2021届湖北省百所重点中学高三10月联考数学试题

2021届湖北省六校高三上学期10月联考数学试题一、单选题1．设U =R ，集合01xA x x ⎧⎫=>⎨⎬-⎩⎭，{}11B x x =-<<，则()U A B =（）A ．(]0,1B ．[)0,1C ．()0,1D ．[]0,1答案：B 思路：由{0=|01xA x x x x ⎧⎫=><⎨⎬-⎩⎭或}1x >，则{}=|01UA x x ≤≤，代入即可得解.解： 由{0=|01xA x x x x ⎧⎫=><⎨⎬-⎩⎭或}1x >，则{}=|01UA x x ≤≤，所以(){}|0x<1UA B x =≤，故选：B. 点评：本题考查了集合的运算，考查了分式不等式，计算量不大，属于基础题. 2．函数()()1ln 2f x x =-的定义域为（）A ．()1,11,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．1,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．()1,11,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．()0,2答案：C思路：根据函数成立的条件即可求函数的定义域． 解：要使函数()()1ln 2f x x =-有意义，则3102021x x x -≥⎧⎪->⎨⎪-≠⎩1321x x x ⎧≥⎪⎪⇒<⎨⎪≠⎪⎩，故函数的定义域为()1,11,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭.故选：C本题主要考查函数定义域的求法，要求熟练掌握常见函数成立的条件，属于基础题． 3．在ABC 中，已知45A =︒，30B =︒，c =a =（）A．B-C1D1答案：B思路：根据题中条件，先得到105C =︒，再由正弦定理，即可得出结果. 解：因为在ABC 中，45A =︒，30B =︒， 所以1804530105C =︒-︒-︒=︒，又c =由正弦定理可得，sin sin a cA C=，即sin sin 4c Aa C====.故选：B. 点评：本题主要考查正弦定理解三角形，属于基础题.4．若[]1,2x ∃∈-，使得不等式220x x a -+<成立，则实数a 的取值范围为（） A ．3a <- B ．0a <C ．1a <D ．3a >-答案：C思路：由题意可转化为[]1,2x ∃∈-，使2+2a x x <-成立，求2+2x x -的最大值即可. 解：因为[]1,2x ∃∈-，使得不等式220x x a -+<成立， 所以[]1,2x ∃∈-，使得不等式2+2a x x <-成立， 令2()2f x x x =-+，[]1,2x ∈-，因为对称轴为1x =，[]1,2x ∈- 所以max ()(1)1f x f ==， 所以1a <，点评：本题主要考查了存在性命题的应用，考查了函数最值的求法，转化思想，属于中档题. 5．“开车不喝酒，喝酒不开车．”近日，公安部交通管理局下发《关于2019年治理酒驾醉驾违法犯罪行为的指导意见》，对综合治理酒驾醉驾违法犯罪行为提出了新规定，根据国家质量监督检验检疫总局下发的标准，车辆驾驶人员饮酒后或者醉酒后驾车血液中的酒精含量阈值见表．经过反复试验，一般情况下，某人喝一瓶啤酒后酒精在人体血液中的变化规律的“散点图”见图，且图表所示的函数模型0.540sin 13,02()39014,2x x x f x e x π-⎧⎛⎫+≤<⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪⋅+≥⎩，则该人喝一瓶啤酒后至少经过（）小时才可以驾车？（参考数据：ln15 2.71,ln30 3.40≈≈） 车辆驾驶人员血液酒精含量阈值 驾驶行为类别阈值（mg /100mL ）饮酒后驾车 20,80≥<醉酒后驾车80≥A ．5B ．6C ．7D ．8答案：B思路：先根据散点图可得该人喝一瓶啤酒后的2个小时内，其酒精含量阈值大于20，故根据0.59014202x e x -⎧⋅+<⎨≥⎩的解可得正确的选项.解：由散点图可得该人喝一瓶啤酒后的2个小时内，其酒精含量阈值大于20，令0.59014202x e x -⎧⋅+<⎨≥⎩，故0.51152x e x -⎧<⎪⎨⎪≥⎩，所以2ln152 2.71 5.42x >≈⨯=， 故选：B. 点评：本题考查分段函数在实际中的应用，注意根据散点图选择合适的函数解析式来进行计算，本题属于基础题.6．已知函数()32f x x px qx =--的图像与x 轴切于点(1,0)，则()f x 的极值为（）A ．极大值为427，极小值为0 B ．极大值为0，极小值为427-C ．极小值为527-，极大值为0D ．极小值为0，极大值为527答案：A思路：根据题意，求得2,1p q ==-，得到()322f x x x x =-+，再利用导数求得函数的单调性，利用极值的定义，即可求解函数的极大值和极小值，得到答案． 解：由题意，函数()32f x x px qx =--，则()232f x x px q '=--，因为函数()f x 的图像与x 轴切于点(1,0)， 则()1320f p q '=--=，且()110f p q =--=，联立方程组32010p q p q --=⎧⎨--=⎩，解得2,1p q ==-，即()322f x x x x =-+，则()2341(31)(1)f x x x x x =-+=--'，当1(,)3x ∈-∞时，()0f x '>，函数()f x 单调递增， 当1(,1)3x ∈时，()0f x '<，函数()f x 单调递减， 当(1,)x ∈+∞时，()0f x '>，函数()f x 单调递增， 所以函数()f x 的极大值为14()327f =，极小值为(1)0f =， 故选A ． 点评：本题主要考查了利用导数研究函数的单调性与极值问题，其中解答中准确利用导数求得函数的单调性，再利用函数极值的概念求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．7．如图，在ABC 中，4BC =，4BA BC ⋅=，点P 为边BC 上的一动点，则PA PC ⋅的最小值为（）A ．0B ．2-C ．94-D ．3-答案：C思路：作辅助线AO BC ⊥，利用向量数量积公式，可求得1BO =，3CO =，再利用向量的三角形法则，将求PA PC ⋅的最小值，转化为求PO PC ⋅得最小值，然后分类讨论P 与O 的位置关系，可知P 在O 右侧时，PA PC ⋅最小，再利用基本不等式求最值. 解：如图所示，作AO BC ⊥4BA BC ⋅=，4BC =，cos 4BA BC B ∴⋅=，可得cos 1BA B =，即1BO =，3CO ∴= 利用向量的三角形法则，可知()PA PO OA PC PO PC PC ⋅=+⋅=⋅若P 与O 重合，则0PC PA ⋅=若P 在O 左侧，即P 在OB 上时,PA PO PC PC ⋅=⋅若P 在O 右侧，即P 在OC 上时，PA PO PC PC ⋅=-⋅，显然此时PA PC ⋅最小，利用基本不等式2924PO PCPO PC⎛⎫+⎪-⋅≥-=-⎪⎪⎝⎭（当且仅当PO PC=，即P为OC中点时取等号）故选：C.点评：本题考查向量的三角形法则，向量的数量积公式，及利用基本不等式求最值，考查学生的转化能力，数形结合思想，属于中档题.8．已知函数()()sin cos06f x x xπωωω⎛⎫=++>⎪⎝⎭在[]0,π内有且仅有3个零点，则ω的取值范围是（）A．811,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭B．811,33⎛⎤⎥⎝⎦C．1013,33⎛⎤⎥⎝⎦D．1013,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭答案：A思路：利用两角和正弦公式和辅助角公式将函数整理为()3sin3f x xπω⎛⎫=+⎪⎝⎭，由[]0,xπ∈，得,333xπππωπω⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦，结合正弦函数的图像求得3ππω+的范围，从而求得ω的范围.解：()sin cos sin cos cos sin cos666f x x x x x xπππωωωωω⎛⎫=++=++⎪⎝⎭33sin cos3sin23x x xπωωω⎛⎫=+=+⎪⎝⎭当[]0,xπ∈时，,333xπππωπω⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦()f x在[]0,π有且仅有3个零点，结合正弦函数图像可知，343πππωπ∴≤+<解得：81133ω≤< 故选：A. 点评：本题考查函数的零点问题，解答本题关键是先利用三角恒等变换公式将三角函数整理为()sin y A ωx φ=+形式，再利用数形结合思想求解，考查学生的数形结合与计算能力，属于中档题. 二、多选题9．若函数1x y a b =+-（0a >，且1a ≠）的图像不经过第二象限，则需同时满足（） A ．1a > B ．01a << C ．0b > D ．0b ≤答案：AD思路：根据指数型函数的图像分布，列式可解得. 解：因为函数1xy a b =+-(0a >,且1a ≠)的图像不经过第二象限，即可知图像过第一、三、四象限，或过第一，三象限及原点，所以其大致图像如图所示：由图像可知函数为增函数，所以1a >， 当0x =时，110y b b =+-=≤， 故选：AD . 点评：本题考查了指数函数的图像，考查数形结合思想，属于基础题. 10．下列函数中，最小值是4的函数有（） A ．()224f x x x=+B ．()4cos 0cos 2f x x x x π⎛⎫=+≤< ⎪⎝⎭C ．()221f x x =+D ．()433xxf x =+答案：ACD思路：根据基本不等式，对各项逐个分析判断，经过计算即可得解. 解：对A ，20x ≥，可得()224f x x x=+≥，当22x =时取等，故A 正确， 对B ，0cos 1x ≤<，()4cos 5cos f x x x=+>，故B 错误， 对C1≥，()24f x =≥，2=取等，故C 正确， 对D ，30x >，()433xx f x =+≥，当32x =时取等，故D 正确. 故选：ACD. 点评：本题考查了基本不等式，在利用基本不等式求最值时，注意变量的取值范围，关键是考查能否取等号，属于基础题.11．已知函数()21,0log ,0kx x f x x x +≤⎧=⎨>⎩，下列是关于函数()1y f f x =+⎡⎤⎣⎦的零点个数的判断，其中正确的是（） A ．当0k >时，有3个零点 B ．当k 0<时，有2个零点 C ．当0k >时，有4个零点 D ．当k 0<时，有1个零点答案：CD思路：令y ＝0得()1f f x =-⎡⎤⎣⎦，利用换元法将函数分解为f （x ）＝t 和f （t ）＝﹣1，作出函数f （x ）的图象，利用数形结合即可得到结论． 解：令()10y f f x =+=⎡⎤⎣⎦，得()1f f x =-⎡⎤⎣⎦，设f （x ）＝t ，则方程()1f f x =-⎡⎤⎣⎦等价为f （t ）＝﹣1，①若k ＞0，作出函数f （x ）的图象如图：∵f （t ）＝﹣1，∴此时方程f （t ）＝﹣1有两个根其中t 2＜0，0＜t 1＜1，由f （x ）＝t 2＜0，此时x 有两解，由f （x ）＝t 1∈（0，1）知此时x 有两解，此时共有4个解， 即函数y ＝f [f （x ）]+1有4个零点．②若k ＜0，作出函数f （x ）的图象如图：∵f （t ）＝﹣1，∴此时方程f （t ）＝﹣1有一个根t 1，其中0＜t 1＜1，由f （x ）＝t 1∈（0，1），此时x 只有1个解，即函数y ＝f [f （x ）]+1有1个零点． 故选：CD ．点评：本题考查分段函数的应用，考查复合函数的零点的判断，利用换元法和数形结合是解决本题的关键，属于难题．12．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列{}n a 称为“斐波那契数列”，记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则下列结论正确的是（） A ．68a = B ．954S =C ．135********a a a a a ++++=D ．22212201920202019a a a a a +++= 答案：ACD思路：由题意可得数列{}n a 满足递推关系12211,1,(3)n n n a a a a a n --===+≥，依次判断四个选项，即可得正确答案. 解：对于A ，写出数列的前6项为1,1,2,3,5,8，故A 正确； 对于B ，911235813+21+3488S =++++++=，故B 错误；对于C ，由12a a =，342a a a =-，564a a a =-，……，201920202018a a a =-，可得：13520192426486202020182020a a a a a a a a a a a a a a +++⋅⋅⋅+=+-+-+-++-=，故C 正确. 对于D ，斐波那契数列总有21n n n a a a ++=+，则2121a a a =，()222312321a a a a a a a a =-=-，()233423423a a a a a a a a =-=-，……，()220182018201920172018201920172018a a a a a a a a =-=-，220192019202020192018a a a a a =-，可得22212201920202019201920202019a a a a a a a a+++==，故D 正确；故选：ACD. 点评：本题以“斐波那契数列”为背景，考查数列的递推关系及性质，考查方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意递推关系的灵活转换，属于中档题. 三、填空题13．已知向量a 与b 的夹角为60︒，2a =，3b=，则32a b +=________． 答案：思路：先计算a b ⋅，再将232a b +展开，将已知条件代入即得结果. 解：依题意，1cos602332a b a b ︒=⋅=⋅⨯⨯=，故2223294129449123108a b a b a b +=++⋅=⨯+⨯+⨯=，即3263a b +=. 故答案为：点评：本题考查了向量的数量积运算和向量的模的求法，属于基础题.14．公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割值约为0.618，这一数值也可以表示为2sin18m =︒，若24m n +=，则2=________．答案：12-思路：由已知利用同角三角函数的平方关系可求24cos 18n =，然后利用降幂公式，诱导公式，二倍角的正弦函数公式化简即可． 解：根据题意，且2sin18m =︒，24m n +=，化简22cos542sin182cos18-==︒⋅︒︒sin 3612sin 362-︒==-︒.故答案是：12-． 点评：本题主要考查了同角三角函数的平方关系，降幂公式，诱导公式，二倍角的正弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．15．等差数列{}n a 中，n S 为其前n 项和，若52015S =，20155S =，则2020S =________． 答案：2020-思路：先利用等差数列{}n a 的求和公式证得n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，并由已知条件计算该数列的公差，进而利用等差数列的推广的通项公式()n m a a n m d =+-求解. 解：等差数列{}n a 中，记首项为1a ，公差为d ，利用等差数列求和公式1(1)2n n n S na d -=+，可得111222n S n d d a d n a n -=+=+-， 又111(1)()122222n n S S d d d d d n a n a n n +-=++--+-=+ 所以n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1a ，公差为2d 等差数列，由52015S =，20155S =，得5201555S =，2015201155205S = 所以n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的公差为201555201520155201552015520155S S --=-- 所以202055201520155(20205)12020520155S S ⎛⎫- ⎪=+-=- ⎪- ⎪⎝⎭所以20202020S =- 故答案为：2020- 点评：本题考查等差数列的证明，及等差数列通项公式的求法，解题的关键是要证得n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，考查学生的逻辑推理能力与运算求解能力，属于难题.16．若存在两个正实数x ，y 使等式()()ln ln 0x m y x y x +--=成立，（其中2.71828e =）则实数m 的取值范围是________．答案：(),0-∞思路：由条件转化为11ln y y m x x ⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭，换元0yt x=>，令()()1ln g t t t =-，由导数确定函数的值域即可求解. 解：()()ln ln x m x y y x =--，()()ln ln 11ln x y y x y y m x x x--⎛⎫==-⋅ ⎪⎝⎭ 设0yt x=>且1t ≠， 设()()1ln g t t t =-，那么()()11ln 1ln 1g t t t t t t'=-+-⋅=-+-，()221110t g t t t t+''=--=-<恒成立，所以()g t '是单调递减函数，当1t =时，()10g '=，当()0,1t ∈时，()0g t '>，函数单调递增， 当()1,t ∈+∞，()0g t '<，函数单调递减， 所以()g t 在1t =时，取得最大值，()10g =，即10m<， 解得：0m <， 故答案为：(),0-∞ 点评：本题主要考查了利用导数研究函数的单调性、最值，考查了变形运算能力，属于中档题. 四、解答题 17．在①()sin sin sin B C A C -=-②tan tan A B=+③2cos cos cos a A b C c B =+这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求出b c +的最大值；若问题中的三角形不存在，请说明理由（若选择多个，则按第一个条件评分）问题：已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2a =，________，求b c +的最大值 答案：答案见解析.思路：选择条件①，利用两角和与差的正弦化简，可求得3A π=，再利用余弦定理，结合基本不等式求b c +的最大值；选择条件②，利用正弦定理化简，可求得3A π=，与①一样可求b c +的最大值；选择条件③，利用正弦定理化简，可求得3A π=，与①一样可求b c +的最大值； 解：若选择条件①，()sin sin sin B C A C -=-，三角形存在.()()sin sin sin A C C A C ∴+-=-，化简可得：2cos sin sin A C C = ∵sin 0C >，∴1cos 2A =，∴3A π= 由余弦定理可知，2222cos b c bc A a +-=224b c bc ∴+-=，()234b c bc ∴+-=利用基本不等式()224332b c b c bc +⎛⎫+-=≤ ⎪⎝⎭，当且仅当b c =时等号成立， ()244b c +∴≤，04b c ∴<+≤综上()max 4b c +=.tan tan A B =+，三角形存在.sin sin cos cos A BA B=+()sin sin cos cos cos cos A B CA B A B+==∵sin 0C >，∴1,tan sin cos A A A=∴=3A π=， 同理条件①可得()max 4b c +=若选择条件③，2cos cos cos a A b C c B =+，三角形存在.由正弦定理得：2sin cos sin cos sin cos A A B C C B =+ 化简得：()2sin cos sin sin A A B C A =+= ∵sin 0A >，∴1cos 2A =，∴3A π= 同理条件①可得()max 4b c += 点评：本题考查正余弦定理的应用，及利用基本不等式求最值，考查学生的转化能力与运算能力，属于中档题.18．数列{}n a 中，n S 为其前n 项和，且11a n +=+． （1）求n S ，n a ；（2）若n n b a =⋅{}n b 的其前n 项和n T ．答案：（1）2n S n =；21n a n =-；（2）()12326n n T n +=-+.思路：（1）由1n =，得11a =，进而得2n S n =，再由1n n n a S S -=-即可得解；（2）由()212nn b n =-，利用错位相减法即可求和.解：（1）当1n =时，12a =，则11a =，则2n S n =，当2n ≥时，121n n n a S S n -=-=-当1n =时，11a =适合上式，则21n a n =-， （2）由（1）可知，()212nn b n =-则()21232212n n T n =⋅+⋅++- ()23121232212n n T n +=⋅+⋅++-两式相减得()()212222212n n n T n +-=+++--()1114(12)=22(32)6122122n n n n n -++-+⨯-=----，∴()12326n n T n +=-+.点评：本题主要考查了利用1n n n a S S -=-求数列通项公式，涉及错位相减法求和，属于基础题.19．如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点．（Ⅰ）证明：//PB 平面AEC ；（Ⅱ）设1,60PA ABC =∠=，三棱锥E ACD -的体积为3，求二面角D AE C --的余弦值．答案：(Ⅰ)证明见解析；（Ⅱ）13. 思路：(Ⅰ))连接BD 交AC 于点O ，连接OE ，根据中位线定理可得//PB OE ，由线面平行的判定定理即可证明//PB 平面AEC ；（Ⅱ）以点A 为原点，以AM 方向为x 轴，以AD 方向为y 轴，以AP 方向为z 轴，建立空间直角坐标系，分别求出平面CAE 与平面DAE 的一个法向量，根据空间向量夹角余弦公式，可得结果. 解：(Ⅰ)连接BD 交AC 于点O ，连接OE ，则O 为BD 中点，E 为PD 的中点，所以//PB OE ， OE ⊂平面,ACE PB ⊄平面ACE ，所以//PB 平面AEC ；（Ⅱ）设菱形ABCD 的边长为a ，324P ABCDP ACD E ACD V V V ---===， 211332133P ABCDABCD V S PA a -⎛⎫=⋅=⨯⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭，则3a =. 取BC 中点M ，连接AM .以点A 为原点，以AM 方向为x 轴，以AD 方向为y 轴， 以AP 方向为z 轴，建立如图所示坐标系.()3,0D ，()0,0,0A ，312E ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，332C ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭312AE ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，332AC ⎛⎫= ⎪⎝⎭，设平面ACE 的法向量为1(,,)n x y z =， 由11,n AE n AC ⊥⊥，得3102233022y z x y +=⎪⎨⎪+=⎪⎩，令1x =，则3,3y z =-= ()11,3,3n =∴-，平面ADE 的一个法向量为()21,0,0n =12121213cos<,>13139n n n n n n ⋅===++⋅， 即二面角D AE C --的余弦值为1313. 【点晴】本题主要考查线面平行的判定定理以及利用空间向量求二面角，属于中档题题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.20．已知函数()()4log 41xf x mx =+-是偶函数，函数()42x xn g x +=是奇函数． （1）求m n +的值； （2）设()()12h x f x x =+，若()()4log 21g h x h a >+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦对任意4log 3x ≥恒成立，求实数a 的取值范围． 答案：（1）12m n +=-；（2）1,32⎛⎫- ⎪⎝⎭. 思路：（1）根据偶函数的定义，求m 的值，根据奇函数若在原点有意义，则必满足()00g =，求n 的值，从而求得m n +；（2）求参数的恒成立问题转化为求最值问题，本题形如()f x a >恒成立，转化为()min f x a >恒成立，即转化为求()min f x ，从而求得a 的取值范围.解：（1）由()f x 是偶函数，得()()f x f x -= 即()()()()()444log 41log 411log 41xx x f x mx m x mx --=++=++-=+-化简得：()1mx m x -=-，故12m =由()g x 为奇函数，且定义域为R ，所以()00g =，即004012n n +=⇒=-，经检验，1n =-符合题意； 综上，可得12m n +=-（2）∵()()()41log 412x h x f x x =+=+，∴()()44log 21log 22h a a +=+⎡⎤⎣⎦ 又()()4log 21g h x h a >+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦对4log 3x ∀≥恒成立，即()()4min log 22g h x a >+⎡⎤⎣⎦对4log 3x ∀≥恒成立，下面求()min g h x ⎡⎤⎣⎦， 又()()4log 41xh x =+，在区间[)4log 3,+∞上是增函数()()4log 31h x h ∴≥=又()41222x x x xg x --==-在区间[)1,+∞上是增函数， ()()()4min 3g log 312g h x h g ∴===⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ 由题意，得32224122032210a a a a ⎧+<⎪⎪⎪+>⇒-<<⎨⎪+>⎪⎪⎩所以实数a 的取值范围是：1,32⎛⎫- ⎪⎝⎭． 点评：本题考查利用函数奇偶性求参数，及函数恒成立求参数问题，在解函数恒成立问题时，往往转化为最值问题求解，考查学生的转化与化归思想与计算能力，属于中档题. 21．已知直线1l 与圆22:9O x y +=相切，动点M 到()2,0E -与()2,0F 两点的距离之和等于E 、F 两点到直线1l 的距离之和． （1）求动点M 的轨迹C 的方程；（2）过点F 的直线2l 交轨迹C 于不同两点A 、B ，交y 轴于点N ，已知1NA AF λ=，2NB BF λ=，试问12λλ+是否等于定值，并说明理由．答案：（1）22:195x y C +=；（2）是定值，为185-，理由详见解析. 思路：（1）由64ME MF +=>得动点M 的轨迹是以E 、F 为焦点，长轴长为6的椭圆可得答案；（2）直线斜率存在取特殊情况可证明，不存时直线与椭圆联立，利用韦达定理结合向量可得答案. 解： 是定值，为185-，理由如下：（1）设E 、O 、F 三点到直线1l 的距离分别为1d 、d 、2d ，O 为EF 的中点， ∵直线1l 与圆22:9O x y +=相切，∴3d = ∴12264ME MF d d d +=+==>∴动点M 的轨迹是以E 、F 为焦点，长轴长为6的椭圆 ∴2a b =，3a =，2c =，2225b a c所以动点M 的轨迹22:195x y C +=.（2）①当2l 斜率为0时，()0,0N ，()2,0F ，不妨取()30A -,，()3,0B ， ∴()3,0NA =-，()5,0AF =，则135λ=-， ()3,0NB =，()1,0BF =-，则23λ=-，∴12185λλ+=-． ②当2l 斜率不为0时，设()2:20l ty x t =-≠，()11,A x y 、()22,B x y ，则20,N t ⎛⎫- ⎪⎝⎭．则()1111111122,2,1NA ABF x y x y t ty λλλ⎛⎫=⇒+=--⇒=-- ⎪⎝⎭ 由2NB BF λ=，同理可得2221ty λ=--由222195x ty x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()225920250t y ty ++-=，∴1222059t y y t +=-+，1222559y y t =-+， ∴1212121222222018222255y y t ty ty t y y t λλ⎛⎫++=--+=--⋅=--⋅=-⎪⎝⎭， 综上，12185λλ+=-为定值． 点评：本题考查了直线和椭圆的位置关系，求动点轨迹的问题及椭圆与向量的结合求定值的问题.22．已知函数()()ln 1f x ax x =-+（Ⅰ）若1a =，求函数()f x 的最小值；（Ⅱ）若函数()0f x >对任意的()0,x ∈+∞恒成立，求正实数．．．a 的最值范围；（Ⅲ）求证：n N+∀∈e <．（e 为自然对数的底数） 答案：（Ⅰ）0；（Ⅱ）1a ≥；（Ⅲ）证明见解析.思路：（Ⅰ）根据题意，先得函数定义域，再对函数求导，根据函数单调性，即可求出函数最值；（Ⅱ）对函数求导，得到()11f x a x'=-+，分别讨论1a ≥，01a <<两种情况，根据导数的方法研究函数单调性，以及函数的大致范围，即可得出结果； （Ⅲ）先由（Ⅱ）知，1a =时，()ln 1x x >+，()0,x ∈+∞，取1xk，k N +∈，得11ln 1k k ⎛⎫ ⎪⎝<⎭+，k N +∈，推出1kk e k +⎛⎫< ⎪⎝⎭，k N +∈，进而可证明结论成立. 解：（Ⅰ）当1a =时，由题意可得，函数()f x 的定义域为()1,x ∈-+∞，()110011xf x x x x'=-==⇒=++ 随x 变化，()f x ，()f x '的变化情况如下：所以当0x =时，()()min 00f x f ==； （Ⅱ）由()11f x a x'=-+ 当1a ≥时，()10,11x ∈+，∴()101f x a x'=->+恒成立，即()f x 在()0,∞+上单调递增，所以()()00f x f >=恒成立，符合题意； 当01a <<时，()()1111ax a a a f x x x x a ---⎛⎫'==- ⎪++⎝⎭，若10,a x a -⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()0f x '<，即()f x 在10,a x a -⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上单调递减，此时()()00f x f <=，不符合题意；综上：1a ≥；（Ⅲ）由（Ⅱ）知，1a =时，()ln 1x x >+，()0,x ∈+∞ 取1x k ，k N +∈，则11ln 1k k⎛⎫ ⎪⎝<⎭+，1k =，2，…，n 即111111k k k k e e e k k k +⎛⎫⎛⎫+<⇒+<⇒< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，1k =，2，…，n 上式n 个式子相乘得：1232341123nn n e n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅⋅< ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 即()1!n n n e n +<，e <. 点评：本题主要考查导数的方法求函数的最值，考查由导数的方法研究不等式恒成立的问题，考查导数的方法证明不等式，属于常考题型.。

2021年高三上学期10月综合测试数学试题含答案本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。

满分150分，考试时间120分钟第I卷选择题（共50分）一．选择题：（本题共10个小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的,请将正确答案填到答题卡的相应位置）1.设集合},yy=x-A x则<xxB22,]2,0[{},={∈1=(A) [0,2] (B) (1,3) (C) [1,3) (D) (1,4)2.给出下列两个命题，命题“”是“”的充分不必要条件；命题q：函数是奇函数，则下列命题是真命题的是A. B. C. D.3. “，”是“函数的图象过原点”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4.函数的定义域为(A) (B) (C) (D)5.已知函数若方程有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是,.（A）（B）（C）（D）6.定义在R上的奇函数满足，当时，，则在区间内是（）A．减函数且f（x）＞0 B．减函数且f（x）＜0 C．增函数且f（x）＞0 D．增函数且f （x）＜07.若对任意的恒成立，则的最大值是（A）4（B）6（C）8（D）108.已知函数的图象过点，则的图象的一个对称中心是(A) (B) (C) (D)9.已知函数，则函数的大致图象为10.直线与不等式组表示的平面区域有公共点，则实数m的取值范围是A. B. C. D.二．填空题（每小题5分，共25分。

请把答案填在答题卡上）11.当时，函数的图像恒过点A，若点A在直线上，则的最小值为________12.已知对于任意的x∈R，不等式|x﹣3|+|x﹣a|＞5恒成立，则实数a的取值范围是________13.若，则= ___________．14.已知向量和，，其中，且，则向量和的夹角是．15.已知函数在区间内任取两个实数，不等式恒成立，则实数a的取值范围为___________.三．解答题（满分75分。

2021届湖北省部分重点中学高三上学期10月联考数学试卷★祝考试顺利★(含答案)一、单项选择题：本题共8小题,每小题5分,共40分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1.全集,,,则图中阴影部分表示的集合是( )A． B．C．D．2. 从2020年起,某地考生的高考成绩由语文、数学、外语3门统一高考成绩和考生选考的3门普通高中学业水平考试等级性考试科目成绩构成．等级性考试成绩位次由高到低分为A、B、C、D、E,各等级人数所占比例依次为：A等级15%,B等级40%,C等级30%,D等级14%,E 等级1%．现采用分层抽样的方法,从参加历史等级性考试的学生中抽取200人作为样本,则该样本中获得A或B等级的学生人数为（）A．55 B．80 C．90 D．1103．已知A＝{x|1≤x≤2},命题“∀x∈A,x2－a≤0”是真命题的一个充分不必要条件是( ) A．a≥4 B．a≤4 C．a≥5 D．a≤54．在《增减算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关,初行健步不为难；次日脚痛减一半,如此六日过其关”.则下列说法不正确的是（）A．此人第一天走的路程比后五天走的路程多6里B．此人第六天只走了5里路C．此人第二天走的路程比全程的14还多1.5里D．此人走的前三天路程之和是后三天路程之和的8倍5. 已知定义在R 上的函数||()21x m f x -=-（m 为实数）为偶函数,记()32a f -=,()3m b f =,()0.5log 3c f =,则（ ）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．c b a <<6. 函数π()sin()(0)4f x A x ωω=+>的图象与x 轴正方向交点的横坐标由小到大构成一个公差为π3的等差数列,要得到函数()cosg x A x ω=的图象,只需将()f x 的图象（ ）A ．向右平移4π个单位B ．向左平移π12个单位C ．向左平移4π个单位D ．向右平移34π个单位 7．现有某种细胞1千个,其中约有占总数一半的细胞每小时分裂一次,即由1个细胞分裂成2个细胞,按这种规律,1小时后,细胞总数约为12×10000＋12×10000×2＝32×10000,2小时后,细胞总数约为12×32×10000＋12×32×10000×2＝94×10000,问当细胞总数超过1010个时,所需时间至少为( ) (参考数据：lg3≈0.477,lg2≈0.301)A ．38小时B ．39小时C ．40小时D ．41小时8. 若1a >,设函数()4x f x a x =+- 的零点为(),log 4a m g x x x =+-的零点为n ,则11m n+的取值范围是( )A ．7,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．9,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．()4,+∞D ． [)1,+∞二、多项选择题：本题共4小题,每小题5分,共20分。

湖北省部分重点中学高三年级10月联考数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}2430,{230}A x x x B x x =-+<=->∣∣，则A B ⋃=（）A.(1,3)B.3,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭C.31,2⎛⎫⎪⎝⎭D.(1,)+∞2.已知命题2:,230p x R ax x ∀∈++>.若命题p 为假命题，则实数a 的取值范围是（）A.13a a ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭∣ B.103a a ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭∣ C.13a a ⎧⎫≤⎨⎬⎩⎭∣ D.13a a ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭∣3.在ABC 中，“cos cos A B <”是“sin sin A B >”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.函数3222x xx y -=+在[6,6]-的图像大致为（）A. B. C. D.5.基本再生数与世代间隔是新冠肺炎的流行病学基本参数，基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间，在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：()rI t e =描述累计感染病例数()I t 随时间t （单位：天）的变化规律，指数增长率r 与0R T 、近似满足01R rT =+.有学者基于已有数据估计出0 3.28,6R T ==.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加3倍需要的时间约为(ln 20.69)≈（）A.1.8天B.2.4天C.3.0天D.3.6天6.设函数()2()1()ln 31f x g x ax x =-=-+，若对任意1[0,)x ∈+∞，都存在2x R ∈，使得()()12f x g x =，则实数a 的最大值为（）A.2B.94 C.92D.47.如图，已知OPQ 是半径为1，圆心角为4π的扇形，C 是扇形弧上的动点，ABCD 是扇形的内接矩形，记POC α∠=，矩形ABCD 的面积最大值为（）A.12-B.12C.2D.32-8.已知()f x 满足248,0()1(2),02x x x f x f x x ⎧--≤⎪=⎨->⎪⎩，若在区间(1,3)-内，关于x 的方程()()f x kx k k =+∈R 有4个根，则实数k 的取值范围是（）A.104k <≤或8k =- B.104k <≤C.08k <≤-D.104k <<二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知0,0x y >>且3210x y +=，则下列结论正确的是（）A.xy 的最大值为625C.32x y +的最小值为52 D.22x y +的最大值为1001310.函数()sin cos (0)f x a x b x ab =+≠的图象关于6x π=对称，且()085f x a =，则（）A.b =B.04cos 65x π⎛⎫-=⎪⎝⎭ C.024cos 2325x π⎛⎫-=⎪⎝⎭ D.07sin 2625x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭11.设函数()f x 定义域为,(1)f x -R 为奇函数，(1)f x +为偶函数，当(1,1]x ∈-时，2()1f x x =-+，则下列结论正确的是（）A.7324f ⎛⎫=-⎪⎝⎭B.(7)f x +为奇函数C.()f x 在(6,8)上为减函数D.方程()lg 0f x x +=恰有6个实数解12.已知函数112222,0()log ,0x xx f x x x +--⎧+-≤⎪=⎨>⎪⎩，若()()()()1234f x f x f x f x ===，且1234x x x x <<<，则（）A.121x x +=-B.341x x =C.34212x x ≤<<≤ D.123432022x x x x <+++≤-三、填空题：本题共4小題，每小题5分，共20分.13.已知3,log a ba b b a==，则3a b +=_______.14.函数2()2cos sin 21f x x x =-+在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭的单调递增区间是________.15.已知偶函数()f x 定义域为,00,22ππ⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其导函数是()f x '.当02x π<<时，有()cos ()sin 0f x x f x x '+<，则关于x 的不等式()cos 4f x x π⎛⎫> ⎪⎝⎭的解集为________.16.函数()3sin()0,||2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭，已知33f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，且对于任意的x ∈R 都有066f x f x ππ⎛⎫⎛⎫-++--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，若()f x 在52,369ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，则ω的最大值为_______.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤.17.（本题满分10分）设集合{}2{lg(1)30A xy x B x x x a ==-=-+=∣∣.（1）若2a =时，求A B ⋂；（2）若A B A ⋃=，求实数a 的取值范围.18.（本題满分12分）党的十九大以来，恩施州深入推进精准脱贫，加大资金投入，强化对接帮扶，州委州政府派恩施高中到杨家庄村去考察和指导工作.该村较为䏌困的有200户农民，且都从事农业种植，据了解，平均每户的年收入为0.3万元.为了调整产业结构，恩施高中和杨家庄村委会决定动员部分农民从事白茶加工，据估计，若能动员(0)x x >户农民从事白杀加工，则㔞下的继续从事农业种植的农民平均每户的年收入有望提高4%x ，而从事白杀加工的农民平均每户收入将为30.3(0)50x a a ⎛⎫-> ⎪⎝⎭万元.（1）若动员x 户农民从事白茶加工后，要使从事农业种植的农民的总年收入不低于动员前从事农业种植的农民的总年收入，求x 的取值范围；（2）在（1）的条件下，要使这200户农民中从事白杀加工的农民的总收入始终不高于从事农业种植的农民的总收入，求a 的最大值.19.（本题满分12分）已知函数2()4sin sin (cos sin )(cos sin )142x f x x x x x x π⎛⎫=+++--⎪⎝⎭.（1）求()f x 及其对称中心；（2）若函数1()(2)()122g x f x af x af x a π⎡⎤⎛⎫=+---- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦在区间,42ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为2，求a 的值.20.（本题满分12分）已知()e 1,()(1)1(0,xf x a axg x a x a e =-+=-+≠为自然对数的底数).（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若函数()()()h x g x f x =-有两个不同零点12,x x ，求证：122x x +>.21.（本题满分12分）已知ABC ∆中，,,a b c 是角,,A B C 所对的边，sin sin 2A Ca b A +=，且1a =.（1）求B ；（2）若AC BC =，在ABC ∆的边,AB AC 上分别取,D E 两点，使ADE ∆沿线段DE 折叠到平面BCE 后，顶点A 正好落在边BC （设为点P ）上，求此情况下AD 的最小值.22.（本题满分12分）已知函数()log x a f x a e x e =--，其中1a >.（e 为自然对数的底数）（1）讨论()f x 的极值点的个数；（2）当2e a e ≤≤时，证明：()0f x ≥.湖北省部分重点中学高三年级10月联考数学学科（参考答案）一、选择题：题号12345678答案DCCBDBAA二、选择题：题号9101112答案BCABDABDBCD三、填空题：13.14.3,82ππ⎛⎫⎪⎝⎭；（注：3,82ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭也正确）15.,00,44ππ⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭16.5四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤.17.【详解】（1）由题意得(){{}lg 11A x y x x x ==--=>，因为2a =，所以{}{}23201,2B x x x =-+==，则{}2A B = .（2）因为A B A = ，所以B A ⊆.①当B=∅时，由题意得940a -<，解得94a >；②当B ≠∅时，由题意得39412394012a ->+⎧⎪-≥⎪⎨>⎪⎪⎪⎪⎩，解得924a <≤.综上，a 的取值范围为()2,+∞.18.【详解】（1）动员x 户农民从事白茶加工后，要使从事农业种植的农民的总年收入不低于动员前从事农业种植的农民的总年收入.则[](200)0.3(10.04)2000.3x x -⨯⨯+≥⨯，解得0175x <≤.（2）由于从事白茶加工的农民的总收入始终不高于从事农业种植的农民的总收入，则[]()30.3(200)0.3(10.04)017550x a x x x x ⎛⎫-⋅≤-⨯⨯+<≤ ⎪⎝⎭，化简得2000.027(0)a x a x≤++>.由于2000.027711x x ++≥+=，当且仅当2000.02x x =，即100x =时等号成立，所以011a <≤，所以a 的最大值为11.19.【详解】（1）22()21cos sin cos sin 12f x x x x x π⎡⎤⎛⎫=-+⋅+--⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦2sin (22sin )12sin 12sin x x x x =++--=.对称中心为(),0k π，k Z ∈.（2）1()sin 2sin cos 12g x x a x a x a =+---，令sin cos x x t -=，则2sin 21x t =-，∴22211112242a a y t at a t a ⎛⎫=-+--=--+- ⎪⎝⎭，∵sin cos 4t x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，,42x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，∴,424x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，∴1t ≤≤.①当2a <时，即a <-时，22max 22422a a a a y ⎛⎫=--+-=-- ⎪⎝⎭.令222a--=，解得a =.②当12a≤≤时，即2a -≤≤时，2max42a a y =-，令2242a a -=，解得2a =-或4a =（舍）.③当12a >时，即2a >时，在1t =处max 12ay =-，由122a-=，得6a =.因此2a =-或6.20.【详解】（1）解：()()1xxf x ae a a e '=-=-，0x >，1x e >；0x <，1x e <，当0a <时，()1xf x ae ax =-+在(),0-∞上是增函数，在()0,+∞上是减函数；当0a >，()1xf x ae ax =-+在(),0-∞上是减函数，在()0,+∞上是增函数.（2）方法一：证明：()h x 有两个不同零点1x ，2x ，则11xx ae =，12xx ae =，因此()1212xx e x x a e-=-，即1212x x e x x a e -=-.要证122x x +>，只要证明()122x x a e e +>，即证()1212122x x x x e e e x x e +->-，不妨设12x x >，记12t x x =-，则0t >，1te >，因此只要证明121t t e e t +⋅>-，即()220t t e t -++>.记()(2)2tm t t e t =-++，()()11t m t t e '=-+，令()()11t t t e ϕ=-+，则()tt te ϕ'=，当0t >时，()0tt te ϕ'=>，所以函数()()11tt t e ϕ=-+在()0,+∞上递增，则()()00t ϕϕ>=，即()()00m t m ''>=，则()m t 在()0,+∞上单调递增，∴()()00m t m >=，即()220tt e t -++>成立，∴122x x +>.方法二：本题可用对数平均不等式或者指数平均不等式证明，但需证明所用不等式，阅卷时可酌情给分.21.【详解】（1）解：因为sinsin 2A Ca b A +=，所以由正弦定理边角互化得sin sin sin sin 2A CA B A +=，因为()0,A π∈，sin 0A ≠，A C B π+=-，所以sin sin 22B B π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即cos sin 2B B =，所以cos2sin cos 222B B B=，因为()0,B π∈，所以0,22B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，cos 02B≠，所以1sin22B =，所以26B π=，即3B π=.（2）解：因为AC BC =，3B π=，所以ABC △为等边三角形，即1AC BC AB ===，如图，设AD m =，则1BD m =-，PD m =，所以在BPD △中，由余弦定理得222222(1)1cos 22(1)2BP BD PD BP m m B BP BD BP m +-+--===⋅⋅-，整理得222(1)(1)BP m m BP m +--=⋅-，设BP x =，01x ≤≤，所以221(2)3(2)3323222x x x x m x x x x-+---+===-+----，由于01x ≤≤，故122x ≤-≤，所以32332m x x =-+-≥-，当且仅当322x x-==-所以AD 的最小值为3-.方法二：本题其他方法，阅卷时可酌情给分.22.【详解】（1）方法1：由题意知，函数()f x 的定义域为()0,+∞，2ln ()ln ln ln x xxa a ef x a a e x a x a-'=-=，设()2ln xg x xa a e =-，1a >，显然函数()g x 在()0,+∞上单调递增，()g x 与()f x '同号，①当a e >时，()00g e =-<，()21ln 0g a a e =->，所以函数()g x 在()0,1内有一个零点，所以函数()f x 在()0,+∞上有且仅有一个极值点；②当a e =时，()xg x xe e =-，()10g =，所以函数()g x 有且仅有一个零点，所以函数()f x 在()0,+∞上有且仅有一个极值点；③当1a e <<时，211ln a >，21ln 21ln a g a e a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，因为21ln 2ln 1ln 1ln ln a a a a a ==>，所以21lnaa e >，210ln g a ⎛⎫> ⎪⎝⎭，又2(1)ln 0g a a e =-<，所以函数()g x 在211,ln a ⎛⎫ ⎪⎝⎭内有一个零点，所以函数()f x 在()0,+∞上有且仅有一个极值点；综上所述，函数()f x 在()0,+∞上有且仅有一个极值点.（1）方法2：（因教材给出了用极限判断正负，）()2ln xg x xa a e =-，1a >，当x →+∞，()g x →+∞；()0g e =-，()00,x ∃∈+∞，()00g x =，进而判断对应单调性，所以函数()f x 在()0,+∞上有且仅有一个极值点.（若有此解法，阅卷时酌情给分）（2）由（1）知，当2e a e ≤≤时，函数()f x 在()0,+∞上有且仅有一个极值点，也是最小值点，设()0f m '=，0m >，则函数()f x 的最小值为()f m ，由()0f m '=可得2ln 0m ma a e -=，即2ln ma m e a =，所以2ln ln ln mae a m =，即ln 1ln 2ln(ln )m a m a =--，所以ln 1ln 2ln(ln )m m a a =--，所以2ln 2ln(ln )()ln ln e em a e a ef m e m a a+-=+[]{}222ln 2ln(ln )ln 1ln 1ln e m a m a a a m a +--+=，设ln t a =，则12t ≤≤，[]2222ln 2ln(ln )ln 1ln 1(2ln 1)1m a m a a a m t mt t t +--+=+--+，对于函数22(2ln 1)1y m t mt t t =+--+，22222(2ln 1)4(2ln 1)4t t t t t t t ⎡⎤∆=---=---⎣⎦，设()2ln 1p t t t =--，12t ≤≤，则()2210p t t tt-=='-≥恒成立，所以函数()p t 在[]1,2上单调递增，所以()()()12p p t p ≤≤，所以()22ln 230p t -≤≤-<，所以()204p t <≤⎡⎤⎣⎦，所以2(2ln 1)40t t ---≤，所以0∆≤，所以22(2ln 1)10y m t mt t t =+--+≥，所以()0f m ≥，所以()0f x ≥.。

湖北省高三数学10月联考试卷(文科)湖北省2021年高三数学10月联考试卷(文科)考生留意：1、本试卷分第一卷(选择题)和第Ⅱ(非选择题)两局部，共150分，考试时间120分钟2、请将各题答案填在卷前面的答案卡上.3、本试卷主要考试内容：集合与常用逻辑用语、函数与导数(60%);三角函数与平面向量(40%)一、选择题(本大题共12个小题，每题5分，共60分，在每题给出的四个选项中，只要一项为哪一项契合标题要求的)1、集合，那么等于A. B. C. D.2、的值为A. B. C. D.3、是函数在区间上只要一个零点的充沛不用要条件，那么的取值范围是A. B. C. D.4、为第三象限角，且，那么的值为A. B. C. D.5、定义在R上的奇函数，当时，，那么等于A. B. C.1 D.6、非零向量，满足，且与的夹角为，那么的取值范围是A. B. C. D.7、设，那么之间的大小关系是A. B. C. D.8、给出以下命题，其中错误的选项是A.在中，假定，那么B.在锐角中，C.把函数的图象沿x轴向左平移个单位，可以失掉函数的图象D.函数最小正周期为的充要条件是9、，函数在处于直线相切，那么在定义域内A.有极大值B.有极小值C.有极大值D.有极小值10、函数是定义在R上的偶函数，且满足，当时，，假定方程恰有三个不相等的实数根，那么实数的取值范围是A. B. C. D.第二卷二、填空题：本大题共7小题，每题5分，共35分，把答案填在答案卡中的横线上11、函数的定义域为12、化简的结果为13、设为锐角，假定，那么14、函数，设，假定，那么的取值范围是15、关于的方程有两个不等的负实数根;关于的方程的两个实数根，区分在区间与内(1)假定是真命题，那么实数的取值范围为(2)假定是真命题，那么实数的取值范围为16、如图，在矩形ABCD中，，点E为BC的中点，点F在边CD上(1)假定点F是CD的中点，那么(2)假定，那么的值是17、在中，角的对边区分为，且，假定的面积为，那么的最小值为三、解答题：本大题共5小题，总分值65分，解容许写出文字说明、证明进程或演算步骤18、(本小题总分值12分)在中，角的对边区分为，满足 .(1)求角的大小;(2)假定，且的面积为，求的值.19、(本小题总分值12分)向量 .(1)假定，且，求的值(2)假定，求在上的最大值和最小值.20、(本小题总分值13分)2021世界园艺博览会在青岛举行，某展销商在此时期销售一种商品，依据市场调查，当每套商品售价为x元时，销售量可到达万套，供货商把该产品的供货价钱分为来那个局部，其中固定价钱为每套30元，浮动价钱与销量(单位：万套)成正比，比例系数为，假定不计其它本钱，即每套产品销售利润=售价-供货价钱(1)假定售价为50元时，展销商的总利润为180元，求售价100元时的销售总利润;(2)假定，求销售这套商品总利润的函数，并求的最大值.21、(本小题总分值14分)函数是定义在R上的奇函数.(1)假定，求在上递增的充要条件;(2)假定对恣意的实数和正实数恒成立，务实数的取值范围.22、(本小题总分值14分)为常数，在处的切线为 .(1)求的单调区间;(2)假定恣意实数，使得对恣意的上恒有成立，务实数的取值范围.要多练习，知道自己的缺乏，对大家的学习有所协助，以上是查字典数学网为大家总结的2021年高三数学10月联考试卷，希望大家喜欢。

2021年高三数学10月联考试题理(I)一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

请将正确的答案填涂在答题卡上。

）1．已知集合，，若，则A．B． C．D．2．已知复数，则复数在复平面内对应的点位于A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．能够把圆的周长和面积同时分为相等的两部分的函数称为圆的“和谐函数”,下列函数不是．．圆的“和谐函数”的是A． B．C． D．4．设等差数列的前项和为，若，则的值为A．27 B．36 C．45 D．545．=A． B． C． D．6．下列说法正确的是A．“若，则”的否命题是“若，则”B．为等比数列，则“”是“”的既不充分也不必要条件C．，使成立D．“若，则”是真命题7．xx年初，甲､乙两外商在湖北各自兴办了一家大型独资企业．xx年初在经济指标对比时发现，这两家企业在xx年和xx年缴纳的地税均相同，其间每年缴纳的地税按各自的规律增长；企业甲年增长数相同，而企业乙年增长率相同．则xx年企业缴纳地税的情况是A．甲多 B．乙多 C．甲乙一样多 D．不能确定8．老师带甲乙丙丁四名学生去参加自主招生考试，考试结束后老师向四名学生了解考试情况，四名学生回答如下：甲说：“我们四人都没考好”；乙说：“我们四人中有人考的好”；丙说：“乙和丁至少有一人没考好”；丁说：“我没考好”．结果，四名学生中有两人说对了，则四名学生中两人说对了．A．甲丙 B．乙丁 C．丙丁 D．乙丙9．已知的外接圆半径为1，圆心为O，且，则的面积为A． B． C． D．10．已知函数（）的图象关于直线对称，则A．B． C． D．11．已知函数是上的增函数．当实数取最大值时，若存在点，使得过点的直线与曲线围成两个封闭图形，且这两个封闭图形的面积总相等,则点的坐标为A．B． C． D．12．已知，函数，若关于的方程有6个解，则的取值范围为A． B． C． D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．是函数的极值点，则的值为．14．已知非零向量满足，则与的夹角．15．在中，，，则的最大角的余弦值为．16．定义表示实数中的较大的数．已知数列满足，若，记数列的前项和为，则的值为．三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（本小题满分12分）如图中，已知点在边上，且，．（Ⅰ）求的长；（Ⅱ）求．18．（本小题满分12分）已知数列是等差数列，是等比数列，且，，．（Ⅰ）求数列和的通项公式；（Ⅱ）数列满足，求数列的前项和．19．（本小题满分12分）如图，有一矩形钢板缺损了一角，边缘线上每一点到点的距离都等于它到边的距离．工人师傅要将缺损的一角切割下来使剩余部分成一个五边形，若，，为了方便，如图建立直角坐标系，问如何画切割线可使剩余部分五边形的面积最大？20．(本小题满分12分)各项为正数的数列的前n项和为，且满足：（Ⅰ）求；（Ⅱ）设函数，，，求数列的前项和．21．(本小题满分12分)已知函数，其中是自然对数的底数．（Ⅰ）若方程无实数根，求实数的取值范围；（Ⅱ）若函数是内的减函数，求实数的取值范围．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，是的直径，与相切于，为线段上一点，连接、分别交于、两点，连接交于点．（Ⅰ）求证：四点共圆；（Ⅱ）若为的三等分点且靠近，，，求线段的长．23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程选讲已知在直角坐标系中，直线的参数方程为，（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（Ⅰ）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（Ⅱ）设点是曲线上的一个动点，求它到直线的距离的取值范围．24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数．（Ⅰ）解不等式；（Ⅱ）若，且，求证：．龙泉中学 宜昌一中xx 届高三年级十月联考理科数学参考答案及评分标准 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B B A D C D B D C A C D 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13． 14． 15． 16． 7254三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．解：（Ⅰ）因为，所以,所以． ····························· 2分 在中，由余弦定理可知，即, ······························· 4分 解之得或, 由于,所以． ······················ 6分 （Ⅱ）在中，由正弦定理可知，,又由可知 ··························· 8分 所以 ······························ 10分 因为，即 ····························· 12分18．解：（Ⅰ）设的公差为，的公比为，由，得，从而，因此， ·························· 3分 又，， ，故， ····························· 6分 （Ⅱ）令01221134373(35)3(32)3n n n T n n --=⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯… 则12313134373(35)3(32)3n n n T n n -=⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯… ······ 9分 两式相减得1217(67)321333333(32)322nn n n n T n ---=+⨯+⨯++⨯--⨯=--… ，故 ································ 12分19．解：由题知，边缘线是以点为焦点，直线为准线的抛物线的一部分．以点为原点，所在直线为轴建立直角坐标系，则，．边缘线所在抛物线的方程为．……………………………2分要使如图的五边形面积最大，则必有所在直线与抛物线相切，设切点为．则直线的方程为，即，由此可求得点的坐标分别为，． ……………………………………………………4分所以， ····························· 7分所以42222214881(121)(41()6464t t t t S t t t+--+'=⋅=） 显然函数在上是减函数，在上是增函数．……………………9分所以当时，取得最小值，五边形的面积最大． ·············· 10分 此时点的坐标分别为．此时沿直线划线可使五边形的面积最大． ················ 12分20．解：（Ⅰ）由 ①得， 当n ≥2时， ②；由①－②化简得：， ························ 2分又∵数列各项为正数，∴当时，，故数列成等差数列，公差为2，又，解得； ······························ 5分 （Ⅱ）由分段函数 可以得到：1321(6)(3)5,(8)(4)(2)(1)1c f f a c f f f f a ==========； ··· 7分当，时，1221(24)(22)(21)2(21)121n n n n n n c f f f ----=+=+=+=+-=+， ···· 9分 故当时，23151(21)(21)(21)n n T -=++++++++…………12分 最后结果写成不扣分21．解：（Ⅰ）由得，即，无负实根．故有．令，， ·························· 2分 由得，由得，在上单调递增，在上单调递减．，的值域为． ·························· 4分 要使得方程无实数根，则，即． ·················· 5分 （Ⅱ），由题设，知对恒成立．不妨取，有，而当时，，故． ························· 7分 ① 当，且时，．而当时，有，故．所以，所以在内单调递减， 故当时满足题意． ············· 9分 ② 当时，，且，即．令，则．(1)(1)()(1)(1)1t x t x t h x t t e t e t --⎡⎤'=--=--⎢⎥-⎣⎦． 当时，，此时，，则当时，，故在单增，与题设矛盾，不符合题意，舍去．所以，当时，函数是内的减函数． ·················· 12分22．解：（Ⅰ）连接，则，又因为，，所以所以，所以，所以四点共圆 ····················· 5分 （Ⅱ）因为，则，又为三等分，所以，，由于四点共圆，由割线定理得，与⊙相切于，由切割线定理得所以，则，故 ··························· 10分23．解：（Ⅰ）直线的普通方程为：； ·················· 2分 曲线的直角坐标方程为： ···················· 5分 （Ⅱ）设点，则2|35)6cos(2|2|33sin )cos 2(3|++=+-+=πθθθd 所以的取值范围是 ························· 10分24．解：（Ⅰ）由题意，原不等式等价为，令 ······························ 3分不等式的解集是 ························ 5分（Ⅱ）要证，只需证，只需证而0)1)(1(1)()1(22222222>--=+--=---b a b a b a a b ab ， 从而原不等式成立． 10分 22401 5781 垁36966 9066 遦20446 4FDE 俞22316 572C 圬Ja 33756 83DC 菜m33394 8272 色24549 5FE5 忥39645 9ADD 髝{31608 7B78 筸。

湖北省部分重点中学2021届高三数学上学期10月联考试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.全集，，，则图中阴影部分表示的集合是( )A ．B ．C ．D ．2. 从2020年起，某地考生的高考成绩由语文、数学、外语3门统一高考成绩和考生选考的3门普通高中学业水平考试等级性考试科目成绩构成．等级性考试成绩位次由高到低分为A 、B 、C 、D 、E ，各等级人数所占比例依次为：A 等级15%，B 等级40%，C 等级30%，D 等级14%，E 等级1%．现采用分层抽样的方法，从参加历史等级性考试的学生中抽取200人作为样本，则该样本中获得A 或B 等级的学生人数为（ ） A ．55 B ．80 C ．90 D ．1103．已知A ＝{x |1≤x ≤2}，命题“∀x ∈A ，x 2－a ≤0”是真命题的一个充分不必要条件是( ) A ．a ≥4 B．a ≤4 C．a ≥5 D．a ≤54．在《增减算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关”.则下列说法不正确的是（ ） A ．此人第一天走的路程比后五天走的路程多6里 B ．此人第六天只走了5里路 C ．此人第二天走的路程比全程的14还多1.5里 D ．此人走的前三天路程之和是后三天路程之和的8倍5. 已知定义在R 上的函数||()21x m f x -=-（m 为实数）为偶函数，记()32a f -=，()3m b f =，()0.5log 3c f =，则（ ）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．c b a <<6. 函数π()sin()(0)4f x A x ωω=+>的图象与x 轴正方向交点的横坐标由小到大构成一个公差为π3的等差数列，要得到函数()cos g x A x ω=的图象，只需将()f x 的图象（ ）A ．向右平移4π个单位B ．向左平移π12个单位C ．向左平移4π个单位D ．向右平移34π个单位7．现有某种细胞1千个，其中约有占总数一半的细胞每小时分裂一次，即由1个细胞分裂成2个细胞，按这种规律，1小时后，细胞总数约为12×10000＋12×10000×2＝32×10000，2小时后，细胞总数约为12×32×10000＋12×32×10000×2＝94×10000，问当细胞总数超过1010个时，所需时间至少为( ) (参考数据：lg3≈0.477，lg2≈0.301) A ．38小时 B ．39小时 C ．40小时 D ．41小时8. 若1a >，设函数()4xf x a x =+- 的零点为(),log 4a m g x x x =+-的零点为n ，则11m n+的取值范围是( ) A ．7,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭B ．9,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭C ．()4,+∞D ． [)1,+∞ 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2021届湖北省部分重点中学高三上学期10月联考数学试题一、单选题1．已知全集U R =，{|1}M x x =<-，(){|20}N x x x =+<，则图中阴影部分表示的集合是( )A ．{|10}x x -≤<B ．{|10}x x -<<C ．{|21}x x -<<-D ．{|1}x x <-【答案】A【解析】通过韦恩图，可知所求集合为()U N C M ，求解出集合N ，利用集合运算知识求解即可． 【详解】由()2020x x x +<⇒-<<，即{}20N x x =-<< 图中阴影部分表示的集合为：()U N C M又{}1U C M x x =≥-(){}10U N C M x x ∴⋂=-≤<本题正确选项：A 【点睛】本题关键在于通过韦恩图确定所求集合，属于基础题．2．从2020年起，北京考生的高考成绩由语文、数学、外语3门统一高考成绩和考生选考的3门普通高中学业水平考试等级性考试科目成绩构成．等级性考试成绩位次由高到低分为A 、B 、C 、D 、E ，各等级人数所占比例依次为：A 等级15%，B 等级40%，C 等级30%，D 等级14%，E 等级1%．现采用分层抽样的方法，从参加历史等级性考试的学生中抽取200人作为样本，则该样本中获得A 或B 等级的学生人数为（ ） A ．55 B ．80C ．90D ．110【答案】D【解析】利用抽样比求解【详解】设该样本中获得A 或B 等级的学生人数为x ，则1540110200100x x +=∴= 故选：D 【点睛】本题考查分层抽样的定义与应用，考查计算能力，是基础题3．已知{}|12A x x =≤≤，命题“2,0x A x a ∀∈-≤”是真命题的一个充分不必要条件是（ ） A ．4a ≥ B ．4a ≤ C ．5a ≥ D ．5a ≤【答案】C【解析】首先求出命题为真时参数a 的取值范围，再找出其一个充分不必要条件； 【详解】解：因为{}|12A x x =≤≤，2,0x A x a ∀∈-≤为真命题，所以()2maxa x≥，x A ∈，因为函数()2f x x =在[]1,2上单调递增，所以()2max4x=，所以4a ≥又因为[)[)5,4,+∞+∞所以命题“2,0x A x a ∀∈-≤，{}|12A x x =≤≤”是真命题的一个充分不必要条件为5a ≥故选：C 【点睛】本题考查全称命题为真求参数的取值范围，以及充分条件、必要条件，属于基础题. 4．在《增减算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关”.则下列说法不正确的是（ ） A ．此人第一天走的路程比后五天走的路程多6里 B ．此人第六天只走了5里路 C ．此人第二天走的路程比全程的14还多1.5里 D ．此人走的前三天路程之和是后三天路程之和的8倍 【答案】B【解析】根据描述知：378里路程6天走完且第二天开始每天所走里程是前一天的一半，根据等比数列概念即可求第一天所走路程，进而得到其它5天各走的里程即可确定错误的说法. 【详解】由题意知，一共378里路，6天走完且第二天开始每天所走里程是前一天的12， ∴若第一天走了x 里，则第n 天所走的路程为12n x -，即有612(1)3782x ⋅-=，得192x =， ∴第1、2、3、4、5、6天各走了192、96、48、24、12、6里， 结合选项，A 、C 、D 正确，而B 中此人第六天只走了6里路. 故选：B 【点睛】本题考查了等比数列，根据题设描述结合等比数列的概念确定等比数列，并根据等比数列前n 项和公式求首项，属于基础题.5．已知定义在R 上的函数||()21x m f x -=-（m 为实数）为偶函数，记()32a f -=，()3m b f =，()0.5log 3c f =，则（ ）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．c b a <<【答案】A【解析】由题意可得0m =，可得||()21x f x =-在(0,)+∞单调递增，在(,0)-∞单调递减，比较三个变量的绝对值大小可得． 【详解】定义在R 上的函数||()21(x m f x m -=-为实数）为偶函数， (1)f f ∴-=（1），即|1||1|2121m m ----=-，解得0m =，检验得当0m =时，原函数为偶函数.||()21x f x ∴=-在(0,)+∞单调递增，在(,0)-∞单调递减， 312(0,1)8-=∈，31m =，0.52|log 3|log 31=>，30.5(2)(3)(log 3)m f f f -∴<<，即a b c << 故选：A ． 【点睛】本题考查函数的单调性和奇偶性的应用，考查对数式大小的比较，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题． 6．函数()sin()(0)4f x A x πωω=+>的图象与x 轴交点的横坐标构成一个公差为3π的等差数列，要得到函数()cos g x A x ω=的图象，只需将()f x 的图象（ ）A ．向左平移12π个单位 B ．向右平移4π个单位 C ．向左平移4π个单位 D ．向右平移34π个单位 【答案】A【解析】依题意有()f x 的周期为()22ππ,3,sin 334T f x A x πωω⎛⎫====+ ⎪⎝⎭.而()πππππsin 3sin 3sin 3244124g x A x A x A x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=++=++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故应左移π12.7．现有某种细胞1千个，其中约有占总数一半的细胞每小时分裂一次，即由1个细胞分裂成2个细胞，按这种规律，1小时后，细胞总数约为12×1000＋12×1000×2＝32×1000，2小时后，细胞总数约为12×32×1000＋12×32×1000×2＝94×1000，问当细胞总数超过1010个时，所需时间至少为（ ）(参考数据：lg3≈0.477，l g2≈0.301) A ．38小时 B ．39小时C ．40小时D ．41小时【答案】C【解析】根据分裂规律，可得细胞在每个小时后的个数成等比数列，由此列式计算． 【详解】记第n 个小时后细胞个数为n a ，则11132222n n n n a a a a +=+⨯=， 1310002a =⨯，{}n a 是等比数列，∴13333100010222n nn a -⎛⎫⎛⎫=⨯⨯=⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由310310102nn a ⎛⎫=⨯≥ ⎪⎝⎭，得73102n⎛⎫= ⎪⎝⎭，3lg 72n =，777403lg3lg 20.47710.301lg 2n ===≈--． 故选：C ． 【点睛】本题考查等比数列的应用，解题关键是根据题意得出相隔1小时细胞个数的关系，从而引入数列模型求解．8．若1a >，设函数()4xf x a x =+- 的零点为(),log 4a m g x x x =+-的零点为n ，则11m n+的取值范围是( ) A ．7,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭B ．[)1,+∞C ．()4,+∞D ．9,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭【答案】B【解析】把函数零点转化为两个函数图象交点的横坐标，根据指数函数与对数函数互为反函数，得到两个函数图象之间的关系求出m ，n 之间的关系，根据两者之和是定值，利用基本不等式得到要求的结果． 【详解】函数()4xf x a x =+-的零点是函数xy a =与函数4y x =-图象交点A 的横坐标， 函数()log 4a g x x x =+-的零点是函数log a y x =与函数4y x =-图象交点B 的横坐标，由于指数函数与对数函数互为反函数， 其图象关于直线y x =对称， 直线4y x =-与直线y x =垂直，故直线4y x =-与直线y x =的交点(2,2)即是A ，B 的中点，4m n ∴+=，∴111111()()(2)144m nm n m n m n n m+=++=++， 当2m n ==等号成立， 而4m n +=，故111m n+， 故所求的取值范围是[1，)+∞． 故选：B ． 【点睛】本题考查函数零点、反函数的性质、基本不等式求最值，考查函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意验证等号成立的条件.二、多选题9．如图，点P 在正方体1111ABCD A B C D -的面对角线1BC 上运动，则下列四个结论正确的有（ ）A ．三棱锥1A D PC -的体积不变B ．1A P 与平面1ACD 所成的角大小不变C ．1DPBCD ．1DB ⊥1P A 【答案】ABD 【解析】【详解】正方体中11//BC AD ，则有1//BC 平面1AD C ，∴P 到平面1AD C 的距离不变，1AD C 面积不变，因此三棱锥1A D PC -的体积不变，A 正确；同理1//A B 平面平面1AD C ，从而可得平面11//A BC 平面1AD C ，∴可得1A P //平面1ACD ，1A P 与平面1ACD 所成的角大小始终为0，B 正确；当P 与1C 重合时，DP 与1BC 所成角为60︒，不垂直，C 错；由正方体中11A C ⊥11B D ，由111AC BB ⊥，得11A C ⊥平面11BB D D ，可得111AC B D ⊥，同理11A B B D ⊥，从而可证1B D ⊥平面11A BC ，必有11B D A P ⊥，D 正确； 故选：ABD ．【点睛】本题考查空间的直线与平面间的平行与垂直的关系，掌握正方体的性质是解题关键．考查了学生的空间想象能力，逻辑推理能力．10．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右两个顶点分别是A 1，A 2，左右两个焦点分别是F 1，F 2，P 是双曲线上异于A 1，A 2的任意一点，给出下列命题，其中是真命题的有（ ） A ．122PF PF a -=B ．直线12,PA PA 的斜率之积等于定值22b aC ．使12PF F △为等腰三角形的点P 有且仅有4个D ．焦点到渐近线的距离等于b 【答案】BD【解析】A. 由双曲线的定义判断；B.设()00,P x y ，利用斜率公式求解判断；C.利用双曲线的对称性判断；D.利用点到直线的距离公式求解判断； 【详解】A. 因为122PF PF a -=，故错误；B.设()00,P x y ，则2200221x y a b-=，所以1222000222020201⎛⎫⎪⎝⎭⋅-=⋅==+--PA PA y y k k x a x b a a x b x a a，故正确；C.若点P 在第一象限，若122,22==-PF PF c c a ，12PF F △为等腰三角形；若212,22==+PF PF c c a ，12PF F △为等腰三角形，由双曲线的对称性知，点P 有且仅有8个，故错误；D.不妨设焦点坐标为：()2,0F c ，渐近线方程为0bx ay -=，则焦点到渐近线的距离d b ==，故正确；故选：BD 【点睛】本题主要考查双曲线的定义和几何性质，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 11．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知60B =︒，4b =，下列判断正确的是（ ）A．若c =C 有两解B ．若92a =，则角C 有两解 C ．ABC 为等边三角形时周长最大 D ．ABC 为等边三角形时面积最小【答案】BC【解析】根据正弦定理分析求解． 【详解】A ．由sin sin b c B C =得sin 3sin 8c B C b ===，又c b <，∴C B <，C 为锐角，只有一解，A 错；B ．由sin sin a b A B =，得sin 1A =<，又a b >，∴A B >，A 角有两解，则C 角有两解，B 正确；C ．由2222cos b a c ac B =+-得2222223116()3()()()44a c ac a c ac a c a c a c =+-=+-≥+-+=+，8a c +≤，当且仅当a c =时，等号成立，此时三角形周长最大，三角形为正三角形．C正确；D ．由C 的推导过程知22162a c ac ac ac ac =+-≥-=，当且仅当a c =时等号成立，即ac 最大值是16，此时ABC S 最大，又3B π=，三角形为正三角形，D 错．故选：BC ． 【点睛】本题考查正弦定理与余弦定理的应用，有解三角形时，在已知两边和其中一边对称解三角形时，利用正弦定理求解，可能有两解．12．已知函数()ln f x x =，32()2()g x x ex kx k R =-+∈，若函数()()y f x g x =-有唯一零点，则以下四个命题正确的是（ ） A ．21k e e=+B ．曲线()y g x =在点(,())e g e 处的切线与直线10x ey -+=平行C ．函数2()2y g x ex =+在[0,]e 上的最大值为221e +D ．函数2()x y g x e x e=--在[0,1]上单调递增 【答案】AB【解析】A ．将问题转化为方程2ln 2xx ex k x=-+仅有一个解，然后构造新函数求解出k 的值；B ．根据导数的几何意义求解出切线方程，然后判断是否平行；C ．分析2()2y g x ex =+的单调性，直接求解出最大值并判断选项是否正确；D ．对2()x y g x e x e=--求导，利用导数分析单调性并判断选项是否正确. 【详解】A ．函数()()y f x g x =-有唯一零点⇔方程2ln 2xx ex k x=-+有唯一解， 设()()212ln ,2x h x h x x ex k x ==-+，()()11ln 0xh x x x-'=>， 所以()1h x 在()0,e 上单调递增，在(),e +∞上单调递减，所以()()11max 1h x h e e==， 又因为()()22222min 2h x h e e e k k e ==-+=-，且方程有唯一解，所以21k e e -=，所以21k e e=+，故A 正确； B ．因为3221()2g x x ex e x e ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，所以221()34g x x ex e e'=-++， 所以()2221134g e e e e e e'=-++=，且()1g e =，所以切线方程为：0x ey -=， 所以切线与10x ey -+=平行，故B 正确； C ．记()32221()F x g x x x x e e e ⎛⎫=++⎝=⎪⎭+，()F x 在[]0,e 上单调递增， 所以()()3max 21F x F e e ==+，故C 错误；D ．记()322x x x G e -=，()()23434G x x ex x x e '=-=-，所以()G x 在40,3e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，所以()G x 在[]0,1上单调递减，故D 错误. 故选：AB. 【点睛】本题考查函数与导数的综合应用，其中涉及到利用导数求解切线方程、利用导数分析函数的单调性和最值以及函数零点和方程根的转化，对学生综合分析问题的能力要求很高，难度较难.三、填空题13．()()42x y x y ++的展开式中32x y 的系数为______________. 【答案】14【解析】针对4()x y +部分由二项式定理知通项为414r rr r T C xy -+=，结合整个代数式有32x y 的项组成为22213442x C x y y C x y ⋅+⋅即可求其系数. 【详解】对于4()x y +，由二项式通项知：414r rr r T C xy -+=，∴含32x y 项的组成为：22213213244442(2)x C x y y C x y C C x y ⋅+⋅=+， ∴32x y 的系数为14.故答案为：14. 【点睛】本题考查二项式定理，根据已知代数式形式求指定项的系数，属于基础题. 14．函数()2ln 1x f x a x ⎛⎫=+ ⎪+⎝⎭为奇函数，则实数a =_______________. 【答案】1-【解析】由()f x 为奇函数，根据定义有22ln l 11n x x a a x x ⎛⎫⎛⎫+=-+ ⎪ ⎪+⎝⎝-⎭⎭，结合ln y x =是单调函数即可求a . 【详解】函数()f x 为奇函数知：()()f x f x -=-，而(l 12)n x x f x a ⎛⎫-=+⎪⎝⎭-， ∴22ln l 11n x x a a x x ⎛⎫⎛⎫+=-+⎪ ⎪+⎝⎝-⎭⎭，即11(2)ln ln (2)a x a a x x x a ⎛⎫+-⎛⎫= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝-⎭+， 又ln y x =是单调函数，∴(2)11(2)a x a x x a x a +-+=-++，即有()221{21a a =+=，解得1a =-. 故答案为：1-. 【点睛】本题考查了利用函数的奇偶性求参数值，应用ln y x =的单调性列方程，属于基础题. 15．在ABC 中，,,a b c 分别为角,,A B C 的对边，若函数32221()()13f x x bx a c ac x =+++-+有极值点，则B 的范围是__________．【答案】,3π⎛⎫π⎪⎝⎭【解析】【详解】由题意222'()2()f x x bx a c ac =+++-有两个不等实根， 所以22244()0b a c ac ∆=-+->，222a c b ac +-<，所以2221cos 22a cb B ac +-=<，所以3B ππ<<．故答案为：,3ππ⎛⎫⎪⎝⎭. 【点睛】对定义域内的可导函数来讲，导函数'()f x 的零点是函数极值点的必要条件，只有在0x 的两侧'()f x 的符号正好相反，0x 都是极值点．本题中导函数'()f x 是二次函数，因此要使得'()f x 的零点为()f x 的极值点，只要求相应二次方程有两个不等实根即可．16．黎曼函数是一个特殊的函数，由德国著名的数学家波恩哈德·黎曼发现提出，在高等数学中有着广泛的应用，其定义为：当q x p =(,p q 为正整数，qp是既约真分数)时1()R x p=，当0,1x =或[0,1]上的无理数时()0R x =，若函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且对任意x 都有()()20f x f x -+=，当[]0,1x ∈时，()()f x R x =，则108lg 35f f ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭_________. 【答案】15【解析】根据已知条件可得()f x 是周期为2的奇函数，且(),01()(),10R x x f x R x x ≤≤⎧=⎨---≤≤⎩，根据对数的运算性质以及()f x 周期性有10lg (1lg 3)3f f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭、82 ()55f f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭即可求值.【详解】()f x 是定义在R 上的奇函数且()()20f x f x -+=，知：()()2()f x f x f x -=-=-，∴()f x 是周期为2的函数，又当[]0,1x ∈时，()()f x R x =， ∴[]1,0x ∈-，有()()f x R x =--， 而10lg(1lg 3)3f f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，01lg31<-<且1lg3-为无理数，有(1lg3)0f -=， 82221 (2)()()55555f f f R ⎛⎫=-=-=-=- ⎪⎝⎭，∴1081lg355f f ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故答案为：15. 【点睛】本题考查了利用函数的奇偶性、周期性求函数值，注意对新定义的理解，以及求值过程中对数运算法则、函数周期的应用.四、解答题17．已知函数()log k f x x =（k 为常数，0k >且1k ≠）．（1）在下列条件中选择一个________使数列{}n a 是等比数列，说明理由； ①数列(){}n f a 是首项为2，公比为2的等比数列； ②数列(){}n f a 是首项为4，公差为2的等差数列；③数列(){}n f a 是首项为2，公差为2的等差数列的前n 项和构成的数列．（2）在（1）的条件下，当k =12241+=-n n n a b n ，求数列{}n b 的前n 项和n T . 【答案】（1）②，理由见解析；（2）21n nT n =+ 【解析】（1）选②，由()f x 和对数的运算性质，以及等比数列的定义，即可得到结论； （2）运用等比数列的通项公式可得n a ，进而得到2141n b n =-，由数列的裂项相消求和可得所求和. 【详解】（1）①③不能使{}n a 成等比数列.②可以：由题意()4(1)222n f a n n =+-⨯=+，即log 22k n a n =+，得22n n a k+=，且410a k =≠，2(1)22122n n n n a k k a k++++∴==. 常数0k >且1k ≠，2k ∴为非零常数，∴数列{}n a 是以4k 为首项，2k 为公比的等比数列．（2）由（1）知()14222n k n a k k k -+=⋅=，所以当k =12n n a +=.因为12241+=-n n n a b n ， 所以2141n b n =-，所以1111(21)(21)22121n b n n n n ⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭，12111111L 1L 23352121n n T b b b n n ⎛⎫=+++=-+-++- ⎪-+⎝⎭11122121nn n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭. 【点睛】本题考查等比数列的定义和通项公式，数列的裂项相消求和，考查化简运算能力，属于中档题.18．已知函数()cos()0,0,02f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><< ⎪⎝⎭的图象过点10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，最小正周期为23π，且最小值为－1. （1）求函数()f x 的解析式.（2）若()f x 在区间,6m π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的取值范围是1,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，求m 的取值范围.【答案】（1）()cos(3)3f x x π=+；（2）25,918ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【解析】（1）由最值求得A ，由周期求得ω，由点的坐标及ϕ的范围可求得ϕ，得解析式；（2）由,6x m π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦得533633x m πππ≤+≤+，结合余弦函数性质可得结论． 【详解】（1）由函数的最小值为－1，可得A =1， 因为最小正周期为23π，所以ω=3. 可得()cos(3)f x x ϕ=+，又因为函数的图象过点（0，12），所以1cos 2ϕ=，而02πϕ<<，所以3πϕ=， 故()cos(3)3f x x π=+.（2）由[,]6x m π∈，可知533633x m πππ≤+≤+， 因为53()cos66f ππ==-，且cos π=－1，73cos 6π=-， 由余弦曲线的性质的，7336m πππ≤+≤，得25918m ππ≤≤， 即25[,]918m ππ∈. 【点睛】本题考查求三角函数的解析式，考查余弦型三角函数的值域问题，掌握余弦函数性质是解题关键．19．在三棱锥V ABC -中，平面VAC ⊥平面ABC ，ABC 和VAC 均是等腰直角三角形，AB BC =，2AC CV ==，M 、N 分别为VA 、VB 的中点．（1）求证：AB VC ⊥；（2）求直线VB 与平面CMN 所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析；（2）23． 【解析】（1）利用线面垂直的性质证AB VC ⊥即可；（2）面ABC 内过点C 作CH 垂直于AC ，构建以C 为原点，,,CA CH CV 为x ，y ，z 轴的空间直角坐标系C xyz -，应用平面法向量与直线方向向量的夹角与线面角的关系即可求直线VB 与平面CMN 所成角的正弦值. 【详解】（1）在等腰直角三角形VAC 中，AC CV =，所以VC AC ⊥．∵平面VAC⊥平面ABC，平面VAC平面ABC AC=，VC⊂平面VAC，∴VC⊥平面ABC．∵AB平面ABC，∴AB VC⊥；（2）在平面ABC内过点C作CH垂直于AC，由（1）知，VC⊥平面ABC，因为CH ⊂平面ABC，所以VC CH⊥．如图，以C为原点，,,CA CH CV为x，y，z轴建立空间直角坐标系C xyz-．则()0,0,0C，()0,0,2V，()1,1,0B，()1,0,1M，11,,122N⎛⎫⎪⎝⎭．()1,0,1CM=，11,,122CN⎛⎫= ⎪⎝⎭，()1,1,2VB=-．设平面CMN的法向量为(),,n x y z=，则n CMn CN⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即1122x zx y z+=⎧⎪⎨++=⎪⎩．令1x=则1y=，1z=-，所以()1,1,1n=-．直线VB与平面CMN所成角大小为θ，22sin cos,3n VBn VBn VBθ⋅===⋅所以直线VB与平面CMN所成角的正弦值为23．【点睛】本题考查了应用线面垂直性质证线线垂直，利用空间向量求线面角的正弦值，属于中档题.20．在平面直角坐标系中，椭圆C：22221x ya b+=(a>b>0)过点53,⎛⎫⎪⎪⎝⎭，离心率为25.（1）求椭圆C的标准方程；（2）过点K(2，0)作与x轴不重合的直线与椭圆C交于A，B两点，过A，B点作直线l：x＝2ac的垂线，其中c为椭圆C的半焦距，垂足分别为A1，B1，试问直线AB1与A1B的交点是否为定点，若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由.【答案】（1）2215xy+=；（2）为定点，9,04⎛⎫⎪⎝⎭.【解析】（1）由离心率和所过点的坐标列出关于,,a b c的方程组，解之可得椭圆方程；（2）当直线AB的斜率不存在时，求出交点是9,04⎛⎫⎪⎝⎭，当直线AB的斜率存在时，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB为y＝k(x－2)，代入椭圆方程整理后应用韦达定理得1212,x x x x+，写出11,A B坐标，得出直线1A B和1AB方程，求出交点坐标（代入1212,x x x x+化简）可得结论．【详解】(1)由题意得222225314455a b ca bca⎧⎪=+⎪⎪+=⎨⎪⎪=⎪⎩⇒512abc⎧=⎪=⎨⎪=⎩所以椭圆C的标准方程为2215xy+=.(2)①当直线AB的斜率不存在时，直线l：x＝52，AB 1与A 1B 的交点是9,04⎛⎫⎪⎝⎭. ②当直线AB 的斜率存在时，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 直线AB 为y ＝k (x －2)，由()22255y k x x y ⎧=-⎨+=⎩ ⇒(1＋5k 2)x 2－20k 2x ＋20k 2－5＝0， 所以x 1＋x 2＝22215k k +，x 1x 2＝222515k k-+， A 115,2y ⎛⎫⎪⎝⎭，B 125,2y ⎛⎫⎪⎝⎭，所以l AB 1：21215522y y y x y x -⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭- ， l A 1B ：y ＝21125522y y y x y x -⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭-， 联立解得x ＝()()221222212225252545191544254201515k x x k k k x x k k ----++===+--+-+，代入上式可得()()2112122119420104410k x x x x kx x ky y x x --+++=+=-+- ＝22221202594201515410k k k k k k kx --++++- ＝0. 综上，直线AB 1与A 1B 过定点9,04⎛⎫⎪⎝⎭． 【点睛】本题考查求椭圆的标准方程，考查直线与椭圆相交问题．解题方法是设而不求的思想方法．通过设出交点坐标和直线方程，利用韦达定理得1212,x x x x +，然后按部就班地计算求解：得点坐标，写出直线方程，求直线的交点坐标，代入化简．21．某中学数学竞赛培训共开设有初等代数、初等几何、初等数论和微积分初步共四门课程，要求初等代数、初等几何都要合格，且初等数论和微积分初步至少有一门合格，才能取得参加数学竞赛复赛的资格，现有甲、乙、丙三位同学报名参加数学竞赛培训，每一位同学对这四门课程考试是否合格相互独立，其合格的概率均相同，（见下表），且每一门课程是否合格相互独立，（1）求甲同学取得参加数学竞赛复赛的资格的概率；（2）记ξ表示三位同学中取得参加数学竞赛复赛的资格的人数，求ξ的分布列（只需列式无需计算）及期望()E ξ. 【答案】（1）512；（2）分布列答案见解析，期望为54.【解析】（1） 分别记甲对这四门课程考试合格为事件,,,A B C D ，则“甲能修得该课程学分”的概率为()()()P ABCD P ABCD P ABCD ++，由独立事件的概率公式可计算出概率．（2）由（1）知每个人获得复赛资格的概率是512，ξ的取值依次为0,1,2,3，ξ～53,12B ⎛⎫⎪⎝⎭，由二项分布概率公式计算了概率得分布列，再由二项分布的期望公式计算出期望． 【详解】（1） 分别记甲对这四门课程考试合格为事件,,,A B C D ，则“甲能修得该课程学分”的概率为()()()P ABCD P ABCD P ABCD ++，事件,,,A B C D 相互独立，3221322132115()()()43324332433212P ABCD P ABCD P ABCD ++=⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅= (2)0337(0)()12P C ξ==， 12357(1)()()1212P C ξ==，22357(2)()()1212P C ξ==， 3335(3)()12P C ξ==因此，ξ的分布列如下：因为ξ～53,12B ⎛⎫⎪⎝⎭所以553.124E ξ=⨯= 【点睛】本题考查相互独立事件同时发生的概率公式，随机变量的概率分布列和数学期望，考查二项分布．旨在考查学生的数据处理能力，运算求解能力． 22．已知函数()()2xx ax a f x e+-=，其中a R ∈.（1）当0a =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 的切线方程； （2）求证：若()f x 有极值，则极大值必大于0. 【答案】（1）1y x e=；（2）证明见解析. 【解析】（1）求出导函数()'f x ，计算出切线斜率(1)f '，可得切线方程；（2）由导函数()'f x ，求出函数的极大值后可得证．【详解】（1）()()()()2222x xx a x a x a x f x e e---+-+-'==， 当0a =时，()11f e '=，()11f e=， 则()f x 在()()1,1f 的切线方程为1y x e=；（2）证明：令()0f x '=，解得2x =或x a =-，①当2a =-时，()0f x '≤恒成立，此时函数()f x 在R 上单调递减， ∴函数()f x 无极值；②当2a >-时，令()0f x '>，解得2a x -<<，令()0f x '<，解得x a <-或2x >， ∴函数()f x 在(),2a -上单调递增，在(),a -∞-，()2,+∞上单调递减， ∴()()2420a f x f e +==>极大值； ③当2a <-时，令()0f x '>，解得2x a <<-，令()0f x '<，解得2x <或x a >-， ∴函数()f x 在()2,a -上单调递增，在(),2-∞，(),a -+∞上单调递减， ∴()()0aaf x f a e -=-=>极大值，f x的极大值恒大于0.综上，函数()【点睛】本题考查导数的几何意义，考查用导数求函数极值．掌握导数的几何意义与极值的定义是解题关键．。