【20套试卷合集】浙江省绍兴越城区五校联考2019-2020学年数学八上期中模拟试卷含答案

2019－2020学年第一学期八年级期中考试数 学 试 卷（满分：150分；考试时间：120分钟）一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分） 1．下列图形中,不具有稳定性的图形是（ ）A ．平行四边形B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．等边三角形 2．下列运算正确的是（ ） A ．1243a a a =⋅ B ．()523a a = C ．()632273a a = D ．236a a a =÷3．下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ） A ．2, 3, 4 B ． 3, 6, 11 C ．4, 6, 10 D ． 5, 8, 14 4．一个凸多边形的内角和等于900°,则这个多边形的边数是（ ） A ．5 B ．6 C ．7 D ．85．若等式22)()b a M b a +=+-（成立,则M 的值为（ ） A ．ab 2 B ．ab 4 C ．ab 4- D ．-6．如图,在∠AOB 的两边上,分别取OM = ON,再分别过点M 、作OA 、OB 的垂线，交点为P ，画射线OP ，则OP 平分∠的依据是（ ）A ．SSSB ．SASC ．AASD ．HL7．若812+-kx x 是一个完全平方式，则k 的值为（ ） A ．±9B ．18C ．±18D ．－188．已知，a , b , c 是△ABC 的三条边长，化简b a c c b a ----+的结果为（ ） A ．c b a 222-+ B ．b a 22+ C ．c 2 D ．0 9．下列语句中，正确的是（ ）A ．等腰三角形底边上的中线就是底边上的垂直平分线；B ．等腰三角形的对称轴是底边上的高；C ．一条线段可看作是以它的垂直平分线为对称轴的轴对称图形；D ．等腰三角形的对称轴就是顶角平分线。

10.如图，在2×2的方格纸中有一个以格点为顶点的△ABC ，则 与△ABC 成轴对称且以格点为顶点的三角形共有（ ）个 A ．3 B ．4 C ．5 D ．6二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）11．点（1,2）关于x 轴对称点的坐标是 ．OCG12．已知射线OM ，以O 为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM 交 于A ，再以点A 为圆心，AO 长为半径画弧，两弧交于点B ，画射线OB ，如图所示，则∠AOB =°．13．如图，△ABC 中，∠ACB = 90°，沿CD 折叠△CBD ，使点B恰好落在AC 边上的点E 处。

2019--2020学年第一学期五校期中联考试卷八年级数学1.下列图案中，属于轴对称图形的是（ ）A B C D2.长度分别为2,7，x 的三条线段能组成一个三角形，x 的取值可以是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 93.一个多边形的内角和是外角和的2倍，这个多边形是（ ） A. 四边形 B. 五边形 C. 六边形 D. 八边形4.如图，AB=DB ，∠1=∠2，请问添加下面哪个条件不能判断△ABC ≌△DBE 的是（ ） A.BC=BE B. AC=DE C. ∠A=∠D D. ∠ACB=∠DEB5.如图，以O 为圆心，适当的长为半径画弧，交OA 于点E ，交OB 于点F ，分别以点E,F 为圆心，大于21EF 的长为半径画弧，两弧在∠AOB 内部交于点M ，画射线OM.点P 是OM 上一点，PD ⊥OB ，垂足为D ，若PD=2，则点P 到边OA 的距离是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 46.在平面直角坐标系中，点P （1，-2）关于x 轴对称的点的坐标是（ ） A. （1,2） B. （-1，-2） C. （-1,2） D. （-2,1）7.如图，在△ABC 中，AB=AC ，D 为BC 上一点，且DA=DC,BD=BA,则∠B 的大小为（ ） A. 40° B. 36° C. 30° D.25°8. 下列计算正确的是（ ） A. ()6332382y x y x -=-- B. ()32824xy xy y -=-•C.()ab a b a a -=+-21 D.()()6322-=+-a a a9.如图，等边△ABC 的边长为4，AD 是BC 边上的中线，FA 是AD 边上的动点，E 是AC 边上一点，若AE=2，当EF+CF 取最小值时，则∠ECFA 的度数为（ ） A. 15° B.22.5° C.30° D.45°10.如图，△ABC 是等边三角形，AQ=PQ,PR=PS,PR ⊥AB 于R ，PS ⊥AC 于S ，则四个结论正确的是（ ）①P 在∠A 的平分线上；②AS=AR ;③QP ∥AR ； ④△BRP ≌△QSPA. 全部正确B.仅①②正确C.仅②③正确D.仅①③正确二、填空题（每题3分，共15分） 11. 计算：()223232-xy y x -•= .12. 将一副三角板如图叠放，则图中∠β为 度.13. 如图，在△ABC 中，AB=8,BC=6,AC 的垂直平分线MN 交AB 、AC 于点M 、N.则△BCM 的周长为 .14. 如图，AB ∥CD ，BP 和CP 分别平分∠ABC 和∠DCB ，AD 过点P ，且与AB 垂直，若AD=8,则点P 到BC 的距离是 .15. 有一三角形纸片ABC ，∠A=80°，点D 是AC 边上一点，沿BD 方向剪开三角形纸片后，发现所得两纸片均为等腰三角形，则∠C 的度数可以是 .三、解答题（共8题，共75分） 16.（8分）()()322425222323 22 b a b a b a x x xx x +⎪⎭⎫⎝⎛-•÷-+•②①17.（7分）先化简，再求值()()1122-+--x x x x x，其中21=x .18.（10分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC 各顶点的坐标分别为A （4,0），B （-1,4），C （-3,1）.（1）在图中作△///C B A 和△ABC 关于x 轴对称，并写出点///C B A 、、的坐标.（2）求△ABC 的面积.19. （9分）如图，△ABC 中，AD 是BC 边上的高，AE 是∠BAC 的平分线，∠EAD=5°，∠B=50°，求∠C 的度数.20. （9分）如图，点B 、F 、C 、D 在一条直线上，FB=CD,AB ∥ED,AC ∥EF. 求证：AB=ED,AC=EF.21（10）已知，如图AB=AC,∠A=108°，BD 平分∠ABC 交AC 于D,求证：BC=AB+CD.22.（10分）已知△ABC 中，∠A=90°，AB=AC ，点D 为BC 的中点.（1）如图①，若点E 、F 分别为AB 、AC 上的点，且DE ⊥DF ，求证：BE=AF.（2）若点E 、F 分别为AB 、CA 延长线上的点，且DE ⊥DF ，那么BE=AF 吗？请利用图②说明理由.23.（12分）如图，在长方形ABCD中，AB=CD=8cm,BC=14cm,点P从点B出发，以2cm/s的速度沿BC向点C运动，设点P运动时间为t秒.（1）BP= cm,CP= cm（用t的代数式表示）.（2）试说明当t为何值时，△ABP≌△DCP？（3）当点P从点B开始运动，同时点Q从点C出发，以vcm/s的速度沿CD向点D运动，是否存在这样v的值，使得△ABP与△PQC全等？若存在，请求出v的值；若不存在，请说明理由.2020--2020学年第一学期五校期中联考试卷八年级数学答案二、填空题11.7418-y x ；12.∠ =15°；13.14；14.4；15.40°或10°或25°. 三、解答题。

2020学年第一学期八年级数学学科期中考试试题卷出卷人：审核人友情提示：嘿！亲爱的同学，你好！经过近半个学期的学习，相信你一定具备了相当强的学习水平和能力。

现在，展示自己的时候到了，只要你仔细审题、冷静思考、沉着应答，肯定会有出色的表现，相信自己，你会成功！一、选择题（共10题，共30分）1．下列常用手机APP的图标中，是轴对称图形的是（）A． B． C． D．2．三角形的两边长分别是4和7，则第三边长不可能是（）A．4 B．6 C．10 D．123．若a>b，则下列各式中一定成立的是（）A．a−2<b−2 B．a+2>b+2C．−2a>−2b D．ac<bc4．满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的是( )A．a2=b2−c2B．a：b：c=5：12：13C．∠C=∠A−∠B D．∠A：∠B：∠C=3：4：55．下列正确的选项是（）A．命题“同旁内角互补”是真命题B．说明命题“若x＞y，则a2x＞a2y”是假命题，只能举反例a＝0C．“对顶角相等”是定义D．“作线段AC”这句话是命题6．已知等腰三角形的两边长分别等于4和9，则它的周长为（）A．22 B．17 C．17或22 D．267．疫情期间，小颖宅家学习．一天，她在课间休息时，从窗户向外望，看到一人为快速从A处到达居住楼B处，直接从边长为24米的正方形草地中穿过．为保护草地，小颖计划在A处立一个标牌：“少走？米，踏之何忍”，已知B、C两处的距离为7米，那么标牌上？处的数字是( )A．3 B．4 C．5 D．68．如图，△ABC中，BD是角平分线，DE∥BC交AB于E，交AC于D，若DE=7，AE=5，则AB=（）A．10 B．12 C．14 D．169．某射箭运动员在一次比赛中前6次射击共击中52环，如果他要打破89环(10次射击，每次射击最高中10环)的记录，则他第7次射击不能少于( ) A．6环 B．7环 C．8环 D．9环10．如图，已知在Rt∆ABC 中，E,F 分别是边AB,AC 上的点AE= 13 AB ，AF= 13AC,分别以BE 、EF 、FC 为直径作半圆，面积分别为S 1 ， S 2 ， S 3 ， 则S 1 ， S 2 ， S 3之间的关系是( )A ． S 1+S 3=4S 2B ． S 1+S 3=2S 2C ． S 1=S 3=S 2D ． S 2= 13 (S 1+S 3)二、填空题（共10题，共30分）11．命题“内错角相等，两直线平行”的逆命题是 ． 12．如图，数轴上所表示的不等式组的解集是________．13．直角三角形两条直角边长分别是5和12，则第三边上的中线长为 ． 14．如图，△ABC 是等边三角形，D 点是AC 的中点，延长BC 到E ，使CE=CD ，若BD=3，则DE=________．（第14题图） （第15题图） （第17题图） 15．如图，用尺规作图作“一个角等于已知角”的原理是：因为△D ′O ′C ′≌△DOC ，所以∠D ′O ′C ′＝∠DOC 。

2020-2021学年浙江省绍兴市越城区八年级第一学期期中数学试卷一、选择题（共10小题）.1．（3分）下列标志中是轴对称图形的有几个（）A．2个B．3个C．4个D．5个2．（3分）如果△ABC的三个顶点A，B，C所对的边分别为a，b，c，那么下列条件中，不能判断△ABC是直角三角形的是（）A．∠A＝15°，∠B＝75°B．∠A：∠B：∠C＝1：2：3C．a＝，b＝，c＝D．a＝6，b＝10，c＝123．（3分）设□△○表示三种不同的物体，用天平比较它们质量的大小，情况如图，那么这三种物体按质量从大到小的顺序为（）A．□△○B．□○△C．△○□D．△□○4．（3分）用反证法证明命题“一个三角形中至多有一个角是直角”，应先假设这个三角形中（）A．至少有两个角是直角B．没有直角C．至少有一个角是直角D．有一个角是钝角，一个角是直角5．（3分）4根小木棒的长度分别为2cm，3cm，4cm和5cm．用其中3根搭三角形，可以搭出不同三角形的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个6．（3分）如图所示，已知△ABC（AC＜AB＜BC），用尺规在线段BC上确定一点P，使得PA+PC＝BC，则符合要求的作图痕迹是（）A．以B为圆心，BA长为半径画弧交BC于点PB．作AC中垂线交BC于点PC．以C为圆心，CA长为半径画弧交BC于点PD．作AB中垂线交BC于P7．（3分）如图，AD＝BC＝BA，那么∠1与∠2之间的关系是（）A．∠1＝2∠2B．2∠1+∠2＝180°C．∠1+3∠2＝180°D．3∠1﹣∠2＝180°8．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是高，BE是中线，CF是角平分线，CF 交AD于点G，交BE于点H，下面说法不正确的是（）A．△ABE的面积＝△BCE的面积B．∠AFG＝∠AGFC．BH＝CHD．∠FAG＝2∠ACF9．（3分）某台球桌为如图所示的长方形ABCD，小球从A沿45°角击出，恰好经过5次碰撞到达B处．则AB：BC等于（）A．1：2B．2：3C．2：5D．3：510．（3分）如图，已知每个小方格的边长为1，A，B两点都在小方格的顶点上，请在图中找一个顶点C，使△ABC为等腰三角形，则这样的顶点C有（）A．8个B．7个C．6个D．5个二、填空题（共6题，共18分）11．（3分）在△ABC中，已知∠A＝60°，∠B＝80°，则∠C是°．12．（3分）Rt△ABC中∠ABC＝90°，斜边AC＝10cm，D为斜边上的中点，斜边上的中线BD＝．13．（3分）等腰三角形两边长分别为4和8，则这个等腰三角形的周长为．14．（3分）已知方程组的解满足x+y＜0，则m的取值范围是．15．（3分）如图，在△ABC中，已知点D，E，F分别为边BC，AD，CE的中点，且△ABC 的面积等于4cm2，则阴影部分图形面积等于cm2．16．（3分）如图，BF平分∠ABD，CE平分∠ACD，BF与CE交于G，若∠BDC＝m°，∠BGC＝n°，则∠A的度数为．（用m，n表示）三、解答题（17题8分，18、19、20题各6分，21、22题8分，23题10分）17．（4分）解不等式2x﹣11＜4（x﹣3）+3，并把它的解集在数轴上表示出来．18．（4分）已知关于x的不等式（m﹣1）x＞6，两边同除以m﹣1，得x＜，试化简：|m﹣1|﹣|2﹣m|．19．（6分）先填空，后作图：（1）到一个角的两边距离相等的点在它的上；（2）到线段两端点距离相等的点在它的上；（3）如图，两条公路AB与CB，C、D是两个村庄，现在要建一个菜市场，使它到两个村庄的距离相等而且还要使它到两条公路的距离也相等，用尺规作图画出菜市场的位置P （不写作法，保留作图痕迹）．20．（6分）在△ABC中，AB＝AC，点E，F分别在AB，AC上，AE＝AF，BF与CE相交于点P，（1）求证：△ABF≌△ACE；（2）求证：PB＝PC．21．（6分）如图所示，A、B两块试验田相距200米，C为水源地，AC＝160m，BC＝120m，为了方便灌溉，现有两种方案修筑水渠．甲方案：从水源地C直接修筑两条水渠分别到A、B；乙方案；过点C作AB的垂线，垂足为H，先从水源地C修筑一条水渠到AB所在直线上的H处，再从H分别向A、B进行修筑．（1）请判断△ABC的形状（要求写出推理过程）；（2）两种方案中，哪一种方案所修的水渠较短？请通过计算说明．22．（8分）已知，如图，△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，BD为∠ABC的角平分线交AC于D，过点D作DE垂直AB于点E，（1）求BC的长；（2）求AE的长；（3）求BD的长23．（8分）如图，在△ABC中，AD是△ABC的高线，CE是△ABC的角平分线，它们相交于点P．（1）若∠B＝40°，∠AEC＝75°，求证：AB＝BC；（2）若∠BAC＝90°，AP为△AEC边EC上中线，求∠B的度数．24．（10分）[方法呈现]（1）如图①，△ABC中，AD为中线，已知AB＝3，AC＝5，求中线AD长的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长AD至点E，使DE＝AD，连结CE，则易证△DEC≌△DAB，得到EC＝AB＝3，则可得AC﹣CE＜AE＜AC+CE，从而可得中线AD长的取值范围是．[探究应用]（2）如图②，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E是BC的中点，若AE是∠BAD的平分线，试判断AB，AD，DC之间的等量关系，并写出完整的证明过程．（3）如图③，在四边形ABCD中，AB∥CD，AF与DC的延长线交于点F，点E是BC 的中点，若AE是∠BAF的平分线，试探究AB，AF，CF之间的等量关系，并证明你的结论．参考答案一、选择题（共10小题）.1．（3分）下列标志中是轴对称图形的有几个（）A．2个B．3个C．4个D．5个解：标志中是轴对称图形的为：故选：B．2．（3分）如果△ABC的三个顶点A，B，C所对的边分别为a，b，c，那么下列条件中，不能判断△ABC是直角三角形的是（）A．∠A＝15°，∠B＝75°B．∠A：∠B：∠C＝1：2：3C．a＝，b＝，c＝D．a＝6，b＝10，c＝12解：A、由条件可得∠A+∠B＝15°+75°＝90°，∴∠C＝90°，故△ABC为直角三角形；B、B、设∠A＝x°，∠B＝2x°，∠C＝3x°，x+2x+3x＝180，解得：x＝30，则3x°＝90°，是直角三角形，故此选项不合题意；C、由条件可得到a2+b2＝c2，满足勾股定理的逆定理，故△ABC是直角三角形；D、由条件有a2+b2≠c2，不满足勾股定理的逆定理，故△ABC不是直角三角形；故选：D．3．（3分）设□△○表示三种不同的物体，用天平比较它们质量的大小，情况如图，那么这三种物体按质量从大到小的顺序为（）A．□△○B．□○△C．△○□D．△□○解：通过一图知道□＞△二图知道△＝2○，所以□＞△＞○，即□△○故选：A．4．（3分）用反证法证明命题“一个三角形中至多有一个角是直角”，应先假设这个三角形中（）A．至少有两个角是直角B．没有直角C．至少有一个角是直角D．有一个角是钝角，一个角是直角解：用反证法证明“一个三角形中不能有两个角是直角”，应先假设这个三角形中有两个角是直角．故选：A．5．（3分）4根小木棒的长度分别为2cm，3cm，4cm和5cm．用其中3根搭三角形，可以搭出不同三角形的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个解：任取3根可以有一下几组：①2cm，3cm，4cm，能够组成三角形，②2cm，3cm，5cm，∵2+3＝5，∴不能组成三角形；③2cm，4cm，5cm，能组成三角形，③3cm，4cm，5cm，能组成三角形，∴可以搭出不同的三角形3个．故选：C．6．（3分）如图所示，已知△ABC（AC＜AB＜BC），用尺规在线段BC上确定一点P，使得PA+PC＝BC，则符合要求的作图痕迹是（）A．以B为圆心，BA长为半径画弧交BC于点PB．作AC中垂线交BC于点PC．以C为圆心，CA长为半径画弧交BC于点PD．作AB中垂线交BC于P解：要使PA+PC＝BC，则PA＝PB，所以要作AB的垂直平分线交BC于P．故选：D．7．（3分）如图，AD＝BC＝BA，那么∠1与∠2之间的关系是（）A．∠1＝2∠2B．2∠1+∠2＝180°C．∠1+3∠2＝180°D．3∠1﹣∠2＝180°解：∵AB＝BC，∴∠1＝∠BCA，∵AB＝AD，∴∠B＝∠2，∵∠1+∠B+∠ACB＝180°，∴2∠1+∠2＝180°．故选：B．8．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是高，BE是中线，CF是角平分线，CF 交AD于点G，交BE于点H，下面说法不正确的是（）A．△ABE的面积＝△BCE的面积B．∠AFG＝∠AGFC．BH＝CHD．∠FAG＝2∠ACF解：∵BE是中线，∴AE＝CE，∴△ABE的面积＝△BCE的面积（等底等高的三角形的面积相等），故A正确；∵CF是角平分线，∴∠ACF＝∠BCF，∵AD为高，∴∠ADC＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠ABC+∠ACB＝90°，∠ACB+∠CAD＝90°，∴∠ABC＝∠CAD，∵∠AFG＝∠ABC+∠BCF，∠AGF＝∠CAD+∠ACF，∴∠AFG＝∠AGF，故B正确；∵AD为高，∴∠ADB＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠ABC+∠ACB＝90°，∠ABC+∠BAD＝90°，∴∠ACB＝∠BAD，∵CF是∠ACB的平分线，∴∠ACB＝2∠ACF，∴∠BAD＝2∠ACF，即∠FAG＝2∠ACF，故D正确；根据已知条件不能推出∠HBC＝∠HCB，即不能推出BH＝CH，故C错误；故选：C．9．（3分）某台球桌为如图所示的长方形ABCD，小球从A沿45°角击出，恰好经过5次碰撞到达B处．则AB：BC等于（）A．1：2B．2：3C．2：5D．3：5解：先作出长方形ABCD，小球从A沿45度射出，到BC的点E，AB＝BE．从E点沿于BC成45度角射出，到AC边的F点，AE＝EF．从F点沿于AD成45度角射出，到CD边的G点，DF＝DG．从G沿于DC成45度角射出，到BC边的H点，HF垂直于AD．GC＝CH＝从H点沿于CB成45度角射出，到AC边的M点，EM垂直于AD，从M点沿于CA成45度角射出，到B点，看图是2个半以AB为边长的正方形，所以1：2.5＝2：5．故选：C．10．（3分）如图，已知每个小方格的边长为1，A，B两点都在小方格的顶点上，请在图中找一个顶点C，使△ABC为等腰三角形，则这样的顶点C有（）A．8个B．7个C．6个D．5个解：当AB为底时，作AB的垂直平分线，可找出格点C的个数有5个，当AB为腰时，分别以A、B点为顶点，以AB为半径作弧，可找出格点C的个数有3个；∴这样的顶点C有8个．故选：A．二、填空题（共6题，共18分）11．（3分）在△ABC中，已知∠A＝60°，∠B＝80°，则∠C是40°．解：∵∠A＝60°，∠B＝80°，∴∠C＝180°﹣60°﹣80°＝40°，故答案为：40．12．（3分）Rt△ABC中∠ABC＝90°，斜边AC＝10cm，D为斜边上的中点，斜边上的中线BD＝5cm．解：BD＝AC＝×10＝5（cm）．故答案是：5cm．13．（3分）等腰三角形两边长分别为4和8，则这个等腰三角形的周长为20．解：①若4是腰，则另一腰也是4，底是8，但是4+4＝8，故不构成三角形，舍去．②若4是底，则腰是8，8．4+8＞8，符合条件．成立．故周长为：4+8+8＝20．故答案为：20．14．（3分）已知方程组的解满足x+y＜0，则m的取值范围是m＜﹣1．解：，①+②得：3（x+y）＝3+3m，即x+y＝1+m，代入x+y＜0得：1+m＜0，解得：m＜﹣1．故答案为：m＜﹣1．15．（3分）如图，在△ABC中，已知点D，E，F分别为边BC，AD，CE的中点，且△ABC的面积等于4cm2，则阴影部分图形面积等于1cm2．解：如图，点F是CE的中点，∴△BEF的底是EF，△BEC的底是EC，即EF＝EC，而高相等，∴S△BEF＝S△BEC，∵E是AD的中点，∴S△BDE＝S△ABD，S△CDE＝S△ACD，∴S△EBC＝S△ABC，∴S△BEF＝S△ABC，且S△ABC＝4cm2，∴S△BEF＝1cm2，即阴影部分的面积为1cm2．故答案为1．16．（3分）如图，BF平分∠ABD，CE平分∠ACD，BF与CE交于G，若∠BDC＝m°，∠BGC＝n°，则∠A的度数为2n°﹣m°．（用m，n表示）解：连接BC．∵∠BDC＝m°，∴∠DBC+∠DCB＝180°﹣m°，∵∠BGC＝n°，∴∠GBC+∠GCB＝180°﹣n°，∵BF是∠ABD的平分线，CE是∠ACD的平分线，∴∠GBD+∠GCD＝∠ABD+∠ACD＝180°﹣n°﹣180°+m°＝m°﹣n°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣m°+2（m°﹣n°）＝180°+m°﹣2n°，∴∠A＝180°﹣（180°+m°﹣2n°）＝2n°﹣m°．故答案为：2n°﹣m°．三、解答题（17题8分，18、19、20题各6分，21、22题8分，23题10分）17．（4分）解不等式2x﹣11＜4（x﹣3）+3，并把它的解集在数轴上表示出来．解：2x﹣11＜4（x﹣3）+3，2x﹣11＜4x﹣12+3，2x﹣4x＜﹣12+3+11，﹣2x＜2，x＞﹣1，把解集表示在数轴上为：．18．（4分）已知关于x的不等式（m﹣1）x＞6，两边同除以m﹣1，得x＜，试化简：|m﹣1|﹣|2﹣m|．解：因为（m﹣1）x＞6，两边同除以m﹣1，得x＜，所以m﹣1＜0，m＜1，所以2﹣m＞0，所以|m﹣1|﹣|2﹣m|＝（1﹣m）﹣（2﹣m）＝1﹣m﹣2+m＝﹣119．（6分）先填空，后作图：（1）到一个角的两边距离相等的点在它的角平分线上；（2）到线段两端点距离相等的点在它的垂直平分线上；（3）如图，两条公路AB与CB，C、D是两个村庄，现在要建一个菜市场，使它到两个村庄的距离相等而且还要使它到两条公路的距离也相等，用尺规作图画出菜市场的位置P （不写作法，保留作图痕迹）．解：（1）到一个角的两边距离相等的点在它的角平分线上；故答案为：角平分线；（2）到线段两端点距离相等的点在它的垂直平分线上；故答案为：垂直平分线；（3）如图所示：点P即为所求．20．（6分）在△ABC中，AB＝AC，点E，F分别在AB，AC上，AE＝AF，BF与CE相交于点P，（1）求证：△ABF≌△ACE；（2）求证：PB＝PC．【解答】证明：（1）在△ABF和△ACE中，，∴△ABF≌△ACE（SAS）；（2）∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵△ABF≌△ACE，∴∠ABF＝∠ACE，∴∠PBC＝∠PCB，∴BP＝CP．21．（6分）如图所示，A、B两块试验田相距200米，C为水源地，AC＝160m，BC＝120m，为了方便灌溉，现有两种方案修筑水渠．甲方案：从水源地C直接修筑两条水渠分别到A、B；乙方案；过点C作AB的垂线，垂足为H，先从水源地C修筑一条水渠到AB所在直线上的H处，再从H分别向A、B进行修筑．（1）请判断△ABC的形状（要求写出推理过程）；（2）两种方案中，哪一种方案所修的水渠较短？请通过计算说明．解：（1）△ABC是直角三角形；理由如下：∴AC2+BC2＝1602+1202＝40000，AB2＝2002＝40000，∴AC2+BC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°；（2）甲方案所修的水渠较短；理由如下：∵△ABC是直角三角形，∴△ABC的面积＝AB•CH＝AC•BC，∴CH＝＝＝96（m），∵CH⊥AB，∴∠AHC＝90°，∴AH＝＝＝128（m），∴BH＝AB﹣AH＝72m，∵AC+BC＝160m+120m＝280m，CH+AH+BH＝96m+200m＝296m，∴AC+BC＜CH+AH+BH，∴甲方案所修的水渠较短．22．（8分）已知，如图，△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，BD为∠ABC的角平分线交AC于D，过点D作DE垂直AB于点E，（1）求BC的长；（2）求AE的长；（3）求BD的长解：（1）∵∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，∴BC＝＝6；（2）∵BD为∠ABC的角平分线，DE⊥AB，∴CD＝DE，在Rt△BCD和Rt△BED中，，∴Rt△BCD≌Rt△BED（HL），∴BE＝BC＝6，∴AE＝AB﹣BE＝10﹣6＝4；（3）设CD＝DE＝x，则AD＝8﹣x，在Rt△ADE中，AE2+DE2＝AD2，即42+x2＝（8﹣x）2，解得x＝3，所以，CD＝DE＝3，在Rt△BCD中，BD＝＝3．23．（8分）如图，在△ABC中，AD是△ABC的高线，CE是△ABC的角平分线，它们相交于点P．（1）若∠B＝40°，∠AEC＝75°，求证：AB＝BC；（2）若∠BAC＝90°，AP为△AEC边EC上中线，求∠B的度数．【解答】（1）证明：∵∠B＝40°，∠AEC＝75°，∴∠ECB＝∠AEC﹣∠B＝35°，∵CE平分∠ACB，∴∠ACB＝2∠BCE＝70°，∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠ACB＝180°﹣40°﹣70°＝70°，∴∠BAC＝∠BCA，∴AB＝AC．（2）∵∠BAC＝90°，AP是△AEC边EC上的中线，∴AP＝PC，∴∠PAC＝∠PCA，∵CE是∠ACB的平分线，∴∠PAC＝∠PCA＝∠PCD，∵∠ADC＝90°，∴∠PAC＝∠PCA＝∠PCD＝90°÷3＝30°，∴∠BAD＝60°，∵∠ADB＝90°，∴∠B＝90°﹣60°＝30°．24．（10分）[方法呈现]（1）如图①，△ABC中，AD为中线，已知AB＝3，AC＝5，求中线AD长的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长AD至点E，使DE＝AD，连结CE，则易证△DEC≌△DAB，得到EC＝AB＝3，则可得AC﹣CE＜AE＜AC+CE，从而可得中线AD长的取值范围是1＜AD＜4．[探究应用]（2）如图②，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E是BC的中点，若AE是∠BAD的平分线，试判断AB，AD，DC之间的等量关系，并写出完整的证明过程．（3）如图③，在四边形ABCD中，AB∥CD，AF与DC的延长线交于点F，点E是BC 的中点，若AE是∠BAF的平分线，试探究AB，AF，CF之间的等量关系，并证明你的结论．解：（1）由题意知AC﹣CE＜AE＜AC+CE，即5﹣4＜AE＜5+3，∴1＜AD＜4，故答案为：1＜AD＜4；（2）如图②，延长AE，DC交于点F，∵AB∥CD，∴∠BAF＝∠F，在△ABE和△FCE中CE＝BE，∠BAF＝∠F，∠AEB＝∠FEC，∴△ABE≌△FEC（AAS），∴CF＝AB，∵AE是∠BAD的平分线，∴∠BAF＝∠FAD，∴∠FAD＝∠F，∴AD＝DF，∵DC+CF＝DF，∴DC+AB＝AD．（3）如图③，延长AE，DF交于点G，同（2）可得：AF＝FG，△ABE≌△GEC，∴AB＝CG，∴AF+CF＝AB．。

2019-2020学年浙教新版八年级（上）期中数学试卷一、选择题（每小题3分，共30分）1．（3分）已知△ABC的三边长分别是3cm、4cm、5cm，则△ABC的面积是（）A．6cm2B．7.5cm2C．10cm2D．12cm22．（3分）下列选项中的三条线段的长度，能组成三角形的是（）A．，1，B．5，12，18C．1.5，1.4，2D．2，1，3．（3分）三角形内到三角形各边的距离都相等的点是三角形的（）A．三条中线的交点B．三个内角的角平分线交点C．三条高线的交点D．不能确定4．（3分）能说明命题“若x（x+1）（x﹣2）＝0，则x＝0”是假命题的反例是（）A．x＝0B．x＝﹣2C．x＝1D．x＝﹣15．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点D，过点D作直线EF∥BC，交AB于E，交AC于F，图中等腰三角形的个数共有（）A．3个B．4个C．5个D．6个6．（3分）三角形分别满足下列条件：（1）一个内角等于另外两个内角之和；（2）三边分别为1，，；（3）三个内角之比为3：4：5；（4）一边上的中线等于这条边的一半；其中直角三角形有（）A．1个B．2个C．3个D．4个7．（3分）如图，在△ABC中，CF⊥AB于F，BE⊥AC于E，M为BC的中点，EF＝7，BC ＝10，则△EFM的周长是（）A．17B．21C．24D．278．（3分）如图所示，已知D为BC上一点且AB＝AC＝BD，那么∠1与∠2之间满足的关系是（）A．∠1＝2∠2B．∠1+3∠2＝180°C．2∠1+∠2＝180°D．3∠1﹣∠2＝180°9．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝2BC，在直线BC或AC上取一点P，使得△P AB为等腰三角形，则符合条件的点P共有（）A．4个B．5个C．6个D．7个10．（3分）如图所示，△ABC和△CDE均为等腰直角三角形，其中∠ABC＝∠CDE＝90°，点B，C，D在一条直线上，点M是AE的中点，连接CM，BM，DM．下列结论：①S+S△CDE≥S△ACE；②CM＝AE；③BM⊥DM；④BM＝DM．其中，结论正确的个△ABC数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题（每题4分，共24分）11．（4分）如图：在△ABC中，∠A＝70°，∠B＝60°，点D在BC的延长线上，则∠ACD ＝度．12．（4分）如果等腰三角形的三边均为整数且它的周长为10cm，那么它的底边长为．13．（4分）如图，△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，AD、CE交于点H，请你添加一个适当的条件：，使△AEH≌△CEB．14．（4分）命题“等腰三角形底边上的高线与中线重合”的逆命题是．15．（4分）如图，边长为2的等边三角形△ABC，P为边BC上一个动点，PE⊥AB，PD⊥AC，则PE+PD＝．16．（4分）在等腰△ABC中，∠A＝30°，AB＝6，则AB边上的高CD的长是．三、解答题（共66分）17．（6分）如图，AB、CD相交于点O，AO＝BO，AC∥DB．求证：AC＝BD．18．（8分）（1）如图，在Rt△ABC中，BD为斜边AC上的中线，若∠A＝35°，求∠BDC 的度数；（2）在等腰三角形△ABC中，若∠A＝4∠B，求∠C的度数．19．（8分）如图，已知线段a．（1）只用直尺（没有刻度的尺）和圆规作Rt△ABC，使∠C＝Rt∠，AB＝a，BC＝a （要求保留作图痕迹，不必写出作法）；（2）若在（1）作出的Rt△ABC中，AB＝2cm，求AB边上的高．20．（10分）如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，D在AB上，且AD＝AC，AG平分∠CAB，过点D作BC的平行线交AG于点F，连接CF并延长交AB于点E．求证：（1）△ACF≌△ADF；（2）CF＝CG；（3）CE⊥AB．21．（10分）在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，小明用尺规作图的方法在边BC上确定一点P，请你根据如图所示作图方法分别求出图1，图2中线段PC的长．22．（12分）已知：在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点F在射线CA上，延长BC至点D，使CD＝CF，点E是射线BF与射线DA的交点．（1）如图1，若点F在边CA上．①求证：BE⊥AD；②小敏在探究过程中发现∠BEC＝45°，于是她想：若点F在CA的延长线上，是否也存在同样的结论？请你在图2上画出符合条件的图形并通过测量猜想∠BEC的度数．（2）选择图1或图2两种情况中的任一种，证明小敏或你的猜想．23．（12分）如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中∠C＝90°，∠B＝∠E＝30°．（1）操作发现：如图2，固定△ABC，使△DEC绕点C旋转，当点D恰好落在AB边上时，填空：①线段DE与AC的位置关系是；②设△BDC的面积为S1，△AEC的面积为S2，则S1与S2的数量关系是．（2）猜想论证：当△DEC绕点C旋转到如图3所示的位置时，小明猜想（1）中S1与S2的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了△BDC和△AEC中BC、CE边上的高，请你证明小明的猜想．（3）拓展探究已知∠ABC＝60°，点D是角平分线上一点，BD＝CD＝6，DE∥AB交BC于点E（如图4），若在射线BA上存在点F，使S△DCF＝S△BDE，请求出相应的BF的长．。

2019-2020学年浙江省绍兴市诸暨市城区五校八年级（上）期中数学试卷一、选择题（本题共10小题，每题3分，共30分）1．（3分）图中所示的几个图形是国际通用的交通标志．其中不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．2．（3分）长度分别是2，5，x的三条线段能组成一个三角形，x的值可以是（）A．1B．2C．5D．73．（3分）在△ABC中，若一个内角等于另外两个内角的差，则（）A．必有一个内角等于30°B．必有一个内角等于45°C．必有一个内角等于60°D．必有一个内角等于90°4．（3分）下列选项中a的值，可以作为命题“a2＞4，则a＞2”是假命题的反例是（）A．a＝3B．a＝2C．a＝﹣3D．a＝﹣25．（3分）已知a＞b，则下列不等式中，正确的是（）A．﹣3a＞﹣3b B．﹣C．3﹣a＜3﹣b D．a﹣3＜b﹣3 6．（3分）已知直线m∥n，将一块含45°角的直角三角板ABC按如图方式放置，其中斜边BC与直线n交于点D．若∠1＝25°，则∠2的度数为（）A．60°B．65°C．70°D．75°7．（3分）已知四个实数a，b，c，d，若a＞b，c＞d，则（）A．a+c＞b+d B．a﹣c＞b﹣d C．ac＞bd D．＞8．（3分）勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载．如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大正方形内．若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出（）A．直角三角形的面积B．最大正方形的面积C．较小两个正方形重叠部分的面积D．最大正方形与直角三角形的面积和9．（3分）如图，在△ABC中，已知点D，E，F分别为边BC，AD，CE的中点，S＝△ABC 16cm2，则S＝（）△EBFA．8cm2B．4cm2C．6cm2D．2cm210．（3分）如图，四边形ABCD中，∠BAD＝121°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别找到一点M、N，使△AMN周长最小时，则∠AMN+∠ANM的度数为（）A．118°B．121°C．120°D．90°二、填空题（本题共10小题，每题3分，共30分）11．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝70°，则∠B＝．12．（3分）等腰三角形的两边长分别为2和7，则它的周长是．13．（3分）命题：如果a＝b，那么|a|＝|b|，其逆命题是．14．（3分）如图，∠ABC＝∠DCB，请补充一个条件：，使△ABC≌△DCB．15．（3分）同时满足和3x+4＞x的最大整数是．16．（3分）如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数：．17．（3分）若关于x的不等式组无解，则a的取值范围．18．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝110°，EF，MN分别为AB，AC的垂直平分线，则∠FAN＝．19．（3分）矩形纸片ABCD中，AD＝10cm，AB＝4cm，按如图方式折叠，使点B与点D 重合，折痕为EF，则DE＝cm．20．（3分）将一张纸第一次翻折，折痕为AB（如图1），第二次翻折，折痕为PQ（如图2），第三次翻折使AP与PQ重合（如图3），第四次翻折使PB与PA重合，折痕为PD（如图4）．此时，如果将纸复原到图1的形状，则∠CPD＝．三、解答题（共40分）21．（6分）解下列不等式（组）（1）≤﹣1（2）22．（8分）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AB边上一点，过点C作CF ∥AB交ED的延长线于点F．（1）求证：△BDE≌△CDF．（2）当AD⊥BC，AE＝1，CF＝2时，求AC的长．23．（6分）某批服装进价为每件200元，商店标价为每件300元．现商店准备将这批服装打折出售，但要保证毛利润不低于8%，商店最低可按标价的几折出售？（通过列不等式进行解答）24．（8分）如图所示，在△ABC中，AD是边BC上的高线，CE是边AB上的中线，DG ⊥CE于点G，CD＝AE（1）证明：CG＝EG；（2）若AD＝6，BD＝8，求CE的长．25．（12分）如图1是实验室中的一种摆动装置，BC在地面上，支架ABC是底边长为BC 的等腰直角三角形，摆动臂AD可绕点A旋转，摆动臂DM可绕D旋转，AD＝4，DM＝3．（1）在旋转过程中，①当A，D，M三点在同一直线上时，求AM的长；②当A，D，M三点为同一直角三角形的顶点时，求AM的长；（2）当摆动臂AD顺时针旋转90°，点D的位置由△ABC外的点D1转到其内的点D2处，连接D1D2如图2，此时∠AD2C＝135°，CD2＝，求BD2的长．2019-2020学年浙江省绍兴市诸暨市城区五校八年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共10小题，每题3分，共30分）1．（3分）图中所示的几个图形是国际通用的交通标志．其中不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形．【解答】解：A、B、D都是轴对称图形，而C不是轴对称图形．故选：C．【点评】本题主要考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．2．（3分）长度分别是2，5，x的三条线段能组成一个三角形，x的值可以是（）A．1B．2C．5D．7【分析】根据三角形的三边关系可得5﹣2＜x＜5+2，解不等式，确定x的取值范围，然后可得答案．【解答】解：∵长度分别是2，5，x的三条线段能组成一个三角形，∴5﹣2＜x＜5+2，即3＜x＜7，∴x的值可以是：5．故选：C．【点评】此题主要考查了三角形的三边关系，要注意三角形形成的条件：任意两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边．3．（3分）在△ABC中，若一个内角等于另外两个内角的差，则（）A．必有一个内角等于30°B．必有一个内角等于45°C．必有一个内角等于60°D．必有一个内角等于90°【分析】根据三角形内角和定理得出∠A+∠B+∠C＝180°，把∠C＝∠A+∠B代入求出∠C即可．【解答】解：∵∠A+∠B+∠C＝180°，∠A＝∠C﹣∠B，∴2∠C＝180°，∴∠C＝90°，∴△ABC是直角三角形，故选：D．【点评】本题考查了三角形内角和定理的应用，能求出三角形最大角的度数是解此题的关键，注意：三角形的内角和等于180°．4．（3分）下列选项中a的值，可以作为命题“a2＞4，则a＞2”是假命题的反例是（）A．a＝3B．a＝2C．a＝﹣3D．a＝﹣2【分析】根据要证明一个命题结论不成立，可以通过举反例的方法来证明一个命题是假命题．【解答】解：用来证明命题“若a2＞4，则a＞2”是假命题的反例可以是：a＝﹣3，∵（﹣3）2＞4，但是a＝﹣3＜2，∴C正确；故选：C．【点评】此题主要考查了利用举例法证明一个命题错误，要说明数学命题的错误，只需举出一个反例即可，这是数学中常用的一种方法．5．（3分）已知a＞b，则下列不等式中，正确的是（）A．﹣3a＞﹣3b B．﹣C．3﹣a＜3﹣b D．a﹣3＜b﹣3【分析】根据不等式的性质对各选项进行判断．【解答】解：∵a＞b，∴﹣3a ＜﹣3b ，﹣ a ＜﹣b ，﹣a ＜﹣b ，a ﹣3＞b ﹣3，∵﹣a ＜﹣b ，∴3﹣a ＜3﹣b ．故选：C ．【点评】本题考查了不等式的性质：熟练掌握不等式的基本性质．6．（3分）已知直线m ∥n ，将一块含45°角的直角三角板ABC 按如图方式放置，其中斜边BC 与直线n 交于点D ．若∠1＝25°，则∠2的度数为（ ）A ．60°B ．65°C ．70°D ．75°【分析】先求出∠AED ＝∠1+∠B ＝25°+45°＝70°，再根据平行线的性质可知∠2＝∠AED ＝70°．【解答】解：设AB 与直线n 交于点E ，则∠AED ＝∠1+∠B ＝25°+45°＝70°．又直线m ∥n ，∴∠2＝∠AED ＝70°．故选：C ．【点评】本题主要考查了平行线的性质以及三角形外角性质，解题的关键是借助平行线和三角形内外角转化角．7．（3分）已知四个实数a ，b ，c ，d ，若a ＞b ，c ＞d ，则（ ）A ．a +c ＞b +dB ．a ﹣c ＞b ﹣dC ．ac ＞bdD ．＞【分析】直接利用等式的基本性质分别化简得出答案．【解答】解：∵a＞b，c＞d，∴a+c＞b+d．故选：A．【点评】此题主要考查了等式的性质，正确掌握等式的基本性质是解题关键．8．（3分）勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载．如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大正方形内．若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出（）A．直角三角形的面积B．最大正方形的面积C．较小两个正方形重叠部分的面积D．最大正方形与直角三角形的面积和【分析】根据勾股定理得到c2＝a2+b2，根据正方形的面积公式、长方形的面积公式计算即可．【解答】解：设直角三角形的斜边长为c，较长直角边为b，较短直角边为a，由勾股定理得，c2＝a2+b2，阴影部分的面积＝c2﹣b2﹣a（c﹣b）＝a2﹣ac+ab＝a（a+b﹣c），较小两个正方形重叠部分的宽＝a﹣（c﹣b），长＝a，则较小两个正方形重叠部分底面积＝a（a+b﹣c），∴知道图中阴影部分的面积，则一定能求出较小两个正方形重叠部分的面积，故选：C．【点评】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．9．（3分）如图，在△ABC中，已知点D，E，F分别为边BC，AD，CE的中点，S＝△ABC16cm 2，则S △EBF ＝（ ）A ．8cm 2B ．4cm 2C ．6cm 2D ．2cm 2【分析】根据三角形的面积公式，知：等底等高的两个三角形的面积相等．【解答】解：S 阴影＝S △BCE ＝S △ABC ＝4cm 2．故选：B ．【点评】本题考查的是三角形的面积，充分运用三角形的面积公式以及三角形的中线的性质．10．（3分）如图，四边形ABCD 中，∠BAD ＝121°，∠B ＝∠D ＝90°，在BC 、CD 上分别找到一点M 、N ，使△AMN 周长最小时，则∠AMN +∠ANM 的度数为（ ）A ．118°B ．121°C ．120°D ．90°【分析】如图，四边形ABCD 中，∠BAD ＝121°，∠B ＝∠D ＝90°，在BC 、CD 上分别找到一点M 、N ，使△AMN 周长最小时，则∠AMN +∠ANM 的度数为【解答】解：如下图，作A 关于BC 和CD 的对称点A ′，A ″，连接A ′A ″，交BC 于M ，交CD 于N ，则A ′A ″即为△AMN 的周长最小值．作DA延长线AH，∵∠DAB＝121°，∴∠HAA′＝59°，∴∠AA′M+∠A″＝∠HAA′＝59°，∵∠MA′A＝∠MAA′，∠NAD＝∠A″，且∠MA′A+∠MAA′＝∠AMN，∠NAD+∠A″＝∠ANM，∴∠AMN+∠ANM＝∠MA′A+∠MAA′+∠NAD+∠A″＝2（∠AA′M+∠A″）＝2×59°＝118°．故选：A．【点评】本题考查两角度数和的求法，考查三角形性质的应用，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题．二、填空题（本题共10小题，每题3分，共30分）11．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝70°，则∠B＝20°．【分析】根据直角三角形的两锐角互余计算，得到答案．【解答】解：∵∠C＝90°，∠A＝70°，∴∠B＝90°﹣70°＝20°，故答案为：20°．【点评】本题考查的是直角三角形的性质，掌握直角三角形的两锐角互余是解题的关键．12．（3分）等腰三角形的两边长分别为2和7，则它的周长是16．【分析】题中没有指明哪个是底哪个腰，故首先分两种情况进行分析，然后利用三角形三边关系定理进行检验．【解答】解：当7为腰时，周长＝7+7+2＝16；当2为腰时，因为2+2＜7，所以不能构成三角形．故答案为：16．【点评】此题主要考查等腰三角形的性质及三角形三边关系的综合运用．13．（3分）命题：如果a＝b，那么|a|＝|b|，其逆命题是如果|a|＝|b|那么a＝b．【分析】对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的逆命题．【解答】解：命题：如果a＝b，那么|a|＝|b|，其逆命题是如果|a|＝|b|那么a＝b．【点评】根据逆命题的定义回答，题设和结论与原命题要调换位置．14．（3分）如图，∠ABC＝∠DCB，请补充一个条件：AB＝DC或者∠A＝∠D，使△ABC≌△DCB．【分析】要使△ABC≌△DCB，已知了∠ABC＝∠DCB以及公共边BC，因此可以根据SAS、AAS分别添加一组相等的对应边或一组相等的对应角．【解答】解：∵∠ABC＝∠DCB，BC＝BC，∴当AB＝DC（SAS）或∠A＝∠D（ASA）或∠BCA＝∠DBC（AAS）时，∴△ABC≌△DCB．故填AB＝DC或∠A＝∠D．【点评】本题考查三角形全等的判定方法；判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．添加时注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，不能添加，根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关健．15．（3分）同时满足和3x+4＞x的最大整数是2．【分析】根据题意联立不等式组，解不等式组可得．【解答】解：由题意得，解不等式①，得：x＜3，解不等式②，得：x＞﹣2，则不等式组的解集为﹣2＜x＜3，∴该不等式组的最大整数解为x＝2，故答案为：2．【点评】本题考查了一元一次不等式组的整数解，属于基础题，关键是先求出同时满足不等式组的解，再求整数解．16．（3分）如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数：180°．【分析】连结AC，根据三角形的内角和定理即可证得∠E+∠D＝∠1+∠2，然后根据三角形的内角和定理即可求解．【解答】解：连结AC，∵∠E+∠D+∠EFD＝∠1+∠2+∠AFC＝180°，又∵∠EFD＝∠AFC，∴∠E+∠D＝∠1+∠2，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝∠B+∠EAB+∠BCD+∠1+∠2＝∠B+∠BAC+∠ACB＝180°．故答案为：180°．【点评】本题考查了三角形的内角和定理，正确作出辅助线，证明∠E+∠D＝∠1+∠2是关键．17．（3分）若关于x的不等式组无解，则a的取值范围a≥3．【分析】原不等式组无解，即组成不等式组的两个不等式的解集没有交集．【解答】解：∵关于x的不等式组无解，∴a≥3．故答案为：a≥3．【点评】本题考查了不等式的解集．求不等式组的解集，应注意：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．18．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝110°，EF，MN分别为AB，AC的垂直平分线，则∠FAN＝40°．【分析】根据三角形内角和定理求出∠B+∠C的度数，根据线段的垂直平分线的性质得到FA＝FB，NA＝NC，得到∠BAF＝∠B，∠CAN＝∠C，进而得出结论．【解答】解：∵∠BAC＝110°，∴∠B+∠C＝70°，∵EF，MN分别为AB，AC的垂直平分线，∴FA＝FB，NA＝NC，∴∠BAF＝∠B，∠CAN＝∠C，∴∠BAF+∠CAN＝70°，∴∠FAN＝∠BAC﹣（∠BAF+∠CAN）＝110°﹣70°＝40°，故答案为：40°．【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．19．（3分）矩形纸片ABCD中，AD＝10cm，AB＝4cm，按如图方式折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则DE＝cm．【分析】根据已知条件可以知道，DE＝BE，若设DE＝x，则DE＝BE＝x，AE＝10﹣x，在Rt△ABE中可以利用勾股定理，列方程求出DE的长．【解答】解：设DE＝x，则BE＝DE＝x，AE＝10﹣x，又∵在Rt△ABE中AB2+AE2＝BE2，即42+（10﹣x）2＝x2，解得x＝．故答案为：．【点评】在解决本题的过程中要注意折叠时出现的相等的线段，把求线段长的问题转化为解直角三角形的问题．20．（3分）将一张纸第一次翻折，折痕为AB（如图1），第二次翻折，折痕为PQ（如图2），第三次翻折使AP与PQ重合（如图3），第四次翻折使PB与PA重合，折痕为PD （如图4）．此时，如果将纸复原到图1的形状，则∠CPD＝90°．【分析】根据平角定义和角平分线定义进行分析解答即可．【解答】解：第一次折叠，可以不考虑；第二次折叠，∠APQ+∠BPQ＝180°；第三次折叠，∠CPQ＝×∠APQ；第四次折叠，∠DPQ＝×∠BPQ；∠CPD＝∠CPQ+∠DPQ＝∠APQ+∠BPQ＝×180°＝90°．故答案为：90°．【点评】本题主要考查了折叠的性质，需理清折叠后角的变化，由此求出要求的角的度数．三、解答题（共40分）21．（6分）解下列不等式（组）（1）≤﹣1（2）【分析】（1）先去分母，再去括号、移项，合并同类项，系数化为1即可；（2）分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集．【解答】解：（1）去分母得，2（2x+1）﹣3（5x﹣1）≤﹣6，去括号得，4x+2﹣15x+3≤﹣6，移项合并同类项得，﹣11x≤﹣11，系数化为1得，x≥1；（2），解①得，x≥﹣3，解②得，x＜2，解集为﹣3≤x＜2．【点评】本题考查的是解一元一次不等式及解一元一次不等式组，熟知不等式的基本性质是解答此题的关键．22．（8分）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AB边上一点，过点C作CF ∥AB交ED的延长线于点F．（1）求证：△BDE≌△CDF．（2）当AD⊥BC，AE＝1，CF＝2时，求AC的长．【分析】（1）根据平行线的性质得到∠B＝∠FCD，∠BED＝∠F，由AD是BC边上的中线，得到BD＝CD，于是得到结论；（2）根据全等三角形的性质得到BE＝CF＝2，求得AB＝AE+BE＝1+2＝3，于是得到结论．【解答】（1）证明：∵CF∥AB，∴∠B＝∠FCD，∠BED＝∠F，∵AD是BC边上的中线，∴BD＝CD，∴△BDE≌△CDF（AAS）；（2）解：∵△BDE≌△CDF，∴BE＝CF＝2，∴AB＝AE+BE＝1+2＝3，∵AD⊥BC，BD＝CD，∴AC＝AB＝3．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．23．（6分）某批服装进价为每件200元，商店标价为每件300元．现商店准备将这批服装打折出售，但要保证毛利润不低于8%，商店最低可按标价的几折出售？（通过列不等式进行解答）【分析】设商店打x折出售，根据利润＝售价﹣成本结合保证毛利润不低于8%，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其最小值即可得出结论．【解答】解：设商店打x折出售，依题意，得：300×﹣200≥200×8%，解得：x≥7.2．答：商店最低可按标价的7.2折出售．【点评】本题考查了一元一次不等式的应用，找准等量关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．24．（8分）如图所示，在△ABC中，AD是边BC上的高线，CE是边AB上的中线，DG ⊥CE于点G，CD＝AE（1）证明：CG＝EG；（2）若AD＝6，BD＝8，求CE的长．【分析】（1）连结DE，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出DE＝AE，由CD＝AE，等量代换得到DE＝CD，再根据等腰三角形三线合一的性质，即可得出CG ＝EG；（2）过E作EM⊥BC于M．先证明EM是△ABD的中位线，可求出EM．根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出DE＝AB，由勾股定理求得DM的长，而CD＝AE ＝DE，那么CM＝CD+DM，进而根据勾股定理求出CE．【解答】解：（1）证明：CG＝EG．连结DE，如图．∵AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，又E为AB中点，∴DE＝AE＝BE，∵CD＝AE，∴DE＝CD，又DG⊥EC，∴EG＝CG；（2）过E作EM⊥BC于M，如图．∵AD⊥BC，EM⊥BC，∴EM∥AD，∵E为AB中点，∴EM是△ABD的中位线，∴EM＝AD＝3．∵AD＝6，BD＝8，∴AB＝＝10，∵DE＝AB＝5，∴DM＝4，∵CD＝AE＝DE＝5，∴CM＝CD+DM＝9，∴CE＝＝3．【点评】此题考查了勾股定理，三角形中位线的判定与性质，等腰三角形的性质，直角三角形斜边上的中线的性质，正确作出辅助线是解题的关键．25．（12分）如图1是实验室中的一种摆动装置，BC在地面上，支架ABC是底边长为BC 的等腰直角三角形，摆动臂AD可绕点A旋转，摆动臂DM可绕D旋转，AD＝4，DM＝3．（1）在旋转过程中，①当A，D，M三点在同一直线上时，求AM的长；②当A，D，M三点为同一直角三角形的顶点时，求AM的长；（2）当摆动臂AD顺时针旋转90°，点D的位置由△ABC外的点D1转到其内的点D2处，连接D1D2如图2，此时∠AD2C＝135°，CD2＝，求BD2的长．【分析】（1）①分两种情形分别求解即可．②显然∠MAD不能为直角．当∠AMD为直角时，根据AM2＝AD2﹣DM2，计算即可，当∠ADM＝90°时，根据AM2＝AD2+DM2，计算即可．（2）连接CD．首先利用勾股定理求出CD1，再利用全等三角形的性质证明BD2＝CD1即可．【解答】解：（1）①AM＝AD+DM＝7，或AM＝AD﹣DM＝1．②显然∠MAD不能为直角．当∠AMD为直角时，AM2＝AD2﹣DM2＝42﹣32＝7，∴AM＝或（﹣舍弃）．当∠ADM＝90°时，AM2＝AD2+DM2＝42+32＝25，∴AM＝5或（﹣5舍弃）．综上所述，满足条件的AM的值为或5．（2）如图2中，连接CD1．由题意：∠D1AD2＝90°，AD1＝AD2＝30，∴∠AD2D1＝45°，D1D2＝4，∵∠AD2C＝135°，∴∠CD2D1＝90°，∴CD1＝＝＝7，∵∠BAC＝∠A1AD2＝90°，∴∠BAC﹣∠CAD2＝∠D2AD1﹣∠CAD2，∴∠BAD2＝∠CAD1，∵AB＝AC，AD2＝AD1，∴△BAD2≌△CAD1（SAS），∴BD2＝CD1＝7．【点评】本题几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．。

八年级上册绍兴数学期中精选试卷同步检测（Word版含答案）一、八年级数学全等三角形解答题压轴题（难）1．（1）如图（1），已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB=AC，直线m经过点A，BD⊥直线m, CE⊥直线m,垂足分别为点D、E.证明:DE=BD+CE.（2）如图（2），将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m 上,并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α,其中α为任意锐角或钝角.请问结论DE=BD+CE是否成立?如成立,请你给出证明;若不成立,请说明理由.（3）拓展与应用：如图（3），D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D、A、E三点互不重合）,点F为∠BAC平分线上的一点,且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD、CE,若∠BDA=∠AEC=∠BAC，试判断△DEF的形状.【答案】（1）见解析（2）成立（3）△DEF为等边三角形【解析】解：（1）证明：∵BD⊥直线m，CE⊥直线m，∴∠BDA＝∠CEA=900．∵∠BAC＝900，∴∠BAD+∠CAE=900．∵∠BAD+∠ABD=900，∴∠CAE=∠ABD．又AB="AC" ，∴△ADB≌△CEA（AAS）．∴AE=BD，AD=CE．∴DE="AE+AD=" BD+CE．（2）成立．证明如下：∵∠BDA =∠BAC=α，∴∠DBA+∠BAD=∠BAD +∠CAE=1800—α．∴∠DBA=∠CAE．∵∠BDA=∠AEC=α，AB=AC，∴△ADB≌△CEA（AAS）．∴AE=BD，AD=CE．∴DE=AE+AD=BD+CE．（3）△DEF为等边三角形．理由如下：由（2）知，△ADB≌△CEA，BD=AE，∠DBA =∠CAE，∵△ABF和△ACF均为等边三角形，∴∠ABF=∠CAF=600．∴∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF．∴∠DBF=∠FAE．∵BF=AF，∴△DBF≌△EAF（AAS）．∴DF=EF，∠BFD=∠AFE．∴∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=600．∴△DEF为等边三角形．（1）因为DE=DA+AE，故由AAS证△ADB≌△CEA，得出DA=EC，AE=BD，从而证得DE=BD+CE．（2）成立，仍然通过证明△ADB≌△CEA，得出BD=AE，AD=CE，所以DE=DA+AE=EC+BD．（3）由△ADB≌△CEA得BD=AE，∠DBA =∠CAE，由△ABF和△ACF均等边三角形，得∠ABF=∠CAF=600，FB=FA，所以∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF，即∠DBF=∠FAE，所以△DBF≌△EAF，所以FD=FE，∠BFD=∠AFE，再根据∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=600得到△DEF是等边三角形．2．如图，∠BAD=∠CAE=90°，AB=AD，AE=AC，AF⊥CB，垂足为F．（1）求证：△ABC≌△ADE；（2）求∠FAE的度数；（3）求证：CD=2BF+DE．【答案】（1）证明见解析；（2）∠FAE=135°；（3）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据已知条件易证∠BAC=∠DAE，再由AB=AD，AE=AC，根据SAS即可证得△ABC≌△ADE；（2）已知∠CAE=90°，AC=AE，根据等腰三角形的性质及三角形的内角和定理可得∠E=45°，由（1）知△BAC≌△DAE，根据全等三角形的性质可得∠BCA=∠E=45°，再求得∠CAF=45°，由∠FAE=∠FAC+∠CAE即可得∠FAE的度数；（3）延长BF到G，使得FG=FB，易证△AFB≌△AFG，根据全等三角形的性质可得AB=AG，∠ABF=∠G，再由△BAC≌△DAE，可得AB=AD，∠CBA=∠EDA，CB=ED，所以AG=AD，∠ABF=∠CDA，即可得∠G=∠CDA，利用AAS证得△CGA≌△CDA，由全等三角形的性质可得CG=CD，所以CG=CB+BF+FG=CB+2BF=DE+2BF．【详解】（1）∵∠BAD=∠CAE=90°，∴∠BAC+∠CAD=90°，∠CAD+∠DAE=90°，∴∠BAC=∠DAE，在△BAC和△DAE中，AB ADBAC DAEAC AE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BAC≌△DAE（SAS）；（2）∵∠CAE=90°，AC=AE，∴∠E=45°，由（1）知△BAC ≌△DAE ，∴∠BCA=∠E=45°，∵AF ⊥BC ，∴∠CFA=90°，∴∠CAF=45°，∴∠FAE=∠FAC+∠CAE=45°+90°=135°；（3）延长BF 到G ，使得FG=FB ，∵AF ⊥BG ，∴∠AFG=∠AFB=90°，在△AFB 和△AFG 中，BF F AFB AFG AF AF G =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△AFB ≌△AFG （SAS ），∴AB=AG ，∠ABF=∠G ，∵△BAC ≌△DAE ，∴AB=AD ，∠CBA=∠EDA ，CB=ED ，∴AG=AD ，∠ABF=∠CDA ，∴∠G=∠CDA ，在△CGA 和△CDA 中，GCA DCA CGA CDA AG AD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△CGA ≌△CDA ，∴CG=CD ，∵CG=CB+BF+FG=CB+2BF=DE+2BF ，∴CD=2BF+DE ．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，解决第3问需作辅助线，延长BF 到G ，使得FG=FB ，证得△CGA ≌△CDA 是解题的关键．3．如图，△ABC中，D是BC的中点，过D点的直线GF交AC于F，交AC的平行线BG于G点，DE⊥DF，交AB于点E，连结EG、EF．（1）求证：BG＝CF；（2）请你判断BE+CF与EF的大小关系，并说明理由．【答案】（1）详见解析；（2）BE+CF＞EF，证明详见解析【解析】【分析】（1）先利用ASA判定△BGD≅CFD，从而得出BG=CF；（2）利用全等的性质可得GD=FD，再有DE⊥GF，从而得到EG=EF，两边之和大于第三边从而得出BE+CF＞EF．【详解】解：（1）∵BG∥AC，∴∠DBG＝∠DCF．∵D为BC的中点，∴BD＝CD又∵∠BDG＝∠CDF，在△BGD与△CFD中，∵DBG DCFBD CDBDG CDF∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△BGD≌△CFD（ASA）．∴BG＝CF．（2）BE+CF＞EF．∵△BGD≌△CFD，∴GD＝FD，BG＝CF．又∵DE⊥FG，∴EG＝EF（垂直平分线到线段端点的距离相等）．∴在△EBG中，BE+BG＞EG，即BE+CF＞EF．【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，要注意判定三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、AAS、ASA、HL．4．已知△ABC中，AB=AC，点P是AB上一动点，点Q是AC的延长线上一动点，且点P从B运动向A、点Q从C运动向Q移动的时间和速度相同，PQ与BC相交于点D，若AB=82，BC=16．（1）如图1，当点P为AB的中点时，求CD的长；（2）如图②，过点P作直线BC的垂线，垂足为E，当点P、Q在移动的过程中，设BE+CD=λ，λ是否为常数？若是请求出λ的值，若不是请说明理由．【答案】（1）4；（2）8【解析】【分析】（1）过P点作PF∥AC交BC于F，由点P和点Q同时出发，且速度相同，得出BP=CQ，根据PF∥AQ，可知∠PFB=∠ACB，∠DPF=∠CQD，则可得出∠B=∠PFB，证出BP=PF，得出PF=CQ，由AAS证明△PFD≌△QCD，得出，再证出F是BC的中点，即可得出结果；（2）过点P作PF∥AC交BC于F，易知△PBF为等腰三角形，可得BE=12BF，由（1）证明方法可得△PFD≌△QCD 则有CD=12CF，即可得出BE+CD=8．【详解】解:（1）如图①，过P点作PF∥AC交BC于F，∵点P和点Q同时出发，且速度相同，∴BP=CQ，∵PF∥AQ，∴∠PFB=∠ACB，∠DPF=∠CQD，又∵AB=AC ，∴∠B=∠ACB ，∴∠B=∠PFB ，∴BP=PF ，∴PF=CQ ，又∠PDF=∠QDC ，∴△PFD ≌△QCD ， ∴DF=CD=12CF ， 又因P 是AB 的中点，PF ∥AQ ，∴F 是BC 的中点，即FC=12BC=8， ∴CD=12CF=4； （2）8BE CD λ+==为定值．如图②，点P 在线段AB 上，过点P 作PF ∥AC 交BC 于F ，易知△PBF 为等腰三角形，∵PE ⊥BF∴BE=12BF ∵易得△PFD ≌△QCD ∴CD=12CF ∴()111182222BE CD BF CF BF CF BC λ+==+=+== 【点睛】 此题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判断与性质，熟悉相关性质定理是解题的关键．5．如图，A （0，4）是直角坐标系y 轴上一点，动点P 从原点O 出发，沿x 轴正半轴运动，速度为每秒1个单位长度，以P 为直角顶点在第一象限内作等腰Rt △APB ．设P 点的运动时间为t 秒．（1）若AB∥x轴，如图1，求t的值；（2）设点A关于x轴的对称点为A′，连接A′B，在点P运动的过程中，∠OA′B的度数是否会发生变化，若不变，请求出∠OA′B的度数，若改变，请说明理由．（3）如图2，当t＝3时，坐标平面内有一点M（不与A重合）使得以M、P、B为顶点的三角形和△ABP全等，请直接写出点M的坐标．【答案】（1）4；（2）∠OA′B的度数不变，∠OA′B＝45 ，理由见解析；（3）点M的坐标为（6，﹣4），（4，7），（10，﹣1）【解析】【分析】（1）利用等腰直角三角形的性质以及平行线的性质，可证明△AOP为等腰直角三角形，从而求得答案；（2）根据对称的性质得：PA＝PA'＝PB，由∠PAB+∠PBA＝90°，结合三角形内角和定理即可求得∠OA'B＝45°；（3）分类讨论：分别讨论当△ABP≌△MBP、△ABP≌△MPB、△ABP≌△MPB时，点M的坐标的情况；过点M作x轴的垂线、过点B作y轴的垂线，利用等腰直角三角形的性质及全等三角形的判定和性质求得点M的坐标即可.【详解】（1）∵AB∥x轴，△APB为等腰直角三角形，∴∠PAB＝∠PBA＝∠APO＝45°，∴△AOP为等腰直角三角形，∴OA＝OP＝4．∴t＝4÷1＝4（秒），故t的值为4．（2）如图2，∠OA′B的度数不变，∠OA′B＝45°，∵点A 关于x 轴的对称点为A ′，∴PA ＝PA '，又AP ＝PB ，∴PA ＝PA '＝PB ，∴∠PAA '＝∠PA 'A ，∠PBA '＝∠PA 'B ，又∵∠PAB +∠PBA ＝90°，∴∠PAA '+∠PA 'A +∠PA 'B +∠PBA '＝180()PAB PBA ∠∠︒-+180=︒-90°=90°，∴∠AA 'B ＝45°，即∠OA 'B ＝45°；（3）当t ＝3时，M 、P 、B 为顶点的三角形和△ABP 全等，①如图3，若△ABP ≌△MBP ，则AP ＝PM ，过点M 作MD ⊥OP 于点D ，∵∠AOP ＝∠PDM ，∠APO ＝∠DPM ，∴△AOP ≌△MDP （AAS ），∴OA ＝DM ＝4，OP ＝PD ＝3，∴M 的坐标为：（6，-4）．②如图4，若△ABP ≌△MPB ，则AB PM =，过点M 作M E ⊥x 轴于点E ，过点B 作BG ⊥x 轴于点G ，过点B 作BF ⊥y 轴于点F ，∵△APB 为等腰直角三角形，则△MPB 也为等腰直角三角形，∴∠BAP ＝∠MPB=45︒，PA PB =∵139023∠+∠=︒=∠+∠，∴12∠=∠∴Rt AOP Rt PGB ≅∴34BG OP PG AO ====，∵BG ⊥x 轴BF ，⊥y 轴∴四边形BGOF 为矩形，∴3OP BG ==，则431AF OA OF =-=-=347BF OG OP PG ==+=+=在Rt ABF 和Rt PME 中∠BAF ＝45︒+1∠，∠MPE ＝45︒+2∠，∴∠BAF ＝∠MPE∵AB PM =∴Rt ABF Rt PME ≅∴71ME BF PE AF ====，∴M 的坐标为：（4，7），③如图5，若△ABP ≌△MPB ，则AB PM =，过点M 作M E ⊥x 轴于点D ，过点B 作BG ⊥x 轴于点E ，过点B 作BF ⊥y 轴于点F ，∵△APB 为等腰直角三角形，则△MPB 也为等腰直角三角形，∴∠BAP ＝∠MPB=45︒，PA PB =∵139023∠+∠=︒=∠+∠，∴12∠=∠∴Rt AOP Rt PEB ≅∴34BE OP PE AO ====，∵BE ⊥x 轴BF ，⊥y 轴∴四边形BEOF 为矩形，∴3OP BG ==，则431AF OA OF =-=-=347BF OE OP PE ==+=+=在Rt ABF 和Rt PMD 中∵BF ⊥y 轴∴42∠=∠∵42ABF PMD ∠∠∠+=∠+∴ABF PMD ∠∠=∵AB PM =∴Rt ABF Rt PMD ≅∴17MD AF PD BF ====，∴M 的坐标为：（10，﹣1）．综合以上可得点M 的坐标为：（6，﹣4），（4，7），（10，﹣1）．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，第(3)小题要注意分类讨论，作此类型的题要结合图形，构建适当的辅助线，寻找相等的量才能得出结论．二、八年级数学 轴对称解答题压轴题（难）6．如图，将两个全等的直角三角形△ABD 、△ACE 拼在一起（图1）．△ABD 不动，（1）若将△ACE 绕点A 逆时针旋转，连接DE ，M 是DE 的中点，连接MB 、MC （图2），证明：MB ＝MC ．（2）若将图1中的CE 向上平移，∠CAE 不变，连接DE ，M 是DE 的中点，连接MB 、MC （图3），判断并直接写出MB 、MC 的数量关系．（3）在（2）中，若∠CAE 的大小改变（图4），其他条件不变，则（2）中的MB 、MC 的数量关系还成立吗？说明理由．【答案】（1）见解析；（2）MB=MC．理由见解析；（3）MB=MC还成立，见解析．【解析】【分析】（1）连接AM，根据全等三角形的对应边相等可得AD=AE，AB=AC，全等三角形对应角相等可得∠BAD=∠CAE，再根据等腰三角形三线合一的性质得到∠MAD=∠MAE，然后利用“边角边”证明△ABM和△ACM全等，根据全等三角形对应边相等即可得证；（2）延长DB、AE相交于E′，延长EC交AD于F，根据等腰三角形三线合一的性质得到BD=BE′，然后求出MB∥AE′，再根据两直线平行，内错角相等求出∠MBC=∠CAE，同理求出MC∥AD，根据两直线平行，同位角相等求出∠BCM=∠BAD，然后求出∠MBC=∠BCM，再根据等角对等边即可得证；（3）延长BM交CE于F，根据两直线平行，内错角相等可得∠MDB=∠MEF，∠MBD=∠MFE，然后利用“角角边”证明△MDB和△MEF全等，根据全等三角形对应边相等可得MB=MF，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半证明即可．【详解】（1）如图（2），连接AM，由已知得△ABD≌△ACE，∴AD=AE，AB=AC，∠BAD=∠CAE.∵MD=ME，∴∠MAD=∠MAE，∴∠MAD-∠BAD=∠MAE-∠CAE，即∠BAM=∠CAM.在△ABM和△ACM中，AB=AC，∠BAM=∠CAM，AM=AM，∴△ABM≌△ACM（SAS），∴MB=MC.（2）MB=MC．理由如下：如图（3），延长CM交DB于F，延长BM到G，使得MG=BM，连接CG.∵CE∥BD，∴∠MEC=∠MDF，∠MCE=∠MFD.∵M是ED的中点，∴MD=ME.在△MCE和△MFD中，∠MCE=∠MFD，∠MEC=∠MDF，MD=ME，∴△MCE≌△MFD（AAS）.∴MF=MC.∴在△MFB和△MCG中，MF=MC，∠FMB=∠CMG，BM=MG，∴△MFB≌△MCG（SAS）.∴FB=GC，∠MFB=∠MCG，∴CG∥BD，即G、C、E在同一条直线上.∴∠GCB=90°.在△FBC和△GCB中，FB=GC，∠FBC=∠GCB，BC=CB，∴△FBC≌△GCB（SAS）.∴FC=GB.∴MB=12GB=12FC=MC.（3）MB=MC还成立．如图（4），延长BM交CE于F，延长CM到G，使得MG=CM，连接BG.∵CE∥BD，∴∠MDB=∠MEF，∠MBD=∠MFE.又∵M是DE的中点，∴MD=ME.在△MDB和△MEF中，∠MDB=∠MEF，∠MBD=∠MFE，MD=ME，∴△MDB≌△MEF（AAS），∴MB=MF.∵CE∥BD，∴∠FCM=∠BGM.在△FCM和△BGM中，CM=MG，∠CMF=∠GMB，MF=MB，∴△FCM≌△BGM（SAS）.∴CF=BG，∠FCM=∠BGM.∴CF//BG，即D、B、G在同一条直线上.在△CFB和△BGC中，CF=BG，∠FCB=∠GBC，CB=BC，∴△CFB≌△BGC（SAS）.∴BF=CG.∴MC=12CG=12BF=MB．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一的性质，等角对等边的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，以及三角形的中位线定理，综合性较强，但难度不大，作辅助线构造出等腰三角形或全等三角形是解题的关键．7．知识背景：我们在第十一章《三角形》中学习了三角形的边与角的性质，在第十二章《全等三角形》中学习了全等三角形的性质和判定，在第十三章《轴对称》中学习了等腰三角形的性质和判定.在一些探究题中经常用以上知识转化角和边，进而解决问题.问题：如图1，ABC 是等腰三角形，90BAC ∠=︒，D 是BC 的中点，以AD 为腰作等腰ADE ，且满足90DAE ∠=︒，连接CE 并延长交BA 的延长线于点F ，试探究BC 与CF 之间的数量关系.图1发现：（1）BC 与CF 之间的数量关系为 .探究：（2）如图2，当点D 是线段BC 上任意一点（除B 、C 外）时，其他条件不变，试猜想BC 与CF 之间的数量关系，并证明你的结论.图2拓展：（3）当点D 在线段BC 的延长线上时，在备用图中补全图形，并直接写出BCF 的形状.备用图【答案】（1）BC CF =；（2）BC CF =，证明见解析；（3）画图见解析，等腰直角三角形.【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的性质即可得BC CF =；（2）由等腰直角三角形的性质可得()ABD ACE SAS ∴≌，再根据全等三角形的性质及等角对等边即可证明；（3）作出图形，根据等腰三角形性质易证()ABD ACE SAS ∴≌，进而根据角度的代换，得出结论．【详解】解：（1）BC CF =.∵△ABC 是等腰三角形，且90BAC ∠=︒，AB AC ∴=，45B ACB ∠=∠=︒.90DAE ∠=︒，DAE BAC ∴=∠∠，DAE DAC BAC DAC ∴∠-∠=∠-∠，BAD CAE ∴∠=∠. ADE 是以AD 为腰的等腰三角形，AD AE ∴=.在ABD △与ACE △中，AB AC =，BAD CAE ∠=∠，AD AE =，()ABD ACE SAS ∴≌，45ACE B ∴∠=∠=︒.45ACB =︒∠，90BCF ACB ACE ∴∠=∠+∠=︒，90B F ∴∠+∠=︒，45F ∴∠=︒，B F ∴∠=∠，BC CF ∴=.（2）BC CF =.证明：ABC 是等腰三角形，且90BAC ∠=︒，AB AC ∴=，45B ACB ∠=∠=︒.90DAE ∠=︒，DAE BAC ∴=∠∠，DAE DAC BAC DAC ∴∠-∠=∠-∠，BAD CAE ∴∠=∠. ADE 是以AD 为腰的等腰三角形，AD AE ∴=.在ABD △与ACE △中，AB AC =，BAD CAE ∠=∠，AD AE =，()ABD ACE SAS ∴≌，45ACE B ∴∠=∠=︒.45ACB =︒∠，90BCF ACB ACE ∴∠=∠+∠=︒，90B F ∴∠+∠=︒，45F ∴∠=︒，B F ∴∠=∠，BC CF ∴=.（3）BCF 是等腰直角三角形.提示：如图，ABC 是等腰三角形，90BAC ∠=︒，AB AC ∴=，45B ACB ∠=∠=︒.90DAE ∠=︒，DAE BAC ∴=∠∠，DAE DAC BAC DAC ∴∠+∠=∠+∠，BAD CAE ∴∠=∠.ADE 是以AD 为腰的等腰三角形，AD AE ∴=.在ABD △与ACE △中，AB AC =，BAD CAE ∠=∠，AD AE =，()ABD ACE SAS ∴≌，45ACE B ∴∠=∠=︒.45ACB =︒∠，90BCF ACB ACE ∴∠=∠+∠=︒，90B BFC ∴∠+∠=︒，45BFC ∴∠=︒，B BFC ∴∠=∠， BCF ∴是等腰三角形，90BCF ∠=︒， BCF ∴是等腰直角三角形.【点睛】本题考查等腰三角形及全等三角形的性质，熟练运用角度等量代换及等腰三角形的性质是解题的关键．8．(1)问题发现:如图1, ABC 和ADE 均为等边三角形，点B D E 、、在同一直线上，连接.CE①求证: BD CE =; ②求BEC ∠的度数.(2)拓展探究:如图2, AB C 和ADE 均为等腰直角三角形，90BAC DAE ∠=∠=︒,点B D E 、、在同一直线上AF ，为ADE 中DE 边上的高，连接.CE①求BEC ∠的度数:②判断线段AF BE CE 、、之间的数量关系(直接写出结果即可).()3解决问题:如图3，AB 和ADE 均为等腰三角形，BAC DAE n ∠=∠=,点B D E 、、在同一直线上，连接CE .求AEC ∠的度数(用含n 的代数式表示，直接写出结果即可).【答案】（1）①证明见解析；②60°；（2）①90°；②BE =CE+2AF ；（3）∠AEC =90°+12n ︒. 【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质得AB=AC,AD=AE, ∠DAE=∠BAC=60°,根据SAS 进一步证明△BAD ≌△CAE,依据其性质可得 BD CE =，再根据对应角相等求出BEC ∠的度数；（2）根据等腰直角三角形的性质得AB=AC,AD=AE, ∠DAE=∠BAC=90°，根据SAS 进一步证明△BAD ≌△CAE ，根据对应角相等求出BEC ∠的度数；因为DE=2AF,BD=EC,结合线段的和差关系得出结论；（3）根据等腰三角形的性质得AB=AC,AD=AE, ∠DAE=∠BAC=n °，根据SAS 进一步证明△BAD ≌△CAE ，根据对应角相等求出得出∠ADB=BEC ∠的度数,结合内角和用n 表示∠ADE 的度数，即可得出结论.【详解】（1）①∵△ABC 和△ADE 均为等边三角形(如图1)，∴ AB=AC ，AD=AE ，∠BAC=∠DAE=60°，∴ ∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC ，∴ ∠BAD=∠CAE.∴ △BAD ≌△CAE （SAS ）∴ BD=CE.②由△CAE≌△BAD，∴∠AEC=∠ADB=180°-∠ADE=120°.∴∠BEC=∠AEC-∠AED=120°-60°=60°.（2）①∵△ABC和△ADE均为等腰直角三角形(如图2)，∴ AB=AC，AD=AE，∠ADE=∠AED=45°，∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，∴∠BAD=∠CAE.∴△BAD≌△CAE（SAS）.∴ BD=CE，∠AEC=∠ADB=180°-∠ADE=135°.∴∠BEC=∠AEC-∠AED=135°-45°=90°.② BE=CE+2AF.（3）如图3：∠AEC=90°+12n︒，理由如下，∵△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∴ AB=AC，AD=AE，∠ADE=∠AED=n°，∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，∴∠BAD=∠CAE.∴△BAD≌△CAE（SAS）.∴∠AEC=∠ADB=180°-∠ADE=180°-1801809022n n.∴∠AEC=90°+12n︒.【点睛】本题考查等边三角形、等腰直角三角形的性质及旋转型三角形全等，掌握全等常见模型及由特殊到一般找出解题规律是解答此题的关键.9．（阅读理解）截长补短法，是初中数学儿何题中一种输助线的添加方法，截长就是在长边上载取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一短边相等，从而解决问题.（1）如图1，△ABC 是等边三角形，点D 是边BC 下方一点，∠BDC ＝120°，探索线段DA 、DB 、DC 之间的数量关系.解题思路：延长DC 到点E ，使CE ＝B D ．连接AE ，根据∠BAC ＋∠BDC ＝180°，可证∠ABD ＝∠ACE ,易证得△ABD ≌△ACE ，得出△ADE 是等边三角形，所以AD ＝DE ，从而探寻线段DA 、DB 、DC 之间的数量关系.根据上述解题思路，请直接写出DA 、DB 、DC 之间的数量关系是___________（拓展延伸）（2）如图2，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝A C ．若点D 是边BC 下方一点，∠BDC ＝90°，探索线段DA 、DB 、DC 之间的数量关系，并说明理由;（知识应用）（3）如图3,一副三角尺斜边长都为14cm ，把斜边重叠摆放在一起，则两块三角尺的直角项点之间的距离PQ 的长为________cm.【答案】（1）DA DB DC =+；（22DA DB DC =+，理由见详解；（3）7276+ 【解析】【分析】（1）由等边三角形知,60AB AC BAC ︒=∠=，结合120BDC ︒∠=知180ABD ACD ︒∠+∠=，则ABD ACE ∠=∠证得ABD ACE ≅得,AD AE BAD CAE =∠=∠,再证明三角形ADE 是等边三角形，等量代换可得结论； （2） 同理可证ABD ACE ≅得,AD AE BAD CAE =∠=∠，由勾股定理得222DA AE DE +=，等量代换即得结论；（3）由直角三角形的性质可得QN 的长，由勾股定理可得MQ 的长，由（2）知2PQ QN QM =+，由此可求得PQ 长.【详解】解：（1）延长DC 到点E ，使CE ＝B D.连接AE ，ABC 是等边三角形,60AB AC BAC ︒∴=∠=120BDC ︒∠=180ABD ACD ︒∴∠+∠=又180ACE ACD ︒∠+∠=ABD ACE ∴∠=∠()ABD ACE SAS ∴≅,AD AE BAD CAE ∴=∠=∠60BAC ︒∠=60BAD DAC ︒∴∠+∠=60DAE DAC CAE ︒∴∠=∠+∠=ADE ∴是等边三角形DA DE DC CE DC DB ∴==+=+（2）2DA DB DC =+延长DC 到点E ，使CE ＝B D.连接AE ，90BAC ︒∠=，90BDC ︒∠=180ABD ACD ︒∴∠+∠=又180ACE ACD ︒∠+∠=ABD ACE ∴∠=∠,AB AC CE BD == ()ABD ACE SAS ∴≅,AD AE BAD CAE ∴=∠=∠90DAE BAC ︒∴∠=∠=222DA AE DE ∴+=222()DA DB DC ∴=+2DA DB DC ∴=+（3）连接PQ ，14,30MN QMN ︒=∠=172QN MN ∴== 根据勾股定理得222214714773MQ MN QN =-=-==由（2）知2PQ QN QM =+773727622PQ ++∴=== 【点睛】此题是三角形的综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质、直角三角形和等边三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键.10．如图，在△ABC 中，AB =AC =2，∠B =40°，点D 在线段BC 上运动（D 不与B 、C 重合），连接AD ，作∠ADE =40°，DE 交线段AC 于E 点．（1）当∠BDA =115°时，∠BAD =___°，∠DEC =___°；（2）当DC 等于多少时，△ABD 与△DCE 全等？请说明理由；（3）在点D 的运动过程中，△ADE 的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出∠BDA 的度数；若不可以，请说明理由．【答案】（1） 25，115；（2）当DC =2时，△ABD ≌△DCE ，理由见解析；（3）可以；当∠BDA 的度数为110°或80°时，△ADE 的形状是等腰三角形．【解析】【分析】（1）根据三角形内角和定理，将已知数值代入即可求出BAD ∠，根据平角的定义，可求出EDC ∠的度数，根据三角形内和定理，即可求出DEC ∠．（2）当AB DC =时，利用AAS 可证明ABD DCE ∆≅∆，即可得出2AB DC ==． （3）假设ADE ∆是等腰三角形，分为三种情况讨论：①当AD AE =时，40ADE AED ∠=∠=︒，根据AED C ∠>∠，得出此时不符合；②当DA DE =时，求出70DAE DEA ∠=∠=︒，求出BAC ∠，根据三角形的内角和定理求出BAD ∠，根据三角形的内角和定理求出BDA ∠即可；③当EA ED =时，求出DAC ∠，求出BAD ∠，根据三角形的内角和定理求出ADB ∠．【详解】（1）在BAD 中，40B ∠= ，115BDA ∠=，1801804011525BAD ABD BDA ∴∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，1801801154025EDC ADB ADE ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒．AB AC =，40B ∠=，40B C ∴∠=∠=，1801804025115C E DC D E C ︒-∠-∠=︒-︒-︒=∠=︒．故答案为：25，115；（2）当2DC =时，ABD DCE ∆≅∆．理由如下：40C ∠=，140EDC DEC ∴∠+∠=︒，又40ADE ∠=，140ADB EDC ∴∠+∠=︒，ADB DEC ∴∠=∠．在ABD △和DCE ∆中，B C ∠=∠，ADB DEC ∠=∠，当AB DC =时，()ABD DCE AAS ∆≅∆，2AB DC ∴==；（3）AB AC =，40B C ∴∠=∠=︒，分三种情况讨论：①当AD AE =时，40ADE AED ∠=∠=︒，AED C ∠>∠，∴此时不符合； ②当DA DE =时，即1(18040)702DAE DEA ∠=∠=︒-︒=︒，1804040100BAC ∠=︒-︒-︒=︒，1007030BAD ∴∠=︒-︒=︒；1803040110BDA ∴∠=︒-︒-︒=︒；③当EA ED =时，40ADE DAE ∠=∠=︒，1004060BAD ∴∠=︒-︒=︒，180604080BDA ∴∠=︒-︒-︒=︒；∴当110ADB ∠=︒或80︒时，ADE ∆是等腰三角形．【点睛】本题考查了学生对等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理等知识点的理解和掌握，此题涉及到的知识点较多，综合性较强．三、八年级数学整式的乘法与因式分解解答题压轴题（难）11．你会对多项式(x 2+5x+2)(x 2+5x+3)﹣12分解因式吗？对结构较复杂的多项式，若把其中某些部分看成一个整体，用新字母代替(即换元)，能使复杂的问题简单化、明朗化．从换元的个数看，有一元代换、二元代换等．对于(x 2+5x+2)(x 2+5x+3)﹣12．解法一：设x 2+5x ＝y ，则原式＝(y+2)(y+3)﹣12＝y 2+5y ﹣6＝(y+6)(y ﹣1)＝(x 2+5x+6)(x 2+5x ﹣1)＝(x+2)(x+3)(x 2+5x ﹣1)．解法二：设x 2+5x+2＝y ，则原式＝y(y+1)﹣12＝y 2+y ﹣12＝(y+4)(y ﹣3)＝(x 2+5x+6)(x 2+5x ﹣1)＝(x+2)(x+3)(x 2+5x ﹣1)．解法三：设x 2+2＝m ，5x ＝n ，则原式＝(m+n)(m+n+1)﹣12＝(m+n)2+(m+n)﹣12＝(m+n+4)(m+n ﹣3)＝(x 2+5x+6)(x 2+5x ﹣1)＝(x+2)(x+3)(x 2+5x ﹣1)．按照上面介绍的方法对下列多项式分解因式：(1)(x 2+x ﹣4)(x 2+x+3)+10；(2)(x+1)(x+2)(x+3)(x+6)+x 2；(3)(x+y ﹣2xy)(x+y ﹣2)+(xy ﹣1)2．【答案】（1） (x+2)(x-1) (2 x x ++1)(2)(266x x ++)2(3) (x+y-xy-1)2【解析】【分析】（1）令m=2x x +,原式=()()4m 310m -++因式分解即可；（2）()()()()21236x x x x x +++++=(276x x ++)(256x x ++)+2x ,令n=256x x ++，再将原式=（n+2）n+x 2进行因式分解即可；（3）令a=x+y,b=xy ，代入原式即可因式分解.【详解】（1）令m=2x x +,原式=()()4m 310m -++=m 2-m-2=(m-2)(m+1)= (2x x +-2)(2x x ++1)=(x+2)(x-1) (2x x ++1)(2)()()()()21236x x x x x +++++=(276x x ++)(256x x ++)+2x , 令n=256x x ++，原式=（n+2）n+x 2=n 2+2n+x 2=(n+x)2=(266x x ++)2(3) 令a=x+y,b=xy ，原式=()()()2221a b a b --+-=(a-b)2-2(a-b)+1=(a-b-1)2=(x+y-xy-1)2【点睛】此题主要考查复杂的因式分解，解题的关键是读懂材料学会材料中因式分解的方法.12．阅读下列因式分解的过程，解答下列问题：1＋x ＋x (x ＋1)＋x (x ＋1)2＝(1＋x )[1＋x ＋x (x ＋1)]＝(1＋x )2(1＋x )＝(1＋x )3.(1)上述分解因式的方法是____________，共应用了________次；(2)若分解因式1＋x ＋x (x ＋1)＋x (x ＋1)2＋…＋x (x ＋1)2019，则需要应用上述方法________次，结果是________；(3)分解因式：1＋x ＋x (x ＋1)＋x (x ＋1)2＋…＋x (x ＋1)n (n 为正整数).【答案】(1)提取公因式法，2；(2)2019，(1＋x)2020；(3) (1＋x)n ＋1.【解析】【分析】（1）根据已知计算过程直接得出因式分解的方法即可；（2）根据已知分解因式的方法可以得出答案；（3）由（1）中计算发现规律进而得出答案．【详解】(1)提取公因式法，2（因式分解的方法是提公因式法，共应用了2次）(2)2019，(1＋x)2020（分解因式1+x+x(x+1)+x(x+1)2+…+x(x+1)2019，则需应用上述方法2019次，结果是(1＋x)2020）(3)原式＝(1＋x)[1＋x ＋x(x ＋1)＋x(x ＋1)2＋…＋x(x ＋1)n －1]＝(1＋x)2[1＋x ＋x(x ＋1)＋x(x ＋1)2＋…＋x(x ＋1)n －2]＝(1＋x)3[1＋x ＋x(x ＋1)＋x(x ＋1)2＋…＋x(x ＋1)n －3]＝(1＋x)n (1＋x)＝(1＋x)n ＋1.【点睛】本题考查的知识点是因式分解-提公因式法，解题的关键是熟练的掌握因式分解-提公因式法.13．已知一个三位自然数，若满足百位数字等于十位数字与个位数字的和，则称这个数为“和数”，若满足百位数字等于十位数字与个位数字的平方差，则称这个数为“谐数”．如果一个数即是“和数”，又是“谐数”，则称这个数为“和谐数”．例如321，321=+，∴321是“和数”，2232-1=，∴321是“谐数”，∴321是“和谐数”．（1）最小的和谐数是 ，最大的和谐数是 ；（2）证明：任意“谐数”的各个数位上的数字之和一定是偶数；（3）已知103817m b c =++（0714b c ≤≤≤≤，，且,b c 均为整数）是一个“和数”，请求出所有m ．【答案】（1）110；954；（2）见解析；（3）880m =或853或826.【解析】【分析】（1）根据“和数”与“谐数”的概念求解可得；（2）设“谐数”的百位数字为x 、十位数字为y ，个位数字为z ，根据“谐数”的概念得x=y 2-z 2=（y+z ）（y-z ），由x+y+z=（y+z ）（y-z ）+y+z=（y+z ）（y-z+1）及y+z 、y-z+1必然一奇一偶可得答案；（3）先判断出2≤b+2≤9、10≤3c+7≤19，据此可得m=10b+3c+817=8×100+（b+2）×10+（3c-3），根据“和数”的概念知8=b+2+3c-3，即b+3c=9，从而进一步求解可得．【详解】（1）最小的和谐数是110，最大的和谐数是954.（2）设：“谐数”的百位数字为x ，十位数字为y ，个位数字为z（19,09,09x y z ≤≤≤≤≤≤且 y z >且 ,,x y z 均为正数），由题意知，()()22x y z y z y z =-=+-， ∴()()()()1x y z y z y z y z y z y z ++=+-++=+-+，z∵y z +与y z -奇偶性相同，∴y z +与1y z -+必一奇一偶，∴()()1y z y z +-+必是偶数，∴任意“谐数”的各个数位上的数字之和一定是偶数；（3）∵07b ≤≤，∴229b ≤+≤，∵14c ≤≤，∴3312c ≤≤，∴103719c ≤+≤，∴817103m b c =++，()()810011037b c =⨯++⨯++()()81002103710b c =⨯++⨯++-()()810021033b c =⨯++⨯+-，∵m 为和数，∴8233b c =++-，即39b c +=，∴61bc=⎧⎨=⎩或32bc=⎧⎨=⎩或3bc=⎧⎨=⎩，∴880m=或853或826.【点睛】本题考查因式分解的应用，解题的关键是理解题意、熟练掌握“和数”与“谐数”的概念及整式的运算、不等式的性质．14．（知识生成）我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．例如图1可以得到（a+b）2＝a2+2ab+b2，基于此，请解答下列问题：（1）根据图2，写出一个代数恒等式：．（2）利用（1）中得到的结论，解决下面的问题：若a+b+c＝10，ab+ac+bc＝35，则a2+b2+c2＝．（3）小明同学用图3中x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，z张宽、长分别为a、b的长方形纸片拼出一个面积为（2a+b）（a+2b）长方形，则x+y+z＝．（知识迁移）（4）事实上，通过计算几何图形的体积也可以表示一些代数恒等式，图4表示的是一个边长为x的正方体挖去一个小长方体后重新拼成一个新长方体，请你根据图4中图形的变化关系，写出一个代数恒等式：．【答案】（1）（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc；（2）30；（3）9；（4）x3﹣x＝（x+1）（x﹣1）x【解析】【分析】（1）依据正方形的面积＝（a+b+c）2；正方形的面积＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，可得等式；（2）依据a2+b2+c2＝（a+b+c）2﹣2ab﹣2ac﹣2bc，进行计算即可；（3）依据所拼图形的面积为：xa2+yb2+zab，而（2a+b）（a+2b）＝2a2+4ab+ab+2b2＝2a2+5b2+2ab，即可得到x，y，z的值．（4）根据原几何体的体积＝新几何体的体积，列式可得结论．【详解】（1）由图2得：正方形的面积＝（a+b+c）2；正方形的面积＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，∴（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，故答案为：（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc；（2）∵（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，∵a+b+c＝10，ab+ac+bc＝35，∴102＝a2+b2+c2+2×35，∴a2+b2+c2＝100﹣70＝30，故答案为：30；（3）由题意得：（2a+b）（a+2b）＝xa2+yb2+zab，∴2a2+5ab+2b2＝xa2+yb2+zab，∴225xyz=⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴x+y+z＝9，故答案为：9；（4）∵原几何体的体积＝x3﹣1×1•x＝x3﹣x，新几何体的体积＝（x+1）（x﹣1）x，∴x3﹣x＝（x+1）（x﹣1）x．故答案为：x3﹣x＝（x+1）（x﹣1）x．【点睛】本题主要考查的是整式的混合运算，利用直接法和间接法分别求得几何图形的体积或面积，然后根据它们的体积或面积相等列出等式是解题的关键．15．阅读下列材料：在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”．下面是小涵同学用换元法对多项式（x2﹣4x+1）（x2﹣4x+7）+9进行因式分解的过程．解：设x2﹣4x＝y原式＝（y+1）（y+7）+9（第一步）＝y2+8y+16（第二步）＝（y+4）2（第三步）＝（x2﹣4x+4）2（第四步）请根据上述材料回答下列问题：（1）小涵同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的；A．提取公因式法B．平方差公式法C．完全平方公式法（2）老师说，小涵同学因式分解的结果不彻底，请你写出该因式分解的最后结果：；（3）请你用换元法对多项式（x2+2x）（x2+2x+2）+1进行因式分解．【答案】（1）C；（2）（x﹣2）4；（3）（x+1）4．【解析】【分析】（1）根据完全平方公式进行分解因式；（2）最后再利用完全平方公式将结果分解到不能分解为止；（3）根据材料，用换元法进行分解因式．【详解】（1）故选C；（2）（x2﹣4x+1）（x2﹣4x+7）+9，设x2﹣4x=y，则：原式=（y+1）（y+7）+9=y2+8y+16=（y+4）2=（x2﹣4x+4）2=（x﹣2）4．故答案为：（x﹣2）4；（3）设x2+2x=y，原式=y（y+2）+1=y2+2y+1=（y+1）2=（x2+2x+1）2=（x+1）4．【点睛】本题考查了因式分解﹣换元法，公式法，也是阅读材料问题，熟练掌握利用公式法分解因式是解题的关键．四、八年级数学分式解答题压轴题（难）16．阅读下面的解题过程：已知21 12 xx=+，求241xx+的值。

一、选择题（每小题3分，共30分）1．（3分）已知△ABC的三边长分别是3cm、4cm、5cm，则△ABC的面积是（）A．6cm2B．7.5cm2C．10cm2D．12cm2【答案】A【分析】首先根据勾股定理的逆定理判定三角形是直角三角形，再根据直角三角形的面积等于两条直角边的乘积的一半进行计算．【解答】解：∵32+42＝25＝52，∴△ABC是直角三角形，∴△ABC的面积是×3×4＝6（cm2）．故选：A．2．（3分）下列选项中的三条线段的长度，能组成三角形的是（）A．，1，B．5，12，18C．1.5，1.4，2D．2，1，【答案】C【分析】根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边即可求解．【解答】解：A、+＝1，不能构成三角形，故此选项不合题意；B、5+12＜18，不能构成三角形，故此选项不合题意；C、1.5+1.4＞2，能构成三角形，故此选项符合题意；D、1+＜2，不能构成三角形，故此选项不合题意．故选：C．3．（3分）三角形内到三角形各边的距离都相等的点是三角形的（）A．三条中线的交点B．三个内角的角平分线交点C．三条高线的交点D．不能确定【答案】B【分析】利用角平分线的性质进行判断．【解答】解：三角形内到三角形各边的距离都相等的点是三角形的三个内角的平分线的交点．故选：B．4．（3分）能说明命题“若x（x+1）（x﹣2）＝0，则x＝0”是假命题的反例是（）A．x＝0B．x＝﹣2C．x＝1D．x＝﹣1【答案】D【分析】要证明一个命题是假命题只要举一个反例即可．【解答】解：当x＝﹣1时，x（x+1）＝0也成立，所以证明命题“若x（x+1）＝0，则x ＝0”是假命题的反例是：x＝﹣1；故选：D．5．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点D，过点D作直线EF∥BC，交AB于E，交AC于F，图中等腰三角形的个数共有（）A．3个B．4个C．5个D．6个【答案】C【分析】先由已知运用角平分线及平行线的性质找出相等的角，再根据等角对等边找出等腰三角形．【解答】解：∵AB＝AC，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点D，∴∠ABD＝∠DBC＝∠BCD＝∠DCF，∴△EBD、△DBC、△FDC是等腰三角形，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，且△ABC是等腰三角形，∵EF∥BC，∴∠AEF＝∠AFE＝∠ABC，∴△AEF是等腰三角形．所以共有△EBD、△DBC、△FDC、△ABC、△AEF5个等腰三角形．故选：C．6．（3分）三角形分别满足下列条件：（1）一个内角等于另外两个内角之和；（2）三边分别为1，，；（3）三个内角之比为3：4：5；（4）一边上的中线等于这条边的一半；其中直角三角形有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【分析】（1）根据三角形的内角和定理和已知求出∠C即可；（2）根据勾股定理的逆定理判断即可；（3）设∠A＝3x°，∠B＝4x°，∠C＝5x°，根据三角形的内角和定理求出x，再求出∠C即可；（4）根据等腰三角形的性质得出∠A＝∠ACD，∠B＝∠BCD，再根据三角形的内角和定理求出即可．【解答】解：（1）设三角形是△ABC，∵∠C＝∠A+∠B，∠A+∠B+∠C＝180°，∴2∠C＝180°，∴∠C＝90°，即当三角形的一个内角等于另外两个内角之和时，三角形是直角三角形；（2）∵12+（）2＝（）2，∴此三角形是直角三角形；（3）设∠A＝3x°，∠B＝4x°，∠C＝5x°，∵∠A+∠B+∠C＝180°，∴3x+4x+5x＝180，解得：x＝15，∴∠C＝5x°＝75°，即此时三角形不是直角三角形；（4）如图，∵CD为△ACB的中线，CD＝AB，∴AD＝CD＝BD，∴∠A＝∠ACD，∠B＝∠BCD，∵∠A+∠ACD+∠BCD+∠B＝180°，∴2∠ACD+2∠BCD＝180°，∴∠ACD+∠BCD＝90°，即∠ACB＝90°，∴△ABC是直角三角形，即直角三角形有3个，故选：C．7．（3分）如图，在△ABC中，CF⊥AB于F，BE⊥AC于E，M为BC的中点，EF＝7，BC ＝10，则△EFM的周长是（）A．17B．21C．24D．27【答案】A【分析】根据CF⊥AB于F，BE⊥AC于E，M为BC的中点，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，求出FM和ME的长，即可求解．【解答】解：∵CF⊥AB，M为BC的中点，∴MF是Rt△BFC斜边上的中线，∴FM＝BC＝×10＝5，同理可得，ME＝BC＝×10＝5，又∵EF＝7，∴△EFM的周长＝EF+ME+FM＝7+5+5＝17．故选：A．8．（3分）如图所示，已知D为BC上一点且AB＝AC＝BD，那么∠1与∠2之间满足的关系是（）A．∠1＝2∠2B．∠1+3∠2＝180°C．2∠1+∠2＝180°D．3∠1﹣∠2＝180°【答案】D【分析】由AB＝AC＝BD，可得∠BDA＝∠1，∠B＝∠C，又由三角形的内角和定理，可得2∠C+∠2+∠1＝180°，然后由三角形外角的性质，求得∠C＝∠BDA﹣∠2，即可求得答案．【解答】解：∵AB＝BD，∴∠BDA＝∠1，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵∠B+∠C+∠BAC＝180°，∴2∠C+∠2+∠1＝180°，∵∠C＝∠BDA﹣∠2，∴3∠1﹣∠2＝180°．故选：D．9．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝2BC，在直线BC或AC上取一点P，使得△P AB为等腰三角形，则符合条件的点P共有（）A．4个B．5个C．6个D．7个【答案】C【分析】根据等腰三角形的判定，“在同一三角形中，有两条边相等的三角形是等腰三角形（简称：在同一三角形中，等边对等角）”分三种情况解答即可．【解答】解：如图，①AB的垂直平分线交AC一点P1（P A＝PB），交直线BC于点P2；②以A为圆心，AB为半径画圆，交AC有二点P3，P4，交BC有一点P2，（此时AB＝AP）；③以B为圆心，BA为半径画圆，交BC有二点P5，P2，交AC有一点P6（此时BP＝BA）．2+（3﹣1）+（3﹣1）＝6，∴符合条件的点有六个．故选：C．10．（3分）如图所示，△ABC和△CDE均为等腰直角三角形，其中∠ABC＝∠CDE＝90°，点B，C，D在一条直线上，点M是AE的中点，连接CM，BM，DM．下列结论：①S+S△CDE≥S△ACE；②CM＝AE；③BM⊥DM；④BM＝DM．其中，结论正确的个△ABC数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】D【分析】①由三角形的面积公式、梯形的面积公式及不等式的基本性质a2+b2≥2ab（a ＝b时取等号）解答；②、③、④通过作辅助线MN，构建直角梯形的中位线，根据梯形的中位线定理及等腰直角三角形的判定定理解答．【解答】解：①如图，设等腰直角三角形△ABC和△CDE的直角边分别为a和b，∴S△ABC＝a2，S△CDE＝b2，S梯形ABDE＝（a+b）2，∴S△ACE＝S梯形ABDE﹣S△ABC﹣S△CDE＝ab，S△ABC+S△CDE＝（a2+b2）≥ab（a＝b时取等号），∴S△ABC+S△CDE≥S△ACE；故本选项正确；②∵△ABC和△CDE均为等腰直角三角形，∴AB＝BC，CD＝DE，∴∠BAC＝∠BCA＝∠DCE＝∠DEC＝45°，∴∠ACE＝90°，∵点M是AE的中点，∴CM＝AE；故本选项正确；④如图，过点M作MN垂直于BD，垂足为N．∵点M是AE的中点，则MN为梯形中位线，∴N为中点，∴△BMD为等腰三角形，∴BM＝DM；故本选项正确；③又MN＝（AB+ED）＝（BC+CD），∴∠BMD＝90°，即BM⊥DM；故本选项正确．故选：D．二、填空题（每题4分，共24分）11．（4分）如图：在△ABC中，∠A＝70°，∠B＝60°，点D在BC的延长线上，则∠ACD ＝130度．【答案】见试题解答内容【分析】根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和可得．【解答】解：∠ACD＝∠A+∠B＝130°．12．（4分）如果等腰三角形的三边均为整数且它的周长为10cm，那么它的底边长为4cm 或2cm．【答案】4cm或2cm．【分析】已知等腰三角形的周长，求三边，则需要列出所有的组合形式，然后根据三角形的构造条件判断哪些符合．【解答】解：等腰三角形的三边均为整数且它的周长为10cm，三边的组合方式有以下几种：①1cm，1cm，8cm；②2cm，2cm，6cm；③3cm，3cm，4cm；④4cm，4cm，2cm；又因为三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，则③④符合．它的三边长为3cm，3cm，4cm或4cm，4cm，2cm．故它的底边长为4cm或2cm．故答案为：4cm或2cm．13．（4分）如图，△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，AD、CE交于点H，请你添加一个适当的条件：AH＝CB等（只要符合要求即可），使△AEH≌△CEB．【答案】见试题解答内容【分析】开放型题型，根据垂直关系，可以判断△AEH与△CEB有两对对应角相等，就只需要找它们的一对对应边相等就可以了．【解答】解：∵AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，∴∠BEC＝∠AEC＝90°，在Rt△AEH中，∠EAH＝90°﹣∠AHE，又∵∠EAH＝∠BAD，∴∠BAD＝90°﹣∠AHE，在Rt△AEH和Rt△CDH中，∠CHD＝∠AHE，∴∠EAH＝∠DCH，∴∠EAH＝90°﹣∠CHD＝∠BCE，所以根据AAS添加AH＝CB或EH＝EB；根据ASA添加AE＝CE．可证△AEH≌△CEB．故填空答案：AH＝CB或EH＝EB或AE＝CE．14．（4分）命题“等腰三角形底边上的高线与中线重合”的逆命题是底边上的高线和中线重合的三角形是等腰三角形．【答案】见试题解答内容【分析】根据题意写出等腰三角形底边上的高线与中线重合的逆命题即可．【解答】解：命题“等腰三角形底边上的高线与中线重合”的逆命题是底边上的高线和中线重合的三角形是等腰三角形，故答案为：底边上的高线和中线重合的三角形是等腰三角形15．（4分）如图，边长为2的等边三角形△ABC，P为边BC上一个动点，PE⊥AB，PD⊥AC，则PE+PD＝．【答案】见试题解答内容【分析】等边三角形的三个内角都是60度，所以通过解直角△BPE和直角△PDC可以求得PE、PD与BP、CP的数量关系．【解答】解：∵△ABC是等边三角形，边长等于2，∴∠B＝60°，BC＝2．∵PE⊥AB，∴∠PEB＝90°，∴PE＝BP sin B＝BP．同理，PD＝PC，∴PE+PD＝（BP+CP）＝BC＝．故答案是：．16．（4分）在等腰△ABC中，∠A＝30°，AB＝6，则AB边上的高CD的长是3或3或．【答案】3或3或．【分析】此题需先根据题意画出当AB＝AC时，当AB＝BC时，当AC＝BC时的图象，然后根据等腰三角形的性质和解直角三角形，分别进行计算即可．【解答】解：（1）当AB＝AC时，∵∠A＝30°，∴CD＝AC＝×6＝3；（2）当AB＝BC时，则∠A＝∠ACB＝30°，∴∠ACD＝60°，∴∠BCD＝30°，∴CD＝cos∠BCD•BC＝cos30°×6＝3；（3）当AC＝BC时，则AD＝3，∴CD＝tan∠A•AD＝tan30°×3＝．故答案为：3或3或．三、解答题（共66分）17．（6分）如图，AB、CD相交于点O，AO＝BO，AC∥DB．求证：AC＝BD．【答案】见试题解答内容【分析】要证明AC＝BD，只要证明△AOC≌△BOD，根据AC∥DB可得∠A＝∠B，∠C＝∠D，又知AO＝BO，则可得到△AOC≌△BOD，从而求得结论．【解答】证明：（方法一）∵AC∥DB，∴∠A＝∠B，∠C＝∠D．在△AOC与△BOD中∵∠A＝∠B，∠C＝∠D，AO＝BO，∴△AOC≌△BOD．∴AC＝BD．（方法二）∵AC∥DB，∴∠A＝∠B．在△AOC与△BOD中，∵，∴△AOC≌△BOD．∴AC＝BD．18．（8分）（1）如图，在Rt△ABC中，BD为斜边AC上的中线，若∠A＝35°，求∠BDC 的度数；（2）在等腰三角形△ABC中，若∠A＝4∠B，求∠C的度数．【答案】（1）∠BDC＝70°，（2）∠C＝30°或80°．【分析】（1）根据直角三角形斜边上中线定理得出BD＝CD＝AD，求出∠DBA＝∠A，根据三角形的外角性质求出求出即可．（2）由在等腰三角形ABC中，∠A＝4∠B，分别从①当AB＝AC时，∠B＝∠C，②当AB＝BC时，∠A＝∠C，③当AC＝BC时，∠A＝∠B，去分析求解即可求得答案．【解答】（1）解：∵∠ABC＝90°，BD是斜边AB上的中线，∴BD＝CD＝AD，∴∠A＝∠DBA＝35°，∴∠BDC＝∠A+∠DBA＝35°+35°＝70°，即∠BDC＝70°；（2）解：∵△ABC是等腰三角形，①当AB＝AC时，∠B＝∠C，∵∠A＝4∠B，∠A+∠B+∠C＝180°，∴6∠C＝180°，∴∠C＝30°；②当AB＝BC时，∠A＝∠C，∵∠A＝4∠B，∠A+∠B+∠C＝180°，∴9∠B＝180°，∴∠B＝20°，∴∠C＝80°；③当AC＝BC时，∠A＝∠B（此时不符合题意，舍去）．故∠C＝30°或80°．19．（8分）如图，已知线段a．（1）只用直尺（没有刻度的尺）和圆规作Rt△ABC，使∠C＝Rt∠，AB＝a，BC＝a （要求保留作图痕迹，不必写出作法）；（2）若在（1）作出的Rt△ABC中，AB＝2cm，求AB边上的高．【答案】见试题解答内容【分析】（1）过直线l上一点C作直线l的垂线l′，在直线l上截取CB＝a，然后以B点为圆心，a为半径画弧交直线l′于A，则△ABC满足条件；（2）先利用勾股定理计算出AC，然后利用面积法计算AB边上的高．【解答】解：（1）如图，△ABC为所作；（2）设AB边上的高为hcm，∵AB＝2，BC＝AB＝1，∴AC＝＝，∵S△ABC＝•h•AB＝•AC•BC，∴h＝＝，即AB边上的高为cm．20．（10分）如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，D在AB上，且AD＝AC，AG平分∠CAB，过点D作BC的平行线交AG于点F，连接CF并延长交AB于点E．求证：（1）△ACF≌△ADF；（2）CF＝CG；（3）CE⊥AB．【答案】（1）证明见解析过程；（2）证明见解析过程；（3）证明见解析过程．【分析】（1）由“SAS”可证△ACF≌△ADF；（2）由全等三角形的性质和平行线的性质可得∠ACF＝∠B，由外角的性质可得∠CFG ＝∠CGF，可得CF＝CG；（3）由直角三角形的性质可证∠ABC+∠BCE＝90°，可得结论．【解答】证明：（1）∵AG平分∠CAB，∴∠CAG＝∠BAG，在△ACF和△ADF中，，∴△ACF≌△ADF（SAS）；（2）∵△ACF≌△ADF，∴∠ACF＝∠ADF，∵DF∥BC，∴∠ADF＝∠ABC，∴∠ACF＝∠B，∵∠CFG＝∠ACF+∠CAG，∠CGF＝∠B+∠GAB，∴∠CFG＝∠CGF，∴CF＝CG；（2）∵∠ACB＝90°，∴∠ACF+∠BCE＝90°，∴∠ABC+∠BCE＝90°，∴CE⊥AB．21．（10分）在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，小明用尺规作图的方法在边BC上确定一点P，请你根据如图所示作图方法分别求出图1，图2中线段PC的长．【答案】3．【分析】如图1：连接AP，根据作图痕迹得到PQ垂直平分AB，继而得到AP＝BP，设PC＝x，表示出BP即为AP，在直角三角形ACP中，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解即可得到结果；如图2：作PQ垂直于AB，利用角平分线定理得到PQ＝PC，利用面积法求出PC即可．【解答】解：如图1：连接AP，∵由作图痕迹可得：直线PQ垂直平分AB，∴AP＝BP，设PC＝x，则有AP＝BP＝BC﹣PC＝8﹣x，在Rt△ACP中，AC＝6，根据勾股定理得：（8﹣x）2＝x2+62，整理得：64﹣16x+x2＝x2+36，解得：x＝，则PC＝；如图2：过P作PQ⊥AB，交AB于点Q，∵AP平分∠BAC，PC⊥AC，PQ⊥AB，∴PQ＝PC，在Rt△ABC中，AC＝6，BC＝8，根据勾股定理得：AB＝10，∵S△ABC＝S△ABP+S△CP A，∴AC•BC＝AB•PQ+AC•PC，即×6×8＝×10×PQ+×6×PC，整理得：48＝10PQ+6PC＝16PC，解得：PC＝3．22．（12分）已知：在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点F在射线CA上，延长BC至点D，使CD＝CF，点E是射线BF与射线DA的交点．（1）如图1，若点F在边CA上．①求证：BE⊥AD；②小敏在探究过程中发现∠BEC＝45°，于是她想：若点F在CA的延长线上，是否也存在同样的结论？请你在图2上画出符合条件的图形并通过测量猜想∠BEC的度数．（2）选择图1或图2两种情况中的任一种，证明小敏或你的猜想．【答案】见试题解答内容【分析】（1）①证明△BCF≌△ACD（SAS），得出∠CBF＝∠CAD，证出∠CBF+∠D＝90°，得出∠BED＝90°，即可得出BE⊥AD；②若点F在CA的延长线上，也存在同样的结论，∠BEC＝45°；（2）图1中，由等腰直角三角形的性质得出∠BAC＝∠ABC＝45°，证明A、B、C、E 四点共圆，由圆周角定理即可得出∠BEC＝∠BAC＝45°；图2中，同（1）①得出△BCF≌△ACD（SAS），证出∠BED＝90°，得出A、C、B、E 四点共圆，由圆周角定理即可得出∠BEC＝∠BAC＝45°．【解答】（1）①证明：∵∠ACB＝90°，∴∠DCA＝90°，在△BCF和△ACD中，，∴△BCF≌△ACD（SAS），∴∠CBF＝∠CAD，∵∠CAD+∠D＝90°，∴∠CBF+∠D＝90°，∴∠BED＝90°，∴BE⊥AD；②解：若点F在CA的延长线上，也存在同样的结论，∠BEC＝45°；如图2所示：（2）解：图1中，∵AC＝BC，∠ACB＝90°，∴∠BAC＝∠ABC＝45°，由（1）①得：∠AEB＝90°＝∠ACB，∴A、B、C、E四点共圆，∴∠BEC＝∠BAC＝45°；图2中，同（1）①得：△BCF≌△ACD（SAS），∴∠CBF＝∠CAD，∵∠CAD+∠D＝90°，∴∠CBF+∠D＝90°，∴∠BED＝90°，∴∠AEB＝90°＝∠ACB，∴A、C、B、E四点共圆，∴∠BEC＝∠BAC＝45°．23．（12分）如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中∠C＝90°，∠B＝∠E＝30°．（1）操作发现：如图2，固定△ABC，使△DEC绕点C旋转，当点D恰好落在AB边上时，填空：①线段DE与AC的位置关系是DE∥AC；②设△BDC的面积为S1，△AEC的面积为S2，则S1与S2的数量关系是S1＝S2．（2）猜想论证：当△DEC绕点C旋转到如图3所示的位置时，小明猜想（1）中S1与S2的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了△BDC和△AEC中BC、CE边上的高，请你证明小明的猜想．（3）拓展探究已知∠ABC＝60°，点D是角平分线上一点，BD＝CD＝6，DE∥AB交BC于点E（如图4），若在射线BA上存在点F，使S△DCF＝S△BDE，请求出相应的BF的长．【答案】见试题解答内容【分析】（1）①证明∠EDC＝∠DCA＝60°即可判断．②首先证明AD＝BD，推出△ADC与△BDC的面积相等，再证明△ADC与△ACE的面积相等即可．（2）作AN⊥EC交EC的延长线于N，DM⊥BC于M，证明△ACN≌△DCM（AAS）即可解决问题．（3）分两种情形分别求解即可解决问题．【解答】解：（1）①如图1中，由旋转可知：CA＝CD，∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，∴∠CAD＝60°，∴△ADC是等边三角形，∴∠DCA＝60°，∵∠ECD＝90°，∠DEC＝30°，∴∠CDE＝60°，∴∠EDC＝∠DCA，∴DE∥AC，②∵AB＝2AC，AD＝AC，∴AD＝BD，∴S△BDC＝S△ADC，∵DE∥AC，∴S△ADC＝S△ACE，∴S1＝S2．故答案为：DE∥AC，S1＝S2．（2）如图3中，∵△DEC是由△ABC绕点C旋转得到，∴BC＝CE，AC＝CD，∵∠ACN+∠BCN＝90°，∠DCM+∠BCN＝180°﹣90°＝90°，∴∠ACN＝∠DCM，在△ACN和△DCM中，，∴△ACN≌△DCM（AAS），∴AN＝DM，∴S△BDC＝S△AEC．（3）如图4中，作DF∥BC交AB于F．延长CD交AB于H．∵DF∥BE，DE∥BF，∴四边形DEBF是平行四边形，∴S△BDF＝S△BDE，S△BDF＝S△DFC，∴S△DFC＝S△BDE，∵∠ABC＝60°，BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBE＝30°，∵DF∥BE，∴∠FDB＝30°，∴∠FBD＝∠FDB＝30°，∴FB＝FD，∴四边形DEBF是菱形，∵BD＝CD＝6，∴∠DBC＝∠DCB＝30°，∵∠DEC＝∠ABC＝60°，∴∠CDE＝90°，∴DE＝CD•tan30°＝6×＝2，∴BF＝DE＝2，∵DE∥AB，∴∠BHC＝∠EDC＝90°，∴CH⊥AB，作点F关于CH的对称点F′，连接DF′，易知S△DFC＝S△DF′C，在Rt△DFH中，FH＝HF′＝DF•sin30°＝，∴BF′＝4，综上所述，满足条件的BF的值为2或4．。

浙江省绍兴市越城区2019-2020八年级上学期期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.在平面直角坐标系中，点M(3,2)在()A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2.下面哪个点不在函数y=−2x+3的图象上()A. (−5,13)B. (0.5,2)C. (3,0)D. (1,1)3.不等式x−2>0的解集在数轴上表示为()A. B.C. D.4.若x>y，则下列式子中正确的是()A. x−2>y−2B. x+2<y+2C. −2x>−2yD. x2<y25.如图的坐标平面上有原点O与A、B、C、D四点．若有一直线L通过点(−3,4)且与y轴垂直，则L也会通过下列哪一点？()A. AB. BC. CD. D6.如图，△ABC中，D点在BC上，将D点分别以AB、AC为对称轴，画出对称点E、F，并连接AE、AF.根据图中标示的角度，求∠EAF的度数为()A. 113°B. 124°C. 129°D. 134°7.按如图所示的运算程序，能使运算输出的结果为7的是()A. x=−2，y=3B. x=−2，y=−3C. x=8，y=−3D. x=−8，y=38.如图，△ABC中，∠A=60°，∠B=58°.甲、乙两人想在△ABC外部取一点D，使得△ABC与△DCB全等，其作法如下：(甲)1.作∠A的角平分线L．2.以B为圆心，BC长为半径画弧，交L于D点，则D即为所求．(乙)1.过B作平行AC的直线L．2.过C作平行AB的直线M，交L于D点，则D即为所求．对于甲、乙两人的作法，下列判断何者正确？()A. 两人皆正确B. 两人皆错误C. 甲正确，乙错误D. 甲错误，乙正确9.一次函数y1=ax+c，y2=bx+c在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是()A. B. C. D.10.将一张长方形纸片折叠成如图所示的形状，则∠ABC=()A. 73°B. 56°C. 68°D. 146°二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）11.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=3∠B，则∠B=______ °.12.在平面直角坐标系中，将点A(−1,−1)向左平移4个单位长度得到点B，点B关于x轴对称的点的坐标是 ________．13.写出一个函数的表达式，使它满足：①图象经过点(1,1)；②在第一象限内函数y随自变量x的增大而减少，则这个函数的表达式为______．14. 命题“对顶角相等”的逆命题是______．15. 不等式2x +5>4x −1的正整数解是__________．16. 长度分别为3，4，5，7的四条线段首尾相接，相邻两线段的夹角可调整，则任意两端点的距离最大值为______．17. 一辆汽车匀速通过某段公路，所需时间t(ℎ)与行驶速度v(km/ℎ)满足函数关系：y =kv (k ≠0)，其图象为如图的一段曲线，若这段公路行驶速度不得超过60km/ℎ，则该汽车通过这段公路最少需要______ℎ.18. 如图，△ABC 中，D 是BC 上一点，AC =AD =DB ，∠BAC =102°，则∠ADC =______度．三、解答题（本大题共6小题，共46.0分）19. 解不等式或不等式组，并在数轴上表示它们的解集(1)5x −1≤6x +1．(2){3(x −1)<5x +1x+12≥2x −4．20. 在平面直角坐标系中，一次函数y =kx +b(k,b 都是常数，且k ≠0)的图象经过点(1,0)和(0,2)．(1)当−2<x ≤3时，求y 的取值范围；(2)已知点P(m,n)在该函数的图象上，且m −n =4，求点P 的坐标．21.如图，在△ABC中，AB=AC，M是BC的中点，D、E分别是AB、AC边上的点，且BD=CE.求证：MD=ME．22.某公司要购买一种笔记本，供员工学习时使用．在甲文具店不管一次购买多少本，每本价格为2元，在乙文具店购买同样的笔记本，一次购买数量不超过20时，每本价格为2.4元；一次购买数量超过20时，超过部分每本价格为1.8元．设在同一家文具店，一次购买这种笔记本的数量为x(x为非负整数)(Ⅰ)根据题意，填写下表：一次购买(本)10203040…甲文具店付款金额(20______ 60______ …元)乙文具店付款金额(24______ 66______ …元)(Ⅱ)设在甲文具店购买这种笔记本的付款金额为y1元，在乙文具店购买这种笔记本的付款金额为y2元，分别写出y1，y2关于x的函数关系式；(Ⅲ)当x≥50时，在哪家文具店购买这种笔记本的花费少？请说明理由．23.等腰三角形的一个角比另一个角大30°，求这个等腰三角形的顶角的度数．x+3交x轴于点A，交y轴于点B，点C 24.已知：如图1，在平面直角坐标系中，一次函数y=34是点A关于y轴对称的点，过点C作y轴平行的射线CD，交直线AB与点D，点P是射线CD 上的一个动点．(1)求点A，B的坐标．(2)如图2，将△ACP沿着AP翻折，当点C的对应点C′落在直线AB上时，求点P的坐标．(3)若直线OP与直线AD有交点，不妨设交点为Q(不与点D重合)，连接CQ，是否存在点P，使得S△CPQ=2S△DPQ，若存在，请求出对应的点Q坐标；若不存在，请说明理由．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：解：∵点P的横坐标为3>0，纵坐标为2>0，∴点P在第一象限，故选：A．根据第一象限点的横坐标、纵坐标都为正数，即可解答．本题考查了点的坐标，解决本题的关键是明确第一象限点的横坐标、纵坐标都为正数．2.答案：C解析：本题考查了一次函数图像上点的坐标特点，当点的横纵坐标满足函数解析式时，点在函数图象上．把每个选项中点的横坐标代入函数解析式，判断纵坐标是否相符．解：A.当x=−5时，y=−2x+3=13，点在函数图象上；B.当x=0.5时，y=−2x+3=2，点在函数图象上；C.当x=3时，y=−2x+3=−3，点不在函数图象上；D.当x=1时，y=−2x+3=1，点在函数图象上；故选C．3.答案：D解析：解：x−2>0，x>2，在数轴上表示不等式的解集为：，故选：D．先根据不等式的基本性质求出不等式的解集，再在数轴上表示出来即可判定．本题考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集的应用，解此题的关键是求出不等式的解集，难度适中．4.答案：A解析：此题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的基本性质是解本题的关键．利用不等式的基本性质，注意不等式两边同乘以一个负数不等号方向改变判断即可．A、由x>y可得：x−2>y−2，正确；B、由x>y可得：x+2>y+2，错误；C、由x>y可得：−2x<−2y，错误；D、由x>y可得：x2>y2，错误；故选：A．5.答案：D解析：解：如图所示：有一直线L通过点(−3,4)且与y轴垂直，故L也会通过D点．故选：D．直接利用点的坐标，正确结合坐标系分析即可．此题主要考查了点的坐标，正确结合平面直角坐标系分析是解题关键．6.答案：D解析：此题考查轴对称的性质，关键是利用轴对称的性质解答．连接AD，利用轴对称的性质解答即可．解：连接AD，∵D点分别以AB、AC为对称轴，画出对称点E、F，∴∠EAB=∠BAD，∠FAC=∠CAD，∵∠B=62°，∠C=51°，∴∠BAC=∠BAD+∠DAC=180°−62°−51°=67°，∴∠EAF=2∠BAC=134°．故选D．7.答案：C解析：解：A、当x=−2，y=3时，原式=−4+9=5，不符合题意；B、当x=−2，y=−3时，原式=−4+9=5，不符合题意；C、当x=8，y=−3时，原式=16−9=7，符合题意；D、当x=−8，y=3时，原式=−16+9=−7，不符合题意，故选：C．把x与y的值代入程序中计算，判断即可．此题考查了代数式求值，以及有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．8.答案：D解析：解：(甲)如图一所示，∵∠A=60°，∠B=58°，∴∠ACB=62°，∴AB≠BC≠CA，由甲的作法可知，BC=BD，故△ABC和△DCB不可能全等，故甲的作法错误；(乙)如图二所示，∵BD//AC，CD//AB，∴∠ABC=∠DCB，∠ACB=∠DBC，在△ABC和△DCB中，{∠ABC=∠DCB BC=CB∠ACB=∠DBC∴△ABC≌△DCB(ASA)，∴乙的作法是正确的．故选：D．根据题意先画出相应的图形，然后根据题意进行推理即可得到哪个正确哪个错误，本题得以解决．本题考查作图−复杂作图，全等三角形的判定，解题的关键是明确题意，作出相应的图形，进行合理的推理证明．9.答案：C解析：本题考查的是一次函数的图象及一次函数与坐标轴的交点．分别求出这两个函数与y轴的交点，即可解答本题．解：一次函数y1=ax+c与y轴交于点(0,c);一次函数y2=bx+c与y轴交于点(0,c)；则函数y1=ax+c，y2=bx+c交于点(0,c)；符合题意的图象是C．故选C．10.答案：A解析：本题考查了折叠问题，这道题目比较容易，根据折叠的性质得出∠ABC=∠ABE=12∠CBE是解答本题的关键．根据补角的知识可求出∠CBE，从而根据折叠的性质∠ABC=∠ABE=12∠CBE，可得出∠ABC的度数．解：∵∠CBD=34°，∴∠CBE=180°−∠CBD=146°，∴∠ABC=∠ABE=12∠CBE=73°．故选：A．11.答案：22.5解析：根据直角三角形两锐角互余列方程求解即可得到结果．本题考查了直角三角形两锐角互余的性质，熟记性质并列出关于∠B的方程是解题的关键．解：∵∠C=90°，∴∠A+∠B=90°，∵∠A=3∠B，∴3∠B+∠B=90°，解得∠B=22.5°．故答案为：22.5．12.答案：(−5,1)解析：此题主要考查了坐标与图形变化−平移，以及关于x轴对称点的坐标，关键是掌握点的坐标变化规律.首先根据横坐标右移加，左移减可得B点坐标，然后再根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得答案．解：点A(−1,−1)向左平移4个单位长度得到的B的坐标为(−1−4,−1)，即(−5,−1)，则点B关于x轴的对称点C的坐标是(−5,1)，故答案为(−5,1)．13.答案：y=1x等．解析：解：该题答案不唯一，可以为y=1x．故答案是：y=1x根据反比例函数、一次函数以及二次函数的性质作答．本题考查的是反比例函数、一次函数以及二次函数的性质，熟知函数的增减性是解答此题的关键．14.答案：相等的角为对顶角解析：本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．也考查了逆命题．交换原命题的题设与结论即可得到其逆命题．解：命题“对顶角相等”的逆命题是“相等的角为对顶角”．故答案为相等的角为对顶角．15.答案：1，2解析：解：移项，得：2x−4x>−1−5，合并同类项，得：−2x>−6，系数化成1得：x<3．则正整数解是：1，2．故答案是：1，2．首先移项、然后合并同类项、系数化成1即可求得不等式的解集，然后确定解集中的正整数即可．16.答案：9解析：解：如图，已知4条线段的四边长为3、4、5、7；①选3+4、5、7作为三角形，则三边长为7、5、7；7−5<7<7+5，能构成三角形，此时任意两端点的最长距离为7；②选3、4+5、7作为三角形，则三边长为3、9、7；7−3<9<7+3，能构成三角形，此时任意两端点的最大距离为9．故答案为：9．若任意两端点的距离最大，则此时四条线段的形状为三角形，可根据三条线段的长来判断有几种三角形的组合，然后分别找出这些三角形的最长边即可．此题主要考查的是三角形的三边关系定理，能够正确的判断出调整角度后三角形的组合方法是解答的关键．17.答案：23解析：解：由题意可得：k=xy=40，则y≥4060=23，即该汽车通过这段公路最少需要23ℎ.故答案为：23．直接利用已知图象得出函数解析式进而得出答案．此题主要考查了反比例函数的应用，正确得出函数解析式是解题关键．18.答案：52解析：【分析】本题考查了等腰三角形的性质：①等腰三角形的两腰相等；②等腰三角形的两个底角相等．设∠ADC=α，然后根据AC=AD=DB，∠BAC=102°，表示出∠B和∠BAD的度数，最后根据三角形的内角和定理求出∠ADC的度数．【解答】解：∵AC=AD=DB，∴∠B=∠BAD，∠ADC=∠C，设∠ADC=α，∴∠B=∠BAD=α2，∵∠BAC=102°，∴∠DAC=102°−α2，在△ADC中，∵∠ADC+∠C+∠DAC=180°，∴2α+102°−α2=180°，解得：α=52°．故答案为：52．19.答案：解：(1)5x−6x≤1+1−x≤2x≥−2在数轴上表示为：(2)由①得，x >−2，由②得，x ≤3，不等式组的解集为−2<x ≤3．在数轴上表示为：解析：(1)去分母，移项、合并同类项即可解答，然后在数轴上表示出来；(2)分别求出不等式的解集，再求出其公共部分，然后在数轴上表示出来．本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．20.答案：解：设解析式为：y =kx +b ，将(1,0)，(0,2)代入得：{k +b =0b =2， 解得：{k =−2b =2， ∴这个函数的解析式为：y =−2x +2；(1)∵y =−2x +2中，k =−2<0，∴y 随x 的增大而减小，把x =−2代入y =−2x +2得，y =6，把x =3代入y =−2x +2得，y =−4，∴y 的取值范围是−4≤y <6．(2)∵点P(m,n)在该函数的图象上，∴n =−2m +2，∵m −n =4，∴m −(−2m +2)=4，解得m =2，n =−2，∴点P 的坐标为(2,−2)．解析：本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征以及一次函数的性质，求得解析式是解题的关键．(1)先利用待定系数法求一次函数解析式，然后利用一次函数增减性即可得出答案．(2)根据题意得出n =−2m +2，联立方程，解方程即可求得．21.答案：证明：∵AB =AC ，∴∠DBM =∠ECM ，∵M 是BC 的中点，∴BM =CM ，在△BDM 和△CEM 中，∵BD =CE ，∠DBM =∠ECM ，BM =CM ，∴△BDM≌△CEM(SAS)，∴MD =ME ．解析：本题考查了全等三角形的判定与性质.根据等腰三角形的性质可证∠DBM =∠ECM ，可证△BDM≌△CEM ，可得MD =ME ，即可解题．22.答案：40 80 48 84解析：解：(Ⅰ)由题意可得，当购买20本时，甲文具店需要付款：2×20=40(元)，乙文具店需要付款：2.4×20=48(元)， 当购买40本时，甲文具店需要付款：2×40=80(元)，乙文具店需要付款：2.4×20+1.8×(40−20)=84(元)，故答案为：40，80；48，84；(Ⅱ)由题意可得，y 1=2x ；y 1={2.4x (0≤x ≤20)2.4×20+1.8(x −20)(x >20)； (Ⅲ)令2x =2.4×20+1.8(x −20)，解得，x =60，∴当50≤x<60时，在甲文具店购买这种笔记本的花费少，当x=60时，两家文具店花费一样多，当x>60时，在乙文具店购买这种笔记本的花费少．(Ⅰ)根据题意可以将表格中的数据补充完整；(Ⅱ)根据题意可以直接写出y1，y2关于x的函数关系式；(Ⅲ)根据题意和y1，y2关于x的函数关系式，可以解答本题．本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．23.答案：解：分两种情况讨论：①设底角是x°，顶角是x°+30°时：x+x+x+30=180，3x+30=180，3x=150，解得：x=50，则顶角=x°+30°=50°+30°=80°；②设底角是x°，顶角是x°−30°时，则x+x+x−30=180，3x=210，解得：x=70，顶角=x°−30°=70°−30°=40°．综上所述顶角度数为80º或40º．解析：本题主要考查等腰三角形的性质和三角形内角和定理.如果底角是x°，顶角是x°+30°或x°−30°，根据三角形内角和定理，分两种情况讨论即可．24.答案：解：(1)令x=0，则y=3，∴B(0,3)，x+3=0，令y=0，则34∴x=−4，∴A(−4,0)；(2)∵点C是点A关于y轴对称的点，∴C(4,0)，∵CD⊥x轴，∴x=4时，y=6，∴D(4,6)，∴AC=8，CD=6，AD=10，由折叠知，AC′=AC=8，∴C′D=AD−AC′=2，设PC=a，∴PC′=a，DP=6−a，在Rt△DC′P中，a2+4=(6−a)2，∴a=8，3∴P(4,8)；3(3)设P(4,m)，∴CP=m，DP=|m−6|，∵S△CPQ=2S△DPQ，∴CP=2PD，∴2|m−6|=m，∴m=4或m=12，∴P(4,4)或P(4,12)，x+3①，∵直线AB的解析式为y=34当P(4,4)时，直线OP的解析式为y=x②，联立①②解得，x=12，y=12，∴Q(12,12)，当P(4,12)时，直线OP解析式为y=3x③，，y=4，联立①③解得，x=43∴Q(4,4)，3,4)．即：满足条件的点Q(12,12)或(43解析：(1)利用坐标轴上点的特点建立方程即可得出结论；(2)先求出C(4,0)，D(4,6)，进而求出AC=8，CD=6，AD=10，由折叠知，AC′=8，C′D=2，再用勾股定理即可得出结论；(3)利用三角形面积关系求出点P坐标，再联立直线AB解析式求出交点坐标即可得出结论．此题是一次函数综合题，主要考查了坐标轴上点的特点，对称性，勾股定理，待定系数法，用方程的思想解决问题是解本题的关键．。