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§8 子群一、子群的定义定义若群G的非空子集H对于G的乘法来说作成一个群, 则称H为G的子群, 记为H ≤G .例1 设G是一个群, 则H1 = G和H2 = { e } 都是G的子群(平凡子群).非平凡子群H也叫真子群, 记为H <G .例2 对于普通乘法来说, C*是一个群. R*是C*的一个子群.例3 在整数加群Z中, H = { 2n | n∈Z } 是一个子群.推论设H ≤G, 则H的单位元就是G的单位元e ; ∀a∈H, a 在H中的逆元就是a在G中的逆元.二、子群的判别定理1 群G的非空子集H作成G的子群的充要条件是(i) ∀a, b∈H⇒ab∈H；(ii )∀a∈H⇒a -1∈H.定理2 群G的非空子集H作成G的子群的充要条件是(iii) ∀a, b∈H⇒ab -1∈H.定理3 群G的非空有限子集H作成G的子群的充要条件是(i) ∀a, b∈H ⇒ab∈H.三、子群的生成设G是一个群, 取定a∈G, 作子集H = { a n | n∈Z }.则H是G的一个子群. H叫做元a生成的(循环)子群:H = ( a ) .例4 G = { 1, -1, i, -i} 关于普通乘法作成一个群( i是虚数单位) . 由元- 1 生成的循环子群为H = ( -1 ) = { 1, -1 }.例5 在模6的剩余类加群Z6中, 由元[ 2 ] 生成的循环子群为H = ( [ 2 ] ) = { [ 0 ], [ 2 ], [ 4 ] }.四、循环群的子群定理4 循环群的子群仍为循环群.例6 在模6的剩余类加群Z6是循环群, 所以其子群都是循环子群. 故Z6的所有子群为H0 = ( [ 0 ] ) = { [ 0 ] };H1 = ( [ 1 ] ) = ( [ 5 ] ) = Z6= { [ 0 ], [ 1 ], [ 2 ], [ 3 ], [ 4 ], [ 5 ] };H2 = ( [ 2 ] ) = ( [ 4 ] ) = { [ 0 ], [ 2 ], [ 4 ] };H3 = ( [ 3 ] ) = { [ 0 ], [ 3 ] }.。
