天津市五区县高一上期末数学试卷((含答案))

天津市五区县2012-2013学年高一数学上学期期末考试试题（扫描版）新人教A版天津市五区县2012～2013学年度第一学期期末考试高一数学试卷参考答案一、选择题1~5 CDABC 6~10 ACDBC二、填空题11. 1212. 20132（,）5- 15. 2 三、解答题16.解: (Ⅰ)原式131234234236(0.4)(2)(0.5)log 12-=+-+ -110.4812=+-+ 518+11122=+-= …………………………………………5分 (Ⅱ) 164{|22}{|1}x x A x x ≤≤≤≤== ………………………………1分3{|log 1}{|3}B x x x x =>=> ………………………………2分{|3<4}A B x x =I ≤……………………………………3分 (){|3}{|14}R B A x x x x =U U ≤≤≤ð{|4}x x =≤ ……………5分17.解：（Ⅰ）由图象得2362T πππ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭ 得T π= ∴22Tπω== …………………………………………………………2分 故()2sin(2)f x x ϕ=+ 又()23f π=-,即sin 213πϕ⎛⎫⋅+= ⎪⎝⎭-， ………………………………3分 而0＜ϕ＜π 故56πϕ=………………………………5分 故5()2sin(2)6f x x π=+ …………………………………………6分 （Ⅱ）由2x π⎡⎤∈π⎢⎥⎣⎦,， 则511172666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦, 所以当2π=x 时，()f x 取最小值为1-； ………………………………9分当56x π=时，()f x 取最大值为2. ………………………………12分 18.解：（Ⅰ）由已知5(1)21724f f ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（）得22522217224a b a b ++⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ ………………………………2分 解得10a b =⎧⎨=⎩- …………………………………………………………4分所以()22x x f x =+- ∵()f x 的定义域为R又∵()22()x x f x f x =+=-- ……………………………………………6分 所以()f x 为偶函数. …………………………………………7分 （Ⅱ）函数()f x 在[0,+)∞上为增函数设12<x x ，且12[0,+)x x ∈∞, ……………………………………………8分 ∵112212()()(22)(22)x x x x f x f x =++---- 121211=(22)+()22x x x x -- 121212++21=(22)2x x x x x x ⋅-- ………………………………9分 ∵12<x x ，且12[0,+)x x ∈∞,∴1222<0x x -，12+2>1x x ……………………………………………10分 ∴12()()<0f x f x - …………………………………………………11分 所以函数()f x 在[0)+∞,上为增函数. ……………………………12分19.解（Ⅰ）由已知，21()cos sin cos 2f x x x x =--111(1cos 2)sin 2222x x =+-- ……………………………2分 11cos 2sin 222x x =-)24x π=+…………………………………………4分所以()f x 的最小正周期为π，值域为22⎡⎢⎣⎦-,………………………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，()cos()22410f απ=α+= 所以3cos(+)=45πα …………………………………………………8分 所以sin 2cos(2)cos 2()24ππα=+α=α+-- 2[2cos (+)1]4π=α-- 18125=- 725= ………………………………………………………12分20.解：（Ⅰ）由已知|k |+=-a b a k |b 有(|k 2|)+=-a b a k 2|)b2k 2a 2k +223⋅+=a b b a 6k -⋅a b 23k +2b又∵||||1a b ==，得8k ⋅a b 222k =+ …………………………2分所以⋅a b 214k k+= 即214k f k k+=() (0)k > …………………………………………4分 （Ⅱ）由a ∥b ，∵0k >，∴⋅a b 21>04k k+= 则a 与b 同向 ∵||||1a b ==，∴1⋅=a b …………………………………………6分即2114k k+= 整理得 2410k k +=- 所以2k =±…………8分∴当2k =±a ∥b ………………………………………9分 （Ⅲ）设a ，b 的夹角为θ，则cos θ==||||⋅⋅a b a b a b …………………………………………10分211144()k k k k+==+2124=+] …………………………12分当==1k 时，cos θ取最小值12 …………………………13分 又0θπ≤≤ 所以3πθ=即向量a 与b 夹角的最大值为3π.………………………………………14分。

数学试卷一､选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知，那么是（） cos tan 0θθ⋅>θA. 第一、二象限角B. 第二、三象限角C. 第三、四象限角D. 第一、四象限角 【答案】A【解析】【分析】化简代数式，根据正弦值为正，得出终边所在象限.cos tan =sin θθθ⋅【详解】由可知同号，即，cos tan 0θθ⋅>cos ,tan θθcos tan =sin 0θθθ⋅>从而为第一、二象限角，故选A .θ故选：A【点睛】此题考查根据三角函数符号判断角的终边所在象限，关键在于熟记各个象限三角函数值的符号进行辨析.2.（ ） 253364a a a ÷=A .B. C. D. 43a 127a 712a 34a 【答案】C 【解析】【分析】根据指数幂的运算性质计算即可.【详解】. 235734612253364a aa a a +-==÷故选：C.3. 函数的零点是（ ） ()sin 1f x x =+A.B. ()π2πZ 2k k +∈()3π2πZ 2k k +∈C. D.()ππZ 2k k +∈()πZ k k ∈【答案】B【解析】 【分析】令，再根据正弦函数的性质即可得解.()sin 10f x x =+=【详解】令，则，()sin 10f x x =+=sin 1x =-所以， ()3π2πZ 2x k k =+∈所以函数的零点是. ()sin 1f x x =+()3π2πZ 2k k +∈故选：B.4. 已知半径为的圆上，有一条弧的长是，则该弧所对的圆心角的弧度数为（ ）120mm 144mm A. 12B. 1.2C. 16D. 1.6【答案】B【解析】【分析】根据弧长公式即可得解.【详解】设该弧所对的圆心角的弧度数为，α则，解得.120144α= 1.2α=故选：B . 5. 设，，，则（ ）． 13log 2a =121log 3b =0.312c ⎛⎫= ⎪⎝⎭A.B. C. D. a b c <<b<c<a a c b <<b a c <<【答案】C 【解析】【分析】利用对数指数函数的单调性求出a,b,c 的范围即得解. 【详解】由题得， 1133log 2log 10a =<=， 112211log log 132b =>=， 0.30110122c ⎛⎫⎛⎫<=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以.a cb <<故选：C【点睛】本题主要考查指数对数函数的图象和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 6. 为了得到函数的图象，只需将函数的图象上所有的点（ ）()sin 21y x =+()sin 21y x =-A. 向左平移2个单位长度B. 向右平移2个单位长度C. 向左平移1个单位长度D. 向右平移1个单位长度【答案】C【解析】【分析】根据平移变换的原则即可得解.【详解】为了得到函数的图象，()()sin 21=sin 211y x x ⎡⎤=++-⎣⎦只需将函数的图象上所有的点向左平移1个单位长度即可.()sin 21y x =-故选：C .7. 设，，都是正数，且，那么（ ）a b c 346a b c ==A. B. C. D. 111c a b =+221c a b =+122c a b =+212c a b=+【答案】B【解析】【分析】令，根据指数与对数的关系将指数式化为对数式，再由换底公式及对数的运算346a b c M ===法则计算可得.【详解】解：由，，都是正数，令，则，，a b c 346a b c M ===()1M >3log a M =4log b M =，6log c M =所以，，， 1log 3M a =1log 4M b =1log 6M c=对于A ：，故A 错误； 111log 4log 3log 12log 6M M M M a b c+=+=>=对于B ：，22log 6log 36M M c ==()22212log 3log 4log 3log 4log 34log 36M M M M M M a b +=+=+=⨯=，所以，故B 正确； 221c a b=+对于C ：， ()222222log 32log 4log 3log 4log 34log 1442M M M M M M a b+=+=+=⨯=所以，故C 错误； 122c a b≠+对于D ：， ()221log 32log 4log 3log 4log 3824log 4M M M M M M a b +=+=+=⨯=所以，故D 错误； 212c a b≠+故选：B ．8. 函数的图象大致为 2sin ()1||x f x x =-A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据奇偶性排除B ，D ，取特殊值排除C ，即可得到答案.【详解】的定义域为关于原点对称 2sin ()1||x f x x =-(,1)(1,1)(1,)-∞--+∞ ()()2sin 2sin ()()1||1||x x f x f x x x --==-=----所以函数是奇函数，故排除B ，D()f x 因为，所以排除C 2sin 4(041||4f πππ==>-故选：A【点睛】本题主要考查了函数图像的识别，属于中等题.9. 下述四条性质：①最小正周期是，②图象关于直线对称，③图象关于点对称，④在ππ3x =π,012⎛⎫ ⎪⎝⎭上是增函数.下列函数同时具有上述性质的一个函数是（ ） ππ-,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦A. B. πsin +26x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭πsin 26y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭C. D. πcos 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭πsin 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】【分析】根据条件判断选项中函数的周期性，单调性以及图像的对称性，从而得到结论.【详解】条件① ：的周期为，排除A ； πsin 26x y ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭2π4π12=条件② ：当代入B ，函数取得最大值，满足关于对称；代入C ，函数取得最小值，满足关于π3x =π3x =对称；代入D ，函数值不是最大值也不是最小值，排除D ； π3x =条件③ ：代入B ，函数值为0，满足；代入C ，函数值为0，满足； π12x =条件④ ：在上，代入B ，是增函数；代入C ，单调ππ-,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦πππ2622x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，ππ-,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦[]π20π3x +∈，递减，不满足，排除C ；故选：B二､填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.10. 若对数函数且）的图象经过点，则实数______.log (0a y x a =>1a ≠(4,2)=a 【答案】2【解析】【分析】直接将点代入计算即可.【详解】将点代入得，解得 (4,2)log ay=2log 4a =2a =故答案为：2.11. 已知角的终边经过点那么的值是_______.θ1(2tan θ【答案】【解析】 【分析】直接利用三角函数的定义求解即可.【详解】因为角的终边经过点 θ1(),2所以为第二象限角，，θtan 0θ∴<由三角函数的定义可得，故答案为tan θ==【点睛】本题主要考查任意角的正切函数值,意在考查对基础知识的掌握情况，属于基础题. 12. 函数的定义域为_________.y =【答案】 3{|1}4x x <≤【解析】 【分析】根据根式、对数的性质有求解集，即为函数的定义域. 0.5430log (43)0x x ->⎧⎨-≥⎩【详解】由函数解析式知：，解得， 0.5430log (43)0x x ->⎧⎨-≥⎩314x <≤故答案为：. 3{|1}4x x <≤13. 已知函数的部分图象如图所示，则___________. ()()sin 0,0,2πf x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭ϕ=【答案】π6【解析】 【分析】根据图象可求得，再利用待定系数法求解即可.,A ωϕ【详解】由图可知， 3,π2T A ==所以，所以，2π2πT ω==1ω=所以，()()3sin f x x ϕ=+则，即， ππ3sin 066f ϕ⎛⎫⎛⎫-=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭πsin 06ϕ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭所以，即， π2π,Z 6k k ϕ-+=∈π2π,Z 6k k ϕ=+∈又因，所以. π2ϕ<π6ϕ=故答案为：. π614. 函数在的值域是___________. π2cos 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭π5π,36x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦【答案】[]2,1-【解析】【分析】根据余弦函数的性质结合整体思想即可得解. 【详解】因为，所以， π5π,36x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ππ4π2,333x ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦所以， π1cos 21,32x ⎛⎫⎡⎤-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦所以函数在的值域是. π2cos 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭π5π,36x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦[]2,1-故答案为：.[]2,1-15. 已知函数的零点个数为___________. ()4223,0274ln ,0x x f x x x x x +⎧-≤=⎨-+->⎩【答案】3【解析】【分析】分和两种情况讨论，时，函数零点的个数，即为函数0x ≤0x >0x >()2274ln f x x x x =-+-图象交点的个数，作出函数的图象，根据函数图象即2274,ln y x x y x =-+=2274,ln y x x y x =-+=可得解.【详解】当时，由，得， 0x ≤()4023x f x +=-=2log 34x =-当时，由，得，0x >()2274ln 0f x x x x =-+-=2274ln x x x -+=则时，函数零点的个数， 0x >()2274ln f x x x x =-+-即为函数图象交点的个数，2274,ln y x x y x =-+=如图，作出函数的图象，2274,ln y x x y x =-+=由图可知，两函数的图象有个交点，2即当时，函数有个零点， 0x >()2274ln f x x x x =-+-2综上所述，函数有个零点.()f x 3故答案为：.3三､解答题：本大题共3小题，共34分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. 计算：（1）已知，求的值； 1sin 3α=-()()πcos 2sin 2πcos 2π5πsin 2αααα⎛⎫- ⎪⎝⎭--⎛⎫+⎪⎝⎭（2）求的值. 5551log 35log log 1450+--【答案】（1）19（2）2【解析】 【分析】（1）根据诱导公式计算即可；（2）根据对数的运算性质计算即可.【小问1详解】 ()()πcos 2sin 2πcos 2π5πsin 2αααα⎛⎫- ⎪⎝⎭--⎛⎫+ ⎪⎝⎭. 2sin 1sin cos sin cos 9ααααα=⋅⋅==【小问2详解】5551log 35log log 1450+-. 51log 3550131214⎛⎫=⨯⨯-=-= ⎪⎝⎭17. 已知为第二象限角，为第一象限角，. α3sin ,5αβ=5cos 13β=（1）求的值；()sin αβ+（2）求的值.()tan 2αβ-【答案】（1） 3365-（2） 204253【解析】【分析】（1）先利用平方关系求出，再利用两角和的正弦公式即可得解； cos ,sin αβ（2）先利用二倍角的正切公式求出，再根据两角差的正切公式即可得解.tan 2α【小问1详解】因为为第二象限角，为第一象限角，， α3sin ,5αβ=5cos 13β=所以， 412cos ,sin 513αβ=-=所以. ()3541233sin 51351365αβ⎛⎫+=⨯+-⨯=- ⎪⎝⎭【小问2详解】 ， sin 3sin 12tan ,tan cos 4cos 5αβαβαβ==-==所以， 232tan 242tan 291tan 7116ααα-===---所以. ()241220475tan 22412253175αβ---==⎛⎫+-⨯ ⎪⎝⎭18. 已知函数 ()()2πcos 2cos2R 3f x x x x ⎛⎫=--∈ ⎪⎝⎭（1）求的最小正周期；()f x （2）求的单调递增区间.()f x 【答案】（1） πT =（2） π5ππ,π,Z 1212k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】（1）先利用两角差的余弦公式和辅助角公式化简，再根据正弦函数的周期性即可得解； （2）根据正弦函数的单调性结合整体思想即可得解.【小问1详解】()2πcos 2cos23f x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，13πcos 22cos 22cos 22223x x x x x x ⎛⎫=-+-=-=- ⎪⎝⎭所以；πT =【小问2详解】令， πππ2π22π232k x k -+≤-≤+得， π5πππ1212k x k -+≤≤+所以的单调递增区间为.()f x π5ππ,π,Z 1212k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦。

天津高一高中数学期末考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.已知集合，，则=（）A．B．C．D．2.已知，则的值为（）A．B．C．D．3.非零向量，，若，，且⊥，则向量与的夹角是（）A．B．C．D．4.函数的零点所在的大致区间是 ( )A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）5.把函数的图象向右平移（其中）个单位，所得图象关于y轴对称，则的最小值是（）A．B．C．D．6.已知偶函数在区间上单调递减，则不等式的解集是（）A．B．C．D．7.函数的大致图象是（）8.函数若是方程三个不同的根，则的范围是（）A．B．C．D．二、填空题1. .2.已知,，那么= .3.函数，的图象如图所示，则= .4.函数的单调递增区间为 .5.边长为1的菱形ABCD中，∠DAB＝60°，，，则＝ .6.已知是奇函数，满足，，则= .三、解答题1.已知，是第二象限角，求:（1）的值；（2）的值．2.设函数f (x)＝cos(2x＋)＋sin2x＋2a（1）求函数的单调递增区间；（2）当时，的最小值为0，求的最大值．3.已知 (a>0)是定义在R上的偶函数，（1）求实数a的值；（2）判断并证明函数在的单调性；（3）若关于的不等式的解集为，求实数的取值范围.4.已知函数，其中向量，，，且的最小正周期为．（1）求的值；（2）求的最小值，并求出相应的的取值集合；（3）将的图象向左平移个单位，所得图象关于点对称，求的最小正值.5.已知函数，其中（1）判断并证明函数的奇偶性；（2）判断并证明函数在上的单调性；（3）是否存在这样的负实数，使对一切恒成立，若存在，试求出取值的集合；若不存在，说明理由天津高一高中数学期末考试答案及解析一、选择题1.已知集合，，则=（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因为，所以.故选D.【考点】集合的交集运算.2.已知，则的值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为，所以，.故选C.【考点】三角函数的基本公式.3.非零向量，，若，，且⊥，则向量与的夹角是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由，得，即，.故选C.【考点】向量垂直的充要条件；向量的夹角.4.函数的零点所在的大致区间是 ( )A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）【答案】B【解析】∵，而，∴函数的零点所在区间是（1，2），故选B．【考点】函数的零点的判定定理.5.把函数的图象向右平移（其中）个单位，所得图象关于y轴对称，则的最小值是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】方法一：函数的图象向右平移（其中）个单位，得到的函数为，则，得，即，有最小值，解得.方法二：函数的图象的对称轴为，即；图象向右平移（其中）个单位，得到的函数为，即，当时，有最小值.故选B.【考点】函数的图象与性质.6.已知偶函数在区间上单调递减，则不等式的解集是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由偶函数在区间上单调递减，得在区间上单调递增，，所以或，解得.故选A.【考点】函数的奇偶性和单调性.7.函数的大致图象是（）【答案】B【解析】由题意知：，即，所以函数的定义域为；又，所以函数在其定义域上为偶函数；且当时，单调递增，则当时，函数单调递减.故选B.【考点】函数的定义域；函数的奇偶性和单调性.8.函数若是方程三个不同的根，则的范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】作出函数图像（略），方程有三个互不相等的实根等价于函数与直线图像有三个交点，由图像易知.当方程存在三个不等的实根时，其中有两根在区间内，关于对称；一个根在区间内，故的取值范围是，故选B.【考点】分段函数的概念；指数函数、正弦函数的图象；数形结合思想；函数方程的概念.二、填空题1. .【答案】.【解析】.【考点】余弦函数的基本公式.2.已知,，那么= .【答案】.【解析】【考点】两角差的正切公式.3.函数，的图象如图所示，则= .【答案】.【解析】由图像知：，则；,则；,则；所以.【考点】函数的图象与性质.4.函数的单调递增区间为 .【答案】.【解析】由对数函数的图像和性质得：，则；又，所以函数在其定义域上为偶函数；且当时，单调递增，则当时，函数单调递减；所以函数的单调递增区间为.【考点】对数函数的图像和性质.5.边长为1的菱形ABCD中，∠DAB＝60°，，，则＝ .【答案】.【解析】以A为原点，AB所在直线为x轴，建立如图坐标系∵菱形ABCD边长为1，∠DAB=60°，∴，即,,∵,∴M为CD的中点，得,又∵，∴,∴.【考点】向量的数量积坐标运算和向量在平面几何中的应用.6.已知是奇函数，满足，，则= .【答案】-2.【解析】由，得，因此f(x)是以4为周期的函数；又f(x)是定义域为R的奇函数，得，；则，，所以.【考点】函数的奇偶性和周期性.三、解答题1.已知，是第二象限角，求:（1）的值；（2）的值．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由同角三角函数的基本关系式直接求解，注意在各个象限内的符号；（2）由同角三角函数的基本关系式和两角差的余弦公式求解.试题解析：（1）解：∵，且是第二象限角，∴ ,（2），,=【考点】同角三角函数的基本关系式；两角差的余弦公式.2.设函数f (x)＝cos(2x＋)＋sin2x＋2a（1）求函数的单调递增区间；（2）当时，的最小值为0，求的最大值．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）利用两角和的正弦和余弦将函数化简为，由正弦函数的递增区间为，列出关于x的不等式，求得不等式的解集即可得到函数的递增区间；（2）由x得范围求出函数中角的范围，利用正弦函数的图像和性质得到函数最小值的方程，解得参数a的值，再求得函数的最大值.试题解析：解：（1）．由，得所以的单调递增区间为．（2）由，得，故．由的最小值为0，得解得．的最大值为.【考点】两角和的正弦和余弦；函数的图象与性质.3.已知(a>0)是定义在R 上的偶函数， （1）求实数a 的值； （2）判断并证明函数在的单调性； （3）若关于的不等式的解集为，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）函数在上是单调递增的；（3）.【解析】（1）由函数为偶函数，得，代入函数表达式，化简求得，由，得；（2）用定义证明函数在上单调递增的步骤：设值—作差、变形—判断符号—得出结论；（3）将不等式转化为在上恒成立，即，只需求得函数的最小值，代入不等式即可求得m 的范围.试题解析：解析：(1)因为f(x)为偶函数，所以f(－x)＝f(x) 即＝ ∴e x －e －x ＝0，∴ (e x －e －x )＝0， ∴a －＝0，即a ＝±1.而a ＞0，∴，∴f(x)＝e x ＋e －x .（2）函数在上是单调递增的.证明：任取且x 1＜x 2，∴f(x)在上是增函数．（3）由题意，在上恒成立，则只需∵f(x)为偶函数，且f(x)在上是增函数∴f(x)在(－∞，0)上是减函数，∴f(x)的最小值为则有 ，因此.【考点】函数的单调性、最值；函数的奇偶性和周期性.4.已知函数，其中向量，，，且的最小正周期为．（1）求的值；（2）求的最小值，并求出相应的的取值集合；（3）将的图象向左平移个单位，所得图象关于点对称，求的最小正值.【答案】（1）；（2）最小值为-2，的取值集合为；（3）.【解析】（1）将向量，，，代入函数，利用三角函数的基本关系式化简得到，由的最小正周期为，得；（2）由函数的图象与性质，得函数的最小值和相应的x的取值范围；（3）函数的图象向左平移个单位，得；由图象关于点对称，得，解得，则得最小值.试题解析：（1）由已知得，因为最小正周期为,所以（2）因为，所以最小值为-2，此时满足则因此的取值集合为（3），由题意得，，所以得最小值.【考点】向量的数量积；三角函数的基本关系式；函数的图象与性质；函数的最值；函数图像的平移.5.已知函数，其中（1）判断并证明函数的奇偶性；（2）判断并证明函数在上的单调性；（3）是否存在这样的负实数，使对一切恒成立，若存在，试求出取值的集合；若不存在，说明理由【答案】（1）奇函数；（2）在上的减函数；（3）存在这样的k其范围为.【解析】（1）已知函数的定义域关于原点对称，再证明，所以函数是奇函数；（2）用定义证明函数在上单调递减的步骤：设值—作差、变形—判断符号—得出结论；（3）由（1）（2）得，不等式可变形为，从而得到不等式组，解得.试题解析：（1）∴是奇函数．（2）任取∴在上的减函数；（3）是上的减函数对恒成立由对恒成立得：对恒成立令由得：由得：即综上所得：所以存在这样的k其范围为【考点】函数的奇偶性、单调性和最值.。

天津市五区县高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．（4分）已知幂函数y=n的图象经过点（2，8），则此幂函数的解析式是（）A．y=2 B．y=3 C．y=3D．y=﹣12．（4分）已知全集U={1，2，3，4，5，6}，集合A={1，2，4}，集合B={3，6}，则∁U（A ∪B）=（）A．{1，2，4}B．{1，2，4，5}C．{2，4}D．{5}3．（4分）在△ABC中，点M是BC的中点，设=，=，则=（）A．+B．﹣C．+ D．﹣4．（4分）已知a=20.3，b=log0.23，c=log32，则a，b，c的大小关系是（）A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．b＜c＜a5．（4分）函数y=sin（2+）的图象可以由函数y=sin2的图象（）得到．A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度6．（4分）函数f（）=﹣log的零点个数为（）A．0个B．1个 C．2个 D．无数多个7．（4分）已知sin（π+α）=，则cos（α﹣π）的值为（）A．B．﹣ C．D．﹣8．（4分）已知△ABC的三个顶点A、B、C及平面内一点P，若++=，则点P与△ABC的位置关系是（）A．P在AC边上B．P在AB边上或其延长线上C．P在△ABC外部 D．P在△ABC内部9．（4分）函数y=3﹣2cos（2﹣）的单调递减区间是（）A．（π+，π+）（∈）B．（π﹣，π+）（∈）C．（2π+，2π+）（∈）D．（2π﹣，2π+）（∈）10．（4分）已知偶函数f（）在[0，+∞）上是增函数，且f（1）=0，则满足f（log）＞0的的取值范围是（）A．（0，+∞）B．（0，）∪（2，+∞）C．（0，）D．（0，）∪（1，2）二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分）.11．（4分）sin210°=．12．（4分）已知A（2，3），B（4，﹣3），且=3，则点P的坐标为．13．（4分）函数f（）=lg（1﹣2）的定义域为．14．（4分）已知函数f（）=（a∈R），若f（f（﹣））=1，则a的值为．15．（4分）在平行四边形ABCD中，AD=1，AB=2，∠BAD=60°，E是CD的中点，则=．三、解答题：本大题共5小题，共60分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．16．（12分）已知向量=（1，0），=（m，1），且与的夹角为．（1）求|﹣2|；（2）若（+λ）与垂直，求实数λ的值．17．（12分）已知全集U=R，集合A={|1＜2﹣1＜5}，B={y|y=（），≥﹣2}．（1）求（∁U A）∩B；（2）若集合C={|a﹣1＜﹣a＜1}，且C⊆A，求实数a的取值范围．18．（12分）已知函数f（）=2cos（sin+cos）+m，（∈R，m∈R）．（1）求f（）的最小正周期；（2）若f（）在区间[0，]上的最大值是6，求f（）在区间[0，]上的最小值．19．（12分）已知sinα=，且α∈（，π）．（1）求tan（α+）的值；（2）若β∈（0，），且cos（α﹣β）=，求cosβ的值．20．（12分）已知函数f（）=（2﹣2﹣）（a＞0，且a≠1）．（1）判断函数f（）的奇偶性和单调性，并说明理由；（2）当∈（﹣1，1）时，总有f（m﹣1）+f（m）＜0，求实数m的取值范围．天津市五区县高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．（4分）已知幂函数y=n的图象经过点（2，8），则此幂函数的解析式是（）A．y=2 B．y=3 C．y=3D．y=﹣1【解答】解：设幂函数为f（）=α，因为图象经过点（2，8），∴f（2）=8=23，从而α=﹣3函数的解析式f（）=3，故选：C．2．（4分）已知全集U={1，2，3，4，5，6}，集合A={1，2，4}，集合B={3，6}，则∁U（A ∪B）=（）A．{1，2，4}B．{1，2，4，5}C．{2，4}D．{5}【解答】解：∵集合A={1，2，4}，集合B={3，6}，∴A∪B={1，2，3，4，6}，则∁U（A∪B）={5}，故选：D．3．（4分）在△ABC中，点M是BC的中点，设=，=，则=（）A．+B．﹣C．+ D．﹣【解答】解：如图作平行四边形ABDC，则有．故选：C．4．（4分）已知a=20.3，b=log0.23，c=log32，则a，b，c的大小关系是（）A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．b＜c＜a【解答】解：∵a=20.3＞20=1，b=log0.23＜log0.21=0，0=log31＜c=log32＜log33=1，∴a，b，c的大小关系是b＜c＜a．故选：D．5．（4分）函数y=sin（2+）的图象可以由函数y=sin2的图象（）得到．A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度【解答】解：把函数y=sin2的图象，向左平移个单位长度，可得函数y=sin2（+）=sin （2+）的图象，故选：C．6．（4分）函数f（）=﹣log的零点个数为（）A．0个B．1个 C．2个 D．无数多个【解答】解：函数f（）=﹣log的零点个数，就是函数y=与y=log，两个函数的图象的交点个数，如图：可知函数的图象只有一个交点．函数f（）=﹣log的零点个数为：1个．故选：B．7．（4分）已知sin（π+α）=，则cos（α﹣π）的值为（）A．B．﹣ C．D．﹣【解答】解：由sin（π+α）=得，sinα=﹣，所以cos（α﹣π）=cos（π﹣α）=﹣sinα=，故选A：．8．（4分）已知△ABC的三个顶点A、B、C及平面内一点P，若++=，则点P与△ABC的位置关系是（）A．P在AC边上B．P在AB边上或其延长线上C．P在△ABC外部 D．P在△ABC内部【解答】解：∵∴=∴∴∴P在AC的三等分点上故选A．9．（4分）函数y=3﹣2cos（2﹣）的单调递减区间是（）A．（π+，π+）（∈）B．（π﹣，π+）（∈）C．（2π+，2π+）（∈）D．（2π﹣，2π+）（∈）【解答】解：函数y=3﹣2cos（2﹣）的单调递减区间，即函数y=2cos（2﹣）的单调递增区间，令2π﹣π≤2﹣≤2π，求得π﹣≤≤π+，可得原函数的减区间为[π﹣，π+]，∈．结合所给的选项，故选：B．10．（4分）已知偶函数f（）在[0，+∞）上是增函数，且f（1）=0，则满足f（log）＞0的的取值范围是（）A．（0，+∞）B．（0，）∪（2，+∞）C．（0，）D．（0，）∪（1，2）【解答】解：∵f（）是R上的偶函数，且在[0，+∞）上是增函数，又f（1）=0，∴不等式f（log）＞0等价为f（|log|）＞f（1），即|log|＞1，则log＞1或log＜﹣1，解得0＜＜2或，故选：B．二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分）.11．（4分）sin210°=﹣．【解答】解：sin210°=sin（180°+30°）=﹣sin30°=﹣．故答案为：﹣12．（4分）已知A（2，3），B（4，﹣3），且=3，则点P的坐标为（8，﹣15）．【解答】解：设P（，y），∵A（2，3），B（4，﹣3），且=3，∴（﹣2，y﹣3）=3（2，﹣6）=（6，﹣18），∴，解得=8，y=﹣15，∴点P的坐标为（8，﹣15）．故答案为：（8，﹣15）．13．（4分）函数f（）=lg（1﹣2）的定义域为（﹣∞，0）．【解答】解：∵f（）=lg（1﹣2）根据对数函数定义得1﹣2＞0，解得：＜0故答案为：（﹣∞，0）14．（4分）已知函数f（）=（a∈R），若f（f（﹣））=1，则a的值为8．【解答】解：函数f（）=（a∈R），若f（f（﹣））=1，可得f（﹣）=，f（f（﹣））=f（）=1，a×=1，解得a=8．故答案为：815．（4分）在平行四边形ABCD中，AD=1，AB=2，∠BAD=60°，E是CD的中点，则=﹣．【解答】解：由题意可得=2×1×cos60°=1，∴=（）•（+）=（）•（﹣）=﹣++=﹣×4+×1+1=﹣，故答案为﹣．三、解答题：本大题共5小题，共60分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．16．（12分）已知向量=（1，0），=（m，1），且与的夹角为．（1）求|﹣2|；（2）若（+λ）与垂直，求实数λ的值．【解答】解：（1）∵=（1，0），=（m，1），且与的夹角为．∴=m，||=1，||=，cos＜＞==，解得m=1，或m=﹣1（舍）∴=（﹣1，﹣2），∴|﹣2|==．（2）∵=（1+λ，λ），（+λ）与垂直，∴，解得．17．（12分）已知全集U=R，集合A={|1＜2﹣1＜5}，B={y|y=（），≥﹣2}．（1）求（∁U A）∩B；（2）若集合C={|a﹣1＜﹣a＜1}，且C⊆A，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）由集合A={|1＜2﹣1＜5}={|1＜＜3}，∴C U A={|≤1，或≥3}∵B={y|y=（），≥﹣2}={y|0＜y≤4}∴（C U A）∩B={|0＜≤1，或3≤≤4}，（2）C={|a﹣1＜﹣a＜1}={|2a﹣1＜＜a+1}，当2a﹣1≥a+1时，即a≥2时，C=∅，满足C⊆A，当a＜2时，由题意，解得1≤a＜2，综上，实数a的取值范围是[1，+∞）18．（12分）已知函数f（）=2cos（sin+cos）+m，（∈R，m∈R）．（1）求f（）的最小正周期；（2）若f（）在区间[0，]上的最大值是6，求f（）在区间[0，]上的最小值．【解答】解：（1）函数f（）=2cos（sin+cos）+m=sin2+cos2+1+m=2sin（2+）+1+m，故函数f（）的最小正周期为π．（2）在区间[0，]上，2+∈[，]，故当2+=时，f（）取得最大值为2+1+m=6，∴m=3．故当2+=时，f（）取得最小值为﹣1+1+m=3．19．（12分）已知sinα=，且α∈（，π）．（1）求tan（α+）的值；（2）若β∈（0，），且cos（α﹣β）=，求cosβ的值．【解答】（本题满分为12分）解：（1）∵sinα=，且α∈（，π），∴cosα=，…（2分）∴tanα==﹣，…（4分）∴tan（α+）==．…（6分）（2）∵α∈（，π），β∈（0，），∴α﹣β∈（0，π），…（7分）又∵cos（α﹣β）=，∴sin（α﹣β）=，…（9分）∴cosβ=cos[α﹣（α﹣β）]=cosαcos（α﹣β）+sinαsin（α﹣β）…（11分）=（﹣）×+×=．…（12分）20．（12分）已知函数f（）=（2﹣2﹣）（a＞0，且a≠1）．（1）判断函数f（）的奇偶性和单调性，并说明理由；（2）当∈（﹣1，1）时，总有f（m﹣1）+f（m）＜0，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）∵f（﹣）=（2﹣﹣2）=﹣（2﹣2﹣）=﹣f（），∴f（）为奇函数．…（2分）设1＜2，f（1）﹣f（2）=（﹣﹣+）=（﹣）（1+），∵y=2是增函数，∴﹣＜0，又1+＞0，∴当0＜a＜1时，f（1）﹣f（2）＞0，即f（1）＞f（2），函数f（）是减函数当a＞1时，f（1）﹣f（2）＜0，即f（1）＜f（2），函数f（）是增函数．…（6分）（2）由f（m﹣1）+f（m）＜0得f（m）＜﹣f（m﹣1）由（1）知f（）为奇函数，∴f（m）＜f（1﹣m）…（8分）又由（1）得当0＜a＜1时，函数f（）是减函数∴解得＜m＜1 …（10分）当a＞1时，函数f（）是增函数∴，解得0＜m＜．…（12分）。

2023-2024学年天津市高一上册期末数学试题一、单选题1．已知集合{}1,1,2,4A =-，{}1B x x =≤，则A B = （）．A ．{}1,2-B ．{}1,2C ．{}1,4D ．{}1,1-【正确答案】D【分析】依次检验集合A 中的元素是否属于集合B ，从而求得A B ⋂.【详解】因为{}1,1,2,4A =-，{}1B x x =≤，当=1x -时，1x =满足1x ≤，故1B -∈；当1x =时，1x =满足1x ≤，故1B ∈；当2x =时，2x =不满足1x ≤，故2∉B ；当4x =时，4x =不满足1x ≤，故4B ∉；所以{}1,1A B =- .故选：D.2．函数π2sin 24x y ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期是（）．A ．π2B ．πC ．2πD ．4π【正确答案】D【分析】用周期公式计算.【详解】由题意，12,42T πωπω=∴==；故选：D.3．R,20x x ∀∈>的否定是（）A ．R,20x x ∃∈>B ．R,20x x ∃∈≤C ．R,20x x ∀∈<D ．R,20x x ∀∈≤【正确答案】B【分析】利用全称命题的否定可得结论.【详解】解：命题“R,20x x ∀∈>”为全称命题，该命题的否定为“R,20x x ∃∈≤”.故选：B.4．下列四个函数中，在区间()0,∞+上是减函数（）．A ．0.5log y x=B ．()21y x =-C ．y x=D ．2x y =【正确答案】A【分析】分别考虑对应函数的单调性即可求解.【详解】对于A ：0.5log y x =因为0<0.5<1,所以函数在区间()0,∞+上是减函数，符合题意；对于B ：()21y x =-，函数在()0,1单调递减，()1,+∞单调递增，不符合题意；对于C ：y x =函数在区间()0,∞+上是增函数，不符合题意；对于D ：2x y =函数在区间()0,∞+上是增函数，不符合题意.故选：A.5．设x R ∈，则“1x <”是“01x <<”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【正确答案】B利用集合的包含关系判断可得出结论.【详解】{}1x x < {}01x x <<，因此，“1x <”是“01x <<”的必要不充分条件.故选：B.6．设0.73a =，0.813b -⎛⎫= ⎪⎝⎭，3log 2c =，则a ，b ，c 的大小关系为（）．A ．a b c>>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．b c a>>【正确答案】B 【分析】根据指数函数的单调性和对数函数的单调性并与特殊值比较即可求解.【详解】0.70331a =>=，0.80.81313b -⎛⎫==> ⎪⎝⎭，3330log 1log 2log 31c =<=<=，又0.80.733b a =>=，所以b a c >>.故选：B.7．若tan 2α=，则1sin cos αα=（）．A ．5B ．25C ．52D ．12【正确答案】C【分析】根据同角三角函数基本关系式即可求解.【详解】因为tan 2α=，所以sin 2cos αα=，sin 2cos αα=再由22sin cos 1αα+=，解得sin α=，cos α=sin 2cos αα=知sin α与cos α同号所以15sin cos 255αα=，故选：C.8．已知函数()225f x x kx =+-在[]2,4-上具有单调性，则实数k 的取值范围为（）．A ．4k ≤-B ．2k ≥C ．4k ≤-或2k ≥D ．4k <-或2k >【正确答案】C【分析】首先求出二次函数的对称轴，再结合题意求解即可.【详解】函数()225f x x kx =+-的对称轴为x k =-，因为函数()225f x x kx =+-在[]2,4-上具有单调性，所以4k -≥或2k -≤-，即4k ≤-或2k ≥.故选：C9．若sin 4πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，那么cos 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为（）A B ．5-C D ．5-【正确答案】D利用诱导公式进行变换，即可得答案；【详解】由题意可得cos sin 424πππαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦sin sin 44ππαα⎛⎫⎛⎫=-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选：D.本题考查诱导公式求值，考查运算求解能力.二、填空题10．sin120︒=_______.【正确答案】2利用正弦的诱导公式计算．【详解】sin120sin(18060)sin 60︒=︒-︒=︒，故2．11．函数()()ln 1f x x =-的定义域是________．【正确答案】()1,+∞##{}1x x >【分析】利用对数的真数大于零可求得原函数的定义域.【详解】对于函数()()ln 1f x x =-，10x ->，解得1x >，故函数()f x 的定义域为()1,+∞.故答案为.()1,+∞12．已知2x >-，则92x x ++的最小值为_________．【正确答案】4【分析】利用拼凑法结合均值不等式即可求解.【详解】99222422x x x x +=++-≥=++，当且仅当92(2)2x x x +=>-+即()229x +=即1x =时等号成立，所以92x x ++的最小值为4，故4.13．若3cos 5α=-，则cos 2=α__________．【正确答案】725-##0.28-【分析】用二倍角公式2cos 22cos 1αα=-展开代入计算.【详解】22337cos cos 22cos 1215525ααα⎛⎫=-∴=-=⨯--=- ⎪⎝⎭ 故725-14．已知函数3log (0)()2(0)x x x f x x ，，>⎧=⎨≤⎩,则1[(3f f =______．【正确答案】12【分析】由题意，根据函数()f x 的解析式，先求得1(13f =-，进而求得11[()]32f f =．【详解】由题意，函数()3log ,02,0x x x f x x >⎧=⎨≤⎩，所以3()lo 113g 13f ==-，所以111[()](1)232f f f -=-==，故答案为12．本题主要考查了分段函数的求值问题，其中解答中正确利用分段函数的分段条件，合理代入求值是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题．15．若函数()0.52log ,0143,1x x f x x x x <≤⎧=⎨-+->⎩，函数()()g x f x kx =-有两个零点，则实数k 的取值是__________．【正确答案】0和4-【分析】根据图象以及判别式求得正确答案.【详解】由()()0g x f x kx =-=得()f x kx =，即()y f x =与y kx =的图象有两个公共点，画出(),y f x y kx ==的图象如下图所，由图可知，当0k =时，()y f x =与y kx =有两个公共点，当0k <时，()y f x =与y kx =有一个公共点，当0k >时，由243y kx y x x =⎧⎨=-+-⎩消去y 并化简得()2430x k x +-+=，由()22443840k k k ∆=--⨯=-+=，解得423k =-或423k =+（结合图象可知不符合，舍去），综上所述，()()g x f x kx =-有两个零点，则实数k 的值是0和423-故0和423-三、解答题16．已知5sin 13α=，π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．(1)求sin 2α的值；(2)求πcos 6⎛⎫- ⎪⎝⎭α的值．【正确答案】(1)120169-(2)526-【分析】（1）先利用平方关系求出cos α，再利用二倍角的正弦公式即可得解；（2）利用两角差的余弦公式计算即可得解.【详解】（1）因为π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以cos 0α<，因为5sin 13α=，所以12cos 13α==-，所以512120sin 22sin cos 21313169ααα⎛⎫==⨯⨯-=- ⎪⎝⎭.（2）由（1）知5sin 13α=，12cos 13α=-，所以πππcos cos cos sin sin 666ααα⎛⎫-= ⎪⎝⎭1251513213226-=-+⨯=.17．（1）计算：5lg 2lg 53log 5ln1++-；（2）已知35a b =，且111a b+=，求a 的值．【正确答案】（1）4；（2）3log 15【分析】（1）利用对数的运算性质求解即可.（2）利用对数的换底公式求解即可.【详解】（1）5lg 2lg 53log 5ln1lg10304++-=+-=（2）设()035a b k k ==>，所以3log a k =，5log b k =.所以351111log 3log 5log 151log log k k k a b k k+=+=+==，即15k =.所以3log 15a =.18．已知函数()π46f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．(1)求()f x 的单调区间；(2)求()f x 在区间ππ,88⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值与最小值．【正确答案】(1)()f x 的单调递增区间为()ππππ,Z 26212k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦，单调递减区间为()ππππ,Z 21223k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦.(2)π12x =时()f x ，π8x =-时()f x 有最小值【分析】（1）利用正弦函数的单调性，利用整体代入的方法求得()f x 的单调区间；（2）根据函数的关系式，利用函数的定义域确定函数的最大和最小值．【详解】（1）由()πππ2π42πZ 262k x k k -≤+≤+∈，解得()ππππZ 26212k k x k -≤≤+∈，所以()f x 的单调递增区间为()ππππ,Z 26212k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦；由()ππ3π2π42πZ 262k x k k +≤+≤+∈，解得()ππππZ 21223k k x k +≤≤+∈，所以()f x 的单调递减区间为()ππππ,Z 21223k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦（2）()π46f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，ππ,88x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，ππ2π4633x ⎡⎤+∈-⎢⎣⎦，当ππ462x +=即π12x =时()f x ；当ππ463x +=-即π8x =-时()f x 有最小值2-19．已知函数()()121x f x m m =+∈-R ．(1)判断函数()f x 在(),0∞-内的单调性，并证明你的结论；(2)若函数()f x 在定义域内是奇函数，求实数m 的值．【正确答案】(1)函数()f x 在(),0∞-内的单调递减，证明详见解析(2)12【分析】（1）利用函数单调性的定义证得()f x 的单调性.（2）由()()f x f x -=-列方程来求得m 的值.【详解】（1）函数()f x 在(),0∞-内的单调递减，证明如下：任取()()121212110,2121x x x x f x f x m m <<-=+----()()2112222121x x x x -=--，其中2112220,210,210x x x x ->-<-<，所以()()()()12120,f x f x f x f x ->>，所以函数()f x 在(),0∞-内的单调递减.（2）()f x 的定义域是{}|0x x ≠，若函数()f x 在定义域内是奇函数，则()()f x f x -=-，即112121x x m m -⎛⎫+=-+ ⎪--⎝⎭，11121221212121122121x x x x x x x x m ----=-=-=+=------，所以12m =.。

天津市五区县2015-2016学年高一数学上学期期末考试试题（扫描版）天津市五区县2015～2016学年度第一学期期末考试高一数学试卷参考答案一、选择题1．D 2．C 3．A 4．C 5．B 6．A 7．D 8．D 9． C 10 ．B 二、填空题11 ),1[+∞ 12. ()12,8 13.)322sin(2π+=x y 14. 12- 15. )1(+-x x三．解答题16.解：（1）由题知{}|23A x x =-<<，{}|42R C B x x =-≤≤，……………………3分∴}22|{)(≤<-=x x B C A R I ；……..............................................…………5分（2）由（1）得{}|23A x x =-<<，又{}|42B x x x =<->，或，∴{}|42A B x x x ⋃=<->-，或，∴ (){|42}R A B x x =-≤≤-U ð，……7分而{}|321C x a x a =-<<+，要使()R A B C ⊆U ð，只需3241 2 a a -<-⎧⎨+>-⎩，故，233a -<<-............................................................................................................10分 17.解：sin2sin()2223x x x y π=+=+.......................................................................2分 （1）当2232x k πππ+=+，即4,3x k k Z ππ=+∈时，y 取得最大值 |4,3x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭为所求.............................................................................4分 （2）2412T ππ==，........................................................................................................6分 令22,2232x k k k Z πππππ-+≤+≤+∈；............................................ ....................8分 即：544,33k x k k Z ππππ-+≤≤+∈；∴函数()f x 的单调增区间为5[4,4],33k k k Z ππππ-++∈...................................10分18.解：(1,2)(3,2)(3,22)ka b k k k +=+-=-+r r3(1,2)3(3,2)(10,4)a b -=--=-r r............................................................................2分（1）()ka b +⊥r r (3)a b -r r ， 得()ka b +⋅r r (3)10(3)4(22)2380,19a b k k k k -=--+=-==r r...............6分（2）()//ka b +r r (3)a b -r r ，得14(3)10(22),3k k k --=+=-.............................8分此时1041(,)(10,4)333ka b +=-=--r r ，所以方向相反..........................................10分19.解：（Ⅰ）()()()F x f x g x =-log (32)a x =+-log (32)a x - (0,1)a a >≠且 令320320x x +>⎧⎨->⎩，解得：3322x -<<..........................................................................2分 ∴函数()F x 的定义域为33|22x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭......................…………………………3分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可知函数()F x 的定义域为33|22x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭关于原点对称 ……………5分且()()()F x f x g x -=---=log (32)a x -log (32)a x -+()F x =- ∴函数()F x 为奇函数 …………………………........................……7分（Ⅲ）若()()0f x g x ->，即：log (32)a x +-log (32)0a x ->移项得，log (32)a x +>log (32)a x -①当01a <<时，3203203232x x x x +>⎧⎪->⎨⎪+<-⎩解得：302x -<<…………..........……………9分②当1a >时，3203203232x x x x +>⎧⎪->⎨⎪+>-⎩解得：302x <<………………………..........……11分综上：当01a <<时，不等式的解集为3|02x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭ 当1a >时，不等式的解集为3|02x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭ …………………...........……12分 20.解: （Ⅰ）33cos cos sin sin cos 22222x x a b x x x ⋅=-=r r …………......................……2分| a b |+=u u r u u r2cos x ===………………….......……..................…4分（Ⅱ）)1cos 0(12)(cos 2cos 42cos )(22≤≤---=-=x t t x x t x x f ………........…6分 当0t <时，若cos 0x =，有min ()1f x =- ……………...........................…..................8分 当01t ≤≤时，若cos x t =，有2min ()21f x t =-- ......................….........……………10分当1t >时，若cos 1x =，有min ()14f x t =- ……………........................................…12分∴⎪⎩⎪⎨⎧>-≤≤--<-=)1(41)10(21)0(1)(2t t t t t t g …………................................................................……13分。

2014-2015学年天津市五区县高一（上）期末数学试卷一、选择题：每小题5分，共50分．1．（5分）sin510°=（）A．B．﹣ C．D．﹣2．（5分）函数的定义域是：（）A．[1，+∞）B．C． D．3．（5分）设P（3，﹣6），Q（﹣5，2），R的纵坐标为﹣9，且P、Q、R三点共线，则R点的横坐标为（）A．﹣9 B．﹣6 C．9 D．64．（5分）下列函数中值域为（0，+∞）的是（）A．B．C．D．5．（5分）cos24°cos36°﹣cos66°cos54°的值等于（）A．0 B．C．D．﹣6．（5分）函数f（x）=||的单调递增区间是（）A．（0，]B．（0，1]C．（0，+∞）D．[1，+∞）7．（5分）要得到函数的图象，只需要将函数y=sin2x的图象上所有点（）A．向左平移个单位长度B．向右平移单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度8．（5分）在△ABC中，D、E、F分别BC、CA、AB的中点，点M是△ABC的重心，则等于（）A．B． C． D．9．（5分）若关于x的方程a x﹣x﹣a=0有两个解，则实数a的取值范围是（）A．（1，+∞）B．（0，1） C．（0，+∞）D．∅10．（5分）已知||=3，||=4，且（+k）⊥（﹣k），则k等于（）A．B．C．D．二、填空题：每小题4分，共20分．11．（4分）已知向量、满足||=1，||=4，且•=2，则与的夹角为．12．（4分）若log a2=m，log a3=n，a2m+n=．13．（4分）函数f（x）=cos2x﹣2sinx•cosx的最小正周期是．14．（4分）在△ABC中，已知tanA，tanB是方程3x2﹣7x+2=0的两个实根，则tanC=．15．（4分）已知函数f（x）是偶函数，且它在[0，+∞）上是减函数，若f（lgx）＞f（1），则x的取值范围是．三、解答题：共50分．16．（10分）已知sinα=，cosβ=﹣，α∈（，π），β是第三象限角．（1）求cos2α的值；（2）求cos（α+β）的值．17．（10分）已知函数f（x）=sin2x+sin2x+3cos2x，求（Ⅰ）函数f（x）的最小值及此时的x的集合；（Ⅱ）函数f（x）的单调递减区间．18．（10分）在△ABC中，∠A=90°，AB=1，AC=2，设点P，Q满足，=（1﹣λ），λ∈R，=﹣2．（1）令，用λ，表示向量；（2）求λ的值．19．（10分）已知f（x）为奇函数，g（x）为偶函数，且f（x）+g（x）=2log2（1﹣x）．（1）求f（x）及g（x）的解析式；（2）求g（x）的值域．20．（10分）已知点A，B，C的坐标分别为A（3，0），B（0，3），C（cosα，sinα），α∈（）．（1）若=，求角α的值；（2）若•=﹣1，求的值．2014-2015学年天津市五区县高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：每小题5分，共50分．1．（5分）sin510°=（）A．B．﹣ C．D．﹣【解答】解：sin510°=sin（360°+150°）=sin150°=sin30°=．故选：A．2．（5分）函数的定义域是：（）A．[1，+∞）B．C． D．【解答】解：要使函数有意义：≥0，即：可得0＜3x﹣2≤1解得x∈故选：D．3．（5分）设P（3，﹣6），Q（﹣5，2），R的纵坐标为﹣9，且P、Q、R三点共线，则R点的横坐标为（）A．﹣9 B．﹣6 C．9 D．6【解答】解：设R点的横坐标为x，由K PQ=K PR可得=，∴x=6，故选：D．4．（5分）下列函数中值域为（0，+∞）的是（）A．B．C．D．【解答】解：A．对于函数y=，由于≠0，∴函数y=≠1，故函数的值域为（0，1）∪（1，+∞）．B．由于函数y==3x﹣1＞0恒成立，故函数的值域为（0，+∞）．C．由于＞0，∴﹣1＞﹣1，∴≥0，故函数y=≥0，故函数的值域为[0，+∞）．D．由于2x＞0，∴1﹣2x＜1，∴0≤＜1，故函数y=的值域为[0，1）．综上可得，只有B满足条件，故选：B．5．（5分）cos24°cos36°﹣cos66°cos54°的值等于（）A．0 B．C．D．﹣【解答】解：cos24°cos36°﹣cos66°cos54°=sin66°cos36°﹣cos66°sin36°=sin（66°﹣36°）=sin30°=故选：B．6．（5分）函数f（x）=||的单调递增区间是（）A．（0，]B．（0，1]C．（0，+∞）D．[1，+∞）【解答】解：根据题意得到函数的定义域为（0，+∞），f（x）=||当x＞1时，根据对数定义得：＜0，所以f（x）=﹣；当0＜x＜1时，得到＞0，所以f（x）=．根据解析式画出函数的简图，由图象可知，当x＞1时，函数单调递增．故选：D．7．（5分）要得到函数的图象，只需要将函数y=sin2x的图象上所有点（）A．向左平移个单位长度B．向右平移单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度【解答】解：将函数y=sin2x的图象上所有点向左平移个单位长度，即可得函数的图象，故选：C．8．（5分）在△ABC中，D、E、F分别BC、CA、AB的中点，点M是△ABC的重心，则等于（）A．B． C． D．【解答】解：设AB的中点为F∵点M是△ABC的重心∴．故选：C．9．（5分）若关于x的方程a x﹣x﹣a=0有两个解，则实数a的取值范围是（）A．（1，+∞）B．（0，1） C．（0，+∞）D．∅【解答】解：①当0＜a＜1时，函数f（x）=a x﹣x﹣a在R上是单调减函数，故方程a x﹣x﹣a=0不可能有两个解；②当a＞1时，作函数y=a x与y=x+a的图象如下，直线y=x+a过点（0，a），且k=1；而y=a x过点（0，1），且为增函数，增长速度越来越快；故函数y=a x与y=x+a的图象一定有两个交点，综上所述，实数a的取值范围是（1，+∞）；故选：A．10．（5分）已知||=3，||=4，且（+k）⊥（﹣k），则k等于（）A．B．C．D．【解答】解：∵∴即∴9﹣16k2=0解得k=故选：B．二、填空题：每小题4分，共20分．11．（4分）已知向量、满足||=1，||=4，且•=2，则与的夹角为．【解答】解：设向量、的夹角为θ；因为•=2，所以•=||||cosθ=4cosθ=2，所以θ=故答案为：．12．（4分）若log a2=m，log a3=n，a2m+n=12．【解答】解：∵log a2=m，log a3=n，∴a m=2，a n=3，∴a2m+n=（a m）2•a n=22•3=12．故答案为：12．13．（4分）函数f（x）=cos2x﹣2sinx•cosx的最小正周期是π．【解答】解：由题意知，f（x）=cos2x﹣2sinx•cosx=cos2x﹣sin2x=2cos（2x+），∴函数的最小正周期是π．故答案为π．14．（4分）在△ABC中，已知tanA，tanB是方程3x2﹣7x+2=0的两个实根，则tanC=﹣7．【解答】解：∵tanA，tanB是方程3x2﹣7x+2=0的两个根，则tanA+tanB=，tanAtanB=，∴tanC=tan[π﹣（A+B）]=﹣tan（A+B）=﹣=﹣7故答案为：﹣715．（4分）已知函数f（x）是偶函数，且它在[0，+∞）上是减函数，若f（lgx）＞f（1），则x的取值范围是．【解答】解：该函数的草图如图由图可知若f（lgx）＞f（1），则﹣1＜lgx＜1，∴＜x＜10．三、解答题：共50分．16．（10分）已知sinα=，cosβ=﹣，α∈（，π），β是第三象限角．（1）求cos2α的值；（2）求cos（α+β）的值．【解答】解：（1）cos2α=1﹣2sin2α=1﹣2×=，（2）∵sinα=，cosβ=﹣，α∈（，π），β是第三象限角，∴cosα=﹣=﹣，sinβ=﹣=﹣，∴cos（α+β）=cosαcosβ﹣sinαsinβ=（﹣）×（﹣）﹣=．17．（10分）已知函数f（x）=sin2x+sin2x+3cos2x，求（Ⅰ）函数f（x）的最小值及此时的x的集合；（Ⅱ）函数f（x）的单调递减区间．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=sin2x+sin2x+3cos2x=sin2x+cos2x+2=sin（2x+）+2．∴当sin（2x+）=﹣1，即x∈{x|x=kπ+（k∈Z）}时，f（x）min=2﹣．（Ⅱ）由2kπ+≤2x+≤2kπ+，k∈Z可解得：kπ+≤x≤kπ+，k∈Z，故函数f（x）的单调递减区间是：[kπ+，kπ+]，k∈Z，18．（10分）在△ABC中，∠A=90°，AB=1，AC=2，设点P，Q满足，=（1﹣λ），λ∈R，=﹣2．（1）令，用λ，表示向量；（2）求λ的值．【解答】解：（1）如图所示，==+=﹣+；==﹣+=+．（2）∵=（1，0），=（0，2）．∴=﹣+=（λ，﹣2）；=+=（﹣1，2﹣2λ）．∵=﹣2．∴﹣λ﹣2（2﹣2λ）=﹣2，解得λ=．19．（10分）已知f（x）为奇函数，g（x）为偶函数，且f（x）+g（x）=2log2（1﹣x）．（1）求f（x）及g（x）的解析式；（2）求g（x）的值域．【解答】解：（1）因为f（x）是偶函数，g（x）是奇函数，所以f（﹣x）=﹣f（x），g（﹣x）=g（x），令x取﹣x代入f（x）+g（x）=2log2（1﹣x），①得f（﹣x）+g（﹣x）=2log2（1+x），即﹣f（x）+g（x）=2log2（1+x），②联立①②可得，f（x）=log2（1﹣x）﹣log2（1+x）=（﹣1＜x＜1），g（x）=log2（1﹣x）+log2（1+x）=log2（1﹣x）（1+x）=（﹣1＜x＜1）；（2）设t=1﹣x2，由﹣1＜x＜1得0＜t≤1，所以函数y=log2t的值域是（﹣∞，0]，故g（x）的值域是（﹣∞，0]．20．（10分）已知点A，B，C的坐标分别为A（3，0），B（0，3），C（cosα，sinα），α∈（）．（1）若=，求角α的值；（2）若•=﹣1，求的值．【解答】解：（1）∵，∴化简得tanα=1∵．∴．（2）∵，∴（cosα﹣3，sinα）•（cosα，sinα﹣3）=﹣1，∴∴，∴．。

2021-2022学年天津市部分区高一（上）期末数学试卷一、单选题（本大题共10小题，共40.0分）1.设全集U={1,2,3,4,5,6}，集合S={1,3,5}，T={2,3,4,5}，则(∁U S)∪T=()A. {3,5}B. {2,4}C. {1,2,3,4,5}D. {2,3,4,5,6}2.命题“∀>0，x2+x+2≥0”的否定是()A. ∃x>0，x2+x+2<0B. ∀x>0，x2+x+2<0C. ∃x≤0，x2+x+2<0D. ∀x≤0，x2+x+2<03.函数f(x)=e x−3x的零点所在的区间为()A. (0,1)B. (1,2)C. (2,3)D. (3,4)4.已知扇形的周长为15cm，圆心角为3rad，则此扇形的弧长为()A. 3cmB. 6cmC. 9cmD. 12cm5.“α=π3是“sinα=√32”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6.已知a=log312，b=log2√3，c=0.3−0.5，则a，b，c的大小关系为()A. a<c<bB. a<b<cC. c<a<bD. b<c<a7.下列说法中，正确的是()A. 若a>b，则1a <1bB. 函数f(x)=x2与函数g(x)=(√x)4是同一个函数C. 设点P(−3,4)是角α终边上的一点，则cosα=45D. 幂函数f(x)的图象过点(√2,2)，则f(3)=98.函数f(x)=2x⋅tanx(−1≤x≤1)的图象大致是()A. B.C. D.9.下列运算中，正确的是()A. 3log32=9B. a2⋅√a3=a3(a>0)C. √(−3)33+823=1 D. (23)−2+lg1100=−22910. 已知函数f(x)=4cos(π2−ωx 2)⋅cos(ωx 2−π6)−1(ω>0)在区间[−π3,3π4]上单调递增，且在区间[0,π]上只取得一次最大值，则ω的取值范围是( )A. [0,34]B. (0,89]C. [23,89] D. [34,89]二、填空题（本大题共5小题，共20.0分） 11. cos510°=______．12. 已知tan(α−π4)=−7，则tanα=______．13. 将函数y =sin(2x +π12)图象上的所有点向右平行移动π12个单位长度，则所得图象的函数解析式为______．14. 函数y =log a (x −1)+1(a >0，且a ≠1)的图象恒过定点A ，则点A 的坐标为______；若点A 在函数y =mx +n −1的图象上，其中m >0，n >0，则mn 的最大值为______． 15. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用．明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图1描绘了筒车的工作原理．假定在水流稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动．如图2，将筒车抽象为一个几何图形(圆)，以筒车转轮的中心O 为原点，过点O 的水平直线为x 轴建立如图直角坐标系xOy.已知一个半径为1.6m 的筒车按逆时针方向每30s 匀速旋转一周，O 到水面的距离为0.8m.规定：盛水筒M 对应的点P 从水中浮现(P.时的位置)时开始计算时间，且设盛水筒M 从点P 0运动到点P 时所经过的时间为t(单位：s)，且此时点P 距离水面的高度为d(单位：m)(在水面下则d 为负数)，则d 关于t 的函数关系式为______，在水轮转动的任意一圈内，点P 距水面的高度不低于1.6m 的时长为______s.三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）16. 已知sinα=√55，α∈(π2,π)(Ⅰ)求tanα，sin2α的值； (Ⅱ)求cos(α−π3)的值．17.已知函数{−x2−2x,x≤0 (12)x,x>0．(Ⅰ)求f(2)，f(f(−1))的值；(Ⅱ)在给定的坐标系中，画出f(x)的图象(不必列表)；(Ⅲ)若关于x的方程f(x)=k恰有3个不相等的实数解，求实数k的取值范围．18.已知函数f(x)=log2(3x2+ax−1)，a∈R，且f(1)=2．(Ⅰ)求a的值；(Ⅱ)求f(x)的定义域；(Ⅲ)求不等式f(x)<2的解集．19.已知函数f(x)=x−2x．(Ⅰ)判断f(x)的奇偶性并证明；(Ⅱ)用函数单调性的定义证明f(x)在区间(0,+∞)上单调递增；(Ⅲ)若对∀∈(−∞,0)，不等式f(2x)≤m⋅2x−5恒成立，求实数m的取值范围．，x∈R．已知函数f(x)=sinxcosx+√3cos2x−√32(Ⅰ)求f(x)的最小正周期；]时，求：(Ⅱ)当x∈[0,π2(ⅰ)f(x)的单调递减区间；(ⅰ)f(x)的最大值、最小值，并分别求出使该函数取得最大值、最小值时的自变量x的值．答案和解析1.【答案】D【解析】解：全集U={1,2,3,4,5,6}，集合S={1,3,5}，T={2,3,4,5}，∴∁U S={2,4,6}，∴(∁U S)∪T={2,3,4,5,6}．故选：D．先求出∁U S，由此能求出(∁U S)∪T．本题考查集合的运算，考查并集、补集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】A【解析】解：根据题意，命题“∀>0，x2+x+2≥0”是全称命题，其否定为∃x>0，x2+x+2<0，故选：A．根据题意，由全称命题和特称命题的关系，分析可得答案．本题考查命题的否定，注意全称命题和特称命题的关系，属于基础题．3.【答案】B是连续增函数，【解析】解：函数f(x)=e x−3x>0，∵f(1)=e−3<0，f(2)=e2−32可得f(1)f(2)<0，∴函数f(x)的其中一个零点所在的区间是(1,2)，故选：B．根据函数零点的判定定理进行判断即可．本题考查了函数零点的判定定理，是一道基础题．4.【答案】C【解析】解：设扇形的弧长为l，半径为r，扇形的圆心角的弧度数是α，则由题意，可得2r+l=15，l=rα=3r，则2r+3r=15，解得r=3，l=9．故选：C．根据题意设出扇形的弧长与半径，通过扇形的周长与弧长公式，即可求出扇形的弧长与半径．本题主要考查扇形的弧长公式的应用，考查学生的计算能力，属于基础题．5.【答案】A【解析】解：当α=π3时，则sinα=√32当sinα=√32时，α=π3+2kπ或2π3+2kπ，k∈Z，故α=π3⇒sinα=√32，反之sinα=√32不能推出α=π3所以前者是后者的充分不必要条件故选：A．根据所给的角和角的正弦值，看两者能不能互相推出，根据特殊角的三角函数，得到前者可以推出后者，而后者不能推出前者，得到结论．本题考查必要条件、充分条件和充要条件的判断，解题的关键是对于三角函数中给值求角和给角求值的问题能够熟练掌握，本题是一个基础题．6.【答案】B【解析】解：∵0=log21<log2√3<log22=1，即0<b<1，又∵a=log312<log31=0，c=0.3−0.5>0.30=1，∴a<b<c，故选：B．利用对数函数与指数函数的单调性判断大小即可．本题考查了对数函数与指数函数的单调性应用，属于基础题．7.【答案】D【解析】解：A选项，当a=1，b=−2时，满足a>b，而1a >1b，故A错误；B选项，f(x)=x2定义域为R，g(x)=(√x)4定义域为[0,+∞)，两者不是同一个函数，B错误；C选项，cosα=−35，C错误；D选项，设f(x)=xα，将(√2,2)代入得：(√2)α=2，解得：α=2，所以f(3)=9，D 正确．故选：D．A 选项，举出反例；B 选项，两函数定义域不同；C 选项，利用三角函数定义求解；D 选项，待定系数法求出解析式，从而得到答案．本题考查了不等式的性质、函数的三要素、三角函数的定义及幂函数的解析式，属于易做题．8.【答案】B【解析】解：根据题意，f(x)=2x ⋅tanx(−1<x <1)， 有f(−x)=2x ⋅tanx =f(x)，为偶函数，排除AC ， 在区间(0,1)上，x >0，tanx >0，则有f(x)>0，排除D ， 故选：B ．根据题意，先分析函数的奇偶性，排除AC ，再判断函数在(0,1)上的符号，排除D ，即可得答案．本题考查函数的图象分析，涉及函数的奇偶性和函数值符号的分析，属于基础题．9.【答案】C【解析】解：因为3log 32=2，所以A 错； 因为a 2⋅√a 3=a 2+32=a 72，所以B 错； 因为√(−3)33+823=−3+4=1，所以C 对； 因为(23)−2+lg 1100=94−2=14，所以D 错． 故选：C ．根据对数运算性质可判断AD ；根据幂指数运算性质可判断BCD ． 本题考查指对运算性质，考查数学运算能力，属于基础题．10.【答案】C【解析】解：f(x)=4sinωx 2(√32cos ωx2+12sinωx 2)−1=2√3sin ωx 2cos ωx 2+2sin 2ωx 2−1=√3sinωx −cosωx =2sin(ωx −π6)，∵f(x)在区间[−π3,3π4]上单调递增，∴T =2πω≥2(3π4+π3)=13π6，则ω≤1312，由2kπ−π2≤ωx −π6≤2kπ+π2，k ∈Z ，得2kπ−π3ω≤x ≤2kπ+2π3ω，即函数的递增区间为[2kπ−π3ω,2kπ+2π3ω]，k ∈Z ，则{2kπ−π3ω≤−π32kπ+2π3ω≥3π4，得{ω≤1−6kω≤8k 3+89，k ∈Z ， 当k =0时，{ω≤1ω≤89，此时0<ω≤89，当k ≥1时，不等式不满足条件，当0≤x ≤π时，0≤ωx ≤ωπ，−π6≤ωx −π6≤ωπ−π6， ∵f(x)在区间[0,π]上只取得一次最大值， ∴π2≤ωπ−π6<5π2，得23≤ω<83， 综上23≤ω≤89，即实数ω的取值范围是[23,89]， 故选：C ．根据三角函数的单调性，最大值取值情况建立不等式进行求解即可．本题主要考查三角函数的图像和性质，根据三角函数的单调性最值性质进行转化求解是解决本题的关键，是中档题．11.【答案】−√32【解析】解：cos510°=cos(360°+150°)=cos150°=cos(180°−30°)=−cos30°=−√32． 故答案为：−√32．利用诱导公式及特殊角的三角函数值化简，即可求出值．此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握公式，灵活变换角度是解本题的关键．12.【答案】−34【解析】解：∵tan(α−π4)=−7=tanα−11+tanα×1，则tanα=−34， 故答案为：−34．由题意，利用两角差的正切公式，求得tanα的值． 本题主要考查两角差的正切公式，属于基础题．13.【答案】y =sin(2x −π12)【解析】解：函数y =sin(2x +π12)图象上的所有点向右平行移动π12个单位长度，则所得图象的函数解析式为y =sin(2x −π12)．故答案为：y =sin(2x −π12)．直接利用函数的关系式的平移变换的应用求出结果．本题考查的知识要点：函数的关系式的平移变换，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．14.【答案】(2,1) 12【解析】解：∵函数y =log a (x −1)+1(a >0，且a ≠1)的图象恒过定点A ， ∴{x −1=10+1=y ， 解得x =2，y =1； 故点A 的坐标为(2,1)；∵点A 在函数y =mx +n −1的图象上， ∴1=2m +n −1，即2m +n =2， mn =12⋅2m ⋅n ≤12⋅(2m+n 2)2=12，当且仅当m =12，n =1时，等号成立， 故mn 的最大值为12． 故答案为：(2,1)；12．由题意得方程组{x −1=10+1=y ，从而解点A 的坐标；代入点A 的坐标，利用基本不等式求最值．本题考查了对数函数的图象和性质及基本不等式的应用，属于基础题．15.【答案】d =1.6sin(π15t −π6)+0.8 10【解析】解：由题意可知，点P 0到x 轴距离为0.8m ，而|OP 0|=1.6m ， 则∠xOP 0=π6，从点P 0经ts 运动到点P 所转过的角为2π30t =π15t ， 以Ox 为始边，OP 为终边的角为π15t −π6， 点P 的纵坐标为1.6sin(π15t −π6)，则点P 距离水面的高度为d =1.6sin(π15t −π6)+0.8t(t ≥0)， ∵d ≥1.6，∴sin(π15t −π6)≥12，而t ≥0，即2kπ+π6≤π15t −π6≤2kπ+5π6，k ∈N ，解得30k +5≤t ≤30k +15，k ∈N ，对于k 的每个取值30k +15−(30k +5)=10，∴的关于t 的函数解析式为d =1.6sin(π15t −π6)+0.8t(t ≥0)，在水轮转动的任意一圈内，点P 距水面的高度不低于1.6m 的时长为10s ． 故答案为：d =1.6sin(π15t −π6)+0.8t(t ≥0)；10．根据给定信息，求出以Ox 为始边，OP 为终边的角，求出点P 的纵坐标即可列出函数关系，再解不等式，即可作答．本题主要考查函数的实际应用，考查计算能力，属于中档题．16.【答案】解：(Ⅰ)∵sinα=√55，且α∈(π2,π)， ∴cosα=−√1−sin 2α=−2√55， ∴tanα=sinαcosα=−12， sin2α=2sinαcosα=2×√55×(−2√55)=−45．(Ⅱ)cos(α−π3)=cosαcos π3+sinαsin π3 =−2√55×12+√55×√32=−2√5+√1510．【解析】(Ⅰ)由已知利用同角三角函数基本关系式以及二倍角的正弦公式即可求解tanα，sin2α的值；(Ⅱ)利用两角差的余弦公式即可求解．本题主要考查了同角三角函数基本关系式以及二倍角的正弦公式，两角差的余弦公式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．17.【答案】解：(Ⅰ)由解析可得：f(2)=(12)2=14，因为f(−1)=−1+2=1，所以f(f(−1))=f(1)=12； (Ⅱ)函数f(x)的图象如下：(Ⅲ)方程f(x)=k 有3个不相等的实数解等价于函数y =f(x)的图象与y =k 的图象有三个交点，结合(Ⅱ)中的图象可得k的取值范围为(0,1)．【解析】(Ⅰ)由函数解析式直接代入求解；(Ⅱ)根据函数解析式及函数的性质画出图象；(Ⅲ)利用数形结合的方法可求解．本题考查了函数零点有方程根的关系，属于中档题．18.【答案】解：(Ⅰ)f(1)=log2(a+2)，因为f(1)=2，即log2(a+2)=2，所以a=2．(Ⅱ)由(Ⅰ)知，f(x)=log2(3x2+2x−1)，若使f(x)有意义，只需3x2+2x−1>0，解得x<−1或x>13，所以函数f(x)的定义域为{x|x<−1,或x>13}．(Ⅲ)f(x)<2⇒0<3x2+2x−1<4，由3x2+2x−1>0，解得x<−1或x>13，由3x2+2x−1<4，解得−53<x<1，∴−53<x<−1或13<x<1，∴不等式f(x)<2的解集为{x|−53<x<−1,或13<x<1}．【解析】(Ⅰ)代入点的坐标，求出a的值即可；(Ⅱ)求出函数f(x)的解析式，根据对数函数的性质求出函数的定义域即可；(Ⅲ)解不等式，求出不等式的解集即可．本题考查了对数函数的性质，解不等式问题，是基础题．19.【答案】(本小题满分12分)解：(Ⅰ)f(x)为奇函数，...............................(1分)证明：函数f(x)=x −2x 的定义域为{x|x ≠0}，因为∀x ∈{x|x ≠0}，都有−x ∈{x|x ≠0}，且f(−x)=−x −2−x =−(x −2x )=−f(x)，……………………………………(2分)所以f(x)为奇函数． ……………………………………(3分)(Ⅱ)证明：∀x 1，x 2∈(0,+∞)，且x 1<x 2，……………………………………(4分) 则f(x 1)−f(x 2)=(x 1−2x 1)−(x 2−2x 2)，……………………………………(5分)=(x 1−x 2)+(2x 2−2x 1)=(x 1−x 2)+2(x 1−x 2)x 1x 2=(x 1−x 2)(1+2x1x 2)，……………………………………(6分) 由x 1，x 2∈(0,+∞)，得x 1⋅x 2>0,1+2x 1x 2>0，……………………………………(7分)又由x 1<x 2，得x 1−x 2<0，于是f(x 1)−f(x 2)<0，即f(x 1)<f(x 2)，..............................(8分) 所以f(x)在区间(0,+∞)上单调递增； ……………………………………(9分) (Ⅲ)不等式f(2x )≤m ⋅2x −5在x ∈(−∞,0)上恒成立．等价于−2(2x )2+52x +1≤m 在x ∈(−∞,0)上恒成立 ………………………………(10分) 令t =12x ，因为x ∈(−∞,0)，所以t ∈(1,+∞)， 则有m ≥−2t 2+5t +1在t ∈(1,+∞)恒成立，令s(t)=−2t 2+5t +1，t ∈(1,+∞)，则s(t)max =s(54)=338……………………(11分)所以m ≥338，所以实数m 的取值范围为[338,+∞).…………………………………(12分)【解析】(Ⅰ)利用奇函数的定义f(−x)=−f(x)可判断f(x)的奇偶性； (Ⅱ)利用函数单调性的定义可证明f(x)在区间(0,+∞)上单调递增；(Ⅲ)不等式f(2x )≤m ⋅2x −5在x ∈(−∞,0)上恒成立⇔−2(2x )2+52x +1≤m 在x ∈(−∞,0)上恒成立，令t =12x ，通过分离参数m ，构造函数s(t)=−2t 2+5t +1，t ∈(1,+∞)，利用二次函数的单调性质可求得实数m 的取值范围．本题考查了函数恒成立问题，考查了转化与化归思想和函数与不等式思想的应用，考查运算能力，属于中档题．20.【答案】解：(Ⅰ)f(x)=sinxcosx +√3cos 2x −√32=12sin2x +√32(1+cos2x)−√32=sin(2x +π3)， ∵T =2π2=π，∴f(x)的最小正周期为π，(Ⅱ)(ⅰ)∵x ∈[0,π2]， ∴2x ∈[0,π]，2x +π3∈[π3,4π3]，设t =2x +π3，t ∈[π3,4π3]，∵y=sint，t∈[π3,4π3]上的单调递减区间是[π2,4π3]，且由π2≤2x+π3≤4π3，得π12≤x≤π2，所以函数f(x)的单调递减区间为[π12,π2 ].(ⅱ)由(i)知，2x+π3∈[π3,4π3]，则当2x+π3=π2时，f(x)取得最大值1，此时x=π12，当2x+π3=4π3时，f(x)取得最小值−√32，此时x=π2，所以，当x=π12时，f(x)取最大值为1；当x=π2时，f(x)取最小值为−√32．【解析】(Ⅰ)利用辅助角公式进行化简，根据周期公式进行求解即可．(Ⅱ)根据三角函数的单调性，最值性质进行求解即可．本题主要考查三角函数的恒等变换，利用辅助角公式进行化简，利用三角函数的周期性，单调性以及最值性质进行求解是解决本题的关键，是中档题．。

2021-2022学年天津市部分区高一上学期期末数学复习卷一、单选题（本大题共10小题，共40.0分）1.设R为实数集，集合S={x|log2x>0}，T={x|x2>4}，则S∩(∁R T)=()A. {x|1<x<2}B. {x|1≤x<2}C. {x|1<x≤2}D. {x|1≤x≤2}2.已知函数是奇函数，则的值为()A. 2013B. 2012C. 2011D. 20103.已知函数f(x)=则函数f(x)的零点为()．A. ，0B. −2，0C.D. 04.若，则所在的象限是()A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限5.已知a=90.7，b=31.3，c=log√35，则()A. a>b>cB. c>a>bC. c>b>aD. b>a>c6.关于函数的四个结论：P1：最大值为；P2：把函数的图象向右平移个单位后可得到函数的图象；P3：单调递增区间为[]，；P4：图象的对称中心为()，.其中正确的结论有A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个7.设等差数列{a n}的前n项和为S n，已知(a4−1)3+2013(a4−1)=1，(a2010−1)3+2013(a2010−1)=−1，则下列结论中正确的是()A. S2013=2013，a2010<a4B. S2013=2013，a2010>a4C. S2013=2012，a2010≤a4D. S2013=2012，a2010≥a48.△ABC的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知sinB+sinA(sinC−cosC)=0，a=4，B=15°，则c=()A. 12B. √22C. √2D. 2√29.“a=1”是“直线x+y=0和直线x−ay=0互相垂直”的()A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件10. 将函数的图象向右平移π6个单位，得到图象对应的解析式为( )A. y =sin(12x −π12) B. y =sin(12x −5π12) C. y =sin(12x −π6)D. y =sin(12x −π3)二、单空题（本大题共4小题，共16.0分） 11. 幂函数f(x)=(m 2−m −1)在(0,+∞)上为减函数，则m = ．12. 已知函数f(x)={log 2x,x >0√−x,x ≤0，则f(4)+f(−4)=______．13. 已知函数，则．14. 拟定从甲地到乙地通话m 分钟的电话费由f(m)=1.06×(0.5⋅[m]+1)(元)决定，其中m >0，[m]是大于或等于m 的最小整数，则从甲地到乙地通话时间为5.5分钟的电话费为______ 元． 三、解答题（本大题共5小题，共60.0分） 15. 命题p ：实数x 满足(其中 )，命题q ：实数x 满足(I)若a =1，且pq 为真，求实数x 的取值范围；(II)若的充分不必要条件，求实数a 的取值范围。