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两个平面平行的判定和性质一、内容提要1. 两个平面的位置关系，同平面内两条直线的位置关系相类似，可以从有无公共点来区分。
因此，空间不重合的两个平面的位置关系有：（1）平行—没有公共点；（2）相交—有无数个公共点，且这些公共点的集合是一条直线。
注意：在作图中，要表示两个平面平行时，应把表示这两个平面的平行四边形画成对应边平行。
2. 两个平面平行的判定定理表述为：4. 两个平面平行具有如下性质：（1）两个平行平面中,一个平面内的直线必平行于另一个平面。
简述为：“若面面平行,则线面平行”。
（2）如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。
简述为：“若面面平行,则线线平行”。
（3）如果两个平行平面中一个垂直于一条直线，那么另一个也与这条直线垂直。
（4）夹在两个平行平面间的平行线段相等。
二、要点内容1. 证明两个平面平行的方法有：（1）根据定义。
证明两个平面没有公共点。
由于两个平面平行的定义是否定形式，所以直接判定两个平面平行较困难，因此通常用反证法证明。
（2）根据判定定理。
证明一个平面内有两条相交直线都与另一个平面平行。
（3）根据“垂直于同一条直线的两个平面平行”，证明两个平面都与同一条直线垂直。
2. 两个平行平面的判定定理与性质定理不仅都与直线和平面的平行有逻辑关系，而且也和直线与直线的平行有密切联系。
就是说，一方面，平面与平面的平行要用线面、线线的平行来判定；另一方面，平面与平面平行的性质定理又可看作平行线的判定定理。
这样，在一定条件下，线线平行、线面平行、面面平行就可以互相转化。
3. 两个平行平面有无数条公垂线，它们都是互相平行的直线。
夹在两个平行平面之间的公垂线段相等。
因此公垂线段的长度是唯一的，把这公垂线段的长度叫作两个平行平面间的距离。
显然这个距离也等于其中一个平面上任意一点到另一个平面的垂线段的长度。
两条异面直线的距离、平行于平面的直线和平面的距离、两个平行平面间的距离，都归结为两点之间的距离。
判断两平面平行的方法
嘿，咱今天来聊聊怎么判断两平面是不是平行。
你看啊，如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那这两个平面大概率就是平行的啦。
就好像在一个大空间里，有两组线，一组在这个平面里，一组在那个平面里，它们相互平行，那这两个平面也就“心有灵犀”啦。
还有哦，如果两个平面和同一条直线都垂直，那它们也很可能是平行的呢。
这就好比有根杆子直直地立在那，两个平面都跟它“贴得紧紧的”，那这两个平面也差不多是平行的状态啦。
再有呢，要是两个平面分别平行于第三个平面，那它们自己也是平行的哟。
就像有三个小伙伴，其中两个跟第三个关系好，那这两个之间关系也差不了。
反正啊，判断两平面平行的方法不少呢，记住这些，遇到问题就能轻松判断啦。
判断两平面平行主要就是看这些条件，掌握了就能准确判断啦。
两个平面平行的判定方法
判断两个平面是否平行，可以采用以下几种方法：
一、求交线法。
如果两个平面有交线，则它们不是平行的；如果两个平面没有交线，则它们可能是平行的。
二、求法向量法。
如果两个平面的法向量相同，则它们是平行的；如果两个平面的法向量
不同，则它们不是平行的。
三、求夹角法。
如果两个平面的夹角为0°，则它们是平行的；如果两个平面的夹角不为0°，则它们不是平行的。
四、求投影法。
如果两个平面的投影重合，则它们是平行的；如果两个平面的投影不重合，则它们不是平行的。
以上就是判断两个平面是否平行的几种方法，可以根据实际情况选择合适的方法进行判断。
两个平面平行的判定
一、素质教育目标
（一）知识教学点
1．两个平面平行的定义．
2．两个平面的位置关系及画法．
3．两个平面平行的判定．
（二）能力训练点
1．理解并掌握两个平面平行的定义．
2．会画平行或相交平面的空间图形，并用字母或符号表示，进一步培养学生的空间想象能力．
3．掌握两个平面平行的判定定理的证明，进一步培养学生严密的逻辑思维能力．
（三）德育渗透点
让学生认识研究两个平面的位置关系以及掌握和应用两个平面平行的判定是实际生产的需要，体现了理论联系实践的原则，并更好地培养学生分析问题与解决问题的能力．
二、教学重点、难点、疑点及解决方法
1．教学重点：掌握两个平面的位置关系；掌握两个平面平行的判定．
2．教学难点：掌握两个平面平行的判定定理的证明及其应用．
3．教学疑点：正确理解并应用两个平面平行的判定定理时，要注意定理中的关键词：相交．
三、课时安排
两个平面的位置关系及两个平面平行的判定和性质这两个课题安排为2课时．本节课为第一课时，主要讲解两个平面的位置关系及两个平面平行的判定．
四、教与学过程设计
（一）复习回顾：
1．空间内两条直线的位置关系：相交、平行、异面．
2．直线和平面的位置关系：直线在平面内、直线和平面相交、直线和平面平行．
3. 直线和平面平行的判定定理：如果不在一个平面内一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。
4. 直线和平面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行。
（二）两个平面的位置关系
师：教师出示（二层楼房示意图）课件,
让我们一起来观察：第一、二层的底面α和β有没有公共点？
前、后两面房顶γ和δ呢？
学生思考问题：两个平面的位置关系可分为几种情况？
学生通过观察得出结论：（两种，平行或相交．）
师：什么是平行的平面？
生：两个平面没有公共点叫做两个平面互相平行．
师：什么是相交平面？
生：两个平面有公共点叫做两个平面互相平行．
师：有多少个公共点？一个，还是无数？
注意：如果没有特殊说明我们一般不研究两个平面重合的情况
教师点评并总结发言：从上面的例子，我们知道：两个平面的位置关系同平面内两条直线的位置关系相类似，可从有无公共点来区分．若两个平面有不共线的两个公共点，则由公理3可知这两个平面必然重合为一个平面；若两个平面有一个公共点，则由公理2
可知这两个平面相交于过这个点的一条直线；若两个平面没有公共点，则这两个平面互相平行．由此得出不重合的两个平面的位置关系：
两个平面平行——没有公共点；
两个平面相交——有一条公共直线（至少有一个公共点）．
师：那么如何画出并表示两个平行平面和两个相交平面呢？
师教师出示课件：
画两个平行平面的要点是：表示平面的平行四边形的对应边相互平行．如下图1—102．
画两个相交平面的要点是：先画表示两个平面的平行四边形的相交两边，再画表示两个平面交线的线段．成图时注意不相交的直线相互平行且等长，不可见的部分画虚线或不画．
课件演示：
(学生练习)：画两个平行平面和分别在这两个平面内的两条平行直线，再画一个经过这两条平行直线的平面．
（三）两个平面平行的判定
师：根据前面平面平行的定义，我们来判断下面命题的正误，并说明理由
命题1．如果两个平面平行，那么其中一个平面内的所有直线一定都和另一个平面平行．
命题2．如果一个平面内的所有直线都和另一个平面平行，那么这两个平面平行．
生：命题1是正确的．因为在这些直线中如果有一条和另一个平面有公共点，这点也必是这两个平面的公共点．那么这两个平面就不可能平行了．
命题2也是正确的．因为如果这两个平面有公共点，那么在另一个平面内通过这点的直线就不可能平行于另一个平面．
师：通过上面的讨论我们知道：两个平面平行的问题可转化为一个平面内直线和另一个平面平行的问题．实际上判定两个平面平行的条件不需要一个平面内的所有直线都平行于另一个平面，只需要在一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面．
课件演示：
两个平面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．
师：我们知道，一个定理只有经过证明才能说明它的正确性并直接应用，下面我们来证明这个定理．
已知：在平面β内，有两条相交直线a、b和平面α平行．
求证：β∥α．
师分析：要证明这个定理，应该根据定义，利用反证法证明．
证明：假设α∩β＝c．
a∥α，a∩β，
a∥c，同理b∥c．
a∥b，这与题设a与b相交矛盾
α∥β．
反思：那么在一个平面内有两条直线都和另一个平面平行，那么这两个平面平行
吗？若两条直线换作无数条呢？（在教室里举例说明这种情况）
师：在实际生活中，也经常利用这个判定定理判断两个平面平行．如在判断一个平面是否水平时，把水准器放在这个平面上交叉放两次，如果水准器的气泡都是居中的，就可以判定这个平面和水平面平行．课件演示：
线线平行
线面平行
推论 ： 如果一个平面内的两条相交直线分别与另一个平面内
的两条直线平行，那么这两个平面平行。
（四）例题分析
例题１. 如果一个平面内的两条相交直线分别与另一个平面内的两条直线平行，那么这两个平面平行。
已知：直线 a 、b 在 平面α内，直线 c 、d 在平面β内，且 a // α,b // α,c // β,
d // β,
求证：α//β
证明：（略）
例 2 求证:垂直于同一直线的两个平面平行．
已知：α⊥L ，β⊥L ， 求证：α∥β．
师提示：要证明两个平面平行，有两种方法：一是利用定义；二是利用判定定理，也是较常用的一种方法．因此利用判定定理证明例1的关键是：如何构造一个平面内的两相
交直线都平行于另一个平面？
•证明：设经过直线ＡA＇的
•两个平面γ，δ分别与
•平面α、β交于
•直线a，c和b，d．
•∵ＡA＇⊥α，ＡA＇⊥β，
•∴ＡA＇⊥a，ＡA＇⊥a＇，
•∴a‖c，则c∥α．
•同理，d∥α．
•又∵c∩d＝ A＇∴α∥β．
师：这个例题的结论可与定理“垂直于同一平面的两条直线平行”联系起来记忆，也可作为判定两个平面平行的一种方法．
(五)练习：
1.判断下列命题的正误．
●(1)．平行于同一条直线的两个平面平行( )
●(2)．分别在两个平行平面内的两条直线都平行． ()
●(3)．如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行．( )
●(4)．如果平面α内的任意一条直线和平面β平行,那么平面α//平面β.( )
答：(1)．错，这两个平面还可能相交．
(2)．错，这两条直线还可能异面，但不会相交．
(3)．错，反例如图右
(4)．对．
2．能保证两个平面α、β平行的条件是 （ D ） (A) 有一条直线与α、β都平行
(B) 有无数条直线与α、β都平行
(C) 有一个平面与α、β都相交，且交线平行
(D) 有两条平行直线a ，b 使a ⊥α且b ⊥β．
３.平行于同一个平面的两个平面一定 （ A ） (A) 平行 (B) 相交 (C) 平行或相交 (D) 都不对 4.解答题
(1)
棱长为a 的正方体， 求证：１.直线AC1⊥平面A1BD ２.平面A1BD//平面CB1D
(2).已知：a 、b 是异面直线， α、β表示平面，且a ∥ α 、a ∥ β ，b ∥ α 、b ∥ β ．
求证： α ∥ β ．
证明：过a 作平面γ与α、β分别 交于直线m 和n ；
过b 作平面与α、β分别交 于p 和q
同理p//q , p//β 若m 与n 平行，则a 与b 平行与已知矛盾． ∴ m 与n 是相交直线， ∴α∥β．
////////////a a m m n m a a n ⇒⎧⎫⇒⇒⎨⎬⇒⎩
⎭αβ
βD
B A 1B 1
C 1
D 1.
.
（六）小结与作业
• 1.本节课我们学习了两个平面平行的定义；两个平面的位置关系：平行或相交；两个平面平行的判定．掌握两个平面平行的判定的研究可以转化为线线平行、线面平行的研究．关键是直线应具备“相交”“平行”要求。
另外例１也可以作为定理直接使用。
2．作业：练习１.（１）（４）
习题１－５。
