2014全国高中数学优质课课件圆锥曲线起始课课件

圆锥曲线的发展史： 椭圆:
椭圆上任意一点 M有 | MF1 |
阿波罗尼（约公元前 262～190年，古希腊数 学家，与欧几里得、阿 基米德齐名.）
| MF2 | 常数，（F1 , F2为定点， 后人称为焦点，常数| F1 F2 | ）
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
圆锥曲线的发展史： 椭圆:
刘徽（约公元225—295, 魏晋期间伟大的数学家， 他的杰作《九章算术》和 《海岛算经》，是中国最 宝贵的数学遗产.）
请大家观察下列图片，找出你知道的曲线！
“嫦娥一号”探月变轨轨道图
火电厂及核电站的大型冷却塔
高中数学 选修2-1 第三章
conic section
南昌二中 高鹏 gaopeng83@
复习和准备知识
1.圆锥 2.圆锥面

母线
圆锥的母线一样长
圆锥曲线的发展史：
1．最初发现
早在公元前5世纪-公元前4世纪，古希腊巧辩学派的数 学家提出了“化圆为方”、“立方倍积”和“三等分任意角” 三大不可能尺规作图问题. 化圆为方问题——作一个正方形使其具有给定圆的面积． 立方倍积问题——作一个立方体使其具有给定立方体两倍体积． 三等分任意角问题——把一个给定的角分为三个相等的角．
动手实验
画椭圆
椭圆的定义:
一般地，平面内到两个定点F1 ，F2的距离的和等 于常数（大于F1 F2）的点的轨迹叫做椭圆，两个定点 F1 ，F2叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的 焦距. 可以用数学表达式来体现:
MF1 MF2 2a
(2a F1F2 )
研究
问题：如何解释或证明平面截出的椭圆 就是我们刚刚定义的椭圆呢？
当时，希腊人对平面曲线还缺乏认识， 上述三种曲线须以“圆锥曲面为媒介得 到，这就是圆锥曲线的“雏形”.
圆锥曲线的发展史：
2．奠基工作
阿波罗尼的著作《圆锥曲线论》与欧几 里得的《几何原本》同被誉为古希腊几 何登峰造极之作 ，它将圆锥曲线的性 质网罗殆尽，几乎使后人没有插足的余 地.
总而言之，在古希腊对圆锥曲线的 研究就有一个十分清楚的轮廓，只是由 于没有坐标系统，所以在表达形式上存 在着不容忽视的缺陷.
欧几里得（公元前330-公
高斯（1777年-1855年， 元前275，古希腊数学家） 德国数学家，物理学家）
圆锥曲线的发展史：
1．最初发现
公元前4世纪古希腊数学家梅内克缪斯在在研 究“立方倍积”问题 ，用平面截不同的圆锥，发 现了圆锥曲线 .
梅内克缪斯（公元前 375-公元前325，古 希腊数学家）
Dandelin在截面的两侧分别放置一个球， 19世纪初，法国数学家DandelinF 利用与圆锥 使它们都与截面相切（切点分别为 1 ，F2）， 面和截面均相切的两个球（ Dandelin双球），发 且与圆锥面相切，两球与圆锥面的公共点分别 现了椭圆的特性 . 2. 构成圆O1和圆O V
设点M是平面与圆锥面的截线上任一点， 过M点作圆锥面的一条母线分别交圆O1和圆O2 F1 于P，Q两点， M 因为过球外一点所作球的切线的长相等，则 MF1=MP， MF2=MQ， P 故 MF1+MF2=MP+MQ=PQ=常数
MF1 MF2 常数
双曲线的一支
MF2 MF1 常数
双曲线的另一支
双曲线的定义:
一般地，平面内到两个定点F1 ，F2的距离的差的绝 对值等于常数（小于F1 F2的正数）的点的轨迹叫做双曲 线，两个定点F1 ，F2叫做双曲线的焦点，两焦点间的距 离叫做双曲线的焦距.
可以用数学表达式来体现:
Q
O2
F2
O1
例.已知∆ABC中，B（-3，0），C（3，0）， 且AB，BC，AC成等差数列.试问：点A在一个什 么样的圆锥曲线上运动？说明理由 解: 根据条件有AB+AC=2BC, 即AB+AC=12， 即动点A到定点B,C的距离之和为定值12， 且12>6＝BC， 所以点A在以B,C为焦点的一个椭圆上运动.
欧拉（1707-1783，瑞士 数学家、自然科学家）
“嫦娥一号”探月变轨轨道图
火电厂及核电站的冷却塔
冷却塔的轴截面是双曲线，从底部到中部直径变小，是将 蒸汽抽到塔内，防止底部逸出，而上部直径变大，可以降 低上升到顶部热气的流动速度，从而降低抽力，使蒸汽尽 可能的留在塔内，提高冷却回收率.
小结
数学史——圆锥曲线的发展史
笛卡尔（1596-1650，法国数学家、 物理学家，解析几何创始人）
圆锥曲线的发展史：
5．别开生面
圆锥曲线的发展史：
6．系统总结
18世纪，牛顿、伯努力和等先后提出不同的坐标系，尤其影 响深刻的是极坐标系，随着坐标系的系统化，关于圆锥曲线性质 研究逐渐系统化起来.
牛顿（1643-1727， 英国物理学家，数 学家）
伯努利（16231708，瑞士数学 家）
圆锥曲线的发展史：
6．系统总结
欧拉1745年发表的《分析引 论》，被誉为解析几何发展史 上的重要著作，系统地研究了 圆锥曲线的各种情形，并证明 通过坐标变换，一定可以把任 何圆锥曲线化为某种标准形式.
欧拉之后，三维解析几何的研究 蓬勃开展，由圆锥曲线导出了圆 锥曲面.至此，关于圆锥曲线的理 论被广泛应用，直至今天.
阿波罗尼（约公元前 262～190年，古希腊数 学家，与欧几里得、阿 基米德齐名.）
实验及探讨
思考：灯光发出的光线在纸板留下的类似什么曲 线？试解释以上现象.
探讨
问题：用过顶点的平面截圆锥面， 可能得到哪些曲线？
问题：用不过顶点的平面截圆锥面， 可能得到哪些曲线？
用一个不过圆锥面顶点的平面去截一个 圆锥面，当平面与圆锥面的轴垂直时，截线 （平面与圆锥面的交线）是一个圆．
课后作业
1. 在 ABC 中，BC=2， | AB AC | 1 ，那么点 A 在怎样的曲线上运动？ 2. 已知 ABC 中，BC 长为 6，周长为 16，那么顶点 A 怎样的曲线上运动？ 3. 如图，圆 F1 在圆 F2 的内部，且点 F1 ， F2 不重合. 求证：与圆 F1 外切，且与圆 F2 内切的圆的圆心 C 的 轨迹是椭圆. 4.（探究题）将一个半径为 R 的篮球放在地面上，被阳 光斜照留下的影子是椭圆 . 如果将光源换成电光源， 那么影子可能是抛物线吗？
思考：当改变截面与圆锥面的轴的相对 位置时， 还能得到哪些不同的截线？
探讨
用一个不过圆锥面顶点的平面去截一个圆锥面，当平 面与圆锥面的所成角 与轴截面顶角的半角 大小关系不 同时，截线的不同情况如下：

< < 2


0

=
（1）椭圆
（2）双曲线
（3）抛物线
椭圆、双曲线及抛物线统称为圆锥曲线.
| MF1 MF2 | 2a (0 2a F1F2 )
圆锥曲线的发展史：
3．长期停滞
又经过了500年，到了3世纪，希腊数学家帕普 斯在他的著作《汇篇》中，才完善了关于圆锥曲线 的统一定义，并对这一定理进行了证明。这时，圆 锥曲线的定义和性质才比较完整地建立起来了.
在这之后的 13 个世纪里，整个数学界对圆锥 曲线的研究几乎没有什么进展.
伽利略（1564-1642, 意大利数学家、物理 学家、天文学家）
圆锥曲线的发展史：
5．别开生面
解析几何的创立，使人们对圆锥曲线的 研究方法不同于以前，而是朝着解析方法的 方向发展.即建立坐标系，得出圆锥曲线的方 程，再利用方程研究圆锥曲线的性质，以摆 脱几何直观而达到抽象化的目标，也可以求 得对圆锥曲线研究的高度概括与统一.在这方 面，笛卡儿等解析几何的鼻祖作出了巨大的 贡献.
研究
思考:
当平面上的点 M满足MF1 MF2 常数 （F1，F2为平面上的两个定点） 时， M将是什么样的轨迹呢？
例1.如图，取 一条拉链，打 开它的一部分， 在一边减掉一 段，然后把两 头分别固定在 点两点，随着 拉链逐渐拉开 或者闭拢，拉 链头所经过的 点就画出一条 曲线.
例1.如图，取一条拉链，打开它的一部分，在拉开 的两边上各选择一点，分别固定在点F1 ，F2处， 随着拉链逐渐拉开或者闭拢，M所经过的点就画出 一条曲线，试问：这条曲线是什么样的圆锥曲线？ 试说明理由.
圆锥曲线的发展史：
4．有所突破
德国数学家开普勒继承了哥白尼 的日心说，揭示出行星按椭圆轨道绕 太阳运行，是圆锥曲线摆脱圆锥而成 为自然界中物体运动的普遍形式.
开普勒
(1571-1630,德国天文 学家、数学家 )
圆锥曲线的发展史：
4．有所突破
伽利略得出斜抛运动的轨道是抛物线， 突破了静态圆锥曲线的观念.人们开始感到古 希腊人的证明方法太缺乏一般性，几乎每个 定理都是要想出一个特殊的证明方法.于是， 对圆锥曲线的处理方法开始有了变化.