高考数学一轮复习第十章概率5离散型随机变量的均值与方差课件新人教A版2

正态分布

1 正态分布的概念

若连续型随机变量𝜉的概率密度函数为𝑓(𝑥)=1𝜎√2 𝜋 𝑒−(𝑥−𝜇)22 𝜎2 , 𝑥∈(−∞ ,+∞) ,

其中𝜎 ,𝜇为常数，且𝜎>0，则称𝑥服从正态分布，简记为𝑥∼𝑁(𝜇 ,𝜎2).

𝑓(𝑥) 的图象称为正态曲线.

2 正态分布的期望与方差

若𝜉∼ 𝑁(𝜇 ,𝜎2)，则 𝐸(𝜉)=𝜇 ,𝐷(𝜉)=𝜎2;

3 正态曲线的性质

① 曲线在𝑥轴的上方，与𝑥轴不相交；

② 曲线关于直线𝑥=𝜇对称；

③ 曲线在𝑥=𝜇时达到峰值1𝜎 √2 𝜋；

④ 曲线与𝑥轴之间的面积为1；

⑤ 当𝑥<𝜇时，曲线上升；当𝑥>𝜇时，曲线下降．并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以𝑥轴为渐进线，向它无限靠近；

⑥ 曲线的形状由𝜎确定，

𝜎越大，峰值1𝜎 √2 𝜋越小，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散；

𝜎越小，峰值1𝜎 √2 𝜋越大，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中．

4若𝑋~𝑁(𝜇 ,𝜎2)，𝑋取值不超过𝑥的概率𝑃(𝑋≤𝑥)为区域𝐴的面积，而𝑃(𝑎≤𝑋≤𝑏)为区域𝐵的面积. 5 𝟑𝝈原则 假设𝑋~𝑁(𝜇 ,𝜎2)，对于给到的𝑘∈𝑁∗,𝑃(𝜇−𝑘𝜎<𝑥≤𝜇+𝑘𝜎)是一个只与𝑘有关的定值，特别地，

𝑃(𝜇−𝜎<𝑥≤𝜇+𝜎)=0.6827

𝑃(𝜇−2 𝜎<𝑥≤𝜇+2 𝜎)=0.9545

𝑃(𝜇−3 𝜎<𝑥≤𝜇+3 𝜎)=0.9973

在实际应用中，通常认为服从于正态分布 𝑁(𝜇 ,𝜎2)的随机变量只取 (𝜇−3 𝜎 ,𝜇+3 𝜎)之间的值，并简称之为 3𝜎原则.

6 标准正态分布

① 在标准正态分布表中相应于𝑥0的值Φ(𝑥0)是指总体取值小于𝑥0的概率，

【走向高考】2015届高考数学一轮总复习 10-8离散型随机变量及其概率分布课后强化作业 新人教A版

基础巩固强化

一、选择题

1．某机械零件加工由2道工序组成，第1道工序的废品率为a，第2道工序的废品率为b，假定这2道工序出废品的概率彼此无关，那么产品的合格率是( )

A．ab－a－b＋1 B．1－a－b

C．1－ab D．1－2ab

[答案] A

[解析] 由于第一道工序与第二道工序出废品的概率彼此无关，故产品的合格率为p＝(1－a)(1－b)＝ab－a－b＋1.

2．(2013·揭阳二模)把一枚硬币连续抛两次，记“第一次出现正面”为事件A，“第二次出现正面”为事件B，则P(B|A)等于( )

A.12 B.14

C.16 D.18

[答案] A

[解析] A与B相互独立，∴P(B|A)＝P(B)＝12.

3．已知随机变量ξ满足条件ξ～B(n，p)，且E(ξ)＝12，D(ξ)＝125，则n与p的值分别为( )

A．16与45 B．20与25

C．15与45 D．12与35

[答案] C

[解析] ∵ξ～B(n，p)，∴E(ξ)＝np＝12，D(ξ)＝np(1－p)＝125，∴n＝15，p＝45.

4．(2013·济南模拟)位于直角坐标原点的一个质点P按下列规则移动：质点每次移动一个单位，移动的方向为向左或向右，并且向左移动的概率为13，向右移动的概率为23，则质点P移动五次后位于点(1,0)的概率是( )

A.4243 B.8243

C.40243 D.80243

[答案] D [解析] 依题意得，质点P移动五次后位于点(1,0)，则这五次移动中必有两次向左移动，另三次向右移动，因此所求的概率等于C25·(13)2·(23)3＝80243，选D.

5．设口袋中有黑球、白球共7个，从中任取2个球，已知取到白球个数的数学期望值为67，则口袋中白球的个数为( )

7.3.1 离散型随机变量的均值教学设计

一、内容与内容解析

1.内容：离散型随机变量均值的定义，随机变量的均值与样本均值的联系与区别，离散型随机变量均值的性质，利用组合数解决实际问题.

2.内容解析：

（1）离散型随机变量均值的定义：

我们的目的是构造一个数值，用来描述随机变量取值的平均水平.设取有限个值的离散型随机变量X，它的分布列为pi=P(X=xi)，i=1，2，…，n.可以直接构造以pi为xi的权重的加权平均数∑𝑥𝑖𝑝𝑖𝑛𝑖=1，来描述X取值的平均水平.由于随机变量的均值和方差都是度量性的概念，而度量因比较而产生，因此教科书并未直接给出均值的定义，而是以比较两名运动员的射箭水平为问题情境，以频率稳定到概率为依据，由X观测值的频率分布稳定到X的分布列，观测值的平均数（样本均值）稳定到∑𝑥𝑖𝑝𝑖𝑛𝑖=1，将样本均值的稳定值定义为随机变量的均值．这种方法揭示了样本均值与随机变量均值（总体均值）的关系，为用样本均值估计随机变量均值提供了依据． 随机变量的均值（数学期望）是样本均值的稳定值，它是客观存在的．如果随机变量的分布列已知，期望值唯一确定；如果随机变量的分布列未知，可由样本均值进行估计．

（2）随机变量的均值与样本均值的联系与区别：

了解随机变量均值与样本均值的关系，可以进一步深入理解随机变量均值的意义．为此教科书设置了一个观察栏目，以掷骰子为例，已知出现点数X的均值为3. 5，利用计算机模拟掷骰子重复60次和300次的试验各进行6组，用图形表示掷出点数的平均数．观察图形可以看到掷出点数的平均数具有随机性，但随着试验次数的增大，点数的平均数逐渐稳定到3. 5实际上，频率稳定到概率是样本均值稳定到随机变量均值的特殊情形．在教学中，还可以再多进行几次模拟试验，类比事件的频率稳定到概率，了解样本均值的特点及其与随机变量均值的关系．

（3）离散型随机变量均值的性质：随机变量的均值有许多性质，我们主要研究其线性运算性质E(aX+b)=aE(X)+b. 该性质根据定义不难直接证明．在教学中，可引导学生类比平均数的性质或根据均值的意义，先猜出结果再计算证明．在后面的学习中，包括求随机变量的均值、方差及探究方差的性质，都可以进行这方面的训练，这是培养学生直观想象素养的重要途径．

庖丁巧解牛

知识·巧学

一、离散型随机变量的均值

若离散型随机变量X的分布列为

X x1 x2 … xi … xn

P p1 p2 … pi … pn

则称EX=x1p1+x2p2+…+xipi+…+xnpn为随机变量X的均值或数学期望.

随机变量的均值反映的是离散型随机变量的平均取值水平.由定义可知，离散型随机变量的均值与它本身有相同的单位.

知识拓展 上述问题推广到一般有：假设随机试验进行了ｎ次，根据X的分布列，在ｎ次试验中，有p1n次出现了x1，p2n次出现了x2，…，pnn次出现了xn，在ｎ次试验中，X出现的总次数为p1nx1＋p2nx2＋…＋pnnxn.因此ｎ次试验中，X出现的平均值=nnxpnxpnxpnni221=EX，即EX=p1x1+p2x2+…+pnxn.

辨析比较 随机变量的均值与样本的平均值的关系：随机变量的均值是一个常数，它不依赖于样本的抽取，而样本平均值是一个随机变量，它随样本抽取的不同而变化.对于简单随机抽样，随着样本容量的增加，样本平均值越来越接近于总体的均值.

二、随机变量函数的数学期望

对随机变量X，若Y=ａX＋ｂ，其中ａ，ｂ是常数，则Y是随机变量，且有E(aX+b)=aEX+b.

对上述公式，特别地：

(1)当a=0时，E（b）=b，即常数的数学期望就是这个常数本身；

(2)当a=1时，E（X＋b）=EX＋b，即随机变量X与常数之和的期望等于X的期望与这个常数的和；

(3)当b=0时，E(aX)=aEX，即常数与随机变量乘积的期望等于这个常数与随机变量期望的乘积.

三、常见的离散型随机变量的均值

1.两点分布：若X服从两点分布，则EX=p.

事实上，假设在一次试验中某事件发生的概率为p，X是一次试验中此事件发生的次数，令q=1-p，则有P（X=0）=q，P（X=1）=p，可得:

EX=0×q＋1×p=p.