《圆周角和圆心角的关系》圆PPT课件(第2课时)

= 2∠COD,
1
一条弧所对的圆周角等于它所 对的圆心角的一半.
B
你能写出这个命题吗?
议一议
6
圆周角和圆心角的关系
• 如果圆心不在圆周角的一边上,结果会怎样? • 3.当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的外部时,圆周角 ∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系会怎样? A

老师提示:能否也转化为1的情况?
A C
●
A
A C C B
●
O
B
●
O
OBLeabharlann 教师提示:注意圆心与圆周角的位置关系.
议一议
4
圆周角和圆心角的关系
• 1.首先考虑一种特殊情况： • 当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的一边(BC)上时,圆周角 A ∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系. C ∵∠AOC是△ABO的外角， 老师期望: ∴∠AOC=∠B+∠A. 你可要理 O ∵OA=OB， 解并掌握 ∴∠A=∠B. 这个模型. B ∴∠AOC=2∠B. 1 一条弧所对的圆周角等于它所 即 ∠ABC = ∠AOC. 对的圆心角的一半. 2 你能写出这个命题吗?
C


过点B作直径BD.由1可得:
∠ABD =
1 ∠AOD,∠CBD 2
B
●
O
∴
1 ∠ABC = ∠AOC. 2
= 2∠COD, 一条弧所对的圆周角等于它所 对的圆心角的一半.
1
你能写出这个命题吗?
议一议
7
圆周角定理
驶向胜利 的彼岸
• 综上所述,圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系是 • : 圆周角定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心 角的一半. 即 ∠ABC =

谢谢观看！
第三章 圆
圆周角和圆心角的关系
第1课时
第三章
第1课时
圆周角定理及其推论1
知识要点基础练
知识点1 圆周角的定义
1.如图,∠BAC是圆周角的是 ( B )
综合能力提升练
拓展探究突破练
-17-
第三章
第1课时
圆周角定理及其推论1
知识要点基础练
综合能力提升练
拓展探究突破练
-18-
知识点2 圆周角定理
-19-
第三章
第1课时
圆周角定理及其推论1
知识要点基础练
综合能力提升练
拓展探究突破练
-20-
知识点3 圆周角定理的推论1
5.(柳州中考)如图,A,B,C,D是☉O上的点,则图中与∠A相等的角是 ( D )
A.∠B
B.∠C
C.∠DEB
D.∠D
6.(赤峰中考)如图,AB是☉O的弦,OC⊥AB交☉O于点C,D是☉O上一点.若∠ADC=30°,
学生练习2 课本83页随堂练习第1题、第2题、第3题．
北京师范大学出版社 九年级 | 下册
【巩固提高】
课堂小结：
本节课学到那些知识？发现了什么？在运用所学的知识解决问题时应注意什么？
1、概念：圆周角，圆内接四边形，四边形的外接圆．
2、圆周角的定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半；
3、圆周角定理的推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等．
第1课时
圆周角定理及其推论1
知识要点基础练
综合能力提升练
拓展探究突破练
4.如图,A,B,C是半径为6的☉O上的三个点,且∠BAC=45°,求弦BC的长.
解:连接 OB,OC.

第三章 圆
4 圆周角和圆心角的关系
第2课时
-.
目 录
CONTENTS
1 学习目标 3 新课讲解 5 当堂小练
2 新课导入 4 课堂小结 6 拓展与延伸
学习目标
1.直径所对的圆周角是直角 2.90°的圆周角所对的弦是直径. （重点、难点）
新课导入
复习回顾 1.什么叫做圆周角？ 2.圆周角定理是什么？ 3.圆周角定理的推论1的内容是什么？
拓展与延伸
已知在半径为4的⊙O中，弦AB＝4 3 ，点P在圆上，则 ∠APB＝_6_0_°__或__1_2_0_°_．
分析：由∠AOB与∠ACB 是优弧AB所对的圆周角，根据圆周 角定理，即可求得∠ACB =∠AOB= 90°.
解：∵∠AOB与∠ACB 是优弧AB所对的圆周角， ∴∠AOB =∠ACB， ∵ ∠AOB = 90°，∴ ∠ACB = 90°.
新课讲解
练一练
小明想用直角尺检査某些工件是否恰好为半圆形. 下面所示的四种圆弧形，你能 判断哪个是半圆形？为什么?
在Rt△ACB中， sin ∠ABC＝ AC ，
AB ∴AC＝AB sin ∠ABC＝10×sin 30°为5 cm.
新课讲解
2.如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的 弦，若∠OBC＝60°，则∠BAC的度数是( D ) A．75° B．60° C. 45° D．30°
当堂小练
1.如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ACD ＝30°，则∠BAD为( C ) A．30° B．50° C．60° D．70°
当堂小练
2.如图，已知经过原点的⊙P与x轴，y轴分别交于点A，B ，C是劣弧OB上一点，则∠ACB等于( B ) A．80° B．90° C．100° D．无法确定

3．如图，经过原点O的⊙P与x，y轴分别交于A，B两点，点C是劣弧OB 上一点，则∠ACB的度数是( C ) A．80° B．100° C．90° D．无法确定
4．如图，△ABC为⊙O的内接三角形，AB为⊙O的直径，点D在⊙O上， ∠ADC＝54°，则∠BAC的度数等于_______36°
5．如图，△ABC的三个顶点在⊙O上，CD是直径，∠B＝40°，则 ∠ACD的度数是_5_0_°_．
6．(202X·温州模拟)如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，延长BC至 点D，使DC＝CB.延长DA与⊙O的另一个交点为E，连接AC，CE. (1)求证：∠B＝∠D； (2)若AB＝4，BC－AC＝2，求CE的长．
解：(1)∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB＝90°，∴AC⊥BC.∵CD＝CB， ∴AD＝AB，∴∠B＝∠D (2)设 BC＝x，则 AC＝x－2.在 Rt△ABC 中， AC2＋BC2＝AB2，∴(x－2)2＋x2＝42，解得 x1＝1＋ 7，x2＝1－ 7(舍 去)．∵∠B＝∠E，∴∠D＝∠E，∴CD＝CE.∵CD＝CB，∴CE＝CB ＝1＋ 7
︵︵ 9．如图，已知∠EAD 是圆内接四边形 ABCD 的一个外角，并且BD＝DC. 求证：AD 平分∠EAC.
解：∵四边形 ABCD 是圆内接四边形，∴∠EAD＝∠DCB.又∵B︵D＝D︵C， ∴∠DAC＝∠DCB.∴∠EAD＝∠DAC，∴AD 平分∠EAC
10．(202X·安徽模拟)如图，点P是等边三角形ABC外接圆⊙O上的 点．在下列判断中，不正确的是( C ) A．当弦PB最长时，△APC是等腰三角形 B．当△APC是等腰三角形时，PO⊥AC C．当PO⊥AC时，∠ACP＝30° D．当∠ACP＝30°时，△BPC是直角三角形
第三章 圆

50°，则∠EBC+∠ADC 的度数为 _______.
-18-
3.4 圆周角和圆心角的关系
解析：如解析图，连接 AB，DE，则∠ABE=∠ADE. ∵ 所对的圆心角的度数为 50°，∴∠ABE= ∠ADE =25°. ∵ 点 A，B，C，D 在 ⊙O 上 ，∴四边形 ABCD 是圆内接四边形， ∴∠ABC+∠ADC=180°， ∴∠ABE+∠EBC+∠ADC=180°， ∴∠EBC+∠ADC=180°-∠ABE=180°-25°=155°． 答案：155° 题型解法：本题考查了圆周角定理和圆内接四边形的 性质，作出辅助线构建圆内接四边形是解题的关键．
-10-
3.4 圆周角和圆心角的关系
■考点四 圆内接四边形
定义
四边形的四个顶点都在同一个圆上，这个四边形叫做圆内接四边形，这个 圆叫做四边形的外接圆
推论 圆内接四边形的对角互补
拓展 圆内接四边形的任何外角等于内对角
注意 并不是所有的四边形都存在外接圆，只有对角互补的四边形才存在外接圆
-11-
3.4 圆周角和圆心角的关系
A． 20° B． 40°
C． 50° D． 70°
-7-
3.4 圆周角和圆心角的关系
3. 如图，已知△ABC 的三个顶点都在同一圆上，且 AC=6，BC=8，AB=10， 则该圆的半径长是 ________.
（第 3 题图）
（第 4 题图）
4. 如图，AB=BC，∠ABC =120°，AD 为 ⊙O 的直径 ，AD=6，那么 AB 的
值为 ______.
-8-
3.4 圆周角和圆心角的关系
5. 如图，AB=AC，AB 是直径，求证：BC=2DE． （第 5 题图）

圆周角和圆心角的综合应用
总结词
定理、综合、应用、解题。
详细描述
圆周角和圆心角在几何学中有着广泛的应用，它们可以 单独使用，也可以综合使用来解决一些复杂的几何问题 。首先，我们可以利用圆周角和圆心角定理的综合应用 来解决一些几何问题。其次，我们可以通过一些解题方 法，如分析法、综合法和作图法等，来解决一些涉及圆 周角和圆心角的复杂问题。此外，我们还可以通过一些 实际问题的应用，来进一步理解圆周角和圆心角的重要 性和实际价值。
圆周角和圆心角的关系
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的圆周角也相等，但相等的圆周角所对的圆心角不一定相等。
运用圆周角和圆心角的关系解题的方法
利用圆心角和圆周角的关系，可以解决一些与圆有关的几何问题。在解题时，需要先找到所求问题的圆心角和圆周角，然 后利用其关系进行求解。
学习方法的总结
01
学习重点
本节课的重点是掌握圆周角和圆心角 的关系及其应用。
利用角的平分线性质定理可以证明，一个角平分线分一个角为两个相等的角，而同弧所对 的圆周角等于圆心角的一半。因此，同弧所对的圆周角相等。
应用
可以利用定理来解决一些有关圆的问题，如求角度、弧长、弦长等。同时，在圆的几何证 明题中，也可以利用定理来寻找突破口。
03
圆周角和圆心角的应用
圆周角在圆内的应用
圆周角和圆心角的关系定理
定理1
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的圆周 角也相等。
定理2
在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所 对的圆心角的一半。
定理的证明和应用
定理1的证明
利用圆的旋转对称性，可以通过将圆心角对折，使它与弧重合，从而得到弧所对的圆周角 也相等。

我们一路怀揣着爱，脚踏着万物 ，一声 绝唱， 飘然落 尘！也 许，你 我曾是 几百年 前的一 株草， 一朵花 ，一粒 尘，经 过几世 轮回的 转换变 成了今 生的亲 人，朋 友，爱 人…… 也许， 我们只 是来兑 现前世 的一场 盟约。 也许， 在百年 之后， 你我又 都化为 世间的 生灵， 守候在 天地之 间，彼 此相望 ，相顾 无言。 然而， 你我却 心灵相 犀，甘 为绿叶 ，守护 着这世 间一朵 花开的 时光！
例2：已知，如图，圆内接△ABC中，
AB=AC，弦AE交BC于D 求证：⑴△ABD∽△AEB
(2) AB2 AD AE
A

问：若点D在圆外，
上述结论仍成立吗？
O BD
C
E
练习2：如图，AB为⊙O的直径，DC为弦，
AB⊥DC，F为弧BC上的一点，AF交DC 于E.求证：AD2=AE•AF.
A
C
A
B
E
C
D
做人，无需去羡慕别人，也无需去花 时间去 羡慕别 人是如 何成功 的，想 的只要 是自己 如何能 战胜自 己，如 何变得 比昨天 的自己 强大就 行。自 己的磨 练和坚 持，加 上自己 的智慧 和勤劳 ，会成 功的。 终将变 成石佛 那样受 到大家 的尊敬 。
1 像我这样的人……
最近总是单曲循环的播放着这首 《像我 这样的 人》， 听很久 都不会 觉得腻 ，或许 这首歌 最大的 魅力就 是共鸣 。
A
D MN
E
●O
B C
四、思考下列各题,并记住结论：
1.如图，⊙Ｏ的弦AC、BD相交于⊙Ｏ 内一点Ｐ. 求证：
APB 1 ( A⌒B 的度数+ C⌒D 的度数) 2
C B

解：连接 OA，OB，作 OE⊥AB 于点 E. ∵OA ＝OB，∴AE ＝BE. 在 Rt △AOE 中，OA＝2，AE＝ 3 ， 3 ∴sin∠AOE＝ . 2 ∴∠AOE＝60°，∠AOB＝2∠AOE＝120° . ∴∠ADB＝60°. 又∵四边形 ADBC 为圆内接四边形， ∴∠ACB＋∠ADB＝180°. ∴∠ACB＝180°－∠ADB＝120°.
第2课时 圆周角定理的推论
►
知识点二
圆内接四边形及四边形的外接圆
如果一个四边形的四个顶点都在同一个圆上，这个四边形叫做圆内接四边形，这个圆叫 做这个四边形的外接圆．
第2课时 圆周角定理的推论
►
知识点三
圆内接四边形的性质
圆内接四边形的对角互补． [拓展] 若圆内接四边形的对角相等时，此时的四边形就变成矩形了．
第2课时 圆周角定理的推论
探பைடு நூலகம்问题二
圆内接四边形性质的应用
例 2 如图 3－4－23 ， 已知⊙O 的半径为 2 ， 弦 AB 的长为 2 3 ， 点 C 与点 D 分别是劣弧 AB 与优弧 ADB 上的任一点(点 C， D 均不与 A，B 重合)．求∠ACB 的度数．
图 3－ 4－23
第2课时 圆周角定理的推论
B
O 图②
C
3、观察图③，圆周角∠BAC=90° ，弦BC经 过圆心吗？为什么？
A
B C
结论：
2、直径所对的圆周角是直角； 3、90°的圆周角所对的弦是直径.
O
图③
小明想用直角尺检查某些工件是否恰好为半圆形。 根据下图，你能判断哪个是半圆形？为什么？
1、如图,⊙O的直径AB=10 cm，C为⊙O 上的一点， ∠ABC=30° ，求AC的长.

D
O2
O1
E
B
F
新知探究
【跟踪训练】
1.圆内接四边形ABCD中，∠A, ∠B, ∠C的度数之比是
135°
1：2：3，则这个四边形最大角的度数是_________.
D
A
2.四边形ABCD内接于圆，AD∥BC，AB+CD=AD+BC ,
25
若AD=4，BC=6，则四边形ABCD的面积为_______.
A
A
O
O
BB
C
C
课堂小测
3. 如图，点B，C在⊙O上，且BO=BC，则圆周角∠BAC等于（ D ）
A
A.60°
B.50°
C.40°
D.30°
O
B
C
课堂小测
4 . 如图，已知BD是⊙O的直径，⊙O的弦AC⊥BD于点E.若
∠AOD=60°，则∠DBC的度数为（ A）
A.30°
B.40°
C.50°
B
D.60°
D
C
OC垂直平分AD
(1)OC与AD的位置关系是__________________;
A
平行
(2)OC与BD的位置关系是___________;
4
(3)若OC=2cm,则BD=______cm.
O1
O
B
新知探究
4.如图,△ABC的顶点均在⊙O上, AB=4, ∠C=30°,求⊙O的直径.
解：连接AO并延长交⊙O于点E，
3 . 当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的外部时,圆周角∠ABC与圆
心角∠AOC的大小关系会怎样?
提示:能否也转化为1的情况?
A
C
过点B作直径BD.由1可得:

预习导学
圆内接四边形
阅读教材本课时“议一议”及其后面的内容，回答下列问
题.
(1)圆内接四边形的对角
互补 ；(2)圆内接四边形的一
个角的外角等于这个角的 对角 .
预习导学
·导学建议·
教学时让学生先独立思考，然后再进行交流，要鼓励学生
说理方式的多样性；尽量让学生自己得出一个结论:圆内接四边
形的任何一个外角都等于它的内对角.
预习导学
如图，四边形ABCD内接于☉O，E为DC延长线上一点，
∠A＝50°，则∠BCD的度数为( D )
A.40°
B.50°
C.60°
D.130°
合作探究
如图，四边形ABCD为☉O的内接四边形，点E在弦DC
的延长线上，如果∠BOD＝120°，则∠BCE的度数为
60° .
合作探究
如图，☉O是正方形ABCD的外接圆，点P在☉O上，则
第三章 圆
4 圆周角和圆心角的关系 第2课时
素养目标
1.知道圆周角定理的推论2:直径所对的圆周角是直角；90°
的圆周角所对的弦是直径，并会利用其解决问题.
2.知道圆内接四边形及外接圆的概念，圆内接四边形的性质
及相关应用.
3.经历探索的过程，进一步体会转化的思想以及分类归纳的
思想方法.
◎重点:圆周角定理推论2与圆内接四边形的性质.
长线于P，求证:AD·DC＝PA·BC.
合作探究
证明:如图，连接BD.
∵DP∥AC，
∴∠PDA＝∠DAC.
∵∠DAC＝∠DBC，
合作探究
∴∠PDA＝∠DBC.
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠DAP＝∠DCB，
∴△PAD∽△DCB，