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3.6对偶单纯形法

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对偶单纯形法

对偶单纯形法

y4 y5 cj
－2 －1 0
15 24 5 y1 y2 y3 0 ［－6］ ［－ ］ －1 －2 －1 －5 15 0 －5 15 －5/4 15/2 15/2 24 1 0 0 1 0 0 5 1/6 [-2/3] 1 0 1 0
0 y4 1 0 0 －1/6 －1/3 4
0 y5 0 1 0 0 1 0
C-CBB-1A≥0
对于标准线性规划问题：
min f = CX
max z = bY
s.t. AT Y ≥ C
AX = b s.t. X ≥ 0
最优基B
可行基B 对偶可行基B 单纯形法 保持可行性 对偶单纯形法 保持对偶可行性
可行基B
对偶可行基B
可行基B
对偶可行基B
对于标准线性规划问题：
min f = CX AX = b s.t. X ≥ 0
•
下面通过例题说明对偶单纯形法的步骤：
例3 用对偶单纯形法求解线性规划问题： min w = 15 y1 + 24 y2 + 5 y3
6 y2 + y3 ≥ 2 y1 + 2 y2 + y3 ≥ 1 ：先将问题改写为：
' min w = 15 y1 + 24 y2 + 5 y3 min w = 15 y1 + 24 y2 + 5 y3 + 0 y4 + 0 y5
对偶单纯形法
对偶单纯形法并不是求解对偶问题解的方法，而是利 用对偶理论求解原问题的解的方法。 对于标准线性规划问题：
min f = CX AX = b s.t. X ≥ 0
max z = bY T s.t. A Y ≥ C

运筹学对偶单纯形法

运筹学对偶单纯形法
解: 先将这问题转化（此时b可以是负的）,以便 得到对偶问题的初始可行基
max z = -2x1 - 3x2 - 4x3 -x1 - 2x2 - x3 + x4 = -3 -2x1 + x2 - 3x3 + x5 = -4 xj ≥ 0,j = 1,2,3,4,5
建立这个问题的初始单纯形表
cj→
-2 -3 -4 0 0
?
(2) 先确定换出变量：若 min{(B-1b)i|(B-1b)i <0} = (B-1b)l
对应的基变量xl为换出变量。（实际上，可取任何一个取 负值的基变量作为换出变量。取最小的含义是尽快）
(3) 确定换入变量： 检查xl所在行的各系数alj(j = 1,2,…,n)。 若所有的 alj0,则无可行解，停止计算。
§6 对偶单纯形法
在 原 来 的 单 纯 形 表 中 进 行 迭 代 时 ， 前 提 要 求 右 端 项 b≥ 0(基可行解)，迭代过程中在b列中得到的是原问题的基可行解， 在检验数行得到的是对偶问题的基解。当检验数行也是对偶 问题的基可行解时，原问题与对偶问题都得到最优解。
对偶单纯形法原理：根据对偶问题的对称性，保持对偶问 题的解是基可行解，即cj-CBB-1Pj ≤ 0，同时取消对解答列元 素非负的限制，在原问题非可行解的基础上, 通过逐步迭代达 到基可行解，这样就得到了最优解。
1、对应基变量x1，x2，… ，xm的检验数是
σ i = ci – zi = ci - CB B-1Pi = 0，i = 1 ,2 , … ,m
2、对应非基变量xm+1，… ，xn的检验数是
σ j = cj – zj = cj - CB B-1Pj 0，j = m+1 , … ,n

对偶单纯形法

对偶单纯形法

y1, y2 0
Min w 2 y1 3y2
解:
先将原问题化为下列形式
s.t.
2 y1 y1
y1 y2 y3 4 3y2 y4 6 y2 y5 3
y1, y2 , y3, y4 , y5 0
对偶单纯形法举例(例2-2) 则第一个基为B1=(P3,P4,P5)=I 基变量为y3,y4,y5 第一个对偶可行基对应的单纯形表如下
5
-w 8 -15 0 -1 -4 0
对偶单纯形法举例(例1-4)
T(B2) XB b Y1 Y2 Y3 Y4 Y5 Y2 1/3 0 1 1/6 -1/6 0
Y -1/3 -5 0
5
-w 8 -15 0
-2/3 -1/3 1 -1 -4 0
T(B3)
Y2 1/4 -5/4 1 Y3 1/2 15/2 0 -w 17/2 -15/2 0
5
w 0 -2 -3 0 0 0
Y3 -2 -5/3 0 Y2 2 1/3 1 Y5 -1 -2/3 0
1 -1/3 -1/3 0 -1/3 -1/3 0 -1/3 2/3
w 6 -1 0 0 -1 -1
对偶单纯形法举例(例3-1)
例3：用对偶单纯形法解下列线性规划
Min w x1 x2
3x1 x2 x3 1
s.t.
x1 x2 2x1 2x2
x4 2 x5 4
x j 0 j 1,2,3,4,5
解: 取B1=(P3，P4，P5)=I
为对偶可行基
因此其对应的单纯形表如下
对偶单纯形法举例(例3-2)
T(B1)
x1 x2 x3 x4
x5
x3 -1 3 -1 1 0 0
x4 -2 -1 1 0 1

对偶单纯形法

对偶单纯形法
min f c j x j
j1 n
c
j
0
n i 1, 2, , m a ij x j bi j1 x 0, j 1, 2, , n j
在引入松弛变量化为标准型之后，约束等 式两侧同乘-1，能够立即得到检验数全部非正 的原规划基本解，可以直接建立初始对偶单纯 形表进行求解，非常方便。
对偶单纯形法求解线性规划问题过程：
1.建立初始单纯形表,检查b列中的各分量，若都为非 负，且检验数均非正,则已得到最优解，若b列中至 少有一个负分量，检验数非正,则转2； 2.确定换出变量
min
(bi 0)
确定对应的基变量xi为出基变量,转3 3.在单纯形表中检查xi所在行的各系数，若所有 aij≥0，则原问题无可行解,停止;否则,若有aij<0 则选 =min{j/aij┃ aij<0}=k/aik 那么xk为进基变量,转4； 4.以aik为主元，进行迭代运算，得到新的单纯形表； 5.重复上述步骤，直到求得最优解。
（2） 影子价格表明资源增加对总效益产生 的影响。根据推论“设x0和y0分别为原规划（P） 和对偶规划（D）的可行解，当cx0=y0b时，x0、 y0 分别是两个问题的最优解”可知，在最优解 的情况下，有关系
Z w b y b2 y bm y
* * * 1 1 * 2
* m
因此，可以将z*看作是bi,i=1,2，… ,m的函数， 对bi求偏导数可得到
影子价格y2 0的经济意义：原料 的供应量b2增加 个单位 B 1 时，最大利润将不变化 .
影子价格y3 50的经济意义：原料 的供应量b2增加 个单位 C 1 时，最大利润将增加 个单位. 50
(3)设该厂将A, B, C三种原料的价格分别定 y1, y2 , y3 , 为

对偶单纯形法

对偶单纯形法

§6 对偶单纯形法在介绍对偶单纯形法之前，让我们先利用对偶理论来重温一下单纯形法的基本思想，以便给单纯形法一种新的解释。

考虑线性规划（LP ）和其对偶规划（DP ）：x c T min b w T max(LP) s.t ⎩⎨⎧≥=0x b Ax (DP) s.t TT c A w ≤我们已经知道，（LP ）的单纯形表为基变量 x 1 x 2 ┄ x nx B B -1 A B -1bf c B T B -1 A – c T c B T B –1b定理1 设(LP)的任一基本解为x 0，它对应于基B ，并作(w 0 )T = c B T B –1。

若x 0 和w 0 分别是(LP)和（DP ）的可行解，则x 0 和w 0 也分别是(LP)和（DP ）的最优解。

证明 因w 0 是（DP ）的可行解，即 (w 0 )T A ≤ c T从而有 c B T B –1A - c T ≤ 0 此式说明，x 0是对应于基B 的基本可行解，且所有的检验数λj ≤ 0故x 0是（LP ）的最优解。

此外，还有(w 0 )T b = c B T B –1 b = c B T x B 0 = c x 0从而由线性规划的对偶定理知，w 0 也是（DP ）的最优解。

证毕。

由以上证明过程可看到：x 0（（LP ）的任一基本解）的检验数全部非正与(w 0 )T = c B T B –1是对偶问题（DP ）的可行解等价。

据此我们可对单纯形法作如下解释：从一个基本解x 0出发迭代到另一个基本解，在迭代过程中始终保持解的可行性（基本可行解），同时使它所对应的对偶规划的解w 0（满足（w 0 ）T = c B T B –1 ）的不可行性逐步消失（即检验数逐步变为非正）；直到w 0是（DP ）的可行解，x 0就是（LP ）的最优解。

因（LP ）和（DP ）互为对偶问题，故基于对称的想法，我们也可以把迭代过程建立在满足对偶问题（DP ）的可行解上，即在迭代过程中保持对应的对偶问题的解w 0的可行性（从而x 0的检验数全部非正），逐步消除原问题（LP ）的基本解x 0的不可行性（即使x 0非负），最后达到双方同时为可行解，x 0和w 0也就同时为最优解了。

对偶单纯形法

对偶单纯形法

3x2 2x2
x4 x5
x7 3
6
用单纯形 法求解
x1, x2 , x3 , x4 , x5 0
对偶单纯形法的优点：
1、不需要人工变量；
2、当变量多于约束时，用对偶单 纯形法可减少迭代次数；
3、在灵敏度分析中，有时需要用对 偶单纯形法处理简化。
注意：对偶单纯形法仅限于初始基B对应
X（0）为基本可行 解的X（条0）件为？最优解的 条件？
B-1b≥0 C CBB1 A 0
原问题最优解条件
令Y=CBB-1，代入原问题最优解条件，→YA≥C
min Yb
YA C Y无符号限制
取基本解X1 B1b,0
保证对偶问题的可行性，逐
步改进原问题的可行性，求
x1 x3 2
s.t

x2
2x3
5
x1，x2，x3 0
若取初始基B1 P4，P5
则关于B1的标准型为
max Z 4x1 3x2 8x3
不s可.t 行 x1x2
x3 2x3

x4
2 x5 5
x1，x2，x3 , x4 , x5 0
且由对偶理论知，Y0 CB B 1为（D）的最优解
对偶单纯形法步骤：
1. 列出初始单纯形表，检查b 列的数字若都为非负， 则已得到最优解，停止计算，若b列的数字中至少 有一个负分量，转第二步。
2. 确定出基变量
按 min B1b i B1b i 0 B1b l ,对应的基变量法： 求max Z x6 Mx9

2x2 x3 x4 x5
x9 1

对偶单纯形法详解课件

对偶单纯形法详解课件

终止准则
算法终止的准则有多种，如达到预设的 最大迭代次数、解的变化小于预设阈值 等。
VS
终止判断
在每次迭代后，需要判断是否满足终止准 则，如果满足则算法终止，否则继续迭代 。
04 对偶单纯形法的优化策略
预处理技术
预处理技术
通过预处理，可以消除原问题中的冗 余约束，简化问题规模，提高求解效 率。
线性规划问题的转化
对偶单纯形法详解课 件
目录
CONTENTS
• 对偶单纯形法简介 • 对偶单纯形法的基本原理 • 对偶单纯形法的实现步骤 • 对偶单纯形法的优化策略 • 对偶单纯形法的案例分析 • 对偶单纯形法的展望与未来发展方向
01 对偶单纯形法简介
对偶问题的定义
对偶问题是指原问题的一个等价形式，其目标函数和约束条 件与原问题互为对偶。在优化问题中，对偶问题通常用于求 解原问题的最优解。
对偶单纯形法的应用场景
对偶单纯形法广泛应用于各种优化问题，如线性规划、整数规划、二次规划等。 它适用于求解大规模优化问题，并且具有较高的计算效率和精度。
在实际应用中，对偶单纯形法可以与其他优化算法结合使用，如梯度下降法、共 轭梯度法等，以提高求解效率和精度。同时，对偶单纯形法也可以用于解决一些 复杂的组合优化问题，如旅行商问题、背包问题等。
对偶问题的形式取决于原问题的类型和约束条件。例如，线 性规划的对偶问题就是将原问题的目标函数和约束条件进行 线性变换，得到一个新的优化问题。
对偶单纯形法的概念
对偶单纯形法是一种求解线性规划的方法，它利用对偶问 题的性质，通过迭代和交换变量的方式，逐步逼近最优解 。
在对偶单纯形法中，每次迭代都包括两个步骤：一是根据 对偶问题的最优解更新原问题的解；二是根据原问题的最 优解更新对偶问题的解。这两个步骤交替进行，直到达到 最优解或满足一定的停止准则。

对偶单纯形法

对偶单纯形法
ˆi 0，则 ˆ j bi 如果y aij x
j 1 n
ˆ j bi，则 y ˆi 0 如果 aij x
j 1
n
例2 给定线性规划问题 min 2 x1 3x2 x3 s.t. 3x1 3x2 x3 1 x1 2 x2 x3 2 x1 , x2 , x3 0
•价格应该尽量低，这样，才能有竞争力;
目标
•价格应该是非负的
A 工 时 材 料 单件利润
1
B
1
C
1
拥有量 3
1
2
4
3
7
3
9
用y1和y2分别表示工时和材料的出售价格 总利润最小 保证A产品利润 min W=3y1+9y2 y1+y2≥2
保证B产品利润
保证C产品利润
y1+4y2≥3
y1+7y2≥3
售价非负
max W b1 y1 b2 y2
bm ym
a11 a21 am1 y1 c1 am 2 y2 c2 a12 a22 s.t. a a2 n amn ym cn 1n y1 , y2 , , ym 0
问题的导出
A B
1
4
C
1
7
拥有量
工 时 材 料 单件利润
1
1
3
9
2
3
3
max Z 2 x1 3x2 3x3
x1 x2 x3 3 s.t. x1 4 x2 7 x3 9 x 0, x 0, x 0 2 3 1
A
工 时 材 料 单件利润

对偶单纯形法(经典运筹学)

对偶单纯形法(经典运筹学)

解：问题化为标准型 max Z 2 x1 x 2 5 x1 x 2 x3 2 x 2 x3 x 4 5 s.t 6x xx 9 xx 2 2 6 x3 3 5 5 9 44 x1 , x 2 , x3，x 4，x5 0
X1 X2 X3 X4 X 5
2 检 0 1 -1 1 2 -4 0 -2 1 1 -6 0 0 1 0 0 0 0 1
Z Z-10
X1 1 X4 0
5 5 -9
X5 0
4
14 13 X1 X 2 X 3
检
X1 X4
0 1 0 0 0 0 0 1
X4
X5
-1/4 Z-31/4 1/4 1/2 11/4 1/2
所在行的基变量出基 则取br
4、以ari0 为主元素进行换基迭代 ，得一新的单纯形表， 转2
例：用对偶单纯形法 求解下列问题 max Z 2 x1 x 2 x1 x 2 x3 5 2x x 5 11 9 2 3 最优解 X （ ，） s.t 4 4 4 x 6 x 9 2 3 31 x1 , x 2 ,Z x3 0 最优值
-1/2 0 -1/2 0 -2 3/2 1 0
X2
-1/4 9/4
11 9 1 最优解 X （ ，， 0， ， 0 ） 4 4 2 初始基 B （P ） 1，P 4，P 5 31 最优值 Z 不是典则形式 4
注意：对偶单纯形法仅限于初始基B对应 可用对偶单 的典则形式中目标函数的系数（检 纯形法 验数）均≤0的情形。 B的典则形式
对偶单纯形法是求解对偶规划的一种方法 × 对偶单纯形法：利用对偶理论得到的一个 求解线性规划问题的方法
单纯形法（原始单纯形法）的两个条件：

对偶单纯形法的条件

对偶单纯形法的条件

对偶单纯形法的条件对偶单纯形法是线性规划中一种重要的求解方法，主要用于解决线性规划问题的对偶问题。

它通过对原问题进行转化和运算，求解出对偶问题的最优解，从而得到原问题的最优解。

对偶单纯形法是基于单纯形法的扩展，具有更广泛的适用性和更高效的求解效果。

对于使用对偶单纯形法求解线性规划问题，需要满足以下条件：1. 原问题必须是标准形式的线性规划问题：目标函数为最小化形式，约束条件为等式形式，并且所有变量的取值范围为非负数。

2. 原问题必须存在可行基本解：可行基本解是指满足所有约束条件的解，可以通过单纯形法或其他方法求得。

3. 原问题的最优解必须有限：即原问题存在最优解，不是无界的。

在满足以上条件的基础上，使用对偶单纯形法求解线性规划问题的步骤如下：步骤一：建立对偶问题根据原问题的约束条件和目标函数，建立对偶问题的目标函数和约束条件。

对偶问题的目标函数为原问题的约束条件的系数构成的向量与对偶变量的乘积之和，约束条件为原问题的目标函数的系数构成的向量与对偶变量之和等于对偶约束条件的系数构成的向量。

步骤二：初始化给定初始对偶变量的取值，通常取为0，然后计算初始对偶解。

步骤三：判断最优性根据当前对偶解，判断原问题的最优性。

如果原问题的最优性条件满足，则停止计算，得到最优解；否则，进行下一步。

步骤四：选择换入变量根据当前对偶解，选择换入变量。

具体方法是在对偶约束条件中，选择不满足约束条件且对偶变量目标函数系数最小的变量作为换入变量。

步骤五：选择换出变量根据换入变量，选择换出变量。

具体方法是在换入变量所对应的约束条件中，选择满足约束条件且使对偶解最小的变量作为换出变量。

步骤六：更新对偶解根据换入、换出变量，更新对偶解。

具体方法是用换入变量替换对应的换出变量，计算新的对偶解。

重复步骤三到六，直到原问题的最优性条件满足为止。

最终得到原问题的最优解和对偶问题的最优解。

对偶单纯形法的优点在于它能够通过解决对偶问题来求解原问题，从而减少了计算量，提高了求解效率。

3.6对偶单纯形法

3.6对偶单纯形法
运筹学
( Operations Research )
Байду номын сангаас
( Duality Theory )
Page 2
§3.6 对偶单纯形法
§3.6 对偶单纯形法
原问题的变量 原问 题最 优表 XB b 原问题的松弛变量
Page 3
x1 0
1 0 0
x2 0
0 1 0
x3 1
0 0 0
x4 5/4
1/4 -1/4 －1/4
§3.6 对偶单纯形法
Page 18
(3)当变量多于约束条件的LP问题用对偶单纯形法计算可以
减少计算工作量，因此对变量较少而约束条件很多的LP问题，
可先将它变换成对偶问题，然后用对偶单纯形法求解。
bi m in a ik 0 i a ik
j m in | a lj 0 j a lj
1
-1 0 -3
1/9
0 -2/9 -7/3
原问题的最优解为：X*=（2 , 2 , 2 , 0 , 0 , 0），Z* =72 其对偶问题的最优解为：Y*= （1/3 , 3 , 7/3），W*= 72
§3.6 对偶单纯形法
应注意的问题：
Page 17
(1)单纯形法换基顺序：先确定进基变量后确定出基变量； 对偶单纯形法换基顺序：先确定出基变量后确定进基变量。 (2) 初始解可以是非可行解，但初始表中一定要满足对 偶问题可行 ( 即检验数都为负数 ) ， 就可以进行基变换，不 需要加入人工变量，因此对偶单纯形法可以简化计算。
cj-zj
x4 x1 x5
½ 3/2 1/2 -3/2
0 1 0 0
-1 -1 -5 -15 0 0 1 0

对偶单纯形法

对偶单纯形法

x 1 , x 2 , , x n x

是原问题 LP 的可行解，并且当扩充问题的最优
就是原问题 LP 的最优解． 值与大 M 无关时， x
以上通过构造扩充问题运用对偶单纯形法求解 LP 的做法与 单纯形法中的大 M 法相似。
例 3.3.2
用对偶单纯形法求解下列线性规划问题：
x j 0, j 1, 2, , 6
把扩充问题的数据列入表 3-7 中，并计算各检验数 j ．

2
2
0
0
0
0
基
b
8
x1
1
x2
4
x3
1
x4
1
x5
0
1
x6
0 0
1
x4 x5 x6
6
M
1
2
2
0
0
1
2
1
2
1
0 0
0 0
j
0
0
因 1 2 ，故此时的基本解还不是对偶可行的．选择 x1 为换入变量， x6 为换出 变量，即以 a31 1 为主元素进行变换，得到表 3.8．
j j
am1, j am1,k
k
其中 j 是变换后在新基下的检验数． 当 j n 1 时，am1, j 1 ， 而 am1,k 1 ， 故有 j j k 0 ；而当 j n 1 时， j 0, am1, j 0 ，故有 j 0 ．
min z 2 x1 2 x2 s.t. x1 4 x2 x3 8 x1 2 x2 2 x3 6 x1 , x2 , x3 0
解 式：
引入剩余变量 x4 和松弛变量 x5 ，把问题化为标准形

对偶单纯形法(经典运筹学)

对偶单纯形法(经典运筹学)
基本解 X 0， 0， 3 ， 6， 3
X1 X2 X3 X4 X5 检 X3 -2 -1 0 -3 -1 1 0 0 0 0 Z -3
X4
X5
-4 -3 0
1 2 0
1
0
0
1
-6
3
不 可 行
即max Z 2 x1 x2
3 3x1 x 2 x3 4 x 3x x4 6 1 2 s.t x5 3 x1 2 x 2 x1 , x 2 , x3 , x 4 , x5 0
-1/3 0 -1/3 0 2/3 1
X 3 X4 X5 0 -3/5 -2/5 Z+12/5 1 -1 -1 0
X2 0 X1 1
1 0
0 0
1/5 4/5 6/5 -2/5 -3/5 3/5
3 6 最优解X （ ，， 0， 0， 0 ） 5 5 最优值Z 12 5
则取xi0 为入基变量
1
1
令X N 0 得X B B b 0 得基本可行解 X 1 B b,0
1
1

1 、若所有的检验数 CN B 1 N 0 , 则X 1为最优解
2、检验数 C N C B B 1 N中存在一个分量 0, 且该分量对应的列 向量中所有的分量 0, 则目标函数值在可行解 域内无上界
1、确定出基变量： 设br =min{bi | bi <0} 则取br所在行的基变量 为出基变量 即取X4为出基变量 2、确定入基变量： 原则： 保持检验行系数≤0
i i0 设 min | a ri 0 a ri a ri 0
1 21 3
X1 检 -2/3 X3 -5/3 X2 4/3 X5 -5/3 X1 检 0 X3 0 X3 X4 0 -1/3 1 0 0

运筹学对偶单纯形法

运筹学对偶单纯形法
本节内容安排
对偶单纯形法的求解思路
对偶单纯形法的求解步骤
一 对偶单纯形法的求解思路
（一） 什么是对偶单纯形法
对偶单纯形法是根据对偶原理和单纯形法的 原理而设计出来求解 原LP的一种方法。 采用的技术是在原问题的单纯形表格上进行 对偶处理。 注意: 对偶单纯形法不是求解对偶问题的单纯 形法。
-1 x1 (-2) 1 -1 1 0 0
-1 x2 1 -1/2 -1 -1/2 0 -3/2
0 x3 1 0 0 -1/2 1/2 -1/2
0 x4 0 1 0 0 1 0
从最后的表可以看到，B-1b列元素中有-2<0， 并且，-2所在行各元素皆非负， 因此，原问题没有可行解。
对偶单纯形法的特点： 原问题可以从非可行解开始（即初始解可 以是非可行解）， 在构造初始单位阵时,不需要加人工变量，简 化计算． 变量多，约束条件少的问题,在迭代过程中 计算工作量小, 因此,可以把变量少，约束条件多的LP问题 转化成变量多，约束条件少的对偶问题,再 用对偶单纯形法求解. 灵敏度分析和整数规划常借助于对偶单纯 形法分析.使问题处理简单.
（三） 对偶单纯形法
单纯形法中原问题的最优解满足的条件: （ 1）是基本解； （ 2）可行解（XB =B-1 b≥0); （3) 检验数C－CBB-1A0 ， -CB B-1≤0 即YA C， Y0 即对偶解可行 1 对偶单纯形法求解思路： 换个角度考虑LP求解过程 从满足 （1）（3）的一个非可行基解（检验数行保 持≤0）出发，（此时对偶问题的解一般为可行解）， 通过逐步迭代直至（2）得到满足， 即直到实现到b列所有的值≥0， 原问题的解在迭代过程中 从非可行解变成可行解， 最终达到最优解， 此时，对偶问题也达到最优解。

第二节 对偶单纯形法

第二节 对偶单纯形法
1
二、对偶单纯形法求解原规划的主要步骤
1.建立初始对偶单纯形表 对应一个基本解, 1.建立初始对偶单纯形表,对应一个基本解,所 建立初始对偶单纯形表, 有检验数均非正, 有检验数均非正,转2； 2.若 ≥0,则得到最优解 停止;否则,若有b 2.若bi≥0,则得到最优解,停止;否则,若有bi<0 则得到最优解, 行的基变量为出基变量，并计算： 则选i行的基变量为出基变量，并计算： θ=min{σj/alj∣alj<0}=σk/σlk =min{σ <0}= }=σ 确定x 为进基变量。若有多个b <0， 确定xk为进基变量。若有多个bi<0，则选择最 小的进行分析。 小的进行分析。 3.以 为中心元素， 3.以alk为中心元素，按照与单纯形法类似的方 在表中进行迭代计算，返回第(2) (2)步 法，在表中进行迭代计算，返回第(2)步。
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下面用对偶单纯形法求解： 下面用对偶单纯形法求解：
CB 0 0 0 -z 0 -2 0 比值 x3 x2 x5 -z -3 -2 0 -z 比值 x1 x2 x5 XB x3 x4 x5 b -3 -6 23 -4 -1 -3 -2 x2 -1 [-3] [-3 -2 0 x3 1 0 0 0 --1 0 0 0 ---3/5 4/5 9/5 -1/5 0 x4 0 1 0 0 ---1/3 -1/3 -1 -2/3 2 1/5 -3/5 - 8/5 -3/5 0 x5 0 0 1 0 --0 0 1 0 --0 0 1 0
三、对偶单纯形法的适用范围
适合于解如下形式的线性规划问题
在引入松弛变量化为标准型之后， 在引入松弛变量化为标准型之后，约束等式两侧 同乘同乘-1，能够立即得到检验数全部非正的原规划基本 可以直接建立初始对偶单纯形表进行求解， 解，可以直接建立初始对偶单纯形表进行求解，非常 方便。 方便。
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max z 2 x1 3 x2 4 x3 0 x4 0 x5 x1 2 x2 x3 x4 1 2 x1 x2 3 x3 x5 4 x 0( j 1, 2 , 3 , 4 , 5 ) j
§3.6 对偶单纯形法
基变量出基，不影响计算结果，只是迭代次数可能不一样。
§3.6 对偶单纯形法
• 利用对偶单纯形法求解以下线性规划问题：
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max z x1 3 x2 2 x1 x2 x3 3 4 3 x1 2 x2 s.t . 1 x1 2 x2 x1 , x2 , x3 0
cj zj c k zk min alj 0 j a alk lj
§3.6 对偶单纯形法
Page 12
按θ规则所对应的列的非基变量xk为换入变量，这样才能保持 得到的对偶问题解仍为可行解。 Step4 以αlk为主元素，按原单纯形法在表中进行迭代运算，得 到新的计算表。 重复步骤Step1-4。
x5
0 0 1 0

j
cj-zj
-2 -3 -1 -1 1/3 x3 -1/3 0 x1 4/3 1 x5 1/3 0 0
0 0 1 0
0 0 1 0
此时所有的 B-1b均≥0 ， 且所有的cjzj均≤0，此 时已得到最 优解为：
X*=(3/2,0,0, 1/2,1/2)T Z*=-3/2

j
0 -1 0

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对偶单纯形法原理
对偶单纯形法是求解线性规划的另一个基本方法。它
是根据对偶原理和单纯形法原理而设计出来的。

注意：对偶单纯形法是一种求解线性规划的方法，而不
是去求对偶问题的单纯形法。
§3.6 对偶单纯形法

Page 8
对偶单纯形法的思路： 以保持对偶问题可行为条件，即不论进行何种基
变换，必须保持所有的检验数非正，同时取消原问题必
§3.6 对偶单纯形法
Page 19
(3)当变量多于约束条件的LP问题用对偶单纯形法计算可以
减少计算工作量，因此对变量较少而约束条件很多的LP问题，
可先将它变换成对偶问题，然后用对偶单纯形法求解。 (4)单纯形法的最小比值是min bi aik 0 i aik 其目的是保证下一个原问题的基本解可行。
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解:（1）将模型化为下列形式，因为对偶问题可行，即全部 检验数≤0（求max问题）。
max Z 9 x1 12 x2 15 x3 10 2 x1 2 x2 x3 x4 2 x 3 x x x5 12 1 2 3 x6 14 x1 x2 5 x3 x1 , , x6 0
§3.6 对偶单纯形法
cj XB x4 x5 x6 -9 x1 -2 -2 -1 -9 -12 x2 -2 -3 -1 -12 -15 x3 -1 -1 -5 -15 0 x4 1 0 0 0 0 x5 0 1 0 0 0 x6 0 0 1 0
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CB 0 0 0
b -10 -12 -14
22
CB XB b x3 -3 0 0 x4 -4 0 x5 -1 cj-zj
0 -1 0
x1
x2
-1 -2 -2 -3 3/2 1/3 2/3 -4/3 -7/3 -1/2 ½ -3/2 -5/2
x3
1 0 0 0 1 0 0 0 -3/2 -1/2 -1/2 -1/2
x4
0 1 0 0 -2/3 -1/3 -1/3 -1/3 1/2 1 0 0 0
应注意的问题：
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(1)单纯形法换基顺序：先确定进基变量后确定出基变量； 对偶单纯形法换基顺序：先确定出基变量后确定进基变量。 (2) 初始解可以是非可行解，但初始表中一定要满足对 偶问题可行 ( 即检验数都为负数 ) ， 就可以进行基变换，不 需要加入人工变量，因此对偶单纯形法可以简化计算。
对偶 问题 最优 表
XB
y2 y3
j
b
1/4 1/2
对偶问题的变量 y1 -4/5 15/2 15/2 y2 1 0 0 y3 0 1 0
§3.6 对偶单纯形法
Page 5
由原问题和对偶问题的解之间关系：b列元素是原问题的 基可行解，而检验数行是对偶问题的基解。单纯形法迭代到 对偶问题的解也是可行解（检验数非正）时，则对偶理论知 原问题和对偶问题此时都达到最优解。 单纯形法的求解过程是：在保持原问题可行(b列数字保 持≥０）的前提下，通过逐步迭代实现对偶问题可行（检验 数行≤０）。
-9/7 23/7 15/7
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-9 x1
-9/14 9/14 1/14 -3/14
-12 x2 0 1 0 0 0 1
-15 x3 0 0 1 0 0 0
0 x4 1 0 -5/14 1/14
0 x6
-1/14 1/14 -3/14
60/3 10/1 20/1
须可行（常数列的非负限制）的要求，通过基变换使原 问题在非可行解的基础上逐步转换成基本可行解，一旦
原问题的基本解可行，则该基本可行解也就是最优解。
§3.6 对偶单纯形法
找出一个DP的可行基
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LP是否可行 （XB ≥0） 循 环 否
是
最优解
结束
保持DP为可行解情况下转移到LP 的另一个基本解
§3.6 对偶单纯形法


Page 10
单纯形法和对偶单纯形法的思路不同：
单纯形法
在保持原问题可行解的前提下，通过基变换使对偶问题在非可 行解的基础上向可行解的方向迭代。

对偶单纯形法
在保持对偶问题可行解的前提下，通过基变换使原问题在非可 行解基础上向可行解的方向迭代。 单纯形法 保持 最优准则 B-1b ≥0 cj-zj≤0 对偶单纯形法 c j- z j≤ 0 B-1b ≥0
§3.6 对偶单纯形法
例3.8 用对偶单纯形法求解： min w 2 x1 3 x2 4 x3
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x1 2 x2 x3 1 2 x1 x2 3 x3 4 x 0( j 1, 2 , 3 ) j
解:（1）将模型化为下列形式，因为对偶问题可行，即全部 检验数≤0（求max问题）。
解法
cj
-1 -3 0 0 0
max z x1 3 x2 0 x4 0 x5 2 x1 x2 x3 Page 3 3 x1 2 x2 x4 4 s.t. x1 2 x2 x5 1 0, ( j 1,2,3,4,5) x j
-45/14 -33/14
2 2
1 0
1 -1
1/9
0
-2/9
-7/3
-15
x3
2
0 0
0 0
1 0
1/9
-1/3
0 -3
原问题的最优解为：X*=（2 , 2 , 2 , 0 , 0 , 0），Z* =72
其对偶问题的最优解为：Y*= （1/3 , 3 , 7/3），W*= 72
§3.6 对偶单纯形法
b -1 -4
-2/-2 -4/-3
最优解：x1* = 2，x2* = 0，x3* = 0，x4* = 1，x5* = 0 目标值：w* = -z* = 4
§3.6 对偶单纯形法
例3.9 用对偶单纯形法求解：
min Z 9 x1 12x 2 15x 3 2 x1 2 x 2 x 3 10 2 x1 3 x 2 x 3 12 x1 x 2 5 x 3 14 x j 0( j 1.2.3)
§3.6 对偶单纯形法
3.6.2 对偶单纯形法的计算步骤
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Step1 列出初始单纯形表。 若b列的数都非负，检验数都非正，则已得最优解，停止 计算。若b列的数至少有一个负分量，检验数保持非正，则 转入下一步。 Step2 确定换出变量。按min｛(B-1b)i｜(B-1b)i＜0}＝(B-1b)l对应 的基变量xl为换出变量。 Step3 确定换入变量。检查xl所在行的系数。 若所有系数都非负，则无可行解，停止计算。 若存在某个系数小于零, 计算
cj XB x4 x5 x4 x1 -2 x1 -1 -2 -2 0 -2 1 2 0 1 0 -3 x2 -2 1 -3 -5/2 -1/2 -4 -4 x3 -1 -3 -4 1/2 3/2 -1 0 x4 1 0 0 1 0 0 0 x5 0 1 0 -1/2 -1/2 -1
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CB 0 0
cj-zj
x4 x1 x5
½ 3/2 1/2 -3/2
0 1 0 0
小结
学习要点：
Page 23
1.对偶单纯形法
The end,thank you!
Page 3
§3.6 对偶单纯形法
§3.6 对偶单纯形法
原问 题最 优表
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XB x3
b 15/2
原问题的变量
x1 0 x2 0
原问题的松弛变量
x3 1 x4 5/4 x5 -15/2
x1 x2
7/2 3/2
j
1 0 0
0 1 0
0 0 0
1/4 -1/4
-1/2 3/2
－1/4 －1/2 对偶问题的剩余变量 y4 -1/4 1/2 7/2 y5 1/4 -3/2 3/2
-9/-1 -12/-1 -15/-5
0 0 -15
x4 x5 x3
-36/5 -9/5 -9/5 -46/5 -9/5 -14/5 14/5 1/5 1/5 -6 -9