第2课时圆周角及其性质

冀教版九年级数学上册28.3圆心角和圆周角第2课时圆周角优秀教学案例
一、案例背景
本节课为冀教版九年级数学上册28.3圆心角和圆周角的第2课时，主要内容是圆周角。在学习了圆心角之后，学生已经掌握了圆的基本概念和性质，但对圆周角的理解还需要进一步深化。圆周角是圆心角的一种特殊形式，它与圆心角有着密切的关系，同时也有自己的特点。
5.教学策略的灵活运用：教师根据学生的实际情况和学习需求，灵活运用情景创设、问题导向、小组合作和反思评价等多种教学策略，使得教学过程更加生动有趣，提高学生的学习效果和教学的质量。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.利用实物模型和几何画板展示一个圆周角的例子，引导学生观察和描述圆周角的特点。
2.提出问题：“你们认为圆周角和圆心角有什么关系？”让学生思考和提出自己的观点。
3.引导学生回顾已学的圆心角知识，为新课的学习做好铺垫。
（二）讲授新知
1.介绍圆周角的定义和性质，解释圆周角与圆心角的关系。
3.引导学生分享小组讨论的结果和心得，促进学生之间的学习经验和知识共享。
（四）反思与评价
1.引导学生对自己的学习过程进行反思，培养学生自我评价和自我调整的能力。
2.设计评价量表和反思问题，让学生对自己的学习成果进行评价，培养学生的评价和反思能力。
3.鼓励学生提出自己的疑问和困惑，及时给予解答和指导，帮助学生巩固和提高圆周角的知识。
三、教学策略
（一）情景创设
1.利用实物模型和几何画板展示圆周角的例子，让学生直观地感受圆周角的形成和变化。
2.通过设计有趣的数学故事和实际问题，引发学生对圆周角的兴趣，激发学生的探究欲望。
3.创设互动的学习环境，鼓励学生提问和分享自己的观点，培养学生的主动学习和思考能力。

3.小组合作：我将学生分成小组，让他们在团队合作中完成圆周角定理的证明和实际问题的解决，这样不仅提高了他们的团队协作能力，还培养了他们的沟通能力。
4.反思与评价：我引导学生进行课堂反思，帮助他们发现自己的学习优点和不足，从而提高他们的自我认知和自我调整能力，为他们的持续进步提供了动力。
5.作业小结：我布置了一道具有挑战性的作业，让学生在课后运用所学知识解决实际问题，这样不仅巩固了他们的课堂所学，还提高了他们的解决问题能力。同时，我在下一节课的开始部分让学生分享他们的解题过程和心得，这样既为下一节课的教学做好了铺垫，又让他们从他人的经验中学习到了新的解题策略。
针对这一情况，我设计了本节课的教学案例，以帮助学生更好地理解和运用圆周角定理。在教学过程中，我注重启发学生思考，引导学生通过观察、操作、归纳等方法发现圆周角定理，并与实际问题相结合，让学生在解决实际问题的过程中体会圆周角定理的应用价值。同时，我还注重培养学生的团队协作能力和语言表达能力，使学生在互动交流中不断提高自己的数学素养。
二、教学目标
（一）知识与技能
1.理解圆周角定理，掌握圆周角定理的证明过程，能够运用圆周角定理解决实际问题。
2.学会使用圆规和直尺画圆周角，能够准确地找出圆周角所对的两条弧的圆心角。
3.掌握圆周角定理在圆的切割、镶嵌等实际问题中的应用，提高学生的解决问题的能力。
（二）过程与方法
1.观察与操作：通过观察实物和模型，引导学生发现圆周角定理，培养学生的观察能力和操作能力。
五、例亮点
1.情境创设：通过实物和模型展示，以及多媒体动画演示，我成功地激发了学生的学习兴趣，让他们在直观的情境中感受到圆周角定理的实际应用，从而提高了他们的学习积极性。
2.问题导向：我在教学中提出了具有针对性的问题，引导学生进行深入思考，使他们在解决问题的过程中理解和掌握圆周角定理，培养了他们的逻辑思维能力。

2.若ABCD为圆内接四边形,则下列选项可能成 立的是 ( B ) A.∠A∶∠B∶∠C∶∠D=1∶2∶3∶4 B.∠A∶∠B∶∠C∶∠D=2∶1∶3∶4 C.∠A∶∠B∶∠C∶∠D=3∶2∶1∶4 D.∠A∶∠B∶∠C∶∠D=4∶3∶3∶2
3.如图所示,在圆内接四
边形ABCD中,∠B=30°, 则∠D= 150° .
解:BD=CD.理由如下:连接AD, ∵AB是☉O的直径,∴∠ADB=90°, 即AD⊥BC,
又∵AC=AB,∴△ABC是等腰三角形, ∴BD=CD.
圆内接四边形的性质
如图所示,已知四边形ABCD为☉O的内接四边形. 求证 ∠BCD+∠BAD=180°,∠ABC+∠ADC=180°.
证明:连接OB,OD. ∵ BAD和 BCD所对的圆心 角之和为360°, ∠BCD和∠BAD分别为 BAD 和 BCD 所对的圆周角,
同弧所对的圆周角都相等.
再分别量出图中 AB所对 的圆周角和圆心角的度 数，比较一下，你什么 发现？
P
·O
A
B
如图，在⊙O中，AP为直径， ∠AOB和∠APB分别是 AB所对
的圆心角和圆周角，你认为∠AOB 与∠APB的大小具有什么关 系？说出你的理由.
∵OP=OB，
P
O·
A
B
∴∠OPB=∠OBP．
∵∠BCD+∠DCE=180°,
∴∠DCE=∠BAD.
[知识拓展]
1.圆周角定理包含两个独立的条件,可以分开使用,即“同弧或 等弧所对的圆周角相等”以及“在同圆或等圆中,同一条弧所 对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半”.
2.若将“同弧或等弧”改为“同弦或等弦”,则结论不一定成立.

课堂小结
定义：顶点在圆上，两边均与 圆相交的角.
圆
周
角
同弧所对的圆周角是圆心角的一半
性质 直径所对的圆周角是直角
90°的圆周角所对的弦是直径
同学们再见
三个作为结论，写出所有正确的命题，并加
以证明.
A
D C
BE
典例精析
①AB是直径;②D是BC的中点;③AB=AC.
命题一：若AB是直径，
A
D是BC的中点，则
AB证=A明C.：连接AE
D
∵AB是直径
BE
C ∴∠AEB=90°
又知D是BC的中点
∴AE垂直平分BC
∴AB=AC
典例精析
①AB是直径;②D是BC的中点;③AB=AC.
上，∠OAB=46°.求∠ACB的度数.
C
分析：构造同弧所对的圆心角
证明：连接OB
O·
∵OA=OB ∴∠OBA=∠OAB=46°
∴∠AOB=180°-2∠OAB
A
B
=180°-2×46°=88°
∵∠ACB与∠AOB同对⌒AB
ACB 1 AOB 44 2
新课学习 探究三：
1.直径所对的圆周角是多少度？ 2.90°的圆周角所对的弦是直径吗？
C 如图，直径AB所对的圆周角
是∠ACB
A
O·
弧ADB所对的圆心角是∠AOB
B 所对的圆周角是∠ACB
ACB 1 AOB 1 180 90
D
2
2
即直径所对的圆周角是直角.
新课学习 探究三：
1.直径所对的圆周角是多少度？ 2.90°的圆周角所对的弦是直径吗？
如图，弦AB所对的圆周角是∠ACB
C 弧ADB所对的圆心角是∠AOB

知识回顾 问题探究 课堂小结
探究二： 圆的内接多边形
重点、难点知识★▲
活动2 探索圆的内接四边形四个角之间的关系。
∠A和∠C是四边形ABCD的一组对角，也是⊙O的圆 周角，它们在⊙O中所对的分别是哪两条弧？
这两条弧有什么关系？ 从而∠A和∠C具有怎样的数量关系？ ∠B和∠D也具有这样的关系吗？
这两条弧的度数之和为360°，从而∠A和∠C之和等 于360°的一半，也就是180°，∠B和∠D之和也为180°。
1 2
OA，根据含30°的
直角三角形三边的关系得到∠OAD=30°，接着根据
三角形内角和定理可计算出∠AOB=120°，然后根据圆周
角定理计算∠APB的度数。
知识回顾 问题探究 课堂小结
探究三 例题分析
活动2 提升型例题
【解题过程】 解：作半径OC⊥AB于D，连结OA、OB，如图， ∵将⊙O沿弦AB折叠，圆弧恰好经过圆心O，
1 ∴∠AOB=90°，∴∠ADB= 2 ∠AOB=45°， ∴∠AEB=180°﹣∠ADB=135°。 ∴此弦所对的圆周角等于45°或135°。
知识回顾 问题探究 课堂小结
探究三 例题分析
活动3 探究型例题
例5.已知弦AB、CD相交于E，»AC 的度数为90°，B»D 的度数为30°，则∠AEC=_6__0_°___。
∴弦AB所对的圆周角的度数为： 1 ∠AOB=20°或180°﹣20°=160°。 2
【思路点拨】由⊙O的弦AB所对的圆心角为40°，根据 圆周角定理与圆的内接四边形的性质，即可求得弦AB 所对的圆周角的度数。
知识回顾 问题探究 课堂小结
探究三 例题分析
活动2 提升型例题
练习4：在⊙O中，若弦AB长2 2 cm，弦心距为 2 cm，则此弦所对的圆周角等于______。

求证：AD2 AE AF
A
.
E
C
D
FB
已知：如图：⊙O是 ABC外接圆，
AD是的高，AE是直径，
求证：AB AC AD AE
A
. O
B E
DC
鲁教版数学九年级 下册
第四章 圆 第四节 圆周角
（第二课时）
龙口市第五中学数 学组
复习：
1、什么叫圆周角？
顶点在圆上，两边都与圆相交的角叫 做圆周角。
2、圆周角定理：一条弧所对的 圆周角等于它所对的圆心角度数 的一半。
观察下图中，∠A,∠B,∠C,∠D有
何关系？为什么？
B C
∠A=∠B=
A
D
∠C=∠D
定理推论： （1）同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆 周角所对的弧也相等。
（2）半圆（或直径）所对的圆周角是直角；
90的圆周角所对的弦是直径。
（3）如果三角形一边上中线等于这边的一半， 那么这个三角形是直角三角形。
（4）圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一 半。
如图，点A、B、C、D都在⊙O上，BC
M
O
N
推论：同弧或等弧所对的圆周角相等； 相等的圆周角所对的弧也相等。
如图，AB为⊙O直径，
C
∠ACB为多少度？
A
B∠ACBiblioteka = 90推论：半圆（或直径）所对的圆周角是 直角；
90 圆周角所对的弦是直径。
如图，△ABC中，D为AB中 C 点，CD等于AB的一半，
求证：△ABC为RT△
A
D
B
推论：如果三角形一边上的中线 等于这边的一半，那么这个三角 形是直角三角形。
是直径，AD=DC，1 20，则2 和

回顾 A
C
圆周角 O
B
圆周角定理： 一条弧所对的圆周角
等于它所对圆心角的一半.
推论1：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等. 相等的圆周角所对的弧也相等.
推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角， 90°的圆周角所对的弦是直径.
直径是同特圆殊或的等弦圆，中对，于同一弦般或的等弦弦，所它对所的对圆的周圆角周相角等是吗否？也相等呢？
思考
A和C有什么数量关系呢？
A
四边形一组对角的数量关系. OD
B
C 圆内接四边形一组对角的数量关系.
四个如顶果点一都个在多圆边上形的所有顶点都在同一个圆上，这个多 边形叫做圆的内接多边形.这个圆叫做这个多边形的外接圆.
四边形ABCD是⊙O的内接四边形；⊙O是四边形ABCD的外接圆.
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
同圆或等圆中，同弦或等弦所对的圆周角相等吗？
A
E
OD
B
C
F
∠A∠E ∠C∠F ∠A∠C180° ∠E∠F180°
同圆或等圆中，同弦或等弦所对的圆周角相等或互补.
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
思考
如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形；∠A与∠DCE 有什么关系？
A
∠DCE∠DCB180°
OD
∠A ∠DCB180°
B
CE
∠A∠DCE
圆内接四边形的一个外角等于它的内对角.
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
归纳
A
OD
B
CE
圆内接四边形的性质
圆内接四边形的对角互补，且任何一个外角等 于它的内对角.

第二十四章 圆
24.1 圆的有关性质
24.1.4 圆周角
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
1.理解圆周角的概念，会叙述并证明圆周角定理. 2.理解圆周角与圆心角的关系并能运用圆周角定理解 决简单的几何问题.（重点、难点） 3.理解掌握圆周角定理的推论及其证明过程和运用. （难点）
导入新课
复习引入
（5）√
A B
（6）√
二 圆周角定理及其推论
测量与猜测
如图，连接BO,CO,得圆心角∠BOC.试猜想∠BAC与 ∠BOC存在怎样的数量关系.
BAC1BOC 2
推导与论证
圆心O在∠BAC 的一边上
圆心O 在∠BAC
的 内部
圆心O在∠BAC 的外部
n圆心O在∠BAC的一边上（特殊情形）
OA=OC ∠A= ∠C ∠BOC= ∠ A+ ∠C
证明猜想
∵ 弧BCD和弧BAD所对的圆心角的和是周角， ∴∠A＋∠C＝180°， 同理∠B＋∠D＝180°，
归纳总结
推论：圆的内接四边形的对角互补.
想一想
图中∠A与∠DCE的大小有何关系？
∵ 弧BCD和弧BAD所对的圆心角的和是周角，
∴∠A＋∠C＝180°，
D
同理∠B＋∠D＝180°， A
延长BC到点E，有
2∠BOC. 求证：∠ACB=2∠BAC.
证明： ACB1AOB,
2
1
BAC BOC,
O
2
∠AOB=2∠BOC，
A
C B
∴∠ACB=2∠BAC
9.船在航行过程中，船长通过测定角数来确定是否遇到
暗礁，如图，A、B表示灯塔，暗礁分布在经过A、B两

特别提醒
1. 一条弧所对的圆周角有无数个.
2. 一条弧所对的圆心角只有一个.
3. 由于圆心角的度数与它所对的弧的度数相
等，所以也可以说：圆周角的度数等于它所对
的弧的度数的一半. 这两种表述是一致的，解题
时，也可以直接作为定理加以应用.
感悟新知
例2 [中考·连云港] 如图2.4-5，点A、B、C在⊙O上，BC＝
所有的四边形都有外接圆，只有对角互补的四边形
才有外接圆.
感悟新知
例4 [中考·雅安] 如图2.4-9，四边形ABCD为⊙O的内接四
边形，若四边形OBCD为菱形，则∠BAD的度数为
(
)
A. 45°
B. 60°
C. 72°
D. 36°
感悟新知
解题秘方：紧扣圆内接四边形的性质、圆周角定理及菱
形对角相等得到∠BAD 与∠BCD 之间的数量关系，然
感悟新知
知识点 1 圆周角
1. 圆周角的定义 顶点在圆上，并且两边都和圆相交的
角叫做圆周角.
特别解读
圆周角必须满足两个条件：
1. 顶点在圆上；2. 两边都和圆相交.
感悟新知
2. 圆心角与圆周角的区分与联系
名称
圆心角
圆周角
关系
区分
联系
顶点在圆心
顶点在圆上
在同圆中，一条弧所
在同圆中，一条弧所
对的圆心角只有唯一
系求出BC 的长，进而可求出半径.
感悟新知
解：如图2.4-7，连接BC. ∵∠BOC＝90°，
∴ BC是⊙A的直径(90°的圆周角所对的弦是直径)．
∵∠ODB＝30°，
∴∠OCB＝∠ODB＝30°
(同弧所对的圆周角相等).

四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.教学活动设计：
-利用多媒体展示生活中含有圆周角的物体，如时钟、风扇、自行车轮等，引导学生观察并思考这些物体上的圆周角特点。
-提问学生：“你们知道什么是圆周角吗？圆周角有哪些特点？”激发学生对圆周角的兴趣。
2.教学目的：
-通过生活中的实例，让学生感知圆周角的存在，为新课的学习做好铺垫。
2.自主探究，构建概念：
-让学生通过画圆、量角等活动，直观感受圆周角的特点。
-引导学生通过小组合作，探讨圆周角的定义，推导圆周角定理及推论。
-教师适时给予提示和引导，帮助学生理解圆周角的性质和定理。
3.实践应用，巩固知识：
-设计具有挑战性的练习题，让学生独立完成，巩固圆周角的知识。
-通过实际案例，如园林设计、道路规划等，让学生运用圆周角知识解决实际问题。
-对本节课学习的圆周角的定义、定理、推论进行梳理和归纳。
-总结圆周角知识在实际生活中的应用。
2.教学方法：
-学生分享学习体会，总结圆周角知识的关键点。
-教师点评学生的发言，强调重点知识，并对本节课进行总结。
五、作业布置
为了巩固学生对圆周角知识的掌握，提高学生的应用能力和思维能力，特布置以下作业：
1.基础知识巩固：
-激发学生的好奇心，引导学生积极思考，为新知的探究奠定基础。
（二）讲授新知
1.教学内容：
-圆周角的定义：从圆上任意两点分别向圆内引两条不重合的射线，所形成的角叫做圆周角。
-圆周角定理：ห้องสมุดไป่ตู้周角的度数等于它所对圆弧的度数的一半。
-圆周角推论：圆内接四边形的对角互补。
2.教学方法：
-采用讲解、演示、举例等教学方法，让学生理解圆周角的定义及性质。