经典三角形和四边形综合练习(附详细答案)

1、（本题满分8分）已知四边形ABCD 是边长为2的菱形，∠BAD ＝600，对角线AC 与BD 交于点O ，过点O 的直线EF 交AD 于点E ，交BC 于点F 。

（1）求证：△AOE ≌△COF(2）若∠E0D ＝300，求CE 的长.2．（本题满分8分）如图，在△ABC 中，∠C=90°，BC=5米，AC=12米。

M 点在线段CA 上，从C 向A 运动，速度为1米/秒;同时N 点在线段AB 上，从A 向B 运动,速度为2米/秒.运动时间为t 秒.（1）、求AB 的长(2）、当t 为何值时,∠AMN=∠ANM ?3．如图，已知平行四边形ABCD ,DE 是ADC ∠的角平分线，交BC 于点E ． (1)求证：CD CE =；(2）若BE CE =,80B ∠=︒,求DAE ∠的度数．4．（本题满分8分)如图，矩形ABCD 中，点P 是线段AD 上一动点,O 为BD 的中点， PO 的延长线交BC 于Q 。

（1）求证：OP OQ =;OFEDQ P ODCBAEDCBA(2）若8AD =厘米，6AB =厘米,P 从点A 出发，以1厘米/秒的速度向D 运动（不与D 重合)。

设点P 运动时间为t 秒，请用t 表示PD 的长； 并求t 为何值时，四边形PBQD 是菱形．5．(本题满分6分)如图，在ABC ∆中，90C ∠=︒，点D 、E 分别在AC 、AB 上，BD 平分ABC ∠，DE AB ⊥,AE=3，CD=4. 求（1）求AD 的长；(2）求BC 的长.6．（本题满分10分）如图，在Rt OAB ∆中，90OAB ∠=︒,6OA AB ==,将OAB ∆绕点O 沿逆时针方向旋转90︒得到11OA B ∆．（1)线段1OA 的长是 ,1AOB ∠的度数是 ;（2)连结1AA ,求证:四边形11OAA B 是平行四边形；(3）求四边形11OAA B 的面积．7．(本题满分6分)如图，B C E ，，是同一直线上的三个点，四边形ABCD 与四边形CEFG 都是正方形，连结BG DE ，． （1）观察图形，猜想BG 与DE 之间的大小关系,并证明你的结论; （2）若延长BG 交DE 于点H ，求证：BH DE ⊥．8.Rt △ABC 与Rt △FED 是两块全等的含30o、60o角的三角板，按如图（一）所示拼在一起，CB 与DE 重合．(1）求证:四边形ABFC 为平行四边形；（2）取BC 中点O ,将△ABC 绕点O 顺时钟方向旋转到如图（二）中△C B A '''位置，直线C B ''与AB 、CF 分别相交于P 、Q 两点，猜想OQ 、OP 长度的大小关系，并证明你的猜想．（3）在（2)的条件下,指出当旋转角至少为多少度时,四边形PCQB 为菱形，并说明理由。

二认识三角形和四边形1 图形分类重点导学知识点：对已经学过的一些图形进行整理分类，了解这些图形的类别特征。

例题：给下面的图形分类。

点拨：进行图形分类的时候，我们既可以按照图形是否是平面图形来分，也可以按照图形是否由线段围成来分，还可以按照围成图形的边数来分。

【轻松通关】一、把下面的图形进行分类。

（填序号）1.平面图形有（）。

2.立体图形有（）。

3.由四条边围由成的图形有（）。

4.由三条边围成的图形有（）。

二、精挑细选。

（将正确答案的序号填在括号里）1.四边形具有（）的特性，三角形具有（）的特性。

A.稳定B.容易变形2.下面的图形中，“最坚固”的图形是（）。

A.长方形B.正方形C.三角形D.梯形三、想一想，连一连。

【能力晋级】四、在下面的图形中任意画一条线段，使原来的图形变成两个三角形。

五、解决问题。

1.电线杆上的支架为什么要做成三角形？2.学校的伸缩门为什么要做成平行四边形？参考答案一、1.①③⑤⑥⑦⑨⑩ 2. ②④⑧ 3.①③⑥⑨⑩ 4.⑦二、1.BA 2.C三、四、略。

五、1. 因为三角形很稳定。

2.因为平行四边形容易变形，有伸缩性。

二认识三角形和四边形2 三角形分类重点导学知识点：会对三角形进行分类，并在分类中感受各类三角形之间的关系。

例题：把下面的图形进行分类。

（填序号）点拨：分类的时候，需要熟练掌握直角三角形、锐角三角形、钝角三角形、等腰三角形和等边三角形的特点。

【轻松通关】一、想一想，填一填。

1.三角形有（）个角，（）条边。

2.三角形按边分类可分为（）三角形、（）三角形、（）三角形。

3.三角形按角分类可分为（）三角形、（）三角形、（）三角形。

4.等边三角形又叫（）三角形，它的三条边都（），三个角也（），每个角都是（）度。

二、判断是非。

（对的画“√”，错的画“×”）1.由三条直线围成的图形叫做三角形。

（）2.所有的等腰三角形都是锐角三角形。

（）3.等腰三角形都是等边三角形。

（）4.所有等边三角形都是等腰三角形而且都是锐角三角形。

小学综合算式专项测题三角形与四边形运算训练在小学数学学习中，综合算式是一个重要的知识点。

掌握了综合算式的运算技巧，可以帮助学生更好地应用数学知识解决问题。

本文将以三角形与四边形的运算为例，训练小学生综合算式的能力。

1. 三角形的运算三角形是一个具有三个边和三个角的图形。

在计算三角形的面积、周长和角度等问题时，我们需要灵活运用综合算式。

例题1：已知一个三角形的底边长为12cm，高为8cm，求其面积。

解析：三角形的面积可以通过底乘以高再除以2来计算。

根据题目，我们可以将算式表示为：面积 = 12 * 8 / 2 = 48 平方厘米。

例题2：一个直角三角形的两条直角边分别为3cm和4cm，求其斜边的长度。

解析：根据勾股定理，直角三角形的斜边长度可以通过两条直角边的平方和的平方根来计算。

根据题目，我们可以将算式表示为：斜边=√(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5 厘米。

2. 四边形的运算四边形是一个具有四个边和四个角的图形。

在计算四边形的周长、面积和边长等问题时，我们同样需要灵活应用综合算式。

例题3：一个正方形的边长为10cm，求其周长和面积。

解析：正方形的周长可以通过将边长乘以4来计算，面积可以通过将边长的平方来计算。

根据题目，我们可以得出：周长 = 10 * 4 = 40 厘米，面积 = 10² = 100 平方厘米。

例题4：一个长方形的长为6cm，宽为4cm，求其周长和面积。

解析：长方形的周长可以通过将长和宽分别乘以2再相加来计算，面积可以通过将长乘以宽来计算。

根据题目，我们可以得出：周长 = (6 + 4) * 2 = 20 厘米，面积 = 6 * 4 = 24 平方厘米。

综合算式在解决三角形和四边形问题时起着重要的作用。

通过练习和理解这些基本的运算规则，学生可以培养逻辑思维和分析问题的能力，提高数学解题的水平。

除了以上的例题，还可以在教学中引入更多的练习题目，让学生通过实际操作来巩固和应用所学知识。

三角形与四边形的综合题知识梳理教学重、难点作业完成情况典题探究1．用两个全等的直角三角形拼下列图形：①矩形；②菱形；③正方形；④平行四边形；⑤等腰三角形；⑥等腰梯形．其中一定能拼成的图形是（）．（A）①②③（B）①④⑤（C）①②⑤（D）②⑤⑥2．把“直角三角形、等腰三角形、•等腰直角三角形”填入下列相应的空格上：（1）正方形可以由两个能够完全重合的_________拼合而成；（2）菱形可以由两个能够完全重合的_________拼合而成；（3）矩形可以由两个能够完全重合的________拼合而成．3．一张矩形纸片按如图甲或乙所示对折，然后沿着图丙中的虚线剪下，得到①，•②两部分，将①展开后得到的平面图形是（ ）．（A ）三角形 （B ）矩形 （C ）菱形 （D ）梯形4．小许拿了一张正方形的纸片如图甲，沿虚线对折一次得图乙．•再对折一次得图丙．然后用剪刀沿图丙中的虚线（虚线与底边平行）剪去一个角．打开后的形状是（• ）．演练方阵A 档（巩固专练）1.用一把刻度尺来判定一个零件是矩形的方法是 .2．如果边长分别为4cm 和5cm 的矩形与一个正方形的面积相等，那么这个正方形的边长为______cm ．3．如图，正方形ABCD 的边长为4cm ，则图中阴影部分的面积为 cm 2．4．如图1，DE∥BC，DF∥AC，EF∥AB，图中共有_______个平行四边形． 5若四边形ABCD 是平行四边形，请补充条件A BCD(写一个即可)，使四边形ABCD 是菱形．6．，在平行四边形ABCD 中，已知对角线AC 和BD 相交于点O ，△ABO 的周长为17，AB ＝6，那么对角线AC ＋BD ＝⒎以正方形ABCD 的边BC 为边做等边△BCE，则∠AED 的度数为 . 8．延长正方形ABCD 的边AB 到E ，使BE ＝AC ，则∠E＝ °9．已知菱形ABCD 的边长为6，∠A＝60°，如果点P 是菱形内一点，且PB ＝PD ＝2那么AP 的长为 ．10．在平面直角坐标系中，点A 、B 、C 的坐标分别是A(－2，5)， B(－3，－1)，C(1，－1)，在第一象限内找一点D ，使四边形 ABCD 是平行四边形，那么点D 的坐标是 ．B 档（提升精练）1如图1，在四边形ABCD 中，AB CD =，E F 、分别是BC AD 、的中点，连结EF 并延长，分别与BA CD 、的延长线交于点M N 、，则BME CNE ∠=∠（不需证明）． （温馨提示：在图1中，连结BD ，取BD 的中点H ，连结HE HF 、，根据三角形中位线定理，证明HE HF =，从而12∠=∠，再利用平行线性质，可证得BME CNE ∠=∠．） 问题一：如图2，在四边形ADBC 中，AB 与CD 相交于点O ，AB CD =，E F 、分别是BC AD 、的中点，连结EF ，分别交DC AB 、于点M N 、，判断OMN △的形状，请直接写出结论．问题二：如图3，在ABC △中，AC AB >，D 点在AC 上，AB CD =，E F 、分别是BC AD 、的中点，连结EF 并延长，与BA 的延长线交于点G ，若60EFC ∠=°，连结GD ，判断AGD △的形状并证明．AC DFE NM O BC DH A F NM 1 2 图1图2 图3ABDF GE2已知Rt ABC △中，90AC BC C D ==︒，∠，为AB 边的中点，90EDF ∠=°，EDF ∠绕D 点旋转，它的两边分别交AC 、CB （或它们的延长线）于E 、F ． 当EDF ∠绕D 点旋转到DE AC ⊥于E 时（如图1），易证12DEFCEF ABC S S S +=△△△．当EDF ∠绕D 点旋转到DE AC 和不垂直时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，DEF S △、CEF S △、ABC S △又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．3已知：ABC △的高AD 所在直线与高BE 所在直线相交于点F ．（1）如图l ，若ABC △为锐角三角形，且45ABC ∠=°，过点F 作FG BC ∥，交直线AB 于点G ，求证：FG DC AD +=；（2）如图 2，若135ABC ∠=°，过点F 作FG BC ∥，交直线AB 于点G ，则FG 、DC 、AD 之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．AE CF BD图1图3ADFECBADBCE 图2FAE CDG BF（图1）AE CB DFG（图2）4已知：正方形ABCD 中，45MAN ∠=，MAN ∠绕点A 顺时针旋转，它的两边分别交CB DC ，（或它们的延长线）于点M N ，．当MAN ∠绕点A 旋转到BM DN =时（如图1），易证BM DN MN +=． （1）当MAN ∠绕点A 旋转到BM DN ≠时（如图2），线段BM DN ，和MN 之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明．（2）当MAN ∠绕点A 旋转到如图3的位置时，线段BM DN ，和MN 之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想．5已知：如图，BD 、CE 分别是△ABC 的外角平分线，过点A 作AF ⊥BD ，AG ⊥CE ，垂足分别为F 、G ，连结FG ，延长AF 、AG 与直线BC 相交，易证：)(21AC BC AB FG ++=，若： （1）BD 、CE 分别是△ABC 的内角平分线（如图2）；（2）BD 为△ABC 的内角平分线，CE 为△ABC 的外角平分线（如图3），则在图2、图3两种情况下，线段FG 与△ABC 三边又有怎样的数量关系？请写出你的猜测，并对其中的一种情况进行证明。

2021年重庆年中考26题三角形四边形几何综合专题练习（12月中旬期中集合）1（巴蜀2021级初三上期中测试）已知等腰直角△ABC 中，90BAC ∠=,AB=AC ，以点A 为顶点作等腰直角△ADE ，期中AD=AE ，（1）如图1，点E 在BA 的延长线上，连接BD ，若30DBC ∠=，若AB=6，求BD 的值；（2）将等腰直角△ADE 绕点A 顺时针旋转至图2，连接BE ，CE ，过点D 作DF ⊥CE 交CE 的延长线于F ，交BE 于M ，求证：12BM BE =； （3）如图3，等腰直角△ADE 的边长和位置发生变化的过程中，DE 边始终经过BC 的中点G ，连接BE ，N 为BE 中点，连接AN ，当B=6且AN 最长时，连接NG 并延长交AC 于点K ，请直接写出△ANK 的面积.2（南开2021级初三上期中测试）在△ABC中，AD⊥BC与点D，∠C=45，将线段AB绕点A逆时针旋转90得到AE，连接BE。

（1）如图1，过点E作EF⊥AD于点F，已知BD=5,DF=7，求BE的长；（2）如图2，M为线段BE上一点，且满足BAM CBE∠=∠，过E作EG⊥AM于点H，交AB于点G，过M作MN//AC交AB于点N，求证：AG=BN；（3）在第（2）问得条件下，若1tan3BAM∠=，请直接写出BMMN的值。

3（八中2021级九上定时训练八）如图，在△ABC 中，AC=BC ，∠ACB=90，点D 是AB 上一点，连接CD ，以CD 为边作等边△CDE 。

（1）如图1，若45CDB ∠=,AB=CDE 的面积；（2）如图2，点D 在AB 边上移动过程中，连接BE ，取BE 的中点F ，连接CF 、DF ，求证：CF DF ⊥;（3）如图3，在（2）的条件下，将△CFD 沿CF 翻折得'CFD ,连接'BD ,直接写出'BD AB的最小值.4（八中2021级初三上定时训练十）如图，在等边时那叫ABC中，延长AB至点D，延长AC交BD得中垂线于点E，连接BE，DE.（1）如图1，若DE=30，BC=2，求CE的长；（2）如图2，连接CD交BE于点M，在CE上取一点F，连接DF交BE于点N，且DF=CD，求证：12AB EF=;（3）在（2）的条件下，若∠AED=45，则线段BD，EF，ED存在等量关系为：DE mEF nBD=+,（m，n为常数且m>0,n>0），直接写出m，n的值.5（八中2021级初三上定时训练十一）如图1，△ABC为等边三角形，D为AG右侧一点，且AD=AC，连接BD 交AC于点E，延长DA、CB交于点F.（1）若∠BAF=30，AF AD；（2）证明：CF=AF+AE；（3）如图2，若AB=2，G为BC中点，连接AG，M为AG上一动点，连接CM，将CM绕着M点逆时针旋转90到MN，连接AN，CN，当AN最小时，直接写出△AMN的面积.6（八中2021级初三上期中测试）△ABC 为等边三角形，将线段CA 绕点C 顺时针旋转60°得到线段CD ，连接BD（1）如图1，BE 平分∠ABD ，CE ⊥BC ，CE 与BD 交于点F ，AB =6，求BEF S ∆；（2）如图2，连接AD ，点M ，点N 分别是线段AC ，CD 上两动点，且满足AM =CN ，连接DM 、AN ，线段DM 、AN 交于点P ，连接PB ．求证：2223PA PD PB =-；（3）如图2，若AB =6，AM =CN =AC 31，直接写出AP 的长．。

解答题（共60分）21．(本题6分)（’09肇庆）如图 ，ABCD 是菱形，对角线AC 与BD 相交于O ，306ACD BD ∠==°，． （1）求证：△ABD 是正三角形； （2）求 AC 的长（结果可保留根号）．22. (本题6分)（09年宜宾）已知：如图，四边形ABCD 是菱形，过AB 的中点E 作AC 的垂线EF ，交AD 于点M ，交CD 的延长线于点F . （1）求证：AM =DM ；（2）若DF =2，求菱形ABCD 的周长．23．(本题6分)（09襄樊市）如图所示，在Rt ABC △中，90ABC =︒∠．将Rt ABC △绕点C 顺时针方向旋转60︒得到DEC △，点E 在AC 上，再将Rt ABC △沿着AB 所在直线翻转180︒得到ABF △．连接AD ． （1）求证：四边形AFCD 是菱形；（2）连接BE 并延长交AD 于G ，连接CG ，请问：四边形ABCG 是什么特殊平行四边形？为什么？24．(本题6分) (09年湖州)如图：已知在ABC △中，AB AC =，D 为BC 边的中点，过点D 作DE AB DF AC ⊥，⊥，垂足分别为E F ，. （1） 求证：BED CFD △≌△；（2）若90A ∠=°，求证：四边形DFAE 是正方形.O DCA第23题图 ADFCE GB第24题图DCB EAFBACDFM 第22题图 E25．(本题8分)（09年杭州市）如图，在等腰梯形ABCD 中，∠C =60°，AD ∥BC ，且AD =DC ，E 、F 分别在AD 、DC 的延长线上，且DE =CF ，AF 、BE 交于点P ． （1）求证：AF =BE ；（2）请你猜测∠BPF 的度数，并证明你的结论．26．(本题8分)（09年益阳市）如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，BD ⊥AD ，BC =CD ，∠A =60°，CD =2cm .(1)求∠CBD 的度数；(2)求下底AB 的长.27．(本题10分) 如图，ABM ∠为直角，点C 为线段BA 的中点，点D 是射线BM 上的一个动点（不与点B 重合），连结AD ，作BE AD ⊥，垂足为E ，连结CE ，过点E 作EF CE ⊥，交BD 于F ．（1）求证：BF FD =；（2）A ∠在什么范围内变化时，四边形ACFE 是梯形，并说明理由； （3）A ∠在什么范围内变化时，线段DE 上存在点G ，满足条件14DG DA =，并说明理由．28．(本题10分)（’09临沂）数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形ABCD 是正方形，点E 是边BC 的中点．90AEF ∠=，且EF 交正方形外角DCG ∠的平行线CF 于点F ，求证：AE =EF ．经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB 的中点M ，连接ME ，则AM =EC ，易证AME ECF △≌△，所以AE EF =． 在此基础上，同学们作了进一步的研究：（1）小颖提出：如图2，如果把“点E 是边BC 的中点”改为“点E 是边BC 上（除B ，C 外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE =EF ”仍然成立，你认为小颖的观点正DEF PBA第25题图CABC第26题图D60°ABCD FEM确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；（2）小华提出：如图3，点E 是BC 的延长线上（除C 点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE =EF ”仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由．34．如图1，操作：把正方形CGEF 的对角线CE 放在正方形 ABCD 的边BC 的延长线上（CG ＞BC ），取线段AE 的中点M 。

认识三角形和四边形经典例题答案班级小组姓名成绩（满分120）一、图形分类（一）图形的分类（共4小题，每题3分，共计12分）例1.填一填。

(1)平行四边形容易(变形)，三角形具有(稳定性)。

(2)三角形是(平面)图形，球形是(立体)图形。

例1.变式1找家。

四边形①②③⑦⑧三角形④⑩立体图形⑥平面图形①②③④⑤⑦⑧⑨⑩例1.变式2按要求分类。

（只填序号）(1)立体图形有(②④⑥)。

(2)平面图形有(①③⑤⑦⑧⑨⑩)。

(3)由线段围成的平面图形有(①③⑤⑦⑧⑩)。

(4)由曲线围成的平面图形有(⑨)。

(5)由四条边围成的平面图形有(①③⑤⑧⑩)。

(6)由三条边围成的平面图形有(⑦)。

例1.变式3哪种围篱笆的方法更牢固？为什么？答：第二种方法更牢固，利用了三角形的稳定性（二）理解三角形的稳定性和四边形的不稳定性及其在生活中的运用（共4小题，每题3分，共计12分）例2.观察下面物体，你发现了什么？答：发现生活中的物品都是由图形构成的，三角形能起到很好的固定作用例2.变式1数一数，下面图中各有几个三角形。

104例2.变式2从一块长方形木板上锯掉一块宽为20厘米的长方形木条，剩下的木板为一个正方形，周长为180厘米，求原来长方形木板的周长和锯下的长方形木条的周长。

原：（180÷4+20+180÷4）×2=220（厘米）锯：（20+180÷4）×2＝130（厘米）答：原来长方形木板的周长是220厘米，锯下的长方形木条的周长是130厘米.例2.变式3自行车的三角形车架是利用了三角形的（稳定性）特性.例3.填一填。

(1)三个角都是(锐)角的三角形是锐角三角形，有(一)个角是(直角)的三角形是直角三角形，有(一)个角是(钝角)的三角形是钝角三角形。

(2)有(两)条边相等的三角形是等腰三角形，(三)条边都相等的三角形是等边三角形。

例3.变式1分类。

(1)锐角三角形有(①⑤⑥)。

小学四年级三角形和四边形图形与几何专题(附答案)图形与几何专题一、填空题1、三角形的内角和是180°，一个等腰三角形，它的一个底角是26°，它的顶角是128°。

2、长5厘米，8厘米，13厘米的三根小棒不能围成一个三角形。

3、三角形具有三边性。

4、一个三角形中有一个角是45°，另一个角是它的2倍，第三个角是90°，这是一个直角三角形。

5、按角的大小，三角形可以分为钝角三角形、锐角三角形、直角三角形。

6、在三角形中，∠1=30°，∠2=70°，∠3=80°，它是锐角三角形。

7、有两组对边平行的四边形是平行四边形。

8、在一个直角三角形中，有一个角是30°,另两个角分别是60°、90°。

9、长方形正方形是特殊的四边形。

10、将一个大三角形分成两个小三角形，其中一个小三角形的内角和是90度。

11、三角形的两个内角之和是85°，这个三角形是钝角三角形，另一个角是95度。

12、一个等边三角形的边长是9厘米，它的周长是27厘米。

13、数一数下图中有5个角。

二、判断题1、√2、√3、×4、√5、×6、×7、√8、×9、×10、√11、√12、√三、选择题1、A2、C3、B4、A5、1个。

一、数学题6、一条红领巾，它的顶角是100°，它的一个底角是多少度？答：80度7、把一个10°的角先扩大6倍后，再用6倍的放大镜来看，看到的角是多少度？答：60度8、一个三角形的两条边分别是40厘米、50厘米，第三条边的长度只能选哪个？答：90厘米9、下面说法，正确的是：答：等腰三角形都是锐角三角形。

10、如果一个三角形中，一个角是另一个角的2倍，那么这个三角形一定不是哪种三角形？答：等腰直角三角形11、直角三角形的内角和是锐角三角形的内角和的哪个关系？答：小于12、下面分别是三角形的三条边长度，不能围成三角形的是哪个？答：5cm、6cm、7cm二、画图题4、我是小画家。

中考数学几何压轴题（有关三角形、四边形）的综合专题1、如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E为AC边的一点，F为AB边上一点，连接CF，交BE于点D且∠ACF＝∠CBE，CG平分∠ACB交BD于点G，（1）求证：CF＝BG；（2）延长CG交AB于H，连接AG，过点C作CP∥AG交BE的延长线于点P，求证：PB＝CP+CF；（3）在（2）问的条件下，当∠GAC＝2∠FCH时，若S△AEG＝3，BG＝6，求AC的长．2、[问题背景]如图1所示，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，点D为直线BC上的一个动点（不与B、C重合），连结AD，将线段AD绕点D按顺时针方向旋转90°，使点A旋转到点E，连结EC．[问题初探]如果点D在线段BC上运动，通过观察、交流，小明形成了以下的解题思路：过点E作EF⊥BC 交直线BC于F，如图2所示，通过证明△DEF≌△，可推证△CEF是三角形，从而求得∠DCE＝．[继续探究]如果点D在线段CB的延长线上运动，如图3所示，求出∠DCE的度数．[拓展延伸]连接BE，当点D在直线BC上运动时，若AB＝，请直接写出BE的最小值．3、（2019秋•锦江区校级期末）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BD是△ABC的角平分线．（1）如图1，求证：AD＝2DC．（2）如图2，作∠CBD的角平分线交线段CD于点M，若CM＝1，求△DBM的面积；（3）如图3，过点D作DE⊥AB于点E，点N是线段AC上一点（不与C、D重合），以BN为一边，在BN的下方作∠BNG＝60°，NG交DE延长线于点G，试探究线段ND，DG与AD之间的数量关系，并说明理由．4、（2019•镇平县三模）如图1，已知直角三角形ABC，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，点D是AC边上一点，过D作DE⊥AB于点E，连接BD，点F是BD中点，连接EF，CF．（1）发现问题：线段EF，CF之间的数量关系为；∠EFC的度数为；（2）拓展与探究：若将△AED绕点A按顺时针方向旋转α角（0°＜α＜30°），如图2所示，（1）中的结论还成立吗？请说明理由；（3）拓展与运用：如图3所示，若△AED绕点A旋转的过程中，当点D落到AB边上时，AB边上另有一点G，AD＝DG＝GB，BC＝3，连接EG，请直接写出EG的长度．5、（2017春•西城区校级期末）如图1，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝a，点P是线段AB的中点，点E是线段CB延长线上一点，且PE＝PC，将线段PC绕点P顺时针旋转α得到PD，连接BD．（1）如图2，若α＝60°，其他条件不变，先补全图形，然后探究线段BD和BC之间的数量关系，并说明理由．（2）如图3，若α＝90°，其他条件不变，探究线段BP、BD和BC之间的等量关系，并说明理由．6、【发现问题】如图1，已知△ABC，以点A为直角顶点、AB为腰向△ABC外作等腰直角△ABE．请你以A为直角顶点、AC为腰，向△ABC外作等腰直角△ACD（不写作法，保留作图痕迹）．连接BD、CE．那么BD与CE的数量关系是BD＝CE．【拓展探究】如图2，已知△ABC，以AB、AC为边向外作正方形AEFB和正方形ACGD，连接BD、CE，试判断BD与CE之间的数量关系，并说明理由．【解决问题】如图3，有一个四边形场地ABCD，∠ADC＝60°，BC＝15，AB＝8，AD＝CD，求BD的最大值．7、（1）如图1，点C为线段AB外一个动点，已知AB＝a，AC＝b．当点C位于BA的延长线上时，线段BC取得最大值，则最大值为（用含a，b的式子表示）；（2）如图2，点C为线段AB外一个动点，若AB＝10，AC＝3，分别以AC，BC为边，作等边三角形ACD和等边三角形BCE，连接AE，DB．①求证：AE＝DB；②请直接写出线段AE的最大值；（3）如图3，AB＝6，点M为线段AB外一个动点，且AM＝2，MB＝MN，∠BMN＝90°，请直接写出线段AN的最大值．8、【初步探索】（1）如图1：在四边形ABC中，AB＝AD，∠B＝∠ADC＝90°，E、F分别是BC、CD上的点，且EF ＝BE+FD，探究图中∠BAE、∠F AD、∠EAF之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G，使DG＝BE．连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是；【灵活运用】（2）如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°．E、F分别是BC、CD上的点，且EF＝BE+FD，上述结论是否仍然成立，并说明理由；【拓展延伸】（3）如图3，已知在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC＝180°AB＝AD，若点E在CB的延长线上，点F在CD的延长线上，如图3所示，仍然满足EF＝BE+FD，请写出∠EAF与∠DAB的数量关系，并给出证明过程．9、（2018•大东区一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，点O为AB中点，点P为直线BC上的动点（不与点B、点C重合），连接OC、OP，将线段OP绕点P逆时针旋转60°，得到线段PQ，连接BQ．（1）如图1，当点P在线段BC上时，请直接写出线段BQ与CP的数量关系．（2）如图2，当点P在CB延长线上时，（1）中结论是否成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由；（3）如图3，当点P在BC延长线上时，若∠BPO＝45°，AC＝，请直接写出BQ的长．10、模型发现：同学们知道，三角形的两边之和大于第三边，即如图1，在△ABC中，AB+AC＞BC．对于图1，若把点C看作是线段AB外一动点，且AB＝c，AC＝b，则线段BC的长会因为点C的位置的不同而发生变化．因为AB、AC的长度固定，所以当∠BAC越大时，BC边越长．特别的，当点C位于时，线段BC的长取得最大值，且最大值为（用含b，c的式子表示）（直接填空）.模型应用：点C为线段AB外一动点，且AB＝3，AC＝2，如图2所示，分别以AC，BC为边，作等边三角形ACD 和等边三角形BCE，连接BD，AE．（1）求证：BD＝AE．（2）线段AE长的最大值为．模型拓展：如图3，在平面直角坐标系中，点A是y轴正半轴上的一动点，点B是x轴正半轴上的一动点，且AB ＝8．若AC⊥AB，AC＝3，试求OC长的最大值．11、已知：△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC．（1）如图1，点D在BC的延长线上，连AD，过B作BE⊥AD于E，交AC于点F．求证：AD＝BF；（2）如图2，点D在线段BC上，连AD，过A作AE⊥AD，且AE＝AD，连BE交AC于F，连DE，问BD与CF有何数量关系，并加以证明；（3）如图3，点D在CB延长线上，AE＝AD且AE⊥AD，连接BE、AC的延长线交BE于点M，若AC ＝3MC，请直接写出的值．12、已知在△ABC中，AB＝AC，射线BM、BN在∠ABC内部，分别交线段AC于点G、H．（1）如图1，若∠ABC＝60°，∠MBN＝30°，作AE⊥BN于点D，分别交BC、BM于点E、F．①求证：∠1＝∠2；②如图2，若BF＝2AF，连接CF，求证：BF⊥CF；（2）如图3，点E为BC上一点，AE交BM于点F，连接CF，若∠BFE＝∠BAC＝2∠CFE，求的值．13、已知，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，E为边AC任意一点，连接BE．（1）如图1，若∠ABE＝15°，O为BE中点，连接AO，且AO＝1，求BC的长；（2）如图2，F也为AC上一点，且满足AE＝CF，过A作AD⊥BE交BE于点H，交BC于点D，连接DF交BE于点G，连接AG；①若AG平分∠CAD，求证：AH＝AC；②如图3，当G落在△ABC外时，若将△EFG沿EF边翻折，点G刚好落在AB边上点P，直接写出AG与EF的数量关系．14、如图所示，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，E为AC中点，作ED⊥AC交AB于D，连接CD；（1）如图1，求证：AB＝2CD；（2）如图2，作CF⊥AB交AB于F，点G为CF上一点，点H为DE延长线上一点，分别连接AH、GH，若∠AHG＝2∠B，求证：AH＝GH；（3）如图3，在（2）的条件下，连接DG，且有DE＝BF，∠EDG＝90°，若AC＝6，求AH的长度．15、【问题情境】一节数学课后，老师布置了一道课后练习题：如图：已知在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，点E、F分别在A和BC上，∠1＝∠2，FG⊥AB于点G，求证：△CDE≌△EGF．（1）阅读理解，完成解答本题证明的思路可用下列框图表示：根据上述思路，请你完整地书写这道练习题的证明过程；（2）特殊位置，证明结论若CE平分∠ACD，其余条件不变，求证：AE＝BF；（3）知识迁移，探究发现如图，已知在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，若点E是DB的中点，点F在直线CB上且满足EC＝EF，请直接写出AE与BF的数量关系．（不必写解答过程）16、在正方形ABCD和等腰直角△BGF中，∠BGF＝90°，P是DF的中点，连接PG、PC．（1）如图1，当点G在BC边上时，延长GP交DC于点E．求证：PG＝PC；（2）如图2，当点F在AB的延长线上时，（1）中的结论是否成立？请证明你的结论；（3）如图3，若四边形ABCD为菱形，且∠ABC＝60°，△BGF为等边三角形，点F在CB的延长线上时，线段PC、PG又有怎样的数量关系，请直接写出你的结论，并画出论证过程中需要添加的辅助线．17、在△ABC中，∠BAC＝60°，点D、E分别在边AC、AB上，AD＝AE，连接CE、BD相交于点F，且∠BEC＝∠ADF，连接AF．（1）如图1，连接ED，求证：∠ABD＝∠CED；（2）如图2，求证：EF+FD＝AF；（3）如图3，取BC的中点G，连接AG交BD于点H，若∠GAC＝3∠ABD，BH＝7，求△ABH的面积．18、点D，E分别在△ABC的边AC，BD上，BD，CE交于点F，连接AF，∠F AE＝∠F AD，FE＝FD．（1）如图1，若∠AEF＝∠ADF，求证：AE＝AD；（2）如图2，若∠AEF≠∠ADF，FB平分∠ABC，求∠BAC的度数；（3）在（2）的条件下，如图3，点G在BE上，∠CFG＝∠AFB若AG＝6，△ABC的周长为20，求BC长．中考数学几何压轴题（有关三角形、四边形）的综合专题参考答案1、如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E为AC边的一点，F为AB边上一点，连接CF，交BE于点D且∠ACF＝∠CBE，CG平分∠ACB交BD于点G，（1）求证：CF＝BG；（2）延长CG交AB于H，连接AG，过点C作CP∥AG交BE的延长线于点P，求证：PB＝CP+CF；（3）在（2）问的条件下，当∠GAC＝2∠FCH时，若S△AEG＝3，BG＝6，求AC的长．证明：（1）如图1，∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠A＝45°，∵CG平分∠ACB，∴∠ACG＝∠BCG＝45°，∴∠A＝∠BCG，在△BCG和△CAF中，∵，∴△BCG≌△CAF（ASA），∴CF＝BG；（2）如图2，∵PC∥AG，∴∠PCA＝∠CAG，∵AC＝BC，∠ACG＝∠BCG，CG＝CG，∴△ACG≌△BCG，∴∠CAG＝∠CBE，∵∠PCG＝∠PCA+∠ACG＝∠CAG+45°＝∠CBE+45°，∠PGC＝∠GCB+∠CBE＝∠CBE+45°，∴∠PCG＝∠PGC，∴PC＝PG，∵PB＝BG+PG，BG＝CF，∴PB＝CF+CP；（3）解法一：如图3，过E作EM⊥AG，交AG于M，∵S△AEG＝AG•EM＝3，由（2）得：△ACG≌△BCG，∴BG＝AG＝6，∴×6×EM＝3，EM＝，设∠FCH＝x°，则∠GAC＝2x°，∴∠ACF＝∠EBC＝∠GAC＝2x°，∵∠ACH＝45°，∴2x+x＝45，x＝15，∴∠ACF＝∠GAC＝30°，在Rt△AEM中，AE＝2EM＝2，AM＝＝3，∴M是AG的中点，∴AE＝EG＝2，∴BE＝BG+EG＝6+2，在Rt△ECB中，∠EBC＝30°，∴CE＝BE＝3+，∴AC＝AE+EC＝2+3+＝3+3．解法二：同理得：∠CAG＝30°，AG＝BG＝6，如图4，过G作GM⊥AC于M，在Rt△AGM中，GM＝3，AM＝＝＝3，∵∠ACG＝45°，∠MGC＝90°，∴GM＝CM＝3，∴AC＝AM+CM＝3+3．2、[问题背景]如图1所示，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，点D为直线BC上的一个动点（不与B、C重合），连结AD，将线段AD绕点D按顺时针方向旋转90°，使点A旋转到点E，连结EC．[问题初探]如果点D在线段BC上运动，通过观察、交流，小明形成了以下的解题思路：过点E作EF⊥BC 交直线BC于F，如图2所示，通过证明△DEF≌△ADB，可推证△CEF是等腰直角三角形，从而求得∠DCE＝135°．[继续探究]如果点D在线段CB的延长线上运动，如图3所示，求出∠DCE的度数．[拓展延伸]连接BE，当点D在直线BC上运动时，若AB＝，请直接写出BE的最小值．解：[问题初探]如图2，过点E作EF⊥BC交直线BC于F，∴∠DFE＝90°＝∠ABD，∴∠EDF+∠DEF＝90°，由旋转知，AD＝DE，∠ADE＝90°，∴∠ADB+∠EDF＝90°，∴∠ADB＝∠DEF，∴△ABD≌△DFE（AAS），∴BD＝EF，DF＝AB，∵AB＝BC，∴BC＝DF，∴BD＝CF，∴EF＝CF，∴△CEG是等腰直角三角形，∴∠ECF＝45°，∴∠DCE＝135°，故答案为：ADB，等腰直角，135；[继续探究]如图3，过点E作EF⊥BC于F，∴∠DFE＝90°＝∠ABD，∴∠EDF+∠DEF＝90°，由旋转知，AD＝DE，∠ADE＝90°，∴∠ADB+∠EDF＝90°，∴∠ADB＝∠DEF，∴△ABD≌△DFE（AAS），∴BD＝EF，DF＝AB，∵AB＝BC，∴BC＝DF，∴BD＝CF，∴EF＝CF，∴△CEG是等腰直角三角形，∴∠ECF＝45°，∴∠DCE＝45°；[拓展延伸]如图4，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝，∴∠ACB＝45°当点D在射线BC上时，由[问题初探]知，∠BCM＝135°，∴∠ACM＝∠BCM﹣∠ACB＝90°，当点D在线段CB的延长线上时，由[继续探究]知，∠BCE＝45°，∴∠ACN＝∠ACB+∠BCM＝90°，∴点E是过点C垂直于AC的直线上的点，∴当BE⊥MN时，BE最小，∵∠BCE＝45°，∴∠CBE＝45°＝∠BCE，∴BE＝CE，∴BE最小＝BC＝，即：BE的最小值为．3、在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BD是△ABC的角平分线．（1）如图1，求证：AD＝2DC．（2）如图2，作∠CBD的角平分线交线段CD于点M，若CM＝1，求△DBM的面积；（3）如图3，过点D作DE⊥AB于点E，点N是线段AC上一点（不与C、D重合），以BN为一边，在BN的下方作∠BNG＝60°，NG交DE延长线于点G，试探究线段ND，DG与AD之间的数量关系，并说明理由．证明：（1）如图1，过点D作DE⊥AB，∵BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，∠ACB＝90°，∴DC＝DE，∵∠A＝30°，DE⊥AB，∴AD＝2DE，∴AD＝2DC；（2）如图2，过点M作ME∥BD，∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，∴∠ABC＝60°，∵BD是△ABC的角平分线，∴∠ABD＝∠DBC＝30°，∵BM平分∠CBD，∴∠CBM＝15°＝∠DBM，∵ME∥BD，∴∠MEC＝∠CBD＝30°，∠EMB＝∠DBM＝∠MBE，∴ME＝BE，∵∠MEC＝30°，∠C＝90°∴CE＝MC＝，ME＝2MC＝2＝BE，∴BC＝+2，∵∠CBD＝30°，∠C＝90°，∴BC＝CD，∴CD＝1+，∴DM＝，∴△DBM的面积＝××（+2）＝1+；（3）若点N在CD上时，AD＝DG+DN，理由如下：如图3所示：延长ED使得DW＝DN，连接NW，∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，∴∠ADE＝∠BDE＝60°，AD＝BD，∵DN＝DW，且∠WDN＝60°∴△WDN是等边三角形，∴NW＝DN，∠W＝∠WND＝∠BNG＝∠BDN＝60°，∴∠WNG＝∠BND，在△WGN和△DBN中，∴△WGN≌△DBN（SAS），∴BD＝WG＝DG+DN，∴AD＝DG+DN．（3）若点N在AD上时，AD＝DG﹣DN，理由如下：如图4，延长BD至H，使得DH＝DN，连接HN，由（1）得DA＝DB，∠A＝30°．∵DE⊥AB于点E．∴∠2＝∠3＝60°．∴∠4＝∠5＝60°．∴△NDH是等边三角形．∴NH＝ND，∠H＝∠6＝60°．∴∠H＝∠2．∵∠BNG＝60°，∴∠BNG+∠7＝∠6+∠7．即∠DNG＝∠HNB．在△DNG和△HNB中，∴△DNG≌△HNB（ASA）．∴DG＝HB．∵HB＝HD+DB＝ND+AD，∴DG＝ND+AD．∴AD＝DG﹣ND．4、如图1，已知直角三角形ABC，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，点D是AC边上一点，过D作DE⊥AB于点E，连接BD，点F是BD中点，连接EF，CF．（1）发现问题：线段EF，CF之间的数量关系为EF＝CF；∠EFC的度数为120°；（2）拓展与探究：若将△AED绕点A按顺时针方向旋转α角（0°＜α＜30°），如图2所示，（1）中的结论还成立吗？请说明理由；（3）拓展与运用：如图3所示，若△AED绕点A旋转的过程中，当点D落到AB边上时，AB边上另有一点G，AD＝DG＝GB，BC＝3，连接EG，请直接写出EG的长度．解：（1）如图1中，∵DE⊥AB，∴∠BED＝90°，∵∠BCD＝90°，BF＝DF，∴FE＝FB＝FD＝CF，∴∠FBE＝∠FEB，∠FBC＝∠FCB，∴∠EFC＝∠EFD+∠CFD＝∠FBE+∠FEB+∠FBC+∠FCB＝2（∠FBE+∠FBC）＝2∠ABC＝120°，故答案为：EF＝CF，120°．（2）结论成立．理由：如图2中，取AB的中点M，AD的中点N，连接MC，MF，ED，EN，FN．∵BM＝MA，BF＝FD，∴MF∥AD，MF＝AD，∵AN＝ND，∴MF＝AN，MF∥AN，∴四边形MFNA是平行四边形，∴NF＝AM，∠FMA＝∠ANF，在Rt△ADE中，∵AN＝ND，∠AED＝90°，∴EN＝AD＝AN＝ND，同理CM＝AB＝AM＝MB，在△AEN和△ACM中，∠AEN＝∠EAN，∠MCA＝∠MAC，∵∠MAC＝∠EAN，∴∠AMC＝∠ANE，又∵∠FMA＝∠ANF，∴∠ENF＝∠FMC，在△MFC和△NEF中，，∴△MFC≌△NEF（SAS），∴FE＝FC，∠NFE＝∠MCF，∵NF∥AB，∴∠NFD＝∠ABD，∵∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，∴∠ABC＝60°，△BMC是等边三角形，∠MCB＝60°∴∠EFC＝∠EFN+∠NFD+∠DFC＝∠MCF+∠ABD+∠FBC+∠FCB＝∠ABC+∠MCB＝60°+60°＝120°．（3）如图3中，作EH⊥AB于H．在Rt△ABC中，∵∠BAC＝30°，BC＝3，∴AB＝2BC＝6，在Rt△AED中，∠DAE＝30°，AD＝2，∴DE＝AD＝1，在Rt△DEH中，∵∠EDH＝60°，DE＝1，∴EH＝ED•sin60°＝，DH＝ED•cos60°＝，在Rt△EHG中，EG＝＝．5、如图1，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝a，点P是线段AB的中点，点E是线段CB延长线上一点，且PE＝PC，将线段PC绕点P顺时针旋转α得到PD，连接BD．（1）如图2，若α＝60°，其他条件不变，先补全图形，然后探究线段BD和BC之间的数量关系，并说明理由．（2）如图3，若α＝90°，其他条件不变，探究线段BP、BD和BC之间的等量关系，并说明理由．解：（1）BC＝2BD，理由：如图2，连接CD，由旋转可得，CP＝DP，∠CPD＝60°，∴△CDP是等边三角形，∴∠CDP＝60°＝∠PCD，又∵P是AB的中点，AB＝AC，∠A＝60°，∴等边三角形ABC中，∠PCB＝30°，CP⊥AB，∴∠BCD＝30°，即BC平分∠PCD，∴BC垂直平分PD，∴∠BDC＝∠BPC＝90°，∴Rt△BCD中，BC＝2BD．（2）如图3，取BC中点F，连接PF，∵∠A＝90°，AB＝AC，∴△ABC是等腰直角三角形，∵P是AB的中点，F是BC的中点，∴PF是△ABC的中位线，∴PF∥AC，∴∠PFB＝∠ACB＝45°，∠BPF＝∠A＝90°，∴△BPF是等腰直角三角形，∴BF＝BP，BP＝PF，∵∠DPC＝∠BPF＝90°，∴∠BPD＝∠FPC，又∵PD＝PC，∴△BDP≌△FCP，∴BD＝CF，∵BC＝BF+FC，∴BC＝BD+BP．6、【发现问题】如图1，已知△ABC，以点A为直角顶点、AB为腰向△ABC外作等腰直角△ABE．请你以A为直角顶点、AC为腰，向△ABC外作等腰直角△ACD（不写作法，保留作图痕迹）．连接BD、CE．那么BD与CE的数量关系是BD＝CE．【拓展探究】如图2，已知△ABC，以AB、AC为边向外作正方形AEFB和正方形ACGD，连接BD、CE，试判断BD与CE之间的数量关系，并说明理由．【解决问题】如图3，有一个四边形场地ABCD，∠ADC＝60°，BC＝15，AB＝8，AD＝CD，求BD的最大值．【发现问题】解：延长CA到M，作∠MAC的平分线AN，在AN上截取AD＝AC，连接CD，即可得到等腰直角△ACD；连接BD、CE，如图1所示：∵△ABE与△ACD都是等腰直角三角形，∴AB＝AE，AD＝AC，∠BAE＝∠CAD＝90°，∴∠BAD＝∠EAC，在△BAD和△EAC中，，∴△BAD≌△EAC（SAS），∴BD＝CE，【拓展探究】解：BD＝CE；理由如下：∵四边形AEFB与四边形ACGD都是正方形，∴AB＝AE，AD＝AC，∠BAE＝∠CAD＝90°，∴∠BAD＝∠EAC，在△BAD和△EAC中，，∴△BAD≌△EAC（SAS），∴BD＝CE；【解决问题】解：以AB为边向外作等边三角形ABE，连接CE，如图3所示：则∠BAE＝60°，BE＝AB＝AE＝8，∵AD＝CD，∠ADC＝60°，∴△ACD是等边三角形，∴∠CAD＝60°，AC＝AD，∴∠CAD+∠BAC＝∠BAE+∠BAC，即∠BAD＝∠EAC，在△BAD和△EAC中，，∴△BAD≌△EAC（SAS），∴BD＝CE；当C、B、E三点共线时，CE最大＝BC+BE＝15+8＝23，∴BD的最大值为23．7、如图1，点C为线段AB外一个动点，已知AB＝a，AC＝b．当点C位于BA的延长线上时，线段BC取得最大值，则最大值为a+b（用含a，b的式子表示）；（2）如图2，点C为线段AB外一个动点，若AB＝10，AC＝3，分别以AC，BC为边，作等边三角形ACD和等边三角形BCE，连接AE，DB．①求证：AE＝DB；②请直接写出线段AE的最大值；（3）如图3，AB＝6，点M为线段AB外一个动点，且AM＝2，MB＝MN，∠BMN＝90°，请直接写出线段AN的最大值．（1）解：∵点C为线段AB外一动点，且AC＝b，AB＝a，∴当点C位于BA的延长线上时，线段BC的长取得最大值，且最大值为AC+AB＝a+b，（2）①证明：如图2中，∵△ACD与△BCE是等边三角形，∴CD＝AC，CB＝CE，∠ACD＝∠BCE＝60°，∴∠DCB＝∠ACE，在△CAD与△EAB中，，∴△CAD≌△EAB（SAS），∴AE＝BD．②∵线段AE长的最大值＝线段BD的最大值，由（1）知，当线段BD的长取得最大值时，点D在BA的延长线上，∴最大值为AD+AB＝3+10＝13；（3）如图3中，连接BN，∵将△AMN绕着点M顺时针旋转90°得到△PBM，连接AP，则△APM是等腰直角三角形，∴MA＝MP＝2，BP＝AN，∴P A＝2，∵AB＝6，∴线段AN长的最大值＝线段BP长的最大值，∴当P在线段BA的延长线时，线段BP取得最大值最大值＝AB+AP＝6+2．8、【初步探索】（1）如图1：在四边形ABC中，AB＝AD，∠B＝∠ADC＝90°，E、F分别是BC、CD上的点，且EF ＝BE+FD，探究图中∠BAE、∠F AD、∠EAF之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G，使DG＝BE．连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是∠BAE+∠F AD＝∠EAF；【灵活运用】（2）如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°．E、F分别是BC、CD上的点，且EF＝BE+FD，上述结论是否仍然成立，并说明理由；【拓展延伸】（3）如图3，已知在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC＝180°AB＝AD，若点E在CB的延长线上，点F在CD的延长线上，如图3所示，仍然满足EF＝BE+FD，请写出∠EAF与∠DAB的数量关系，并给出证明过程．解：（1）∠BAE+∠F AD＝∠EAF．理由：如图1，延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，根据SAS可判定△ABE≌△ADG，进而得出∠BAE＝∠DAG，AE＝AG，再根据SSS可判定△AEF≌△AGF，可得出∠EAF＝∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF．故答案为：∠BAE+∠F AD＝∠EAF；（2）仍成立，理由：如图2，延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，∵∠B+∠ADF＝180°，∠ADG+∠ADF＝180°，∴∠B＝∠ADG，又∵AB＝AD，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴∠BAE＝∠DAG，AE＝AG，∵EF＝BE+FD＝DG+FD＝GF，AF＝AF，∴△AEF≌△AGF（SSS），∴∠EAF＝∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF；（3）∠EAF＝180°﹣∠DAB．证明：如图3，在DC延长线上取一点G，使得DG＝BE，连接AG，∵∠ABC+∠ADC＝180°，∠ABC+∠ABE＝180°，∴∠ADC＝∠ABE，又∵AB＝AD，∴△ADG≌△ABE（SAS），∴AG＝AE，∠DAG＝∠BAE，∵EF＝BE+FD＝DG+FD＝GF，AF＝AF，∴△AEF≌△AGF（SSS），∴∠F AE＝∠F AG，∵∠F AE+∠F AG+∠GAE＝360°，∴2∠F AE+（∠GAB+∠BAE）＝360°，∴2∠F AE+（∠GAB+∠DAG）＝360°，即2∠F AE+∠DAB＝360°，∴∠EAF＝180°﹣∠DAB．9、如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，点O为AB中点，点P为直线BC上的动点（不与点B、点C重合），连接OC、OP，将线段OP绕点P逆时针旋转60°，得到线段PQ，连接BQ．（1）如图1，当点P在线段BC上时，请直接写出线段BQ与CP的数量关系．（2）如图2，当点P在CB延长线上时，（1）中结论是否成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由；（3）如图3，当点P在BC延长线上时，若∠BPO＝45°，AC＝，请直接写出BQ的长．解：（1）CP＝BQ，理由：如图1，连接OQ，由旋转知，PQ＝OP，∠OPQ＝60°⊅∴△POQ是等边三角形，∴OP＝OQ，∠POQ＝60°，在Rt△ABC中，O是AB中点，∴OC＝OA＝OB，∴∠BOC＝2∠A＝60°＝∠POQ，∴∠COP＝∠BOQ，在△COP和△BOQ中，，∴△COP≌△BOQ（SAS），∴CP＝BQ，（2）CP＝BQ，理由：如图2，连接OQ，由旋转知，PQ＝OP，∠OPQ＝60°∴△POQ是等边三角形，∴OP＝OQ，∠POQ＝60°，在Rt△ABC中，O是AB中点，∴OC＝OA＝OB，∴∠BOC＝2∠A＝60°＝∠POQ，∴∠COP＝∠BOQ，在△COP和△BOQ中，，∴△COP≌△BOQ（SAS），∴CP＝BQ，（3）如图3，在Rt△ABC中，∠A＝30°，AC＝，∴BC＝AC•tan∠A＝，过点O作OH⊥BC，∴∠OHB＝90°＝∠BCA，∴OH∥AB，∵O是AB中点，∴CH＝BC＝，OH＝AC＝，∵∠BPQ＝45°，∠OHP＝90°，∴∠BPQ＝∠PQH，∴PH＝OH＝，∴CP＝PH﹣CH＝﹣＝，连接BQ，同（1）的方法得，BQ＝CP＝．10、模型发现：同学们知道，三角形的两边之和大于第三边，即如图1，在△ABC中，AB+AC＞BC．对于图1，若把点C看作是线段AB外一动点，且AB＝c，AC＝b，则线段BC的长会因为点C的位置的不同而发生变化．因为AB、AC的长度固定，所以当∠BAC越大时，BC边越长．特别的，当点C位于线段BA的延长线上时，线段BC的长取得最大值，且最大值为b+c（用含b，c的式子表示）（直接填空）模型应用：点C为线段AB外一动点，且AB＝3，AC＝2，如图2所示，分别以AC，BC为边，作等边三角形ACD 和等边三角形BCE，连接BD，AE．（1）求证：BD＝AE．（2）线段AE长的最大值为5．模型拓展：如图3，在平面直角坐标系中，点A是y轴正半轴上的一动点，点B是x轴正半轴上的一动点，且AB ＝8．若AC⊥AB，AC＝3，试求OC长的最大值．解：当点C位于线段BA的延长线上时，线段BC的长取得最大值，最大值为b+c，故答案为：线段BA的延长线上；b+c；模型应用：（1）证明：∵△ACD、△BCE都是等边三角形，∴CD＝CA＝AD，CB＝CE，∠ACD＝60°，∠BCE＝60°，∴∠DCB＝∠ACE，在△DCB和△ACE中，，∴△DCB≌△ACE（SAS）∴BD＝AE；（2）当点D位于线段BA的延长线上时，线段BD的长取得最大值，最大值为AB+AD＝AB+AC＝3+2＝5，∵AE＝BD，∴线段AE长的最大值为5，模型拓展：取AB的中点G，连接OG、CG，在Rt△AOB中，G为AB的中点，∴OG＝AB＝4，在Rt△CAG中，CG＝＝＝5，当点O、G、C在同一条直线上时，OC最大，最大值为4+5＝9．11、已知：△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC．（1）如图1，点D在BC的延长线上，连AD，过B作BE⊥AD于E，交AC于点F．求证：AD＝BF；（2）如图2，点D在线段BC上，连AD，过A作AE⊥AD，且AE＝AD，连BE交AC于F，连DE，问BD与CF有何数量关系，并加以证明；（3）如图3，点D在CB延长线上，AE＝AD且AE⊥AD，连接BE、AC的延长线交BE于点M，若AC ＝3MC，请直接写出的值．（1）证明：如图1中，∵BE⊥AD于E，∴∠AEF＝∠BCF＝90°，∵∠AFE＝∠CFB，∴∠DAC＝∠CBF，∵BC＝CA，∴△BCF≌△ACD，∴BF＝AD．（2）结论：BD＝2CF．理由：如图2中，作EH⊥AC于H．∵∠AHE＝∠ACD＝∠DAE＝90°，∴∠DAC+∠ADC＝90°，∠DAC+∠EAH＝90°，∴∠DAC＝∠AEH，∵AD＝AE，∴△ACD≌△EHA，∴CD＝AH，EH＝AC＝BC，∵CB＝CA，∴BD＝CH，∵∠EHF＝∠BCF＝90°，∠EFH＝∠BFC，EH＝BC，∴△EHF≌△BCF，∴FH＝CF，∴BD＝CH＝2CF．（3）如图3中，同法可证BD＝2CM．∵AC＝3CM，设CM＝a，则AC＝CB＝3a，BD＝2a，∴＝＝．12、已知在△ABC中，AB＝AC，射线BM、BN在∠ABC内部，分别交线段AC于点G、H．（1）如图1，若∠ABC＝60°，∠MBN＝30°，作AE⊥BN于点D，分别交BC、BM于点E、F．①求证：∠1＝∠2；②如图2，若BF＝2AF，连接CF，求证：BF⊥CF；（2）如图3，点E为BC上一点，AE交BM于点F，连接CF，若∠BFE＝∠BAC＝2∠CFE，求的值．（1）①证明：如图1中，∵AB＝AC，∠ABC＝60°∴△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝60°，∵AD⊥BN，∴∠ADB＝90°，∵∠MBN＝30°，∠BFD＝60°＝∠1+∠BAF＝∠2+∠BAF，∴∠1＝∠2②证明：如图2中，在Rt△BFD中，∵∠FBD＝30°，∴BF＝2DF，∵BF＝2AF，∴BF＝AD，∵∠BAE＝∠FBC，AB＝BC，∴△BFC≌△ADB，∴∠BFC＝∠ADB＝90°，∴BF⊥CF（2）在BF上截取BK＝AF，连接AK．∵∠BFE＝∠2+∠BAF，∠CFE＝∠4+∠1，∴∠CFB＝∠2+∠4+∠BAC，∵∠BFE＝∠BAC＝2∠EFC，∴∠1+∠4＝∠2+∠4∴∠1＝∠2，∵AB＝AC，∴△ABK≌CAF，∴∠3＝∠4，S△ABK＝S△AFC，∵∠1+∠3＝∠2+∠3＝∠CFE＝∠AKB，∠BAC＝2∠CEF，∴∠KAF＝∠1+∠3＝∠AKF，∴AF＝FK＝BK，∴S△ABK＝S△AFK，∴＝2．13、已知，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，E为边AC任意一点，连接BE．（1）如图1，若∠ABE＝15°，O为BE中点，连接AO，且AO＝1，求BC的长；（2）如图2，F也为AC上一点，且满足AE＝CF，过A作AD⊥BE交BE于点H，交BC于点D，连接DF交BE于点G，连接AG；①若AG平分∠CAD，求证：AH＝AC；②如图3，当G落在△ABC外时，若将△EFG沿EF边翻折，点G刚好落在AB边上点P，直接写出AG与EF的数量关系．（1）解：如图1中，在AB上取一点M，使得BM＝ME，连接ME．在Rt△ABE中，∵OB＝OE，∴BE＝2OA＝2，∵MB＝ME，∴∠MBE＝∠MEB＝15°，∴∠AME＝∠MBE+∠MEB＝30°，设AE＝x，则ME＝BM＝2x，AM＝x，∵AB2+AE2＝BE2，∴（2x+x）2+x2＝22，∴x＝（负根已经舍弃），∴AB＝AC＝（2+）•，∴BC＝AB＝+1．方法二：作EH⊥BC于H，求出BH，CH即可解决问题．（2）证明：如图2中，作CP⊥AC，交AD的延长线于P，GM⊥AC于M．∵BE⊥AP，∴∠AHB＝90°，∴∠ABH+∠BAH＝90°，∵∠BAH+∠P AC＝90°，∴∠ABE＝∠P AC，在△ABE和△CAP中，，∴△ABE≌△CAP，∴AE＝CP＝CF，∠AEB＝∠P，在△DCF和△DCP中，，∴△DCF≌△DCP，∴∠DFC＝∠P，∴∠GFE＝∠GEF，∴GE＝GF，∵GM⊥EF，∴FM＝ME，∵AE＝CF，∴AF＝CE，∴AM＝CM，在△GAH和△GAM中，，∴△AGH≌△AGM，∴AH＝AM＝CM＝AC（3）解：结论：AG＝EF．理由：如图3中，作CM⊥AC交AD的延长线于M，连接PG交AC于点O．由（2）可知△ACM≌△BAE，△CDF≌△CDM，∴∠AEB＝∠M＝∠GEF，∠M＝∠CFD＝∠GFE，AE＝CM＝CF，∴∠GEF＝∠GFE，∴GE＝GF，∵△EFP是由△EFG翻折得到，∴EG＝EP＝GF＝PF，∴四边形EGFP是菱形，∴PG⊥AC，OE＝OF，∵AE＝CF，∴AO＝OC，∵AB∥OP，∴BP＝PC，∵PF∥BE，∴EF＝CF＝AE，∵PB＝PC，AO＝OC，∴PO＝OG＝AB，∴AB＝PG，AB∥PG，∴四边形ABPG是平行四边形，∴AG∥BC，∴∠GAO＝∠ACB＝45°，设EO＝OF＝a，则OA＝OG＝3a，AG＝3a，∴＝＝，∴AG＝EF14、如图所示，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，E为AC中点，作ED⊥AC交AB于D，连接CD；（1）如图1，求证：AB＝2CD；（2）如图2，作CF⊥AB交AB于F，点G为CF上一点，点H为DE延长线上一点，分别连接AH、GH，若∠AHG＝2∠B，求证：AH＝GH；（3）如图3，在（2）的条件下，连接DG，且有DE＝BF，∠EDG＝90°，若AC＝6，求AH的长度．解：（1）∵E为AC中点，作ED⊥AC交AB于D，∴AD＝CD，∵∠ACB＝90°，∴BC∥DE，∴AD＝BD，∴CD＝BD，∴AB＝2CD；（2）如图2，连接CH，∵点E是AC的中点，∴AE＝CE，∵DE⊥AC，∴CH＝AH，∴∠ACH＝∠CAH，∵∠ACB＝90°，∴∠B+∠BAC＝90°，∵CF⊥AB，∴∠BAC+∠ACF＝90°，∴∠ACF＝∠B，∴∠HCG＝∠ACH+∠ACF＝∠CAH+∠B，∠AHG＝2∠B∴在四边形AHGF中，∠AFG+∠FGH+∠AHG+∠F AH＝360°，∴∠FGH＝360°﹣（∠AFG+∠AHG+∠F AH）＝360°﹣（90°+2∠B+∠CAH+∠BAC）＝360°﹣（90°+2∠B+∠CAH+90°﹣∠B）＝360°﹣（180°+∠B+∠CAH）＝180°﹣（∠B+∠CAH），∵∠CGH＝180°﹣∠FGH＝∠B+∠CAH＝∠HCG，∴CH＝GH，∵CH＝AH，∴AH＝GH；（3）如图3，由（1）知，DE∥BC，∴∠B＝∠ADE，在△BFC和△DEA中，，∴△BFC≌△DEA，∴BC＝AD，∵AD＝BD＝CD，∴BC＝BD＝CD，∴△BCD是等边三角形，∴∠B＝60°，在Rt△ABC中，AC＝6，∴BC＝2，AB＝4，∵CF⊥BD，∴DF＝，CF＝3，∵∠BAC＝30°，∴∠ADE＝60°，∵∠EDG＝90°，∠FDG＝30°，在Rt△DFG中，DF＝，∴FG＝1，DG＝2，∴CG＝CF﹣FG＝2过点H作HN⊥CF，由（2）知，CH＝GH，∴NG＝CG＝1，∴FN＝NG+FG＝2，过点H作HM⊥AB，∴∠FMH＝∠NFM＝∠HNF＝90°，∴四边形NFMH是矩形，∴HM＝FN＝2，在Rt△DMH中，∠ADE＝60°，HM＝2，∴DH＝，在Rt△HDG中，根据勾股定理得，HG＝＝．15、【问题情境】一节数学课后，老师布置了一道课后练习题：如图：已知在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，点E、F分别在A和BC上，∠1＝∠2，FG⊥AB于点G，求证：△CDE≌△EGF．（1）阅读理解，完成解答本题证明的思路可用下列框图表示：根据上述思路，请你完整地书写这道练习题的证明过程；（2）特殊位置，证明结论若CE平分∠ACD，其余条件不变，求证：AE＝BF；（3）知识迁移，探究发现如图，已知在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，若点E是DB的中点，点F在直线CB上且满足EC＝EF，请直接写出AE与BF的数量关系．（不必写解答过程）（1）证明：∵AC＝BC，∠ACB＝90°，∴∠A＝∠B＝45°，∵CD⊥AB，∴∠CDB＝90°，∴∠DCB＝45°，∵∠ECF＝∠DCB+∠1＝45°+∠1，∠EFC＝∠B+∠2＝45°+∠2，∠1＝∠2，∴∠ECF＝∠EFC，∴CE＝EF，∵CD⊥AB，FG⊥AB，∴∠CDE＝∠EGF＝90°，在△CDE和△EGF中，，∴△CDE≌△EGF（AAS）；（2）证明：由（1）得：CE＝EF，∠A＝∠B，∵CE平分∠ACD，∴∠ACE＝∠1，∵∠1＝∠2，∴∠ACE＝∠2，在△ACE和△BEF中，，∴△ACE≌△BEF（AAS），∴AE＝BF；（3）AE＝BF，作EH⊥BC与H，如图3所示：设DE＝x，根据题意得：BE＝DE＝x，AD＝BD＝2x，CD＝AD＝2x，AE＝3x，根据勾股定理得：BC＝AC＝2x，∵∠ABC＝45°，EH⊥BC，∴BH＝x，∴CH＝BC﹣BH＝x，∵EC＝EF，∴FH＝CH＝x，∴BF＝x﹣x＝x，∴＝，∴AE＝．16、在正方形ABCD和等腰直角△BGF中，∠BGF＝90°，P是DF的中点，连接PG、PC．（1）如图1，当点G在BC边上时，延长GP交DC于点E．求证：PG＝PC；（2）如图2，当点F在AB的延长线上时，（1）中的结论是否成立？请证明你的结论；（3）如图3，若四边形ABCD为菱形，且∠ABC＝60°，△BGF为等边三角形，点F在CB的延长线。

《三角形与四边形》综合测试卷一、选择题(每小题3分，共30分)(第1题)1．如图，AC 与BD 相交于点O ，AB ∥CD ，∠AOB ＝105°，∠B ＝30°，则∠C 的度数为(A )A ．45°B ．55°C ．60°D ．75°2．如图，将一副三角尺按不同的位置摆放，下列摆放方式中∠α与∠β互余的是(A ),(第2题))A ．①B ．②C ．③D ．④(第3题)3．如图，在正五边形ABCDE 中，连结BE ，则∠ABE 的度数为(B ) A ．30° B ．36° C ．54° D ．72°【解析】 ∵五边形ABCDE 是正五边形， ∴∠A ＝108°，AB ＝AE ， ∴∠ABE ＝12×(180°－108°)＝36°.4．若一个三角形的两边长分别为2和4，则该三角形的周长可能是(C ) A ．6 B ．7 C ．11 D ．12【解析】 ∵2＜第三边长＜6， ∴8<周长<12，∴该三角形的周长可能是11. 5．下列命题正确的是(D ) A ．矩形对角线互相垂直B ．方程x 2＝14x 的解为x ＝14C．六边形内角和为540°D．一条斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等(第6题)6．如图，已知AE＝CF，∠AFD＝∠CEB，则添加下列一个条件后，仍无法判定△ADF≌△CBE的是(B)A．∠A＝∠CB．AD＝CBC．BE＝DFD．AD∥BC【解析】∵AE＝CF，∴AE＋EF＝CF＋EF，即AF＝CE.A．可根据“ASA”推出△ADF≌△CBE.B．不能根据“SSA”推出△ADF≌△CBE.C．可根据“SAS”推出△ADF≌△CBE.D．∵AD∥BC，∴∠A＝∠C，可根据“ASA”推出△ADF≌△CBE.(第7题)7．如图是边长为10 cm的正方形铁片，过两个顶点剪掉一个三角形，以下四种剪法中，裁剪线长度所标的数据(单位：cm)错误的是(A)【解析】边长为10的正方形的对角线长为10 2.∵102≈14.14＜15，∴A选项错误．8．如图，在菱形ABCD中，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，连结EF，FG，GH，HE.若EH＝2EF，则下列结论正确的是(D)A．AB＝2EF B．AB＝2EFC．AB＝3EF D．AB＝5EF,(第8题)),(第8题解))【解析】如解图，连结AC，BD相交于点O.∵E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，∴EH瘙綊12BD，EF瘙綊12AC. ∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，AO ＝12AC ＝EF ，BO ＝12BD ＝EH.∵EH ＝2EF ，∴BO ＝2AO ，∴AB ＝AO 2＋（2AO ）2＝5AO ＝5EF.(第9题)9．如图，在Rt △ABC 中，CM 平分∠ACB ，交AB 于点M ，过点M 作MN ∥BC ，交AC 于点N ，且MN 平分∠AMC.若AN ＝1，则BC 的长为(B )A. 4B. 6C. 4 3D. 8【解析】 ∵CM 平分∠ACB ，∴∠BCM ＝∠ACM .∵MN ∥BC ，∴∠NMC ＝∠BCM .∵MN 平分∠AMC ，∴∠AMN ＝∠NMC ＝∠ACM ，∴MN ＝CN .∵∠A ＝90°，∠A ＋∠AMN ＋∠NMC ＋∠ACM ＝180°，∴∠AMN ＝30°. 又∵AN ＝1，∴MN ＝2，∴CN ＝2，∴AC ＝3.∵MN ∥BC ，∴∠B ＝∠AMN ＝30°，∴BC ＝2AC ＝6.10．如图，将一张面积为14的大三角形纸片沿着虚线剪成三张小三角形纸片与一张平行四边形纸片．根据图中标示的长度，则平行四边形纸片的面积为(D )(第10题)A.215B.425C.247D.487(第10题解)【解析】 如解图，设△ADE ，△BDF ，△CEG ，平行四边形DEGF 的面积分别为S 1，S 2，S 3和S ，过点D 作DH ∥EC ，交BC 于点H.由四边形DFGE 为平行四边形，易得四边形DHCE 也为平行四边形， ∴△DFH ≌△EGC ，∴S △DFH ＝S 3. ∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC.∵DE ＝3，BC ＝7，∴S 1S △ABC ＝949.∵S △ABC ＝14，∴S 1＝949×14＝187，∴S △BDH ∶S ＝⎝⎛⎭⎫12×4∶3＝2∶3，∴S △BDH ＝23S ＝S △BDF ＋S △DFH ＝S △BDF ＋S △EGC ＝S 2＋S 3.∵S 2＋S 3＋S ＝S △ABC －S 1， ∴23S ＋S ＝14－187，∴S ＝487. 二、填空题(每小题4分，共24分)11．如图，P 是∠NOM 的边OM 上一点，PD ⊥ON 于点D ，∠OPD ＝30°，PQ ∥ON ，则∠MPQ 的度数是__60°__．【解析】 ∵PQ ∥ON ，∴∠O ＝∠QPM . ∵PD ⊥ON ，∠OPD ＝30°，∴∠MPQ ＝∠O ＝60°.,(第11题)) ,(第12题))12．两个完全相同的正五边形都有一边在直线l 上，且有一个公共顶点O ，其摆放方式如图所示，则∠AOB 的度数是__108°__．【解析】 ∠AOB ＝360°－108°×2－[180°－2(180°－108°)]＝108°.(第13题)13．如图，已知∠ABC ＝∠DCB ，添加下列条件中的一个：①∠A ＝∠D ；②AC ＝DB ；③AB ＝DC.其中不能确定△ABC ≌△DCB 的是__②__(填序号)．14．把图①中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个直角三角形分别拼成如图②，图③所示的正方形，则图①中菱形的面积为__12__．(第14题)(第14题解)【解析】 如解图．∵四边形ABCD 是菱形，∴OA ＝OC ，OB ＝OD ，AC ⊥BD. 设OA ＝x ，OB ＝y.由题意，得⎩⎨⎧x ＋y ＝5，x －y ＝1，解得⎩⎨⎧x ＝3，y ＝2，∴AC ＝2OA ＝6，BD ＝2OB ＝4，∴菱形ABCD 的面积为12AC·BD ＝12×6×4＝12.(第15题)15．如图，CE 是▱ABCD 的边AB 的垂直平分线，垂足为O ，CE 与DA 的延长线相交于点E ，连结AC ，BE ，DO ，DO 与AC 相交于点F.有下列结论：①四边形ACBE 是菱形；②∠ACD ＝∠BAE ；③AF ∶BE ＝2∶3；④S 四边形AFOE ∶S △COD ＝2∶3.其中正确的结论是__①②④__(填序号)．【解析】 ∵EC 垂直平分AB ，∴AE ＝BE ，AO ＝BO ，∠AEO ＝∠BEO . ∵AE ∥CB ，∴∠AEO ＝∠BCO . ∴∠BEO ＝∠BCO ， ∴BE ＝BC，∴BC瘙綊AE ，∴四边形ACBE 是菱形，故①正确． ∴∠BAE ＝∠BAC ＝∠ACD ，故②正确． ∵AO＝12AB ＝12DC ，∴AFFC ＝AO DC ＝12，∴AF ＝13AC ＝13BE ，故③错误． ∵S △AOF ＝13S △AOC ，∴S 四边形AFOE ＝43S △AOC .∵S △COD ＝12OC ·DC ＝12OC ·2AO ＝2S △AOC ，∴S 四边形AFOE ∶S △COD ＝43∶2＝2∶3，故④正确．综上所述，①②④正确．(第16题)16. 如图，在矩形ABCD 中，AD ＝3AB ＝310，P 是AD 的中点，点E 在BC 上，CE ＝2BE ，点M ，N 在线段BD 上．若△PMN 是等腰三角形且底角与∠DEC 相等，则MN ＝__6或158__．【解析】 分两种情况讨论：(第16题解①)①当MN 为等腰△PMN 的底边时，过点P 作PF ⊥MN 于点F ，如解图①，则∠PFM ＝∠PFN ＝90°.∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ＝CD ，BC ＝AD ＝3AB ＝310，∠A ＝∠C ＝90°， ∴AB ＝CD ＝10，∴BD ＝AB 2＋AD 2＝10. ∵P 是AD 的中点，∴PD ＝12AD ＝3102.∵∠PDF ＝∠BDA ，∠PFD ＝∠BAD ＝90°，∴△PDF ∽△BDA ，∴PF BA ＝PD BD ，即PF 10＝310210，解得PF ＝32. ∵CE ＝2BE ，∴BC ＝AD ＝3BE ， ∴BE ＝CD ，∴CE ＝2CD .∵△PMN 是等腰三角形且底角与∠DEC 相等，PF ⊥MN ，∴MF ＝NF ，∠PNF ＝∠DEC .又∵∠PFN ＝∠C ＝90°，∴△PNF ∽△DEC ， ∴NF PF ＝ECDC＝2， ∴MF ＝NF ＝2PF ＝3，∴MN ＝6.(第16题解②)②当MN 为等腰△PMN 的腰时，过点P 作PF ⊥BD 于点F ，如解图②. 由①，得PF ＝32，MF ＝3.设MN ＝PN ＝x ，则FN ＝3－x. 在Rt △PNF 中，⎝⎛⎭⎫322＋(3－x)2＝x 2， 解得x ＝158，即MN ＝158.综上所述，MN 的长为6或158.三、解答题(共66分)(第17题)17．(6分)如图，AB ＝AE ，AB ∥DE ，∠ECB ＝70°，∠D ＝110°.求证：△ABC ≌△EAD. 【解析】 ∵∠ECB ＝70°， ∴∠ACB ＝110°.又∵∠D ＝110°，∴∠ACB ＝∠D. ∵AB ∥DE ，∴∠CAB ＝∠E.在△ABC 和△EAD 中，∵⎩⎨⎧∠ACB ＝∠D ，∠CAB ＝∠E ，AB ＝EA ，∴△ABC ≌△EAD(AAS)．(第18题)18．(6分)如图，在等腰三角形ABC 中，AB ＝AC ，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，且AD ＝AE ，连结BE ，CD 相交于点F.(1)判断∠ABE 与∠ACD 的数量关系，并说明理由． (2)求证：过点A ，F 的直线垂直平分线段BC.【解析】 (1)∠ABE ＝∠ACD.理由如下：在△ABE 与△ACD 中，∵⎩⎨⎧AB ＝AC ，∠A ＝∠A ，AE ＝AD ，∴△ABE ≌△ACD(SAS)，∴∠ABE ＝∠ACD. (2)∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠ACB. 由(1)可知∠ABE ＝∠ACD ， ∴∠FBC ＝∠FCB ，∴FB ＝FC. 又∵AB ＝AC ，∴点A ，F 均在线段BC 的垂直平分线上， 即直线AF 垂直平分线段BC.(第19题)19．(6分)如图，在矩形ABCD 中，E 是AD 的中点，延长CE ，BA 相交于点F ，连结AC ，DF.(1)求证：四边形ACDF 是平行四边形．(2)当CF 平分∠BCD 时，写出BC 与CD 的数量关系，并说明理由． 【解析】 (1)∵四边形ABCD 是矩形， ∴AB ∥CD ，∴∠FAE ＝∠CDE. ∵E 是AD 的中点，∴AE ＝DE. 又∵∠FEA ＝∠CED ，∴△FAE ≌△CDE(ASA)，∴FA ＝CD.又∵AF ∥CD ，∴四边形ACDF 是平行四边形． (2)BC ＝2CD.理由如下：∵CF 平分∠BCD ，∴∠DCE ＝45°. ∵∠CDE ＝90°，∴△CDE 是等腰直角三角形， ∴CD ＝DE .∵E 是AD 的中点，∴AD ＝2DE ＝2CD . ∵AD ＝BC ，∴BC ＝2CD .(第20题)20．(8分)如图，在正方形ABCD 中，E 是BC 的中点，连结DE ，过点A 作AG ⊥ED ，交DE 于点F ，交CD 于点G.(1)求证：△ADG ≌△DCE.(2)连结BF ，求证：AB ＝FB.【解析】 (1)∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠ADG ＝∠C ＝90°，AD ＝DC.又∵AG ⊥DE ，∴∠DAG ＋∠ADF ＝90°＝∠CDE ＋∠ADF ， ∴∠DAG ＝∠CDE ，∴△ADG ≌△DCE(ASA)． (2)延长DE 交AB 的延长线于点H. ∵E 是BC 的中点，∴BE ＝CE.又∵∠C ＝∠HBE ＝90°，∠DEC ＝∠HEB ， ∴△DCE ≌△HBE(ASA)，∴BH ＝CD ＝AB ，即B 是AH 的中点． 又∵∠AFH ＝90°，∴BF ＝12AH ＝AB.21．(8分)如图，在△ABC 中，D 是AB 上一点，DE ⊥AC 于点E ，F 是AD 的中点，FG ⊥BC 于点G ，与DE 相交于点H ，FG ＝AF ，AG 平分∠CAB ，连结GE ，GD.(1)求证：△ECG ≌△GHD.(2)小亮同学经过探究发现：AD ＝AC ＋EC.请你帮助小亮同学证明这一结论． (3)若∠B ＝30°，判定四边形AEGF 是否为菱形，并说明理由．,(第21题)),(第21题解))【解析】 (1)∵AF ＝FG ，∴∠FAG ＝∠FGA. ∵AG 平分∠CAB ，∴∠CAG ＝∠FAG ， ∴∠CAG ＝∠FGA ，∴AC ∥FG . ∵DE ⊥AC ，∴FG ⊥DE.又∵FG ⊥BC ，∴四边形CEHG 是矩形， ∴∠C ＝∠DHG ＝90°，CE ＝HG ，CG ＝HE . ∵F 是AD 的中点，FG ∥AE ，∴HD ＝HE ， ∴CG ＝HD ，∴△ECG ≌△GHD (SAS )． (2)如解图，过点G 作GP ⊥AB 于点P ，则GC ＝GP .易证△CAG ≌△P AG ，∴AC ＝AP .由(1)可得EG ＝DG ，∴Rt △ECG ≌Rt △DPG (HL )， ∴EC ＝DP ，∴AD ＝AP ＋DP ＝AC ＋EC .(3)四边形AEGF 是菱形．理由如下： ∵∠B ＝30°，DE ⊥AC ，由(1)得∠C ＝90°， ∴∠ADE ＝30°，∴AE ＝12AD ，∴AE ＝AF ＝FG .由(1)得AE ∥FG ，∴四边形AEGF 是平行四边形． 又∵AE ＝AF ，∴▱AEGF 是菱形． 22．(10分)阅读下面的材料：在数学课上，老师请同学思考如下问题：如图①，我们把一个四边形ABCD 的四边中点E ，F ，G ，H 连结起来得到的四边形EFGH 是平行四边形吗？(第22题)小敏在思考问题时，有如下所示的思路：连结AC.结合小敏的思路作答：(1)若只改变图①中四边形ABCD 的形状(如图②)，则四边形EFGH 还是平行四边形吗？请说明理由．参考小敏思考问题的方法，解决以下问题： (2)如图②，在(1)的条件下，若连结AC ，BD.①当AC 与BD 满足什么条件时，四边形EFGH 是菱形，请写出结论并证明． ②当AC 与BD 满足什么条件时，四边形EFGH 是矩形，请直接写出结论．【解析】 (1)四边形EFGH 还是平行四边形．理由如下： 连结AC.∵E ，F 分别是AB ，BC 的中点， ∴EF ∥AC ，EF ＝12AC.∵G ，H 分别是CD ，AD 的中点， ∴GH ∥AC ，GH ＝12AC ，∴EF ∥GH ，EF ＝GH ，∴四边形EFGH 是平行四边形．(2)①当AC ＝BD 时，四边形EFGH 是菱形．证明如下： 由(1)可知四边形EFGH 是平行四边形，EF ＝12AC.易知FG ＝12BD ，当AC ＝BD 时，FG ＝EF ，∴四边形EFGH 是菱形． ②当AC ⊥BD 时，四边形EFGH 是矩形．证明如下： 由(1)可知四边形EFGH 是平行四边形，EF ∥AC. 易知FG ∥BD ，当AC ⊥BD 时，EF ⊥FG ，∴四边形EFGH 是矩形．23．(10分)如图，四边形ABCD 是平行四边形，AD ＝AC ，AD ⊥AC ，E 是AB 的中点，F 是AC 的延长线上一点，连结DE ，EF.,(第23题))(1)若ED⊥EF，求证：ED＝EF.(2)在(1)的条件下，若DC的延长线与FB相交于点P，试判定四边形ACPE是否为平行四边形？并证明你的结论．(请先补全图形，再解答)(3)若ED＝EF，则ED与EF垂直吗？若垂直，请给出证明；若不垂直，请说明理由．【解析】(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC.∵AD＝AC，AD⊥AC，∴AC＝BC，AC⊥BC.如解图①，连结CE.∵E是AB的中点，∴AE＝CE，CE⊥AB，∴∠ACE＝∠BCE＝45°，∴∠ECF＝∠EAD＝135°.∵∠AED＋∠CED＝∠CEF＋∠CED＝90°，∴∠AED＝∠CEF，∴△AED≌△CEF(ASA)，∴ED＝EF.,①),②),(第23题解))(2)补全图形如解图②所示，四边形ACPE是平行四边形．证明如下：由(1)得△AED≌△CEF，∴AD＝CF.又由(1)得AD＝AC，∴AC＝CF.又∵CP∥AE，∴CP为△FAB的中位线，∴CP瘙綊AE ，∴四边形ACPE 是平行四边形．(3)垂直．证明如下：如解图②，过点E 作EH ⊥AF 于点H ，作EG ⊥DA 交DA 的延长线于点G ，连结CE. ∵AE ＝CE ，∠EAG ＝∠ECH ＝45°，∠AGE ＝∠CHE ＝90°， ∴△AGE ≌△CHE (AAS )，∴EG ＝EH .又∵ED ＝EF ，∴Rt △DEG ≌Rt △FEH (HL )， ∴∠ADE ＝∠CFE ，∴∠DEA ＝∠FEC ， ∴∠FEC ＋∠DEC ＝∠DEA ＋∠DEC ＝90°， ∴∠DEF ＝90°，即ED ⊥EF . 24．(12分)如图，在等边三角形ABC 中，点D 在直线BC 上，连结AD ，作∠ADN ＝60°，直线DN 交射线AB 于点E ，过点C 作CF ∥AB 交直线DN 于点F.（第24题）(1)如图①，当点D 在线段BC 上，∠NDB 为锐角时，求证：CF ＋BE ＝CD(提示：过点F 作FM ∥BC 交射线AB 于点M)．(2)如图②，当点D 在线段BC 的延长线上，∠NDB 为锐角时；如图③，当点D 在线段CB 的延长线上，∠NDB 为钝角时，请分别写出线段CF ，BE ，CD 之间的数量关系，不需要证明．(3)在(2)的条件下，若∠ADC ＝30°，S △ABC ＝43，则BE ＝__8__，CD ＝__4或8__． 【解析】 (1)如解图①，过点F 作FM ∥BC 交射线AB 于点M . ∵FM ∥BC ，∴∠EMF ＝∠ABC ，∠BDE ＝∠MFE . ∵CF ∥AB ，FM ∥BC ，∴四边形BMFC 是平行四边形， ∴BC ＝MF ，CF ＝BM . ∵△ABC 是等边三角形， ∴∠ABC ＝∠ACB ＝60°，BC ＝AC ， ∴∠EMF ＝∠ACB ，MF ＝CA . ∵∠ADE ＝∠ACB ＝60°， ∴∠BDE ＋∠CDA ＝120°，∠CAD ＋∠CDA ＝120°， ∴∠BDE ＝∠CAD ，∴∠MFE ＝∠CAD . 在△MEF 与△CDA 中，∵⎩⎨⎧∠MFE ＝∠CAD ，MF ＝CA ，∠EMF ＝∠DCA ，∴△MEF ≌△CDA (ASA )，∴CD ＝ME ＝BE ＋BM ，∴CF ＋BE ＝CD .（第24题解）(2)当∠NDB为锐角时，CD＝BE－CF；当∠NDB为钝角时，CD＝CF－BE.(3)如解图②.由题意，得∠CDA＝∠CAD＝30°，∠BAD＝90°，BC＝AC＝CD.∵S△ABC＝12BC·BC·sin 60°＝34BC2＝43，∴BC＝4，∴CD＝4.∵∠BDE＝∠ADN－∠ADC＝30°，∠BED＝90°－∠ADN＝30°，∴∠BDE＝∠BED，∴BE＝BD＝BC＋CD＝8.如解图③.同理可得此时BD＝BC＝AB，BC＝4，∠BAD＝30°，∴BD＝4，∠DEB＝∠ADN－∠BAD＝30°.又∵∠ADN＋∠ADC＝90°，∴∠EDB＝90°，∴BE＝2BD＝8，CD＝BD＋BC＝8.综上所述，BE＝8，CD＝4或8.。