3.3.1 几何概型

3.3.1几何概型[课标解读]1.理解几何概型的定义及特点．(重点)2.掌握几何概型的计算方法和求解步骤，准确地把实际问题转化为几何概型问题．(难点)3.与长度、角度有关的几何概型问题．(易混点)知识点几何概型[提出问题]每逢节假日，各大型商场竞相出招，吸引顾客，其中某商场设立了一个可以自由转动的转盘，规定顾客消费100元以上，就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针正好对准①、②或③区域，顾客就可以分别获得100元、50元、20元的购物券(转盘被等分成20个扇形)，一位顾客消费了120元．问题1：这位顾客获得100元购物券的概率与什么因素有关？提示：与标注①的小扇形个数多少(面积大小)有关．问题2：在该实例试验中，试验结果有多少个？其发生的概率相等吗？提示：试验结果有无穷多个，但每个试验结果发生的概率相等．问题3：如可计算该顾客获得100元购物券的概率？提示：用标注①的扇形面积除以圆的面积．[导入新知]1．几何概型的定义如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型．2．几何概型的特点(1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个．(2)每个基本事件出现的可能性相等．3．几何概型概率公式在几何概型中，事件A的概率的计算公式为：P(A)＝构成事件A的区域长度(面积或体积)试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积).[化解疑难]理解几何概型应关注三点(1)几何概型中，每个基本事件在一个区域内均匀分布，所以随机事件概率的大小与随机事件所在区域的形状、位置无关，只与区域的大小有关．(2)如果随机事件所在区域是一个单点，由于单点的长度、面积、体积均为0，则它出现的概率为0，但不是不可能事件．(3)如果一个随机事件所在的区域是全部区域扣除一个单点，则它出现的概率为1，但不是必然事件．题型一与长度有关的几何概型[例1] (1)在区间[－1,2]上随机取一个数x ，则|x |≤1的概率为________．【解析】∵区间[－1,2]的长度为3，由|x |≤1得x ∈[－1,1]，而区间[－1,1]的长度为2，x 取每个值为随机的，∴在[－1,2]上取一个数x ，|x |≤1的概率P ＝23.【答案】23(2)某汽车站每隔15 min 有一辆汽车到达，乘客到达车站的时刻是任意的，求一位乘客到达车站后等车时间超过10 min 的概率．解 设上一辆车于时刻T 1到达，而下一辆车于时刻T 2到达，则线段T 1T 2的长度为15，设T 是线段T 1T 2上的点，且T 1T ＝5，T 2T ＝10，如图所示．记“等车时间超过10 min”为事件A ，则当乘客到达车站的时刻t 落在线段T 1T 上(不含端点)时，事件A 发生．∴P (A )＝T 1T 的长度T 1T 2的长度＝515＝13，即该乘客等车时间超过10 min 的概率是13.[类题通法]1．几何概型概率问题的一般步骤(1)选择适当的观察角度(一定要注意观察角度的等可能性)； (2)把基本事件转化为与之对应的区域D ； (3)把所求随机事件A 转化为与之对应的区域I ； (4)利用概率公式计算．2．与长度有关的几何概型问题的计算公式如果试验的结果构成的区域的几何度量可用长度表示，则其概率的计算公式为： P (A )＝构成事件A 的区域长度试验的全部结果所构成的区域长度.[活学活用]一个路口的红灯亮的时间为30秒，黄灯亮的时间为5秒，绿灯亮的时间为40秒，当你到达路口时，看见下列三种情况的概率各是多少？(1)红灯亮； (2)黄灯亮；(3)不是红灯亮．解 在75秒内，每一时刻到达路口亮灯的时间是等可能的，属于几何概型．(1)P ＝红灯亮的时间全部时间＝3030＋40＋5＝25.(2)P ＝黄灯亮的时间全部时间＝575＝115.(3)P ＝不是红灯亮的时间全部时间＝黄灯亮或绿灯亮的时间全部时间＝4575＝35，或P ＝1－P (红灯亮)＝1－25＝35.题型二与面积有关的几何概型[例2] (1)有四个游戏盘，如果撒一粒黄豆落在阴影部分，则可中奖，小明希望中奖，他应 当选择的游戏盘为( )(2)ABCD 为长方形，AB ＝2，BC ＝1，O 为AB 的中点，在长方形ABCD 内随机取一点，取到的点到O 的距离大于1的概率为( )A ．π4B ．1－π4C ．π8D ．1－π8【解析】(1)根据几何概型的面积比，A 中中奖概率为38，B 游戏盘的中奖概率为13，C 游戏盘的中奖概率为(2r )2－πr 2(2r )2＝4－π4，D 游戏盘的中奖概率为r 2πr 2＝1π，故A 游戏盘的中奖概率最大．(2)长方形面积为2，以O 为圆心，1为半径作圆，在矩形内部的部分(半圆)面积为π2，因此取到的点到O 的距离小于1的概率为π2÷2＝π4，取到的点到O 的距离大于1的概率为1－π4.【答案】(1)A (2)B[类题通法]1．与面积有关的几何概型的概率公式如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用面积表示，则其概率的计算公式为：试验的全部结果所构成的区域面积2．解与面积相关的几何概型问题的三个关键点(1)根据题意确认是否是与面积有关的几何概型问题；(2)找出或构造出随机事件对应的几何图形，利用图形的几何特征计算相关面积； (3)套用公式，从而求得随机事件的概率． [活学活用]在平面直角坐标系xOy 中，设M 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，E 是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向M 中随机投一点，则所投的点落入E 中的概率是________．【解析】如图，区域M 表示边长为4的正方形ABCD 的内部(含边界)，区域E 表示单位圆及其内部，因此P ＝π×124×4＝π16.【答案】π16题型三与角度有关的几何概率[例3] 在等腰直角三角形ABC 中，过直角顶点C 在∠ACB 内部任意作一条射线CM ，与线段AB 交于点M .求AM ＜AC 的概率．解 如图，在AB 上取AC ′＝AC ，连接CC ′，则∠ACC ′＝180°－45°2＝67.5°.设A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫在∠ACB 内部任意作一条射线CM ，与线段AB 交于点M ，AM ＜AC ，则所有可能结果的区域角度为90°，事件A 的区域角度为67.5°，∴P (A )＝67.5°90°＝34.[类题通法]与角度有关的几何概型概率的求法(1)如果试验的所有结果构成的区域的几何度量可用角度表示，则其概率的计算公式为试验的全部结果构成的区域角度(2)解决此类问题的关键是事件A 在区域角度内是均匀的，进而判定事件的发生是等可能的． [活学活用]如图，在平面直角坐标系中，射线OT 为60°角的终边，在任意角集合中任取一个角，则该角终边落在∠xOT 内的概率是( )A.16B.23C.13D.160【解析】如图，∵在任意角集合中任取一个角，则该角终边落在∠xOT 内对应的角度为60度，而整个角集合对应的角度为圆周角，∴该角终边落在∠xOT 内的概率P ＝60360＝16，故选A.【答案】A题型四与体积有关的几何概型[例4] (1)在一球内有一棱长为1的内接正方体，一点在球内运动，则此点落在正方体内部的概率为( )A.6πB.32πC.3πD.233π【解析】由题意可得正方体的体积为V 1＝1.又球的直径是正方体的对角线，故球的半径R ＝32.球的体积V 2＝43πR 3＝32π.这是一个几何概型，则此点落在正方体内的概率为P ＝V 1V 2＝132π＝233π. 【答案】D(2)已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1内有一个内切球O ，则在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1内任取点M ，点M 在球O 内的概率是________．【解析】设正方体的棱长为2.正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1的内切球O 的半径是其棱长的一半，其体积为V 1＝43π×13＝4π3.则点M 在球O 内的概率是4π323＝π6.【答案】π6[类题通法]与体积有关的几何概型概率的求法如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用体积表示，则其概率的计算公式为 P (A )＝构成事件A 的区域体积试验的全部结果所构成的区域体积.[活学活用]有一个底面圆的半径为1、高为2的圆柱，点O 为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P ，求点P 到点O 的距离大于1的概率．解 圆柱的体积V 圆柱＝π×12×2＝2π是试验的全部结果构成的区域体积．以O 为球心，1为半径且在圆柱内部的半球的体积V 半球＝12×4π3×13＝2π3，则构成事件A “P到点O 的距离大于1”的区域体积为2π－2π3＝4π3，由几何概型的概率公式得P (A )＝4π32π＝23.多维探究 几何概型中的交汇性问题[典例] 设关于x 的一元二次方程x 2＋2ax ＋b 2＝0，若a 是从区间[0,3]上任取的一个数， b 是从区间[0,2]上任取的一个数，求上述方程有实根的概率．[解题指导] 设事件A 为“方程x 2＋2ax ＋b 2＝0”有实根． 则Δ＝4a 2－4b 2≥0，即a 2≥b 2. 又∵a ≥0，b ≥0. ∴a ≥b .试验的全部结果所构成的区域为{(a ，b )|0≤a ≤3，0≤b ≤2}，而构成事件A 的区域为{(a ，b )|0≤a ≤3,0≤b ≤2，a ≥b }，即如图所示的阴影部分．所以，P (A )＝3×2－12×223×2＝23.[多维探究]几何概型与其他知识的交汇问题，以其新颖性、综合性而渐成为命题者的一个重要着眼点，本题是以方程的根为依托考查了与面积有关的几何概型的求法，另外，几何概型还常与集合、解析几何等问题相交汇命题，出现在试卷中． [角度一] 几何概型与集合的交汇问题已知集合M ＝{}x ，y |x ＋y ≤8，x ≥0，y ≥0，N ＝{}x ，y |x －3y ≥0，x ≤6，y ≥0，若向区域M 随机投一点，则点P 落入区域N 的概率为( )A.13 B.12C.38D.316【解析】根据题设中的集合的意义，在平面直角坐标系中分别画出区域M 和N ，可分别计算区域M 和N 的面积，进而求解．将集合M 和N 所表示的区域在直角坐标系中画出，如图，则区域M 的面积S ＝12×8×8＝32，区域N 的面积S ′＝12×6×2＝6，所以点P 落入区域N 的概率为P ＝632＝316，故选D.【答案】D[角度二] 几何概型与解析几何的交汇问题已知圆C ：x 2＋y 2＝12，直线l ：4x ＋3y ＝25. (1)求圆C 的圆心到直线l 的距离．(2)求圆C 上任意一点A 到直线l 的距离小于2的概率． 解 (1)由点到直线l 的距离公式可得d ＝2542＋32＝5. (2)由(1)可知圆心到直线l 的距离为5，要使圆上点到直线的距离小于2，设与圆相交且与直线l 平行的直线为l 1，其方程为4x ＋3y ＝15.则符合题意的点应在l 1：4x ＋3y ＝15与圆相交所得劣弧上，由半径为23，圆心到直线l 1的距离为3可知劣弧所对圆心角为π3.故所求概率为P ＝π32π＝16.[随堂即时演练]1．下列概率模型中，几何概型的个数为( )①从区间[－10,10]内任取出一个数，求取到1的概率；②从区间[－10,10]内任取出一个数，求取到绝对值不大于1的数的概率； ③从区间[－10,10]内任取出一个整数，求取到大于1而小于2的数的概率；④向一个边长为4 cm 的正方形ABCD 内投一点P ，求点P 离中心不超过1 cm 的概率． A ．1 B ．2 C ．3D ．4【解析】①不是几何概型，虽然区间[－10,10]有无限多个点，但取到“1”只是一个数字，不能构成区域长度；②是几何概型，因为区间[－10,10]和[－1,1]上有无限多个数可取(满足无限性)，且在这两个区间内每个数被取到的机会是相等的(满足等可能性)；③不是几何概型，因为区间[－10,10]上的整数只有21个(是有限的)，不满足无限性特征；④是几何概型，因为在边长为4 cm 的正方形和半径为1 cm 的圆内均有无数多个点，且这两个区域内的任何一个点都有相等可能被投到，故满足无限性和等可能性． 【答案】B2．如图所示，在一个边长为a ，b (a ＞b ＞0)的矩形内画一个梯形，梯形上、下底长分别为a 3与a2，高为b .向该矩形内随机地投一点，则所投的点落在梯形内部的概率为( )A.112B.14C.512D.712【解析】S 矩形＝ab ，S 梯形＝12(13a ＋12a )b ＝512ab .故所投的点在梯形内部的概率为P ＝S 梯形S 矩形＝512abab ＝512.【答案】C3．方程x 2＋x ＋n ＝0(n ∈(0,1))有实根的概率为________【解析】由于方程x 2＋x ＋n ＝0(n ∈(0,1))有实根，∴Δ≥0，即1－4n ≥0，∴n ≤14，又n ∈(0,1)，∴有实根的概率为P ＝141－0＝14.【答案】144．在400毫升自来水中有一个大肠杆菌，今从中随机取出2毫升水样放到显微镜下观察，则发现大肠杆菌的概率为________．【解析】大肠杆菌在400毫升自来水中的位置是任意的，且结果有无限个，属于几何概型．设取出2毫升水样中有大肠杆菌为事件A ，则事件A 构成的区域体积是2毫升，全部试验结果构成的区域体积是400毫升，则P (A )＝2400＝0.005.【答案】0.0055．已知一只蚂蚁在边长为4的正三角形内爬行，求此蚂蚁到三角形三个顶点的距离均超过1的概率．解 设正三角形ABC 的边长为4，其面积为4 3.分别以A ，B ，C 为圆心，1为半径在△ABC 中作扇形，除去三个扇形剩下的部分即表示蚂蚁距三角形三个顶点的距离均超过1的区域，其面积为43－3×12×π3×12＝43－π2，故所求概率P ＝43－π243＝1－ 3 π24.。