(人教版)高中数学等差数列优秀课件1

高一数学等差数列优秀课 件ppt
数列是数学中一种重要的概念，了解其定义和基本概念将帮助我们更好地理 解等差数列及其应用。
等差数列的性质和特点公差源自致等差数列中，相邻项之间的差值始终相等。
对称性
等差数列以中间项为对称轴，分布特点清晰。
通项公式
通过通项公式，我们可以快速计算等差数列中 任意项的值。
无穷性
等差数列的展开式和通项公式
展开式 通项公式
应用举例
用于展示等差数列中每一项的计算表达式。
通过通项公式，可以直接计算等差数列中任意项 的值。
利用展开式和通项公式解决实际问题。
等差数列在实际生活中的应用
财务规划
利用等差数列进行财务规划，实 现理财目标。
人口增长
人口增长模型中，等差数列起到 了重要作用。
2
况下的展示。
等差数列的公差与线性函数的斜率有着
紧密的关系。
3
推导过程
通过线性函数的推导，理解等差数列的 特征和性质。
等差数列的求和公式
1 累加方法
通过逐项累加求和，掌握等差数列的求和方法。
2 平均法则
利用等差数列的对称性，快速计算整个数列的和。
3 公式推导
通过推导求和公式，深入理解等差数列求和的原理。
运动技能
运动技能的学习过程可以看作等 差数列的逐步进化。
等差数列可以无限延伸，不受长度限制。
等差数列的常见问题和应用
实际问题
通过解答实际问题，加深理解等 差数列的应用。
生活中的等差数列
探索日常生活中等差数列的存在 和运用。
解谜游戏
利用等差数列进行解谜游戏，锻 炼思维能力。
等差数列与线性函数的关系
1
等差数列与直线图像

个从0-9的刻度的转盘，要求把四个转盘分别转到指定数字，
门才能打开。门上还有四组数字，如下：
1）1，3，5，（ ），9
2）15，12，（ ），6，3
3）48，53，58，（ ）3，68
4）8，（ ），8，8，8
创设学生比较感兴趣的情景，可以激发学生对本节课的学习兴趣，在游戏
中加入等差数列，让学生初步感知等差数列的特点。同时培养学生观察、
三 、 教 学 分 析 - - - ( 二 ) 教 学 程 序 设 计
巩固练习： 在等差数列中,已知 = , = ,求 .
问1：还有没有其他做法？
师根据学生回答适时给出公式： = + ( − )
问2：从结果来看 , , , 之间有怎样的关系？
中项。
问1：等差中项A与a、b之间又怎样的关系？
问2：下列两个数的等差中项分别是什么？
（1）2 ，( ) ，4 （2）-12，( ) ，0
问3：是不是任意两数都存在等差中项？存在几个？
师点评：任意两数的等差中项即为两数的平均值。
问4：等差数列{ }中， 与− , + 之间有怎样的关系？为什么？
（4）-8，-6，-4.
学生对刚学习的概念理解还不够深刻，通过概念的辨析，强化学生对
等差数列概念的理解，看清“等差”的本质特征，培养学生抽象概括
能力和严密的数学学习态度。
三 、 教 学 分 析 - - - ( 二 ) 教 学 程 序 设 计
2、等差中项的定义：
如果在a与b中间插入一个数A，使a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差
教学目标：通过数字规律小游戏情境引入，经历观察，分析，
归纳，推理论证，理解并掌握等差数列的概念，了解等差数列

素养训练
课后提能训练
第四章 数列
1．已知等差数列{an}的首项为a1，公差为d，数列{bn}中，bn＝3an ＋4，问：数列{bn}是否为等差数列？并说明理由．
解：数列{bn}是等差数列． 理由：∵数列{an}是首项为a1，公差为d的等差数列， ∴an＋1－an＝d(n∈N*)， ∴bn＋1－bn＝(3an＋1＋4)－(3an＋4)＝3(an＋1－an)＝3d， ∴根据等差数列的定义，数列{bn}是等差数列．
()
A．－5
B．－4
C．4
D．5
【答案】A 【解析】－2 与－8 的等差中项为－22－8＝－5.故选 A．
自学导引
课堂互动
素养训练
课后提能训练
第四章 数列
等差数列的通项公式 首项为a1，公差为d的等差数列{an}的通项公式为an＝_a_1＋__(_n_－__1_)_d． 特别注意：(1)公式中有四个量，即an，a1，n，d.已知其中任意三个 量，通过解方程都可求得剩下的一个量． (2) 等 差 数 列 的 通 项 公 式 可 推 广 为 an ＝ am ＋ (n － m)d(n≥m ， m ， n∈N*)．由此可得已知等差数列的任意两项，就可求出其他的任意一 项．
自学导引
课堂互动
素养训练
课后提能训练
第四章 数列
判定数列{an}是否为等差数列的步骤 (1)作差an＋1－an； (2)对差式进行变形； (3)当an＋1－an是一个与n无关的常数时，数列{an}是等差数列；当an ＋1－an不是常数，是与n有关的代数式时，数列{an}不是等差数列．
自学导引
课堂互动
第四章 数列
4.2 等差数列
4.2.1 等差数列的概念

97.有三个人是我的朋友爱我的人.恨我的人.以及对我冷漠的人。 爱我的人教我温柔；恨我的人教我谨慎；对我冷漠的人教我自立。――[J·E·丁格] 98.过去的事已经一去不复返。聪明的人是考虑现在和未来，根本无暇去想过去的事。――[英国哲学家培根] 99.真正的发现之旅不只是为了寻找全新的景色，也为了拥有全新的眼光。――[马塞尔·普劳斯特] 100.这个世界总是充满美好的事物，然而能看到这些美好事物的人，事实上是少之又少。――[罗丹] 101.称赞不但对人的感情，而且对人的理智也发生巨大的作用，在这种令人愉快的影响之下，我觉得更加聪明了，各种想法，以异常的速度接连涌入我的脑际。――[托尔斯泰] 102.人生过程的景观一直在变化，向前跨进，就看到与初始不同的景观，再上前去，又是另一番新的气候――。[叔本华] 103.为何我们如此汲汲于名利，如果一个人和他的同伴保持不一样的速度，或许他耳中听到的是不同的旋律，让他随他所听到的旋律走，无论快慢或远近。――[梭罗] 104.我们最容易不吝惜的是时间，而我们应该最担心的也是时间；因为没有时间的话，我们在世界上什么也不能做。――[威廉·彭] 105.人类的悲剧，就是想延长自己的寿命。我们往往只憧憬地平线那端的神奇【违禁词，被屏蔽】，而忘了去欣赏今天窗外正在盛开的玫瑰花。――[戴尔·卡内基] 106.休息并非无所事事，夏日炎炎时躺在树底下的草地，听着潺潺的水声，看着飘过的白云，亦非浪费时间。――[约翰·罗伯克] 107.没有人会只因年龄而衰老，我们是因放弃我们的理想而衰老。年龄会使皮肤老化，而放弃热情却会使灵魂老化。――[撒母耳·厄尔曼] 108.快乐和智能的区别在于：自认最快乐的人实际上就是最快乐的，但自认为最明智的人一般而言却是最愚蠢的。――[卡雷贝·C·科尔顿] 109.每个人皆有连自己都不清楚的潜在能力。无论是谁，在千钧一发之际，往往能轻易解决从前认为极不可能解决的事。――[戴尔·卡内基] 110.每天安静地坐十五分钟·倾听你的气息，感觉它，感觉你自己，并且试着什么都不想。――[艾瑞克·佛洛姆] 111.你知道何谓沮丧---就是你用一辈子工夫，在公司或任何领域里往上攀爬，却在抵达最高处的同时，发现自己爬错了墙头。－－[坎伯] 112.「伟大」这个名词未必非出现在规模很大的事情不可；生活中微小之处，照样可以伟大。――[布鲁克斯] 113.人生的目的有二：先是获得你想要的；然后是享受你所获得的。只有最明智的人类做到第二点。――[罗根·皮沙尔·史密斯] 114.要经常听.时常想.时时学习，才是真正的生活方式。对任何事既不抱希望，也不肯学习的人，没有生存的资格。

人教版·数学·必修5·第二章《数列》
2.2.1等差数列（1）
复习回顾
数列： 按照一定顺序排成的一列数称为数列。
实质： 数式：如果数列{an}的第n项an与项数n之间的 关系可以用一个公式来表示,这个公式就叫做这个 数列的通项公式.(反映项与序号之间的关系)
1、等差数列的定义
一般地，如果一个数列a1， a2， a3，…， an， …从第二项起，每一项与它的前一项的 差等于同一个常数d，
a2–a1=a3-a2=···=an-an-1=···=d 那么这个数列就叫做等差数列。常数d叫做等 差数列的公差。
等差数列定义的符号表示：
(1){an}是等差数列⇔an-an-1=d(n≥2，n ∈N*) (2){an}是等差数列⇔ an+1-an=d(n ∈N*)
又，当n=1时,等式成立 ∴ n∈N*时， an=a1+(n – 1)d
法二
∵{an}是等差数列，则有
an–an-1=d an-1–an-2=d an-2–an-3=d ……
累加法：
这一推导思想 在今后的数列 求和问题中也
a2–a1=d
有重要的应用
相加得：an – a1=(n–1)d
∴an=a1+(n–1)d
作差。 不能颠倒。 2、作差的结果要求是同一个常数。可以是正
数，也可以是0和负数。
温馨提示:
（1）从第二项起：如果一个数列，不从第2项起，而是从 第3项或第4项起，每一项与它前一项的差是同一个常数， 那么此数列不是等差数列，但可以说从第2项或第3项起是 一个等差数列。
（2）同一个常数:一个数列，从第2项起，每一项与它的 前一项的差，尽管等于一个常数，这个数列可不一定是等 差数列，因为这些常数可以不同，当常数不同时，当然不 是等差数列，因此定义中“同一个”常数，这个“同一个”十 分重要。

（2）100元“零存整取”的月利息为 100×1.725‰=0.1725（元）， 存3年的利息是
0.1725×(1+2+3+……+36)=114.885(元)， 因此李先生多收益
179.82－114.885×(1－20%)=87.912元.
答：李先生办理“教育储蓄”比“零存整 取”多收益87.912元
解：（1）100元“教育储蓄”存款的月利息是 100×2.7‰=0.27（元）， 第1个100元存36个月，得利息0.27×36（元）; 第2个100元存35个月，得利息0.27×35（元）; ………… 第36个100元存1个月，得利息0.27×1（元），
此时李先生获得利息
0.27×(1+2+3+……+36)=179.82(元)， 本息和为3600+179.82=3779.82元；
解 得 30AB2
S 3 0 9 0 0 A 3 0 B 3 0 ( 3 0 A B ) 6 0
解法三： 设a1+a2+……+a10=A， a11+a12+……+a20=B，
a21+a22+……+a30=C， 则A，B，C成等差数列， 且A=10，A+B=30, 解得B=20，
2.2.2等差数列的前n项和
如图堆放一堆钢管，最上一层放了4根， 下面每一层比上一层多放一根，共8层，这 堆钢管共有多少根？
这堆钢管从上到下的数 量组成一个等差数列。
其中a1=4，公差d=1. 最下一层中a8=11。
即求4+5+6+……+11=?
我们设想，在这堆钢管旁，如图所示堆放同 样数量的钢管，这时每层都有钢管(4+11)根.

解：法一：∵a5＝10，a12＝31， ∴aa11＋ ＋411dd＝＝1301，， ∴ad1＝＝3－，2. ∴an＝a1＋(n－1)d＝3n－5，∴a20＝3×20－5＝55. 法二：∵a12＝a5＋7d，即 31＝10＋7d，∴d＝3， ∴an＝a12＋(n－12)d＝3n－5， ∴a20＝a12＋8d＝31＋8×3＝55.
an＝_a_1＋__(_n_－__1_)_d__
(二)基本知能小试
1．判断正误
(1)等差数列{an}的单调性与公差 d 有关．
()
(2)根据等差数列的通项公式，可以求出数列中的任意一项． ( )
答案：(1)，首项 a1＝4，公差 d＝－2，则通项公式 an 等于
∵cos 1－cos 0≠cos 2－cos 1，∴该数列不是等差数列．C.∵(3m＋a)
－3m＝(3m＋2a)－(3m＋a)＝(3m＋3a)－(3m＋2a)＝a，∴该数列是等
差数列．D.∵(a＋1)－(a－1)＝(a＋3)－(a＋1)＝2，∴该数列是等差
数列． 答案：ACD
3. 已知 2m 与 n 的等差中项为 5，m 与 2n 的等差中项为 4，则 m 与 n
解：(1)依题意得，a10＝10，a20＝10＋10d＝40，所以 d＝3. (2)a30＝a20＋10d2＝10(1＋d＋d2) ＝10d＋122＋34(d≠0)， 当 d∈(－∞，0)∪(0，＋∞)时，a30∈125，＋∞. (3)所给数列可推广为无穷数列{an}，其中 a1，a2，…，a10 是首项为 1， 公差为 1 的等差数列，当 n≥1 时，a10n，a10n＋1，…，a10(n＋1)是公差 为 dn 的等差数列．
2．[等差数列的函数特性]已知等差数列{an}中，a15＝33，a61＝217，试 判断 153 是不是这个数列的项，如果是，是第几项？ 解：设首项为 a1，公差为 d，则 an＝a1＋(n－1)d， 由已知aa11＋ ＋1651－ －11dd＝ ＝3231， 7， 解得ad1＝＝4－. 23， 所以 an＝－23＋(n－1)×4＝4n－27， 令 an＝153，即 4n－27＝153，解得 n＝45∈N *，所以 153 是所给数

第二章 数列
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2．对等差中项的几点理解
(1)a，A，b成等差数列⇔A－a＝b－A⇔A＝a＋2 b.
(2)如果an－an－1＝an＋1－an(n≥2)，则数列{an}为等差数 列，反之亦然．所以2an＝an－1＋an＋1(n≥2)⇔数列{an}为等差数 列．这种判断一个数列是否为等差数列的方法称为“等差中项
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1．等差数列的定义的理解 (1)“从第2项起”是指第1项前面没有项，无法与后续条件 中“与前一项的差”相吻合． (2)“每一项与它的前一项的差”这一运算要求是指“相邻 且后项减去前项”，强调了：①作差的顺序；②这两项必须相 邻． (3)定义中的“同一常数”是指全部的后项减去前一项都等 于同一个常数，否则这个数列不能称为等差数列．
(3)由等差数列的通项公式可求出数列中的任意一项，也可
判断某数是否为数列中的项及是第几项．
第二章 数列
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1．在数列{an}中，a1＝2,2an＋1－2an＝1，则a101的值为 ()
A．49
B．50
C．51 D．52
第二章 数列
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4．已知三个数成等差数列，它们的和为18，它们的平方
和为116，求这三个数． 解析： 设这三个数分别为 a－d，a，a＋d，
则aa－－dd＋2＋aa＋2＋a＋a＋dd＝2＝181，16.
① ②
由①得 a＝6，代入②，解得 d＝±2.
所以所求的三个数为 4,6,8 或 8,6,4.

第十六页，共25页。
研一研·问题(wèntí)探究、课堂更高
效 例2
已知1a，1b，1c成等差数列，求证：b＋a c，a＋b c，a＋c b也
成等差数列．
证明 ∵1a，1b，1c成等差数列，
本
∴2b＝1a＋1c，即 2ac＝b(a＋c)．
讲 栏 目
∵b＋a c＋a＋c b＝cb＋c＋acaa＋b＝c2＋a2＋acba＋c
开 关
(5)1,2,5,8,11，….
第七页，共25页。
研一研·问题探究(tànjiū)、课堂更 高效
解 (1)是等差数列，a1＝4，d＝3；
(2)是等差数列，a1＝31，d＝－6；
本 讲
(3)是等差数列，a1＝0，d＝0；
栏 目
(4)是等差数列，a1＝a，d＝－b；
开 关
(5)不是等差数列，a2－a1＝1，a3－a2＝3，∴a2－a1≠a3－a2.
高效 探究 若数列{an}满足：an＋1＝an＋2an＋2，求证：{an}是等差
数列．
证明 ∵an＋1＝an＋2an＋2
本
⇔2an＋1＝an＋an＋2
讲 栏
⇔an＋2－an＋1＝an＋1－an
目
开 关
∴an＋1－an＝an－an－1＝…＝a2－a1(常数)．
∴{an}是等差数列．

第十三页，共25页。
跟踪训练 2 已知 a，b，c 成等差数列，那么 a2(b＋c)，b2(c
＋a)，c2(a＋b)是否能构成等差数列？
证明 ∵a，b，c 成等差数列，∴a＋c＝2b.
本 ∴a2(b＋c)＋c2(a＋b)＝a2b＋a2c＋c2a＋c2b
讲 栏
＝(a2b＋c2b)＋(a2c＋c2a)＝b(a2＋c2)＋ac(a＋c)

解析： 数列{an}的公差d＝a1177－－a11＝－121－7－－1 60＝3， ∴an＝a1＋(n－1)d＝－60＋(n－1)×3＝3n－63. 由an<0得3n－63<0，解得n<21. ∴数列{an}的前20项是负数，第20项以后的项都为非负 数． 设Sn，S′n分别表示数列{an}和{|an|}的前n项和， 当n≤20时，S′n＝－Sn＝－－60n＋nn2－1×3 ＝－32n2＋1223n；
可利用配方法求出二次函数的最值来确定Sn的最值，但应注意
n∈N*. ,
2．(1)在数列{an}中，已知an＝2n－49，则Sn取 得最小值时，n＝( )
A．26
B．25
C．24 D．23
(2)若等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝ 29,5a8＝a5－8，则Sn的最大值为________．
解析： (1)由an＝2n－49知a1＝－47，d＝2>0. Sn＝na1＋nn2－1d＝－47·n＋nn2－1×2 ＝n2－48n＝(n－24)2－242 ∴当n＝24时，Sn取得最小值．
解析： 利用等差数列的性质求解． ∵{an}是等差数列，∴a2＋a4＝2a3＝1＋5，∴a3＝3， ∴S5＝5a12＋a5＝5×22a3＝5a3＝5×3＝15.
答案： B
3．在等差数列{an}中，a1＝1，a3＋a5＝14，其 前n项和Sn＝100，则n＝____________.
解析： ∵a3＋a5＝a1＋a7＝14，∴a7＝13. 又a7＝a1＋(7－1)d，∴d＝13－ 6 1＝2. Sn＝na1＋nn－2 1d. ∴n×1＋nn2－1×2＝100. 解得n＝10或n＝－10(舍)．
2a1＋5d＝19， (2)由题设可得5a1＋552－1d＝40， 即a21a＋1＋2d5＝d＝8，19， 解得da＝1＝32，， 故 a10＝2＋3×(10－1)＝29.

an

Sn
S1(n 1) Sn1(n 2)
“小故事”:
高斯是伟大的数学家，天文学家，高斯十岁 时，有一次老师出了一道题目，老师说: “现在 给大家出道题目:
1+2+…100=?”
过了两分钟，正当大家在：1+2=3；3+3=6； 4+6=10… 算 得 不 亦 乐 乎 时 ， 高 斯 站 起 来 回 答 说 ：
解得
a4d
从而这三边的长是
3d, 4d, 5d,
因此，这三条边的长的比是3：4：5
S 练习 1.根据下列条件，求相应的等差数列 a n 的 n
( ( (1 S 2 3 ) 5 ) )a a a S 0 1 1 1 15 0 5 1 0 1 3 2 ,1 a ,0 n a 0 ,(0 d n 5 25 0 9 （ 9 5 0 0 ,2 )5 n 2 5 2 3 0 ,1 ,n 5 )n 1 0 ( .;5 1 2 0 0 ); ;40 2S5 nSSnnn5 1ann0 （ （ n（ aan211221)aadnn))
a 1 a n a 2 a n 1 a 3 a n 2 ，
为回避个数问题，做一个改写
S n a 1 a 2 a 3 a n 2 a n 1 a n ，
S n a n a n 1 a n 2 a 3 a 2 a 1 ，
(则3)在a等m+差a数n=列{aapn+}中a，q 若m+n=p+q（m，n，p，q是正整数），
(4)如果a, A, b 成等差数列,那么A叫做a与b的等差中项.
A ab 2

对于等差数列{ } ，因为 + = + − = ⋯ = +
由上述方法得到启示，我们用两种方式表示
= + + ⋯ +
①
= + − + ⋯ +
②
①+②, 得
= ሺ + ൯ + + − + ⋯ + +


首尾配对要分
奇、偶数讨论
于是有


= + + + ⋯ + = + + + − + ⋯ + +
+


+
= + + + + ⋯+ + =


个

当n是奇数时，有
+
+
= + + + ⋯ + = + + + − + ⋯ +
高斯的算法实际上解决了求等差数列
1，2，3，…，n，… ①
前100项的和的问题.
新知讲解
思考
你能说说高斯在求和过程中利用了数列①的什么性质吗？
答： 高斯在计算中利用了
+ = + = ⋯ = +
这一特殊关系
等差数列中，
下标和相等的
两项和相等
即上节课例5性质的应用
倒序相加法可避免
分类讨论
= + − + − + ⋯ +

星期路程km131619相差3为迎接世界田径锦标赛刘翔的教练为他安排了为期一周的赛前热身逐渐加大慢跑路程前牙反颌和开颌的原因多由于不良喂养方式和吮指等不良习惯造成也可因多颗乳磨牙过早缺失迫使儿童用前牙咀嚼下颌逐渐前伸移位造成
2021/6/27
第二章 数列 2.2 等差数列
第一课时
复习
一、数列的定义，通项公式: 按一定次序排成的一列数叫做数列。一般写成 a1,a2，a3 ,… an,… 如果数列{an}的第n项an与n的关系可以用一个 公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的 通项公式。
首项 a1 p q ，公差为 p。
2021/6/27
5、等差数列的通项及图象特征
思考： 已知数列的通项公式是an pn q (其中p，q是常数），那么这个数列 是否一定是等差数列？
取数列{an}中的任意相邻两项an1与a（n n 2)， an an1 ( pn q) [ p(n 1) q]
2021/6/27
3．等差中项 如果 a, A, b 成等差数列，那么 A 叫做 a 与 b 的
等差中项 . 由等差中项的定义可知， a, A, b 满足关系：
b A A a A a b b 2A a( 或a 2A b ) 2
意义： 任意两个数都有等差中项，并且这个等差中项
是唯一的.当 a=b 时，A = a = b .
注意：上面的命题的逆命题 是不一定成立 的；
= = = 5. 在等差数列{an}中a1+an a2+ an-1 a3+ an-2 …
2021/6/27
思考：已知数列{an}是等差数列，
则数列{bn}为等差数列的是（ D ）
A、bn an B、bn an
C、bn an2

解 由题意 a1 8 d58 n20
a 2 0 8 (2 0 1 ) ( 3 ) 4 9
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例2 请填写表格中的空白局部？
9
2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
9
3
知 “三〞 求 “一〞 思想
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1、等差数列-5，-9，-3 …的第几项 是-401？
分析：要判断-401是不是数列的项，关键 是求出通项公式，并判断是否存在 正整数n，使得 an 401 成立.
2 思想 ① 知“三〞求“一〞的思想. ② 建立方程思想.
3 方法 ① 不完全归纳法、观察法.
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①复习本节知识. ②必做题：课本45页，习题2.2[A]组3，4题. ③必做题：课本40页，习题2.2[A]组1题. ④预习下节内容.
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§ 2.2 等差数列
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例如1 20xx在北京举办第29届奥运会， 第27届，28届是哪一年？
2000,2004，20xx … 例如2 天气突然受冷空气影响每天下降
5度，假设现在温度为30度，得到一组数 列. 30,25,20,15 …
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示例3 请说出每一层三角形个数？
a2 a1 d 即 a2 a1 d.
a3 a2 d 即 a3a2da12d.
a4 a3 d
即 a4
……
a3
d
a1
3d .
当 n2 时 ana2a ?1(21)d
当 n 3 时 a3a1(31)d
当 n4 时 a4a1(41)d
由此得： ana1(n1)d,n N *
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