高考数学一轮总复习第章.6几何概型课件理91.ppt

2．[课本改编]设不等式组00≤ ≤xy≤ ≤22， 表示的平面区域
为 D.在区域 D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离
大于 2 的概率是( π
A.4
) π－2 B. 2
π
4－π
C.6
D. 4
解析 如图易知区域 D 是边长为 2 的正方形，到原点 的距离大于 2 的点在以原点为圆心，以 2 为半径的圆的外 部，所以所求事件的概率为 P＝
板块三 启智培优·破译高考
数学思想系列 14——转化与化归思想在几何概型中的 应用
[2014·重庆高考]某校早上 8：00 开始上课，假设该校学 生小张与小王在早上 7：30～7：50 之间到校，且每人在该 时间段的任何时刻到校是等可能的，则小张比小王至少早 5
9 分钟到校的概率为___3_2____．(用数字作答)
)
3
2
A.4
B.3
1
1
C.3
D.4
[解析]
由－1≤log1 2
x＋12≤1，得
log1 2
2≤log1 2
x＋12
≤log1 2
12，所以12≤x＋12≤2，所以
0≤x≤32.由几何概型可知，
事件发生的概率为322－ －00＝34.
触类旁通 求解与长度有关的几何概型的两点注意
的概率是(
)
5
1
A.12
B.2
2
3
C.3
D.4
[解析] 由题意可得，阴影部分的面积 S＝40 xdx＝23
16 x3240 ＝136，故质点落在图中阴影区域的概率 P＝4× 3 2＝23.
触类旁通 求解与面积有关的几何概型的关键点
求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应 的面积，必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的 坐标，找到试验全部结果构成的平面图形，以便求解．
4 入孔中的概率是___9_π____．
解析
依题意，所求概率为 P＝π·13222＝94π.
板块二 典例探究·考向突破
考向 与长度有关的几何概型
例 1 [2015·山东高考]在区间[0,2]上随机地取一个数 x，
则事件“－1≤log1 2
x＋12≤1”发生的概率为(
触类旁通 与角度有关的几何概型的求解方法
(1)若试验的结果所构成的区域的几何度量可用角度来 表示，则其概率公式为
P(A)＝试验的构全成部事结件果A所的构区成域区角域度的角度. (2)解决此类问题时注意事件的全部结果构成的区域及 所求事件的所有结果构成的区域，然后再利用公式计算．
【变式训练 3】 如图所示，在△ABC 中，∠B＝60°， ∠C＝45°，高 AD＝ 3，在∠BAC 内作射线 AM 交 BC 于点 M，求 BM<1 的概率．
小于
3 2
的
椭
圆
的
概
率
为
P
＝
S阴影 S矩形
＝
1
－
12×1＋32××24＋12×12×1＝1352，故选 B.
命题角度 3 与定积分交汇的问题
例 4 [2017·呼和浩特调研]如图，长方形的四个顶点为
O(0,0)，A(4,0)，B(4,2)，C(0,2)，曲线 y＝ x经过点 B，现将
一质点随机投入长方形 OABC 中，则质点落在图中阴影区域
(1)求解几何概型问题，解题的突破口为弄清是长度之 比、面积之比还是体积之比；
(2)求与长度有关的几何概型的概率的方法，是把题中 所表示的几何模型转化为线段的长度，然后求解，应特别注 意准确表示所确定的线段的长度．
【变式训练 1】 (1)[2017·辽宁模拟]在长为 12 cm 的线
段 AB 上任取一点 C，现作一矩形，邻边长分别等于线段 AC，
2 π×13＝23π，则点 P 到点 O 的距离大于 1 的概率为：1－38π＝ 1－1π2.
触类旁通 与体积有关的几何概型求法的关键点
对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总 体积(总空间)以及事件的体积(事件空间)，对于某些较复杂 的也可利用其对立事件去求．
【变式训练 2】 已知正三棱锥 S－ABC 的底面边长为 4，高为 3，则在正三棱锥内任取一点 P，则点 P 满足 V 三棱锥
例 3 在区间[1,5]和[2,4]上分别取一个数，记为 a，b， 则方程ax22＋by22＝1 表示焦点在 x 轴上且离心率小于
23的椭圆的概率为(
)
1
15
A.2
B.32
17 C.32
31 D.32
[解析] ∵ax22＋by22＝1 表示焦点在 x 轴上且离心率小于
23的椭圆，∴a>b>0，a<2b，它对应的平面区域如图中阴 影部分所示，则方程ax22＋by22＝1 表示焦点在 x 轴上且离心率
考向 与体积有关的几何概型
例 4 在棱长为 2 的正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，点 O
为底面 ABCD 的中心，在正方体 ABCD－A1B1C1D1 内随机取
一点 P，则点 P 到点 O 的距离大于 1 的概率为(
)
π A.12
B．1－1π2
π C.6
D．1－π6
[解析] 正方体的体积为：2×2×2＝8，以 O 为球心， 1 为半径且在正方体内部的半球的体积为：12×43πr3＝12×43
2×22－ ×142·π·22＝4－ 4 π.选 D.
3．欧阳修的《卖油翁》中写到：“(翁)乃取一葫芦， 置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不 湿”，可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止．若 铜钱是直径为 3 cm 的圆，中间有边长为 1 cm 的正方形孔， 若随机向铜钱上滴一滴油(油滴的直径忽略不计)，则正好落
1 P－ABC<2V
三棱锥 S－ABC
7 的概率是___8_____．
解析
设三棱锥
P－ABC
的高为
h.由
V
1 三棱锥 P－ABC<2V
三
棱锥 S－ABC，得13S△ABC·h<12·13S△ABC·3，解得 h<32，即点 P 在三棱
锥的中截面以下的空间．
∴点
P
满足
V
1 三棱锥 P－ABC<2V
三棱锥 S－ABC 的概率是
P(A)＝ 构成事件A的区域长度面积或体积
试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积 .
[必会结论] 几种常见的几何概型 (1)与长度有关的几何概型，其基本事件只与一个连续 的变量有关； (2)与面积有关的几何概型，其基本事件与两个连续的 变量有关，若已知图形不明确，可将两个变量分别作为一个 点的横坐标和纵坐标，这样基本事件就构成了平面上的一个 区域，即可借助平面区域解决问题； (3)与体积有关的几何概型，可借助空间几何体的体积 公式解答问题．

[解题视点] 先设出两人到校的时间，得到两变量满足 的不等式组，再在平面直角坐标系中画出不等式组表示的区 域，最后根据面积型几何概型求概率．
[解析] 设小张和小王的到校时间分别为 7：00 后第 x 分钟，第 y 分钟，根据题意可画出图形，如图所示．则总 事件所占的面积为(50－30)2＝400.小张比小王至少早 5 分 钟 到 校 表 示 的 事 件 A ＝ {(x ， y)|y － x≥5,30≤x≤50,30≤y≤50}，如图中阴影部分所示，阴影部 分所占的面积为12×15×15＝2225，所以小张比小王至少早 5
解 因为∠B＝60°，∠C＝45°，所以∠BAC＝75°，在 Rt△ABD 中，AD＝ 3，∠B＝60°，所以 BD＝taAn6D0°＝1， ∠BAD＝30°.
记事件 N 为“在∠BAC 内作射线 AM 交 BC 于点 M， 使 BM<1”，则可得∠BAM<∠BAD 时事件 N 发生．由几何 概型的概率公式，得 P(N)＝3705° °＝25.
(2)[2017·广州测试]在区间[0，π]上随机地取一个数 x，
则事件“sinx≤12”发生的概率为___13_____． 解析 由题知所求概率 P＝6π＋ π π6＝13.
考向 与面积有关的几何概型
命题角度 1 与平面图形面积有关的问题 例 2 [2017·福州调研]在边长为 2 的正方形 ABCD 内部
225 分钟到校的概率为 P(A)＝4020＝392.
答题启示 本题通过设置小张、小王两人到校的时间这 两个变量 x，y，将已知转化为 x，y 所满足的不等式，进而 转化为坐标平面内的点x，y的相关约束条件，从而把时间 这个长度问题转化为平面图形的二维面积问题，进而转化成 面积型的几何概型问题求解.若题中涉及到三个相互独立的 变量，则需将其转化为空间几何体的体积问题加以求解.
3．在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、
立体图形．( √ )
4．随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率．( √ )
5．与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有
关．( × )
6．从区间[1,10]内任取一个数，取到 1 的概率是 P＝
1 9.(
×
)
二、小题快练
1．[2017·新余模拟]如图，将半径为 1 的圆分成相等的
核心规律 几何概型中的转化思想
(1)一般地，一个连续变量可建立与长度有关的几何概 型，只需把这个变量放在坐标轴上即可．
(2)若一个随机事件需要用两个变量来描述，则可用这两 个变量的有序实数对来表示它的基本事件，然后利用平面直 角坐标系就能顺利地建立与面积有关的几何概型．
(3)若一个随机事件需要用三个连续变量来描述，则可用 这个变量组成的有序数组来表示基本事件，利用空间直角坐 标系建立与体积有关的几何概型．
CB 的长，则该矩形面积小于 32 cm2 的概率为(
)
1
1