湖北省部分重点中学2019-2020学年度上学期新高三起点考试理数答案

2019-2020学年湖北省部分重点高中高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{|12}A x x =-<…，{|}B x x a =<，若A B ≠∅，则a 的取值范围是( )A ．12a -<…B ．2a >C ．1a -…D ．1a >-2．定义运算a b ad bc c d =-，则符合条件1142i z zi-=+的复数z 为( ) A ．3i -B ．13i +C ．3i +D ．13i -3．已知1e ，2e 是不共线向量，122AB e e =+，123BC e e =-+，12CD e e λ=-，且A ，B ，D 三点共线，则实数λ等于( )A ．3B ．4C ．5D ．64．如图，点A 为单位圆上一点，3xOA π∠=，点A 沿单位圆逆时针方向旋转角α到点34(,)55B -，则cos (α= )A B ． C D ．5．我国明代著名乐律学家、明宗室王子朱载堉在《律学新说》中提出的十二平均律，即是现代在钢琴的键盘上，一个八度音程从一个c 键到下一个1c 键的8个白键与5个黑键（如图）的音频恰成一个公比为的等比数列的原理，也即高音c 的频率正好是中音c 的2倍．已知标准音1a 的频率为440Hz ，那么频率为的音名是( )A ．dB ．fC ．eD ．#d6．已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，( ) A ．若1n n a a n +-=，则{}n a 是等差数列B ．若212n n n a a a ++=，则{}n a 是等比数列C ．若1()2n n n a a S +=，则{}n a 是等差数列 D ．若(0n n S q q =>且1)q ≠，则{}n a 是等比数列 7．下列四个命题中真命题是( ) 11123:(0,1),log log P x x x ∀∈<2121:(0,),()log 2x P x x ∃∈+∞…31311:(0,),()log 32x P x x ∃∈…411:(0,),()()23x x P x ∃∈+∞…A ．2P ，3PB ．2P ，4PC ．1P ，3PD ．1P ，4P8．函数133(1)()(1)x x f x log x x ⎧⎪=⎨>⎪⎩…，则(1)y f x =-的图象是( )A ．B ．C ．D ．9．已知函数42()cos sin f x x x =+，下列结论中错误的是( ) A ．()f x 是偶函数 B ．函()f x 最小值为34C ．2π是函()f x 的一个周期D ．函()f x 在(0,)2π内是减函数10．定义在[0，)+∞上的函数()f x 满足：当02x <…时，2()2f x x x =-：当2x …时，()3(2)f x f x =-．记函数()f x 的极大值点从小到大依次记为1a ，2a ，⋯，n a ，⋯，并记相应的极大值为1b ，2b ，⋯，n b ，⋯，则11222020a b a b a b ++⋯+的值为( ) A ．201931⨯+B ．191931⨯+C ．192031⨯+D ．202031⨯+11．设函数()sin()6f x x π=-，若对于任意5[,]62ππα∈--，在区间[0，]m 上总存在唯一确定的β，使得()()0f f αβ+=，则m 的最小值为( ) A ．6πB ．2πC ．76πD ．π12．函数1()|21|x x f x e e b x -=---在(0,1)内有两个零点，则实数b 的取值范围是( )A ．((1,)e e -B ．(1e -，0)(0⋃，1)e -C ．(10)(0,1)e - D ．(1,(,1)e e e ---二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请将答案填在答題卡对应題号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分． 13．设函数()(1)(23)f x x x a =++为偶函数，则a = ． 14．ABC ∆内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若115,,cos 314a B A π===，则ABC ∆的面积S = ．15．如图，三个边长为2的等边三角形有一条边在同一条直线上，边GD 上有10个不同的点1P ，2P ，310P P ⋯，则12310()AF APAP AP AP +++⋯+= ．16．已知函数2()cos2xf x x π=，数列{}n a 中，*()(1)()n a f n f n n N =++∈，则数列{}n a 的前100项之和100S = ．三、解答题（共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考试必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答）（一）必考题：共60分.17．已知n S 是数列{}n a 的前n 项之和，11a =，12n n S na +=，*n N ∈．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设211(1)nn n n n a b a a ++=-，数列{}n b 的前n 项和n T ，若1|1|2019n T +<，求正整数n 的最小值．18．如图，三棱柱111ABC A B C -，点1A 在平面ABC 内的射影D 在AC 上160BAC CAA ∠=∠=︒，且12AB AC AA ===． ()I 求证：11B C A B ⊥；（Ⅱ）求二面角1A B C B --的余弦值．19．如图，一个角形海湾AOB ，2AOB θ∠=（常数为锐角）拟用长度为(l l 为常数）的围网围成一个养殖区，有以下两种方案可供选择：方案一：如图1，围成扇形养殖区OPQ ，其中PQ l =；方案二：如图2，围成三角形养殖区OCD ，其中CD l =．（1）求方案一中养殖区的面积1S ；（2）求方案二中养殖区的最大面积（用θ，l 表示）； （3）为使养殖区的面积最大，应选择何种方案？并说明理由．20．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线22(0)x py p =>上的点(,1)M m 到焦点F 的距离为2，（1）求抛物线的方程；（2）如图，点E 是抛物线上异于原点的点，抛物线在点E 处的切线与x 轴相交于点P ，直线PF 与抛物线相交于A ，B 两点，求EAB ∆面积的最小值．21．已知函数()mxf x lnx=，曲线()y f x =在点2(e ，2())f e 处的切线与直线20x y +=垂直（其中e 为自然对数的底数）．（Ⅰ）求()f x 的解析式及单调减区间；（Ⅱ）若函数2()()1kx g x f x x =--无零点，求k 的取值范围．．（二）选考题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy 中曲线C 的参数方程为t tt tx e e y e e --⎧=+⎨=-⎩（其中t 为参数）在以O 为极点、x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系（两种坐标系的单位长度相同）中，直线l 的极坐标方程为sin()3πρθ-=（Ⅰ）求曲线C 的极坐标方程；（Ⅱ）求直线l 与曲线C 的公共点P 的极坐标． [选修4-5：不等式选讲]23．已知函数2()1f x x x =-+，且a ，b ，c R ∈．（Ⅰ）若1a b c ++=，求f （a ）f +（b ）f +（c ）的最小值； （Ⅱ）若||1x a -<，求证：|()f x f -（a ）|2(||1)a <+．2019-2020学年湖北省部分重点高中高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{|12}A x x =-<…，{|}B x x a =<，若A B ≠∅，则a 的取值范围是( )A ．12a -<…B ．2a >C ．1a -…D ．1a >-【解答】解：AB ≠∅，A ∴，B 有公共元素集合{|12}A x x =-<…，{|}B x x a =<， 1a ∴>-故选：D ． 2．定义运算a b ad bc c d =-，则符合条件1142i z zi-=+的复数z 为( ) A ．3i -B ．13i +C ．3i +D ．13i -【解答】解：根据定义，可知1(1)42zi z i ⨯--⨯=+，即(1)42z i i +=+，42(42)(1)6231(1)(1)2i i i i z i i i i ++--∴====-++-． 故选：A ．3．已知1e ，2e 是不共线向量，122AB e e =+，123BC e e =-+，12CD e e λ=-，且A ，B ，D 三点共线，则实数λ等于( )A ．3B ．4C ．5D ．6【解答】解：A ，B ，D 三点共线，∴AB BD β=，(β为实数）， 122AB e e =+，123BC e e =-+，12CD e e λ=-， ∴12(1)2BD BC CD e e λ=+=-+， ∴12122(1)2e e e e βλβ+=-+，解得12β=，5λ=． 故选：C ．4．如图，点A 为单位圆上一点，3xOA π∠=，点A 沿单位圆逆时针方向旋转角α到点34(,)55B -，则cos (α= )A B ． C D ．【解答】解：点A 为单位圆上一点，3xOA π∠=，点A 沿单位圆逆时针方向旋转角α到点34(,)55B -，(cos3A π∴，sin )3π，即1(2A ，且3cos()35πα+=-，4sin()35πα+=．则314343cos cos[()]cos()cos sin()sin 333333525ππππππαααα=+-=+++=-+=， 故选：A ．5．我国明代著名乐律学家、明宗室王子朱载堉在《律学新说》中提出的十二平均律，即是现代在钢琴的键盘上，一个八度音程从一个c 键到下一个1c 键的8个白键与5个黑键（如图）的音频恰成一个公比为的等比数列的原理，也即高音c 的频率正好是中音c 的2倍．已知标准音1a 的频率为440Hz ，那么频率为的音名是( )A ．dB ．fC ．eD ．#d【解答】解：从第二个单音起，每一个单音的频率与它的左边一个单音的频率的比1122．故从g 起，每一个单音的频率与它右边的一个单音的比为1122q -=由1112440(2)n --=⨯，解得7n =，频率为的音名是(#)d ， 故选：D ．6．已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，( ) A ．若1n n a a n +-=，则{}n a 是等差数列B ．若212n n n a a a ++=，则{}n a 是等比数列C ．若1()2n n n a a S +=，则{}n a 是等差数列 D ．若(0n n S q q =>且1)q ≠，则{}n a 是等比数列 【解答】解：利用排除法：对于A ：若1n n a a t +-=（常数），则{}n a 是等差数列， 故错误．对于B ：当120n n n a a a ++===，即使212n n n a a a ++=，则{}n a 不是等比数列．对于D ：当1(0n n S q q =->且1)q ≠，则{}n a 是等比数列． 故错误． 故选：C ．7．下列四个命题中真命题是( ) 11123:(0,1),log log P x x x ∀∈<2121:(0,),()log 2x P x x ∃∈+∞…31311:(0,),()log 32x P x x ∃∈…411:(0,),()()23x x P x ∃∈+∞…A ．2P ，3PB ．2P ，4PC ．1P ，3PD ．1P ，4P【解答】解：在同一个坐标系中画出13y log x =，12y log x =，1()2x y =，1()3x y =的图象，由图象可知：11123:(0,1),log log P x x x ∀∈<，不正确；2121:(0,),()log 2x P x x ∃∈+∞…，正确；31311:(0,),()log 32x P x x ∃∈…，不正确；411:(0,),()()23x x P x ∃∈+∞…，正确；故选：B ．8．函数133(1)()(1)x x f x log x x ⎧⎪=⎨>⎪⎩…，则(1)y f x =-的图象是( )A ．B ．C ．D ．【解答】解：123,1(),1x x f x log x x ⎧⎪=⎨>⎪⎩…，则(1)y f x =-的图象是由()y f x =的图象，沿y 轴对折，得到()y f x =-的图象，再向右平移一个单位得到的， 故选：C ．9．已知函数42()cos sin f x x x =+，下列结论中错误的是( ) A ．()f x 是偶函数 B ．函()f x 最小值为34C ．2π是函()f x 的一个周期D ．函()f x 在(0,)2π内是减函数【解答】解：对于A ，函数42()cos sin f x x x =+，其定义域为R ， 对任意的x R ∈，有4242()cos ()sin ()cos sin ()f x x x x x f x -=-+-=+=， 所以()f x 是偶函数，故A 正确；对于B ，422213()cos cos 1()24f x x x cos x =-+=-+，当cos x =时()f x 取得最小值34，故B 正确； 对于C ，2213()()24f x cos x =-+21cos 213()224x +=-+2cos 2344x =+1cos 4384x +=+cos 4788x =+， 它的最小正周期为242T ππ==，故C 正确； 对于D ，17()cos 488f x x =+，当(0,)2x π∈时，4(0,2)x π∈，()f x 先单调递减后单调递增，故D 错误．故选：D ．10．定义在[0，)+∞上的函数()f x 满足：当02x <…时，2()2f x x x =-：当2x …时，()3(2)f x f x =-．记函数()f x 的极大值点从小到大依次记为1a ，2a ，⋯，n a ，⋯，并记相应的极大值为1b ，2b ，⋯，n b ，⋯，则11222020a b a b a b ++⋯+的值为( ) A ．201931⨯+B ．191931⨯+C ．192031⨯+D ．202031⨯+【解答】解：当02x <…时，22()21(1)f x x x x =-=--， 可得()f x 的极大值点11a =，11b =，当24x <…，即有022x -<…，可得2()3(2)3[1(3)]f x f x x =-=--， 可得23a =，23b =，当46x <…，即有042x -<…，可得2()9(4)9[1(5)]f x f x x =-=--， 可得35a =，39b =， ⋯即有2039a =，1933b =，则192011222020113359393S a b a b a b =++⋯+=+++⋯+，202031339527393S =+++⋯+，相减可得192020212(39273)393S -=++++⋯+-19203(13)1239313-=+--，化简可得20201193S =+， 故选：A ．11．设函数()sin()6f x x π=-，若对于任意5[,]62ππα∈--，在区间[0，]m 上总存在唯一确定的β，使得()()0f f αβ+=，则m 的最小值为( ) A ．6πB ．2πC ．76πD ．π【解答】解：因为()sin()6f x x π=-，5[6x π∈-，]2π-，所以2[,]63x πππ-∈--，所以()[f x ∈，0]，即()[f α∈，0]， 由在区间[0，]m 上总存在唯一确定的β，使得()()0f f αβ+=，则在区间[0，]m 上总存在唯一确定的β，使得()[0f β∈，由函数()f x 在[0，2]3π为增函数，值域为：1[2-，1]，又()sin 23f ππ==即2m π…，故m 的最小值为：2π，故选：B ．12．函数1()|21|x x f x e e b x -=---在(0,1)内有两个零点，则实数b 的取值范围是( )A ．((1,)e e -B ．(1e -，0)(0⋃，1)e -C ．(10)(0,1)e - D ．(1,(,1)e e e ---【解答】解：11()2||2x x f x e e b x -=---， 设12t x =-，则12x t =+， 01x <<，1122t ∴-<<， 则函数()f x 等价为11222||t t y e eb t +-=--，即等价为11222||t t y e eb t +-=--在1122t -<<上有两个零点，即11222||t t eeb t +--=有两个根， 设1122()t t h t ee+-=-，则11112222()()()t t t t h t e eeeh t -++--=-=--=-，即函数()h t 是奇函数，则1122()0t t h t ee+-'=+>，即函数()h t 在1122t-剟上是增函数， (0)0h =，1()12h e =-，1()12h e -=-，当102t剟， 若0b =，则函数()f x 只有一个零点，不满足条件． 若0b >，则()2g t bx =，设过原点的直线()g t 与()h t 相切，切点为1122(,)a a a ee+--，1122()t t h t ee+-'=+，即h '（a ）1122a a ee+-=+， 则切线方程为11112222()()()a a a a y e eeex a +-+---=+-，切线过原点， 则11112222()()a a a a e e a e e+-+---=-+，即11112222a a a a eeaeae+-+--+=--，则1122(1)(1)a a a ea e -++=-+，得0a =，即切点为(0,0)，此时切线斜率111222(0)2k h e e e ='=+=若1222e b =，则12b e ==，此时切线y =与()h t 相切，只有一个交点，不满足条件． 当直线过点1(2，1)e -时，1122e b b -=⨯=，此时直线()2(1)g t e x =-，要使()g t 与()h t 1b e <<-， 当0b <时，0t <时，()2g t bx =-， 由1222b e -=得b =，当直线过点1(2-，1)e -时，112()2e b b -=--=，要使()g t 与()h t 有两个交点，则1e b -<<，综上1e b -<<1b e <<-，即实数b 的取值范围是(1,(,1)e e e ---，故选：D ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请将答案填在答題卡对应題号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．13．设函数()(1)(23)f x x x a =++为偶函数，则a = 3．【解答】解：函数2()(1)(23)2(32)3f x x x a x a x a =++=+++ 函数()(1)(23)f x x x a =++为偶函数，222(32)32(32)3x a x a x a x a ∴-++=+++320a ∴+=23a ∴=-，故答案为：23a =-14．ABC ∆内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若115,,cos 314a B A π===，则ABC ∆的面积S =【解答】解：ABC ∆中，11cos 14A =，可得：sin A ==，∴由正弦定理可得：sin 7sin a B b A ===， ∴由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，可得：249255c c =+-，解得：8c =或3-（舍去），11sin 5822ABC S ac B ∆∴==⨯⨯=．故答案为：．15．如图，三个边长为2的等边三角形有一条边在同一条直线上，边GD 上有10个不同的点1P ，2P ，310P P ⋯，则12310()AF APAP AP AP +++⋯+= 180．【解答】解法一：特殊位置法．令这10个点是DG 的等分点，且M 为DG 中点， 则1231010AP AP AP AP AM +++⋯+=， 以A 为原点，AD 方向为x 轴建立坐标系，故F，11(2MAF =，11(2AM =∴原式10180AF AM ==故答案为：180． 解法二：（几何法）由图知，AFC ∆中，60ACF ∠=︒，2AC FC ==， 知，AFC ∆为以90AFC ∠=︒的直角三角形． AF FC ∴⊥，30FAC ∠=︒．又//GD FC ，AF GD ∴⊥． 又 点1P ，2P ，10P ⋯在线段GD 上， (1i AF DP i ∴⊥=，2，3，⋯，10) ∴原式110()AF AD DP AD DP =++⋯++1210(10)AF AD DP DP DP =+++⋯+ 11010AF AD AF DP AF DP =++⋯+ 10AF AD =106cos30=⨯⨯︒ 180=．故答案为：180． 16．已知函数2()cos2xf x x π=，数列{}n a 中，*()(1)()n a f n f n n N =++∈，则数列{}n a 的前100项之和100S = 10200 ． 【解答】解：2()cos2xf x x π=，22(1)()(1)cos (1)cos22n n n a f n f n n n ππ+∴=++=++， 222434342(43)cos(42)cos (42)22n n n a n n n ππ---=-+-=--， 同理可得：242(42)n a n -=--，241(4)n a n -=，24(4)n a n =．2243424142(42)2(4)8(41)n n n n a a a a n n n ---∴+++=--+=-．∴数列{}n a 的前100项之和1008(3799)10200S =⨯++⋯+=．故答案为：10200．三、解答题（共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考试必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答）（一）必考题：共60分.17．已知n S 是数列{}n a 的前n 项之和，11a =，12n n S na +=，*n N ∈． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设211(1)nn n n n a b a a ++=-，数列{}n b 的前n 项和n T ，若1|1|2019n T +<，求正整数n 的最小值．【解答】解：（Ⅰ）因为12n n S na +=⋯⋯①， 所以12(1)n n S n a -=-⋯⋯②，②-①得：12(1)n n n a na n a +=--，2n …， 所以11n n a a n n +=+，则{}n an为常数列， 又2122a S ==， ∴212n a a n ==， ∴(2)n a n n =…当1n =时也满足，所以n a n =，n N ∈ （Ⅱ）2112111(1)(1)(1)()(1)1nn n n n n n a n b a a n n n n +++=-=-=-+++， 当n 为偶数时，1111111(1)()()()2233411n nT n n n =-+++-++⋯++=-++， 当n 为奇数时，11111112(1)()()()2233411n n T n n n +=-+++-++⋯-+=-++， 综上，1,111,1n n n T n n ⎧⎪⎪++=⎨⎪-⎪+⎩为偶数为奇数，则11|1|1201912019n T n n +=<⇒+>+， 2018n ∴>，n 的最小值为2019．18．如图，三棱柱111ABC A B C -，点1A 在平面ABC 内的射影D 在AC 上160BAC CAA ∠=∠=︒，且12AB AC AA ===． ()I 求证：11B C A B ⊥；（Ⅱ）求二面角1A B C B --的余弦值．【解答】证明：（Ⅰ）连结BD 、1AB ， 1A D AC ⊥，160CAA ∠=︒，1AC AA =，D ∴是AC 的中点，又AB AC =，60BAC ∠=︒，BD AC ∴⊥， 1A DBD D =，AC ∴⊥平面1A BD ，1AC A B ∴⊥，又11AA B B 是平行四边形，1AB AA =，11AB A B ∴⊥， 1ACA B A =，1A B ∴⊥平面1AB C ，11B C A B ∴⊥．解：（Ⅱ）由（Ⅰ）知AC 、DB 、1DA 两两垂直，故以D 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -，(0A ，1-，0)，B 0，0)，(0C ，1，0)，1(0A ，0，∴1(0AA =，1，设10(B x ，0y ，0)z ，则1000(,)BB x y z =，11AA BB =，∴0000,1,x y z -===1B ∴1，∴1(3AB =，2，(0AC =，2，0)，设平面1AB C 的一个法向量(m x =，y ，)z ，则132020m AB x y m AC y ⎧=++=⎪⎨==⎪⎩，取1x =，得(1m =1)-，10cos ,||||5m n m n m n ∴<>==，∴二面角1A B C B --．19．如图，一个角形海湾AOB ，2AOB θ∠=（常数为锐角）拟用长度为(l l 为常数）的围网围成一个养殖区，有以下两种方案可供选择：方案一：如图1，围成扇形养殖区OPQ ，其中PQ l =；方案二：如图2，围成三角形养殖区OCD ，其中CD l =．（1）求方案一中养殖区的面积1S ；（2）求方案二中养殖区的最大面积（用θ，l 表示）； （3）为使养殖区的面积最大，应选择何种方案？并说明理由． 【解答】解：（1）方案一：设此扇形所在的圆的半径为r ，则2l r θ=， 2lr θ∴=． 211224l l S l θθ∴=⨯⨯=．（2）设OC x =，OD y =，则2222cos 222cos 2l x y xy xy xy θθ=+--…， 可得：224l xy sin θ…，当且仅当x y =时取等号．∴养殖区的最大面积22221sin 2244tan l l S sin θθθ=⨯⨯=；（3）12tan S S θθ=， 令()tan f θθθ=-，则22()sec 1tan 0f θθθ'=-=>，()f θ∴在(0,)2π上单调递增．(0)0f =． 12S S ∴>．当(0,)2πθ∈时，选取方案一．20．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线22(0)x py p =>上的点(,1)M m 到焦点F 的距离为2，（1）求抛物线的方程；（2）如图，点E 是抛物线上异于原点的点，抛物线在点E 处的切线与x 轴相交于点P ，直线PF 与抛物线相交于A ，B 两点，求EAB ∆面积的最小值．【解答】解：（1）抛物线22(0)x py p =>的准线方程为2p y =-， 因为(,1)M m ，由抛物线定义，知12p MF =+， 所以122p+=，即2p =， 所以抛物线的方程为24x y =．3⋯分 （2）因为214y x =，所以12y x '=． 设点2(,),04t E t t ≠，则抛物线在点E 处的切线方程为21()42t y t x t -=-． 令0y =，则2t x =，即点(,0)2tP ．因为(,0)2t P ，(0,1)F ，所以直线PF 的方程为2()2ty x t =--，即20x ty t +-=．则点2(,)4t E t 到直线PF的距离为3d ==5⋯分 联立方程2420x y x ty t ⎧=⎪⎨⎪+-=⎩消元，得2222(216)0t y t y t -++=． 因为△2242(216)464(4)0t t t =+-=+>，所以1y =2y =，所以221212222164(4)1122t t AB y y y y t t ++=+++=++=+=． 7⋯分 所以EAB ∆的面积为3222214(4)1(4)22||t t S t t ++=⨯=⨯． 不妨设322(4)()(0)x g x x x +=>，则12222(4)()(24)x g x x x+'=-．因为(0,x ∈时，()0g x '<，所以()g x在(0,上单调递减；)x ∈+∞上，()0g x '>，所以()g x在)+∞上单调递增．所以当x =324)()min g x ==．所以EAB ∆的面积的最小值为．10⋯分． 21．已知函数()mxf x lnx=，曲线()y f x =在点2(e ，2())f e 处的切线与直线20x y +=垂直（其中e 为自然对数的底数）．（Ⅰ）求()f x 的解析式及单调减区间；（Ⅱ）若函数2()()1kx g x f x x =--无零点，求k 的取值范围．．【解答】解：（Ⅰ）函数()mxf x lnx =的导数为2(1)()()m lnx f x lnx -'=，又由题意有：2121()2242m f e m '=⇒=⇒=， 故2()xf x lnx=． 此时22(1)()()lnx f x lnx -'=，由()001f x x '⇒<<…或1x e <…，所以函数()f x 的单调减区间为(0,1)和(1，]e ． （Ⅱ）22()()()()11kx kx g x f x g x x x lnx x =-⇒=---，且定义域为(0，1)(1⋃，)+∞， 要函数()g x 无零点，即要21kx lnx x =-在(0x ∈，1)(1⋃，)+∞内无解， 亦即要2(1)0x klnx x--=在(0x ∈，1)(1⋃，)+∞内无解． 构造函数22(1)2()()x kx h x klnx h x x x --'=-⇒=． ①当0k …时，()0h x '<在(0x ∈，1)(1⋃，)+∞内恒成立，所以函数()h x 在(0,1)内单调递减，()h x 在(1,)+∞内也单调递减．又h （1）0=，所以在(0,1)内无零点，在(1,)+∞内也无零点，故满足条件；②当0k >时，222()2()()k x kx k h x h x x x--''=⇒=， （1）若02k <<，则函数()h x 在(0,1)内单调递减， 在2(1,)k 内也单调递减，在2(,)k+∞内单调递增． 又h （1）0=，所以在(0,1)内无零点； 易知2()0h k <，而2222()20k kh e k k e =-+>， 故在2(,)k+∞内有一个零点，所以不满足条件； （2）若2k =，则函数()h x 在(0,1)内单调递减，在(1,)+∞内单调递增．又h （1）0=，所以(0x ∈，1)(1⋃，)+∞时，()0h x >恒成立，故无零点，满足条件；（3）若2k >，则函数()h x 在2(0,)k 内单调递减，在2(,1)k内单调递增， 在(1,)+∞内也单调递增．又h （1）0=，所以在2(,1)k及(1,)+∞内均无零点． 又易知2()0h k<，而2()()2222k k k h e k k e e k -=--+=--， 又易证当2k >时，()0k h e ->，所以函数()h x 在2(0,)k内有一零点，故不满足条件． 综上可得：k 的取值范围为：0k …或2k =．（二）选考题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy 中曲线C 的参数方程为t tt t x e e y e e --⎧=+⎨=-⎩（其中t 为参数）在以O 为极点、x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系（两种坐标系的单位长度相同）中，直线l 的极坐标方程为sin()3πρθ-= （Ⅰ）求曲线C 的极坐标方程；（Ⅱ）求直线l 与曲线C 的公共点P 的极坐标．【解答】解：（Ⅰ）平面直角坐标系xOy 中曲线C 的参数方程为t tt t x e e y e e --⎧=+⎨=-⎩（其中t 为参数），∴曲线C 的直角坐标方程为224x y -=，(2)x …， 将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入224x y -=，得2cos 2ρθ=曲线C 的直角坐标方程为224x y -=，(2)x …，将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入224x y -=，得222(cos sin )4ρθθ-=，∴曲线C 的极坐标方程为2cos 24()4πρθ=-． （Ⅱ）将l 与C 的极坐标方程联立，消去ρ，得222(cos sin )2cos 2ρθθθ-=，22223cos sin 2(cos sin )θθθθ∴-+=-，cos 0θ≠，23tan 10θ∴-+=，∴方程的解为tan θ=6πθ=，代入sin()3πρθ-=ρ=∴直线l 与曲线C 的公共点P 的极坐标为，)6π． [选修4-5：不等式选讲]23．已知函数2()1f x x x =-+，且a ，b ，c R ∈．（Ⅰ）若1a b c ++=，求f （a ）f +（b ）f +（c ）的最小值；（Ⅱ）若||1x a -<，求证：|()f x f -（a ）|2(||1)a <+．【解答】解：（Ⅰ）由柯西不等式可得2222222()(111)()1a b c a b c ++++++=…，当且仅当13a b c ===时取等号， 即22213a b c ++…； f ∴（a ）f +（b ）f +（c ）22217()()31233a b c a b c =++-+++-+=…， 即f （a ）f +（b ）f +（c ）的最小值为73．证明：（Ⅱ）||1x a -<，|()f x f ∴-（a ）22||()()||||1||1|x a x a x a x a x a =---=-+-<+-|()(21)||||21|1(2||1)2(||1)x a a x a a a a =-+--+-<++=+…，故结论成立。

2019届湖北省部分重点中学高三上学期开学考试数学（理）试题★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考考查范围。

2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。

将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。

3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

4、主观题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带等。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非主观题答题区域的答案一律无效。

5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

6．保持卡面清洁，不折叠，不破损。

7、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并上交。

一、单选题1．已知集合，,则=( )A．B．C．D．【答案】A【解析】分析：求出集合，即可得到.详解：，选A.点睛：本题考查集合的交集运算，属基础题.2．已知复数满足，则（）A．B．C．D．【解析】分析：先求出复数z,再求.详解：由题得所以故答案为：B3．设等差数列的前项和为.若，，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】又.可得，则故选D.4．已知命题：，，那么命题为（）A．，B．，C．，D．，【答案】C【解析】【分析】含有量词的命题的否定形式，量词换为相反，然后否定结论即可。

【详解】根据含有量词的命题的否定形式，则为，所以选C【点睛】本题考查了含有量词的命题的否定，属于基础题。

A．B．C．D．【答案】D【解析】分析：先化简得到，再求的值.详解：由题得所以故答案为：D点睛：（1）本题主要考查函数求值和指数对数运算，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和运算能力.（2）解答本题的关键是整体代入求值.6．执行程序框图，假如输入两个数是、，那么输出的=( )A．B．C．4 D．【答案】C【解析】分析：模拟执行程序框图可知程序框图的功能是求，的值，用裂项法即可得解．详解：模拟执行程序框图，可得是、，，满足条件，满足条件满足条件不满足条件 ，退出循环，输出 的值为4．故选C ．点睛：本题主要考查了循环结构的程序框图，考查了数列的求和，属于基础题． 7．有4位游客来某地旅游，若每人只能从此处甲、乙、丙三个不同景录点中选择一处游览，则每个景点都有人去游览的概率为( ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】分析：由题意，4为游客到甲乙丙三个不同的景点游览的不同的方法，其中每个景点都有人去游览共有中不同的方法，即可求解概率.详解：由题意，4为游客到甲乙丙三个不同的景点游览，共有中不同的方法，其中每个景点都有人去游览共有中不同的方法，所以所求概率为，故选D.点睛：本题主要考查分类计数原理与分步计数原理及排列组合的应用，有关排列组合的综合问题，往往是两个原理及排列组合问题交叉应用才能解决问题，解答这类问题理解题意很关键，一定多读题才能挖掘出隐含条件．解题过程中要首先分清“是分类还是分步”、“是排列还是组合”，在应用分类计数加法原理讨论时，既不能重复交叉讨论又不能遗漏，这样才能提高准确率．在某些特定问题上，也可充分考虑“正难则反”的思维方式．8．已知函数（，），其图象相邻两条对称轴之间的距离为，将函数的图象向左平移个单位后，得到的图象关于轴对称，那么函数的A．关于点对称B．关于点对称C．关于直线对称D．关于直线对称【答案】B【解析】分析：利用函数的图象与性质求出和，写出函数的解析式，再求的对称轴和对称中心，从而可得结果.详解：因为函数的图象相邻两条对称轴之间的距离为，所以函数的周期为，，，将函数的图象向左平移个单位后，得到函数图象，图象关于轴对称，，即，又，，令，解得，，得的图象关于点对称，故选B.点睛：本题主要考查三角函数的图象与性质，属于中档题.由函数可求得函数的周期为；由可得对称轴方程；由可得对称中心横坐标.9．已知满足约束条件，若的最大值为，则的值为( )A．B．C．D．【答案】B【解析】【分析】根据表达式的几何意义，画不等式表示的可行域，在可行域内找到最优解，然后代入点坐标求得参数m的值。

湖北省部分重点中学2019届高三数学上学期起点考试试题理（扫描版）湖北省部分重点中学2018-2019学年度上学期新高三起点考试 理科数学参考答案 ABDCDCDB BBBC 13.4014.π15．16．1003π17．解：（1）； 当时，，当时，，不满足上式，所以数列是从第二项起的等比数列，其公比为2；所以.………………6分 （2）当时，，当时，，，时也满足，综上………………12分18．解：（1）证明：取AP 中点M ，连,DM BM ， ∵DA DP =，BA BP =∴PA DM ⊥，PA BM ⊥，∵DM BM M ⋂=∴PA ⊥面DMB ，又∵BD ⊂面DMB ，∴PA BD ⊥………………4分 （2）∵DA DP =，BA BP =，DA DP ⊥，060ABP ∠=∴DAP ∆是等腰三角形，ABP ∆是等边三角形，∵2AB PB BD ===，∴1DM =，BM =.∴222BD MB MD =+，∴MD MB ⊥以,,MP MB MD 所在直线分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，………………6分则()1,0,0A -，()B ，()1,0,0P ，()0,0,1D从而得()1,0,1DP =-(1,DC AB ==()1,BP =，()1,0,1BC AD ==设平面DPC的法向量()1111,,n x y z =则11•0{•0n DP n DC==，即11110{0x z x -==，∴(13,1,n =-，设平面PCB 的法向量()2212,,n x y z =，由22•0{•0n BC nBP ==，得22220{0x z x +==，∴(23,1,n =1212•1cos<,7n n n n n n ==>设二面角D PC B --为α4,n n <>=12分（1）由题可知:建模能力一级的学生是；建模能力二级的学生是；建模能力三级的学生是.记“所取的两人的建模能力指标相同”为事件，记“所取的两人的综合指标值相同”为事件.则22322245()41(|)()164C C P AB P B A P A C C +====+………………6分(2)由题可知，数学核心素养一级的学生为:，非一级的学生为余下4人的所有可能取值为0,1，2，3.031264643310102131646433101013(0),(1)301011(2),(3)26C C C C P X P X C C C C C C P X P X C C ============随机变量的分布列为：………………10分………………12分20．解：（1）设直线，代入得：设，则； 由得：线段AB 中点222(,)2121km mD k k -++,因为为的重心，所以11()22AB OC AB OD k k k k k k ==⨯-=-为定值.………………6分点差法求证相应给分. （2）设，则代入得，又，原点到的距离于是所以（定值）.………………12分21．解：（Ⅰ）()21212(0).ax f x ax x x x -=-=>'………………1分0a ≤当时，()f x '<0，()f x 在0+∞（，）内单调递减.………………2分0a >当时，由()f x '=0有x =.当x∈（时，()f x '<0，()f x 单调递减； 当x∈+)∞时，()f x '＞0，()f x 单调递增.………………4分 （Ⅱ）11()x x e xg x xe ---=令()s x = 1e x x --，则()s x '=1e 1x --.当1x >时，()s x '＞0，所以()s x 单调递增，又()10s =，()0s x ∴>，从而1x >时，()g x =111e x x --＞0.………………7分（Ⅲ）由（Ⅱ），当1x >时，()g x ＞0.当0a ≤，1x >时，()f x =()21ln 0a x x --<.故当()f x ＞()g x 在区间1+)∞（，内恒成立时，必有0a >.………………8分 当102a <<1.由（Ⅰ）有()10f f <=,而0g >，所以此时()f x ＞()g x 在区间1+)∞（，内不恒成立.………………10分 当12a ≥时，令()h x = ()f x -()g x （1x ≥）.当1x >时，()h x '=122111112e xax x x x x x x --+->-+-=322221210x x x x x x -+-+>>.因此，()h x 在区间1+)∞（，单调递增. 又因为()1h =0，所以当1x >时，()h x =()f x -()g x ＞0，即()f x ＞()g x 恒成立.综上，a ∈1+2⎡⎫∞⎪⎢⎣⎭，.………………12分 22．解： （Ⅰ）由，得， 故直线的普通方程为， 由，得，所以，即，故曲线的普通方程为.………………5分（Ⅱ）据题意设点，则，所以的取值范围是.………………10分23．解：（Ⅰ）当时，知21(1)()3(12)21(2)x x f x x x x -+<-⎧⎪=-≤<⎨⎪-≥⎩，不等式等价于1212x x x <-⎧⎨-+>+⎩或1232x x -≤<⎧⎨>+⎩或2212x x x ≥⎧⎨->+⎩解得：13x x <>或 故原不等式的解集为{|13}x x x <>或.………………5分（Ⅱ），当时取等号. 若关于的不等式的解集不是空集，只需 解得，即实数的取值范围是………………10分。

湖北部分重点中学2020届高三年级新起点考试
数学（理）试题
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的.
1．命题“，”的否定是（）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】C
【解析】因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“，”的否定是：
“，”，
故选C.
2．已知双曲线的渐近线方程为，则双曲线的离心率为（）
A． B．或 C． D．或
【答案】B
【解析】：焦点在x轴时，焦点在y轴时，
求得结果为6
2
3．秦九韶是我国南宋时期的数学家，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的
秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法，如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法
求某多项式值的一个实例，若输入的值为5，则输出v的值为
- 1 -。

湖北省部分重点中学2019-2020学年度上学期新高三起点考试数 学 试 卷命题人： 武汉四中 杨红英 审题人：武汉四中 胡广喜一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 全集U=R ，A= {)1(log |2018-=x y x }, B= {84|2++=x x y y },则 A （）=( )A. [1,2]B. [1,2)C. (1,2]D. (1,2)2. y x ,互为共轭复数，且i xyi y x 643)(2-=-+，则=+||||y x ( ) A. 2 B. 22 C. 1 D. 43.是表示空气质量的指数，指数值越小，表明空气质量越好，当指数值不大于100时称空气质量为“优良”．如图是某地3月1日到12日指数值的统计数据，图中点A 表示3月1日的指数值为201．则下列叙述不正确．．．的是（ ）A. 这12天中有6天空气质量为“优良”B. 这12天中空气质量最好的是4月9日C. 这12天的指数值的中位数是90.5 D. 从3月4日到9日，空气质量越来越好4.下列说法中，正确的是（ ）A. 命题“若22am bm <，则a b <”的逆命题为真命题B. 命题“存在2000,0x R x x ∈->”的否定是“对任意的2,0x R x x ∈-≤”C. 命题“p 或q ”为真命题，则命题p 和命题q 均为真命题D. 已知x R ∈，则“1x >”是“2x >”的充分不必要条件5.已知2121,21ln -==e x x ，3x 满足33ln x e x -=，则（ ）A. 123x x x <<B. 132x x x <<C. 213x x x <<D. 312x x x <<6．函数f(x)＝e x ＋1x （1－e x ）(其中e 为自然对数的底数)的图象大致为( )7. 已知向量 与 的夹角为 ，=2，=5，则在 方向上的投影为( )A.B.C.D.8．函数f(x)＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6sin 2x －14的图象的一个对称中心的坐标是( )A.⎝⎛⎭⎫7π24，0B.⎝⎛⎭⎫π3，0C.⎝⎛⎭⎫π3，－14 D.⎝⎛⎭⎫π12，09．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是__________．（重点说明：右图中应为21l o g 2+++=n n S S ） A. 7B. 8C. 9D. 1010. 如图，点为双曲线的右顶点，点为双曲线上一点，作轴，垂足为，若为线段的中点，且以为圆心，为半径的圆与双曲线恰有三个公共点，则的离心率为（ ）A. B. C. 2 D.11. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且，若，则tanB的值为（ ） A.31- B. 31 C. 3- D. 312. 如图，在四棱锥中，顶点在底面的投影恰为正方形的中心且，设点分别为线段、上的动点，已知当取最小值时，动点恰为的中点，则该四棱锥的外接球的表面积为（ ）A.B.C.D.二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13. 在的展开式中的系数为_____.14. 已知实数x ，y 满足210102x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪<⎩，则2z x y =-的取值范围是______．15. 已知点()0,1A ，抛物线()2:0C y ax a =>的焦点为F ，连接FA ，与抛物线C 相交于点M ，延长FA ，,与抛物线C 的准线相交于点N ，若:1:2FM MN =，则实数a 的值为______．16. 设函数，若函数有4个零点，则的取值范围为______．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文明说明、证明过程或演算步骤，写在答题纸的相应位置）17．(本题满分12分) 已知数列是等比数列，为数列的前项和，且，.（1）求数列的通项公式；（2）设，且为递增数列，若，求证：.18. (本题满分12分)在五边形AEBCD 中，，C ，，，（如图）.将△ABE 沿AB折起，使平面ABE ⊥平面ABCD ，线段AB 的中点为O(如图）.（1）求证：平面ABE ⊥平面DOE ；（2）求平面EAB 与平面ECD 所成的锐二面角的大小.19．(本题满分12分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的离心率e ＝22，以上顶点和右焦点为直径端点的圆与直线x ＋y －2＝0相切．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)是否存在斜率为2的直线，使得当直线与椭圆C 有两个不同的交点M ，N 时，能在直线y ＝53上找到一点P ，在椭圆C 上找到一点Q ，满足PM →＝NQ →？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由．20. (本题满分12分)为了引导居民合理用电，国家决定实行合理的阶梯电价，居民用电原则上以住宅单位（一套住宅为一户）.某市随机抽取10户同一个月的用电情况，得到统计表如下：（1）若规定第一阶梯电价每度元，第二阶梯超出第一阶梯的部分每度元，第三阶梯超出第二阶梯每度元，式计算居民用电户用电度时应交电费多少元？（2）现要在这10户家庭中任意选取3户，求取到第二阶梯电量的用户数的分布与期望；（3）以表中抽到的10户作为样本估计全是居民用电，现从全市中依次抽取10户，若抽到户用电量为第一阶梯的可能性最大，求的值.21. (本题满分12分) 已知函数（为自然对数的底数，为常数，并且）.（1）判断函数在区间内是否存在极值点，并说明理由；（2）若当时，恒成立，求整数的最小值.请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做和，则按所做的第一题记分。

2019-2020学年湖北省部分重点中学高三（上）第一次联考数学试卷1一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 设集合A ={x|x <0}，集合B ={x|(x +1)(x −2)<0}，则A ∪B 等于( )A. (−1,0)B. (−∞,2)C. (−1,2)D. (−∞,0)2. 若复数m+i2−i 为纯虚数，则实数m =( )A. 2B. −2C. 12D. −123. 已知sin(x +π2)=13，则cos2x =( )A. −13 B. 13 C. −79 D. 79 4. 已知等比数列{a n }满足a 3a 5a 7=−8，且a 3=2a 1，则a 1=( )A. 12 B. −12 C. 2D. −25. 若点M 是△ABC 所在平面内一点，且满足MA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，则S △ABM ：S △ABC 等于( ) A. 12 B. 13 C. 14 D. 15 6. 命题“若x =1，则|x|=1”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中真命题共有( )A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个7. 下列函数中，既是奇函数又在定义域内递增的是( )A. f(x)=−1xB. f(x)=3x −1C. f(x)=x 3+xD. f(x)=log 3|x|8. 已知定义在R 上的函数f(x)=22−x −2x−2−(x −2)5−x ，则不等式f(2x +3)+f(x −2)⩾−4的解集为( )A. (0,1)B. (0,1]C.D.9. 在△ABC 中，若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−2,|BA ⃗⃗⃗⃗⃗ −BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2，则△ABC 的面积的最大值为( )A. 5B. 3C. 52D. √5210. 若函数f(x)={−log 2x +x −3x >02x x <0，则f(f(3))=( )A. 13B. 32C. 52D. 311. 已知函数f (x )=sin(ωx +π6)(ω>0)在区间[−π4,2π3]上单调递增，则ω的取值范围为( )A. (0,83] B. (0,12] C. [12,83] D. [38,2] 12. 已知函数f(x)=(2x −1)e x +ax 2−3a(x >0)为增函数，则a 的取值范围是( )A. [−2√e,+∞)B. [−32e,+∞)C. (−∞,−2√e]D. (−∞,−32e]二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知实数x ，y 满足{x −2y +1≥0x +y −1≥0x <2，则z =2x −y 的取值范围是______．14.函数f(x)=3x3x+1的值域是______ ．15.已知a⃗+b⃗ =(3,4),|a⃗−b⃗ |=3，则a⃗⋅b⃗ =____________．16.已知函数f(x)={x 2+x,0<x<2−2x+8,x≥2，若f(a)=f(a+2)，则f(1a)=______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知数列{a n}满足：a1=3，a n+1=n+1na n+2n+2．(1)证明：数列是等差数列；(2)证明：1a1+1a2+1a3+⋯+1a n<1．18.在△ABC中，已知A=60°，c=37a.(1)求sin C的值；(2)若a=7，求△ABC的面积．19.如图，四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，，AC与BD交于点O，平面ABCD，E为CD的中点，连接AE交BD于G，点F在侧棱PD上，且DF=13PD．(1)求证：PB//平面AEF；(2)若，求三棱锥E−PAD的体积．20.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的中心是坐标原点O，左右焦点分别为F1、F2，设P是椭圆C上一点，满足PF2⊥x轴，|PF2|=12，离心率为√32．(Ⅰ)求椭圆的标准方程；(Ⅱ)过椭圆左焦点且倾斜角为45°的直线l与椭圆C相交于A，B两点，求△AOB的面积．21.某商品要了解年广告费x(单位：万元)对年利润y(单位：万元)的影响，对近4年的年广告费x i和年利润y i(i=1,2，…，4)数据作了初步整理，得到下面的表格：广告费x2345年利润y26394954y关于x的回归直线方程；(Ⅱ)根据(Ⅰ)的结果预报广告费用为6万元时的年利润．附：对于一组数据(x1,y1)，(x2,y2)，…，(x n,y n)，其回归直线ŷ=b̂x+â的斜率和截距的最小二乘估计分别为：b̂=ni=1i−x)(y i−y)∑(n x−x)2，â=y−b̂x．22.已知函数f(x)=lnx+axx+1(1)若函数有两个极值点，求实数a的取值范围；(2)讨论f(x)的零点个数．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：B={x|(x+1)(x−2)<0}，即B={x|−1<x<2}，又A={x|x<0}，∴A∪B=(−∞,2)，故选：B．本题主要考查集合的并集，是基础题．解出集合B，然后根据并集的定义求解即可．2.答案：C解析：【分析】本题考查复数的四则运算，复数的基本概念，属于基础题．利用复数的除法运算法则化简复数为a+bi的形式，利用复数是纯虚数求解m即可．【解答】解：复数m+i2−i =(m+i)(2+i)(2−i)(2+i)=2m−1+(m+2)i5，因为复数m+i2−i为纯虚数，所以2m−1=0，m+2≠0，解得m=12．故选C．3.答案：C解析：因为sin(x+π2)=cosx=13，所以cos2x=2cos2x−1=−79．4.答案：B解析：解：数列{a n}公比为q，由a3a5a7=−8，可得a53=−8，即a5=−2，∵a3=2a1，∴q2=2，∴a1=a5q4=−12，故选：B．由条件求得，a5=−2，q2=2，即可求出．本题主要考查等比数列的定义和性质，求出q 2=2，是解题的关键，属于基础题．5.答案：B解析： 【分析】本题考查了三角形的重心性质和平面向量的基本定理，考查了推理能力，属于基础题．由MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，可知M 为△ABC 的重心，根据重心的性质可知：3S △ABM =S △ABC ，因此S △ABM ：S △ABC =13． 【解答】解：由题意可知：MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ， 则M 为△ABC 的重心，由重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等， 3S △ABM =S △ABC ， ∴S △ABM ：S △ABC =13， 故选B ．6.答案：C解析： 【分析】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了四种命题，正确理解互为逆否的两个命题真假性相同，是解答的关键，属于基础题．分别判断原命题和逆命题的真假，进而根据互为逆否的两个命题真假性相同，得到答案． 【解答】解：命题“若x =1，则|x|=1”为真命题，故其逆否命题为真命题， 其逆命题为：“若|x|=1，则x =1”为假命题，故其否命题为假命题，则命题“若x =1，则|x|=1”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中真命题共2个， 故选：C ．7.答案：C解析： 【分析】本题考查函数的奇偶性与单调性的判断，关键是掌握常见函数的奇偶性与单调性，属于基础题． 根据题意，依次分析函数的奇偶性与单调性，综合即可得答案．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A ，f(x)=−1x ，是奇函数但在其定义域上不是增函数，不符合题意； 对于B ，f(x)=3x −1，不是奇函数，不符合题意；对于C ，f(x)=x 3+x ，既是奇函数又在定义域内递增，符合题意； 对于D ，f(x)=log 3|x|，不是奇函数，不符合题意． 故选C ．8.答案：C解析： 【分析】本题主要考查了利用函数的对称性及单调性求解不等式，解题的关键是函数性质的灵活应用． 【解答】解：根据题意，f(x)=22−x −2x−2−(x −2)5−(x −2)−2， 令g(x)=f(x +2)+2=2−x −2x −x 5−x ， 则g(−x)=2x −2−x −(−x)5−(−x)= −(2−x −2x −x 5−x)=−g(x)， 即g (x )为奇函数，且在R 上为减函数． 不等式f (2x +3)+f (x −2)≥−4，等价于f((2x +1)+2)+2⩾−[f((x −4)+2)+2]，即g (2x +1)≥−g (x −4)=g (−x +4)，则2x +1≤−x +4，解得x ≤1． 故选C ．9.答案：D解析：解：△ABC 中，A 、B 、C 所对边分别为a ，b ，c ， 由AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−2，得ca ⋅cos(π−B)=−2， ∴ca ⋅cosB =2①；由|BA ⃗⃗⃗⃗⃗ −BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2，得b =√2， ∴b 2=c 2+a 2−2ca ⋅cosB =2②； ∴c 2+a 2=6， ∴S △ABC =12acsinB =12ac√1−cos 2B =12ac √1−4(ac)2=12√(ac)2−4；由a 2+c 2=6，得a 2+c 2≥2ac ，ac ≤3，当且仅当a =c =√3时取等号， 所以S △ABC ≤12√32−4=√52，即△ABC 面积的最大值为√52．故选：D ．根据△ABC 中AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−2，得ca ⋅cosB =2①；由|BA ⃗⃗⃗⃗⃗ −BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2得b =√2，再由余弦定理得出c 2+a 2的值； 根据同角的三角函数关系和基本不等式即可求出S △ABC 的最大值．本题考查平面向量数量积的运算、三角形面积公式不等式求最值等知识，是综合性题目．10.答案：A解析： 【分析】本题考查分段函数的应用，指数函数以及对数函数的运算法则的应用，是基本知识的考查．属于基础题．直接利用分段函数，转化求解函数的值即可． 【解答】解：函数f(x)={−log 2x +x −3x >02x x <0，则f(3)=−log 23<0．所以f(f(3))=f(−log 23)=2−log 23=13． 故选：A ．11.答案：B解析： 【分析】本题考查了函数y =Asin(ωx +φ)的图象与性质，函数单调性的应用，属于基础题．根据正弦函数的单调性，结合在区间[−π4,2π3]上单调递增，建立不等式关系，即可求解．【解答】 解：当x ∈[−π4,2π3]时，ωx +π6∈[−π4ω+π6,2π3ω+π6]，∴[−π4ω+π6,2π3ω+π6]⊆[2kπ−π2,2kπ+π2], k ∈Z ，∴{−π4ω+π6≥2kπ−π22π3ω+π6≤2kπ+π2，解得{ω≤−8k +83ω≤3k +12(k ∈Z),又∵ω>0，∴只能取k =0，此时ω∈(0,12]． 故选B ．12.答案：A解析： 【分析】利用导数判断函数的单调性即可． 【解答】解：由题意得f′(x )=(2x +1)e x +2ax ≥0,2a ≥−(2+1x )e x 令g (x )=−(2+1x)e x,g′(x )=−(2x−1)(x+1)e xx 2可得x =12时，函数g(x)取得极大值即最大值g (12)=−4√e 所以a ≥−2√e 故选A ．13.答案：[0,5)解析： 【分析】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键，属于基础题． 作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义即可得到结论． 【解答】解：画出不等式组所表示的区域，如图阴影部分所示，做直线l ：2x −y =0，平移l 可知过C 时z 最小，过B 时z 最大， 联立{x −2y +1=0x +y −1=0得C(13,23)，同理B(2,−1)，即z 的取值范围是[0,5)．故答案为：[0,5)．14.答案：(0,1)解析：解：函数y =f(x)=3x 3x +1，即有3x=−yy−1，由于3x >0， 则−yy−1>0， 解得0<y <1． 值域为{0,1)． 故答案为：(0,1)．可由原函数解出3x ，再由指数函数的值域，解不等式即可得到所求值域．本题考查函数的值域问题，考查指数函数的值域的运用，考查二次不等式的解法，属于中档题．15.答案：4解析： 【分析】本题考查向量数量积，利用向量数量积的运算法则以及向量的模的公式求解，属于基础题．求出|a ⃗ +b ⃗ |2=a ⃗ 2+2a ⃗ ·b ⃗ +b ⃗ 2,|a ⃗ −b ⃗ |2=a 2⃗⃗⃗⃗ −2a ⃗ ·b ⃗ +b ⃗ 2的值相减即可．【解答】解：a ⃗ +b ⃗ =(3,4),|a ⃗ −b ⃗ |=3，所以|a ⃗ +b ⃗ |2=a ⃗ 2+2a ⃗ ·b ⃗ +b ⃗ 2=32+42=25, |a ⃗ −b ⃗ |2=a ⃗ 2−2a ⃗ ·b ⃗ +b ⃗ 2=9，相减得4a ⃗ ·b ⃗ =16,a ⃗ ·b ⃗ =4， 故答案为4．16.答案：2解析： 【分析】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．当0<a <2时，a 2+a =−2a −4+8，求出a =1；当a ≥2时，−2a +8=−2a −4+8，无解，从而f(1a )=f(1)，由此能求出结果．【解答】解：∵函数f (x )={x 2+x,0<x <2−2x +8,x ≥2，若f(a)=f(a +2)， ∴当0<a <2时，a 2+a =−2a −4+8， 解得a =−4(舍)或a =1，当a ≥2时，−2a +8=−2a −4+8，无解， ∴a =1，f(1a )=f(1)=12+1=2． 故答案为2．17.答案：证明：(1)数列{a n }满足：a 1=3，a n+1=n+1na n +2n +2．则：na n+1−(n +1)a n =2n(n +1)，所以：an+1n+1−a n n=2，所以：数列{an n }是以a11=3为首项，2为公差的等差数列．解：(2)由(1)知，a n =n(2n +1)． 所以：1a n=22n(2n+1)，=2(12n−12n+1)<2(2n−1)(2n+1)，=12n−1−12n+1，则：1a 1+1a 2+⋯+1a n，=2(12−13+14−15+⋯12n −12n+1)． <1−13+13−15+⋯+12n−1−12n+1， =1−12n+1<1．解析：(1)直接利用已知条件，对数列的递推关系式进行变换，整理得an+1n+1−a n n=2，进一步利用定义证明确定数列为等差数列．(2)首先利用(1)的结论，进一步求出数列的通项公式，然后利用放缩法和裂项相消法求出数列的和． 本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用，放缩法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．18.答案：解：(1)根据正弦定理，得，∴sinC =c·sinA a=37×√32=3√314； (2)当a =7时，c =37a =3．，c<a，∴cosC=√1−sin2C=1314，在△ABC中，sinB=sin[π−(A+C)]=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=√32×1314+12×3√314=4√37，所以S△ABC=12acsinB=12×7×3×4√37=6√3．解析：本题主要考查正弦定理，同角三角函数的关系式，两角和与差的正弦公式以及三角形的面积公式，属于中档题．(1)利用正弦定理，即可得；(2)利用同角三角函数的关系式，以及三角形的面积公式，即可得．19.答案：(1)证明：如图，连接FG.因为E为CD的中点，O为AC的中点，所以点G为△ACD的重心，DG=23DO=13DB．又DF=13PD，所以FG//PB.又FG⊂平面AEF，PB⊄平面AEF，所以PB//平面AEF.(2)解：设PO=x，因为平面ABCD，，，所以PO⊥AO，PO⊥OB，而底面ABCD是边长为2的菱形，，则PA=√1+x2，PB=√3+x2．在△PAB中，，解得x=1(x=−1舍去).所以V E−PAD =V P−AED =13×12×2×√32×1×1=√36.所以三棱锥E −PAD 的体积为√36．解析：本题考查线面平行的判定及三棱锥的体积，属于中档题． (1)根据线面平行的判定定理即可证明． (2)利用，可得PO =1，再利用等体积V E−PAD =V P−AED ，即可求得三棱锥E −PAD的体积．20.答案：解：(Ⅰ)由题意P 是椭圆C 上一点，满足PF 2⊥x 轴，|PF 2|=12，离心率为√32． 知，ca=√32,b 2a=12,a =2,b =1，所以x 24+y 2=1．(Ⅱ)过椭圆左焦点(−√3,0)且倾斜角为45°的直线l ，可知l ：y =x +√3，联立直线l 和椭圆C ， 有{y =x +√3x 24+y 2=1，有5x 2+8√3x +8=0，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，x 1+x 2=−8√35，x 1x 2=85， 有|y 1−y 2|=|x 1−x 2|=√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=4√25，所以S △AOB =12⋅|y 1−y 2|⋅√3=2√65．解析：(Ⅰ)利用P 是椭圆C 上一点，满足PF 2⊥x 轴，|PF 2|=12，离心率为√32.列出方程组，求出a ，b即可得到椭圆方程．(Ⅱ)求出直线方程，联立直线与椭圆方程，利用韦达定理，结合三角形的面积公式求解即可． 本小题考查直线与椭圆的位置关系，考查椭圆的相关知识．是中档题．21.答案：解：(Ⅰ)由表中数据，计算x =14×(2+3+4+5)=3.5，y =14×(26+39+49+54)=42，由表中数据与附中公式，得b ̂=ni=1i −x)(y i −y)∑(n x −x)2=475=9.4， a ̂=y −b ̂x =42−9.4×72=9.1， 所以回归方程为ŷ=9.4x +9.1； (Ⅱ)回归方程为y ̂=9.4x +9.1， x =6时，计算ŷ=9.4×6+9.1=65.5， 即预报广告费用为6万元时的年利润为65.5万元．解析：(Ⅰ)由表中数据计算平均数，求出回归系数，写出回归方程；(Ⅱ)利用回归方程计算x=6时对应的函数值即可．本题考查了线性回归方程的求法与应用问题，是基础题．22.答案：解：f′(x)=1x +a(x+1)2=x2+(a+2)x+1x(x+1)2，x>0，(1)∵函数有两个极值点，∴f′(x)=0在(0,+∞)上有两个异号零点，∴Δ>0，且−(a+2)>0，∴解得a<−4．当a<−4时，f′(x)有2个不同正根−(a+2)±√a2+4a2，则f(x)在(0,−(a+2)−√a2+4a2)，(−(a+2)+√a2+4a2,+∞)递增，在(−(a+2)−√a2+4a2,−(a+2)+√a2+4a2)递减，此时函数有2个极值点，当a≥−4时，(x+1)2+ax≥(x+1)2−4x≥0，f′(x)≥0，此时不成立，故a<−4；(2)x→0时，f(x)→−∞，x→+∞时，f(x)→+∞，由(1)知a≥−4时，f′(x)≥0，此时恰有1个零点，a<−4时，f(x)在x0=−(a+2)−√a2+4a2取极大值，则(x0+1)2=ax0，此时f(x0)=lnx0−(x0+1)2x0+1=lnx0−(x0+1)，设g(x)=lnx−(x+1)，g′(x)=1x−1，则g(x)在(0,1)递增，在(1,+∞)递减，则g(x)在x=1处取极大值−2，即g(x)恒小于0，此时f(x)有一个零点．综上，f(x)有一个零点．解析：本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道中档题．(1)求出函数的导数，解关于导函数的方程，求出函数的单调区间，根据函数的极值的个数从而求出a的范围；(2)通过讨论a的范围，判断函数的零点个数．。

湖北省部分重点中学2019-2020学年度上学期新高三起点考试理科数学参考答案一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.全集U=R，A={)1(log |2018-=x y x },B={84|2++=x x y y },则 A （）A.[1,2]B.[1,2)C.(1,2]D.(1,2)【解析】D 略2.y x ,互为共轭复数，且i xyi y x 643)(2-=-+，则=+||||y x A.2 B.22 C.1 D.4【解析】选B 设,x a bi y a bi =+=-，代入得()()2222346a a b i i -+=-，所以()()22224,36a a b =+=，解得1,1a b ==，所以22x y +=.3.是表示空气质量的指数，指数值越小，表明空气质量越好，当指数值不大于100时称空气质量为“优良”．如图是某地3月1日到12日指数值的统计数据，图中点A 表示3月1日的指数值为201．则下列叙述不正确．．．的是（）A.这12天中有6天空气质量为“优良”B.这12天中空气质量最好的是4月9日C.这12天的指数值的中位数是90.5D.从3月4日到9日，空气质量越来越好【答案】C【详解】由3月1日到12日指数值的统计数据，指数值不大于100的共有6天，故A 正确；由3月1日到12日指数值的统计数据，4月9日的指数值为67，空气质量最好，故B 正确；由3月1日到12日指数值的统计数据，这12天的指数值的中位数是90，故C 错误；由3月1日到12日指数值的统计数据，从3月4日到9日，指数值逐渐变小，空气质量越来越好，故D 正确.故选C.4.下列说法中，正确的是（）A.命题“若22am bm <，则a b <”的逆命题为真命题B.命题“存在2000,0x R x x ∈->”的否定是“对任意的2,0x R x x ∈-≤”C.命题“p 或q ”为真命题，则命题p 和命题q 均为真命题D.已知x R ∈，则“1x >”是“2x >”的充分不必要条件答案：B 5.已知2121,21ln -==e x x ，3x 满足33ln x e x -=，则（）A.123x x x << B.132x x x << C.213x x x << D.312x x x <<【答案】A 解：∵0x e ->；∴3ln 0x >；∴31x >；又1021ln ln10,012e e -<=<<=；∴123x x x <<．故选：A ．6．函数f(x)＝e x ＋1x （1－e x ）(其中e 为自然对数的底数)的图象大致为(A)【解】当x>0时，e x >1，则f(x)<0；当x<0时，e x <1，则f(x)<0，所以f(x)的图象恒在x 轴下方，选A.7.已知向量与的夹角为，=2，=5，则在方向上的投影为()A. B. C. D.【答案】B 【解】∵=2，=5，向量与的夹角为，∴，∴在方向上的投影为．8．函数f(x)＝2x －14的图象的一个对称中心的坐标是(A)【解析】f(x)＝2x －14＝32cos 2x ＋12sin 2x sin 2x －14＝32sin 2xcos 2x ＋12sin 22x －14＝34sin 4x ＋12·1－cos 4x 2－14＝12sin令4x －π6＝k π，求得x ＝k π4＋π24，＋π24k ∈Z ，当k ＝1时，故选A.9．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是__________．A.7B.8C.9D.10【答案】B【解析】2222223412log log log ......log log 34522n S n n +=++++=++，当22log 22n =-+时，6n =，7n =时，2S <-，此时18n n =+=，故填：8.10.如图，点为双曲线的右顶点，点为双曲线上一点，作轴，垂足为，若为线段的中点，且以为圆心，为半径的圆与双曲线恰有三个公共点，则的离心率为（）A. B. C.2 D.【答案】A【详解】由题意可得A （a ，0），A 为线段OB 的中点，可得B （2a ，0），令x ＝2a ，代入双曲线的方程可得y ＝±b ，可设P （2a ，b ），由题意结合图形可得圆A 经过双曲线的左顶点（﹣a ，0），即|AP |＝2a ，即有2a，可得a ＝b ，e ，故选：A ．10.在△ABC 中，角A，B，C 所对的边分别是a，b，c，且，若，则tanB 的值为（）A.31- B.31 C.3- D.3【答案】-3【详解】∵，∴,即，又，由余弦定理可得,解得，,,解得,故答案为-3.11.如图，在四棱锥中，顶点在底面的投影恰为正方形的中心且，设点分别为线段、上的动点，已知当取最小值时，动点恰为的中点，则该四棱锥的外接球的表面积为（）A.B.C.D.【答案】B 【分析】在上取与点对应的点，显然当为的中点时，，计算棱锥的高，利用勾股定理计算出球的半径，进而可得出结果.【详解】在上取点，使得，则，当时，取得最小值，即的最小值为，因为此时，恰为的中点，所以，因此，，设外接球的半径为，则，解得，因此，外接球的表面积为.故选B二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.在的展开式中的系数为_____.【答案】-8414.已知实数x ，y 满足210102x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪<⎩，则2z x y =-的取值范围是______．【答案】[0,5)【详解】画出不等式组所表示的区域，如图阴影部分所示，做直线:20l x y -=，平移l 可知过C 时z 最小，过B 时z 最小，联立21010x y x y -+=⎧⎨+-=⎩得C 12,33⎛⎫⎪⎝⎭，同理B(2,-1)即z 的取值范围是[0,5).15.已知点()0,1A ，抛物线()2:0C y ax a =>的焦点为F ，连接FA ，与抛物线C 相交于点M，延长FA ，,与抛物线C 的准线相交于点N ，若:1:2FM MN =，则实数a 的值为______．【答案】433【详解】依题意得焦点F 的坐标为,04a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，过M 作抛物线的准线的垂线且垂足为K ，连接MK ，由抛物线的定义知MF MK =，因为||:||1:2FM MN =，所以||:||3:1KN KM =，又01404FN k a a -==--，N ||3||F KN k KM =-=，所以43a -=，解得433a =.故答案为43316.设函数，若函数有4个零点，则的取值范围为______．【答案】【详解】由题意可知，函数的定义域，，即，∴函数为偶函数，若函数有4个零点，即函数在有2个零点，当x＞0时，,易知：函数在上单调递减，在上单调递增，且时，，且时，，故只需：的最小值∴，解得∴的取值范围为.故答案为：三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文明说明、证明过程或演算步骤，写在答题纸的相应位置）17．(本题满分12分)已知数列是等比数列，为数列的前项和，且，.（1）求数列的通项公式；（2）设，且为递增数列，若，求证：.【答案】（1）或.（2）详见解析【解析】（1）设数列的公比为，当时，符合条件，，，当时，，所以，解得，.，综上：或.注：列方程组求解可不用讨论.（2）证明：若，则，与题意不符；，，，.18.(本题满分12分)在五边形AEBCD中，，C，，，（如图）.将△ABE沿AB折起，使平面ABE⊥平面ABCD，线段AB的中点为O(如图）.（1）求证：平面ABE⊥平面DOE；（2）求平面EAB与平面ECD所成的锐二面角的大小.【答案】（1）见解析（2）45°【详解】（1）由题意，O是线段AB的中点，则.又，则四边形OBCD为平行四边形，又，则，因，，则.，则AB⊥平面EOD.又平面ABE，故平面ABE⊥平面EOD.（2）由（1）易知OB，OD，OE两两垂直，以O为坐标原点，以OB，OD，OE所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，△EAB为等腰直角三角形，且AB=2CD=2BC，则，取，则O（0，0，0），A（-1，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，1，0），E（0，0，1），则，，设平面ECD的法向量为，则有取，得平面ECD的一个法向量，因OD⊥平面ABE.则平面ABE的一个法向量为，设平面ECD与平面ABE所成的锐二面角为θ，则，因为，所以，故平面ECD与平面ABE所成的镜二面角为45°.19．(本题满分12分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的离心率e ＝22，以上顶点和右焦点为直径端点的圆与直线x ＋y －2＝0相切．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)是否存在斜率为2的直线，使得当直线与椭圆C 有两个不同的交点M ，N 时，能在直线y ＝53上找到一点P ，在椭圆C 上找到一点Q ，满足PM →＝NQ →？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由．【解析】(1)由椭圆的离心率e ＝22，得c 2a 2＝c 2b 2＋c 2＝12，得b ＝c.上顶点为(0，b)，右焦点为(b ，0)，以上顶点和右焦点为直径端点的圆的方程为x －b 22y －b 22a 2＝b 22，∴|b －2|2＝22b ，即|b －2|＝b ，得b ＝c ＝1，a ＝2，∴椭圆的标准方程为x 22＋y 2＝1..........................5分(2)椭圆C 上不存在这样的点Q ，理由如下：设直线的方程为y ＝2x ＋t ，设M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，P x 3，53Q(x 4，y 4)，MN 的中点为D(x 0，y 0)，y ＝2x ＋t ，x 22＋y 2＝1，消去x ，得9y 2－2ty ＋t 2－8＝0，所以y 1＋y 2＝2t9，且Δ＝4t 2－36(t 2－8)＞0，....7分故y 0＝y 1＋y 22＝t9，且－3＜t ＜3.由PM →＝NQ →，得x 1－x 3，y 1－53＝(x 4－x 2，y 4－y 2)，所以有y 1－53＝y 4－y 2，y 4＝y 1＋y 2－53＝29t －53..........................9分(也可由PM →＝NQ →知四边形PMQN 为平行四边形，而D 为线段MN 的中点，因此，D 也为线段PQ 的中点，所以y 0＝53＋y 42＝t 9，可得y 4＝2t －159.)又－3＜t ＜3，所以－73＜y 4＜－1，.........................11分与椭圆上点的纵坐标的取值范围是[－1，1]矛盾．故椭圆C 上不存在这样的点Q.12分20.(本题满分12分)为了引导居民合理用电，国家决定实行合理的阶梯电价，居民用电原则上以住宅单位（一套住宅为一户）.阶梯级别第一阶梯第二阶梯第三阶梯月用电范围（度）某市随机抽取10户同一个月的用电情况，得到统计表如下：（1）若规定第一阶梯电价每度元，第二阶梯超出第一阶梯的部分每度元，第三阶梯超出第二阶梯每度元，式计算居民用电户用电度时应交电费多少元？（2）现要在这10户家庭中任意选取3户，求取到第二阶梯电量的用户数的分布与期望；（3）以表中抽到的10户作为样本估计全是居民用电，现从全市中依次抽取10户，若抽到户用电量为第一阶梯的可能性最大，求的值.【答案】（1）227元（2）（3）【解析】分析：（1）10户共有3户为第二阶梯电量用户，所以可取0,1,2,3，分别求其概率，即可列出分布列，计算期望；（2）由题意抽到的户数符合二项分布，设抽到K 户概率最大，解不等式组，再根据即可求出.试题解析：（1）元设取到第二阶梯电量的用户数为，可知第二阶梯电量的用户有3户，则可取0,1,2,3居民用电编号12345678910用电量（度）538690124132200215225300410故的分布列是123所以可知从全市中抽取10户的用电量为第一阶梯，满足，可知,解得，所以当时，概率最大，所以21.(本题满分12分)已知函数（为自然对数的底数，为常数，并且）.（1）判断函数在区间内是否存在极值点，并说明理由；（2）若当时，恒成立，求整数的最小值.【答案】（1）无极值点；（2）0.【详解】（1），令，则f'（x）＝e xg（x），恒成立，所以g（x）在（1，e）上单调递减，所以g（x）＜g（1）＝a﹣1≤0，所以f'（x）＝0在（1，e）内无解．所以函数f（x）在区间（1，e）内无极值点．（2）当a＝ln2时，f（x）＝e x（﹣x+lnx+ln2），定义域为（0，+∞），，令，由（Ⅰ）知，h（x）在（0，+∞）上单调递减，又，h（1）＝ln2﹣1＜0，所以存在，使得h（x 1）＝0，且当x∈（0，x 1）时，h（x）＞0，即f'（x）＞0，当x∈（x 1，+∞）时，h（x）＜0，即f'（x）＜0．所以f（x）在（0，x 1）上单调递增，在（x 1，+∞）上单调递减，所以．由h（x 1）＝0得，即，所以，令，则恒成立，所以r（x）在上单调递增，所以，所以f（x）max ＜0，又因为，所以﹣1＜f（x）max ＜0，所以若f（x）＜k（k∈Z ）恒成立，则k 的最小值为0．请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做和，则按所做的第一题记分。

湖北省部分重点中学2019学年度上学期高三起点考试考试时间：8月10日 14：00-16：00 本卷满分150分一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1 . i 为虚数单位，512iz i=+, 则z 的共轭复数为 ( ) A. 2-iB. 2+iC. -2-iD. -2+i 2．若二项式 的展开式中的常数项为70，则实数a 可以为( )DA ．2B ．12C ．3．若某程序框图如图所示，则输出的n 的值是 ( )A. 3B. 4C. 5D. 64. .直线:1l y k x =+与圆22:1O x y +=相交于,A B 两点，则"1"k =是“△ABO 的面积为12”的（ ） .A 充分而不必要条件 .B 必要而不充分条件 .C 充分必要条件 .D 既不充分又不必要条件5． 已知函数 y = 2sin x 的定义域为[a,b] ,值域为[-2,1] ，则 b-a 的值不可能是( ) A. 56π B.π C. 76π D. 2π2x +ax8(第3题图)6.若,x y 满足20200x y kx y y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩且z y x=-的最小值为－2，则k 的值为（ ） A. 1 B.－1 C. 2 D. --27.在空间直角坐标系Oxyz 中，已知()2,0,0A ，()2,2,0B ，()0,2,0C，(1D ，若 1S ，2S ，3S 分别表示三棱锥D A B C -在xO y ，yO z ，zOx 坐标平面上的正投影图形的 面积，则（ ）A 123S S S ==B 12S S =且 31S S ≠C 13S S =且 32S S ≠D 23S S =且 13S S ≠8．已知a b >，椭圆1C 的方程为22221x y a b +=，双曲线2C 的方程为22221x y a b-=，1C 与2C 的离心率，则2C 的渐近线方程为( )A . 0x =B. 0y ±=C.20x y ±=D.20x y ±=9.已知向量 ， 满足=1， 与 的夹角为，若对一切实数 x ,≥ 恒成立，则 的取值范围是( ) A.B. C. D.10．已知()l n (1)l n (1)f x x x =+--，(1,1)x ∈-。

湖北省武汉市部分重点中学2020学年度新高三起点考试数学试卷（理科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．已知n 为等差数列Λ,0,2,4--中的第8项，则二项式nxx )2(2+展开式中常数项是（ ）A ． 第7项B ．第8项C ．第9项D ．第10项 2．设),(~p n B ξ，3=ξE ，49=ξD ，则n 与p 的值为（ ）A ．41,12==p nB ．43,12==p n C ．41,24==p nD ．43,24==p n 3．下列电路图中，闭合开关A 是灯泡B 亮的必要不充分条件的是 （ ）4．下列函数在x ＝0处连续的是 （ ）A ．f （x ）＝⎩⎨⎧>-≤-.0,1,0,1x x x B ．f （x ） ＝lnxC ．f （x ）＝xx || D ．f （x ）＝⎪⎩⎪⎨⎧<=>-.0,1,0,0,0,1x x x5．已知函数ba b f a f x f x f x11,4)()()(2)(111+=+=---则满足的反函数的最小值为（ ）A ．1B ．31 C ．21 D ．41 6．ABC ∆的三内角A ，B ，C 所对边长分别是c b a ,,，设向量),sin ,(C b a +=)sin sin ,3(A B c a -+=，若//，则角B 的大小为 （ ）A ．6π B ．65π C ．3π D ．32π 7．如果以原点为圆心的圆经过双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的焦点，而被该双曲线的右准线分成弧长为2：1的两段圆弧，则该双曲线的离心率等于 （ ）A ．5B ．25 C ．3 D ． 28．有两个同心圆，在外圆周上有相异6个点，内圆周上有相异3个点，由这9个点决定的直线至少有 （ ） A ．36条 B ．30条 C ．21条 D ．18条9．记满足下列条件的函数f （x ）的集合为M:当|x 1|≤1,|x 2|≤1时, |f （x 1）－f （x 2）|≤4|x 1－x 2|．若有函数g （x ）＝x 2＋2x －1, 则g （x ）与M 的关系是（ ） A ．g （x ）⊂M B ．g （x ）∈M C ．g （x ）∉M D ．不能确定 10．已知函数12||4)(-+=x x f 的定义域是[]b a ,),(z b a ∈值域是[0，1]，则满足条件的整数数对),(b a 共有 （ ） A ．2个 B ．5个 C ．6个 D ．无数个二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡相应的位置上） 11．已知某人投篮的命中率为34，则此人投篮4次，至少命中3次的概率是 。

湖北省部分重点中学2019-2020学年度上学期新高三起点考试数学（理科）试题一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．已知集合，,则=( )A.B.C. D.2．已知复数满足，则（ ）A. B. C. D.3．设等差数列的前项和为.若，，则（ ）A.B.C.D.4．已知命题：，，那么命题为（ ），，，，5．已知函数，若，则（ ）A. B.C. D.6．执行程序框图，假如输入两个数是、，那么输出的=( )A.B.C. 4D.第11题图7．有4位游客来某地旅游，若每人只能从此地甲、乙、丙三个不同景点中选择一处游览，则每个景点都有人去游览的概率为( ）1S S k k=-+A. B. C. D.8．已知函数（，），其图象相邻两条对称轴之间的距离为，将函数的图象向左平移个单位后，得到的图象关于轴对称，那么函数的图象（ ）A. 关于点对称B. 关于点对称C. 关于直线对称D. 关于直线对称9．已知满足约束条件，若的最大值为，则的值为( )A. B. C. D. 10．已知两点，若圆上存在点，使得，则正实数的取值范围为（ ） A.B.C.D.11．已知,,A B C 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上的三个点，AB 经过原点O ，AC 经过右焦点F ，若BF AC ⊥且2AF CF =，则该双曲线的离心率是（ ）A.53 D. 9412．己知函数，若关于的方程 恰有3个不同的实数解，则实数的取值范围是( ）A. B. C. D.二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．的展开式中项的系数为_______．14．函数的最小正周期为___________．15．如图所示，圆及其内接正八边形．已知，，点为正八边形边上任意一点，，、，则的最大值为_____________________．B第15题图第16题图16．某三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球表面积为__________．三、解答题（共70分。

湖北省部分重点中学2020届高三第一次联考高三数学试卷（理科)考试时间：2019年11月8上午8:00- 10:00 试卷满分:150分一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分；在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.） 1.集合A = {0<6|2--x x x }，集合B={1<log |2x x }，则=B AA.( -2,3)B.(-∞,3)C.(-2,2)D.(0,2)2.已知a 是实数，iia -+1是纯虚数，则a 等于 A.-1B.1C. 2D. 2-3.若1)2cos(sin 2=+-x x π，则=x 2cos4.已知{n a }为等比数列，若8,253==a a ，则=+87a a A.-32 B.96C.-32或96D.- 96或325.点P 是△ABC 所在平面上一点，若5352+=，则△ABP 与△ACP 的面积之比是 A.53 B. 25 C. 23 D. 326.下列说法正确的个数是①命题“若4≥+b a ，则a ，b 中至少有一个不小于2”的逆命题是真命题 ②命题“设R b a ∈,，若5≠+b a ,则3≠a 或2≠b ”是一个真命题③“0<,0200x x R x -∈∃”的否定是“0>,2x x R x -∈∀”④已知y x ,都是实数，“1||||≤+y x ”是“122≤+y x ”的充分不必要条件 A.1 B.2 C.3 D.47.下列函数中，既是偶函数，又在（-∞，0)内单调递增的为A. ||2x x y -= B. ||2x y = C. xxy --=22 D. 221||log x x y -=8.已知定义在R 上的奇函数ax f x x +-=212)(，则不等式0<)4()2(2-+-x f x f )的解集为A.(-1,6)B.(-6,1)C.(-2,3)D.(-3,2)9.△AOB 中，b OB a OA ==,，满足2||=-=⋅b a b a ,则△A0B 的面积的最大值为A.3B.2C. 32D. 22 10.已知函数⎩⎨⎧-+-+=)3<<1(,1)2()1<<1(),1(log )(x a x f x x x f a (a>0且1≠a )，若21x x ≠,且)()(21x f x f =，则21x x +的值A.恒小于2B.恒大于2C.恒等于2D.以上都不对 11.已知函数0)>(sin )42(cos sin 2)(22ωωπωωx x x x f --⋅=在区间]65,52[ππ-上是增函数，且在区间],0[π上恰好取得一次最大值1，则ω的取值范围是 A. ]53,0(B. ]53,21[C. ]43,21[D. )25,21[12.已知对任意实数x 都有1)0(),(2)('-=+=f x f e x f x，若不等式1)-a(x <)(x f ，（其中a<l)的解集中恰有两个整数，则a 的取值范围是 A. )1,23[e B. )1,23[e - C. )23,35[2ee D. )1,35[2e 二、填空题(本大题共4个小题，共20分）13.已知实数y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥+-20203x y x y x ,则y x z +=3最小值为 .14.非零向量和满足)(|,|||2+⊥=,则与的夹角为 . 15.已知函数)32sin(2)(π+=x x f 在区间),317(a π上是单调函数，则实数a 的最大值为 . 16.已知函数2)(,212ln )(-=+=x e x g x x f ,若),0(,+∞∈∃∈∀n R m ,使得)()(n f x g =成立，则的最小值是 .三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出证明过程或演算步骤) 17.(本题满分 10 分）已知数列{n a }满足...3,2,1,53,111=+=+=+n n a a a n n . 证明：...3,2,1,311==--+n a a n n ;(2)求和: 12221254433221...+--++-+-n n n n a a a a a a a a a a a a .18.(本小题满分12分)如图，在△ABC 中，M 是边BC 的中点，772cos ,1475cos -=∠=∠AMC BAM . （1）求∠B 的大小； （2）若7=AM ，求△A BC 的面积.19.(本小题满分12分）已知四棱锥P - ABCD 中，侧面 PAD 丄底面ABCD ，PB 丄AD, △PAD 是边长为2的正三角形，底面ABCD 是菱形，点M 为PC 的中点. （1）求证:PA//平面MDB;（2）求二面角A - PB - C 的余弦值. 20.(本小题满分12分)已知椭圆1:2222=+by a x C 的离心率为22，其右顶点为A ，下顶点为定点C(0,2)，△ABC的面积为223，过点C 作与y 轴不重合的直线l 交椭圆C 于P, Q 两点，直线BP,BQ 分别与X 轴交于M,N 两点. （1）求椭圆C 的方程；（2）试探究M,N 的横坐标的乘积是否为定值，说明理由. 21.(本小题满分12分)某汽车公司最近研发了一款新能源汽车,并在出厂前对100辆汽车进行了单次最大续航里程的测试。

湖北部分重点中学2020届高三年级新起点考试数学（理）试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．命题“，”的否定是（）A．，B．，C．，D．，【答案】C【解析】因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“，”的否定是：“，”，故选C.2．已知双曲线的渐近线方程为，则双曲线的离心率为（）A． B．或 C． D．或【答案】B【解析】：焦点在x轴时，焦点在y3．秦九韶是我国南宋时期的数学家，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法，如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入的值为5，则输出v的值为A． B．C． D．【答案】B【解析】：依次运行程序框图中的程序，可得①满足条件，；②满足条件，；③满足条件，；……⑨满足条件，；⑩满足条件，．而不满足条件，停止运行，输出．故选B．4．随着网络技术的发达，电子支付变得愈发流行，若电子支付只包含微信支付和支付宝支付两种若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7【答案】B【解析】分析：由公式计算可得详解：设设事件A为只用现金支付，事件B为只用非现金支付，则因为所以故选B.5．某文体局为了解“跑团”每月跑步的平均里程，收集并整理了2018年1月至2018年11月期间“跑团”每月跑步的平均里程（单位：公里）的数据，绘制了下面的折线图.根据折线图，下列结论正确的是（）A．月跑步平均里程的中位数为6月份对应的里程数B．月跑步平均里程逐月增加侧视方向ACA 1B 1C1CBAC ．月跑步平均里程高峰期大致在8、9月D ．1月至5月的月跑步平均里程相对于6月至11月，波动性更小，变化比较平稳 【答案】D【解析】由折线图知，月跑步平均里程的中位数为5月份对应的里程数；月跑步平均里程不是逐月增加的；月跑步平均里程高峰期大致在9，l 0月份，故A ，B ，C 错.本题选择D 选项.6．已知棱长都为2的正三棱柱111ABC A B C -的直观图如图，若正三棱柱111ABC A B C -绕着它的一条侧棱所在直线旋转，则它的侧视图可以为【答案】B 【解析】无7．已知抛物线2:2C y px =（0p >）的焦点为F ，准线为l ，O 为坐标原点，点M在C 上，直线MF 与l 交于点N ．若3MFO π∠=，则MF MN =A ．14B ．13C ．21D ．23【答案】C【解析】作MQ 垂直l 于Q ，则RT △MQN 中，2MQN π∠=，6MNQ π∠=，所以12MF MQ MNMN==．选C ． 8．函数的图像大致为 ( )A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】：为奇函数，舍去A,舍去D;，所以舍去C ；因此选B.9．函数()sin()f x A x ωϕ=+的部分图象如图中实线所示，图中圆C 与()f x 的图象交于,M N 两点，且M 在y 轴上，则下列说法中正确的是A ．函数()f x 的最小正周期是2πB ．函数()f x 的图象关于点,034⎛⎫π ⎪⎝⎭成中心对称C ．函数()f x 在2(,)36ππ--单调递增 D ．函数()f x 的图象向右平移125π后关于原点成中心对称 【试题简析】由图易得点C 的横坐标为3π，所以()f x 的周期T π=． 不妨令0A >，0<<ϕπ．因为周期T π=，所以2ω=，又()06f π-=，所以3πϕ=，因此()sin(2)3f x A x π=+．函数()f x 的图象关于点,034⎛⎫π ⎪⎝⎭成中心对称．故选B ．10．已知变量1x ，()()20,0x m m ∈>，且12x x <，若2112x x x x <恒成立，则m 的最大值为（ ） A ．e BC ．1eD ．1【答案】A【解析】2112x x x x <，即2112ln ln x x x x <化为1212ln ln x x x x <， 故()ln xf x x =在()0,m 上为增函数，()21ln 00e x f x x x>⇒'-=<<， 故m 的最大值为e ，故选A ．11．已知,A B 为椭圆上的两个动点，,且满足MA MB ⊥,则MA BA ⋅的取值范围为 （ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C12.如图，已知四面体ABCD 为正四面体，2,AB E F =，分别是,AD BC中点.若用一个与直线EF 垂直，且与四面体的每一个面都相交的平面α去截该四面体，由此得到一个多边形截面，则该多边形截面面积最大值为（ ）.A.1 D. 2 【答案】A【解析】补成正方体，如图.,EF ⊥∴αQ 截面为平行四边形MNKL ,可得2NK KL +=可得L MNK S NK KL =⋅四边形2()1,2NK KL +≤=当且仅当NK KL =时取等号，选A.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡的相应位置．13．20191i1i--=_________．【答案】i．【解析】解法一：321i1i(1i)2ii1i1i(1i)(1i)2-++====---+．解法二：3221i(1i)(1i i)1i i i1i1i--++==++=--．14．过坐标原点作曲线的切线，则曲线、直线与轴所围成的封闭图形的面积为【答案】.【解析】设切点为，因为，所以，因此在点处的切线斜率为，所以切线的方程为，即；又因为切线过点，所以，解得，所以，即切点为，切线方程为，作出所围图形的简图如下：因此曲线、直线与轴所围成的封闭图形的面积为.15．将正奇数按如图所示的规律排列：13 5 79 11 13 15 1719 21 23 25 27 29 31………………则2019在第行，从左向右第个数【答案】32 4916．已知直线x t=与曲线()()()=+=分别交于,M N两点，则MN的最小值f x xg x eln1,x为【答案】三、解答题：共70分。

湖北省重点中学2020届高三年级新起点联考数学（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．命题“，”的否定是（）A．，B．，C．，D．，【答案】C【解析】因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“，”的否定是：“，”，故选C.2．已知双曲线的渐近线方程为，则双曲线的离心率为（）A．B．或C．D．或【答案】B【解析】：焦点在x轴时，焦点在y轴3．秦九韶是我国南宋时期的数学家，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法，如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入的值为5，则输出v的值为A．B．C．D．【答案】B【解析】：依次运行程序框图中的程序，可得①满足条件，；②满足条件，；③满足条件，；……⑨满足条件，；⑩满足条件，．而不满足条件，停止运行，输出．故选B．4．随着网络技术的发达，电子支付变得愈发流行，若电子支付只包含微信支付和支付宝支付两种若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7【答案】B【解析】分析：由公式计算可得详解：设设事件A为只用现金支付，事件B为只用非现金支付，则因为所以故选B.5．某文体局为了解“跑团”每月跑步的平均里程，收集并整理了2018年1月至2018年11月期间“跑团”每月跑步的平均里程（单位：公里）的数据，绘制了下面的折线图.根据折线图，下列结论正确的是（）A．月跑步平均里程的中位数为6月份对应的里程数B．月跑步平均里程逐月增加C．月跑步平均里程高峰期大致在8、9月CA 1B 1C 1DCBAD ．1月至5月的月跑步平均里程相对于6月至11月，波动性更小，变化比较平稳 【答案】D【解析】由折线图知，月跑步平均里程的中位数为5月份对应的里程数；月跑步平均里程不是逐月增加的；月跑步平均里程高峰期大致在9，l 0月份，故A ，B ，C 错.本题选择D 选项. 6．已知棱长都为2的正三棱柱111ABC A B C -的直观图如图，若正三棱柱111ABC A B C -绕着它的一条侧棱所在直线旋转，则它的侧视图可以为【答案】B 【解析】无7．已知抛物线2:2C y px =（0p >）的焦点为F ，准线为l ，O 为坐标原点，点M 在C上，直线MF 与l 交于点N ．若3MFO π∠=，则MF MN = A ．14 B ．13 C ．21 D ．23【答案】C【解析】作MQ 垂直l 于Q ，则RT △MQN 中，2MQN π∠=，6MNQ π∠=，所以12MF MQ MNMN==．选C ．8．函数的图像大致为 ( )A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】：为奇函数，舍去A,舍去D;，所以舍去C ；因此选B.9．函数()sin()f x A x ωϕ=+的部分图象如图中实线所示，图中圆C 与()f x 的图象交于,M N 两点，且M 在y 轴上，则下列说法中正确的是A ．函数()f x 的最小正周期是2πB ．函数()f x 的图象关于点,034⎛⎫π⎪⎝⎭成中心对称 C ．函数()f x 在2(,)36ππ--单调递增D ．函数()f x 的图象向右平移125π后关于原点成中心对称 【试题简析】由图易得点C 的横坐标为3π，所以()f x 的周期T π=． 不妨令0A >，0<<ϕπ．因为周期T π=，所以2ω=，又()06f π-=，所以3πϕ=，因此()sin(2)3f x A x π=+．函数()f x 的图象关于点,034⎛⎫π ⎪⎝⎭成中心对称．故选B ． 10．已知变量1x ，()()20,0x m m ∈>，且12x x <，若2112x x x x <恒成立，则m 的最大值为（ ）A ．e BC ．1eD ．1【答案】A【解析】2112x x x x <，即2112ln ln x x x x <化为1212ln ln x x x x <， 故()ln xf x x =在()0,m 上为增函数，()21ln 00e x f x x x>⇒'-=<<， 故m 的最大值为e ，故选A ．11．已知,A B 为椭圆上的两个动点，,且满足MA MB ⊥,则MA BA ⋅的取值范围为 （ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C12.如图，已知四面体ABCD 为正四面体，2,AB E F =，分别是,AD BC 中点.若用一个与直线EF 垂直，且与四面体的每一个面都相交的平面α去截该四面体，由此得到一个多边形截面，则该多边形截面面积最大值为（ ）. A.1C.D. 2【答案】A【解析】补成正方体，如图.,EF ⊥∴αQ 截面为平行四边形MNKL ,可得2NK KL +=可得L MNK S NK KL =⋅四边形2()1,2NK KL +≤=当且仅当NK KL =时取等号，选A.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡的相应位置．13．20191i 1i--=_________．【答案】i ． 【解析】解法一：321i 1i (1i)2ii 1i 1i (1i)(1i)2-++====---+． 解法二：3221i (1i)(1i i )1i i i 1i 1i--++==++=--．14．过坐标原点作曲线 的切线，则曲线、直线与轴所围成的封闭图形的面积为【答案】.【解析】设切点为，因为，所以，因此在点处的切线斜率为，所以切线的方程为，即；又因为切线过点，所以，解得，所以，即切点为，切线方程为，作出所围图形的简图如下：因此曲线、直线与轴所围成的封闭图形的面积为.15．将正奇数按如图所示的规律排列：13 5 79 11 13 15 1719 21 23 25 27 29 31………………则2019在第行，从左向右第个数【答案】32 4916．已知直线x t=与曲线()()()ln1,x=+=分别交于,M N两点，则MN的最小值为f x xg x e【答案】三、解答题：共70分。

湖北省部分重点中学2019届高三第一次联考高三数学试卷参考答案：一、选择题CCABD CDABC DA二、填空题13.14.15.16.三、解答题17.解：(1),,……6分(2)，则，故，……8分，……10分又，……12分18.解:已知得①当时，②由①－②，得……4分在①中，令，得，……5分．……6分由题意知，数列的公差为.时……10分当时，也符合上式，……11分综上，，.……12分19.(1)由图可知，所以，又因为，所以，又因为，因为，所以.所以函数，令，解得，所以函数的单调递增区间为.……6分(2)，由余弦定理得所以，当且仅当等号成立，即，有.……12分20.解:(1)由已知得：，∴，∴．此时，令；的单调递增区间是，单调递减区间是……6分(2),当时，在上恒成立，在上单调递增，，故问题等价于：对任意的，不等式恒成立．即恒成立记，（），则，令，则所以，所以故，所以在上单调递减所以即实数的取值范围为．……12分21.解：由①得②①②得，，即,由，得，对任意都成立数列为首项为1，公比为2的等比数列.……4分(2)由(1)知，①由，得，即，即，，数列是首项为1，公差为1的等差数列．，．②设，则，，两式相减，得，所以．……8分由，得，即．显然当时，上式成立，设，即．因为，所以数列单调递减，所以只有唯一解，所以存在唯一正整数，使得成立．……12分22.解:⑴当时，函数，．，曲线在点处的切线的斜率为．从而曲线在点处的切线方程为，即．……3分⑵．令，要使在定义域内是增函数，只需在内恒成立．由题意，的图象为开口向上的抛物线，对称轴方程为，∴，只需，即时，∴在内为增函数，正实数的取值范围是．……6分⑶∵在上是减函数，∴时,;时，，即，①当时，，其图象为开口向下的抛物线，对称轴在轴的左侧，且，所以在内是减函数．当时，，因为，所以，，此时，在内是减函数．故∴当时，在上单调递减，不合题意；②当时，由，所以．又由⑵知当时，在上是增函数，∴，不合题意；③当时，由⑵知在上是增函数，，又在上是减函数，故只需，，而，，即，解得综上所述,实数的取值范围是．……12分。

湖北省部分重点中学2020学年度上学期高三起点考试数 学 试 卷（理 科）【试卷综评】全面考查了考试说明中要求的内容，明确了中学数学的教学方向和考生的学习方向,适度综合考查，提高试题的区分度.通过考查知识的交汇点，对考生的数学能力提出了较高的要求.突出考查数学主干知识 ,侧重于中学数学学科的基础知识和基本技能的考查。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1 . i 为虚数单位，512iz i=+, 则z 的共轭复数为 ( ) A. 2-i B. 2+i C. -2-i D. -2+i 【知识点】复数代数形式的乘除运算;共轭复数. 【答案解析】A 解析 ：解：因为()()()51252121212i i iz i i i i -===+++-，故z 的共轭复数为2i -，故选A.【思路点拨】先把原式化简，再利用共轭复数的概念即可求得结果.2．若二项式82ax x骣琪+琪桫的展开式中的常数项为70，则实数a 可以为（ ）DA ．2B ．12C ．【知识点】二项式定理；二项式系数的性质．【答案解析】B 解析 ：解：二项式定理的通项公式可得：()888218822rrr r r r r r a T C x C x a x ---+骣琪==琪桫，令820,4r r -==，所以常数项为4448270C a =，解得1a =. (第3题图)【知识点】程序框图，等差数列的前n 项和公式.【答案解析】C 解析 ：解：框图首先给循环变量n 赋值1，给累加变量p 赋值1， 执行n=1+1=2，p=1+（2×2-1）=1+3=4； 判断4＞20不成立，执行n=2+1=3，p=1+3+（2×3-1）=1+3+5=9； 判断9＞20不成立，执行n=3+1=4，p=1+3+5+（2×4-1）=1+3+5+7=16； …由上可知，程序运行的是求首项为1，公差为2的等差数列的前n 项和， 由()2121202n n p n+-==>，且n ∈N *，得n=5．故选C ．【思路点拨】框图首先给循环变量n 赋值1，给累加变量p 赋值1，然后执行运算n=n+1，p=p+2n-1，然后判断p ＞20是否成立，不成立循环执行n=n+1，p=p+2n-1，成立时算法结束，输出n 的值．且由框图可知，程序执行的是求等差数列的前n 项和问题．当前n 项和大于20时，输出n 的值．4.直线:1l y k x =+与圆22:1O x y +=相交于,A B 两点，则"1"k =是“△ABO 的面积为12”的（ ） .A 充分而不必要条件 .B 必要而不充分条件 .C 充分必要条件 .D 既不充分又不必要条件【知识点】充分、必要条件的判断.【答案解析】A 解析 ：解：若1k =，则直线与圆交于()()0,1,1,0两点，所以111122ABO S =创=V ,充分性成立；若△ABO 的面积为12，易知1k =?，必要性不成立，故选A.【思路点拨】看两命题是否能够互相推出，然后根据必要条件、充分条件和充要条件的定义进行判断．5． 已知函数 y = 2sin x 的定义域为[a,b] ,值域为[-2,1] ，则 b-a 的值不可能是( ) A.56π B.π C . 76πD. 2π 【知识点】正弦函数的图象;利用图象求函数的值域. 【答案解析】D 解析 ：解：函数2sin y x =在R 上有22y-＃函数的周期T=2p ,值域[]2,1-含最小值不含最大值，故定义域[],a b 小于一个周期b a 2p -＜,故选D【思路点拨】结合三角函数R 上的值域，当定义域为[],a b ，值域为[]2,1-，可知[],a b 小于一个周期，从而可得结果．6.若,x y 满足20200x y kx y y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩且z y x=-的最小值为－2，则k 的值为（ ） A. 1 B.－1 C.2 D. --2【知识点】简单线性规划．【答案解析】B 解析 ：解：由约束条件20200x y kx y y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩作出可行域如图，由20kx y -+=，得2x k =-，∴B 2,0k -．由z y x =-得y x z =+． 由图可知，当直线y x z =+过B 2,0k骣琪-琪桫时直线在y 轴上的截距最小，即z 最小． 此时z m i n ＝0+2k-=−2，解得：k=-1．故选B. 【思路点拨】由此结合约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，由图得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．7.在空间直角坐标系Oxyz 中，已知()2,0,0A ，()2,2,0B ，()0,2,0C ，(12D ，若 1S ，2S ，3S 分别表示三棱锥D A B C -在xO y ，yO z ，zOx 坐标平面上的正投影图形的 面积，则（ ）A 123S S S ==B 12S S =且 31S S ≠C 13S S =且 32S S ≠D 23S S =且 13S S ≠【知识点】空间直角坐标系．【答案解析】D 解析 ：解：设()2,0,0A ，()2,2,0B ，()0,2,0C ，(12D ，则各个面上的射影分别为A'，B'，C'，D'，在xOy 坐标平面上的正投影A'（2，0，0），B'（2，2，0），C'（0，2，0），8．已知a b >，椭圆1C 的方程为22221x y a b +=，双曲线2C 的方程为22221x y a b-=，1C 与2C，则2C 的渐近线方程为( )A . 0x ?0y ±= C.20x y ±= D.20x y ±=【知识点】椭圆、双曲线的几何性质.【答案解析】A 解析 ==0?选A.【思路点拨】由已知椭圆、双曲线的几何性质可得双曲线的渐近线方程.9.已知向量 ,a b r r 满足1,a =r a r 与b r 的夹角为3p，若对一切实数x , 2xa b a b +?r r r r恒成立，则b r的取值范围是( )。