基本概念与基本逻辑运算

逻辑代数的基本概念与基本运算1. 引言逻辑代数是数学中的一个分支，它主要研究逻辑关系、逻辑运算和逻辑函数等内容。

逻辑代数作为数理逻辑的一个重要工具，不仅在数学、计算机科学等领域具有重要的应用，同时也在现实生活中扮演着重要的角色。

本文将介绍逻辑代数的基本概念与基本运算，帮助读者更好地理解逻辑代数的基本原理和运算规则。

2. 逻辑代数的基本概念逻辑代数是一种用于描述逻辑运算的代数体系，它主要包括逻辑变量、逻辑常量、逻辑运算和逻辑函数等基本概念。

2.1 逻辑变量逻辑变量是逻辑代数中的基本元素，通常用字母表示，表示逻辑命题的真假值。

在逻辑代数中，逻辑变量通常只能取两个值，即真和假，分别用1和0表示。

2.2 逻辑常量逻辑常量是逻辑代数中表示常量真假值的符号，通常用T表示真，用F 表示假。

逻辑常量在逻辑运算中扮演着重要的角色。

2.3 逻辑运算逻辑运算是逻辑代数中的基本运算，包括与、或、非、异或等运算。

逻辑运算主要用于描述不同命题之间的逻辑关系，帮助我们进行逻辑推理和逻辑计算。

2.4 逻辑函数逻辑函数是逻辑代数中的一种特殊函数，它描述了不同逻辑变量之间的逻辑关系。

逻辑函数在逻辑代数中具有重要的地位，它可以通过逻辑运算表达逻辑命题之间的关系，是描述逻辑代数系统的重要工具。

3. 逻辑代数的基本运算逻辑代数的基本运算包括与运算、或运算、非运算、异或运算等。

这些基本运算在逻辑代数中有着严格的规则和性质，对于理解逻辑代数的基本原理和进行逻辑推理具有重要的意义。

3.1 与运算与运算是逻辑代数中的基本运算之一，它描述了逻辑与的关系。

与运算的运算规则如下：- 真与真为真，真与假为假，假与假为假。

与运算通常用符号“∧”表示，A∧B表示命题A与命题B的逻辑与关系。

3.2 或运算或运算是逻辑代数中的基本运算之一，它描述了逻辑或的关系。

或运算的运算规则如下：- 真或真为真，真或假为真，假或假为假。

或运算通常用符号“∨”表示，A∨B表示命题A与命题B的逻辑或关系。

逻辑运算
一、简介
逻辑运算是数字符号化的逻辑推演法，包括联合、相交、相减。

在图形处理操作中引用了这种逻辑运算方法以使简单的基本图形组合产生新的形体，并由二维逻辑运算发展到三维图形的逻辑运算。

由于布尔在符号逻辑运算中的特殊贡献，很多计算机语言中将逻辑运算称为布尔运算，将其结果称为布尔值。

二、基本概念
逻辑运算：在逻辑运算中，有与、或、非三种基本逻辑运算。

表示逻辑运算的方法有多种，如语句描述、逻辑代数式、真值表、卡诺图等。

三、逻辑运算符
在形式逻辑中，逻辑运算符或逻辑联结词把语句连接成更复杂的复杂语句。

1、逻辑“与”AND：指两个条件同时成立。

如“在家偷玩游戏”与“妈妈回家了”，可以将它们组成“在家偷玩游戏且妈妈回家了”。

2、逻辑“或”OR：指两个条件中的任意一个成立。

如“晚餐吃蛋糕”或“晚餐吃炸鸡”，可以组成“晚餐吃蛋糕或炸鸡，我会很开心”。

3、逻辑“非”NOT：指将原结果做相反的计算。

如条件“飞机飞行”，结果“下飞机”可以组成“飞机不飞行时，才能下飞机”。

四、各种编程语言中的逻辑运算符。

““““““““数字逻辑的⼀些基本运算和概念进制转换基数：计数制中所⽤到的数字符号的个数，⽐如基数为R的计数制中，含0，1···R-1共R个数字符号，进位规律是“逢R进1”，称为R进制。

位权：在⼀种进位计数制表⽰的数中，⽤来表明不同数位上数值⼤⼩的⼀个固定的常数。

不同数位有不同的位权。

⽐如2进制：10001，第⼀个1位上的位权为 2^4，第⼆个1位上的位权为 2^0。

并列表⽰法：⽐如 1001001.多项式表⽰法：按权展开：1 x 2^6 + 1 x 2^3 + 1 x 2^0.⼆转⼗10110.101 = 1x2^4 + 1x2^2 + 1x2^1 + 1x2^-1 + 1x2^-3 = 16 + 4 + 2 + 0.5 + 0.125.⼗转⼆整数转换，除基数取余法：45 ÷ 2 = 22 (1)22 ÷ 2 = 11 011 ÷ 2 = 5 (1)5 ÷ 2 = 2 (1)2 ÷ 2 = 1 01 ÷ 2 = 0 (1)得到45的⼆进制 1 0 1 1 0 1，注意，按照从下往上的顺序。

⼩数转换，乘⼆取整法：0.6875x 2------1.3750 (1)x 2------0.7500 0x 2------1.5000 (1)x 2------1.0000 (1)0.6875的⼆进制 0.1011，注意，按照从上向下的顺序。

有些时候，⽆法⽤有限位⼆进制表⽰⼗进制的⼩数，就要根据题⽬的精度要求，将最低位进⼀然后舍去。

此外，当⼀个⼗进制既有整数也有⼩数，只要把它们分开计算就好了。

⼋进制，和⼗六进制，类⽐即可。

需要注意的是：⼋转⼆的时候，每⼀位⼋进制数 ⽤三位⼆进制表⽰即可，⽐如 732 -> 111 011 010；⼗六转⼆⽤4位⼆进制数即可。

⼆转⼋的时候，不⾜补0，⽐如 ⼆进制 1001 需要看做 001 001 再转成 11。

基本的逻辑运算-基本逻辑门电路符号基本的逻辑运算表⽰式-基本逻辑门电路符号1、与逻辑(AND Logic)与逻辑⼜叫做逻辑乘，通过开关的⼯作加以说明与逻辑的运算。

从上图看出，当开关有⼀个断开时，灯泡处于灭的，仅当两个开关合上时，灯泡才会亮。

于是将与逻辑的关系速记为：“有0出0,全1出1”。

图(b)列出了两个开关的组合，以及与灯泡的，⽤0表⽰开关处于断开，1表⽰开关处于合上的；灯泡的⽤0表⽰灭，⽤1表⽰亮。

图(c)给出了与逻辑门电路符号,该符号表⽰了两个输⼊的逻辑关系，&在英⽂中是AND的速写，开关有三个则符号的左边再加上⼀道线就⾏了。

逻辑与的关系还⽤表达式的形式表⽰为:F=A·B上式在不造成误解的下可简写为：F=AB。

2、或逻辑(OR Logic)上图(a)为⼀并联直流电路，当两只开关都处于断开时，其灯泡不会亮；当A,B两个开关中有⼀个或两个⼀起合上时，其灯泡就会亮。

如开关合上的⽤1表⽰，开关断开的⽤0表⽰；灯泡的亮时⽤1表⽰，不亮时⽤0表⽰，则可列出图(b)的真值表。

这种逻辑关系通常讲的“或逻辑”，从表中可看出，只要输⼊A,B两个中有⼀个为1，则输出为1，否则为0。

或逻辑可速记为：“有1出1，全0出0”。

上图(c)为或逻辑门电路符号，通常⽤该符号来表⽰或逻辑，其⽅块中的“≥1”表⽰输⼊中有⼀个及⼀个的1，输出就为1。

逻辑或的表⽰式为：F=A+B3、⾮逻辑(NOT Logic)⾮逻辑⼜常称为反相运算(Inverters)。

下图(a)的电路实现的逻辑功能⾮运算的功能，从图上看出当开关A合上时，灯泡反⽽灭；当开关断开时，灯泡才会亮，故其输出F的与输⼊A的相反。

⾮运算的逻辑表达式为图(c)给出了⾮逻辑门电路符号。

复合逻辑运算在数字系统中，除了与运算、或运算、⾮运算之外，使⽤的逻辑运算还有是通过这三种运算派⽣出来的运算，这种运算通常称为复合运算，的复合运算有：与⾮、或⾮、与或⾮、同或及异或等。

计算机逻辑基础知识点总结一、逻辑与计算机逻辑是计算机科学的基础原理之一，它是计算机系统的核心。

逻辑是一种思维方式，是一种思考问题的方法，是一种对事物关系的认识和分析方法。

计算机逻辑包括了命题逻辑、谓词逻辑等，是计算机科学中最基础的知识之一。

二、命题逻辑命题逻辑是研究命题之间的关系的学问，它是逻辑学中的一种基本形式。

命题是一个能够用真或假表示的简单的陈述句。

命题逻辑就是处理这些命题的逻辑。

1. 命题逻辑的概念（1）命题：一个陈述句，可以用真或假表示，并且具有明确的意义的不可分割的陈述。

（2）复合命题：由一个或多个命题通过逻辑连接词组成的复杂命题。

（3）逻辑连接词：与、或、非、蕴含和等价。

2. 命题逻辑的基本运算（1）合取：取多个真命题的逻辑与。

（2）析取：取多个真命题的逻辑或。

（3）非：对一个命题的否定。

（4）蕴含：p→q，如果p成立，则q一定成立。

（5）等价：p↔q，p和q具有相同的真假值。

（6）命题的推理：逻辑连接词的运用和命题之间的关系。

3. 命题逻辑的证明（1）直接证明法：可以用一个分析都可以推出结论。

（2）间接证明法：反证法，假设命题的逆否命题或者对偶命题成立。

三、谓词逻辑谓词逻辑（predicate logic）也叫一阶逻辑，是处理复杂命题的一种逻辑。

与命题逻辑只处理简单命题不同，谓词逻辑可以处理对象、性质、关系等更为复杂的断言。

1. 谓词逻辑的概念（1）类型：谓词表示对象性质、关系及否定。

（2）量词：全称量词（∀）和存在量词（∃）。

（3）联结词：与（∧）、或（∨）、非（¬）、蕴含（→）、等价（↔）。

2. 谓词逻辑的基本运算（1）命题：由谓词和主词组成的有意义的陈述。

（2）开放式公式：含有变元的谓词表达式。

（3）关系：包括真值表、联结词、优先级规则。

3. 谓词逻辑的应用（1）推理：利用推理规则和公式化知识得出结论。

（2）知识表示：用谓词逻辑可以清晰精确地表示知识。

（3）语义网络：用谓词逻辑可以描述复杂的语义结构。

第2章逻辑代数中的三种基本运算一、基本概念逻辑：事物的因果关系数字电路要研究的是电路的输入输出之间的逻辑关系，所以数字电路又称逻辑电路，相应的研究工具是逻辑代数（布尔代数）。

逻辑代数中的变量称为逻辑变量，一般用大写字母A、B、C、…表示，逻辑变量的取值只有两种，即逻辑0和逻辑1。

0和1称为逻辑常量。

但必须指出，这里的逻辑0和1本身并没有数值意义，它们并不代表数量的大小，而仅仅是作为一种符号，代表事物矛盾双方的两种对立的状态。

二、基本逻辑运算2.“与”运算“与”运算又称“与”逻辑、“逻辑乘”。

与运算：决定事件发生的各条件中，所有条件都具备，事件才会发生（成立）。

我们把这种因果关系称为与运算。

规定: 开关合为逻辑“1” A B C 开关断为逻辑“0” E Y 灯亮为逻辑“1” 灯灭为逻辑“0” A B C Y 0 0 0 0 真值表0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 该真值表的特点: 1 0 0 0 任0则0 全1则1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 图形符号：逻辑式：逻辑乘法YABC 逻辑与与逻辑运算规则：0 00 0 10 1 00 1 112.“或”运算“或”运算又称“或”逻辑、“逻辑加”。

或运算：决定事件发生的各条件中，有一个或一个以上的条件具备，事件就会发生（成立）。

我们把这种因果关系称为或运算。

A 规定: B 开关合为逻辑“1”C 开关断为逻辑“0” E Y 灯亮为逻辑“1” 灯灭为逻辑“0” A B C Y 0 0 0 0 真值表00 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 该真值表的特点: 1 0 0 1 任1则1 全0则0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1图形符号：逻辑式：逻辑加法YABC 逻辑或与逻辑运算规则：000 011 101 1113.“非”运算“非”运算又称“非”逻辑、“反相运算”、“逻辑否定”。

非运算：决定事件发生的条件只有一个，条件不具备时事件发生（成立），条件具备时事件不发生。

计算机的逻辑与运算计算机作为信息处理的工具，它的核心功能在于进行逻辑判断与运算。

本文将介绍计算机逻辑与运算的基本概念以及相关的操作。

一、逻辑运算逻辑运算是计算机处理信息时的基本操作之一，它用于判断和比较数据的真假、大小等。

计算机中最基本的逻辑运算有与、或、非三种运算。

1. 与运算（AND）：当两个条件同时满足时，结果为真；否则，结果为假。

例如，在计算机中，我们可以使用与运算来判断某个数字是否在一个范围内。

如果一个数字同时满足大于等于10且小于等于20的条件，则可以利用与运算判断该数字是否在该范围内。

2. 或运算（OR）：只要两个条件中有一个满足，结果为真；否则，结果为假。

举例来说，当我们需要判断一个人是否满足年龄要求时，只需要满足其中一个条件即可。

使用或运算可以简化判断的过程。

3. 非运算（NOT）：将真变为假，假变为真。

非运算可以用于取反的操作，例如判断一个数字是否不在某个范围内，可以利用非运算来实现。

二、二进制与逻辑运算的关系在计算机中，数据是以二进制形式进行表示和处理的。

因此，在进行逻辑运算时，计算机需要将数据转换为二进制进行计算。

1. 二进制表示：计算机使用0和1两个数字表示数据。

其中，0表示假，1表示真。

2. 二进制逻辑运算：与、或、非运算在计算机中可以通过位运算实现。

位运算按位对每一位进行运算，可以实现逻辑运算的目的。

例如，对于两个二进制数字1101和1010进行与运算，按位对应进行运算，得到的结果为1000。

这表示只有两个数字在相同的位上都为1时，结果位才为1。

三、进制转换与数值表示除了二进制，计算机还可以处理其他进制的数据。

常见的进制有八进制、十进制和十六进制。

1. 八进制：八进制是以8为基数的表示方法，使用0至7这8个数字进行表示。

在计算机中，八进制通常以0开头表示。

2. 十进制：十进制是我们日常生活中最常用的表示方法，使用0至9这10个数字进行表示。

在计算机中，我们通常使用十进制来表示数值。

三种基本规律运算关系 - 电子技术1、基本概念1.规律常量与变量：规律常量只有两个，即0和1，用来表示两个对立的规律状态。

规律变量与一般代数一样，也可以用字母、符号、数字及其组合来表示，但它们之间有着本质区分，由于规律变量的取值只有两个，即0和1，而没有中间值。

2.规律运算：在规律代数中，有与、或、非三种基本规律运算。

表示规律运算的方法有多种，如语句描述、规律代数式、真值表、卡诺图等。

3.规律函数：规律函数是由规律变量、常量通过运算符连接起来的代数式。

同样，规律函数也可以用表格和图形的形式表示。

4.规律代数：规律代数是争辩规律函数运算和化简的一种数学系统。

规律函数的运算和化简是数字电路课程的基础，也是数字电路分析和设计的关键。

2、三种基本规律运算1.与运算图1(a)表示一个简洁与规律的电路，电压V通过开关A和B向灯泡L 供电，只有A和B同时接通时，灯泡L才亮。

A和B中只要有一个不接通或二者均不接通时，则灯泡L不亮，其真值表如图1(b)。

因此，从这个电路可总结与运算规律关系。

语句描述：只有当一件事情（灯L亮）的几个条件（开关A与B都接通）全部具备之后，这件事情才会发生。

这种关系称与运算。

规律表达式：L=A·B式中小圆点“·”表示A、B 的与运算,又称规律乘。

在不致引起混淆的前提下,乘号“·”被省略。

某些文献中,也有用符号∧、∩表示与运算的。

真值表：假如开关不通和灯不亮均用0表示，而开关接通和灯亮均用1表示，得到如图1(c)所示的真值表描述。

真值表的左边列出为全部变量的全部取值组合，右边列出的是对应于A,B变量的每种取值组合的输出。

由于输入变量有两个，所以取值组合有22＝4种，对于n个变量，应当有2n种取值组合。

规律符号：与运算的规律符号如图1(d)所示，其中A,B为输入，L为输出。

(a)电路图(c)用0、1表示的真值表(b)真值表(d)与规律门电路的符号图1 与规律运算 2.或运算图2(a)表示一简洁的或规律电路，电压V通过开关A或B向灯泡供电。