逻辑变量与基本运算 (1)

逻辑代数的基本概念与基本运算1. 引言逻辑代数是数学中的一个分支，它主要研究逻辑关系、逻辑运算和逻辑函数等内容。

逻辑代数作为数理逻辑的一个重要工具，不仅在数学、计算机科学等领域具有重要的应用，同时也在现实生活中扮演着重要的角色。

本文将介绍逻辑代数的基本概念与基本运算，帮助读者更好地理解逻辑代数的基本原理和运算规则。

2. 逻辑代数的基本概念逻辑代数是一种用于描述逻辑运算的代数体系，它主要包括逻辑变量、逻辑常量、逻辑运算和逻辑函数等基本概念。

2.1 逻辑变量逻辑变量是逻辑代数中的基本元素，通常用字母表示，表示逻辑命题的真假值。

在逻辑代数中，逻辑变量通常只能取两个值，即真和假，分别用1和0表示。

2.2 逻辑常量逻辑常量是逻辑代数中表示常量真假值的符号，通常用T表示真，用F 表示假。

逻辑常量在逻辑运算中扮演着重要的角色。

2.3 逻辑运算逻辑运算是逻辑代数中的基本运算，包括与、或、非、异或等运算。

逻辑运算主要用于描述不同命题之间的逻辑关系，帮助我们进行逻辑推理和逻辑计算。

2.4 逻辑函数逻辑函数是逻辑代数中的一种特殊函数，它描述了不同逻辑变量之间的逻辑关系。

逻辑函数在逻辑代数中具有重要的地位，它可以通过逻辑运算表达逻辑命题之间的关系，是描述逻辑代数系统的重要工具。

3. 逻辑代数的基本运算逻辑代数的基本运算包括与运算、或运算、非运算、异或运算等。

这些基本运算在逻辑代数中有着严格的规则和性质，对于理解逻辑代数的基本原理和进行逻辑推理具有重要的意义。

3.1 与运算与运算是逻辑代数中的基本运算之一，它描述了逻辑与的关系。

与运算的运算规则如下：- 真与真为真，真与假为假，假与假为假。

与运算通常用符号“∧”表示，A∧B表示命题A与命题B的逻辑与关系。

3.2 或运算或运算是逻辑代数中的基本运算之一，它描述了逻辑或的关系。

或运算的运算规则如下：- 真或真为真，真或假为真，假或假为假。

或运算通常用符号“∨”表示，A∨B表示命题A与命题B的逻辑或关系。

逻辑代数的基本运算法则
逻辑代数是描述、分析和简化逻辑线路的有效的数学工具，它又称为开关代数或布尔代数。

逻辑代数的变量（简称逻辑变量）的取值范围只有“0”或“1”。

“0”与“1”不表示数量的多少，而是表示具体问题的两种可能。

例如，用“0”与“1”代表开关线路中开关的断开和接通，电压的低和高，晶体管的截止和导通，信号的无和有两种物理状态。

一个复杂的开关线路总是由若干个开关元件组成。

这种相互联系的关系反映到数学上就是几种逻辑运算。

逻辑加、逻辑乘和逻辑非。

这三种逻辑运算反映了实际中开关元件之间最基本的联系。

(1)逻辑加（“或”运算），或门对应的逻辑运算是“逻辑加”C=A+B。

(2)逻辑乘（“与”运算），与门对应的逻辑运算是“逻辑乘”C=A ×B。

(3)逻辑非（“非”运算），“逻辑非”运算和非门相对应，记为B=。

逻辑代数基本运算逻辑代数是一门研究命题逻辑中命题间的逻辑关系的数学分支学科。

在逻辑代数中，有一些基本的运算规则和定理，通过这些运算规则可以简化逻辑表达式、证明命题的等价关系等。

本文将介绍逻辑代数中的基本运算，包括逻辑与、逻辑或、逻辑非、异或、同或等运算。

首先，逻辑与运算是逻辑代数中最基本的运算之一。

逻辑与运算表示为“∧”，当且仅当所有参与运算的命题均为真时，逻辑与运算的结果才为真。

例如，命题P∧Q的真值表如下：P | Q | P∧Q---|---|---T | T | TT | F | FF | T | FF | F | F其次，逻辑或运算也是逻辑代数中的重要运算。

逻辑或运算表示为“∨”，当参与运算的命题中至少有一个为真时，逻辑或运算的结果为真。

例如，命题P∨Q的真值表如下：P | Q | P∨Q---|---|---T | T | TT | F | TF | T | T逻辑非运算是一元运算，表示为“¬”，其作用是对命题的真值取反。

例如，对于命题P，逻辑非运算的结果为非P。

真值表如下：P | ¬P---|---T | FF | T逻辑异或运算表示为“⊕”，当参与运算的命题真值不相同时，逻辑异或运算的结果为真。

例如，命题P⊕Q的真值表如下：P | Q | P⊕Q---|---|---T | T | FT | F | TF | T | TF | F | F最后，逻辑同或运算表示为“⊻”，当参与运算的命题真值相同时，逻辑同或运算的结果为真。

例如，命题P⊻Q的真值表如下：P | Q | P⊻Q---|---|---T | T | TT | F | FF | T | F逻辑代数中的基本运算对于逻辑推理和命题等价的判断具有重要的作用。

通过熟练运用逻辑代数的基本运算规则，可以简化逻辑表达式、证明逻辑关系等，提高逻辑思维能力和解题效率。

逻辑代数的基本运算规则是逻辑推理和逻辑思维的基础，对于逻辑学习和应用都具有重要的意义。

1．1逻辑代数的基本运算一、 基本概念 1.数字信号的特点数字信号在时间上和数值上均是离散的。

数字信号在电路中常表现为突变的电压或电流。

图1.1 典型的数字信号2、正逻辑与负逻辑数字信号是一种二值信号，用两个电平（高电平和低电平）分别来表示两个逻辑值（逻辑1和逻辑0） 有两种逻辑体制：正逻辑体制规定：高电平为逻辑1，低电平为逻辑0。

负逻辑体制规定：低电平为逻辑1，高电平为逻辑0。

如果采用正逻辑，图1.1所示的数字电压信号就成为下图所示逻辑信号。

3、在数字电路中，输入信号是“条件”，输出信号是“结果”，因此输入、输出之间存在一定的因果关系，称其为逻辑关系。

它可以用逻辑表达式、图形和真值表来描述。

二、基本逻辑运算1．与运算——只有当决定一件事情的条件全部具备之后，这件事情才会发生。

我们把这种因果关系称为与逻辑。

与逻辑举例：图1.2（a）所示, A、Ｂ是两个串联开关，L 是灯，用开关控制灯逻辑0逻辑1逻辑0逻辑1逻辑0V t (V)(ms)51020304050亮和灭的关系如图2（b）所示。

设1表示开关闭合或灯亮；0表示开关不闭合或灯不亮，则得真值表图2（c）所示V(c)图1.2与逻辑运算（a）电路图（b）真值表（c）逻辑真值表（d）逻辑符若用逻辑表达式来描述，则可写为与运算的规则为： “输入有0，输出为0；输入全1，输出为1”。

数字电路中能实现与运算的电路称为与门电路，其逻辑符号如图（d）所示。

与运算可以推广到多变量：⋅⋅⋅=C B A L ……2．或运算——当决定一件事情的几个条件中，只要有一个或一个以上条件具备，这件事情就发生。

我们把这种因果关系称为或逻辑。

或逻辑举例：如图1.3（a）所示，或运算的真值表如图1.3（b ）所示，逻辑真值表如图1.3（c ）所示。

若用逻辑表达式来描述，则可写为L ＝A+B或运算的规则为：“输入有1，输出为1；输入全0，输出为0”。

BA L ⋅=(c)图1.3或逻辑运算（a） 电路图（b）真值表（c）逻辑真值表（d）逻辑符号在数字电路中能实现或运算的电路称为或门电路，其逻辑符号如图（d）所示。

逻辑运算1.逻辑常量与变量：逻辑常量只有两个，即0和1，用来表示两个对立的逻辑状态。

逻辑变量与普通代数一样，也可以用字母、符号、数字及其组合来表示，但它们之间有着本质区别，因为逻辑常量的取值只有两个，即0和1，而没有中间值。

2.逻辑运算：在逻辑代数中，有与、或、非三种基本逻辑运算。

表示逻辑运算的方法有多种，如语句描述、逻辑代数式、真值表、卡诺图等。

3.表示方法"∨" 表示"或""∨" 表示"与"."┐" 表示"非"."=" 表示"等价".1和0表示"真"和"假"逻辑或对于逻辑或，如果一个操作数或多个操作数为true，则逻辑或运算符返回true；只有全部操作数为false，结果才是false。

在决定一事物的若干条件中，只要有一个条件能满足时，结果就会出现；只有当所有条件都起；只有两个开关都不闭合，电灯EL才不会亮。

亮）。

1 V 1结果就是1，0 V 1结果就是1，0 V 0结果就是0。

逻辑与只有两个操作数都是真，结果才是真。

逻辑与操作属于短路操作，既如果第一个操作数能够决定结果，那么就不会对第二个操作数求值。

对于逻辑与操作而言，如果第一个操作数是假，则无论第二个操作数是什么值，结果都不可能是真，相当于短路了右边。

亮。

一个是0（开关不闭合）那么结果就是0（灯不亮）1^1结果就是1，1^0结果就是0，0^0结果就是0例题101001^000111 →000001从左到右1^0 00^1 01^0 00^0 00^1 01^1 (1)→000001。

备注§11.3 逻辑变量与基本运算教学目标：1.通过具体的问题情景，了解逻辑常量、逻辑变量及其取值的问题。

2.通过具体的电路图，理解三种基本的逻辑运算及相应的运算法则。

3.了解逻辑运算的运算顺序，能求出一些由逻辑常量组成的式子的运算结果。

培养学生用逻辑运算表示简单电路的能力。

教学重点：结合具体的电路图，理解相应的逻辑运算及其运算规则。

教学难点：结合具体的电路图，理解相应的逻辑运算 新课讲授： 一．导入：在日常生产生活中，很多事物的变化只表现为两种状态，如开关的“断开” 与合上，灯的“熄”与“亮”。

我们可以用0和1两个符号分别表示这些不 同的状态。

习惯上，我们通常用0表示“错”“假”“关”“断开”“熄” 等，用1表示对“真”“开”“合上”“亮”等，借助0和1，就可以建立 两个开关并联和串联电路的数学模型。

探究观察如图11-1所示的并联电路 （1）完成开关A,B 与灯L 的状态表(2)如果规定“合上”用1表示，“断开”用0表示；灯“亮”用1表 示，灯“熄”用0表示，那么请你将上表改写成下表ABL可以看到，灯L是否亮，取决于开关A,B的状态，它们之间具有因果逻辑备注关系，逻辑代数研究的就是这种逻辑关系。

逻辑变量：开关A,B，灯L的状态会发生变化，且只有两种变化的状态，这样的量叫做逻辑变量。

常用大写的字母A,B,…,L,…表示。

逻辑常量:0和1叫做逻辑常量。

（逻辑变量只有两种状态，只能取值0和1.这里的0和1只是一种符号，表示两种对立的状态，它们之间没有数的大小关系。

）逻辑运算：或运算、与运算和非运算这三种运算统称为逻辑运算。

1.或运算一个事件的发生依赖于两个条件，当这两个条件中至少有一个成立，这个事件发生，我们称这种逻辑关系为“或”逻辑关系.在如图11-1所示的并联电路中，灯L亮取决于开关A、B的状态，当A，B中至少有一个“合上”时，灯L就亮了.这里灯L与开关A，B的关系就是逻辑或(也叫做逻辑加），记作L=A+B.小结：或运算的运算规则总结为“有1出1，全0出0”.例1 写出下列各式的运算结果：（1）1+1 （2）1+1+0(3）0+0 （4）0+1+0练习1：写出下列各式的运算结果：（1）1+0 （2）0+1（3）0+1+1 （4）1+1+1一个事件的发生依赖于两个条件，当且仅当这两个条件同时成立时，这个事件才发生，我们称这种逻辑关系为“与”逻辑关系。

逻辑代数的基本运算有哪三种?逻辑代数是按照一定的逻辑规则开展逻辑运算的代数，是分析数字电路的数学工具。

对应于逻辑与、逻辑或和逻辑非三种基本逻辑关系，逻辑代数的基本逻辑运算有三种：逻辑乘、逻辑加和逻辑非。

一、逻辑变量有什么特点逻辑代数中的变量，包括自变量（前因）和因变量（后果），都只有两个取值：“1”和“0”。

在逻辑代数中，“1”和“0”不表示具体的数量，而只是表示逻辑状态。

例如，电位的高与低、信号的有与无、电路的通与断、开关的闭合与断开、晶体管的截止与导通，等等。

二、逻辑乘反映逻辑与关系的逻辑运算叫做逻辑乘，其逻辑函数表达式为：Y=A·B（可简写为：Y=AB）式中，A和B是输入变量，Y是输出变量，“·”表示逻辑乘运算。

1.逻辑乘的意义逻辑乘的意义是：A和B都为“1”时，Y才为“1”；A 和B中只要有一个为“0”时，Y必为“0”。

例如，在上节提到的两个开关串联控制电灯的电路中（见图2-2），设开关闭合为“1”、断开为“0”，电灯亮为“1”、不亮为“0”，则很明显可以看出：只有当A(S1) = 1并且B(S2) = 1时，才有Y(EL) = 1；A和B中只要有一个为0时，则Y(EL) = 0。

由此可见，逻辑乘的运算规则为：0·0 = 00·1 = 01·0 = 01·1 = 1将以上运算规则列表，即为逻辑乘的逻辑函数真值表，如下表2-4所示。

2.逻辑乘的实现电路实现逻辑乘的数字电路是与门。

图2-5（a）所示为A、B两个输入端的与门，可实现A、B两个输入变量的逻辑乘运算。

逻辑乘的输入变量可以有两个以上，分别用A、B、C、D.表示，相应的逻辑函数表达式为：Y=ABCD.图2-5（b）所示为多输入端与门。

三、逻辑加反映逻辑或关系的逻辑运算叫做逻辑加，其逻辑函数表达式为：Y=A+B式中，A和B是输入变量，Y是输出变量，“+”表示逻辑加运算。

1.逻辑加的意义逻辑加的意义是：A和B中只要有一个或一个以上为“1”时，Y即为“1”；只有A和B都为“0”时，Y才为“0”。