三阶行列式

三阶矩阵的行列式一、下面介绍三阶行列式概念. 设已知9个数排成正方形表111213212223313233a a a a a a a a a ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭，则数112233122331132132132231122133112332a a a a a a a a a a a a a a a a a a ++---称为对应于这个表的三阶行列式，用记号111213212223313233a a a a a a a a a 表示，因此111213212223112233122331132132132231122133112332313233a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a =++---．（5）关于三阶行列式的元素、行、列等概念，与二阶行列式的相应概念类似，不再重复.●例12124312351122(4)32321(4)5213235-=⨯⨯+⨯⨯+⨯-⨯-⨯⨯-⨯-⨯-⨯⨯ 302241220610=+--+-=．利用交换律和结合律，可把（5）式改写如下：111213212223112233233212213323311321322231313233()()()a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a =---+-． 把上式右端3个括号中的式子表示为二阶行列式，则有111213222321232122212223111213323331333132313233a a a aa a a a aa a a a a a a a a a a a a a a =-+．上式称为三阶行列式按第一行的展开式.●例2 将例2中的行列式按第一行展开并计算它的值. 解21231414343122352523235---=-+212(22)2(18)24223610=⨯--+⨯-=+-=．二、三阶方程组的行列式 设三阶方程组的系数矩阵为111213212223313233a a a a a a a a a ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A 则只用第三类初等变换的高斯消元法求得其上三角矩阵如下：()()11121311221221112313211111223312233113213213223112213311233211221221a a a 0a a -a a /a a -a a /a 00(a a a +a a a +a a a -a a a -a a a -a a a )/a a -a a ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦U要求三个对角元素的连乘积不为零。

三阶行列式与矩阵迹在线性代数中，三阶行列式与矩阵迹是两个重要的概念。

它们在矩阵运算和矩阵性质研究中具有重要作用。

下面我们将详细介绍三阶行列式与矩阵迹的计算方法及其应用。

一、简介三阶行列式与矩阵迹的概念1.三阶行列式：一个三阶行列式是由一个三阶方阵的元素按照一定规则组成的。

它表示的是这个三阶方阵所描述的线性变换对任意一组输入的输出结果。

三阶行列式的定义为：$$|A| = a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32} - a_{13}a_{22}a_{31} - a_{12}a_{21}a_{33} - a_{11}a_{23}a_{32}$$2.矩阵迹：矩阵迹是一个矩阵所有元素的和的奇数倍，即矩阵迹等于矩阵的主对角线元素之和乘以奇数。

对于一个三阶矩阵A，其矩阵迹表示为：$$trace(A) = a_{11} + a_{22} + a_{33}$$二、计算三阶行列式的方法1.递推法：通过递推的方式计算三阶行列式，首先计算二阶行列式，然后将结果与第三个元素相乘，最后将所有结果相加。

2.拉普拉斯展开式：根据行列式的定义，可以将三阶行列式表示为三个二阶行列式的乘积减去中间元素的乘积。

通过拉普拉斯展开式，可以快速计算三阶行列式。

三、矩阵迹的计算方法1.直接计算法：直接将矩阵的主对角线元素相加，再乘以奇数。

2.高斯消元法：通过高斯消元法计算矩阵的秩，然后将秩乘以矩阵主对角线元素之和得到矩阵迹。

四、三阶行列式与矩阵迹的关系1.对于一个三阶方阵A，其行列式与矩阵迹有如下关系：$$|A| = a_{11}a_{22}a_{33} - a_{13}a_{22}a_{31} - a_{12}a_{21}a_{33} + a_{13}a_{21}a_{32} + a_{11}a_{23}a_{32} - a_{12}a_{23}a_{31}$$2.矩阵迹是行列式的一条对角线元素之和，即：$$trace(A) = a_{11} + a_{22} + a_{33}$$五、举例说明三阶行列式和矩阵迹的计算与应用1.计算三阶行列式：$$|A| = begin{vmatrix}1 &2 & 34 &5 & 67 & 8 & 9end{vmatrix} = 1times5times9 + 2times6times7 - 3times4times8 = 37$$2.计算矩阵迹：$$trace(A) = 1 + 5 + 9 = 15$$3.应用：在机器学习领域，矩阵迹常用于计算代价函数的梯度。

三阶行列式向量一、什么是行列式向量在线性代数中，矩阵是一个有限个数的数按一定规律排列成的矩形阵列。

在矩阵的基础上，行列式向量是一种重要的概念。

它是通过将数按一定规则排列形成的一种新的数学结构。

行列式向量不仅可以用于解线性方程组，还在计算机科学、统计学等领域有着广泛的应用。

二、三阶行列式向量的定义三阶行列式向量是由3x3矩阵中元素按一定规则排列形成的。

具体而言，三阶行列式向量由三行三列的矩阵形成，如下所示：[a b c d e f g ℎi] 其中，a 、b 、c 、d 、e 、f 、g 、h 、i 是矩阵中的元素。

三阶行列式向量可用记法表示为：∣∣∣∣∣∣a b c d e f g ℎi ∣∣∣∣∣∣ 三、计算三阶行列式向量的方法计算三阶行列式向量的方法有多种，其中常用的方法是按代数余子式和拉普拉斯展开定理进行计算。

下面将分别介绍这两种计算方法。

3.1 按代数余子式计算按代数余子式计算三阶行列式向量的方法主要包括以下几个步骤：1. 将原始矩阵按第一行展开，得到：a ∣∣∣e f ℎi ∣∣∣−b ∣∣∣d f g i ∣∣∣+c ∣∣∣de g ℎ∣∣∣2. 计算各个代数余子式的值，其中代数余子式的计算方法为：(−1)i+j M ij，其中M ij表示将第i 行第j 列的元素划去后所形成的2x2矩阵的行列式向量。

3. 将步骤1中的各个代数余子式的值带入，计算得出最终的行列式向量的值。

3.2 拉普拉斯展开定理计算拉普拉斯展开定理是计算行列式向量的常用方法之一，其步骤如下：1. 选择矩阵中的任意一行或一列，假设选择第一行。

2. 以选择的行或列为基准，将行列式向量展开成若干个二阶行列式向量。

3. 计算每个二阶行列式向量的值，并根据相应的符号将它们加和得到最终的行列式向量的值。

3.3 计算示例假设有以下的三阶行列式向量：∣∣∣∣∣∣123456789∣∣∣∣∣∣ 按代数余子式的方法，展开计算如下：1∣∣∣5689∣∣∣−2∣∣∣4679∣∣∣+3∣∣∣4578∣∣∣ 计算代数余子式的值：1(5×9−6×8)−2(4×9−6×7)+3(4×8−5×7)计算得出最终的行列式向量的值。

三阶行列式称左式的左边为三阶行列式，右边的式子为三阶行列式的展开式。

目录1 基本概念2 计算方法1 基本概念2 计算方法1 基本概念对于三元线性方程组，如上图利用加减消元法，为了容易记住其求解公式，但要记住这个求解公式是很困难的，因此引入三阶行列式的概念。

记称上式的左边为三阶行列式，右边的式子为三阶行列式的展开式。

2 计算方法标准方法是在已给行列式的右边添加已给行列式的第一列、第二列。

我们把行列式的左上角到右下角的对角线称为主对角线，把右上角到左下角的对角线称为次对角线。

这时，三阶行列式的值等于主对角线的三个数的积与和主对角线平行的三个对角线上的数的积的和减去次对角线的三个数的积与和次对角线平行的对角线上三个数的积的和的差。

例如a1 a2 a3b1 b2 b3c1 c2 c3结果为a1·b2·c3+b1·c2·a3+c1·a2·b3-a3·b2·c1-b3·c2·a1-c3·a2·b1(注意对角线就容易记住了）这里一共是六项相加减，整理下可以这么记：a1(b2·c3-b3·c2) + a2(b3·c1-b1·c3) + a3(b1·c2-b2·c1)此时可以记住为：a1*a1的代数余子式+a2*a2的代数余子式+a3*+a3的代数余子式某个数的代数余子式是指删去那个数所在的行和列后剩下的行列式。

行列式的每一项要求：不同行不同列的数字相乘如选了a1则与其相乘的数只能在2，3行2，3列中找，（即在b2 b3 中找）c2 c3而a1(b2·c3-b3·c2)+a2(b1·c3-b3·c1)+a3(b1·c2-b2·c1)是用了行列式展开运算：即行列式等于它每行的每一个数乘以它的代数余子式之和某个数的代数余子式是指删去那个数所在的行和列后剩下的行列式。

三阶矩阵行列式计算公式
三阶矩阵行列式计算公式：
1、矩阵行列式：当一个矩阵中元素按行（列）排列时，这个矩阵的行（列）式就是由这个矩阵中各元素的多元一次积组成的式子。

2、三阶矩阵行列式计算公式：
当一个矩阵的阶数为3时，其行列式的计算公式为：
△=a11·a22·a33+a12·a23·a31+a13·a21·a32 -
（a13·a22·a31+a11·a23·a32+a12·a21·a33）
其中aij表示矩阵的第i行第j列的元素的值。

3、三阶矩阵行列式的展开计算方法：
当一个矩阵的阶数为3时，其行列式一般用展开的方法来计算。

展开是把一元二次方程表达式分解成多个定义同等的一元二次式。

三阶矩阵行列式计算步骤如下：
（1）选取矩阵中一行或一列，并写出矩阵行列式的展开式；
（2）把选出的行或列换成与其他行（列）不同的其他行（列）；
（3）根据求行列式的性质，把展开式中系数的符号颠倒；（4）重新组合，用得到的新式子计算矩阵行列式的值；（5）经过几次混合计算，最终可以求得矩阵的行列式的值。

求解三阶行列式的方法可以使用Sarrus法则或展开法。

1. Sarrus法则:三阶行列式的Sarrus法则是一种通过计算交叉相乘的方式求解行列式的方法。

具体步骤如下：假设有一个三阶行列式：| a b c || d e f || g h i |(1) 从左上角的元素开始，将每个元素与其右下方的元素相乘，连乘三次，并将乘积相加：a * e * i +b * f * g +c *d * h(2) 从右上角的元素开始，将每个元素与其左下方的元素相乘，连乘三次，并将乘积相减：c * e * g + a * f * h + b *d * i(3) 将上述两个结果相减，即可得到行列式的值。

2. 展开法:三阶行列式的展开法是一种将行列式按照某一行（或列）展开成若干个二阶行列式的方法。

具体步骤如下：假设有一个三阶行列式：| a b c || d e f || g h i |(1) 选择一行（或列）进行展开，例如选择第一行展开。

(2) 将展开的行（或列）的元素与其对应的代数余子式相乘，然后交替相加或相减：a * A11 -b * A12 +c * A13其中A11，A12，A13 分别是对应元素的代数余子式。

代数余子式的计算方法为，将包含对应元素的行和列划去，然后计算剩下的二阶行列式的值。

例如，A11 是划去第一行和第一列后剩余二阶行列式的值。

(3) 将上述结果相加或相减，即可得到行列式的值。

通过Sarrus法则或展开法，可以求解任意三阶行列式的值。

请注意，这些方法可以扩展到更高阶的行列式。

3阶行列式计算方法行列式是线性代数中的一个重要概念，由一系列数的排列所组成，常用于描述线性方程组的解以及计算面积、体积等。

其中，3阶行列式是比较常见的一种，其计算方法如下：1. 先列出行列式的表达式。

一个3阶行列式通常的表示方式是：$$\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}$$其中，a11~a33为3x3矩阵的各元素。

2. 保留第1行的各元素，将第1列剩下的元素构成2阶矩阵，并求出其行列式的值。

例如：将上述行列式中的第1行保留，去掉第1列，得到2阶矩阵：$$\begin{vmatrix}a_{22} & a_{23}\\ a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}$$求出该矩阵的行列式值记作A1，即：$$A1= a_{22}a_{33}-a_{23}a_{32}$$3. 保留第2行的各元素，将第1列和第3列剩下的元素构成2阶矩阵，并求出其行列式的值。

例如：将上述行列式中的第2行保留，去掉第1列和第3列，得到2阶矩阵：$$\begin{vmatrix}a_{12} & a_{13}\\ a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}$$求出该矩阵的行列式值记作A2，即：$$A2= a_{12}a_{33}-a_{13}a_{32}$$4. 保留第3行的各元素，将第2列剩下的元素构成2阶矩阵，并求出其行列式的值。

例如：将上述行列式中的第3行保留，去掉第2列，得到2阶矩阵：$$\begin{vmatrix}a_{12} & a_{13}\\ a_{22} & a_{23} \end{vmatrix}$$求出该矩阵的行列式值记作A3，即：$$A3= a_{12}a_{23}-a_{13}a_{22}$$5. 最后，将上述三个值按照一定顺序代入以下公式求行列式的值：$$\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} = a_{11}A1-a_{21}A2+a_{31}A3$$其中，一定要记住加减号的顺序。

三阶行列式计算
三阶行列式性质性质1：行列式与它的转置行列式相等。

性质2：互换行列式的两行(列)，行列式变号。

推论：如果行列式有两行(列)完全相同，则此行列式为零。

性质3：行列式的某一行(列)中所有的元素都乘以同一数k，等于用数k乘此行列式。

推论：行列式中某一行(列)的所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面
利用对角线法则。

在已给的行列式的右边添加已给行列式的第一列和第二列，把行列式的左上角到右下角的对角线称为主对角线，把右上角到左下角的对角线成为次对角线。

这时候行列式的值就等于主对角线的三个数的积与和主对角线平行的三个对角线上的数的积的和减去次对角线的三个数的积与和次对角线平行的对角线上三个数的积的和的差。

利用对角线法则进行计算时，将实线上的三个元素的乘积冠正号，虚线上的三个元素乘积冠名负号，利用余子式。

将矩阵划去第i行和第j列所产生的的n-1阶行列式叫做矩阵a的元素aij的余子式，记为mij。

然后利用改写余子式的方法，将行列式的第二行和第三行也同样改写展开，最后按照+-+-+-的规律给每一项添加符号即可。

提出了一种计算三阶行列式的新方法,把三阶行列式的计算转化为两阶行列式的计算,并且与行列式按行(列)展开有很大的区别.1预备知识通过文献我们知道三阶矩阵的行列式的基本算法.现在我们看一看如何计算一个三阶矩阵的行列式。