11.2离散型随机变量及其分布列、均值与方差挖命题【考情探究】分析解读 1.会求简单的离散型随机变量的分布列,理解超几何分布.2.理解数学期望与方差的概念,熟练掌握期望与方差的求解方法.3.分布列、期望及方差均为高考的必考内容.本节在高考中一般以解答题形式出现,分值约为13分,属中高档题.破考点【考点集训】考点一离散型随机变量及其分布列1.(2015重庆,17,13分)端午节吃粽子是我国的传统习俗.设一盘中装有10个粽子,其中豆沙粽2个,肉粽3个,白粽5个,这三种粽子的外观完全相同.从中任意选取3个.(1)求三种粽子各取到1个的概率;(2)设X表示取到的豆沙粽个数,求X的分布列与数学期望.解析(1)令A表示事件“三种粽子各取到1个”,则由古典概型的概率计算公式有P(A)==.(2)X的所有可能值为0,1,2,且P(X=0)==,P(X=1)==,P(X=2)==.综上知,X的分布列为X012故E(X)=0×+1×+2×=(个).2.春节期间,受烟花爆竹集中燃放的影响,我国多数城市空气中PM2.5浓度快速上升,特别是在大气扩散条件不利的情况下,空气质量在短时间内会迅速恶化.2017年除夕18时和初一2时,国家环保部门对8个城市空气中PM2.5浓度监测的数据如下表(单位:微克/立方米):(1)求这8个城市除夕18时空气中PM2.5浓度的平均值;(2)环保部门发现:除夕18时到初一2时空气中PM2.5浓度上升不超过100的城市都是“禁止燃放烟花爆竹”的城市, 浓度上升超过100的城市都未禁止燃放烟花爆竹.从以上8个城市中随机选取3个城市组织专家进行调研,记选到“禁止燃放烟花爆竹”的城市个数为X,求随机变量X的分布列和数学期望.解析(1)8个城市除夕18时空气中PM2.5浓度的平均值为=70微克/立方米.(2)8个城市中“禁止燃放烟花爆竹”的有太原,上海,南京,杭州4个城市,随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3,则P(X=0)==,P(X=1)==,P(X=2)==,P(X=3)==.所以X的分布列为X的数学期望EX=0×+1×+2×+3×==.考点二离散型随机变量的均值与方差3.已知离散型随机变量X的分布列为X123则X的数学期望E(X)=()A. B.2 C. D.3答案 A4.(2014浙江,12,4分)随机变量ξ的取值为0,1,2.若P(ξ=0)=,E(ξ)=1,则D(ξ)=.答案炼技法【方法集训】方法1离散型随机变量分布列的求法1.某次有600人参加的数学测试,其成绩的频数分布表如下,规定85分及其以上为优秀.(1)现用分层抽样的方法从这600人中抽取20人进行成绩分析,求其中成绩为优秀的学生人数;(2)在(1)中抽取的20名学生中,要随机选取2名学生参加活动,记“其中成绩为优秀的人数”为X,求X的分布列与数学期望.解析(1)设其中成绩为优秀的学生人数为x,则=,解得x=15.所以其中成绩为优秀的学生人数为15.(2)依题意,随机变量X所有可能的取值为0,1,2.P(X=0)==,P(X=1)==,P(X=2)==.所以X的分布列为所以数学期望E(X)=0×+1×+2×=.2.(2015福建,16,13分)某银行规定,一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误,该银行卡将被锁定.小王到该银行取钱时,发现自己忘记了银行卡的密码,但可以确认该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一,小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试.若密码正确,则结束尝试;否则继续尝试,直至该银行卡被锁定.(1)求当天小王的该银行卡被锁定的概率;(2)设当天小王用该银行卡尝试密码的次数为X,求X的分布列和数学期望.解析(1)设“当天小王的该银行卡被锁定”的事件为A,则P(A)=××=.(2)依题意得,X所有可能的取值是1,2,3.P(X=1)=,P(X=2)=×=,P(X=3)=××1=,所以X的分布列为X123P所以E(X)=1×+2×+3×=.方法2求离散型随机变量ξ的期望与方差的方法3.(2018浙江,7,4分)设0<p<1,随机变量ξ的分布列是ξ012P则当p在(0,1)内增大时,(A.D(ξ)减小B.D(ξ)增大C.D(ξ)先减小后增大D.D(ξ)先增大后减小答案 D4.(2014重庆,18,13分)一盒中装有9张各写有一个数字的卡片,其中4张卡片上的数字是1,3张卡片上的数字是2,2张卡片上的数字是3.从盒中任取3张卡片.(1)求所取3张卡片上的数字完全相同的概率;(2)X表示所取3张卡片上的数字的中位数,求X的分布列与数学期望.(注:若三个数a,b,c满足a≤b≤c,则称b为这三个数的中位数)解析(1)由古典概型的概率计算公式知所求概率为P==.(2)X的所有可能值为1,2,3,且P(X=1)==,P(X=2)==,P(X=3)==,故X的分布列为X123P从而E(X)=1×+2×+3×=.评析本题考查概率的计算,随机变量的分布列及数学期望.其中概率的计算要求较高,不过整体难度不大,属中等偏易题.过专题【五年高考】A组自主命题·北京卷题组(2017北京,17,13分)为了研究一种新药的疗效,选100名患者随机分成两组,每组各50名,一组服药,另一组不服药.一段时间后,记录了两组患者的生理指标x和y的数据,并制成下图,其中“*”表示服药者,“+”表示未服药者.(1)从服药的50名患者中随机选出一人,求此人指标y的值小于60的概率;(2)从图中A,B,C,D四人中随机选出两人,记ξ为选出的两人中指标x的值大于1.7的人数,求ξ的分布列和数学期望E(ξ);(3)试判断这100名患者中服药者指标y数据的方差与未服药者指标y数据的方差的大小.(只需写出结论)解析本题考查古典概型,离散型随机变量的分布列与数学期望,方差等知识.(1)由题图知,在服药的50名患者中,指标y的值小于60的有15人,所以从服药的50名患者中随机选出一人,此人指标y的值小于60的概率为=0.3.(2)由题图知,A,B,C,D四人中,指标x的值大于1.7的有2人:A和C.所以ξ的所有可能取值为0,1,2.P(ξ=0)==,P(ξ=1)==,P(ξ=2)==.所以ξ的分布列为ξ012P故ξ的期望E(ξ)=0×+1×+2×=1.(3)在这100名患者中,服药者指标y数据的方差大于未服药者指标y数据的方差.方法总结①在求解离散型随机变量的分布列与数学期望时,先确定随机变量的取值及各个取值对应的概率,利用期望的公式求其数学期望;②在比较数据的方差时,可以根据两组数据的集中或分散程度进行比较.B组统一命题、省(区、市)卷题组考点一离散型随机变量及其分布列1.(2018天津,16,13分)已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24,16,16.现采用分层抽样的方法从中抽取7人,进行睡眠时间的调查.(1)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人?(2)若抽出的7人中有4人睡眠不足,3人睡眠充足,现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查.(i)用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数,求随机变量X的分布列与数学期望;(ii)设A为事件“抽取的3人中,既有睡眠充足的员工,也有睡眠不足的员工”,求事件A发生的概率.解析本题主要考查随机抽样、离散型随机变量的分布列与数学期望、互斥事件的概率加法公式等基础知识.考查运用概率知识解决简单实际问题的能力.(1)由已知,甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为3∶2∶2,由于采用分层抽样的方法从中抽取7人,因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人,2人,2人.(2)(i)随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3.P(X=k)=·-(k=0,1,2,3).所以,随机变量X的分布列为随机变量X的数学期望E(X)=0×+1×+2×+3×=.(ii)设事件B为“抽取的3人中,睡眠充足的员工有1人,睡眠不足的员工有2人”;事件C为“抽取的3人中,睡眠充足的员工有2人,睡眠不足的员工有1人”,则A=B∪C,且B与C互斥.由(i)知,P(B)=P(X=2),P(C)=P(X=1),故P(A)=P(B∪C)=P(X=2)+P(X=1)=.所以,事件A发生的概率为.导师点睛超几何分布描述的是不放回抽样问题,随机变量为抽到某类个体的个数.超几何分布的特点:(1)考察对象分两类;(2)已知各类对象的个数;(3)从中抽取若干个个体,考察某类个体个数X的概率分布.超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型,其实质是古典概型.2.(2017课标Ⅲ,18,12分)某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本每瓶4元,售价每瓶6元,未售出的酸奶降价处理,以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温(单位:℃)有关.如果最高气温不低于25,需求量为500瓶;如果最高气温位于区间[20,25),需求量为300瓶;如果最高气温低于20,需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划,统计了前三年六月份各天的最高气温数据,得下面的频数分布表:以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率.(1)求六月份这种酸奶一天的需求量X(单位:瓶)的分布列;(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位:元).当六月份这种酸奶一天的进货量n(单位:瓶)为多少时,Y的数学期望达到最大值?解析本题考查随机变量的分布列,数学期望.(1)由题意知,X所有可能取值为200,300,500,由表格数据知P(X=200)==0.2,P(X=300)==0.4,P(X=500)==0.4.因此X的分布列为X200300500P0.20.40.4(2)由题意知,这种酸奶一天的需求量至多为500瓶,至少为200瓶,因此只需考虑200≤n≤500.当300≤n≤500时,若最高气温不低于25,则Y=6n-4n=2n;若最高气温位于区间[20,25),则Y=6×300+2(n-300)-4n=1 200-2n;若最高气温低于20,则Y=6×200+2(n-200)-4n=800-2n.因此EY=2n×0.4+(1 200-2n)×0.4+(800-2n)×0.2=640-0.4n.当200≤n<300时,若最高气温不低于20,则Y=6n-4n=2n;若最高气温低于20,则Y=6×200+2(n-200)-4n=800-2n.因此EY=2n×(0.4+0.4)+(800-2n)×0.2=160+1.2n.所以n=300时,Y的数学期望达到最大值,最大值为520元.名师点拨求离散型随机变量的分布列、均值与方差需过四关:①“题目的理解关”.要抓住题中关键字句,尽可能转化为自己熟悉的模型.②“随机变量的取值关”.准确无误地找出随机变量的所有可能取值.③“事件的类型关”.概率问题中的事件涉及等可能事件、互斥事件、对立事件、相互独立事件等,在计算相应的概率前要先确定事件的类型.④“概率的运算关”.运用公式P(A)=,P(A+B)=P(A)+P(B),P(A·B)=P(A)·P(B),P(ξ=k)=p k(1-p)n-k(k=0,1,2,…,n)时,要注意准确无误.3.(2017山东,18,12分)在心理学研究中,常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响,具体方法如下:将参加试验的志愿者随机分成两组,一组接受甲种心理暗示,另一组接受乙种心理暗示,通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用.现有6名男志愿者A1,A2,A3,A4,A5,A6和4名女志愿者B1,B2,B3,B4,从中随机抽取5人接受甲种心理暗示,另5人接受乙种心理暗示.(1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率;(2)用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数,求X的分布列与数学期望EX.解析本题考查离散型随机变量的分布列,期望.(1)记接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的事件为M,则P(M)==.(2)由题意知X可取的值为0,1,2,3,4,则P(X=0)==,P(X=1)==,P(X=2)==,P(X=3)==,P(X=4)==.因此X的分布列为X01234PX的数学期望是EX=0×P(X=0)+1×P(X=1)+2×P(X=2)+3×P(X=3)+4×P(X=4)=0+1×+2×+3×+4×=2.解后反思(1)求离散型随机变量X的分布列的步骤:①理解X的含义,写出X所有可能的取值.②求X取每个值时的概率;③写出X的分布列.(2)求离散型随机变量的分布列的关键是求随机变量取各个值时对应的概率,在求解时,要注意应用计数原理,古典概型概率公式等知识.4.(2017天津,16,13分)从甲地到乙地要经过3个十字路口,设各路口信号灯工作相互独立,且在各路口遇到红灯的概率分别为,,.(1)记X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数,求随机变量X的分布列和数学期望;(2)若有2辆车独立地从甲地到乙地,求这2辆车共遇到1个红灯的概率.解析本题主要考查离散型随机变量的分布列与数学期望,事件的相互独立性,互斥事件的概率加法公式等基础知识.考查运用概率知识解决简单实际问题的能力.(1)随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3.P(X=0)=-×-×-=,P(X=1)=×1-×1-+1-××1-+-×-×=,P(X=2)=-××+×-×+××-=,P(X=3)=××=.所以,随机变量X的分布列为X0123P随机变量X的数学期望E(X)=0×+1×+2×+3×=.(2)设Y表示第一辆车遇到红灯的个数,Z表示第二辆车遇到红灯的个数,则所求事件的概率为P(Y+Z=1)=P(Y=0,Z=1)+P(Y=1,Z=0)=P(Y=0)P(Z=1)+P(Y=1)P(Z=0)=×+×=.所以,这2辆车共遇到1个红灯的概率为.5.(2015天津,16,13分)为推动乒乓球运动的发展,某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加.现有来自甲协会的运动员3名,其中种子选手2名;乙协会的运动员5名,其中种子选手3名.从这8名运动员中随机选择4人参加比赛.(1)设A为事件“选出的4人中恰有2名种子选手,且这2名种子选手来自同一个协会”,求事件A发生的概率;(2)设X为选出的4人中种子选手的人数,求随机变量X的分布列和数学期望.解析(1)由已知,有P(A)==.所以,事件A发生的概率为.(2)随机变量X的所有可能取值为1,2,3,4.P(X=k)=-(k=1,2,3,4).所以,随机变量X的分布列为X 1 2 3 4P随机变量X的数学期望E(X)=1×+2×+3×+4×=.6.(2014天津,16,13分)某大学志愿者协会有6名男同学,4名女同学.在这10名同学中,3名同学来自数学学院,其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院.现从这10名同学中随机选取3名同学,到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同).(1)求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率;(2)设X为选出的3名同学中女同学的人数,求随机变量X的分布列和数学期望.解析(1)设“选出的3名同学是来自互不相同的学院”为事件A,则P(A)=··=.所以选出的3名同学是来自互不相同的学院的概率为.(2)随机变量X的所有可能值为0,1,2,3.P(X=k)=·-(k=0,1,2,3).所以随机变量X的分布列是随机变量X的数学期望E(X)=0×+1×+2×+3×=.考点二离散型随机变量的均值与方差1.(2017浙江,8,4分)已知随机变量ξi满足P(ξi=1)=p i,P(ξi=0)=1-p i,i=1,2.若0<p1<p2<,则()A.E(ξ1)<E(ξ2),D(ξ1)<D(ξ2)B.E(ξ1)<E(ξ2),D(ξ1)>D(ξ2)C.E(ξ1)>E(ξ2),D(ξ1)<D(ξ2)D.E(ξ1)>E(ξ2),D(ξ1)>D(ξ2)答案 A2.(2018课标Ⅰ,20,12分)某工厂的某种产品成箱包装,每箱200件,每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验,如检验出不合格品,则更换为合格品.检验时,先从这箱产品中任取20件作检验,再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验.设每件产品为不合格品的概率都为p(0<p<1),且各件产品是不是不合格品相互独立.(1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p),求f(p)的最大值点p0;(2)现对一箱产品检验了20件,结果恰有2件不合格品,以(1)中确定的p0作为p的值.已知每件产品的检验费用为2元,若有不合格品进入用户手中,则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用.(i)若不对该箱余下的产品作检验,这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X,求EX;(ii)以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据,是否该对这箱余下的所有产品作检验?解析(1)20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p)=p2(1-p)18.因此f '(p)=[2p(1-p)18-18p2(1-p)17]=2p(1-p)17(1-10p).令f '(p)=0,得p=0.1,当p∈(0,0.1)时, f '(p)>0;当p∈(0.1,1)时, f '(p)<0.所以f(p)的最大值点为p0=0.1.(2)由(1)知,p=0.1,(i)令Y表示余下的180件产品中的不合格品件数,依题意知Y~B(180,0.1),X=20×2+25Y,即X=40+25Y,所以EX=E(40+25Y)=40+25EY=490.(ii)如果对余下的产品作检验,则这一箱产品所需要的检验费为400元.由于EX>400,故应该对余下的产品作检验.C组教师专用题组考点一离散型随机变量及其分布列1.(2013课标Ⅰ,19,12分)一批产品需要进行质量检验,检验方案是:先从这批产品中任取4件做检验,这4件产品中优质品的件数记为n.如果n=3,再从这批产品中任取4件做检验,若都为优质品,则这批产品通过检验;如果n=4,再从这批产品中任取1件做检验,若为优质品,则这批产品通过检验;其他情况下,这批产品都不能通过检验.假设这批产品的优质品率为50%,即取出的每件产品是优质品的概率都为,且各件产品是不是优质品相互独立. (1)求这批产品通过检验的概率;(2)已知每件产品的检验费用为100元,且抽取的每件产品都需要检验,对这批产品做质量检验所需的费用记为X(单位:元),求X的分布列及数学期望.解析(1)设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A1,第一次取出的4件产品全是优质品为事件A2,第二次取出的4件产品都是优质品为事件B1,第二次取出的1件产品是优质品为事件B2,这批产品通过检验为事件A,依题意有A=(A1B1)∪(A2B2),且A1B1与A2B2互斥,所以P(A)=P(A1B1)+P(A2B2)=P(A1)P(B1|A1)+P(A2)P(B2|A2)=×+×=.(2)X可能的取值为400,500,800,并且P(X=400)=1--=,P(X=500)=,P(X=800)=.所以X的分布列为EX=400×+500×+800×=506.25.思路分析(1)设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A1,第一次取出的4件产品全是优质品为事件A2,第二次取出的4件全是优质品为事件B1,第二次取出的1件是优质品为事件B2,这批产品通过检验为事件A,依题意有A=(A1B1)∪(A2B2)且A1B1与A2B2互斥,进而求解.(2)X可能的取值为400,500,800,分别求其对应的概率,进而可得分布列、期望.2.(2013课标Ⅱ,19,12分)经销商经销某种农产品,在一个销售季度内,每售出1 t该产品获利润500元,未售出的产品,每1 t亏损300元.根据历史资料,得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图,如下图所示.经销商为下一个销售季度购进了130 t该农产品,以X(单位:t,100≤X≤150)表示下一个销售季度内的市场需求量,T(单位:元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润.(1)将T表示为X的函数;(2)根据直方图估计利润T不少于57 000元的概率;(3)在直方图的需求量分组中,以各组的区间中点值代表该组的各个值,并以需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率(例如:若需求量X∈[100,110),则取X=105,且X=105的概率等于需求量落入[100,110)的频率),求T的数学期望.解析(1)当X∈[100,130)时,T=500X-300(130-X)=800X-39 000,当X∈[130,150]时,T=500×130=65 000.所以T=-(2)由(1)知利润T不少于57 000元当且仅当120≤X≤150.由直方图知需求量X∈[120,150]的频率为0.7,所以下一个销售季度内的利润T不少于57 000元的概率的估计值为0.7.(3)依题意可得T的分布列为思路分析(1)经分段讨论(分X∈[100,130)和X∈[130,150])得函数解析式.(2)先求出利润T不少于57 000元时X的范围,然后根据直方图得到概率的估计值.(3)T可能的取值是45 000,53 000,61 000,65 000,由此结合题意列出分布列,进而得期望.易错警示(1)中容易忽略100≤X≤500而导致出错.3.(2013山东,19,12分)甲、乙两支排球队进行比赛,约定先胜3局者获得比赛的胜利,比赛随即结束.除第五局甲队获胜的概率是外,其余每局比赛甲队获胜的概率都是.假设各局比赛结果相互独立.(1)分别求甲队以3∶0,3∶1,3∶2胜利的概率;(2)若比赛结果为3∶0或3∶1,则胜利方得3分、对方得0分;若比赛结果为3∶2,则胜利方得2分、对方得1分.求乙队得分X的分布列及数学期望.解析(1)记“甲队以3∶0胜利”为事件A1,“甲队以3∶1胜利”为事件A2,“甲队以3∶2胜利”为事件A3,由题意,各局比赛结果相互独立,故P(A1)==,P(A2)=-×=,P(A3)=-×=.所以,甲队以3∶0胜利、以3∶1胜利的概率都为,以3∶2胜利的概率为.(2)设“乙队以3∶2胜利”为事件A4,由题意,各局比赛结果相互独立,所以P(A4)=-××-=.由题意,随机变量X的所有可能的取值为0,1,2,3.P(X=0)=P(A1+A2)=P(A1)+P(A2)=.又P(X=1)=P(A3)=,P(X=2)=P(A4)=,P(X=3)=1-P(X=0)-P(X=1)-P(X=2)=,故X的分布列为所以EX=0×+1×+2×+3×=.4.(2013陕西,19,12分)在一场娱乐晚会上,有5位民间歌手(1至5号)登台演唱,由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手.各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手,其中观众甲是1号歌手的歌迷,他必选1号,不选2号,另在3至5号中随机选2名.观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱,因此在1至5号中随机选3名歌手.(1)求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率;(2)X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和,求X的分布列及数学期望.解析(1)设A表示事件“观众甲选中3号歌手”,B表示事件“观众乙选中3号歌手”,则P(A)==,P(B)==. ∵事件A与B相互独立,∴观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率为P(A)=P(A)·P()=P(A)·[1-P(B)].=×=.或··(2)设C表示事件“观众丙选中3号歌手”,则P(C)==,∵X可能的取值为0,1,2,3,且取这些值的概率分别为P(X=0)=P()=××=,P(X=1)=P(A)+P(B)+P(C)=××+××+××=,P(X=2)=P(AB)+P(A C)+P(BC)=××+××+××=,P(X=3)=P(ABC)=××=,∴X的分布列为∴X的数学期望EX=0×+1×+2×+3×==.考点二离散型随机变量的均值与方差1.(2014浙江,9,5分)已知甲盒中仅有1个球且为红球,乙盒中有m个红球和n个蓝球(m≥3,n≥3),从乙盒中随机抽取i(i=1,2)个球放入甲盒中.(a)放入i个球后,甲盒中含有红球的个数记为ξi(i=1,2);(b)放入i个球后,从甲盒中取1个球是红球的概率记为p i(i=1,2).则()A.p1>p2,E(ξ1)<E(ξ2)B.p1<p2,E(ξ1)>E(ξ2)C.p1>p2,E(ξ1)>E(ξ2)D.p1<p2,E(ξ1)<E(ξ2)答案 A2.(2017江苏,23,10分)已知一个口袋中有m 个白球,n 个黑球(m,n ∈N *,n ≥2),这些球除颜色外完全相同.现将口袋中的球随机地逐个取出,并放入如图所示的编号为1,2,3,…,m+n 的抽屉内,其中第k 次取出的球放入编号为k 的抽屉(k=1,2,3,…,m+n).123…m+n(1)试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率P;(2)随机变量X 表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数,E(X)是X 的数学期望,证明:E(X)<-.解析 本小题主要考查古典概率、随机变量及其分布、数学期望等基础知识,考查组合数及其性质,考查运算求解能力和推理论证能力.(1)编号为2的抽屉内放的是黑球的概率P=- -=. (2)随机变量X 的概率分布为:E(X)=·--=· - - - .所以E(X)<-- -= --- -= - (1+ - - + - +…+ - -)= -( - - + - - + - +…+ - -) =-( - + - +…+ - -) =…=-( - - + - -)=---= - , 即E(X)<-.3.(2014福建,18,13分)为回馈顾客,某商场拟通过摸球兑奖的方式对1 000位顾客进行奖励,规定:每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球,球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额. (1)若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元,其余3个均为10元,求: (i)顾客所获的奖励额为60元的概率; (ii)顾客所获的奖励额的分布列及数学期望;(2)商场对奖励总额的预算是60 000元,并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成,或标有面值20元和40元的两种球组成.为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡,请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计,并说明理由.解析(1)设顾客所获的奖励额为X元.(i)依题意,得P(X=60)==,即顾客所获的奖励额为60元的概率为.(ii)依题意,得X的所有可能取值为20,60.P(X=60)=,P(X=20)==,即X的分布列为X 20 60P 0.5 0.5所以顾客所获的奖励额的期望为E(X)=20×0.5+60×0.5=40(元).(2)根据商场的预算,每个顾客的平均奖励额为60元.所以,先寻找期望为60元的可能方案.对于面值由10元和50元组成的情况,如果选择(10,10,10,50)的方案,因为60元是面值之和的最大值,所以期望不可能为60元;如果选择(50,50,50,10)的方案,因为60元是面值之和的最小值,所以期望也不可能为60元,因此可能的方案是(10,10,50,50),记为方案1.对于面值由20元和40元组成的情况,同理可排除(20,20,20,40)和(40,40,40,20)的方案,所以可能的方案是(20,20,40,40),记为方案2.以下是对两个方案的分析:对于方案1,即方案(10,10,50,50),设顾客所获的奖励额为X1元,则X1的分布列为X1的期望为E(X1)=20×+60×+100×=60,X1的方差为D(X1)=(20-60)2×+(60-60)2×+(100-60)2×=.对于方案2,即方案(20,20,40,40),设顾客所获的奖励额为X2元,则X2的分布列为X2的期望为E(X2)=40×+60×+80×=60,X2的方差为D(X2)=(40-60)2×+(60-60)2×+(80-60)2×=.由于两种方案的奖励额的期望都符合要求,但方案2奖励额的方差比方案1的小,所以应该选择方案2.4.(2014湖南,17,12分)某企业有甲、乙两个研发小组,他们研发新产品成功的概率分别为和.现安排甲组研发新产品A,乙组研发新产品B.设甲、乙两组的研发相互独立.(1)求至少有一种新产品研发成功的概率;(2)若新产品A研发成功,预计企业可获利润120万元;若新产品B研发成功,预计企业可获利润100万元.求该企业可获利润的分布列和数学期望.解析记E={甲组研发新产品成功},F={乙组研发新产品成功},由题设知P(E)=,P()=,P(F)=,P()=,且事件E 与F,E与,与F,与都相互独立.(1)记H={至少有一种新产品研发成功},则=,于是P()=P()P()=×=,故P(H)=1-P()=1-=.(2)设企业可获利润为X(万元),则X的可能取值为0,100,120,220,因为P(X=0)=P()=×=,P(X=100)=P(F)=×=,P(X=120)=P(E)=×=,P(X=220)=P(EF)=×=,故所求的分布列为E(X)=0×+100×+120×+220×===140.5.(2014大纲全国,20,12分)设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6、0.5、0.5、0.4,各人是否需使用设备相互独立.(1)求同一工作日至少3人需使用设备的概率;(2)X表示同一工作日需使用设备的人数,求X的数学期望.解析记A i表示事件:同一工作日乙、丙中恰有i人需使用设备,i=0,1,2,B表示事件:甲需使用设备,C表示事件:丁需使用设备,D表示事件:同一工作日至少3人需使用设备.(1)D=A1·B·C+A2·B+A2··C,P(B)=0.6,P(C)=0.4,P(A i)=×0.52,i=0,1,2,(3分)所以P(D)=P(A1·B·C+A2·B+A2··C)=P(A1·B·C)+P(A2·B)+P(A2··C)=P(A1)P(B)P(C)+P(A2)P(B)+P(A2)P()P(C)=0.31.(6分)(2)X的可能取值为0,1,2,3,4,则P(X=0)=P(·A0·)=P()P(A0)P()=(1-0.6)×0.52×(1-0.4)=0.06,P(X=1)=P(B·A0·+·A0·C+·A1·)=P(B)P(A0)P()+P()P(A0)P(C)+P()P(A1)P()=0.6×0.52×(1-0.4)+(1-0.6)×0.52×0.4+(1-0.6)×2×0.52×(1-0.4)=0.25,P(X=4)=P(A2·B·C)=P(A2)P(B)P(C)=0.52×0.6×0.4=0.06,P(X=3)=P(D)-P(X=4)=0.25,P(X=2)=1-P(X=0)-P(X=1)-P(X=3)-P(X=4)=1-0.06-0.25-0.25-0.06=0.38,(10分)数学期望EX=0×P(X=0)+1×P(X=1)+2×P(X=2)+3×P(X=3)+4×P(X=4)=0.25+2×0.38+3×0.25+4×0.06=2.(12分) 6.(2013浙江,19,14分)设袋子中装有a个红球,b个黄球,c个蓝球,且规定:取出一个红球得1分,取出一个黄球得2分,取出一个蓝球得3分.(1)当a=3,b=2,c=1时,从该袋子中任取(有放回,且每球取到的机会均等)2个球,记随机变量ξ为取出此2球所得分数之和,求ξ的分布列;(2)从该袋子中任取(每球取到的机会均等)1个球,记随机变量η为取出此球所得分数.若Eη=,Dη=,求a∶b∶c.解析(1)由题意得ξ=2,3,4,5,6.P(ξ=2)==,P(ξ=3)==,P(ξ=4)==,P(ξ=5)==,P(ξ=6)==.所以ξ的分布列为(2)由题意知η的分布列为所以E(η)=++=,D(η)=-·+-·+-·=,化简得---解得a=3c,b=2c,故a∶b∶c=3∶2∶1.【三年模拟】解答题(共85分)1.(2018北京东城二模,16)某银行的工作人员记录了3月1日到3月15日上午10:00在该银行取号后等待办理业务的人数,如图所示:。
