当2x ≠时，112x a x +-≥--， 若2x >，则2122x a x x ⎛⎫≥-=-+ ⎪--⎝⎭，又2112x +>-，1a ∴≥-； 若12x ≤<，则21222x x a x x x ≥-==+---，又2112x +≤--，1a ∴≥-； 若1x <，则212x a x-≥-=--； 综上所述：实数a 的取值范围为[)1,-+∞.【点睛】本题考查含绝对值函数最值的求解、绝对值不等式中的恒成立问题的求解；解决此类问题通常采用分类讨论的方式，去除绝对值符号之后再进行求解.。

绝密★启用前福建省泉州市普通高中2020届高三毕业班下学期高考适应性线上测试数学(理)试题2020年3月本试卷共23题，满分150分，共5页。

考试时间120分钟。

注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡上。

2.选择题请按本校老师规定的方式作答.非选择题及使用钉钉平台阅卷的多项选择题，请自行打印答题卡，按照题号顺序在各题目的答题区域内(黑色线框)作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效.没有条件自行打印的，请在空白纸上模仿答题卡自行画定答题区域，标明题号，并在相应区域内答题，超出答题区域书写的答案无效。

3.答题完毕，请按学校布置的要求，用手机拍照答案并上传到指定的地方，要注意照片的清晰，不要多拍、漏拍。

一、单项选择题：本题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A ＝{x|x 2－3x<0}，B ＝{x|x －2≥0}，则()R A B =I ðA.{x|0<x ≤2}B.{x|0<x<2}C.{x|2≤x<3}D.{x|0<x<3}2.设复数2(1)12i z i+=-，则|z|＝B.25 D.433.下图为服用同等剂量的三种新药后血药浓度(mg/ml)的变化情况，其中点A i 的横坐标表示服用第i 种药后血药浓度达峰(最高浓度)时间，其它点的横坐标分别表示服用三种新药后血药浓度首次降到峰值一半时所用的时间(单位：h)，点A i 的纵坐标表示第i 种药的血药浓度的峰值(i ＝1，2，3)。

记V i 为服用第i 种药后达到血药浓度峰值时，血药浓度提高的平均速度，记T i 为服用第i 种药后血药浓度从峰值首次降到峰值的一半所用的时间，则V 1，V 2，V 3中最小的，T 1，T 2，T 3中最大的分别是A.V 2，T 3B.V 2，T 2C.V 1，T 3D.V 1，T 24.已知{a n }是公差为3的等差数列。