2020年高考数学一轮复习人教班理科数学课件第十章 第七节 离散型随机变量的分布列、均值与方差

离散型随机变量的均值与方差、正态分布

一、基础知识

1.均值

一般地，若离散型随机变量X的分布列为：

X x1 x2 … xi … xn

P p1 p2 … pi … pn

则称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn为随机变量X的均值或数学期望.它反映了离散型随机变量取值的平均水平.

1期望是算术平均值概念的推广，是概率意义下的平均.,2EX是一个实数，由X的分布列唯一确定，即作为随机变量，X是可变的，可取不同值，而EX是不变的，它描述X取值的平均状态.,3EX＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn直接给出了EX的求法，即随机变量取值与相应概率分别相乘后相加.

2.方差

设离散型随机变量X的分布列为：

X x1 x2 … xi … xn

P p1 p2 … pi … pn

则(xi－E(X))2描述了xi(i＝1,2，…，n)相对于均值E(X)的偏离程度.而D(X)＝(xi－E(X))2pi为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度.称D(X)为随机变量X的方差，并称其算术平方根DX为随机变量X的标准差.

1随机变量的方差与标准差都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度.DX越大，表明平均偏离程度越大，X的取值越分散.反之，DX越小，X的取值越集中在EX附近.,2方差也是一个常数，它不具有随机性，方差的值一定是非负.

3.两个特殊分布的期望与方差

分布 期望 方差

两点分布 E(X)＝p D(X)＝p(1－p)

二项分布 E(X)＝np D(X)＝np(1－p)

4.正态分布

(1)正态曲线的特点

①曲线位于x轴上方，与x轴不相交；②曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称；

③曲线在x＝μ处达到峰值1σ2π；④曲线与x轴之间的面积为1；

⑤当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移；

1 离散型随机变量及其分布列

1．随机变量的有关概念

(1)随机变量：随着试验结果的变化而变化的变量，常用字母X，Y，ξ，η，…表示．

(2)离散型随机变量：所有取值可以一一列出的随机变量．

2．离散型随机变量的分布列及其性质

(1)概念：一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1，2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，则下表

X x1

x2 … xi … xn

P p1 p2 … pi … pn

称为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列，有时为了表达简单，也用等式P(X＝xi)＝pi，i＝1，2，…，n表示X的分布列．

(2)离散型随机变量的分布列的性质

①pi≥0(i＝1，2，…，n)；

②∑ni＝1pi＝1．

3．常见的离散型随机变量分布列

(1)两点分布

若随机变量X服从两点分布，则其分布列为

X 0 1

P 1－p p

其中p＝P(X＝1)称为成功概率．

(2)超几何分布

一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则P(X＝k)＝CkMCn－kN－MCnN，k＝0，1，2，…，m，即：

X 0 1 … m

P C0MCn－0N－MCnN C1MCn－1N－MCnN … CmMCn－mN－MCnN 2 其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*.

如果随机变量X的分布列具有上表的形式，则称随机变量X服从超几何分布.

判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)随机变量和函数都是一种映射，随机变量把随机试验的结果映射为实数．( )

(2)抛掷均匀硬币一次，出现正面的次数是随机变量．( )

(3)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的．( )

(4)离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和．( )

(5)从4名男演员和3名女演员中选出4人，其中女演员的人数X服从超几何分布．( )

第8节 离散型随机变量的均值与方差

最新考纲 了解取有限个值的离散型随机变量的均值、方差的概念

IS础诊断

知识梳理

i. 离散型随机变量的均值与方差

若离散型随机变量X的分布列为

X X1 X2 … Xi … Xn

P P1 P2 … Pi … pn

(1) 均值

称E (X)= X]p]+ X?02+…+ X]pi+…+ XnPn为随机变量X的均值或数学期望，它

反映了离散型随机变量取值的平均水平.

(2) 方差

n

称D (X)=£_(xi — E (X)) 2p丄为随机变量X的方差，它刻画了随机变量 X与

i = 1

其均值E (X)的平均偏离程度，其算术平方根 D (X)为随机变量X的标准差.

2. 均值与方差的性质

(1) E (aX+ b)= aE (X)+ b.

(2) D (aX+ b)= a2D (X) (a, b 为常数).

3. 两点分布与二项分布的均值、方差

(1) 若X服从两点分布，则E (X)= p, D (X)= p (1 — p).

(2) 若 X〜B (n, p)，则 E (X)= np，D (X)= np (1 — p).

[常用结论与微点提醒]

1. 已知随机变量X的均值、方差，求X的线性函数丫= aX+ b的均值、方差和标 准差，可用均值、方差的性质求解；

2. 如能分析所给随机变量服从常用的分布(如二项分布)，可直接利用它们的均值、 方口归敦材，夯实:基础 差公式求解.

诊断自测

1•思考辨析（在括号内打“/或“ X”）

（1） 期望值就是算术平均数，与概率无关•（ ）

（2） 随机变量的均值是常数，样本的平均值是随机变量 .（ ）

（3） 随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度， 方差

或标准差越小，则偏离变量平均程度越小.（ ）

（4） 均值与方差都是从整体上刻画离散型随机变量的情况，因此它们是一回事

（ ） 解析均值即期望值刻画了离散型随机变量取值的平均水平，而方差刻画了离散 型随机变量的取值偏离期望值的平均程度，因此它们不是一回事，故（1）（4）均 不正确.

1 第7节 二项分布与正态分布

课时作业

基础对点练(时间：30分钟)

1．把一枚硬币连续抛两次，记“第一次出现正面”为事件A，“第二次出现正面”为事件B，则P(B|A)＝( )

(A)12

(B)14 (C)16 (D)18

A

解析：事件A的概率为P(A)＝12，事件AB发生的概率为P(AB)＝14，由公式可得P(B|A)＝PABPA＝1412＝12，选A.

2．已知ξ～N(3，σ2)，若P(ξ≤2)＝0.2，则P(ξ≤4)等于(

)

(A)0.2 (B)0.3

(C)0.7

(D)0.8

D 解析：由ξ～N(3，σ2)，得μ＝3，则正态曲线的对称轴是x＝3，所以P(ξ≤4)＝1－P(ξ≤2)＝0.8.故选D.

3．若某人每次射击击中目标的概率均为35，此人连续射击三次，至少有两次击中目标的概率为( )

(A)81125 (B)54125

(C)36125 (D)27125

A 解析：本题考查概率的知识．至少有两次击中目标包含仅有两次击中，其概率为C233521－35；若三次都击中，其概率为C33353，根据互斥事件的概率公式可得，所求概率为P＝C233521－35＋C33353＝81125，故选A.

4．(2019江西鹰潭一中模拟)端午节放假，甲回老家过节的概率为13，乙、丙回老家过节的概率分别为14，15.假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少1人回老家过节的概率为( ) 2 (A)5960

(B)35

(C)12

(D)160

B

解析：“甲、乙、丙回老家过节”分别记为事件A，B，C，则P(A)＝13，P(B)＝14，P(C)＝15，所以P(A)＝23，P(B)＝34，P(C→)＝45.由题知A，B，C为相互独立事件，所以三人都不回老家过节的概率P(A

B C)＝P(A→)P(B)P(C→)＝23×34×45＝25，所以至少有一人回老家过节的概率P＝1－25＝35.