铸造充型过程数值模拟特征分数步长法
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压铸镁合金罩盖充型过程的数值模拟写一篇3000字的中文文章,以“压铸镁合金罩盖充型过程的数值模拟”为标题,要求:近年来,压铸镁合金零件成为汽车行业和航空航天行业中应用越来越广泛的新型材料,而纳米材料对此又有着重要的影响。
为了研究压铸镁合金罩盖充型过程的精确度,本文以压铸镁合金罩盖充型的传热现象为核心,将数值模拟方法应用于该充型过程,遵循以下步骤进行研究:(1)实验装置及试件的制备。
这一步骤的目的是确定实验装置的结构和材料及试件的要求,包括实验变量的设计、制备件的材料种类及尺寸大小等。
(2)建立数学模型。
在这一步骤中,我们将根据实验装置及试件的材料特性建立压铸镁合金罩盖充型过程的数学模型,包括模拟充型温度场、流场及温度分布的影响等。
(3)数值模拟,采用计算流体力学(CFD)技术,首先通过建立相应的预处理程序进行网格生成,然后使用求解器对建立的数学模型进行求解,以获得所需的物理量在空间上的分布状况以及其它结果。
(4)仿真结果分析。
从仿真结果中可得到充型过程中温度场、流场及温度分布等重要参数的分析,从而探究影响充型精度的因素,以便为压铸镁合金罩盖充型的加工过程的更好的控制提供重要的理论依据。
本文首先介绍了压铸镁合金罩盖充型过程的数学模型及实验装置的制备,然后,通过CFD技术对该数学模型进行数值模拟,最后对仿真结果进行分析,从而探究影响充型精度的因素。
结果表明,压铸镁合金罩盖充型过程受多种因素影响,如型芯形状、工艺参数、模具设计等;另外,使用纳米粉末加工时,由于其特殊的性质,温度场和流场影响也更为明显,对充型精度的影响更大,因此要提高充型精度,必须合理控制相关参数,采用有效的工艺设计和定制的模具,并结合本文的研究结果,运用数值模拟进行多次实验验证,以期达到最佳的充型效果。
综上所述,通过数值模拟研究压铸镁合金罩盖充型过程,对于更好地了解该充型过程的物理机理,提高充型精度,优化充型工艺具有重要意义。
未来的研究工作应该着重于实验与数值模拟的结合,并不断改进压铸镁合金罩盖充型过程的数学模型,以实现充型性能的优化。
钢质圆盘类工件挤压铸造成形过程数值模拟
钢质圆盘类工件挤压铸造是一种重要的金属成形加工方法,其成形过程受多种因素影响,需要通过数值模拟来优化工艺参数和改善成形质量。
本文将采用有限元数值模拟方法,对钢质圆盘类工件挤压铸造成形过程进行模拟。
该数值模拟方法可以较为准确地预测材料的流动情况、变形和应力分布。
首先,我们需要建立有限元模型。
钢质圆盘类工件的几何形状复杂,需要通过计算机辅助设计软件进行三维建模,并将模型导入有限元分析软件中,进一步生成数值模型。
然后,在数值模型中设置物理参数、材料模型、初始条件和边界条件等。
其次,进行数值模拟。
数值模拟过程中,需要使用合适的数值求解方法,对材料流动、变形和应力分布等物理过程进行模拟。
同时,需要根据实际工艺参数进行仿真计算,如挤压速度、温度、压力等。
通过迭代计算过程,可以得到每个时间步长的应变、应力和变形分布情况。
最后,分析和优化结果。
数值模拟得到的应变、应力和变形分布结果可以用于分析成形过程中的缺陷和质量问题,并在此基础上调整工艺参数,提高产品质量。
同时,也可以通过数值模拟来评估不同的工艺参数对于产品质量的影响,以实现成本优化的目的。
综上所述,钢质圆盘类工件挤压铸造成形过程的数值模拟是一种有效的方法,它可以较为准确地预测材料流动、变形和应力分布等物理过程,对于优化工艺参数和提高成形质量具有重要意义。
数值模拟在曲轴铸件工艺优化中的应用
曲轴铸件工艺是一种常用的机械零件制造工艺,其重要的技术要求是材料的分散性和质量的可控性。
为了保证其质量,在曲轴铸件生产过程中,曲轴铸件的工艺参数需要经常进行调节和优化,以获得最优的曲轴铸件产品性能。
数值模拟是一种能够对工艺参数在任意给定情况下的变化及其影响进行计算的现代工程技术,它的特点是精确且速度快,具有自适应的优势。
此外,它还可以模拟复杂场景,恢复曲轴铸件工艺参数和优化的实际概况。
在曲轴铸件工艺优化中,数值模拟的应用(建立一个三维的曲轴模型)能有效帮助我们更客观地理解曲轴的制造过程,从而协助我们优化各类工艺参数,提供更恰当的工艺设计,给出更符合实际的结果。
数值模拟也可以帮助我们理解浇筑及冷却过程,从而帮助我们优化工艺,提高制造质量。
此外,还可以利用数值模拟对变形和强度进行分析,以提高曲轴铸件的可靠性和耐用性。
这一过程可以建立一个三维的曲轴力学模型,帮助企业更加客观地评估各个参数的影响,设计更佳的力学性能过程。
总的来说,数值模拟可以很好地用来帮助企业优化曲轴铸件的工艺,提高曲轴铸件的品质,延长使用寿命。
它的可视化技术可以模拟更复杂的场景,建立可靠的理论模型,从而有效帮助企业降低成本,提高生产效率。
图1曲轴多维振动充型过程Internal Combustion Engine&Parts1.3不同振动参数对曲轴充型能力的影响研究不同振动参数对铸件充型能力的影响,采用控制变量法,分析该因素对颗粒在型腔中充型距离的影响程度,从而间接表征该因素对金属液充型能力的影响。
本文将选择在相同浇注速度和相同模拟总步数的条件下,分析颗粒在型腔中的充型距离,从而进一步用来判断金属液在型腔中充型能力的大小。
1.3.1振动自由度的影响振动自由度的类型有单自由度(X、Y、Z),两自由度(XY、XZ、YZ)和三自由度(XYZ)三种。
本文选取f=50Hz,A=0.5mm来研究振动自由度对曲轴充型过程的影响,结果如表2所示。
当振动自由度DOF=3时,颗粒充型距离取得最大值,说明颗粒充型距离随振动自由度的增加而增加。
自由度充型距离/mm最远位置型腔内的颗粒数X Y Z XY XZ YZ XYZ3003613003614014014467621274710表2不同振动自由度下颗粒的充型距离1.3.2振动频率的影响由表2可知,当自由度DOF=3时,充型距离取得最大值,故本实验取DOF=3,A=0.5mm来研究振动频率对曲轴充型能力的影响,结果如表3所示。
当振动频率f=50Hz 时,颗粒充型距离取得最大值。
若进一步增加振动频率,金属液产生紊流的可能性增大,反而会使得金属液的充型能力降低。
振动频率/Hz充型距离/mm最远位置型腔内的颗粒数10 20 30 40 50 60235300361426446401325963832表3不同振动频率下颗粒的充型距离1.3.3振动幅度的影响由表3可知,当DOF=3、f=50Hz时充型距离取得最大值,故本次实验取DOF=3、f=50Hz来研究振动幅度对曲轴充型能力的影响。
由表4可知,当振动幅度A=0.5mm时,颗粒充型距离达到最大值。
表4不同振动幅度下颗粒的充型距离振幅/mm充型距离/mm最远位置型腔内的颗粒数0.1 0.2 0.3 0.5 0.6 0.7235361426491466466-16838211.4模拟实验研究的结果为减少实验次数,提高实验数据的可信度,本文采用正交试验法来确定振动自由度、振动频率、振动幅度等因素对铸件充型能力的影响程度,令B为振动自由度;令C 为振动频率;令D为振动幅度,实验方案采用L9(34)的正交试验表,如表5所示,采用正交试验得出最佳的实验方案为B3C3D1,各参数对颗粒充型距离影响大小的顺序依次为振动频率、振动自由度、振动幅度。
《挤压铸造过程数值模拟及工艺优化》篇一一、引言挤压铸造是一种重要的金属铸造工艺,广泛应用于各种工程领域。
为了更精确地掌握和控制挤压铸造过程,提升产品的质量、降低成本、优化工艺参数,进行数值模拟及工艺优化至关重要。
本文将对挤压铸造过程进行数值模拟,并通过分析模拟结果来探讨其工艺优化。
二、挤压铸造过程数值模拟1. 模型建立在挤压铸造过程中,模型建立是数值模拟的基础。
通过CAD 软件建立铸件、模具及挤压装置的三维模型,并导入有限元分析软件中。
在模型中考虑材料的物理性能、热传导性能、流变特性等关键因素。
2. 材料选择与参数设置根据所使用的合金材料和实际生产要求,设置合适的材料参数。
这些参数包括材料密度、比热容、热导率等,对于流动性和热物理性质的不同阶段要详细描述。
此外,挤压铸造过程中压力、温度等关键工艺参数也需根据实际进行设置。
3. 数值模拟过程利用有限元分析软件对挤压铸造过程进行数值模拟。
这一过程包括模具填充、冷却凝固、压力释放等关键阶段。
通过数值模拟可以观察材料在各个阶段的流动状态、温度分布以及应力变化等。
三、工艺优化探讨1. 填充过程优化通过数值模拟结果,可以观察到铸件在填充过程中的流动状态。
针对流动不均匀或出现涡流等问题,可以通过调整模具设计、改变浇注速度和压力等措施进行优化。
同时,合理的填充顺序和速度控制也是提高产品质量的关键因素。
2. 冷却凝固过程优化冷却凝固是决定铸件质量的重要环节。
通过数值模拟分析,可以找出温度梯度较大的区域和潜在的热应力集中点。
根据这些信息,可以调整冷却速率和模具温度分布,以改善铸件的凝固过程和力学性能。
3. 工艺参数优化工艺参数的优化包括压力、温度、时间等关键因素的调整。
通过数值模拟分析,可以确定最佳的工艺参数组合,以提高产品质量、降低成本和减少生产周期。
同时,根据生产需求和市场反馈,可以不断调整和优化这些参数,以适应市场的变化。
四、实际生产中的效果与应用通过在生产实践中应用数值模拟的结果和工艺优化的方法,可以实现更好的产品设计和制造。
铸造过程的数值模拟1零件分析本次铸造过程的数值模拟所用的零件为方向盘,该零件结构复杂,并且在实际使用过程中,需要承受较大的扭转力,因此选用镁合金并采用压铸工艺。
此项工作需要在方向盘上建立合适的浇注系统和溢流槽,进行充型模拟,得到合理的压铸方案。
在建立浇注系统之前,需要合理选择分型面,然后选择浇注系统的内浇口位置,待浇注系统建立好之后,进行一次预模拟,从而确定溢流槽的数量和位置。
2工艺设计2.1浇注系统该铸件的分型面为铸件的最大截面,选定的浇注系统在铸件上的位置如下图所示。
rr 口斗+带〒 *”斗-T已知数据有:压室直径60mm,压室速度0.1m/s-3m/s,铸件材料AM50A,方向盘质量595g,压射温度685C。
查表取值:AM50A 镁合金密度1.75g/cm3;充填时间t= 0.05s;内浇口厚度b=2.5mm ;取充填速度v仁50m/s。
铸件的体积v= — = —95 =340000mm 3; P 1.75根据经验,可以取溢流槽的体积为铸件体积的10%,则溢流槽的体积v^ 34000mm3。
计算内浇口面积(V铸件+ V溢流槽)vt 二340 34-50 0.05二149.62mm内浇口宽度s c2 b冲头速度4v 1s 4x 50 x149.6 “ , V222.65 m / snd兀汽60横浇道选用等宽横浇道厚度 bh=10mm ,斜度10°,宽度B=( 1.25-3)An/bh ;圆角半径 r=2mm ,横浇道宽2度为 30mm 。
增压时间 k=1.5s ,:=0.005 t = k : b 1.5 0.005 9 = 0.0675s 直浇道的设计因为压室直径为60mm ,因此可以将直浇道与压室相连处的直径设计为 60mm ,直浇道的高度为40mm ,拔模斜度为5 °。
2.2排溢系统根据前面所述,溢流槽的总体积设计为铸件总体积的10%,则v^ 34000mm 3。
铸造凝固过程数值模拟时间:2007-4-11 9:03:441.1 概述在铸造生产中,铸件凝固过程是最重要的过程之一,大部分铸造缺陷产生于这一过程。
凝固过程的数值模拟对优化铸造工艺,预测和控制铸件质量和各种铸造缺陷以及提高生产效率都非常重要。
凝固过程数值模拟可以实现下述目的:1)预知凝固时间以便预测生产率。
2)预知开箱时间。
3)预测缩孔和缩松。
4)预知铸型的表面温度以及内部的温度分布,以便预测金属型表面熔接情况,方便金属型设计。
5)控制凝固条件。
6)为预测铸应力,微观及宏观偏析,铸件性能等提供必要的依据和分析计算的基础数据。
铸件凝固过程数值模拟开始于60年代,丹麦FORSU ND把有限差分法第一次用于铸件凝固过程的传热计算。
之后美国HEN ZEL和KE UERIAN应用瞬态传热通用程序对汽轮机内缸体铸件进行数值计算,得出了温度场,计算结果与实测结果相当接近。
这些尝试的成功,使研究者认识到用计算数值模拟技术研究铸件的凝固过程具有巨大的潜力和广阔的前景。
于是世界上许多国家都相继开展了铸件凝固过程数据模拟以及与之相关的研究工作。
1.2 数学模型的建立和程序设计液态金属浇入铸型,它在型腔内的冷却凝固过程是一个通过铸型向环境散热的过程。
在这个过程中,铸件和铸型内部温度分布要随时间变化。
从传热方式看,这一散热过程是按导热、对流及辐射三种方式综合进行的。
显然,对流和辐射的热流主要发生在边界上。
当液态金属充满型腔后,如果不考虑铸件凝固过程中液态金属中发生的对流现象,铸件凝固过程基本上看成是一个不稳定导热过程。
因此铸件凝固过程的数学模型正是根据不稳定导热偏微分方程建立的。
但还必须考虑铸件凝固过程中的潜热释放。
基于分析和计算模型开发相应的程序,即可实现铸造凝固过程温度场的计算。
压铸镁合金罩盖充型过程的数值模拟在产品质量追求和制造过程优化的要求下,采用数值模拟的方法来研究压铸镁合金罩盖的充型过程是一个重要的课题。
在材料科学和工程学上,模拟这一过程可以帮助理解充型过程中材料的内部结构,从而有助于改善产品质量和提高生产效率,减少材料和能量的消耗。
首先要做的是将实际压铸罩盖充型过程进行可比较的数学建模,以便可以对罩盖的成形的各个环节进行详细模拟。
为此,必须明确物理和数学模型及其参数,该模型必须充分反映充型过程各阶段的物理现象,这是本文的关键。
其次要建立材料和热力学性能参数库,建立合金分子结构参数模型,探究充型过程中材料的特征,以及计算机模拟铸件充型过程的压力和温度变化规律。
在建立合适的物理模型和数学模型的基础上,必须建立罩盖充型的数值模拟系统,使用微机模拟工具,如ANSYS、ADAMS、ABAQUS等,可以用来模拟罩盖形成的过程,以满足现代铸造工艺的设计要求。
该系统的特点是能够计算压铸过程中物料的流动、变形特性、转矩和力调节物料排放过程,从而模拟印模和材料之间的相互作用,解决模具填充等问题。
本文中,将使用Terahertz(THz)技术来测量充型过程。
Terahertz 技术是一种新兴的谱成像技术,采用激光发射爆发技术,通过物质中微弱的发光信号,对被测物质的表面材料进行定性分析。
在压铸罩盖充型模拟中,THz技术可以检测材料的可塑性参数,以便揭示材料的变形机理,检测变形的比例、热力学分析、粘度、流动及非均匀变形等过程,有助于深入了解变形机理。
本文进一步采用多尺度数值模拟方法,对压铸镁合金罩盖的充型过程进行系统研究,分析及改进压铸镁合金罩盖的充型过程,以满足质量追求和生产的要求。
该方法可以更深入地探索压铸罩盖的变形特性,分析及调节各阶段的变形过程,并结合Terahertz技术对充型过程有所帮助,以便真实、准确地反映实际变形过程。
压铸镁合金罩盖充型过程的模拟是一个复杂的技术,必须结合模拟技术、实验测试和实践进行多方面考虑,才能取得较好的设计效果,发展较为成熟的数值模拟技术,有助于提高制造技术的水平。
收稿日期:!""#$%!$!&基金项目:国家自然科学基金(’"#(’""&)、江西省自然科学基金("&’"""’)和华中科技大学塑性成形模拟及模具技术国家重点实验室开放基金("#$))资助项目。
第一作者简介:袁有录(%*+($),男,青海乐都人,硕士研究生,研究方向金属精确成型及数值模拟。
,-%%!铝合金压铸充型凝固过程的数值模拟袁有录,闫洪,揭小平,陈国香(南昌大学,江西南昌&&""!*)摘要:简要介绍充型凝固过程数值模拟的实际意义,分析了充型凝固过程数值模拟的特点,利用建立的数学模型对,-%%!铝合金压铸件进行了模拟。
通过对模拟结果的分析,预测了铸件在充型凝固过程中可能形成的缺陷,基本上与实际相符,并对现行的工艺方案提出了一些改进措施。
关键词:充型凝固;数值模拟;,-%%!铝合金中图分类号:./!*!文献标识码:0文章编号:%""+$+!&’(!""’)"#$""!’$"#!"#$%&’()*&#")(+&,-,./,)01&))&-2(-0*,)&0&.&’(+&,-3%,’$44,.(-56%%!7)"#&-"#7)),8&-3%$44"%$9&$:(4+&-2,102,34564,,027389,:;<=>?35@>89,A7<2/435B>?89(!(-’;(-2<-&=$%4&+8,!(-’;(-2>>??@A ,:;&-()7B4+%(’+:.CD 84EDF>G?6H>E46?I>38H 3J E36K J>66>89?8K H36>K>J>G?I>38@F3GDHH J3F ICD ,-%%!?64E>84E ?663L MDFD K38D NL ICD H4@5@3HDK E?ICDE?I>G?6E3KD6O.CD G?HI>89KDJDGIH >8ICD @F3GDHH 3J E36K J>66>89?8K H36>K>J>G?I>38MDFD @FDK>GIDK NL ICD FDH46I 3J ICD G?HI>89H>E46?I>38O .CD G?HI>89KDJDGIH 3J H>E46?I>38?FD MD66G3E@?FDK M>IC ICD @F?GI>GDO P3ED ED?H4FDH @FDHD8IDK MDFD >E@F3QDK J3F ICD DB>HI>89IDGC83639>G?6@F3GDHHOC$8D,%04:E36K J>66>89?8K H36>K>J>G?I>38;84EDF>G?6H>E46?I>38;,-%%!?64E>84E ?663L在压铸生产中,许多铸造缺陷,如浇不足、冷隔、裂纹、缩孔和疏松等都在铸件的充型凝固过程中产生,该过程对铸件的最终质量起着决定性作用。
金属铸锻焊技术 Casting ·Forging ·Welding上半月出版随着计算机技术的飞速发展 , 铝合金的铸造发展步入了计算机数值模拟时代。
利用高性能的计算机 , 铸造工厂和工程师可以对铝合金铸造过程进行仿真模拟 , 在实际生产前对铸造工艺参数进行验证或优化 , 对铸造结果和缺陷可以做到预先的了解 , 从而可以大大缩短工艺试验周期、确保铸件质量、提高工艺出品率、降低生产成本和废品损失 , 对实际生产有着极高的使用价值 [1]。
铝合金铸造过程中的充型凝固过程对产品的质量和性能起着至关重要的作用 , 国内外的学者经过数十年的研究 , 取得了很大的进展。
1铝合金铸件充型过程数值模拟与算法铝合金的铸造缺陷如浇不足、卷气、缩松缩孔等都与液态金属的充型过程有关 , 因此对充型过程进行数值模拟非常必要。
金属液充型过程的流动过程非常复杂 , 准确描述金属液的流动是对流场进行模拟的关键 , 为此国内外的学者提出了很多有意义的计算方法 , 以期能够准确地对金属液的充型流动进行描述 , 最终达到对过程分析的目的。
从 20世纪 60年代开始 , 国内外学者对铸件的充型过程进行了大量的研究 , 在数学模型的建立、算法的实现、计算效率的提高以及工程使用化方面均取得了重大突破 [2]。
1972年由 Minnesota 大学的 Patankar 和 Spalding 提出了 SIMPLE 算法 , 该算法是对利用质量守恒方程使假定的压力场能不断地随迭代过程进行的改进 , 在不可压缩流体的动量方程数值铝合金铸造充型凝固数值模拟的研究现状与发展康道安 1, 杨屹 1, 吴敏 2, 邵京城 2, 卢东 1, 曾斌 1(1.四川大学制造科学与工程学院 , 四川成都 610065; 2. 湖北 3611机械厂 , 湖北襄樊 441002摘要 :铸造过程的计算机数值模拟是当前重要的研究方向 , 而铸件的充型凝固过程是整个模拟过程中的难点之一。
Charecteristics Fractional Step Method for Melt FlowSimulation in Casting Process1Lu Tongchao, Ge LiangSchool of Mathematics and System Sciences, Shandong University Jinan (250100)E-mail:lutc@AbstractA computational model on the melt flow simulation in casting process is partial differential equations which include the continuous equation and the momentum equation . We use the fractional step method to deal with the momentum equation. The compution is divided into two steps. In the first step, we use the characteristics finite difference method to compute the intermediate value. In the second step, we gain the possion equation of the pressure with help of the continuous equation; the equation is solved with the iterative method. The convergence and the stability of the equation are analyzed in this paper. Keywords: the fractional step method; method of characteristics; convergence; iterative1IntroductionThe substance of casting process is to pour the liquid metal into the mold cavity and make it cool and freeze. The filling of liquid metal is the first phase of the form of casting. A lot of defects such as cold cut, impurity or gas entrapment and the mould erosion are formed in mould filling. So it is important for gaining the high grade casting to know the process of mould filling. But owing to the complexity of the mould filling, people only had to gain the experiental rule by a lot of experiments for the mould filling. Now along with the development of computer, the melt flow simulation in casting process makes great progress[4].In simulation of the mould filling the fluid flow phenomena are governed by a set of non-linear equations. We could use the numerical methods such as finite element or finite difference to solve the Navier-Stokes equation, and gain the flowing role of liquid. In earlier studies, Chorin(1968) and Teman(1969)[6 ] had brought forward the projection method independently. In 1972 Patankar and Spalding [13 ]brought forward the simple method. And then the simplec method had also been brought forward, and Raithby[11 ] gave the simplex method, Sheng [12 ]gave the simplet method.In this article A computational model on the melt flow simulation in casting process is partial differential equations which include the continuous equation and the momentum equation . We use the fractional step method to deal with the momentum equation. The compution is divided into two steps. In the first step, we use the characteristics finite difference method to compute the intermediate value. In the second step, we gain the possion equation of the pressure with help of the continuous equation; the equation is solved with the iterative method. The convergence and the stability of the equation are analyzed in this paper.2Mathematical modelsIn simulation of the mould filling the fluid flow phenomena are governed by mass and momentum conservation equations that can be described as follows [10 ](a) The momentum equations for the liquid phase are as follows:1 Support by Research Fund for Doctoral of High Education by China State Educationg Ministry(20030422049)1x u p V u g u tx μρρ∂∂∂∂=−⋅−++Δr " (2.1)1y v p V v g v t y μρρ∂∂=−⋅−++Δ∂∂r " (2.2)where ,()x y ,∈Ω(0]t J T ∈=,V ui vj =+r r ris the velocity vector, is the pressure, p x g and y g are the body accelerationcomponents, ρ is the average density and μ is the viscosity. (b) The continuity equation for the liquid region is()0V tρρ∂+⋅=∂r " (2.3)[()]()l s l lf V f V tρρρ−∂0+⋅+⋅=∂r r "" (2.4)where sf ,lf are solid and liquid fractions respectively, and ss l l ff ρρρ+=,. Inthis article the molten metal could be seen as the incompressible liquid. And also assume that themolten metal would not solidity before the end of the mold filling. Then the equation could be simplified as 1s l f f +=0u vV x y∂∂⋅=+=∂∂r " (2.5)(c)The velocity boundary conditions for the liquid region areThe wall boundary and the free surface boundary are included in the velocity boundary conditions. In the situation of wall boundary, the velocity in the vertical orientation to the wall is equal to zero. The velocity in the free surface boundary is demand to meet the continuity equation.0u v V x y∂∂⋅=+=∂∂r" Series of iris images, includin3 fractional step characteristics finite difference schemeDivide the domain , the steps in x-direction and y-direction are Ωx Δ,, nodey Δi x i x =Δ,. We will consider a time step j y j =Δy T Nt Δ= and approximate the solution at times, where 。