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（二）区间估计区间估计是指用样本指标、抽样误差和概率所构造的区间以估计总体指标存在的可能范围。
在进行区间估计的时候，根据所给定的条件不同，总体平均数和总体成数的估计有两条模式可供选择： 第一套：给定置信度要求，去推算抽样误差的可能范围。
第二套：根据已给定的抽样误差范围，求出概率保证程度。
1. 总体平均数的区间估计按照第一套模式，根据置信度F t ()的要求，估计极限抽样误差的可能范围)(∆∆∆或p x ，并指出估计区间（置信区间）。
具体步骤是：（1）抽取样本，并根据调查所得的样本单位标志值，计算样本平均数x ；计算样本标准差；在大样本下用以代替总体标准差推算抽样平均误差μ。
（2）根据给定的置信度F t ()的要求，查《正态分布概率表》，求得概率度t 值。
（3）根据概率度t 和抽样平均误差μx 计算极限抽样误差的可能范围μxx t =∆，并据以计算置信区间的上下限。
例14 麦当劳餐馆在7周内抽查49位顾客的消费额（元）如下，求在概率95%的保证下，顾客平均消费额的置信区间。
15 24 38 26 30 42 1830 25 26 34 44 20 3524 26 34 48 18 28 4619 30 36 42 24 32 4536 21 47 26 28 31 4245 36 24 28 27 32 3647 35 22 24 32 46 26第一步：根据样本计算样本平均数和标准差：x x n ==∑32 （元） S n x x ==-∑2945().（元），用样本标准差代替总体标准差σ=945.（元） 样本平均误差 x n μσ===94549135..（元）第二步：根据给定的置信度F t ()=95%，查概率表得t =196. 第三步：根据概率度t 和抽样平均误差推算抽样极限误差的可能范围。
65.235.196.1=⨯==∆μxx t （元） 将μxx ,的值代入区间估计公式 )(65.34)(35.2965.23265.232元元≤≤+≤≤-+≤≤-∆∆X X x X x xx计算结果表明，以95%的概率保证，麦当劳餐馆顾客消费额在29.35~34.65元之间。
区间估计公式区间估计公式是指一种统计方法，用于估计未知参数的范围。
它是根据给定的数据集以及其参数的极限均值推断出的。
这样可以对参数的正确取值作出一个初步的估算。
一、经典区间估计公式1、样本均值估计法根据“大数定律”，当一个随机变量X的抽样样本个数n（→∞）时，X的样本均值的分布收敛到N（μ，σ2/n），可使用样本均值估计法来估计参数μ的值，即令μ = X的样本均数。
2、样本标准差估计法根据中心极限定理，当样本量趋于无穷的时候，样本标准差的分布符合t分布。
令特定的置信度α代替t值，可求得标准差的估计值，即σ^2 '= n·D / (tα/2)^2二、偏态分布估计量偏态分布估计量是一种分布估计法，它采用具备偏态分布特征的数值来估算参数μ和σ。
偏态分布是所有概率分布中最广泛应用的分布之一，它把参数μ和σ拆分成三部分：偏态参数γ，偏度参数ω和尾部形状参数λ。
从而可以从偏态分布中估计出μ、σ和γ、ω、λ的参数值。
三、无偏估计量无偏估计量是另一种用于估算量的分布。
它使用极值法，即按照某种规则，从一系列有限但不受限制的抽样样本中挑选某个值作为未知数的无偏估计值。
最常用的无偏估计量有方差法和方差除以样本数法。
方差估计量是一种比较简单的无偏估计量，它可用以下公式计算：σ^2 = 1 / n*Σ（xi - X）^2其中n是样本量，xi代表每个样本取值，X表示样本均值。
而另一种常用的无偏估计量就是方差除以样本数的方法，它的公式为：σ^2 = Σ（xi - X）^2 / n - 1四、交叉验证法交叉验证是一种分布估计法，它可以用来预测参数μ和σ，以便获得更准确的估算结果。
交叉验证首先将样本随机分为若干组，然后在每一组中利用其他组的信息来估计参数。
估计出的参数值在另外一组中进行验证，以期往复进行，直到每个组都意义数次验证。
然后再求出每次验证的参数的平均值以求得参数的最终估计值。
五、bootstrap法bootstrap是一种分布估计的方法，它可以用来估计三种不同的参数：均值、标准差和相关系数等。
单组数据的位置参数置信区间估计《单组数据的位置参数置信区间估计》在统计学中，位置参数是描述数据集中心值的统计量。
当我们只有一组数据时，我们想要估计这个数据集的位置参数时，可以使用置信区间估计。
置信区间估计是通过估计数据集的中心值，并给出一个置信水平，用以表示我们估计的值在给定范围内的可能性。
首先，我们需要确定置信水平。
常用的置信水平有90%、95%和99%。
置信水平越高，估计的范围将会越宽。
然后，我们需要选择一个适当的统计量来估计数据集的中心值。
常见的统计量有样本均值和中位数。
样本均值是指一组数据的平均值，而中位数是指将数据从小到大排列后，位于中间的数值。
接下来，我们使用适当的公式来计算置信区间。
对于样本均值来说，置信区间的计算可以使用以下公式：置信区间 = 样本均值 ± t值 ×标准误差其中，t值可以从t分布表中查找，与选择的置信水平和样本大小有关。
标准误差是样本标准差除以样本大小的平方根。
对于中位数来说，由于计算的复杂性，我们一般使用非参数方法来估计置信区间。
其中一个常用的方法是基于百分位数的置信区间。
最后，我们将计算出来的置信区间进行解释。
例如，如果我们得出的置信区间是(10, 20)，意味着我们有95%的置信水平认为这个数据集的中心值在10到20之间。
同时，这也意味着我们有5%的可能性认为中心值不在这个区间内。
需要注意的是，单组数据的位置参数置信区间估计有一些假设前提，如数据满足正态分布、样本大小足够大等。
如果数据不满足这些假设，我们需要使用其他方法进行估计。
综上所述，《单组数据的位置参数置信区间估计》是一种通过计算置信区间来估计数据集中心值的方法。
通过选择适当的置信水平和统计量，我们可以在给定范围内估计数据集的位置参数，并对结果进行解释。
这种方法可以帮助我们在没有大样本量的情况下，对单组数据进行较为准确的估计。
参数的区间估计1. 参数的概念参数是指一种描述总体特性的量，通常用符号表示。
以样本均值为例，我们通常用$\bar{x}$表示样本均值，用$\mu$表示总体均值，$\bar{x}$就是关于$\mu$的一个参数。
2. 区间估计的基本思想区间估计是通过样本的统计量来估计总体的参数，因为样本数据毕竟是有限的，所以估计值与真实值之间必然存在误差。
为了消除这种误差，我们采用确定一个区间的方法，即“置信区间”。
置信区间是指用样本数据计算出来的一个范围，其含义是真实的总体参数值有一定的置信水平（置信度）落在这个区间内。
①确定信赖水平（置信度）$1-\alpha$，$\alpha$称为显著性水平。
②根据样本均值选择合适的经验公式或理论公式来计算样本估计量的标准误差。
③根据置信度$1-\alpha$，查找$t$分布表或正态分布表，得到置信水平为$1-\alpha$的$t$值或$z$值。
④根据样本容量和总体方差是否已知，确定区间估计公式。
⑤根据置信度和样本数据计算出置信区间。
下面具体介绍区间估计的步骤：A. 确定总体所服从的概率分布总体可以服从正态分布、泊松分布、二项分布等概率分布，其中正态分布是最为常用的一种分布。
B. 确定样本容量$n$样本容量$n$的大小直接影响到置信区间的精度，当样本容量越大，置信区间的长度就越短。
一般观测数据越多，则样本容量越大。
C. 确定置信度$1-\alpha$置信度是指总体参数落在某一特定区间内的概率，一般取$95\%$或$99\%$。
D. 求出样本均值$\bar{x}$样本均值$\bar{x}$是样本中所有元素值的总和除以样本容量$n$，即$\bar{x}=\frac{\sum_{i=1}^nx_i}{n}$E. 求出样本方差$s^2$若总体标准差未知，用样本标准差$s$代替，$S(\bar{x})=\frac{s}{\sqrt{n}}$G. 选择合适的分布当总体服从正态分布，$\frac{\bar{x}-\mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}$服从标准正态分布；当总体未知且样本容量$n$较小（$n<30$），$\frac{\bar{x}-\mu}{\frac{s}{\sqrt{n}}}$服从$t$分布。
总体参数的区间估计公式在进行区间估计时，我们首先需要收集到一个样本，并根据样本对总体参数进行估计。
然后根据样本的统计量，结合分布的性质和抽样方法，建立置信区间。
设总体参数为θ，我们希望得到它的置信水平为1-α的置信区间。
置信水平表示我们对总体参数的估计的可信程度，一般常用的置信水平有90%、95%和99%等。
参数估计的方法有很多，具体的方法选择取决于总体参数的性质、样本的大小以及其他假设条件。
常见的参数估计方法有：1.总体均值的区间估计：假设总体呈正态分布，样本大小为n，则总体均值的区间估计公式为：[样本均值-Z值（α/2）*总体标准差/√(n),样本均值+Z值（α/2）*总体标准差/√(n)]其中Z值（α/2）为标准正态分布的分位数，可以从标准正态分布表中查得。
2.总体比例的区间估计：假设总体为二项分布，样本大小为n，成功的次数为x，则总体比例的区间估计公式为：[样本比例-Z值（α/2）*√(样本比例*(1-样本比例)/n),样本比例+Z值（α/2）*√(样本比例*(1-样本比例)/n)]其中Z值（α/2）为标准正态分布的分位数，可以从标准正态分布表中查得。
3.总体方差的区间估计：假设总体呈正态分布，样本大小为n，则总体方差的区间估计公式为：[(n-1)*样本方差/卡方分布（α/2）,(n-1)*样本方差/卡方分布（1-α/2])]其中卡方分布是用于描述自由度为n-1的卡方随机变量的概率分布，可以从卡方分布表中查得。
以上是常见的总体参数区间估计公式，这些公式是根据统计学理论推导而来的，适用于不同情况下的参数估计。
在实际应用中，我们根据具体问题和假设条件选择适当的参数估计方法，计算置信水平的区间估计，从而对总体参数进行估计和推断。
區間估計公式整理 張翔 編
一、單一母體平均數之雙尾信賴區間
假設條件:2
X ,X ,,X ~iid N(,)µσ", 常態母體
假設條件:2
X ,X ,,X ~iid (,)µσ", 母體非常態或分配未知
二、單一母體變異數之雙尾信賴區間
假設條件: 2
X ,X ,,X ~iid N(,)µσ", 常態母體 *222211111X )X 2X S (µµµ===⎛⎞′=
−=−+⎜⎟⎝⎠
∑∑∑n
n
n
i i i i i i n n n 2
n
122
211
X 11S (X X)X 11===⎛
⎞
⎜⎟=−=−⎜⎟−−⎜⎟⎝
⎠
∑∑∑n n i
i i i i i n n n
,
三、單一母體比例之雙尾信賴區間
假設條件:
X ,X ,,X ~iid Ber()p ", 母體Bernoulli 分配 *其中 1
X
ˆi
i p n
==∑
四、兩獨立母體平均數差異之雙尾信賴區間
假設條件:
21211X ,X ,,X ~iid N(,)n µσ", 2
1222Y ,Y ,,Y ~iid N(,)n µσ", 常態母體
*其中 2
221122
12(1)S (1)S 2
p
n n S n n −+−=+−2212
12Welch
2222121212S S df S S 11
n n
n n n n ⎛⎞+⎜⎟⎝⎠=⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠+−−,
假設條件: 21211X ,X ,,X ~iid (,)n µσ", 2
1222Y ,Y ,,Y ~iid (,)n µσ", 母體非常態或分配未知 *若12未知則以代入, 餘皆不變
12
五、兩相依母體平均數差異之雙尾信賴區間
假設條件:
2X ,X ,,X ~iid N(,)µσ", 2
Y ,Y ,,Y ~iid N(,)µσ", 常態母體 *其中, 故22D
1
1S (D D)1n
i i n ==−−∑D X Y i i i =−212D D
D ,D ,,D ~iid N(,)n µσ",
假設條件: 21211X ,X ,,X ~iid (,)n µσ", 2
1222Y ,Y ,,Y ~iid (,)n µσ", 母體非常態或分配未知 *其中, 故22D
1
1S (D D)1n
i i n ==−−∑D X Y i i i =−212D D
D ,D ,,D ~iid (,)n µσ",
六、兩獨立母體變異數比例之雙尾信賴區間
假設條件:
21211X ,X ,,X ~iid N(,)n µσ", 2
1222Y ,Y ,,Y ~iid N(,)n µσ", 常態母體 *其中12211111X )i i n S (µ=′=−∑22222121(Y i i n ,S )µ=′=−∑1221111X 1i i n ==−−∑S (,X)222
212
1Y Y)1i
i n ==−−∑S ( ,
七、兩獨立母體比例差異之雙尾信賴區間
假設條件:
X ,X ,,X ~iid Ber()p ", Y ,Y ,,Y ~iid Ber()p ", 常態母體 *其中 1
1
11
X
ˆX i
i p n ==
=∑2
1
22
Y
ˆY i
i p
n ===∑,。
