平行四边形和梯形的高

人教版四年级上册数学平行四边形和梯形的知识点第五章平行四边形和梯形一、垂直与平行1、认识平行和垂直在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交和不相交两种情况。

如果两条直线不相交，就称它们为平行线，用a//b表示。

如果两条直线相交成直角，就称它们为垂直，用a b表示。

注意，要在同一平面内才能判断平行关系，否则即使不相交也不能称为互相平行。

2、垂线的画法和性质如果要画一条直线的垂线，可以用三角尺的一条直角边与已知直线重合，然后沿着已知直线移动三角尺，使其顶点和已知点重合，最后沿着另一条直角边画出一条直线。

垂线的性质是，从直线外一点到这条直线所画的垂直线段最短，它的长度就是这点到直线的距离。

3、平行线的画法及运用要画两条平行线，可以先沿着三角尺的一条直角边画出一条直线，然后用直尺紧靠三角尺的另一条直角边，固定直尺，平移三角尺，最后沿着第一步中的直角边画出另一条直线。

检验两条直线是否平行的方法是，将三角尺的一条直角边与其中一条直线重合，然后平移三角尺，如果三角尺的直角边与另一条直线完全重合，这两条直线就互相平行。

两条平行线之间的距离处处相等。

二、平行四边形1、平行四边形的定义平行四边形是有四条边的四边形，其中对边互相平行。

平行四边形的性质包括：对边互相平行，相邻两边互相垂直，对角线互相平分，对角线长度相等，面积等于底边长度乘以高。

2、平行四边形的画法要画一个平行四边形，可以先画一条线段作为底边，然后画出相邻两边，再根据对边平行的性质画出另外两条边。

最后可以用三角尺画出对角线来检验是否正确。

三、梯形1、梯形的定义梯形是有四条边的四边形，其中两条边互相平行，另外两条边不平行。

梯形的性质包括：底边互相平行，对角线互相平分，面积等于底边长度乘以高的一半。

2、梯形的画法要画一个梯形，可以先画一条线段作为底边，然后画出两条不平行的边，再根据底边平行的性质画出另外一条平行边。

最后可以用三角尺画出对角线来检验是否正确。

画平行线的方法很简单：首先画出长为3厘米的线段，作为长方形的一条边；然后将三角尺的一条直角边与该线段重合，用直尺与三角尺的另一条边相接，固定直尺，接着平移三角尺，使其移动的距离达到所需宽度，最后沿着第一步中的直角边画出所需长度，连接两条线段的端点即可。

学霸笔记—北师大版2021-2022学年北师大版数学五年级上册同步重难点讲练第四单元多边形的面积4.2 认识底和高教目标1.通过动手活动，找到高这条特殊线段，体验高的基本特征；2.能判断、画出、测量三角形、平行四边形、梯形的高；3.根据图形的高和底的数据画符合条件的图形。

教学重难点教学重点：判断、画出、测量三角形、平行四边形、梯形的高教学难点：画高【重点剖析】认识平行四边形、三角形与梯形的底和高。

从平行四边形一边的某一点到对边画垂直线段，这条垂直线段就是平行四边形的高，这条对边是平行四边形的底。

三角形的一个顶点到对边的垂直线段是三角形的高，这条对边是三角形的底。

从梯形的两条平行线中的一条上的某一点到对边画垂直线段，这条垂直线段就是梯形的高，这条对边就是梯形的底。

高和底的关系是对应的。

用三角板画出平行四边形的高的方法：把三角板的一条直角边与平行四边形的一条边重合，让三角板的另一条直角边过对边的某一点。

从这一点沿着三角板的另一条直角边向它的对边画垂线，这条垂线（从点到垂足）就是平行四边形一条边上的高。

注意：从一条边上的任意一点可以向它的对边画高，也可以从另一条边上的任意一点向它的对边画高。

用三角板画出三角形的高的方法：把三角板的一条直角边对准三角形的一个顶点，另一条直角边与这个顶点的对边重合。

从这个顶点沿着三角板的另一条直角边向它的对边画垂线，这条垂线（从顶点到垂足）就是三角形形一条边上的高。

用三角板画梯形的高的方法：用同样的方法，画出梯形两条平行线之间的垂直线段，就是梯形的高。

【典例分析1】（2020五上·潍城期末）下面说法正确的是（）。

A. 两个面积相等的三角形一定可以拼成一个平行四边形B. 直角三角形只有一条高C. 等底等高的三角形面积一定相等D. 能拼成平行四边形的两个梯形一定完全相等【答案】 C【完整解答】解：选项A，两个完全一样的三角形一定可以拼成一个平行四边形，即错误；选项B，直角三角形有3条高（两条直角边可以作高、还有斜边上的高），即错误；选项C，等底等高的三角形面积一定相等，即正确；选项D，能拼成平行四边形的两个梯形不一定完全一样，如下图：故答案为：C。

梯形、平行四边形、三角形的底和高问题导入
(l)你认为“限高”指的是哪一条线段的长度？画一画。

(2)什么是梯形、平行四边形和三角形的高？（教材51页例题）
过程讲解
1．理解限高的含意
(l)观图，抽象出平面图形。

桥洞的形状是梯形，如下图所示：
(2)指出限高指的是哪一条线段。

2．认识梯形的底和高
(1)初步认识梯形的高。

上图中的限高线就是梯形的高。

(2)进一步认识梯形的底和高。

梯形中平行的两条边为梯形的上底和下底，上底与下底间的垂直线段为梯形的高，如下图所示：
发现：梯形有无数条高。

3．认识平行四边形的底和高
从平行四边形的顶点向它的对边作垂直线段，这条垂直线段就是高，这条对边就是这条高所对应的底。

如下图所示：
4．认识三角形的底和高
三角形有三条边，三条边都可以作底边，每条边与所对应的顶点到这条边的垂直线段就是三角形的底和高。

如下图所示：
归纳总结
1．梯形的底和高：梯形中平行的两条边为上底和下底；上底和下底之间的垂直线段就是梯形的高。

2．平行四边形的底和高：从平行四边形一条边上的一点向对边引一条垂线，这点和垂足之间的线段就是平行四边形的高，垂足所在的边就是平行四边形的底。

3．三角形的底和高：三角形每条边与所对应的顶点到这条边的垂直线段就是对应的底和高。

平行四边形和梯形知识点归纳知识点一、平行线与相交线的概念1、在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：平行和相交。

2、在同一平面内，如果两条直线a、b没有交点，那么这两条直线就叫做平行线，也可以说这两条直线互相平行，记作：a//b，读作：a平行于b。

3、在同一平面内，如果两条直线不平行，那么它们就是相交线，也可以说这两条直线相交。

4、如果两条直线a、b相交成直角，就说这两条直线互相垂直，记作：a⊥b，读作：a垂直于b。

其中一条直线叫做另一条直线的垂线，这两条直线的交点叫做垂足。

两条直线互相垂直，有4个直角。

5、用直尺和三角尺可以画平行线，步骤如下：①固定三角尺，沿一条直角边先画一条直线。

②直尺紧贴三角尺的另一条直角边，固定直尺，然后平移三角尺。

③再沿着以前画线的直角边画出另一条直线。

温馨提示：用以上方法，还可以检验两条直线是否平行。

知识点二、平行线与相交线的性质1、过直线外的一点，可以画1条直线与已知直线平行。

2、过一点，可以画1条直线与已知直线垂直。

3、有三条直线a、b、c，如果a//b，b//c，则a//c。

4、在同一平面内，与同一条直线垂直的两条直线互相平行。

5、两条平行线之间的距离处处相等。

6、从直线外的一点到这条直线所画的垂直线段最短，它的长度叫做这点到直线的距离。

这个性质也可以简称为“垂线段最短”。

知识点三、平行四边形1、两组对边分别互相平行的四边形，叫做平行四边形。

2、从平行四边形一条边上的一点向对边引一条垂线，这点和垂足之间的线段叫做平行四边形的高，垂足所在的边叫做平行四边形的底。

3、平行四边形有无数条高。

平行四边形除了两组对边互相平行，这两组对边的长度也对应相等。

4、长方形拉动成平行四边形后，周长不变，面积变小。

知识点四、梯形1、只有一组对边互相平行的四边形叫做梯形。

互相平行的一组对边是梯形的底，较短的叫做上底，较长的叫做下底。

从梯形上底任取一点，向下底作一条垂线，这个点和垂足之间的线段叫做梯形的高。

《练习十二》（四上）课堂练习及作业设计本小节内容为四年级上册第四单元第二小节《平行四边形和梯形》（练习十二），共安排3课时，分别为“认识平行四边形和梯形”、“平行四边形和梯形的高”和“平行四边形和梯形的练习”。

内作业（5）下列图形都是梯形。

（图略）2、将四边形、平行四边形、长方形、正方形和梯形填入相应的位置。

选自课堂作业第28页第3题。

进一步理解、巩固四边形之间的关系。

课后作业1、填一填。

上面的图形中，长方形有（），正方形有（），平行四边形有（），梯形有（）。

一共有（）个四边形。

2、画一个平行四边形和梯形。

3、数一数：有几个平行四边形和几个梯形？4、拓展：数一数，分一分。

（1）数出图中的平行四边形和梯形。

（2）把右图分割为4个完全相同的梯形。

选自课堂作业第28页第1题。

自编自编选自课堂作业第28页第4题。

巩固对各类四边形的正确判断。

根据定义画出平行四边形和梯形。

能用图形拼组的相关知识正确数出图形的个数。

通过数一数、分一分，培养学生的有序思考，发展学生的空间观念。

但只要求学有余力的学生完成。

第二课时平行四边形和梯形的高练习内容出处设计意图课内作业等腰梯形只有一条对称轴。

平行四边形很容易变形。

2、下列图形中，如果有对称轴，把它画出来。

如果没有，请在图形下面的（）画△。

页第1题。

选自课堂作业第29页第5题。

巩固平行四边形、梯形的对称知识以及容易变形的特性。

课后作业1、画出下面图形底边上的高，并标上名称。

底底2、画出下面梯形的高。

3、拓展：找出等底等高的平行四边形。

改编自课堂作业第29页第3题。

改编自课堂作业第29页第4题。

自编重在让学生体会底和高的相对性，理解平行四边形的高有无数条。

让学生进一步理解梯形的高，同时补充认识直角梯形。

渗透等底等高的数学思想，可让学有余力的学生完成。

第三课时平行四边形和梯形的练习课练习层次内容出处设计意图课1、从下面图形中找出平行四边形和梯形，并画出它们的高，标上各部分名称。

小学四年级上册数学平行四边形和梯形的知识点一、平行四边形1、定义：有两组对边分别平行的四边形是平行四边形。

2、平行四边形的性质：3、平行四边形对边相等；平行四边形对角相等；平行四边形对角线互相平分平行四边结论：（1）连接平行四边形各边的中点所得图形是平行四边形。

（2）如果一个四边形的对角线互相平分，那么连接这个四边形的中点所得图形是平行四边形。

（3）平行四边形的对角相等，两邻角互补。

（4）过平行四边形对角线交点的直线，将平行四边形分成全等的两部分图形。

（5）平行四边形是中心对称图形，对称中心是两对角线的交点。

4、平行四边形的判定：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形两组对角分别相等的四边形是平行四边形（2）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形（3）从对角线看：对角钱互相平分的四边形是平行四边形从角看：两组对角分别相等的四边形是平行四边形。

5、若一条直线过平行四边形对角线的交点，则直线被一组对边截下的线段以对角线的交点为中点，且这条直线二等分平行四边形的面积。

二、梯形1、梯形也是四边形，它只有一组对边互相平行。

梯形的定义是只有一组对边平行的四边形叫做梯形。

2、梯形互相平行的一组对边中，较短的一条边为梯形的上底，较长的一条边为梯形的下底，不平行的那组对边叫做梯形的腰。

梯形上底和下底之间的距离是它的高。

3、与平行四边形不同，一个梯形中只有一种长度的高。

梯形的高只能是从一条底上的点向另一条底所画的垂直线段，而不能画在梯形的腰上。

4、梯形中常见的一些判定：（1）一组对边平行，另一组对边不平行的四边形是梯形（一组对边平行且不相等的四边形是梯形）（2）两腰相等的梯形是等腰梯形（3）同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形（4）有一个内角是直角的梯形是直角梯形（5）对角线相等的梯形是等腰梯形（6）梯形的中位线等于上底加下底和的一半，且平行于上底和下底5、特殊梯形的一些性质：（1）等腰梯形的两条腰相等（2）等腰梯形在同一底上的两个底角相等（3）等腰梯形的两条对角线相等（4）等腰梯形是轴对称图形，对称轴是上下底中点的连线所在直线（5）梯形的中位线（两腰中点相连的线叫做中位线）等于上下底和的二分之一（6）直角梯形有两个角是直角（7）对角线互相垂直的梯形面积可用两条对角线积的一半计算。

第二讲 平行四边形和梯形第一部分 课内衔接姓名： ；日期：；家长签字：【例1】先确定下面平行四边形的底再画出它的高，你能画出几种长度不同的高？（单位：厘米）【活学活用】1.关于下面的平行四边形，下面说法错误的是（ ） A.底是4厘米时，高是4.5厘米 B. 底是5厘米时，高是4.5厘米 C.这个平行四边形的周长是18厘米。

具体内容 重点知识要点提示平行四边形的认识1、 平行四边形的特征：平行四边形的两组对边分别平行且相等。

2、 平行四边形的特性：平行四边形具有不稳定性。

3、 平行四边形的底和高：从平行四边形一条边上的一点到它对边的垂直线段，是平行四边形的高，这条对边是平行四边形的底。

平行四边形的高和底是相互依存的关系。

长方形和正方形都是特殊的平行四边形梯形的认识1. 梯形的基本特征：梯形只有一组对边平行。

2. 梯形的高和底:互相平行的一组对边分别是梯形的上底和下底，不平行的一组对边是梯形的腰。

从梯形一条底边上的一点到它对边的垂直线段叫作梯形的高。

3. 等腰梯形：两腰相等的梯形是等腰梯形。

梯形的一组对边平行但不相等。

2.如图，过平行四边形上的点A向它的对边可以画（）条高。

A．1 B.2 C.无数3.平行四边形有（）的特性。

A．稳定 B.容易变形 C.不易变形4.从平行四边形一条边上的一点到它对边的（），是平行四边形的高，这条对边是平行四边形的（）。

A．线段 B.垂直线段 C.底【例2】右图是一个平行四边形花池，现在要在花池里修几条水渠，把花池平均分成四个相同的小平行四边形，怎样分可使水渠的总长度最短？在图上画出来，并算一算水渠的总长度。

【实战练习】1、数一数，下面中各有几个平行四边形？2.一块平行四边形土地如下图，现在要在这块土地里修几条水渠，将土地平均分成三块形状相同的小平行四边形土地，怎样分可以使水渠的总长度最短？在图上画出来，并求出水渠的总长度。

【例3】如图，梯形的高是（）厘米，∠1与∠2的和是（）【实战练习】1.互相平行的一组对边分别是梯形的（）和（），不平行的一组对边是梯形的（） A．上底 B.高 C.腰 D.下底2.等腰梯形中，（）一定相等。

平行四边形和梯形的高平行四边形和梯形的高，这话题听上去有点儿枯燥，但其实可以聊得非常有趣。

想想看，平行四边形就像是那种在阳光下悠然自得的小朋友，四条边都懒洋洋地平行着，一副不在乎世事的样子。

它的高嘛，简单得很，咱只需要从任意一条底边直线往上量到对面的顶边，那就是它的高啦，轻轻松松，像是在量一根小棍子。

高这玩意儿就像一条直线，直来直去，不带半点儿弯曲。

多简单呀！有些人可能会想，平行四边形和梯形到底有什么关系呢？嘿，这个嘛，梯形就像个身材有点儿特别的小伙伴，底边和顶边的长度不一样，像是个特意设计的时尚潮流。

它的高同样简单，还是得从底边直直地量到顶边，完事儿！这个时候，咱们不禁要感叹，几何真是个有趣的家伙，跟生活中的很多事儿一样，简单却又深刻。

可能有人会问，平行四边形的高和梯形的高有什么不一样呢？好问题！其实啊，尽管两者的定义都差不多，但那感觉就像是两种不同的音乐，一种是悠扬的古典，另一种是活泼的流行。

平行四边形的高稳稳的，像是那种从容不迫的爵士乐，给人一种踏实的感觉。

而梯形的高就像是一首流行歌，时而高亢，时而低沉，总是带着一点儿惊喜。

说到这里，想起小时候在学校学数学，老师总是说“高就是垂直的”。

那时候真有点懵懂，啥叫垂直呢？直到后来明白，这其实就是让我们在生活中学会寻找最直接的路径，才能够更快地到达目的地。

在这过程中，有些小朋友可能就开始想，为什么不直接把平行四边形的边给量了呢？这个问题提得好，其实是因为在数学的世界里，我们得遵循一些“规矩”。

这就像是在打麻将，有些牌型是需要特定的规则，才能让游戏更有趣。

在平行四边形和梯形里，量高就是一项基本的技能。

明白了这些，大家就能像一个小小的数学大师一样，游刃有余地应对各种形状。

再说说这高的实际应用吧，很多朋友可能觉得这数学就是个纸上谈兵的东西。

哎呀，真不是！想象一下，如果没有高这个概念，建筑师可怎么设计出那么高大的摩天大楼？他们得精准计算每一层的高度，才能确保大楼稳如泰山。

“认识底和高”教学设计教学内容北师大版小学五年级数学上册第51～52页。

教学目标知识与技能认识三角形、平行四边形、梯形的高，并会画它们的高。

过程与方法经历认识高的过程，体会不同图形高的特征。

情感态度与价值观在探究活动中培养学生的动手操作能力，提高学生学习数学的兴趣教学重点会辨认三角形、平行四边形、梯形的高。

教学难点会画三角形、平行四边形、梯形的高教具学具多媒体课件教学过程一、谈话导入，提出问题王阿姨要为自己开的书吧制作几张桌子，工人师傅想把平行四边形木板切割成最大的长方形木板，作为桌子的桌面。

你能帮帮工人师傅吗？二、实践操作，探究新知（一）探究活动一：平行四边形的高1、设计图纸提出要求：桌面要做的尽可能大，可以用割补的方法，但据的次数应尽可能少一些。

想一想，应从哪里据开呢？出示活动要求：（1）仔细思考，画出需要锯开的线段。

（2）和小组的同学交流你的想法：为什么要这样设计？思考：同学们设计了这么多不同的方案，想一想，这些设计有没有共同的地方？（引出平行四边形高的概念）讨论：平行四边形的高有几条？2、动手检验现在就用剪刀沿着平行四边形的高剪下来，试一试能否拼出长方形来。

（二）探究活动二：梯形的高课件出示教材第51页的情境图。

你发现了什么信息？你知道“限高”的含义吗？你能在图中画一画吗？展示学生的不同画法，想一想：这些画法有没有共同的地方？（引出梯形的高的概念）两条平行线之间的垂线段的长度就是梯形的高。

梯形的高有多少条呢？（无数条）（三）挑战活动三：三角形的高谁能在一个三角形里画一条线段，把一张三角形纸片分成两个直角三角形。

展示学生的不同画法：看一看，这条线段有什么共同的地方？（引出三角形高的概念）从三角形的一个顶点到对边的垂线段的长度就是梯三角形的高。

思考：三角形有几条高？让学生小组合作，探究直角三角形和钝角三角形的高的条数，教师巡视指导。

结论：任意三角形都有3条高。

（四）挑战活动四：画图形的高请你画出下面给定图形的底边上的高，并在小组内交流你的画法。

平行四边形和梯形的不同点平行四边形和梯形是几何学中常见的两种多边形，它们在形状和性质上有许多不同之处。

本文将从各个方面详细比较平行四边形和梯形的不同点。

从形状上来看，平行四边形是由四条边构成的四边形，其中相邻的两条边互相平行。

这意味着平行四边形的对边长度相等，对角线相互平分，并且具有相等的内角和外角。

而梯形则是由四条边组成的四边形，其中两条边平行，另外两条边不平行。

梯形的对边不相等，内角和外角也不相等。

平行四边形和梯形的性质也有所不同。

平行四边形的特点是对边平行且相等，对角线相等，并且具有相等的内角和外角。

平行四边形的特殊情况是正方形，即四条边相等且四个角都是直角。

梯形的特点是两条平行边不相等，且没有对角线相等的性质。

梯形的特殊情况是等腰梯形，即两条非平行边相等。

第三，平行四边形和梯形的面积计算方式也不同。

平行四边形的面积可以通过底边长乘以高得到，即S = 底边× 高。

梯形的面积计算公式为底边和顶边之和的一半乘以高，即S = (底边 + 顶边) × 高 / 2。

在计算面积时，需要注意底边和顶边的长度以及高的测量单位要保持一致。

平行四边形和梯形在实际应用中有不同的用途。

平行四边形常用于建筑和工程设计中，例如建筑物的地基和墙体结构。

平行四边形的特性使其具有较好的稳定性和承重能力。

而梯形则常用于制造业和机械设计中，例如传送带和机器工作台的设计。

梯形的形状使其具有适合放置物体和进行加工的特点。

平行四边形和梯形在对称性和旋转对称性方面也有所不同。

平行四边形具有旋转对称性，即将平行四边形绕其对角线旋转180度后，仍然保持原来的形状。

而梯形则没有旋转对称性，即旋转梯形后，形状会发生变化。

平行四边形和梯形的边长和角度可以通过测量工具进行准确测量。

在实际应用中，可以使用尺子或测角器来测量平行四边形和梯形的边长和角度，以便进行准确的计算和设计。

平行四边形和梯形在形状、性质、面积计算、应用和对称性等方面存在显著的不同。

第2课时认识底和高教学过程备注一、复习回顾，导入新课教师：我们在日常生活中通常看到一些这样的标志。

上面写着限高4.3m，高是什么意思呢？我们今天学习认识底和高。

（板书）二、自主活动，探索新知1.课件出示教材51页情境图。

教师：这个桥洞是什么形状的？学生：梯形。

教师：限高4.5m 是什么意思？学生：通过的车高度应该低于4.5m。

教师：限高的作用除了提示警示交通安全外，还起到保护立交桥、桥复习学过的图形，帮助学生理解。

课题认识平行四边形、三角形、梯形的高课型新授课教学内容教科书第51页及第52页的内容教学目标1.结合“限高”的情境体会高的意义，并通过动手操作，认识梯形、平行四边形与三角形的底和高。

2.会用三角尺画出平行四边形、三角形与梯形的高。

3.能在方格纸上画出给定底和高长度的平行四边形、三角形与梯形。

教学重点能辨认梯形、平行四边形、三角形的底和高。

教学难点按要求画出图形指定底边上的高。

教学准备多媒体课件洞免受损害等。

2.学习第1题。

课件出示：你认为“限高”指的是哪一条线段的长度？教师：大家请看图，梯形的高指的是哪条线段？大家尝试自己画一画。

请学生说说是怎样画的。

学生1：从梯形上面的边上上的顶点出发，借助三角尺的直角边画到下面的边的垂线段，这条垂线段的长度就是高。

学生2：从梯形上面的边任意一点出发，借助三角尺的直角边画到下面的边的垂线段的长度都是高。

教师：同学们的画法都是正确的。

其实从梯形这组平行边的上边任意一点出发，画出到另一边的垂线段，都是限高所指的线段。

这条垂直线段的长度就是高。

梯形的高你能画出多少条呢？学生：无数条。

教师：对的，梯形的高有无数条，长度也都相等。

画图形的高都要用虚线来表示，并且需要标上垂直符号。

3.学习第2题。

（1）课件出示标有梯形底和高的图形。

教师：梯形中平行的两条边是梯形的底，其中较短的底是梯形的上底，较长的底是梯形的下底，高指的是上底和下底间的垂直线段。

补充变式的图形，让学生指出上底和下底。