习题一：1.1 写出下列随机实验的样本空间：(1) 某篮球运动员投篮时, 连续5 次都命中, 观察其投篮次数。
解：连续5 次都命中，至少要投5次以上，故}{ ,7,6,51=Ω； (2) 掷一颗匀称的骰子两次, 观察前后两次出现的点数之和。
解：}{12,11,4,3,22 =Ω；(3) 观察某医院一天内前来就诊的人数。
解：医院一天内前来就诊的人数理论上可以从0到无穷，所以}{,2,1,03=Ω；(4) 从编号为1，2，3，4，5 的5 件产品中任意取出两件, 观察取出哪两件产品。
解：属于不放回抽样，故两件产品不会相同，编号必是一大一小，故：()}{;51,4≤≤=Ωj i j i (5) 检查两件产品是否合格。
解：用0 表示合格, 1 表示不合格，则()()()()}{1,1,0,1,1,0,0,05=Ω；(6) 观察某地一天内的最高气温和最低气温(假设最低气温不低于T1, 最高气温不高于T2)。
解：用x 表示最低气温, y 表示最高气温。
考虑到这是一个二维的样本空间，故：()}{216,T y x T y x ≤≤=Ω ；(7) 在单位圆内任取两点, 观察这两点的距离。
解：}{207 x x =Ω；(8) 在长为l 的线段上任取一点, 该点将线段分成两段, 观察两线段的长度. 解：()}{l y x y x y x =+=Ω,0,0,8 ； 1.2(1) A 与B 都发生, 但C 不发生。
C AB ；(2) A 发生, 且B 与C 至少有一个发生。
)(C B A ⋃； (3) A,B,C 中至少有一个发生。
C B A ⋃⋃；(4) A,B,C 中恰有一个发生。
C B A C B A C B A ⋃⋃； (5) A,B,C 中至少有两个发生。
BC AC AB ⋃⋃； (6) A,B,C 中至多有一个发生。
C B C A B A ⋃⋃；(7) A 。
B 。
C 中至多有两个发生。
ABC(8) A,B,C 中恰有两个发生.C AB C B A BC A ⋃⋃ ； 注意：此类题目答案一般不唯一，有不同的表示方式。
1.3 设样本空间}{20≤≤=Ωx x , 事件A =}{15.0≤≤x x ,}{6.18.0≤=x x B 具体写出下列各事件：(1) AB 。
(2) B A - 。
(3) B A -。
(4) B A ⋃ （1）AB }{18.0≤=x x ； (2) B A -=}{8.05.0≤≤x x ；(3) B A -=}{28.05.00≤⋃≤≤x x x 。
(4) B A ⋃=}{26.15.00≤⋃≤≤x x x1.6 按从小到大次序排列)()(),(),(),(B P A P AB P B A P A P +⋃, 并说明理由.解：由于),(,B A A A AB ⋃⊆⊆故)()()(B A P A P AB P ⋃≤≤，而由加法公式，有：)()()(B P A P B A P +≤⋃1.7解：(1) 昆虫出现残翅或退化性眼睛对应事件概率为：175.0)()()()(=-+=⋃WE P E P W P E W P(2) 由于事件W 可以分解为互斥事件E W WE ,，昆虫出现残翅, 但没有退化性眼睛对应事件 概率为：1.0)()()(=-=WE P W P E W P(3) 昆虫未出现残翅, 也无退化性眼睛的概率为：825.0)(1)(=⋃-=E W P E W P . 1.8解：(1) 由于B AB A AB ⊆⊆,，故),()(),()(B P AB P A P AB P ≤≤显然当B A ⊆时P(AB)取到最大值。
最大值是0.6.(2) 由于)()()()(B A P B P A P AB P ⋃-+=。
显然当1)(=⋃B A P 时P(AB) 取到最小值，最小值是0.4. 1.9解：因为 P(AB) = 0，故 P(ABC) = 0.C B A ,,至少有一个发生的概率为：7.0)()()()()()()()(=+---++=⋃⋃ABC P AC P BC P AB P C P B P A P C B A P1.10 解(9) 通过作图，可以知道，3.0)()()(=-⋃=B P B A P B A P (10) 6.0))()((1)(1)(=---=-=B A P A P AB P AB P7.0)(1)()()()(1))()()((1)(1)()()3(=-=+--=-+-=⋃-==A P B P AB P B P A P AB P B P A P B A P B A P AB P 由于 1.11解：用i A 表示事件“杯中球的最大个数为i 个”i =1,2,3。
三只球放入四只杯中，放法有44464⨯⨯=种，每种放法等可能。
对事件1A ：必须三球放入三杯中，每杯只放一球。
放法4×3×2种，故83)(1=A P(选排列：好比3个球在4个位置做排列)。
对事件3A ：必须三球都放入一杯中。
放法有4种。
(只需从4个杯中选1个杯子，放入此3个球，选法有4种)，故161)(3=A P 。
169161831)(2=--=A P 1.12解：此题为典型的古典概型，掷一颗匀称的骰子两次基本事件总数为36。
.出现点数和为“3”对应两个基本事件（1，2），（2，1）。
故前后两次出现的点数之和为3的概率为181。
同理可以求得前后两次出现的点数之和为4，5 的概率各是91,121。
(6) 1.13解：从10个数中任取三个数，共有120310=C 种取法，亦即基本事件总数为120。
(1) 若要三个数中最小的一个是5，先要保证取得5，再从大于5的四个数里取两个，取法有624=C 种，故所求概率为201。
(2) 若要三个数中最大的一个是5，先要保证取得5，再从小于5的五个数里取两个，取法有1025=C 种，故所求概率为121。
1.14解：分别用321,,A A A 表示事件：(1) 取到两只黄球。
(2) 取到两只白球。
(3) 取到一只白球, 一只黄球.则,111666)(,33146628)(212242212281======C C A P C C A P 3316)()(1)(213=--=A P A P A P 。
1.15解：)())()(()())(())((B P B B AB P B P B B A P B B A P ⋃=⋂⋃=⋃由于0)(=B B P ，故5.0)()()()()())((=-==⋃B P B A P A P B P AB P B B A P1.16(1) );(B A P ⋃（2）);(B A P ⋃解：（1）;8.05.04.01)()(1)()()()(=⨯-=-=-+=⋃B A P B P AB P B P A P B A P（2）;6.05.04.01)()(1)()()()(=⨯-=-=-+=⋃B A P B P B A P B P A P B A P注意：因为5.0)(=B A P ，所以5.0)(1)(=-=B A P B A P 。
1.17解：用i A 表示事件“第i 次取到的是正品”（3,2,1=i ），则i A 表示事件“第i 次取到的是次品”（3,2,1=i ）。
11212115331421(),()()()20441938P A P A A P A P A A ====⨯=(1) 事件“在第一、第二次取到正品的条件下, 第三次取到次品”的概率为：3125()18P A A A =。
(2) 事件“第三次才取到次品”的概率为：1231213121514535()()()()201918228P A A A P A P A A P A A A ==⨯⨯=（3）事件“第三次取到次品”的概率为：41 此题要注意区分事件（1）、(2）的区别，一个是求条件概率，一个是一般的概率。
再例如，设有两个产品，一个为正品，一个为次品。
用i A 表示事件“第i 次取到的是正品”（2,1=i ），则事件“在第一次取到正品的条件下, 第二次取到次品”的概率为：1)(12=A A P ；而事件“第二次才取到次品”的概率为：21)()()(12121==A A P A P A A P 。
区别是显然的。
1.18。
解：用)2,1,0(=i A i 表示事件“在第一箱中取出两件产品的次品数i ”。
用B 表示事件“从第二箱中取到的是次品”。
则211212122201222214141466241(),(),(),919191C C C C P A P A P A C C C ⨯====== 01()12P B A =，12()12P B A =，23()12P B A =，根据全概率公式，有：283)()()()()()()(221100=++=A B P A P A B P A P A B P A P B P1.19解：设)3,2,1(=i A i 表示事件“所用小麦种子为i 等种子”，B 表示事件“种子所结的穗有50 颗以上麦粒”。
则123()0.92,()0.05,()0.03,P A P A P A ===1()0.5P B A =，2()0.15P B A =，3()0.1P B A =，根据全概率公式，有：4705.0)()()()()()()(332211=++=A B P A P A B P A P A B P A P B P1.20解：用B 表示色盲，A 表示男性，则A 表示女性，由已知条件，显然有：,025.0)(,05.0)(,49.0)(,51.0)(====A B P A B P A P A P 因此：根据贝叶斯公式，所求概率为：151102)()()()()()()()()()()()(=+=+==A B P A P A B P A P A B P A P B A P AB P AB P B P AB P B A P 1.21解：用B 表示对实验呈阳性反应，A 表示癌症患者，则A 表示非癌症患者，显然有：,01.0)(,95.0)(,995.0)(,005.0)(====A B P A B P A P A P因此根据贝叶斯公式，所求概率为：29495)()()()()()()()()()()()(=+=+==A B P A P A B P A P A B P A P B A P AB P AB P B P AB P B A P 1.22(1) 求该批产品的合格率。
(2) 从该10 箱中任取一箱, 再从这箱中任取一件, 若此件产品为合格品, 问此件产品由甲、 乙、丙三厂生产的概率各是多少?解：设，},{},{},{321产品为丙厂生产产品为乙厂生产产品为甲厂生产===B B B}{产品为合格品=A ，则（1）根据全概率公式，94.0)()()()()()()(332211=++=B A P B P B A P B P B A P B P A P ，该批产品的合格率为0.94.（2）根据贝叶斯公式，9419)()()()()()()()()(332211111=++=B A P B P B A P B P B A P B P B A P B P A B P同理可以求得4724)(,9427)(32==A B P A B P ，因此，从该10 箱中任取一箱, 再从这箱中任取一件, 若此件产品为合格品, 此件产品由甲、乙、丙三厂生产的概率分别为：4724,9427,9419。
