总第36课时——4 圆周角和圆心角的关系(第2课时)

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九下第三章圆4圆周角和圆心角的关系第2课时圆周角定理的推论作业新版北师大版

【点拨】连接BD.∵四边形ABCD是矩形， ∴BD是⊙O的直径， ∵AB＝4，AD＝3，∴BD＝ ∴⊙O的半径为，∴⊙O的面积为又∵矩形的面积为3×4＝12， ∴阴影部分的面积为 π－12.
14．【荣德原创题】如图，⊙O的内接四边形ABCD的两组对边的延长线分别交于点E，F. (1)若∠E＝∠F，求证：∠ADC＝∠ABC；
第三章圆
4 圆周角和圆心角的关系
第2课时圆周角定理的推论
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1．直径所对的圆周角是________；________3随堂练习T2变式】用直角三角尺检查半圆形的工件，下列工件合格的是( )
D
【点拨】如图，连接CO并延长，交⊙O于点E，连接AE. ∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA. ∵∠ACD＝∠CAB，∴∠DCA＝∠ACO. ∴AE＝AD＝2. ∵CE是直径，∴∠EAC＝90°. 在Rt△EAC中，AE＝2，AC＝4，
13．【2023·重庆】如图，⊙O是矩形ABCD的外接圆，若AB＝4，AD＝3，则图中阴影部分的面积为________．(结果保留π)
请利用上述两个问题的方法和结论，完成下面的综合问题： (3)如图③，⊙O的直径为，弦AB⊥弦CD于点E，连接AD，BC，若AD＝4，求BC的长，请写出解题过程．
解：如图③，连接AO并延长交⊙O于点F，连接BF，DF. ∵AF为直径，∴AB⊥BF，∠ADF＝90°.
∴BC＝1.
外接圆
互补
6．【2022·宜昌】如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接OB，OD，BD，若∠C＝110°，则∠OBD＝( ) A．15° B．20° C．25° D．30°

《圆周角和圆心角的关系》圆PPT课件教学课件(第2课时)

第三章圆
4 圆周角和圆心角的关系
第2课时
-.
目录
CONTENTS
1 学习目标 3 新课讲解 5 当堂小练
2 新课导入 4 课堂小结 6 拓展与延伸
学习目标
1.直径所对的圆周角是直角 2.90°的圆周角所对的弦是直径. （重点、难点）
新课导入
复习回顾 1.什么叫做圆周角？ 2.圆周角定理是什么？ 3.圆周角定理的推论1的内容是什么？
拓展与延伸
已知在半径为4的⊙O中，弦AB＝4 3 ，点P在圆上，则 ∠APB＝_6_0_°__或__1_2_0_°_．
分析：由∠AOB与∠ACB 是优弧AB所对的圆周角，根据圆周角定理，即可求得∠ACB =∠AOB= 90°.
解：∵∠AOB与∠ACB 是优弧AB所对的圆周角， ∴∠AOB =∠ACB， ∵ ∠AOB = 90°，∴ ∠ACB = 90°.
新课讲解
练一练
小明想用直角尺检査某些工件是否恰好为半圆形. 下面所示的四种圆弧形，你能判断哪个是半圆形？为什么?
在Rt△ACB中， sin ∠ABC＝ AC ，
AB ∴AC＝AB sin ∠ABC＝10×sin 30°为5 cm.
新课讲解
2.如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，若∠OBC＝60°，则∠BAC的度数是( D ) A．75° B．60° C. 45° D．30°
当堂小练
1.如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ACD ＝30°，则∠BAD为( C ) A．30° B．50° C．60° D．70°
当堂小练
2.如图，已知经过原点的⊙P与x轴，y轴分别交于点A，B ，C是劣弧OB上一点，则∠ACB等于( B ) A．80° B．90° C．100° D．无法确定

《圆周角和圆心角的关系》第2课时课件

找出图中四对相等的圆周角．
D
1 4
2 7
8
7
3 6 5 8
A 2
1 O 6 C
3 B
4
5

1.判断题：同弦所对的圆周角相等.
C
X
A
O E
B
1、足球赛场上，甲、乙两名队员互相配合向对方球门MN进攻。当甲带球到A点时，乙随后冲到B点，如图,此时甲是自己射门好，还是将球回传给乙，让乙射门好呢？为什么？(不考虑其他因素)
2.当甲带球到C点时，乙冲到了D点，如图所示,此时甲是自己直接射门好，还是将球传给乙，让乙射门好呢？为什么？(不考虑其他因素)
N D M 乙
C
甲
2.当甲带球到C点时，乙冲到了D点，如图,此时甲是自己射门好，还是将球传给乙，让乙射门好呢？为什么？(不考虑其他因素) N 解：延长 NC 交圆 O 于点 E ，连 D 接ME，由圆周角性质 M ∠MDN＝∠MEN O 又由三角形外角性质 ∠MCN＞∠MEN C ∴∠MCN＞∠MDN E 因此，让甲射门好.
O
C
∠ABD =
1 ∠AOD,∠CBD 2
= 1 ∠COD,
2
1 ∴ ∠ABC = ∠AOC. 2
B
你能写出这个命题吗?
同弧所对的圆周角等于圆心角的一半.
圆周角和圆心角的关系

如果圆心不在圆周角的一边上,结果会怎样? 3.当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的外部时,圆周角 ∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系会怎样? A
B
1、本节课我们学习了哪些知识？
圆周角定理的两个推论 2、本节课我们学习了哪些方法？引辅助线的方法：（1）构造直径上的圆周角. （2）构造同弧或等弧所对的圆周角.

圆周角和圆心角的关系(第二课时)

AB/AC=AE/AD，即AB×AD=AC×AE=2AB，解得AB=8/3cm；同理可得CD=6cm；所以 AB·CD=(8/3)×6=16。
05
课堂练习与互动
练习一：基础题目
题目1
已知圆心角是30°，求它所对的圆周角的度数。
题目2
已知圆周角是45°，求它所对的圆心角的度数。
题目3
一个圆的半径为5cm，圆心角为60°，求这个圆心角所对的弧长和扇形面积。
们所对应的其余各组量都分别相等。
输标02入题
在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半（圆周角与圆心角在弦的同侧）。
01
03
直径所对的圆周角是直角；90度的圆周角所对的弦是直径。
04
圆周角的度数等于它所对的弧度数的一半。
03
圆周角和圆心角的关系推导
同弧所对的圆周角和圆心角关系
解析
连接OA、OB，作OC⊥AB于C，根据垂径定理得 AC=BC=1/2AB=4cm，在Rt△AOC中，OA=5cm，AC=4cm，根据勾股定理得OC=3cm，再根据圆周角定理得 ∠AOB=2∠ACB，所以∠ACB=∠AOB/2=(180°∠AOC)/2=(180°-30°)/2=75°，所以∠APB=∠ACB=75°。
相关定理的应用
通过例题和练习题，巩固了如何运用圆周角和圆心角的关系及相关定理来解决问题。
作业布置及要求
练习题
完成教材上本节课后的所有练习题，以巩固所
学知识。
思考题
拓展阅读
思考并尝试解决教材上的思考题，加深对圆周角和
圆心角关系的理解。
阅读教材上的相关拓展内容，了解圆周角和圆心角在实际问题中的应用。
下节课准备

3.3_圆周角和圆心角的关系(2)

∵∠AOC是△ABO的外角， ∴∠AOC=∠B+∠A. ∵OA=OB， ∴∠A=∠B. ∴∠AOC=2∠B.

C
老师期望: 你可要理解并掌握这个模型.
●
O
B
即
1 ∠ABC = ∠AOC. 2
你能写出这个命题吗?
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
圆周角和圆心角的关系

演示
如果圆心不在圆周角的一边上,结果会怎样? 2.当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的内部时,圆周角 ∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系会怎样?
条件：圆周角与圆心角对同一条弧。结论：圆周角是圆心角的一半。

老师提示:圆周角定理是承上启下的知识点,要予以重视.
思考与巩固
1.如图,在⊙O中,∠BOC=50°,求∠A的大小.
1 解: ∠A= ∠BOC=25°. 2
A B C
●
O
练习、在下列各图中， ∠α １＝ 150° ，∠α ２＝ 60°，
C 返回
D
B
总结：圆周角定理：
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。推论2 半圆（或直径）所对的圆周角是直角； 90度的圆周角所对的弦是直径。
推论3：圆内接四边形对角互补。对角互补的四边形内接于圆。
探究：直径或半圆所对的圆周角的度数 1、探究半圆或直径所对的圆周角等于多少度？ 2、90°的圆周角所对的弦是否是直径？线段AB是⊙O的直径，点C是 ⊙O上任意一点（除点A、B），那么，∠ACB就是直径AB所对的圆周角.想想看，∠ACB会是怎么样的角？为什么呢？
3.3 圆周角和圆心角的关系

圆周角和圆心角的关系ppt课件

50°，则∠EBC+∠ADC 的度数为 _______.
-18-
3.4 圆周角和圆心角的关系
解析：如解析图，连接 AB，DE，则∠ABE=∠ADE. ∵ 所对的圆心角的度数为 50°，∴∠ABE= ∠ADE =25°. ∵ 点 A，B，C，D 在 ⊙O 上，∴四边形 ABCD 是圆内接四边形， ∴∠ABC+∠ADC=180°， ∴∠ABE+∠EBC+∠ADC=180°， ∴∠EBC+∠ADC=180°-∠ABE=180°-25°=155°．答案：155° 题型解法：本题考查了圆周角定理和圆内接四边形的性质，作出辅助线构建圆内接四边形是解题的关键．
-10-
3.4 圆周角和圆心角的关系
■考点四圆内接四边形
定义
四边形的四个顶点都在同一个圆上，这个四边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆
推论圆内接四边形的对角互补
拓展圆内接四边形的任何外角等于内对角
注意并不是所有的四边形都存在外接圆，只有对角互补的四边形才存在外接圆
-11-
3.4 圆周角和圆心角的关系
A． 20° B． 40°
C． 50° D． 70°
-7-
3.4 圆周角和圆心角的关系
3. 如图，已知△ABC 的三个顶点都在同一圆上，且 AC=6，BC=8，AB=10，则该圆的半径长是 ________.
（第 3 题图）
（第 4 题图）
4. 如图，AB=BC，∠ABC =120°，AD 为 ⊙O 的直径，AD=6，那么 AB 的
值为 ______.
-8-
3.4 圆周角和圆心角的关系
5. 如图，AB=AC，AB 是直径，求证：BC=2DE．（第 5 题图）

3.3圆周角和圆心角的关系(2)课件ppt

O
∠ABC 1∠AOC，
B
E
2
∠ADC

1
你能得出什么结论？
∠AOC,
D
2
∠AEC 1∠AOC. 2
同弧或等弧所对的圆周角相等
∴∠ABC=∠ADC=∠AEC
C
如图①，作一条直径,过直径的两个端点作一个圆周角.如图，判断∠ACB A 是锐角、直角，还是钝角？
如图②，作一个90 °的圆周角,连接两个端点，弦BC经过圆心吗？为什么？
（2）当船与两个灯塔的夹角∠α小于“危险角”时，
船位于哪个区域？
（1）暗礁区域内（2）暗礁区域外
课本P115页
在如图所示的8个角中，哪些是相 A 1 等的角？你能从图中找出几对相似三 2
D
8 E
7 6
5C
角形吗？
34
∠1=∠4，∠2=∠7，△AEB∽△DEC B
∠3=∠6，∠5=∠8，△AED∽△BEC
定理的运用
1、常用于证明角相等或弧、弦相等； 2、常利用直径所对的圆周角是直角来 A 解决有关问题！
作业：课本P116页习题3.5 2 完成《作业本》相关内容
O E
D
C
B
第三章圆
§3.3 圆周角与圆心角的关系（2）
圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
1
A
A
A
∠BAC= ∠BOC
2
B
•O
O•
•O
B
B
C
CC
如图，∠ABC，∠ADC和∠AEC有什么
共同特征？它们的大小有什么关系？ A
C
为什么？它们都是 ⌒ AC 所对的圆周角，它们

北师大版九年级下册圆周角和圆心角的关系(第2课时)课件()

D A
圆内接四边形的性质2：
圆内接四边形的外角等
O
于相邻内角的对角.
B
C
E
∠A=∠DCE
创设情境，引入新课
归纳小结：（1）圆周角定理推论2：直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径. （2）圆内接四边形的性质1：圆内接四边形的对角互补. （3）圆内接四边形的性质2：圆内接四边形的外角等于相邻内角的对角.
O
都在⊙O上，像这样的四边形
B 图（4）
叫做圆内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆.
∠BAD+∠BCD=180°
创设情境，引入新课
由以上的讨论我们可以得到：圆内接四边形的性质1：圆内接四边形的对角互补.
创设情境，引入新课
如图，∠DCE是圆内接四边形ABCD的一个外角， ∠A与∠DCE的大小有什么关系？
第3章圆
3.4 圆周角和圆心角的关系
第2课时圆周角定理的推论
创设情境，引入新课
（1）在图（1）中，BC是⊙O的直径，它所对的圆周角是锐角、直角还是钝角？你是如何判断的？
A
B
C
O
图（1）
直角
创设情境，引入新课
（2）在图（2）中，圆周角∠BAC=90°，弦BC经过圆心O吗？
A
B
C
O
图（2）
经过
创设情境，引入新课
（3）如图（3），A，B，C，D是⊙O上的四点，
AC为⊙O的直径，问∠BAD与∠BCD之间有什么关系？
为什么？
D A
O
B
C
图（3）
∠BAD+∠BCD=180°
创设情境，引入新课
（4）如图（4），C点的位置产生了变化，∠BAD

(北师大版)数学九年级下册：3.4《圆周角和圆心角的关系(第2课时)》ppt课件

等的弧
同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；
同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。
2、圆周角定理的推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；用于找相等的
角 90°的圆周角所对的弦是直径。
用用于于判判断断某某个
圆条周线角是是否否过是圆直心角
2020/5/22
例1 已知：如图，在△ABC中，AB=AC,
·o
B
2020/5/22
随堂练习
1、为什么有些电影院的坐位排列(横排) 呈圆弧形?说一说这种设计的合理性?
2、如图,哪个角与∠BAC 相等?
D A
C
2020/5/22
B
随堂练习
3.如图.⊙O的直径AB=10cm,C是⊙O上的一点. ∠ABC =30°.求AC的长.
Hale Waihona Puke B解： ∵ AB是直径
∴ ∠ACB= 90º
2
A
A
A
C
C
C
●O
●O
●O
B
B B
老师提示:圆周角定理是承上启下的知识点,要予以重视.
2020/5/22
问题讨论
问题1、如图1,在⊙O中,∠B,∠D,∠E的大小有什么关
系?为什么?
∠B = ∠D= ∠E
问题2.如图2,在⊙O中,若弧AB等于弧EF.能否
得到∠C =∠G呢？ ∠C =∠G
D
B E
●O
A
P E
·o
B
2020/5/22
答(1)船位于暗礁区域内(即圆o内).
理由:假设船在⊙O上,则有∠α=∠C,这与
∠α＞ ∠ C矛盾.所以船不可能在⊙O上;
假设船在⊙O外,则有∠ α＜ ∠AEB,即

3.4 圆周角和圆心角的关系(第2课时)

第三章圆
3.4 圆周角和圆心角的关系（第2课时）
课前复习
1.求图中角X的度数
C
D
120°
O
70°
.
.
x BC
O
X
A
X=
A
B
X=
35°
120°
定理
圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角的度数的一半
2.求图中角X的度数
x 60°
∠ABF=20°，∠FDE=30°
B
C
x
D
30°
20°
A
X=
E
F
X=
60°
D
B ∴∠BCD+∠DCA=90°，∠ACD=15° ∴∠BCD=90°-15=75° ∴∠BAD=∠BCD=75°（同弧所对的圆周角相等）
（直径所对的圆周角为直角）
知识技能
2.如图，AB是⊙O的直径，∠C=15°，求 ∠BAD的度数。方法二： C
A D
解：连接OD ∵∠ACD=15° ∴∠AOD=2∠ACD =30°
解： ∵四边形ABCD是圆内接四边形 ∴∠A+∠C=180°（圆内角四边形的对角互补） ∵∠A:∠C=4:5 ∴ C 5 180
9
即∠C的度数为100°。
知识技能
1.如图，在⊙O中，∠BOD=80°，求∠A和 ∠C的度数。 D 解：∵∠BOD =80° ∴ DAB 1 BOD 40 A 2 C O
直径所对的圆周角是直角； 90°的圆周角所对的弦是直径。 A A
B O C
B
O
C
几何语句： ∵BC为直径 ∴∠BAC=90°
几何语句： ∵∠BAC=90° ∴BC为直径
随堂练习

圆周角和圆心角的关系课件第2课时北师大版九年级下册数学

预习导学
圆内接四边形
阅读教材本课时“议一议”及其后面的内容，回答下列问
题.
(1)圆内接四边形的对角
互补；(2)圆内接四边形的一
个角的外角等于这个角的对角 .
预习导学
·导学建议·
教学时让学生先独立思考，然后再进行交流，要鼓励学生
说理方式的多样性；尽量让学生自己得出一个结论:圆内接四边
形的任何一个外角都等于它的内对角.
预习导学
如图，四边形ABCD内接于☉O，E为DC延长线上一点，
∠A＝50°，则∠BCD的度数为( D )
A.40°
B.50°
C.60°
D.130°
合作探究
如图，四边形ABCD为☉O的内接四边形，点E在弦DC
的延长线上，如果∠BOD＝120°，则∠BCE的度数为
60° .
合作探究
如图，☉O是正方形ABCD的外接圆，点P在☉O上，则
第三章圆
4 圆周角和圆心角的关系第2课时
素养目标
1.知道圆周角定理的推论2:直径所对的圆周角是直角；90°
的圆周角所对的弦是直径，并会利用其解决问题.
2.知道圆内接四边形及外接圆的概念，圆内接四边形的性质
及相关应用.
3.经历探索的过程，进一步体会转化的思想以及分类归纳的
思想方法.
◎重点:圆周角定理推论2与圆内接四边形的性质.
长线于P，求证:AD·DC＝PA·BC.
合作探究
证明:如图，连接BD.
∵DP∥AC，
∴∠PDA＝∠DAC.
∵∠DAC＝∠DBC，
合作探究
∴∠PDA＝∠DBC.
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠DAP＝∠DCB，
∴△PAD∽△DCB，

北师大版九年级数学下册第三章《4 圆周角和圆心角的关系(2)》优质课课件

4 圆周角和圆心角的关系（2）
圆周角定理的推论：圆内接四边形的对角互补。
•11、即使是普通孩子，只要教育得法，也会成为不平凡的人。 •12、首先是教师品格的陶冶，行为的教育，然后才是专门知识和技能的训练。 •13、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。 •14、孩子在快乐的时候，他学习任何东西都比较容易。 •15、生活即教育，社会即学校，教学做合一。 •16、当在学校所学的一切全都忘记之后，还剩下来的才是教育。2021年10月20日星期三2021/10/202021/10/202021/10/20 •17、播种行为，可以收获习惯；播种习惯，可以收获性格；播种性格，可以收获命运。2021年10月2021/10/202021/10/202021/10/2010/20/2021 •18、我们发现了儿童有创造力，认识了儿童有创造力，就须进一步把儿童的创造力解放出来2021/10/202021/10/20October 20, 2021 •19、人自身有一种力量，用许多方式按照本人意愿控制和影响这种力量，一旦他这样做，就会影响到对他的教育和对他发生作用的环境。 2021/10/202021/10/202021/10/2

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C．OE＝DE
数学
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2．如图36－5，在圆的内接四边形ABCD中，∠ABC＝120°，则四边形ABCD的外角∠ADE的度数是 A．130° B．120° C．110° D．100° ( B )
【解析】 ∵四边形ABCD是圆内接四边形， ∴∠ADC＋∠B＝180°. ∵∠ADC＋∠ADE＝180°，
Rt△ABD≌Rt△ACD，或者利用线段的垂直平分线的性质．
(2)E为AC的中点，则△ABC为等边三角形．解：(1)AB＝AC.
证法一：如答图所示，连接AD，则AD⊥BC.
∵AD＝AD，BD＝DC， ∴Rt△ABD≌Rt△ACD.∴AB＝AC. 证法二：如答图所示，连接AD，则AD⊥BC. 又BD＝DC，∴AD所在直线是线段BC的中垂线， ∴AB＝AC. (2)△ABC为正三角形或AB＝BC或AC＝BC或∠A＝∠B或∠A＝ ∠C等．
得∠ACB＝90°.
︵解：∵∠ABC 与∠ADC 是AC所对的圆周角， ∴∠ABC＝∠ADC＝54°， ∵AB 为⊙O 的直径， ∴∠ACB＝90°， ∴∠BAC＝90°－∠ABC＝90°－54°＝36°.
数学
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类型之二
利用圆周角定理的推论进行证明
如图36－2所示，点A，B，D，E在⊙O上，弦AE，BD
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例2答图
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类型之三
圆内接四边形的性质
如图36－3，四边形ABCD内接于⊙O，若它的一个外角 ∠DCE＝70°，则∠BOD＝ ( D )
图36－3
A．35° B．70° C．110° D．140°
【解析】由圆内接四边形的外角等于它的内对角知，∠A＝
∠DCE＝70°，由圆周角定理知，∠BOD＝2∠A＝140°.
总第36课时——4 圆周角和圆心角的关系
(第2课时)
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1．圆周角定理的推论推直角；90°的圆周角所对的论：直径所对的圆周角是________ 直径．弦是_________ 2．圆内接四边形的性质圆内接四边形：四边形的四个顶点都在圆上，这样的四边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆．定对角互补．理：圆内接四边形的___________
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1．[2014· 兰州]如图36－4，CD是⊙O的直径，
弦AB⊥CD于点E，连接BC，BD，下列结论中不一定正确的是
A．AE＝BE
( C ︵︵ B.AD＝BD
)
D．∠DBC＝90° ︵︵【解析】 ∵CD⊥AB，∴AE＝BE，AD＝BD，图36－4 ∵CD 是⊙O 的直径， ∴∠DBC＝90°，不能得出 OE＝DE.
40° ． __________
图36－7
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的延长线相交于点C.若AB是⊙O的直径，D是BC的中点．
(1)试判断AB，AC之间的大小关系，并给出证明； (2)在上述题设条件下，△ABC还需满足什么条件，点E才一定是AC的中点？(直接写出结论)
图36－2
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【解析】 (1)先探索AB，AC的大小关系再证明．连接AD，证明
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类型之一
利用圆周角定理的推论进行计算
[2014· 兰州]如图36－1，△ABC为⊙O的内接三角形，
AB为⊙O的直径，点D在⊙O上，且∠ADC＝54°，则∠BAC的度
36° ．数等于_________
图36－1
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【解析】由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可求得∠B的度数，又由直径所对的圆周角是直角，即可求
∴∠ADE＝∠B.
∵∠B＝120°， ∴∠ADE＝120°. 图36－5
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3．[2013· 益阳] 如图36－6，若AB是⊙O的直径，AB＝10 cm，
5 cm. ∠CAB＝30°，则BC＝______
图36－6
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4．[2014· 贵阳]如图36－7，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上， ∠BOD＝130°，AC∥OD交⊙O于点C，连接BC，则∠B＝

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