湖北省部分重点中学2013-2014学年高一下学期期中考试 数学理试题 考试时间：2014年4月14日上午8:00—10:00 试卷满分：150分
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）。
1．已知
55
sin =
α，则αα4
4cos sin -的值为 （ ）
A ．51-
B. 53-
C. 51
D. 53
2. 在△ABC 中，30a =，20b =，︒=60A ，则=B cos （ ）
A. 36
B. 322
C.
36- D. 32
2- 3．已知a ，b 为非零实数，且a ＜b ，则下列命题一定成立的是（ ）
A ．22
a b < B.
11
a b < C. 3223a b a b < D. 22ac bc < 4.已知数列
{}n a 为等差数列，且1713212,tan()a a a a a π++=+则的值为 （ ）
B.
C.
D.
5．若不等式
02)1()1(2
>+-+-x m x m 的解集是R ，则m 的范围是（ ） A ．(1,9) B ．(,1](9,)-∞⋃+∞ C ． [1,9) D ．(,1)(9,)-∞⋃+∞
6．已知数列11
11{},,1(2)
4n n n a a a n a -==-≥，则2014a =（ ） A ．45 B ．14 C ．3- D ．15
7．设a ＞0，b ＞0
3a 和3b
的等比中项，则14a b +的最小值为（ ）
A ．6
B. C. 8 D. 9
8．某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A 原料3吨、B 原料2吨；生产
每吨乙产品要用A 原料1吨、B 原料3吨．销售每吨甲产品可获得利润5万元、每吨乙产品可获得利润3万元，该企业在一个生产周期内消耗A 原料不超过13吨、B 原料不超过18吨，那么该企业可获得的最大利润是( )
A ．12万元
B ．20万元
C ．25万元
D ．27万元 9．,A B 两地相距200m ，且
A 地在
B 地的正东方。一人在A 地测得
C
D
建筑C 在正北方，建筑D 在北偏西60；在B 地测得建筑C 在北偏东
45，建筑D 在北偏西15，则两建筑C 和D 之间的距离为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．1)m -
10．等差数列
{}n a 的前n 项和为n S ，已知
3222011(1)2014(1)sin
3a a π-+-=，
3201320132011(1)2014(1)cos
6a a π
-+-=，则2014S =（ ）
A. 2014
B. 4028
C. 0
D. 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）
11.若0x <，则
4
x x +
的最大值为 。 12.若关于x 的不等式21
22x x mx
-+>-的解集为 {|02}x x <<，则m= 。
13．设正项等比数列
{}n a 的前
n 项和为n S ，若3963,12S S S =-=，则
6S = 。
14．已知
sin()sin 03
2π
π
ααα+
+=-<<，则cos α= 。
15．把数列{}12+n 中各项划分为：（3），（5，7），(9，11，13)，(15，17，19，21)，(23)，(25，27)，
(29，31，33)， (35，37，39，41)。照此下去，第100个括号里各数的和为 。 三．解答题（共6题，总计75分）。 16．（本题满分12分）
已知2π<α<β<0，
54
=
β-αcos 53=αcos ）（，。 （1）求α2tan ； （2）求βcos 。
17．（本题满分12分）
已知ABC ∆的三内角A 、B 、C 所对的边分别是a ，b ，c ，向量(cos ,cos )m B C =
(2,)n a c b =+，且m n ⊥。
（1）求角B 的大小；
（2
）若b =，求a c +的范围。 18．（本题满分12分）
已知ABC ∆的三内角A 、B 、C 所对的边分别是a ，b ，c ，且a ，b ，c 成等比数列。 （1）若sin 2sin C A =，求cos B 的值；
（2）求角B 的最大值，并判断此时ABC ∆的形状。 19．（本题满分12分） （
1
）
阅
读
理
解
：
①
对
于
任
意
正
实
数
,a b
，
2(0,0,a b a b a b
-≥∴-≥∴+≥a b =时，等号成立．
②结论：在a b +≥（,a b 均为正实数）中，若ab 为定值p ，
则
a b +≥，只有当a b =时，a b +有最小值
．
（2）结论运用：根据上述内容，回答下列问题：（提示：在答题卡上作答） ①若0m >，只有当m =__________时，
1
m m +
有最小值__________． ②若1m >，只有当m =__________时，
8
21m
m +
-有最小值__________．
（3）探索应用：学校要建一个面积为3922
m 的长方形游泳池，并且在四周要修建出宽为2m 和4 m 的小路（如图所示）。问游泳池的长和宽分别为多少米时，共占地面积最小？并求出占地面积的最小值。
