2021考研_考研数学试卷内容与题型结构解析

2021考研数学一真题带详细答案解析[网络版本]2021年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试题一、多项选择题：1-8个子题，每个子题4分，总共32分如果以下每个问题中给出的四个选项中只有一个符合问题的要求，请在答题纸（1）的指定位置填写所选选项前面的字母，让函数f（x）处于，内部连续性，其中二阶导数f？？（x）图中显示了的曲线，然后是曲线y？F（x）的拐点数为（）(a)0(b)1(c)2(d)3（2）把你放在一边？12x1e？（x？）Ex是二阶常系数非齐次线性微分方程23y是吗？？通过然后是CEX的一个特殊解决方案()（a） a？？3，b？2，c？？1（b）a？3，b？2，c？？1（c）a？？3，b？2，c？1（d）a？3，b？2，c？一(3)若级数一1.N条件收敛，那么x？3和X？3是幂级数na(x1)nn1n的()(a)收敛点，收敛点(b)收敛点，发散点(c)发散点，收敛点(d)发散点，发散点（4）设d为曲线2XY的第一象限？1,4xy？1和直线y？x、是吗？被3x包围的平面区域，函数f？x、是吗？在D上连续，然后（）1Fx、是吗？dxdy？d?(a)D341sin2？12sin2？Frcos？，rsin？？rdr(b)D341sin2？12sin2？1平方米？12sin2？Frcos？，rsin？？rdrf？rcos？，rsin？？博士(c)D34? （d）d341sin2?12sin2?f?rcos?,rsindr1.111 （5）让matrix A？12a，b？？D如果集合是空的1,2?，然后是线性方程组14a2??d2??ax?b有无穷多解的充分必要条件为()(a)(b)(c)(d)A.DA.DA.DA.D222(6)设二次型f?x1,x2,x3?在正交变换为x?py下的标准形为2y1，?y2?y3其中p??e1,e2,e3?，若q??e1,?e3,e2?，则f?x1,x2,x3?在正交变换x?qy下的标准形为()222（a）2y1？y2？y3222（b）2y1？y2？y3222（c）2y1？y2？y3222（d）2y1？y2？y3(7)若a,b为任意两个随机事件，则()（a） p？ab？？PA.PB（b） p？ab？？PA.PBp?a?p?b?p?a?p?b?(c)p?ab??(d)p?ab??二百二十二(8)设随机变量x,y不相关，且ex?2,ey?1,dx?3，则e??x?x?y?2()（a） ?？3（b）3（c）？5（d）5二、填空题：9-14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸指定位置上.．．．(9)lim(10)（11）如果函数Z？Z（x，y）由方程ex确定？xyz？十、Coxx？2.如果是，DZ(12)设?是由平面x?y?z?1与三个坐标平面平面所围成的空间区域，则（0,1）lncosx？_________________。

考研数学二试卷结构及题型分配
考研数学二的试卷结构及题型分配如下：
1.试卷结构：由选择题和非选择题两部分组成。

2.选择题：一般分为单项选择和多项选择。

单项选择题有四个选项，考生需选择一个正确答案；多项选择题有五个选项，考生需选择两个或两个以上正确答案。

3.非选择题：一般由计算题和解答题组成。

计算题是要求考生进行计算，例如计算极限、积分、微分等；解答题一般是要求考生解答一定的数学问题，可能涉及证明、推导或其他数学思考。

4.分值分配：选择题部分一般占试卷总分的40%左右，非选择题部分一般占试卷总分的60%左右。

具体的题型分配可能会因年份和出题者的不同而有所变化，因此考生在备考时最好参考近年的真题和历年的分析，了解具体的题型分配和分值分布情况。

2021考研数学二真题及解析考研数学二一直以来都是众多考生心中的一座大山，而 2021 年的考研数学二真题更是充满了挑战与机遇。

下面就让我们一起来详细剖析一下这一年的真题。

首先，我们来看选择题部分。

选择题的难度整体适中，涵盖了多个重要的知识点。

比如，在第一道选择题中，考查了函数的极限定义，这需要考生对极限的概念有清晰的理解。

第二道题则涉及到导数的计算，通过给出一个复杂的函数，要求考生运用求导法则准确求出导数。

填空题部分，同样注重对基础知识的考查。

像其中一题考查了定积分的计算，需要考生熟练掌握积分公式和积分的基本运算方法。

还有一题是关于空间向量的问题，检验考生对向量的运算和性质的掌握程度。

接下来是解答题。

第一道解答题通常是关于函数的单调性和极值问题，这是数学二中的常见考点。

考生需要通过求导来判断函数的单调性，并找出极值点。

在这道题中，函数的表达式较为复杂，需要考生有较强的化简和计算能力。

第二道解答题是关于二重积分的计算。

二重积分一直是考研数学二的重点和难点，这道题需要考生正确选择积分次序，并准确计算出积分的值。

对于很多考生来说，能否清晰地画出积分区域，选择合适的积分方法，是解题的关键。

再看后面的题目，有一道是关于常微分方程的求解。

这要求考生熟悉各种类型常微分方程的解法，并且能够根据题目所给条件准确地求出方程的通解和特解。

还有一道关于曲线积分的问题，考查了考生对曲线积分的定义、性质以及计算方法的掌握。

这道题需要考生具备较强的空间想象能力和数学运算能力。

总的来说，2021 年考研数学二真题紧扣考试大纲，全面考查了考生对数学知识的掌握和运用能力。

从知识点的分布来看，函数、导数、积分、微分方程等核心内容都有涉及。

对于考生来说，要想在考试中取得好成绩，首先要对基本概念和定理有深入的理解，不能只是死记硬背。

其次，要通过大量的练习来提高解题能力和计算速度。

在平时的学习中，要注重总结解题方法和技巧，形成自己的解题思路。

2021考研数学题型结构考研数学是考试中的一大重点科目，对于考生来说，熟悉并掌握数学题型的结构非常重要。

本文将就2021考研数学题型的结构进行详细分析。

首先，2021考研数学题型分为两个大类，分别为数学一和数学二。

其中，数学一主要包含高数、线代和概率统计等内容；而数学二则涉及到数学分析、线代、概率统计、离散数学等多个子学科。

接下来，我们将详细分析数学一和数学二的各个具体题型。

一、数学一题型结构：1. 高等数学题型结构：（1）极限与连续性题型：这一题型占据较大的比重，主要考察对于极限概念和连续性的理解和运用能力。

常见的子题型包括极限的计算、极限存在性的判断、连续函数的性质等。

（2）导数与微分题型：这一题型主要涉及到导数的概念和性质，考察对于导数的计算和应用的能力。

常见的子题型包括导数的计算、利用导数求极值、求曲线的渐近线等。

（3）积分题型：积分题型主要考察对于积分的计算和应用的能力。

常见的子题型包括定积分的计算、定积分的应用、反常积分的计算等。

2. 线性代数题型结构：（1）向量与矩阵题型：这一题型主要涉及到向量和矩阵的概念和性质，考察对于向量和矩阵的基本操作和性质的理解和应用能力。

（2）线性方程组题型：线性方程组是线性代数的重要内容，考察对于线性方程组的解法和性质的理解和应用能力。

3. 概率统计题型结构：（1）基本概率论题型：这一题型主要考察对于概率论基本概念和性质的理解和应用能力。

（2）统计学题型：统计学是概率统计的重要内容，考察对于统计学基本概念和性质的理解和应用能力。

二、数学二题型结构：1. 数学分析题型结构：（1）实数与函数题型：实数与函数是数学分析的基础，考察对于实数和函数的性质的理解和应用能力。

（2）极限与连续性题型：数学分析中的极限和连续性是重要的概念，考察对于极限和连续性的理解和运用能力。

（3）级数题型：级数是数学分析的重要内容，考察对于级数的收敛性和计算的理解和应用能力。

2. 线性代数题型结构：（1）线性空间题型：线性空间是线性代数的核心内容，考察对于线性空间的性质和基本定理的理解和应用能力。

2015年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试题一、选择题：18小题，每题4分，共32分。

以下每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上。

(1)设函数()f x 在(),-∞+∞内持续，其中二阶导数()''f x 的图形如下图，那么曲线()=y f x 的拐点的个数为 ( )(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3【答案】（C ）【解析】拐点出此刻二阶导数等于0，或二阶导数不存在的点，而且在这点的左右双侧二阶导函数异号。

因此，由()f x ''的图形可得，曲线()y f x =存在两个拐点.应选（C ）. (2)设211()23=+-x x y e x e 是二阶常系数非齐次线性微分方程'''++=x y ay by ce 的一个特解，那么 ( )(A) 3,2,1=-==-a b c (B) 3,2,1===-a b c (C) 3,2,1=-==a b c (D) 3,2,1===a b c 【答案】（A ）【分析】此题考查二阶常系数非齐次线性微分方程的反问题——已知解来确信微分方程的系数，此类题有两种解法，一种是将特解代入原方程，然后比较等式两边的系数可得待估系数值，另一种是依照二阶线性微分方程解的性质和结构来求解，也确实是下面演示的解法.【解析】由题意可知，212x e 、13x e -为二阶常系数齐次微分方程0y ay by '''++=的解，因此2,1为特点方程20r ar b ++=的根，从而(12)3a =-+=-，122b =⨯=，从而原方程变成32x y y y ce '''-+=，再将特解x y xe =代入得1c =-.应选（A ）(3) 假设级数1∞=∑nn a条件收敛，那么=x 3=x 依次为幂级数1(1)∞=-∑n n n na x 的( )(A) 收敛点，收敛点 (B) 收敛点，发散点 (C) 发散点，收敛点 (D) 发散点，发散点 【答案】（B ）【分析】此题考查幂级数收敛半径、收敛区间，幂级数的性质。

2021考研数学一、二、三题型及区别考研数学基本常识考研数学可以分为五类：数学一、数学二、数学三、数学农或者自命题数学，大多数同学需要准备的是统考数学数学一、二、三，今天重点讲的也是统考数学。

统考考研数学考试时间研究生初试第二天上午8:30—11:30，总时长3个小时。

考研数学题型分布数学试卷一般按照高数、线代、概率的顺序出题，数学试卷结构包含单项选择题32分，填空题24分和解答题94分，总分150分。

分值分布各科目分值比例基本不变，相应的也体现出来各科目的重要程度和内容多少。

历年平均分从历年数学平均分来看，数学成绩的高低与年份有着一定的关系，呈现高低起伏的趋势，但是从同一年份不同科目来看，分数高低与科目并没有太大的联系，也就是难度上数学一大于数学三大于数学二的观念并不客观。

考研数学一、二、三区别一、考研数学一考试内容：考察内容最多高等数学，包括函数极限连续、一元函数微分学、一元函数积分学、向量代数和空间解析几何、多元函数微分学、多元函数积分学及其应用、无穷级数和常微分方程等。

线性代数，包括行列式、矩阵、向量、线性方程组、矩阵的特征值及特征向量和二次型等。

概率论与数理统计，包括随机事件和概率、随机变量及其概率分布、多维随机变量及其概率分布、随机变量的数字特征、大数定律和中心极限定理、数理统计的基本概念、参数估计、假设检验等。

适用专业：针对数学要求较高的理工类考生具体查看院校招生简章工学门类的力学，机械工程，光学工程，仪器学与技术，冶金工程，动力学工程及工程物理，电气工程，电子科学与技术，信息与通信工程，控制科学与工程，计算机科学与技术，土木工程，水利工程，测绘科学与技术，交通运输工程，船舶与海洋工程，航空宇航科学与技术，兵器科学与技术，核科学与技术，生物医学工程等一级学科中所有的二级学科，专业。

工学门类的材料与工程，化学工程与技术，地质资源与地质工程，矿业工程，石油与天然气工程，环境科学与工程等一级学科中对数学要求较高的二级学科，专业。

2021年全国硕士研究生入学统一考试数学（二）试题解析一、选择题:110小题,每小题5分,共50分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）当0x →时，23(1)x t e -⎰是7x 的 （ ）.(A)低阶无穷小. (B)等价无穷小. (C)高阶无穷小. (D)同阶但非等价无穷小.【答案】C .【解析】因为当0x →时，23670(1)2(1)~2x t x e dt x e x '⎡⎤-=-⎢⎥⎣⎦⎰，所以230(1)x t e -⎰是7x 的高阶无穷小，正确答案是C .（2）函数1,0()1,0x e x f x x x ⎧-≠⎪=⎨⎪=⎩，在0x =处（ ）(A)连续且取极大值. (B)连续且取极小值. (C)可导且导数为0. (D)可导且导数不为0.【答案】D【解析】因为001lim ()lim 1(0)x x x e f x f x→→-=-=，故()f x 在0x =处连续.因为200011()(0)11lim lim lim 002x x x x x e f x f e x x x x x →→→-----===--，故1(0)2f '=，故选D . (3)有一圆柱体底面半径与高随时间变化的速率分别为2/cm s ，3/cm s -，当底面半径为10cm ，高为5cm ，圆柱体的体积与表面积随时间变化的速率分别为 （ ）. (A)3125/cm s π，240/cm s π. (B)3125/cm s π，240/cm s π-. (C)3100/cm s π-，240/cm s π. (D)3100/cm s π-，240/cm s π-.【答案】C .【解析】由题意知.2dr dt =，3dhdt=-，又2V r h π=，222S rh r ππ=+. 则22dV dr dh rh r dt dt dt ππ=+，224dS dr dh dr h r r dt dt dt dtπππ=++.当10r =，5h =时，100dV dt π=-，40dSdtπ=，选C . (4)设函数()ln (0)f x ax b x a =->有两个零点，则ba的取值范围 （ ）.(A)(,)e +∞. (B)(0,)e . (C)1(0,)e. (D)1(,)e +∞.【答案】A .【解析】令()ln 0f x ax b x =-=，()bf x a x'=-，令()0f x '=有驻点b x a =，ln 0b b b f a b a a a ⎛⎫=⋅-⋅< ⎪⎝⎭.从而ln 1b a >，可得b e a >，选A .(5)设函数()sec f x x =在0x =处的2次泰勒多项式为21ax bx ++，则 （ ）.(A)1a =，12b =-. (B)1a =，12b =.(C)0a =，12b =-. (D)0a =，12b =.【答案】D .【解析】由22(0)()(0)(0)()2f f x f f x x o x '''=+++知当()sec f x x =时，(0)sec01f ==， (0)(sec tan )00f x x x '===，23(0)(sec tan sec )10f x x x x ''=+==，则221()sec 1()2f x x x o x ==++，选D .（6）设函数(,)f x y 可微，且2(1,)(1)xf x e x x +=+，22(,)2ln f x x x x =，则(1,1)df =（ ）(A)dx dy +. (B)dx dy -. (C)dy . (D)dy -.【答案】C【解析】212(1,)(1,)(1)2(1)x x x f x e e f x e x x x ''+++=+++ ①2212(,)2(,)4ln 2f x x xf x x x x x ''+=+ ②分别将00x y =⎧⎨=⎩，11x y =⎧⎨=⎩代入①②式有12(1,1)(1,1)1f f ''+=，12(1,1)2(1,1)2f f ''+=联立可得1(1,1)0f '=，2(1,1)1f '=，12(1,1)(1,1)(1,1)df f dx f dy dy ''=+=，故选C .(7)设函数()f x 在区间[0,1]上连续，则1()f x dx =⎰（ ）(A)1211lim 22nx n k f n n →∞=-⎛⎫ ⎪⎝⎭∑(B )1211l i m 2nx n k f n n→∞=-⎛⎫ ⎪⎝⎭∑. (C)2111lim 2nx n k f n n →∞=-⎛⎫ ⎪⎝⎭∑. (D)212lim 2n x n k f n n→∞=⎛⎫ ⎪⎝⎭∑. 【答案】B【解析】由定积分定义秩，将(0,1)分成n 份，取中间点的函数11211()lim 2nx n k f x dx f n n →∞=-⎛⎫= ⎪⎝⎭∑⎰，即选B . (8)二次型222123122331(,,)()()()f x x x x x x x x x =+++--的正惯性指数与负惯性指数依次为（ ）(A)2,0. (B)1,1. (C)2,1. (D)1,2.【答案】B【解析】22221231223312122313(,,)()()()2222f x x x x x x x x x x x x x x x x =+++--=+++所以011121110⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ，故多项式11121(1)(3)11λλλλλλ---=---=+---E A .令上式等于零，故特征值为1-，3，0，故该二次型正惯性指数为1，负惯性指数为1，故选B .(9)设3阶矩阵123(,,)ααα=A ，123(,,)βββ=B ，若向量组123,,ααα可以由向量组123,,βββ线性表出，则 （ ）.(A)0x =A 的解均为0x =B 的解. (B)T 0x =A 的解均为T 0x =B 的解. (C)0x =B 的解均为0x =A 的解. (D)T 0x =B 的解均为T 0x =A 的解.【答案】D【解析】令123(,,)ααα=A ，123(,,)βββ=B ，由题意向量组123,,ααα可以由向量组123,,βββ线性表出，即存在矩阵P ，使得=PB A ，则当T 0o x =B 时，T T T T ()0o o o x x x ===A BP P B 恒成立，选D .(10)已知矩阵101211125-⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭A ，若下三角可逆矩阵P 和上三角可逆矩阵Q ，使PAQ 为对角矩阵，则P ，Q 可分别取 （ ）.(A)100010001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，101013001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (B)100210321⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭，100010001⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.(C)100210321⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭，101013001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (D)100010131⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，123012001-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪⎝⎭.【答案】C .【解析】00011100000011111100(,)2111030030121121500121060000321121⎛⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪ ⎪=-→→---- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭A E(,)=F P ，则100210321⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭P ；000111030011000001000111000311000011⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫=→= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭F ΛE E ，101013001⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭Q ，选C .二、填空题：1116小题,每小题5分,共30分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上. （11）2+-3x x dx ∞-∞=⎰_________。

2015年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试题一、选择题：18小题，每题4分，共32分。

以下每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上。

(1)设函数()f x 在(),-∞+∞内持续，其中二阶导数()''f x 的图形如下图，那么曲线()=y f x 的拐点的个数为 ( )(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3【答案】（C ）【解析】拐点出此刻二阶导数等于0，或二阶导数不存在的点，而且在这点的左右双侧二阶导函数异号。

因此，由()f x ''的图形可得，曲线()y f x =存在两个拐点.应选（C ）. (2)设211()23=+-x x y e x e 是二阶常系数非齐次线性微分方程'''++=x y ay by ce 的一个特解，那么 ( )(A) 3,2,1=-==-a b c (B) 3,2,1===-a b c (C) 3,2,1=-==a b c (D) 3,2,1===a b c 【答案】（A ）【分析】此题考查二阶常系数非齐次线性微分方程的反问题——已知解来确信微分方程的系数，此类题有两种解法，一种是将特解代入原方程，然后比较等式两边的系数可得待估系数值，另一种是依照二阶线性微分方程解的性质和结构来求解，也确实是下面演示的解法.【解析】由题意可知，212x e 、13x e -为二阶常系数齐次微分方程0y ay by '''++=的解，因此2,1为特点方程20r ar b ++=的根，从而(12)3a =-+=-，122b =⨯=，从而原方程变成32x y y y ce '''-+=，再将特解x y xe =代入得1c =-.应选（A ）(3) 假设级数1∞=∑nn a条件收敛，那么=x 3=x 依次为幂级数1(1)∞=-∑n n n na x 的( )(A) 收敛点，收敛点 (B) 收敛点，发散点 (C) 发散点，收敛点 (D) 发散点，发散点 【答案】（B ）【分析】此题考查幂级数收敛半径、收敛区间，幂级数的性质。

2021考研数学一考试大纲解析1.大纲变动对比(1)数学(一)试卷内容结构高等数学(微积分)分值比例由“56%”改为“约60%”，线性代数分值比例由“22%”改为“约20%”，概率论与数理统计分值比例由“22%”改为“约20%”;(2)数学(一)试卷题型结构发生了变化选择题由“8小题，每小题4分，共32分”改为“10小题，每小题5分，共50分”;填空题由“6小题，每小题4分，共24分”改为“6小题，每小题5分，共30分”;解答题由“9小题，共94分”改为“6小题，共70分.(3)数学(一)大纲内容的变化有两处(与2021年考试大纲相比)第一：在一元积分学部分，“了解反常积分的概念，会计算反常积分”修订为“理解反常积分的概念，了解反常积分收敛的比较判别法，会计算反常积分”。

第二：在无穷级数部分，“掌握正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法，会用根值判别法”修订为“掌握正项级数收敛性的比较判别法、比值判别法、根值判别法，会用积分判别法”。

第三：其余部分与往年没有变化2.大纲解析(1)从分值上看，数学一增加了高数部分的分值(增加了6分左右)，更加体现了高数的重要性和优势地位，高数内容丰富，出题角度多样，出题的自由度变大，出题的深度和广度能够得到进一步保证，更能充分考查学生的增和解题能力，线代和概率统计分值减少，以后出题有减少的趋势，有弱化的趋势，(2)本次大纲修订，客观题从56分变成80分，客观题分值超过主观题，客观题比重增了24分，尤其选择题从8个变成10个，每个题目从4分变成5分，增加了出题的灵活度，这给概念的考查增加了更多的可操作空间，同时主观题变少，从9个大题变成7个大题，分值从94分变成70分，减少了学生答题的书写时间，增加了学生思考的时间，另外阅卷的压力变小，误差变小，学生也更容易接受，不至于做不完.(3)数学一从考察具体内容上没有特别大大的变化，新增的两个小知识点也只是在原先的范围内进一步的加强，应该说保持了出题持续稳定的特色，再一个方面来说，考研数学一的要求已经可以了，不需要再增加难度了，只需要在目前的范围内出题就可以了.也可以说数学一的范围已经够大了，深度也适中了.3.后续复习重点(1)考研数学中还是以考查基础题目和中等题为主的，很少出现“偏题”，“怪题”。

2021考研数学真题及答案解析数学(二)一、选择题(本题共10小题，每小题5分，共50分.每小题给出的四个选项中，只 有一个选项是符合题目要求，把所选选项前的字母填在答题卡指定位置上.)⑴当0时，£_(/-i)必时％7的(A)低阶无穷小. (B)等价无穷小. (C)高阶无穷小. (D)同阶但非等价无穷小. 【答案】C.【解析】因为当时，=2x(/-1)〜2%7,所以边是％7高阶无穷小，正 确答案为C.>-1(2)函数 /(%>#u，在 ％=o 处 1,% = 0【答案】D.【解析】因为lim/⑶=lim —=1=/(0)，故/(%)在％ = 0处连续；n_i x因为 1in/(x )"(0)=ii m——=lim eX -1~X =-,故/'(0) =丄，正确答案为 D. x-0x-0 %2 2 2(3)有一圆柱体底面半径与高随时间变化的速率分别为2cm/s, -3 cm/s,当底面半径为10 cm ， 高为5 cm 时，圆柱体的体积与表面积随时间变化的速率分别为(A) 125 兀cm 3 / ^ , 40 兀cm 2 / 5 . (B) 125 7vcm 3 / s ，-40 7rcm 2 / s . (C) - 1007rcm 3 / 5 , 40 ncm / 5 . (D) -100 7rcm 3 / s ，-40 Ticm 1 / s . 【答案】C.【解析】由题意知，— = 2, —= -3,又V = 7ir 2h.S = l7irh + l7ir 2⑷设函数/(%) = ax-blnx(a>0)有两个零点，则$的取值范围是 (A) (e ，+oo).(A) 连续且取极大值.(C)可导且导数为0. 连续且取极小值. (D)可导且导数不为0.(C)(0，一).dt dtdtdt dt dtdt dt dt 当 r = 10，/z = 5 时，=40/r ，选 C.【答案】A.【解析】/(x) = ax-Z7lnx = 0 , f\x) =a~ —,令/''(%) = 0 有驻点 ％ = —，f x a 从而ln->l,可得->e,正确答案为A.a a(5)设函数/(x) = secx 在* = 0处的2次泰勒多项式为1 + ax + bx 2，则 ,z 1、， 1(A) a = (B) a = l,b =—. (C) a = O^b = (D) a = Q^b =【答案】D.f (0) = sec 0 = 1，/ '(0) = (sec x tan x) 则 f (x ) - secx = 1 + ^-x 2 + a(x 2).故选 D.(6)设函数/(x ，j)可微，且/(x + l ，e x ) = x(x + l)2，/(x,x 2)=2x 2lnx ,则= (A) dx + dy . (W )dx-dy .(C)办.(D) ~dy【答案】c.【解析】乂'(x + l ，e x ) + e%(x + l ，e x ) = (x + 1)2 + 2X (X + 1)① f; (x ，x 2) + 2xf^ (x ，x 2) =4xlnx + 2x②X=1分别带入①②式有J = 1矶 1）壤 1） = 1，胭+ 2側1） = 2联立可得乂'（1，1） = 0，人'（1，1） = 1，#（1，1） = 乂'（1，1）办+人（1，1）办=办，故正确答案为C.（7）设函数/（%）在区间［0，1］上连续，则^f （x ）dx =即选B.(8) 二次型f (x p x 2，x 3) = (x x + %2)2 + (x 2 + x 3)2 — (x 3 — x x )2的正惯性指数与负惯【解 析】 由 /(x) = /(0) + /'(0)x + ifx 2+ a(x 2)知 当 /(x) = secx 时， x=o - 0,/ "(0) = (sec x tan 2x + sec 3x)尸⑼【答案】 【解析】 n2n2nk-V\ 1 (B) limj ；/«^oo<2^-012nv 各 M 2 (D) i 1培limV/B.由定积分的定义知，将［0，l ］分成77份，取中间点的函数值，则 —， n2n )lf /(x)d?x = lim S / JO n^oo k=l2n a .L b .ln ha a性指数依次为(A)2,0. (B)l，l. (C)2,l. (D)l,2. 【答案】B.【解析】/(x1?x2,x3) = (x t +x2)2 +(x2 +x3)2 -(x3 -xj2 = 2X22+2X{X2+2X2X3 + 2x^3，0 1n所以d =1 2 1，故特征多项式为1 1 0;2-1 -1\AE-A\= -1 -2-1 =(2+ 1)(2-3)2-1-1 乂令上式等于零，故特征值为-1，3, 0,故该二次型的正惯性指数为1，负惯性指数为1.故应选B.(9)设3阶矩阵J = (a p a 2，a 3)，B ，若向量组a p a 2，a 3可以由向量组為，代线 性表出，贝IJ(A) Ax = 0的解均为Bx = Q 的解. (B) A T X = 0的解均为B T X = 0的解. (C) Bx = 0的解均为Ax = 0的解. (D) B T X = 0的解均为A T x = 0的解. 【答案】D.【解析】令A = h ，a”a 3\B = (H/^，由题a”a 2,a 3可由A ，/W 3线性表示，即存在矩阵尸， 使得BP = A ，则当B T X Q = 0时，【答案】C. 【解析】r i0 0、2 -1 0「32 bp0 -1 1 0 0、p0 -11 00、p 0-1 1 0 0、2 -11 0 1 00 -13 -2 1 00 1-3 2 -1 02 -5 0 0 b2-610 b0 -32 b(為五)=A T X Q = (BPf x Q = P TB TX . = 0.恒成立，即选 D.若下三角可逆矩阵P 和上三角可逆矩阵使/Mg 为对角(B)-1 20、 0b，1 0 0、o r0 0、(C)2-10 ， 0 1 3.(D) 0 1 0「3 2 1,、0 0 1,J 3 b(I0 、0 00、 0 b -3、 272 -1 02021,2填空题(本题共6小题，每小题5分，共30分.请将答案写在答题纸指定位置(13)设函数z=z(x,y)由方程(x + l)z + jInz - arctan(2xj^) = 1 确定，则一 dx【答案】1.【解析】方程酿对X 求导得Z + (X + 1)盖”艺-南^x = 0,y = 2带入原方程得z = l,再将x = 0,少=2，z = 1带入得& = 1. dxycQS^-dy-^ ycGsydyCt COSU 7 cyli7ycosydy(1 0-p 00、0 1 -30 1’F、0 0 0 -> 0 0 01 0 0 1 0 1 0 10 1 3<0 0<0 0 b，则Q= 01 3 .故应选C.io二、上.)(11) j |%|3_%2 dx = 【答案】—.In 3 醐】［|x|yXdx = 2\{ :\3-々x =-p_»-忐.3_ {XX 、确定’则>。

2021考研数学二真题及答案解析考研数学二对于很多考生来说是一个重要的挑战，它涵盖了众多的知识点和题型，需要考生具备扎实的数学基础和较强的解题能力。

接下来，我们就一起详细地分析一下 2021 年考研数学二的真题及答案。

先来看选择题部分。

第一题考查了函数的基本性质，要求判断函数的奇偶性。

这需要考生熟练掌握奇偶函数的定义和判断方法。

第二题则涉及到极限的计算，对于这类题目，考生需要掌握常见的极限运算规则和方法。

比如其中有一题，给出了一个复杂的函数表达式，让求其在某一点的极限值。

这就需要我们运用等价无穷小替换、洛必达法则等方法来进行求解。

在解题过程中，要注意对函数进行合理的变形和化简，避免盲目计算导致出错。

再看填空题部分。

填空题通常考查一些较为基础但容易被忽略的知识点。

比如其中有一题是关于定积分的计算，这就要求考生对定积分的基本公式和运算方法有清晰的掌握。

另外，还有一题考查了曲线的切线方程，需要先求出函数的导数，然后代入切点的坐标来确定切线的斜率，进而得出切线方程。

这部分题目虽然难度相对不大，但需要考生在计算过程中保持细心和准确。

接下来是解答题部分。

这部分题目综合性较强，对考生的知识运用能力和解题思路要求较高。

比如有一道关于多元函数求极值的问题。

首先要对函数求偏导数，然后令偏导数等于零，解出可能的极值点。

接着，通过判断二阶偏导数的正负来确定是极大值还是极小值。

这道题不仅考查了考生对多元函数求极值方法的掌握，还考验了其计算能力和逻辑推理能力。

还有一道关于常微分方程的题目。

需要先判断方程的类型，然后运用相应的解法来求解。

在解题过程中，要注意初始条件的运用，确保答案的完整性和准确性。

总的来说，2021 年考研数学二的真题难度适中，既考查了基础知识的掌握，又注重了对综合能力的检验。

对于准备考研数学二的同学来说，通过对这套真题的分析和研究，可以明确考试的重点和方向。

在复习过程中，要注重基础知识的巩固，多做练习题，提高解题的熟练度和准确性。