高考数学一轮复习离散型随机变量的均值与方差
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第8节 离散型随机变量的均值与方差
最新考纲 了解取有限个值的离散型随机变量的均值、方差的概念
IS础诊断
知识梳理
i. 离散型随机变量的均值与方差
若离散型随机变量X的分布列为
X X1 X2 … Xi … Xn
P P1 P2 … Pi … pn
(1) 均值
称E (X)= X]p]+ X?02+…+ X]pi+…+ XnPn为随机变量X的均值或数学期望，它
反映了离散型随机变量取值的平均水平.
(2) 方差
n
称D (X)=£_(xi — E (X)) 2p丄为随机变量X的方差，它刻画了随机变量 X与
i = 1
其均值E (X)的平均偏离程度，其算术平方根 D (X)为随机变量X的标准差.
2. 均值与方差的性质
(1) E (aX+ b)= aE (X)+ b.
(2) D (aX+ b)= a2D (X) (a, b 为常数).
3. 两点分布与二项分布的均值、方差
(1) 若X服从两点分布，则E (X)= p, D (X)= p (1 — p).
(2) 若 X〜B (n, p)，则 E (X)= np，D (X)= np (1 — p).
[常用结论与微点提醒]
1. 已知随机变量X的均值、方差，求X的线性函数丫= aX+ b的均值、方差和标 准差，可用均值、方差的性质求解；
2. 如能分析所给随机变量服从常用的分布(如二项分布)，可直接利用它们的均值、 方口归敦材，夯实:基础 差公式求解.
诊断自测
1•思考辨析（在括号内打“/或“ X”）
（1） 期望值就是算术平均数，与概率无关•（ ）
（2） 随机变量的均值是常数，样本的平均值是随机变量 .（ ）
（3） 随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度， 方差
或标准差越小，则偏离变量平均程度越小.（ ）
（4） 均值与方差都是从整体上刻画离散型随机变量的情况，因此它们是一回事
（ ） 解析均值即期望值刻画了离散型随机变量取值的平均水平，而方差刻画了离散 型随机变量的取值偏离期望值的平均程度，因此它们不是一回事，故（1）（4）均 不正确.
答案（1）X （2）V
2. （选修2-3P68T1改编）
X -1 0 1
1 r 1 1
P
1 2 3 6
设丫二2X+ 3,则E (丫)的值为( )
A. 3 B.4 C.-1 D.1
11 1 解析 E (x)= — 2+ g=-3，（3）V （4）X
4. (2017全国U卷)一批产品的二等品率为0.02,从这批产品中每次随机取一件,
有放回地抽取100次，X表示抽到的二等品件数，则 D (X)= _____________
解析 有放回地抽取，是一个二项分布模型，则 X〜
B (100，0.02)，所以 D (X)= np (1 — p)= 100X 0.02X 0.98=
1.96.
答案 1.96
则a= _________ ，数学期望E (X)= _____________
49 25 9 1 65
E (X)=1X84+ 2X84+ 3X84+ 4X84=42.
答案25 65
答案 84 42 6. (2018湖州调研)甲、乙两人被随机分配到 A，B，C三个不同的岗位(一个人
只能去一个工作岗位).记分配到A岗位的人数为随机变量X,则随机变量X的数
学期望E (X)= _____________ ，方差D (X)= _____________ .
0 O A
解析 由题意可得X的可能取值有0，1, 2，P (X= 0)= 亍 =9 P (X= 1)
3X 3 9
C2X 2 4 11^ 4 4 12
=3X 3 = 9, P(X = 2) = 3X3=9，则数学期望 E(X)= 0X 9+ 1X 9+ 2X 9= 3, X 1 2 3 4
P 49 a _9 丄
84 84 84 已知随机变量X的分布列如下: 5. (2018金华十校联考)
解析 由分布列的性质可得: 49 9 1
84+ a+ 84+ 84= 1,
解得a = 25
84.
考克突破 分类讲竦，以例求试
考点一 一般分布列的均值与方差方差D (X) 2 2 4
=0—3 X9+ 2
1-3 X4+ 2- 2 2 4
3 X 9=9.
【例3】(3)(2038浙江三市联考)已知某口袋中有3个白球和a个黑球(a€ N ), 现从中随机取出一球，再放回一个不同颜色的球(即若取出的是白球，则放回一 个黑球；若取出的是黑球，则放回一个白球)，记换好球后袋中白球的个数是 E
若 E (— 3,则 D (5 = ( )
3 3 A.| B.3 C.| D.2
(2) (2038浙江五校联考)从装有大小相同的3个红球和6个白球的袋子中，不 放回地每摸出2个球为一次试验，直到摸出的球中有红球时试验结束，则第一次 试验恰摸到一个红球和一个白球的概率是 ___________________ ;若记试验次数为X，则X的
数学期望E (X)= ___________ .
3 a
解析(3)由题意，知 5= 2 或 4，P ( 5= 2)= ， P ( 5= 4)= ，则 E
a + 3 a + 3
3 a
(5 = 2X ------- + 4X ------ = 3,解得 a = 3，
a+ 3 a+ 3
3 3 2 2
••• P ( 5= 2)= P ( = 4)= 2,则 D (5 = $ (2-3) 2+(4-3) 2] = 3.
c!c3 3
(2)第一次试验恰摸到一个红球和一个白球的概率是 p=-c£=2；若记试验次
数为X,则X= 3, 2, 3, 4,于是
cl c4 C2C3+ C2 9 3
P( x=3)= C9C4—^1 二 84二 l8，
P(X= 4) = Cl C4 C|=需,则 X 的数学期望 E(X) = 3 X -32+ IX 84+ 3x 18+ 4X 84
65
=4I.
答案(3) B (I) 3 45 P (X= 3) c3c3 + ci 7 —c
—=32,
P (X= 2) 2629 c「c 25一规律方法 (3)求离散型随机变量的均值与方差关键是确定随机变量的所有可能
(2) (2018温州九校联考)将四位同学等可能地分到甲、乙、丙三个班级，则甲
班级至少有一位同学的概率是 _________________ ，用随机变量a表示分到丙班级
的人数，则E( a = _____________ .
1 1 1
解析 (1)由已知，得1+3+ p= 1,所以p=6,
且 E (X) — 2X1+ OX 1+ 1X1一 6, ••• E (Y)= E
(2X+ 3)= 2E (X) + 3 = 2X
1 + 1 + C4 + C4 + C4 16
=81,所以甲班级至少有
一位同学的概率为1-81=H•随机变量a的可能取值为
【例2】(1)已知随机变量X服从二项分布B (n, p),若E (X)= 30, D (X) =20」p=
(2)(一题多解)同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时,
就说这次试验成功，则在2次试验中成功次数X的均值是 _____________
解析 (1)依题意可得 E (X)= np= 30,且 D (X)= np (1 — p)= 20,解得 p 4-
3 -- 3 +(2 )甲班级没有分到同学的概率为
0, 1, 2, 3, 4,则 P (E
=0)=話 P ( E= 1)= C4
( 1 + 1 + C3+ C3) 32 = P 81’ P (V 2)= C2 (1 + 1+ 2)
3 24 C4X 2 8
21, P (= 3)= 丁=81, P (片4)
24 8 1 4
+2X 81+3X 81+4X 81=3. 答案(1) 1 3 (2) 8? 4
考点二与二项分布有关的均值、方差 =扛81,于是E (a =0X暮+1X32 值，写出随机变量的分布列，正确运用均值、方差公式进行计算
则 p= ________ ;若 Y= 2X+ 3,贝U E (Y)= __________ . 1
=3.
1 3
(2)法一 由题意可知每次试验不成功的概率为4,成功的概率为4,在2次试验
中成功次数X的可能取值为0，1, 2,则
1 1 1 3 3
P (X=o)= 16, P(x= 1)= C2X4X4二8,
2
P(X= 1 2 = 4 = 9
所以在2次试验中成功次数X的分布列为
X 0 1 2
P 1
9
16
16
则在2次试验中成功次数X的均值为
1 3 9 3
E (X)二 ox 16+ 1X8+2X—=^.
3
法二 此试验满足二项分布，其中p= 4,所以在2次试验中成功次数X的均值为
3 3
E (X)= np= 2X4 = 2
1 3
答案(1) 3 (2) 3
规律方法二项分布的期望与方差
(1) 如果E〜B (n, p),则用公式E (B = np； D ( $ = np (1 — p)求解，可 大大减少计算量.
(2) 有些随机变量虽不服从二项分布，但与之具有线性关系的另一随机变量服从 二项分布，这时，可以综合应用 E (a& b)= aE ( $ + b以及E ( $ = np求出 E (a& b),同样还可求出D (a& b).
【训练2】(1)有10道数学单项选择题，每题选对得 4分，不选或选错得0分.
1
已知某考生能正确答对其中的 7道题，余下的3道题每题能正确答对的概率为-.
