上海杨浦区2019高三上学期学业质量调研-数学(文)

杨浦区2014学年度第一学期高三年级学业质量调研数学学科试卷（文科）考生注意： 1．答卷前，考生务必在答题纸写上姓名、考号, 并将核对后的条形码贴在指定位置上．2．本试卷共有23道题，满分150分，考试时间120分钟．一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．已知(), 0,1sin 2∈=απα，则α=________________.2．设{}13A x x =≤≤，{}124,B x m x m m R =+≤≤+∈，A B ⊆，则m 的取值范围是________.3．已知等差数列{}n a 中，377,3a a ==，则通项公式为n a =________________.4．已知直线l 经过点()()1,2,3,2A B --，则直线l 的方程是___________________.5. 函数()()012<-=x x x f 的反函数()=-x f 1．6．二项式91x x -⎛⎫ ⎪⎝⎭的展开式中的第４项是_________________. 7．不等式()22log 32x x ->的解是____________________.8．已知条件:12p x +≤；条件:q x a ≤，若p 是q 的充分不必要条件，则a 的取值范围是 ．9．向量()()2,3,1,2a b ==-rr，若ma b +r r 与2a b -r r平行，则实数m =_________.10．一家5窗口6排A 座 6排B 座6排C 座走廊6排D 座 6排E 座窗口其中爷爷行动不便要坐靠近走廊的座位，小孙女喜欢看风景要坐靠窗的座位，则座位的安排方式一共有__________种。

11．已知一个铁球的体积为36π，则该铁球的表面积为______________.12．已知集合2*{|1,}n A z z i i i n N ==++++∈L ，则集合A 的子集个数为_______. 13．设△ABC 的内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c . 若()()a b c a b c ab +-++=,则角C =_________. 14. 如图所示，已知函数2log 4y x=图像上的两点 A ，第15题图B 和函数 2log y x=上的点 C ，线段 AC 平行于 y 轴， 三角形 ABC 为正三角形时， 点 B的坐标为 (),p q , 则实数 p 的值为_______________.二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分.15．程序框图如图所示，若其输出结果是140，则判断框中填写的是（ ） A ． 7i < B ．8i <C ． 7i >D ．8i >16．给出下列命题，其中正确的命题是（ ） A ．若x C ∈，则方程32x =只有一个根 B ．若12,z C z C∈∈且120z z ->，则12z z >C ．若z R ∈，则2z z z⋅=不成立D ．若z C ∈，且20z <，那么z 一定是纯虚数17．圆心在抛物线x y 22=上，且与x 轴和抛物线的准线都相切的 一个圆的方程是（ ）A ．01222=+--+y x y x B ．041222=---+y x y xC ．01222=+-++y x y x D ． 041222=+--+y x y x18．数列{}{},n n a b ，若区间[],n n a b 满足下列条件：①[]11,n n ab ++≠⊂[]()*,n n a b n N ∈；②()lim 0n n n b a →∞-=，则称{},n n a b ⎡⎤⎣⎦为区间套。

2019-2020学年上海市杨浦区高三（上）期中数学试卷一、填空题1. 函数y=√2+x的定义域为________．【答案】{x|x≥−2}【考点】函数的定义域及其求法【解析】利用二次根式的被开方数大于或等于0，求出函数y的定义域．【解答】解：函数y=√2+x中，令2+x≥0，解得x≥−2，所以y的定义域为{x|x≥−2}．故答案为：{x|x≥−2}．2. 方程lg(2x+3)=2lgx的解为________．【答案】x=3【考点】函数与方程的综合运用【解析】本题要考虑到两个对数式的定义域，然后解对数方程．【解答】解：方程lg(2x+3)=2lgx可转化为同解不等式{2x+3>0,x>0,2x+3=x2,解得x=3．故答案为：x=3．3. 在正方体ABCD−A1B1C1D1中，直线BC1与平面BB1D1D所成角的大小等于________．【答案】30∘【考点】直线与平面所成的角【解析】取B1D1的中点H连接C1H，BH利用正方体的性质在结合线面垂直的判定定理可证得C1H⊥面B1D1DB，则∠HBC1即为BC1与平面BB1D1D所成的角．再令BC＝1在Rt△BHC 1中sin∠HBC 1=12，即∠HBC 1＝30∘，进而可得答案． 【解答】解：取B 1D 1中点H ，连接C 1H ，BH ，则由正方体的性质知C 1H ⊥D 1B 1，∵ BB 1⊥面A 1B 1C 1D 1，且C 1H ⊂面A 1B 1C 1D 1， ∴ C 1H ⊥BB 1，∵ BB 1∩D 1B 1=B 1， ∴ C 1H ⊥面B 1D 1DB ， ∴ C 1H ⊥BH ，∴ ∠HBC 1即为BC 1与平面BB 1D 1D 所成的角， 设BC =1，则BC 1=√2,C 1H =√22，则在Rt △BHC 1中，sin∠HBC 1=12．∴ ∠HBC 1=30∘. 故答案为：30∘.4. 若角α的终边经过点P(−1, 2)，则sin2α=________． 【答案】 −4 【考点】二倍角的正弦公式 任意角的三角函数 【解析】利用三角函数的定义，计算α的正弦与余弦值，再利用二倍角公式，即可求得结论． 【解答】解：由题意，|OP|=√5， ∴ sinα=√5，cosα=√5， ∴ sin2α=2sinαcosα=2√5×√5)=−45. 故答案为：−45．5. 在(x −1x )10的展开式中，常数项等于________（结果用数值表示）．【答案】−252【考点】二项式定理的应用【解析】)10的展开式通项，进而令r＝5求出其展开式中的根据题意，由二项式定理求出(x−1x常数项，即可得答案．【解答】)10的展开式通项为：解：根据题意，(x−1xT r+1=C10r x10−r(−1)r=(−1)r C10r x10−2r，x当r=5时，有T6=(−1)5C105=−252，)10的展开式中，常数项为−252.即在(x−1x故答案为：−252.6. 若x>0，y>0，且2x+y=1，则xy的最大值为________．【答案】18【考点】基本不等式在最值问题中的应用【解析】利用2x+y的值，利用基本不等式可求得√2xy的最大值，进而求得xy的最大值．【解答】解：∵1=2x+y≥2√2xy，∴xy≤1．8.故答案为：187. 已知幂函数y=f(x)的图象经过点P(4, 2)，则它的反函数f−1(x)为________．【答案】x2(x≥0)【考点】反函数【解析】设幂函数y＝f(x)＝xα，α为常数．根据f(x)的图象经过点P(4, 2)，代入2＝4α，解得α即可得出．【解答】解：设幂函数=f(x)=xα，α为常数．由f(x)的图象经过点P(4, 2)，则2=4α，解得α=1．2∴f(x)=√x．它的反函数f−1(x)=x2(x≥0)．故答案为：x2(x≥0).8. 从1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取5个不同的数，中位数为4的取法有________种（用数值表示）．【答案】30【考点】排列、组合及简单计数问题【解析】中位数为4，故4必须取出，剩余的4个数大于4和小于4的各取2个，根据计数原理即可得到总的取法．【解答】解：根据题意，取出的5个数中位数为4，所以4必须取出，且剩下的4个数有两个比4大，两个比4小，所以总取法有C32×C52=30种.故答案为：30.9. 已知圆锥的侧面展开图是一个扇形，若此扇形的圆心角为6π5、面积为15π，则该圆锥的体积为________．【答案】12π【考点】扇形面积公式柱体、锥体、台体的体积计算【解析】根据圆锥侧面展开图求出母线长l和底面圆半径r，再求出圆锥的高ℎ，即可求出圆锥的体积．【解答】解：圆锥侧面展开图是一个圆心角为6π5，面积为15π的扇形，设圆锥的母线长为l，则12⋅6π5⋅l2=15π，解得：l=5，设底面圆的半径为r，则2πr=6π5⋅l，r=6π5×5÷2π=3，∴圆锥的高ℎ=√l2−r2=√25−9=4，故圆锥的体积为V=13πr2⋅ℎ=13×π×32×4=12π．故答案为：12π.10. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b=2，sinAa =√3cosBb，则△ABC的面积的最大值等于________．【答案】√3【考点】基本不等式在最值问题中的应用正弦定理【解析】由已知利用正弦定理可求sinB=√3cosB，利用同角三角函数基本关系式可得tanB=√3，结合范围B∈(0, π)，可求B的值，进而根据余弦定理，基本不等式可求ac≤4，根据三角形的面积公式即可求解．【解答】解：∵sinAa =√3cosBb，又由正弦定理可得sinAa=sinBb，∴sinB=√3cosB，即tanB=√3，∵B∈(0, π)，∴B=π3，又∵b=2，∴b2=a2+c2−ac≥2ac−ac=ac，可得ac≤4，当且仅当a=c时等号成立，∴S△ABC =12acsinB≤12×4×√32=√3，当且仅当a=c时等号成立，即△ABC的面积的最大值等于√3．故答案为：√3.11. 在高中阶段，我们学习过函数的概念、性质和图象，以下两个结论是正确的：①偶函数f(x)在区间[a, b](a<b)上的取值范围与在区间[−b, −a]上的取值范围是相同的；②周期函数f(x)在一个周期内的取值范围也就是f(x)在定义域上的值域，由此可求函数g(x)=2|sinx|+19|cosx|的值域为________．【答案】[2,√365]【考点】函数的值域及其求法【解析】依题意，函数g(x)为定义在R上的偶函数，且最小正周期为π，进而根据性质①②求解即可．【解答】解：依题意，g(x)=2|sinx|+19|cosx定义域为R，关于原点对称，又g(−x)=2|sin(−x)|+19|cos(−x)|=2|sinx|+19|cosx|=g(x)，所以g(x)为偶函数，又g(x+π)=2|sin(x+π)|+19|cos(x+π)|=2|sinx|+19|cosx|，故g(x)以π为周期，当x∈[0, π]时，g(x)=2|sinx|+19|cosx|，则g(x)={2sinx+19cosx,(x∈[0,π2]),2sinx−19cosx,(x∈[π2,π])={√365sin(x+θ)(x∈[0,π2]),√365sin(x−θ)(x∈[π2,π]).其中sinθ=√365>√22，所以π4<θ<π2，cosθ=365． ①当θ∈[0, π2]时，x +θ∈[θ, θ+π2]， 所以当x +θ=π2时，g(x)有最大值√365，当x +θ=θ+π2时，g(x)有最小值√365sin(π2+θ)=√365cosθ=2， ②当θ∈[π2,π]时，x −θ∈[π2−θ, π−θ]， 所以当x −θ=π2−θ时，g(x)取得最小值 √365sin(π2−θ)=√365cosθ=√365√365=2，当x −θ=π2时，g(x)取得最大值√365，综上，g(x)=2|sinx|+19|cosx|的值域为[2, √365].故答案为：[2, √365].12. 定义在实数集R 上的偶函数f(x)满足f(x +1)=1+√2f(x)2(x)，则f(20192)=________．【答案】2+√22【考点】函数奇偶性的性质与判断 函数的求值 【解析】根据f(x)是R 上的偶函数可得出f(−x)＝f(x)，进而得出f(x +1)＝f(1−x)，从而得出f(x +2)＝f(x)，即得出f(x)的周期为2，从而可得出f(20192)=f(32)=1+√2f(12)−f 2(12)=f(12)，根据f(12)>1即可解出f(12)，从而得出f(20192)的值．【解答】解：∵ f(x)是R 上的偶函数， ∴ f(−x)=f(x)，∴ f(1−x)=1+√2f(x)−f 2(x)=f(x +1)， ∴ f(x +2)=f(−x)=f(x)， ∴ f(x)的周期为2， ∴ f(20192)=f(1009+12)=f(32+504×2)=f(32)，∴ f(12+1)=1+√2f(12)−f 2(12)=f(12)，f(12)−1=√2f(12)−f 2(12)，两边平方并整理得，2f 2(12)−4f(12)+1=0，且f(12)>1，解得f(12)=2+√22，∴ f(20192)=2+√22．故答案为：2+√22.二.选择题已知x ∈R ，则“sinx =1”是“cosx =0”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.非充分非必要条件 【答案】 A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断 【解析】由sinx ＝1，cosx ＝0；反之，由cosx ＝0，得sinx ＝±1，然后结合充分必要条件的判定得答案． 【解答】解：由sinx =1，得x =π2+2kπ，k ∈Z ，则cosx =0， 反之，由cosx =0，得x =π2+kπ，k ∈Z ，则sinx =±1．∴ “sinx =1”是“cosx =0”的充分不必要条件． 故选A .某班有20名女生和19名男生，从中选出5人组成一个垃圾分类宜传小组，要求女生和男生均不少于2人的选法共有( )A.C 202⋅C 192⋅C 351 B.C 395−C 205−C 195 C.C 395−C 201C 194−C 204C 191 D.C 202C 193+C 203C 192 【答案】 D【考点】排列、组合及简单计数问题 【解析】女生和男生均不少于2人，即2女3男或者2男3女，分别用计数原理计算即可，也可从反面思考． 【解答】解：依题意，女生和男生均不少于2人，所以选出的5人中男女人数只能为女3男2女或者2男3女，所以女生和男生均不少于2人的选法共有C 202C 193+C 203C 192，若从反面思考，则应从总取法C 395中去掉全为女生，全为男生，1女4男和1男4女这四种，共有C395−C205−C195−C201C194−C204C191.故选D.已知二面角α−l−β是直二面角，m为直线，γ为平面，则下列命题中真命题为()A.若m⊂α，则m⊥βB.若m⊥α，则m // βC.若m // α，则m⊥βD.若γ // α，则γ⊥β【答案】D【考点】命题的真假判断与应用平面与平面之间的位置关系空间中直线与平面之间的位置关系【解析】可画出图形，根据条件知α⊥β，结合图形以及直线与平面的关系，平面与平面的垂直关系即可判断每个选项的正误，从而找出正确选项．【解答】解：如图，∵二面角α−l−β是直二面角，∴α⊥β，A．并不是α平面内的所有直线都与β垂直，∴该选项错误；B．若m⊥α，则m⊂β或m // β，∴该选项错误；C．m // α时，显然得不出m⊥β，∴该选项错误；D．若γ // α，因为α⊥β，所以γ⊥β，该选项正确．故选D.记有限集合M中元素的个数为|M|，且|⌀|=0，对于非空有限集合A，B，下列结论：①若|A|≤|B|，则A⊆B；②若|A∪B|=|A∩B|，则A=B；③若|A∩B|=0，则A，B中至少有个是空集；④若A∩B=⌀，则|A∪B|=|A|+|B|；其中正确结论的个数为()A.1B.2C.3D.4【答案】B【考点】命题的真假判断与应用交、并、补集的混合运算集合的包含关系判断及应用【解析】分清集合之间的关系与各集合元素个数之间的关系，集合的元素个数体现了两个集合的关系，但仅凭借元素个数不能判断集合间的关系，逐一进行判断即可． 【解答】解：对于①，若|A|≤|B|，则A ⊆B ，例如A ={0, 1}，B ={1, 2, 3}， 满足|A|≤|B|，但是A ⊈B ，①错误； 对于②，若|A ∪B|=|A ∩B|，则A =B ，假设A ≠B ，则|A ∪B|>|A ∩B|，与条件矛盾，故②正确； 对于③，若|A ∩B|=0，则A ，B 中至少有个是空集，例如A ={0, 1}，B ={2, 3}，满足|A ∩B|=0，但A ，B 中没有空集，故③错误； 对于④，若A ∩B =⌀，则|A ∪B|=|A|+|B|， 由集合运算的定义知，④正确，故②④正确． 故选B .三.解答题在正三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，E ，F 分别为棱A 1B 1，A 1C 1的中点，去掉三棱维A 1−AEF 得到一个多面体ABC −B 1C 1FE ，已知AB =6，BB 1=4．(1)求多面体ABC −EFC 1B 1的体积；(2)求异面直线AE 与BC 所成角的大小． 【答案】解：(1)多面体ABC −EFC 1B 1的体积： V =V ABC−A 1B 1C 1−V A−A 1EF=12×6×6×sin60∘×4−13×12×3×3×sin60∘×4=33√3．(2)以C 为原点，过C 作BC 的垂线为x 轴，CB 为y 轴，CC 1为z 轴，建立空间直角坐标系，A(3√3, 3, 0)，B(0, 6, 0)，E(3√32, 92, 4)，C(0, 0, 0)， AE →=(−3√32, 32, 4)，BC →=(0, −6, 0)，设异面直线AE 与BC 所成角为θ，则cosθ=|AE →⋅BC →||AE →|⋅|BC →|=√25⋅√36=310．∴ 异面直线AE 与BC 所成角的大小为arccos 310．【考点】异面直线及其所成的角柱体、锥体、台体的体积计算 【解析】（1）多面体ABC −EFC 1B 1的体积V =V ABC−A 1B 1C 1−V A−A 1EF ，由此能求出结果．（2）以C 为原点，过C 作BC 的垂线为x 轴，CB 为y 轴，CC 1为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AE 与BC 所成角的大小． 【解答】解：(1)多面体ABC −EFC 1B 1的体积： V =V ABC−A 1B 1C 1−V A−A 1EF=12×6×6×sin60∘×4−13×12×3×3×sin60∘×4=33√3．(2)以C 为原点，过C 作BC 的垂线为x 轴，CB 为y 轴，CC 1为z 轴，建立空间直角坐标系，A(3√3, 3, 0)，B(0, 6, 0)，E(3√32, 92, 4)，C(0, 0, 0)， AE →=(−3√32, 32, 4)，BC →=(0, −6, 0)，设异面直线AE 与BC 所成角为θ， 则cosθ=|AE →⋅BC →||AE →|⋅|BC →|=25⋅36=310． ∴ 异面直线AE 与BC 所成角的大小为arccos 310．《上海市生活垃圾管理条例》于2019年7月1日正式实施，某小区全面实施垃圾分类处理，已知该小区每月垃圾分类处理量不超过300吨，每月垃圾分类处理成本y （元）与每月分类处理量x （吨）之间的函数关系式可近似表示为y =x 2−200x +40000，而分类处理一吨垃圾小区也可以获得300元的收益．(1)该小区每月分类处理多少吨垃圾，才能使得每吨垃圾分类处理的平均成本最低；(2)要保证该小区每月的垃圾分类处理不亏损，每月的垃圾分类处理量应控制在什么范围？ 【答案】解：(1)每吨垃圾分类处理的平均成本为：x2−200x+40000+300x=x+40000+100≥2√x⋅40000x+100=500，当且仅当x=40000x，即x=200时取等号，∴当该小区每月分类处理200吨垃圾时，才能使得每吨垃圾分类处理的平均成本最低．(2)令x2−200x+40000≤300x，即x2−500x+40000≤0，解得：100≤x≤400，又x≤300，故100≤x≤300．∴每月的垃圾分类处理量控制在[100, 300]时，保证该小区每月的垃圾分类处理不亏损．【考点】基本不等式一元二次不等式的解法根据实际问题选择函数类型【解析】（1）根据基本不等式得出平均成本取得最小值时对应的x的值即可；（2）列不等式求出x的范围即可．【解答】解：(1)每吨垃圾分类处理的平均成本为：x2−200x+40000+300xx =x+40000x+100≥2√x⋅40000x+100=500，当且仅当x=40000x，即x=200时取等号，∴当该小区每月分类处理200吨垃圾时，才能使得每吨垃圾分类处理的平均成本最低．(2)令x2−200x+40000≤300x，即x2−500x+40000≤0，解得：100≤x≤400，又x≤300，故100≤x≤300．∴每月的垃圾分类处理量控制在[100, 300]时，保证该小区每月的垃圾分类处理不亏损．已知a是实常数，函数f(x)=alg(1−x)−lg(1+x)．(1)若a=1，求证：函数y=f(x)是减函数；(2)讨论函数f(x)的奇偶性，井说明理由．【答案】解：(1)a=1时，f(x)=lg(1−x)−lg(1+x)=lg1−x1+x，∴{1−x>0,1+x>0.,解得：−1<x<1，令g(x)=1−x1+x =−1+2x+1，设−1<x1<x2<1，则g(x1)−g(x2)=2x1+1−2x2+1=2(x2−x1)(1+x1)(1+x2)，∵−1<x1<x2<1，∴2(x2−x1)(1+x1)(1+x2)>0，即g(x1)>g(x2)，∴g(x)在(−1, 1)上单调递减，∵y=lgt在(0, +∞)上单调递增，∴由复合函数的单调性可知，f(x)在(−1, 1)上单调递减；(2)∵f(x)=alg(1−x)−lg(1+x)．∴f(−x)=alg(1+x)−lg(1−x)．当a=−1，f(−x)=f(x)，即f(x)为偶函数；当a=1，f(−x)=−f(x)，即f(x)为奇函数；当a≠±1，非奇非偶函数．【考点】函数奇偶性的判断函数单调性的判断与证明【解析】（1）把a＝1代入可得f(x)＝lg(1−x)−lg(1+x)＝lg1−x1+x，然后求出函数定义域，结合复合函数的单调性及函数单调性的定义可证；（2）要判断f(x)的奇偶性，只要检验f(x)与f(−x)的关系即可．【解答】解：(1)a=1时，f(x)=lg(1−x)−lg(1+x)=lg1−x1+x，∴{1−x>0,1+x>0.,解得：−1<x<1，令g(x)=1−x1+x =−1+2x+1，设−1<x1<x2<1，则g(x1)−g(x2)=2x1+1−2x2+1=2(x2−x1)(1+x1)(1+x2)，∵−1<x1<x2<1，∴2(x2−x1)(1+x1)(1+x2)>0，即g(x1)>g(x2)，∴g(x)在(−1, 1)上单调递减，∵y=lgt在(0, +∞)上单调递增，∴由复合函数的单调性可知，f(x)在(−1, 1)上单调递减；(2)∵f(x)=alg(1−x)−lg(1+x)．∴f(−x)=alg(1+x)−lg(1−x)．当a=−1，f(−x)=f(x)，即f(x)为偶函数；当a=1，f(−x)=−f(x)，即f(x)为奇函数；当a≠±1，非奇非偶函数．如图是函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0, ω>0, 0≤φ≤π)一个周期内的图象，将f(x)图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再把所得图象向右平移π2个单位长度，得到函数g(x)的图象．(1)求函数f(x)和g(x)的解析式；(2)若f(x 0)=g(x 0)，求sin(x 0−π3)的所有可能的值；(3)求函数F(x)=f(x)+ag(x)（a 为正常数）在区间(0, 19π)内的所有零点之和． 【答案】解：(1)由图象可知：A =2，T =π， 所以：ω=2．所以f(x)=2sin(2x +φ)，又因为过点(0, 2)， 故2sinφ=2，即sinφ=1，φ=π2+2kπ(k ∈Z)， 又因为0≤φ≤π，所以φ=π2． 所以f(x)=2sin(2x +π2)=2cos2x ，把函数f(x)=2sin(2x +π2)图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍， 纵坐标不变，可得y =2sin(x +π2)，再把所得图象向右平移π2个单位长度， 得到函数g(x)=2sinx ； (2)由f(x 0)=g(x 0)可得：2cos2x 0=2sinx 0，即：2sin 2x 0+sinx 0−1=0， 解得：sinx 0=−1或12， 所以x 0=3π2+2kπ，或x 0=π6+2kπ或x 0=5π6+2kπ(k ∈Z)，所以sin(x 0−π3)=−12或1．(3)因为f(x)=2cos2x ，g(x)=2sinx ， 所以F(x)=2cos2x +2asinx ，令F(x)=0，即cos2x +asinx =0， 即2sin 2x −asinx −1=0，解得sinx =a+√a2+84或a−√a2+84，因为sinx ∈[−1, 1]且a >0，所以a−√a2+84∈(−1, 0)，①当sinx =a−√a2+84时，由y =sinx 的对称轴方程可得，sinx =a−√a 2+84在[(2k −1)π, 2kπ]，(1≤k ≤9, k ∈Z)有两个解，且两解之和为(2k −1)π+2kπ=4kπ−π，则在(0, 19π)的根之和为3π+7π+11π+⋯+35π=(3π+35π)×92=171π；②当a+√a2+84>1，即a>1时，方程sinx=a+√a2+84无解；③当a+√a2+84=1，即a=1时，方程sinx=a+√a2+84的解为x=2kπ+π2，(1≤k≤9, k∈Z)则在(0, 19π)的根之和为π2+5π2+9π2+⋯+37π2=(π+37π)×104=95π；④当0<a+√a2+84<1，即0<a<1时，方程sinx=a+√a2+84在[2kπ, (2k+1)π]，(0≤k≤9, k∈Z)有两个解，且两解之和为2kπ+(2k+1)π=4kπ+π，则在(0, 19π)的根之和为π+5π+9π+⋯+37π=(π+37π)×102=190π；综上所求：当a>1时，所有零点之和为171π；当a=1时，所有零点之和为171π+95π=266π；当0<a<1时，所有零点之和为171π+190π=361π．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换函数的零点【解析】（1）由最值求出A，由周期求出ω，再代入特殊点坐标出φ的值，可得f(x)的解析式，再利用函数y＝Asin(ωx+φ)的图象变换规律得出g(x)的解析式．（2）利用二倍角公式求出x0的所有可能值，求出sin(x0−π3)的所有可能值．（3）对a分类讨论，结合三角函数图象，求出每种情况下零点的和．【解答】解：(1)由图象可知：A=2，T=π，所以：ω=2．所以f(x)=2sin(2x+φ)，又因为过点(0, 2)，故2sinφ=2，即sinφ=1，φ=π2+2kπ(k∈Z)，又因为0≤φ≤π，所以φ=π2．所以f(x)=2sin(2x+π2)=2cos2x，把函数f(x)=2sin(2x+π2)图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，可得y=2sin(x+π2)，再把所得图象向右平移π2个单位长度，得到函数g(x)=2sinx；(2)由f(x0)=g(x0)可得：2cos2x0=2sinx0，即：2sin2x0+sinx0−1=0，解得：sinx0=−1或12，所以x 0=3π2+2kπ，或x 0=π6+2kπ或x 0=5π6+2kπ(k ∈Z)，所以sin(x 0−π3)=−12或1．(3)因为f(x)=2cos2x ，g(x)=2sinx ， 所以F(x)=2cos2x +2asinx ，令F(x)=0，即cos2x +asinx =0， 即2sin 2x −asinx −1=0，解得sinx =a+√a2+84或a−√a2+84，因为sinx ∈[−1, 1]且a >0，所以a−√a2+84∈(−1, 0)，①当sinx =a−√a2+84时，由y =sinx 的对称轴方程可得，sinx =a−√a 2+84在[(2k −1)π, 2kπ]，(1≤k ≤9, k ∈Z)有两个解，且两解之和为(2k −1)π+2kπ=4kπ−π， 则在(0, 19π)的根之和为3π+7π+11π+⋯+35π=(3π+35π)×92=171π；②当a+√a2+84>1，即a >1时，方程sinx =a+√a2+84无解； ③当a+√a2+84=1，即a =1时，方程sinx =a+√a 2+84的解为x =2kπ+π2，(1≤k ≤9, k ∈Z) 则在(0, 19π)的根之和为π2+5π2+9π2+⋯+37π2=(π+37π)×104=95π； ④当0<a+√a2+84<1，即0<a <1时，方程sinx =a+√a 2+84在[2kπ, (2k +1)π]，(0≤k ≤9, k ∈Z)有两个解，且两解之和为2kπ+(2k +1)π=4kπ+π，则在(0, 19π)的根之和为π+5π+9π+⋯+37π=(π+37π)×102=190π；综上所求：当a >1时，所有零点之和为171π； 当a =1时，所有零点之和为171π+95π=266π；当0<a <1时，所有零点之和为171π+190π=361π．对于定义在D 上的函数=f(x)，如果存在两条平行直线l 1:y =kx +b 1与l 2:y =kx +b 2(b 1≠b 2)，使得对于任意x ∈D ，都有kx +b 1≤f(x)≤kx +b 2恒成立，那么称函数y =f(x)是带状函数，若l 1，l 2之间的最小距离d 存在，则称d 为带宽．(1)判断函数f(x)=sinx +cosx 是不是带状函数？如果是，指出带宽（不用证明）；如果不是，说明理由；(2)求证：函数g(x)=√x 2−1(x ≥1)是带状函数；(3)求证：函数ℎ(x)=a|x −x 1|+b|x −x 2|(x 1<x 2)为带状函数的充要条件是a +b =0．【答案】(1)解：因为f(x)=sinx +cosx =√2sin(x +π4)∈[−√2, √2]， 所以−√2≤f(x)≤√2，故f(x)=sinx +cosx 是带状函数，带宽为2√2． (2)证明：设y =√x 2−1，即x 2−y 2=1，所以函数g(x)的图象是双曲线x 2−y 2=1的一部分． 因为双曲线x 2−y 2=1的一条渐近线为y =x ，所以存在直线l 1:y =x −1，l 2:y =x ，使得x −1≤g(x)≤x ． 因为x ≥1，(√x 2−1)2−(x −1)2=2x −2≥0， 所以g(x)≥x −1，而显然√x 2−1<x ， 故x −1≤g(x)≤x ，函数g(x)是带状函数．(3)证明：当a >0，b >0时，ℎ(x)=a|x −x 1|+b|x −x 2| ={−(a +b)x +ax 1+bx 2,x ≤x 1,(a −b)x −ax 1+bx 2,x 1<x <x 2,(a +b)x −ax 1−bx 2,x ≥x 2,先证明充分性，当a +b =0时，ℎ(x)={ax 1+bx 2,x ≤x 1,(a −b)x −ax 1+bx 2,x 1<x <x 2,−ax 1−bx 2,x ≥x 2,不妨设a 1x +bx 2≥0，则−(ax 1+bx 2)≤ℎ(x)≤ax 1−bx 2，即存在直线y 1=−(ax 1+bx 2)，y 2=ax 1−bx 2，满足题意， 即函数ℎ(x)=a|x −x 1|+b|x −x 2|(x 1<x 2)为带状函数；再证明必要性，当函数ℎ(x)=a|x −x 1|+b|x −x 2|(x 1<x 2)为带状函数， 即存在kx −b 1≤ℎ(x)≤kx −b 2，ℎ(x)=a|x −x 1|+b|x −x 2|={−(a +b)x +ax 1+bx 2,x ≤x 1,(a −b)x −ax 1+bx 2,x 1<x <x 2,(a +b)x −ax 1−bx 2,x ≥x 2,当a +b ≠0时，则直线y =kx −b 与y =−(a +b)x +(ax 1+bx 2)，y =(a +b)x −(ax 1+bx 2)中至少一条相交，故不满足kx −b 1≤ℎ(x)≤kx −b 2，故a +b ≠0不满足题意，即a +b =0．故函数ℎ(x)=a|x −x 1|+b|x −x 2|(x 1<x 2)为带状函数的充要条件是a +b =0． 【考点】函数新定义问题必要条件、充分条件与充要条件的判断 【解析】（1）根据辅助角公式，将函数化简即可判断；（2）将函数化简可知，函数图象是双曲线的一部分，结合双曲线图象可知，存在渐近线以及与渐近线平行的直线满足题意，即能证明得出；（3）由分段函数的图象特征，结合带状函数的定义，分别证明充分性及必要性即可． 【解答】(1)解：因为f(x)=sinx +cosx =√2sin(x +π4)∈[−√2, √2]， 所以−√2≤f(x)≤√2，故f(x)=sinx +cosx 是带状函数，带宽为2√2． (2)证明：设y =√x 2−1，即x 2−y 2=1，所以函数g(x)的图象是双曲线x 2−y 2=1的一部分． 因为双曲线x 2−y 2=1的一条渐近线为y =x ，所以存在直线l 1:y =x −1，l 2:y =x ，使得x −1≤g(x)≤x ．因为x ≥1，(√x 2−1)2−(x −1)2=2x −2≥0， 所以g(x)≥x −1，而显然2−1<x ， 故x −1≤g(x)≤x ，函数g(x)是带状函数．(3)证明：当a >0，b >0时，ℎ(x)=a|x −x 1|+b|x −x 2| ={−(a +b)x +ax 1+bx 2,x ≤x 1,(a −b)x −ax 1+bx 2,x 1<x <x 2,(a +b)x −ax 1−bx 2,x ≥x 2,先证明充分性，当a +b =0时，ℎ(x)={ax 1+bx 2,x ≤x 1,(a −b)x −ax 1+bx 2,x 1<x <x 2,−ax 1−bx 2,x ≥x 2,不妨设a 1x +bx 2≥0，则−(ax 1+bx 2)≤ℎ(x)≤ax 1−bx 2，即存在直线y 1=−(ax 1+bx 2)，y 2=ax 1−bx 2，满足题意， 即函数ℎ(x)=a|x −x 1|+b|x −x 2|(x 1<x 2)为带状函数；再证明必要性，当函数ℎ(x)=a|x −x 1|+b|x −x 2|(x 1<x 2)为带状函数， 即存在kx −b 1≤ℎ(x)≤kx −b 2，ℎ(x)=a|x −x 1|+b|x −x 2|={−(a +b)x +ax 1+bx 2,x ≤x 1,(a −b)x −ax 1+bx 2,x 1<x <x 2,(a +b)x −ax 1−bx 2,x ≥x 2,当a +b ≠0时，则直线y =kx −b 与y =−(a +b)x +(ax 1+bx 2)，y =(a +b)x −(ax 1+bx 2)中至少一条相交，故不满足kx −b 1≤ℎ(x)≤kx −b 2，故a +b ≠0不满足题意，即a +b =0．故函数ℎ(x)=a|x −x 1|+b|x −x 2|(x 1<x 2)为带状函数的充要条件是a +b =0．。

杨浦区2012学年第一学期高三年级学业质量调研数学试卷(文)考生注意： 1．答卷前，考生务必在答题纸写上姓名、考号, 并将核对后的条形码贴在指定位置上．2．本试卷共有23道题，满分150分，考试时间120分钟．一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分． 1. 若函数()x x f 3=的反函数为()x f 1-，则()=-11f．【答案】0【解析】由31x=得，0x =，即1(1)0f -=。

2．若复数iiz -=1 (i 为虚数单位) ，则=z .【解析】因为1111i z i i i-==-=--，则z = 3．抛物线x y 42=的焦点到准线的距离为 . 【答案】2【解析】由抛物线的方程可知24p =，所以2p =，即抛物线的焦点到准线的距离为2.4. 若线性方程组的增广矩阵为⎪⎪⎭⎫⎝⎛211321，则该线性方程组的解是 ． 【答案】11x y =⎧⎨=⎩【解析】由题意可知对应的线性方程组为232x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得11x y =⎧⎨=⎩。

所以该线性方程组的解是11x y =⎧⎨=⎩。

5．若直线l :012=--x y ，则该直线l 的倾斜角是 . 【答案】tan 2arc【解析】由210y x --=得21y x =+，所以直线的斜率为tan 2k α==，所以tan 2arc α=，即直线的倾斜角为tan 2arc 。

6. 若7)(a x +的二项展开式中，5x 的系数为7，则实数=a ．【答案】【解析】二项展开式的通项公式为717k k kk T C x a -+=，由75k -=得2k =，所以25237T C x a =，即5x 的系数为2227217C a a ==，所以213a =，所以a =。

7. 若圆椎的母线cm 10=l ,母线与旋转轴的夹角030=α,则该圆椎的侧面积为 2cm . 【答案】50π【解析】因为线与旋转轴的夹角030=α，设底面圆的半径为r ，则010sin305r ==。

杨浦区2019学年度第一学期高三年级模拟质量调研数学学科试卷 2019.12.考生注意： 1．答卷前，考生务必在答题纸写上姓名、考号,并将核对后的条形码贴在指定位置上.2． 本试卷共有21道题，满分150分，考试时间120分钟．一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置填写结果. 1．函数12()f x x-= 的定义域为 .2．关于,x y 的方程组2130x y x y -=⎧⎨+=⎩的增广矩阵为 .3．已知函数()f x 的反函数12()log -=fx x ，则(1)-=f .4．设R ∈a ，22(1)i --++a a a 为纯虚数（i 为虚数单位），则a = . 5．已知圆锥的底面半径为1cm ，侧面积为22cm π，则母线与底面所成角的大小为 .6．已知7(1)ax +的二项展开式中3x 的系数为280，则实数a = .7．椭圆22194x y +=的焦点为12 ,F F ，P 为椭圆上一点，若1||5PF =，则 12cos F PF ∠= .8．已知数列{}n a 的通项公式为1(2)1(3)2-≤⎧⎪=⎨⎛⎫≥ ⎪⎪⎝⎭⎩n n nn a n （*N ∈n ），n S 是数列{}n a 的前n 项和.则lim n n S →+∞= .9. 在直角坐标平面xOy 中，(2,0),(0,1)-A B ，动点P 在圆22:2C x y +=上，则PA PB ⋅ 的取值范围为 .10．已知六个函数：①21y x=；②c o s y x =；③12y x =；④a r c s i n y x =；⑤1l g ()1xy x+=-；⑥1y x =+.从中任选三个函数，则其中既有奇函数又有偶函数的选法有 种.11．已知函数1()1f x x=-（0x >），若关于x 的方程2[()]()230+++=f x m f x m 有三个不相等的实数解，则实数m 的取值范围为 .12 ．向量集合(){},,R ==∈ 、S a a x y xy ．对于任意,S αβ∈，以及任意()1,0∈λ，都有()1S λαλβ+-∈，则称S 为“C 类集”．现有四个命题：① 若S 为“C 类集”，则集合{}M a a S μ=∈（μ为实常数）也是“C 类集”； ② 若,S T 都是“C 类集”，则集合{},=+∈∈M a b a S b T 也是“C 类集”；③ 若12A ,A 都是“C 类集”，则1A 2A 也是“C 类集”；④ 若12A ,A 都是“C 类集”，且交集非空，则1A 2A 也是“C 类集”．其中正确的命题有_________.（填所有正确命题的序号）二、选择题（本题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.13．已知实数,a b 满足>a b ，则下列不等式中恒成立的是 （ ）()A 22>a b ()B11<a b()C >a b ()D 22>a b 14．要得到函数2sin(2)3y x π=+的图象，只要将2sin 2y x =的图象 （ ）()A 向左平移6π个单位 ()B 向右平移6π个单位 ()C 向左平移3π个单位 ()D 向右平移3π个单位15．设12、z z 为复数,则下列命题中一定成立的是 ( )()A 如果120->z z ,那么12>z z ()B 如果12||||=z z ,那么12=±z z ()C 如果121>z z ,那么12>z z ()D 如果22120+=z z ,那么120==z z 16．对于全集R 的子集A ，定义函数1()()0()∈⎧=⎨∈⎩A Rx A f x x A ð为A 的特征函数.设,A B 为全集R 的子集，下列结论中错误的是 （ ）()A 若A B ⊆，则()()A B f x f x ≤ ()B ()1()=-R A A f x f x ð()C ()()()A B A B f x f x f x =⋅ ()D ()()()A B A B f x f x f x =+三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥底面ABCD .1AB PA ==，AD =,E F 分别为棱,PD PA 的中点.⑴ 求证：B C E F 、、、四点共面； ⑵ 求异面直线PB 与AE 所成的角．18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 已知函数()22xxaf x =+，其中a 为实常数. ⑴ 若(0)7f =，解关于x 的方程()5f x =； ⑵ 判断函数()f x 的奇偶性，并说明理由．19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）东西向的铁路上有两个道口A B 、，铁路两侧的公路分布如图，C 位于A 的南偏西15︒，且位于B 的南偏东15︒方向，D 位于A 的正北方向，2AC AD km ==，C 处一辆救护车欲通过道口前往D 处的医院送病人，发现北偏东45︒方向的E 处（火车头位置）有一列火车自东向西驶来，若火车通过每个道口都需要1分钟，救护车和火车的速度均为60/km h . ⑴ 判断救护车通过道口A 是否会受火车影响，并说明理由；⑵ 为了尽快将病人送到医院，救护车应选择A B 、中的哪个道口？通过计算说明．DECA B20．（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分） 如图,在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，点A 是第一象限内抛物线C 上的一点,点D 的坐标为(,0)t (0>t ).⑴ 若||OA =A 的坐标；⑵ 若AFD ∆为等腰直角三角形，且90∠=︒FAD ，求点D 的坐标；⑶ 弦AB 经过点D ，过弦AB 上一点P 作直线x t =-的垂线，垂足为点Q ，求证：“直线QA 与抛物线相切”的一个充要条件是“P 为弦AB 的中点”．21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分） 已知无穷数列{}n a 的前n 项和为n S ，若对于任意的正整数n ，均有2120,0n n S S -≥≤，则称数列{}n a 具有性质P .⑴ 判断首项为1，公比为2-的无穷等比数列{}n a 是否具有性质P ，并说明理由； ⑵ 已知无穷数列{}n a 具有性质P ，且任意相邻四项之和都相等，求证：40S =；⑶ 已知21n b n =-（*N n ∈），数列{}n c 是等差数列，122()()n n n b n a c n +⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数，若无穷数列{}n a 具有性质P ，求2019c 的取值范围．杨浦区2019学年度第一学期高三年级模拟质量调研数学学科试卷评分标准 2019.12.一、 填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分） 1． (0,)+∞； 2． 211130-⎛⎫ ⎪⎝⎭； 3． 12； 4. 2； 5.3π； 6. 2； 7. 35； 8. 72；9.[2-+ ； 10. 12； 11. 34,23⎛⎤-- ⎥⎝⎦； 12. ①②④二、 选择题（本题共有4题，满分20分，每题5分） 13. D ； 14. A ； 15. C ； 16. D三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 解：（1）连接EF ，因为E F 、分别为PD PA 、的中点. 所以EF ∥AD （2分）又因为BC ∥AD ，可得：EF ∥BC （4分） 所以B C E F 、、、四点共面 （6分） （2）设AC 与BD 交于点Q ，连接EQ 由,E Q 分别为,DP DB 的中点，可得EQ ∥PB所以AEQ ∠或其补角为异面直线PB 与AE 所成的角 （8分） 由PA ⊥平面ABCD 可得：,PA AB PA AD ⊥⊥ 因为1AB AP ==，AD =PB =2PD = （10分）12EQ PB == 112AE PD == 112==AQ AC （12分）（给在12的关系上）222111cos24+-+-∠===⋅AE EQ AQAEQAE EQ．arccos(0,)42AEQπ∠=∈异面直线PB与AE所成角的大小为arccos4（14分）说明：第⑵题也可以用空间向量求解⑵【解】：建立如图空间直角坐标系，(1,0,0)B，D，(0,0,1)P，1(0,)22E(1,0,1)PB=-，1(0,,)22AE=（12分）PB与AE所成的角θ满足||2cos4||||PB AEPB AEθ⋅==⋅∴异面直线PB与AE所成角的大小为．（14分）18（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）解：（1）由(0)17f a=+=，所以6a=，（2分）方程6252xx+=即2(2)5260x x-⋅+=，可得：22x=或23x=（4分）解得1x=或2log3x=（6分）（2）函数的定义域为R（8分）当1a=时，1()22xxf x=+，对任意R x ∈，均有11()22()22xx x x f x f x ---=+=+= 所以1()22xxf x =+为偶函数； （10分） 当1a =-时，1()22xx f x =-，对任意R x ∈，均有11()22()22x xx x f x f x ---=-=-=-所以1()22xx f x =+为奇函数； （12分）当1a ≠ 且1a ≠-时，()22xx a f x =+，由(1)22a f =+，1(1)22f a -=+55(1)(1)022f f a +-=+≠，33(1)(1)022f f a --=-≠所以()22xx a f x =+为非奇非偶函数。

上海市杨浦高级中学2018-2019学年高三上学期第三次月考试卷数学含答案 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1． 已知向量(1,2)a =，(1,0)b =，(3,4)c =，若λ为实数，()//a b c λ+，则λ=（ ）A ．14 B ．12C ．1D ．2 2． 四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为正方形，PA ⊥底面ABCD ，2AB =，若该四棱锥的所有顶点都在体积为24316π同一球面上，则PA =（ ）A ．3B ．72 C． D ．92【命题意图】本题考查空间直线与平面间的垂直和平行关系、球的体积，意在考查空间想象能力、逻辑推理能力、方程思想、运算求解能力．3． 奇函数()f x 满足()10f =，且()f x 在()0+∞，上是单调递减，则()()210x f x f x -<--的解集为（ ） A ．()11-， B ．()()11-∞-+∞，，C ．()1-∞-，D ．()1+∞，4． 函数()log 1xa f x a x =-有两个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）A ．()1,10B ．()1,+∞C ．()0,1D ．()10,+∞ 5． 已知22(0)()|log |(0)x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，则方程[()]2f f x =的根的个数是（ ）A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个6． 记,那么ABCD7． 满足下列条件的函数)(x f 中，)(x f 为偶函数的是（ ）A.()||x f e x =B.2()x xf e e = C.2(ln )ln f x x = D.1(ln )f x x x=+【命题意图】本题考查函数的解析式与奇偶性等基础知识，意在考查分析求解能力. 8． 已知圆C 方程为222x y +=，过点(1,1)P -与圆C 相切的直线方程为（ ）A ．20x y -+=B ．10x y +-=C ．10x y -+=D ．20x y ++= 9． 如右图，在长方体中，=11，=7，=12，一质点从顶点A 射向点，遇长方体的面反射（反射服从光的反射原理），将次到第次反射点之间的线段记为，，将线段竖直放置在同一水平线上，则大致的图形是（ ）ABCD10．一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为2cm，则球的表面积是（）A．8πcm2B．12πcm2C．16πcm2D．20πcm211．在△ABC中，若A=2B，则a等于（）A．2bsinA B．2bcosA C．2bsinB D．2bcosB12．已知2,0()2,0ax x xf xx x⎧+>=⎨-≤⎩，若不等式(2)()f x f x-≥对一切x R∈恒成立，则a的最大值为（）A ．716-B ．916-C ．12-D ．14-二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在横线上）13．已知圆22240C x y x y m +-++=：，则其圆心坐标是_________，m 的取值范围是________． 【命题意图】本题考查圆的方程等基础知识，意在考查运算求解能力.14．若实数,,,a b c d 满足24ln 220b a a c d +-+-+=，则()()22a cb d -+-的最小值为 ▲ ．15．已知M N 、为抛物线24y x =上两个不同的点，F 为抛物线的焦点．若线段MN 的中点的纵坐标为2，||||10MF NF +=，则直线MN 的方程为_________.16．如图所示，圆C 中，弦AB 的长度为4，则AB AC ×的值为_______．【命题意图】本题考查平面向量数量积、垂径定理等基础知识，意在考查对概念理解和转化化归的数学思想．三、解答题（本大共6小题，共70分。

杨浦高级中学高三三月月考数学试卷一. 填空题1. 抛物线2y x =的焦点坐标为2. 已知全集{2,1,0,1,2}U =--，集合2{|,,}1A x x x Z n Z n ==∈∈-，则U C A = 3. 如果131lim 3(1)3n n n n a +→∞=++，则a 的取值范围是4. 关于x 的方程：4|42|3xx⋅-=的解为5. 不等式1001lg 20111xx x-≥-的解集为6. 向量a 、b 、c 在正方形网格中的位置如图所示，若c a b λμ=+（,R λμ∈），则λμ= 7. 已知数列{}n a 满足11a =，12n n n a a +=（*n N ∈），则2n a =8. 在10(2)x y z ++的展开式中，325x y z 的系数为9.（理）在极坐标中，将圆2ρ=沿着极轴正方形平移两个单位后，再绕极点逆时针旋转4π 弧度，则所得的曲线的极坐标方程为（文）一个几何体的三视图如图所示，若该几何体的表面积为92，则其高h =10. 5位好朋友相约乘坐迪士尼乐园的环园小火车，小火车的车厢共有4节，设每一位乘客 进入每节车厢是等可能的，则这5位好朋友无人落单（即一节车厢内，至少有5人中的2 人）的概率是11. 已知定义在R 上的函数()y f x =对于任意的x 都满足(2)()f x f x +=，当11x -≤<时，3()f x x =，若函数2()()log ||g x f x x =-至少有6个零点，则a 的取值范围是12.（理）一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a ，得2分的概率为b （,0a b ≠），不得分的概率为2a b+，若他投篮一次得分ξ的数学期望74E ξ>，则a 的取值范围是（文）设全集{(,)|,}U x y x y R =∈，34120(,)|280,,260x y P x y x y x y R x y ⎧+->⎫⎧⎪⎪⎪=--<∈⎨⎨⎬⎪⎪⎪-+>⎩⎩⎭，222{(,)|,}Q x y x y r r R +=+≤∈，若U Q C P ⊆恒成立，则实数r 的最大值是13.（理）在实数集R 中，我们定义的大小关系“>”为全体实数排了一个“序”，类似的， 我们在复数集C 上，也可以定义一个称为“序”的关系，记为“”，定义如下：对于任意两个复数111z a b i =+，222z a b i =+（1212,,,a a b b R ∈），12z z ，当且仅当“12a a >”或者“12a a =，12b b >”，按上述定义的关系“”，给出如下四个命题：① 10i；② 若12z z ，23z z ，则13z z ；③ 若12z z ，则对任意z C ∈，都有 12z z z z ++；④ 对于复数0z ，若12z z ，则12z zz z ⋅⋅；其中，真命题的序号为（文）已知数列{}n a 满足：1a m =（m 为正整数），若1231nn n n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪+⎩当为偶数当为奇数，若61a =，则m 所有可能的取值构成的集合为14.（理）符号1n ii a =∑表示数列{}na 的前n 项和（即121...nin i aa a a ==+++∑），已知数列{}n a满足10a =，11n n n a a a +≤≤+（*n N ∈），记11(1)kna k n k S a -==-∑（01a <<），若20160S =， 则当20161ka k a=∑取最小值时，2016a =（文）在实数集R 中，我们定义的大小关系“>”为全体实数排了一个“序”，类似的， 我们在复数集C 上，也可以定义一个称为“序”的关系，记为“”，定义如下：对于任意两个复数111z a b i =+，222z a b i =+（1212,,,a a b b R ∈），12z z ，当且仅当“12a a >”或者“12a a =，12b b >”，按上述定义的关系“”，给出如下四个命题：① 10i；② 若12z z ，23z z ，则13z z ；③ 若12z z ，则对任意z C ∈，都有 12z zz z ++；④ 对于复数0z ，若12z z ，则12z zz z ⋅⋅；其中，真命题的序号为二. 选择题15. 在样本的频率分布直方图中，共有9个小长方形，若第 一个长方形的面积为0.02，前五个与后五个长方形的面积分 别成等差数列且公差互为相反数，若样本容量为160，则中 间一组（即第五组）的频数为（ ）A. 12B. 24C. 36D. 4816. 已知F 为双曲线22:3C x my m -=（0m >）的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为（ ）A.B. 3C.D. 3m17. 将函数sin y x x =+（x R ∈）的图像向左平移m （0m >）个单位长度后所得 到的图像关于y 轴对称，则m 的最小值为（ ） A.12π B. 6π C. 3πD. 56π 18. 在半径为R 的球内有一内接正三棱锥，底面三个顶点恰好都在同一个大圆上，一个动点 从三棱锥的一个顶点出发沿球面运动，经过其余三点后返回，则经过的最短路程是（ ） A. 76R π B. 2R π C. 73R π D. 83R π三. 解答题19. 如图，已知四棱锥P ABCD -，底面是边长为6的正方形ABCD ，8PA =，PA ⊥面ABCD ，点M 是CD 的中点，点N 是PB 的中点，连接AM 、AN 、MN ； （理）（1）求证：AB MN ⊥；（2）求二面角N AM B --的大小； （文）（1）求证：AB MN ⊥；（2）求异面直线AM 与PB 所成角的大小；20. 已知向量11(,sin )22a x x =+和向量(1,())b f x =，且a ∥b ； （1）求函数()f x 的最小正周期和最大值；（2）（理）已知△ABC 的三个内角分别为A 、B 、C ，若(2)16f A π-=，BC =，求△ABC 面积的最大值；（文）已知△ABC 的三个内角分别为A 、B 、C ，若有(2)16f A π-=，BC =sin 7B =，求AC 的长度；21. 某地拟模仿如图建造一座大型体育馆，其设计方案侧面的外轮廓线如图所示，曲线AB 是以点E 为圆心的圆的一部分，其中(0,)E t ，曲线BC 是抛物线230y ax =-+（0a >）的一部分，CD AD ⊥，且CD 恰好等于圆E 的半径；（1）若要求20CD =米，30)AD =米，求t 与a 的值；（2）当010t <≤时，若要求体育馆侧面的最大宽度DF 不超过45米，求a 的取值范围；22. 已知111212122212.....................m m m m mm a a a a a a a a a ⎛⎫⎪⎪⎪⎪⎝⎭，每一行都是首项为1的等差数列，第m 行的公差为m d ，且每一列也是等差数列，设第m 行的第k 项为mk a （,1,2,3,..,m k n =，3n ≥，*n N ∈）； （1）证明：1d 、2d 、3d 成等差数列，并用m 、1d 、2d 表示m d （3m n ≤≤）；（2）当11d =，23d =时，将数列{}m d 分组如下：（1d ），（2d ，3d ，4d ），（5d ，6d ，7d ，8d ，9d ），…（每组数的个数构成等差数列），设前m 组中所有数之和为4()m c （0m c >），求数列{2}m cm d 的前n 项和n S ；（3）在（2）的条件下，设20N ≤且*N N ∈，当n N >时，求使得不等式1(6)50n n S d -> 恒成立的所有N 的值；23. 如图，圆O与直线20x ++=相切于点P ，与x 正半轴交于点A，与直线y = 在第一象限的交点为B ，点C 为圆O 上任一点，且满足OC xOA yOB =+，以x 、y 为坐 标的动点(,)D x y 的轨迹记为曲线Γ； （1）求圆O 的方程及曲线Γ的方程；（2）若两条直线1:l y kx=和21:l y xk=-分别交曲线Γ于点E、F和M、N，求四边形EMFN面积的最大值，并求此时的k的值；（3）（理）根据曲线Γ的方程，研究曲线Γ的对称性，并证明曲线Γ为椭圆；（2）（文）已知曲线Γ的轨迹为椭圆，研究曲线Γ的对称性，并求椭圆Γ的焦点坐标；参考答案一. 填空题1. 1(,0)42. {0}3. (4,2)-4. 4log 3x =5. 2(0,](1,)3+∞6. 47. 2n8. 201609.（理）4cos()4πρθ=- （文）410.3125611. 1(0,](5,)5+∞ 12.（理）52(,)123a ∈ （文）12513.（理）① ② ③ （文）{4,5,32} 14.（理）1007 （文）① ② ③二. 选择题15. C 16. A 17. B 18. C三. 解答题19.（1）证明略；（2）（理）（文）；20.（1）函数()f x 的最小正周期为2π，最大值为2；（2）；（文）2AC =； 21.（1）10t =，190a =；（2）2125a ≥； 22.（1）证明略，12(2)(1)m d m d m d =-+-；（2）1(23)26n n S n +=-⋅+；（3）5,6,7,8,...,20N =；23.（1）22:1O x y +=，22:1x y xy Γ++=（,[x y ∈）；（2）当1k =±时，四边形EMFN ； （3）（理）曲线Γ关于直线y x =，y x =-和原点对称，证明略；（文）曲线Γ关于直线y x =±和原点对称，焦点坐标为1(F ，2F ；。

上海市杨浦区2019届高三数学一模（文科）数学试题（Word 版含答案）一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1. 计算：=+∞→133lim n nn ．2．若直线013=--x y 的倾斜角是θ,则=θ (结果用反三角函数值表示).3．若行列式124012x -=，则x = .4．若全集U R =，函数21x y =的值域为集合A ，则=A C U.5．双曲线2221(0)y x b b -=>的一条渐近线方程为y =，则b =________.6．若函数()23-=x x f 的反函数为()x f 1-，则()=-11f ． 7. 若将边长为cm 1的正方形绕其一条边所在直线旋转一周，则所形成圆柱的体积等于()3cm .8. 已知函数()lg f x x =，若()1f ab =，则22()()f a f b += _________. 9. 已知函数x x x f cos sin )(=，则函数)(x f 的最小正周期为__________．10. 某公司一年购买某种货物600吨，每次都购买x 吨，运费为3万元/次，一年的总存储费用为2x 万元，若要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则每次需购买 吨． 11. 已知复数i -=2ω（i 为虚数单位），复数25-+=ωωz ，则一个以z 为根的实系数一元二次方程是________.12．若21()nx x +的二项展开式中，所有二项式系数和为64，则n 等于 ． 13．在100件产品中有90件一等品，10件二等品，从中随机取出4件产品．则恰含1件二等品的概率是 .（结果精确到0.01）14．函数()x f 是R 上的奇函数，()x g 是R 上的周期为4的周期函数，已知()()622=-=-g f ,且()()()()()()()()[]2122022222=-+-++f g g f g g f f ,则()0g 的值为___________．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分.15. 若空间三条直线c b a 、、满足b a ⊥，c b //，则直线a 与c ………（ ）. )(A 一定平行 )(B 一定相交 )(C 一定是异面直线 )(D 一定垂直16．“21<-x 成立”是“01<-x x成立”的………（ ）.)(A 充分非必要条件． )(B 必要非充分条件． )(C 充要条件． )(D 既非充分又非必要条件．17. 设锐角ABC ∆的三内角A 、B 、C 所对边的边长分别为a 、b 、c ，且 1=a ，A B 2=, 则b 的取值范围为………（ ）. )(A ()3,2 ． )(B ()3,1 ．)(C()2,2 ． )(D ()2,0 ．18．若式子),,(c b a σ满足),,(),,(),,(b a c a c b c b a σσσ==，则称),,(c b a σ为轮换对称式．给出如下三个式子：①abc c b a =),,(σ； ②222),,(c b a c b a +-=σ； ③C B A C C B A 2cos )cos(cos ),,(--⋅=σC B A ,,(是ABC ∆的内角）．其中，为轮换对称式的个数是………（ ）.)(A 0 . )(B 1 . )(C 2 . )(D 3 .三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 . 19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分 ．已知正方体1111D C B A ABCD -的棱长为a . （1）求异面直线B A 1与C B 1所成角的大小； （2）求四棱锥ABCD A -1的体积.20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第（1）小题满分7分，第（2）小题满分7分 ．已知向量()1,2x m =，()ax a n 21,-=，其中0>a .函数()n m x g ⋅=在区间[]3,2∈x 上有最大值为4,设()()x x g x f =.(1)求实数a 的值；(2)若不等式()033≥-x x k f 在[]1,1-∈x 上恒成立，求实数k 的取值范围.21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第（1）小题满分5分，第（2）小题满分9分 ． 某校同学设计一个如图所示的“蝴蝶形图案（阴影区域）”，其中AC 、BD 是过抛物线Γ焦点F 的两条弦，且其焦点)1,0(F ，0=⋅，点E 为y 轴上一点，记α=∠EFA ，其中α为锐角． 求抛物线Γ方程；求证：αα2sin )1(cos 2+=AF ．22． （本题满分16分）本题共有3个小题，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分6分，第（3）小题满分6分.已知数列{}n a ，n S 是其前n 项的和，且满足21=a ，对一切*∈N n 都有2321++=+n S S n n 成立，设n a b n n +=．（1）求2a ； （2）求证：数列{}n b 是等比数列；（3）求使814011121>+⋅⋅⋅++n b b b 成立的最小正整数n 的值．23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第（1）小题满分10分，第①问5分,第②问5分，第（2）小题满分8分.已知椭圆Γ：2214x y +=.(1) 椭圆Γ的短轴端点分别为B A ,(如图)，直线BM AM ,分别与椭圆Γ交于F E ,两点，其中点⎪⎭⎫ ⎝⎛21,m M 满足0m ≠，且m ≠①用m 表示点F E ,的坐标；②若∆BME 面积是∆AMF 面积的5倍，求m 的值；(2)若圆ψ:422=+y x .21,l l 是过点)1,0(-P 的两条互相垂直的直线,其中1l 交圆ψ于T 、 R 两点,2l 交椭圆Γ于另一点Q .求TRQ ∆面积取最大值时直线1l 的方程.杨浦区度第一学期高拟测试一．填空题（本大题满分56分）1. 1 ；2.3arctan ；3.2；4. ()0,∞- ；5. 3 ；6. 1 ；7. π；8. 2；9. 文π； 10. 30 ； 11. 01062=+-x x ； 12.文 6 ；13.文0.30； 14.文2； 二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题 15. D ； 16. B ； 17. A ； 18. 文C三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题 19. 【解】（1）因为 D A C B 11//，∴直线B A 1与D A 1所成的角就是异面直线B A 1与C B 1所成角. ……2分又BD A 1∆为等边三角形，∴异面直线B A 1与C B 1所成角的大小为︒60. ……6分（2）四棱锥ABCD A -1的体积=V 323131a a a =⨯⨯ ……12分 20. 【解】（1）由题得()a x a ax ax x g -+-=-+=⋅=1)1(2122 ……4分 又0>a 开口向上，对称轴为1=x ，在区间[]3,2∈x 单调递增，最大值为4,()()43max ==∴g x g 所以，1=a ……7分（2）由（1）的他，()21)(-+==x x x x g x f ……8分令x t 3=,则⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈3,31t 以()033≥-x x k f 可化为kt t f ≥)(, 即t t f k )(≤恒成立, ……9分2)11()(-=t t t f 且⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈3,311t ,当11=t ,即1=t 时t t f )(最小值为0, ……13分0≤∴k ……14分21. 【解】文科（1） 由抛物线Γ焦点)1,0(F 得,抛物线Γ方程为y x 42= ……5分 （2） 设m AF =，则点)1cos ,sin (+-ααm m A ……8分所以，)cos 1(4)sin (2ααm m +=-，既04cos 4sin 22=--ααm m ……11分 解得 αα2sin )1(cos 2+=AF ……14分22. 【解】文科(1) 由21=a 及2321++=+n S S n n 当1=n 时 故72=a ……4分(2)由2321++=+n S S n n 及)2(2)1(321≥+-+=-n n S S n n ……6分 得 1231-+=+n a a n n ，故)(3)1(1n a n a n n +=+++， ……8分即)2(1≥=+n b b n n ，当1=n 时上式也成立, ……9分,故{}n b 是以3为首项，3为公比的等比数列 ……10分(3) 由（2）得nn n n b b 311,3== ……11分8140)311(21311)311(3111121>-=--=+⋅⋅⋅++nn n b b b ……14分故 813>n解得4>n ，最小正整数n 的值5 ……16分23【解】（文科）解：（1）①因为)1,0(),1,0(-B A ,M (m,12)，且0m ≠，∴直线AM 的斜率为k1=m 21-,直线BM 斜率为k2=m 23,∴直线AM 的方程为y=121+-x m ,直线BM 的方程为y=123-x m , ……2分由⎪⎩⎪⎨⎧+-==+,121,1422x m y y x 得()22140m x mx +-=，240,,1m x x m ∴==+22241,,11m m E m m ⎛⎫-∴ ⎪++⎝⎭ ……4分 由⎪⎩⎪⎨⎧-==+,123,1422x m y y x 得()229120m x mx +-=，2120,,9m x x m ∴==+222129,99m m F m m ⎛⎫-∴ ⎪++⎝⎭； ……5分 ②1||||sin 2AMF S MA MF AMF ∆=∠,1||||sin 2BME S MB ME BME ∆=∠,AMF BME ∠=∠,5AMFBME S S ∆∆=,∴5||||||||MA MF MB ME =，∴5||||||||MA MB ME MF =, ……7分∴225,41219m mm mm m m m =--++ 0m ≠，∴整理方程得22115119m m =-++，即22(3)(1)0m m --=，又有m ≠∴230m -≠，12=∴m ，1m ∴=±为所求. ……10分(2) 因为直线12l l ⊥,且都过点(0,1)P -,所以设直线1:110l y kx kx y =-⇒--=,直线21:10l y x x ky k k =--⇒++=, ……12分所以圆心(0,0)到直线1:110l y kx kx y =-⇒--=的距离为d =所以直线1l 被圆224x y +=所截的弦222143242k k d TR ++=-=；由2222248014x ky k k x x kx x y ++=⎧⎪⇒++=⎨+=⎪⎩,所以482+-=+k k x x P Q 所以418)4(64)11(222222++=++=k k k k k QP ……15分 所以131316132323434324348212222=≤+++=++==∆k k k k TR QP S TRQ当252k k =⇒=⇒=时等号成立,此时直线1:1l y x =- ……18分。

上海市杨浦区2019届高三期末质量调研数学试卷一、填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1.设全集{}=1,2,3,4,5U ，若集合{}3,4,5A =，则U C A =__________. 【答案】{}1,2 【分析】利用补集定义直接求解即可．【详解】∵全集{}=1,2,3,4,5U ，集合{}3,4,5A =，∴{1}2U C A ==，， 故答案为{}1,2．【点睛】本题考查补集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意补集定义的合理运用． 2.已知扇形的半径为6，圆心角为3π，则扇形的面积为__________. 【答案】6π 【分析】先计算扇形的弧长，再利用扇形的面积公式可求扇形的面积． 【详解】根据扇形的弧长公式可得362l ππαr ==⨯=， 根据扇形的面积公式可得1126622S lr ππ==⋅⋅=， 故答案为6π．【点睛】本题主要考查扇形的弧长与面积公式，正确运用公式是解题的关键，属于基础题． 3.已知双曲线221x y -=，则其两条渐近线的夹角为________. 【答案】2π【分析】先计算渐进线为y x =±，计算其倾斜角，得到答案. 【详解】双曲线221x y -=渐近线为：y x =±，对应倾斜角为3,44ππ，故渐近线夹角为2π故答案：2π 【点睛】本题考查了渐近线夹角，属于简单题型.4.若()n a b +展开式的二项式系数之和为8，则n =________. 【答案】3 【分析】直接利用二项式系数和公式得到答案.【详解】()n a b +展开式的二项式系数之和为283n n =∴= 故答案为：3【点睛】本题考查了二项式系数和，属于简单题型.5.若实数x ，y 满足221x y +=，则xy 的取值范围是__________；【答案】11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦； 【分析】令cos x θ=，sin y θ=，可将xy 化为1sin 22θ，根据三角函数值域可求得结果. 【详解】221x y +=Q ∴可令cos x θ=，sin y θ=1cos sin sin 22xy θθθ∴==[]sin 21,1θ∈-Q 11,22xy ⎡⎤∴∈-⎢⎥⎣⎦本题正确结果：11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【点睛】本题考查利用三角换元的方式求解取值范围的问题，关键是能够将问题转化为三角函数的值域的求解.6.若圆锥的母线长5()l cm =，高4()h cm = ，则这个圆锥的体积等于_____()3cm .【答案】12π【分析】先算出圆锥底面的半径，再利用公式计算体积即可.【详解】设圆锥底面的半径为r ，则3r ==，故194123V ππ=⨯⨯⨯=，填12π. 【点睛】本题考查圆锥的体积计算，属于基础题. 7.在无穷等比数列{}n a 中，121lim(...)2n n a a a →∞+++=，则1a 的取值范围是___________. 【答案】110,,122⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【分析】由题意首先确定公比的范围，然后结合等比数列前n 项和的极限得到1a 关于q 的表达式即可确定首项的范围.【详解】等比数列的极限存在，则：11q -<<且0q ≠，即()()1,00,1q ∈-U . 由等比数列的极限有：112lim(...)1n n a a a a q→∞+++=-， 则：1111,122a qa q -=∴=-， ()()1,00,1q ∈-Q U ，11110,,1222q a -⎛⎫⎛⎫=∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U . 故答案为：110,,122⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 【点睛】本题主要考查等比数列前n 项和极限的计算，等比数列的性质等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 8.若函数1()ln 1xf x x+=-的定义域为集合A ，集合(,1)B a a =+，且B A ⊆，则实数a 的取值范围为________. 【答案】[1,0]- 【分析】先计算函数定义域得到()1,1A =-，根据集合关系得到111a a +≤⎧⎨≥-⎩，计算得到答案.【详解】函数1()ln1xf x x +=-的定义域满足：101x x+>-解得11x -<<，故()1,1A =- B A ⊆，则111a a +≤⎧⎨≥-⎩解得10a -≤≤故答案为：[1,0]-【点睛】本题考查了函数定义域，根据集合关系求参数，意在考查学生的计算能力.9.在行列式274434651xx--中，第3行第2列的元素的代数余子式记作()f x ，则1()y f x =+的零点是________. 【答案】1x =- 【分析】根据余子式定义得到()4244x x f x =-⨯+⨯，换元()20xt t =>，得到方程2441t t -=-，计算得到答案. 【详解】24()424444xxx x f x =-=-⨯+⨯，则1()y f x =+的零点等于与方程()1f x =-的解.设()20xt t => 则214412t t t -=-∴=故1x =- 故答案为：1x =-【点睛】本题考查了行列式的余子式，函数零点问题，换元可以简化运算，是解题的关键. 10.已知复数1cos 2()i z x f x =+，2cos )i z x x =++（x ∈R ，i 为虚数单位），在复平面上，设复数1z 、2z 对应的点分别为1Z 、2Z ，若1290Z OZ ︒∠=，其中O 是坐标原点，则函数()f x 的最小正周期为________. 【答案】π 【分析】根据垂直得到()cos )cos 20x x x f x ++=，化简得到()11sin 2264f x x π⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭，利用周期公式得到答案.【详解】1cos 2()i z x f x =+，2cos )i z x x =++，1290Z OZ ︒∠=则()()1cos )cos 20cos )cos 2x x x f x f x x x x ++=∴=-+()211111cos cos 2cos 2sin 2244264f x x x x x x x π⎛⎫=-=--=-+- ⎪⎝⎭ 函数()f x 的最小正周期为22T ππ== 故答案为：π【点睛】本题考查了复数的几何意义，三角函数化简，周期，意在考查学生的计算能力和综合应用能力11.当0x a <<时，不等式22112()x a x +≥-恒成立，则实数a 的最大值为________. 【答案】2 【分析】根据均值不等式得到222118()x a x a +≥-，再计算282a ≥得到答案. 【详解】()222211228()4a x a x x a x a +≥≥=--，当2211()x a x =-且()x a x =-时等号成立，即2a x =时等号成立. 28202a a≥∴<≤ ，实数a 的最大值为2 故答案为：2【点睛】本题考查了均值不等式，意在考查学生对于不等式的应用能力. 12.设d 为等差数列{}n a 的公差，数列{}n b 的前n 项和n T ，满足1(1)2n n n nT b +=-（n ∈*N ），且52d a b ==，若实数23{|}k k k m P x a x a -+∈=<<（k ∈*N ，3k ≥），则称m 具有性质k P ，若n H 是数列{}n T 的前n 项和，对任意的n ∈*N ，21n H -都具有性质k P ，则所有满足条件的k 的值为________. 【答案】3或4 【分析】讨论n 的奇偶两种情况得到*1*1,21,21,2,2n n nn k k N b n k k N +⎧-=-∈⎪⎪=⎨⎪=∈⎪⎩，进而得到n T ，再计算得到21111334nn H -⎛⎫=-+⨯ ⎪⎝⎭，根据214b =，计算14n n a =-，代入不等式得到1433k ≤≤，得到答案.【详解】数列{}n b 的前n 项和n T ，满足1(1)2nn n n T b +=-，代入1,2n n ==计算得到1211,44b b =-=；1(1)2n n n n T b +=-，11111(1)2n n n n T b +++++=-，相减得到：()()11111112n nn n n n b b b ++++-=---当n 为奇数时：11111122n n n n n n b b b b ++++-=+∴=-当n 为偶数时：1111122n n n n n n b b b b +++-=--∴=综上所述：*1*1,21,21,2,2n n nn k k N b n k k N +⎧-=-∈⎪⎪=⎨⎪=∈⎪⎩ 故*1*1,21,20,2,n n n k k NT n k k N +⎧-=-∈⎪=⎨⎪=∈⎩所以2111111141433414nn n H -⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭=-=-+⨯ ⎪⎝⎭- 5214d a b ===，故14n n a =-2123{|}n k k k H P x a x a --+∈=<<，即211131143344nk k -+⎛⎫-<-+⨯<- ⎪⎝⎭恒成立.21112114114334433nk k k --⎛⎫-<-+⨯∴-≤-∴≤⎪⎝⎭ 1113311111033444334nk k k ++⎛⎫-+⨯<-∴->-+⨯∴> ⎪⎝⎭ 综上所述：1433k ≤≤ 故3k =或4k = 故答案为：3或4【点睛】本题考查了数列的通项公式，前N 项和，恒成立问题，将数列的恒成立问题转化为数列的最值问题是解题的关键.二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13.下列函数中既是奇函数，又在区间[1,1]-上单调递减的是（ ） A. ()arcsin f x x = B. ()lg ||f x x = C. ()f x x =- D. ()cos f x x =【答案】C 【分析】判断函数的单调性和奇偶性：()arcsin f x x =为增函数；()lg ||f x x =和()cos f x x =为偶函数；排除选项得到答案.【详解】A. ()arcsin f x x =，函数在[1,1]-单调递增，排除； B. ()lg ||f x x =，函数为偶函数，排除；C. ()f x x =-，函数为奇函数，且单调递减，正确；D. ()cos f x x =，函数偶函数，排除.故选：C【点睛】本题考查了函数的单调性和奇偶性，意在考查学生对于函数性质的掌握情况. 14.某象棋俱乐部有队员5人，其中女队员2人，现随机选派2人参加一个象棋比赛，则选出的2人中恰有1人是女队员的概率为（ ） A.310B.35C.25D.23【分析】直接利用概率公式计算得到答案.【详解】11322563105C C P C ⨯=== 故选：B【点睛】本题考查了概率的计算，属于简单题. 15.已知sin ()log f x x θ=，(0,)2πθ∈，设sin cos ()2a f θθ+=，b f =， sin 2()sin cos c f θθθ=+，则a 、b 、c 的大小关系是（ ）A. a c b ≤≤B. b c a ≤≤C. c b a ≤≤D.a b c ≤≤【答案】D 【分析】根据均值不等式得到sin cos sin 22sin cos θθθθθ+≥≥+，再利用函数为递减函数得到答案.【详解】sin ()log f x x θ=在()0,∞+上单调递减.sin cos sin cos ()22f f θθθθ++≥≤sin 22sin cos sin 2()sin cos sin cos sin cos f f θθθθθθθθθθ=≤=≤+++综上所述：a b c ≤≤ 故选：D【点睛】本题考查了函数的单调性，均值不等式，意在考查学生的综合应用能力. 16.已知函数2()2x f x m x nx =⋅++，记集合{|()0,}A x f x x ==∈R ，集合{|[()]0,}B x f f x x ==∈R ，若A B =，且都不是空集，则m n +的取值范围是（ ）A. [0,4)B. [1,4)-C. [3,5]-D. [0,7)【分析】设a A ∈，代入集合B 得到0m =，讨论0n =和0n ≠两种情况，得到2()f x x nx n =+=-无解，计算得到答案.【详解】,A B 都不是空集，设a A ∈，则()0f a =；a B ∈，则()()()00ff a f m ===.2()0f x x nx =+=当0n =时：方程的解为0x = 此时{}0A B ==，满足； 当0n ≠时：2()0f x x nx =+=的解为0x =或x n =-{|[()]0,}B x f f x x ==∈R ，则2()0f x x nx =+=或2()f x x nx n =+=-A B =，则2()f x x nx n =+=-无解，24004n n n ∆=-<∴<<综上所述：04n ≤<，[0,4)m n +∈ 故选：A【点睛】本题考查了集合的关系，函数零点问题，综合性强，意在考查学生的综合应用能力. 三、 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17.如图，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为矩形，1==PA AB ，2AD =，点F 是PB 的中点，点E 在边BC 上移动.(1)求三棱锥E PAD -的体积；(2)证明：无论点E 在边BC 的何处,都有⊥AF PE . 【答案】（1）13E PAD V -=；（2）证明见解+析【分析】（1）根据题意，得到112∆=⋅=EAD S AD AB ，再由13--∆==⋅E PAD P EAD EAD V V S PA ，即可求出结果；（2）根据线面垂直的判定定理，证明AF ⊥平面PBC ，进而可得出结论成立.【详解】（1）因为PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为矩形，1==PA AB ，2AD =， 所以112∆=⋅=EAD S AD AB ， 所以1133--∆==⋅=E PADP EAD EAD V V S PA ；（2）因为PA ⊥平面ABCD ，所以PA AB ⊥， 又因为1==PA AB ，且点F 是PB 的中点， 所以⊥AF PB ；又PA BC ⊥，BC AB ⊥，PA AB A =I ， 所以BC ⊥平面PAB ；又AF ⊂平面PAB ，所以BC AF ⊥；由BC AFAF PB PB BC B ⊥⎧⎪⊥⎨⎪⋂=⎩可得AF ⊥平面PBC ； 又PE ⊂平面PBC ，所以无论点E 在边BC 的何处,都有⊥AF PE .【点睛】本题主要考查求三棱锥的体积，以及线线垂直的证明，熟记棱锥的体积公式，以及线面垂直的判定定理与性质定理即可，属于常考题型.18.在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且5cos 13B =. （1）若4sin 5A =，求cos C ； （2）已知4b =，证明：5AB BC ⋅≥-u u u r u u u r.【答案】（1）3365；（2）证明见解+析. 【分析】（1）先计算12sin 13B =，3cos 5A =，根据()()cos cos C A B π=-+展开计算得到答案.（2）利用余弦定理和均值不等式得到13ac ≤，再计算513AB BC ac ⋅=-u u u r u u u r 得到证明.【详解】（1）512cos sin 1313B B =∴=；412sin sin 513A B a b =<=∴<，故A 为锐角，3cos 5A =； ()()()cos cos cos sin si 3n cos c 5s 3o 6C A B A B A B A B π=-+=-+=-= （2）()55cos 1313AB BC AB BC B AB BC ac π⋅=⋅-=-⋅=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 利用余弦定理得到：222221010162cos 16213131313b ac ac B a c ac ac ac ac ac =+-∴=+-≥-=∴≤ 当a c =时，等号成立5513AB BC ac ⋅=-≥-u u u r u u u r ，得证.【点睛】本题考查了正弦定理，和差公式，均值不等式，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.19.上海某工厂以x 千克/小时的速度匀速生产某种产品，每一小时可获得的利润是3(51)x x+-元，其中110x ≤≤.（1）要使生产该产品2小时获得的利润不低于30元，求x 的取值范围；（2）要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：该厂应选取何种生产速度？并求最大利润.【答案】（1）310x ≤≤；（2）6x =，4575元. 分析】（1）直接解不等式325130x x ⎛⎫+-≥ ⎪⎝⎭计算得到答案. （2）计算得到211270045756y x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，根据二次函数知识得到最值.【详解】（1）3 25130 xx⎛⎫+-≥⎪⎝⎭，即35115xx+-≥整理可得：251430x x--≥，解得：3x≥或15x≤- (舍去）所以：310x≤≤（2）要使生产900千克该产品获得的利润最大时为y，222900390027001151450027004500311270045756y xx x x x x xx⎛⎫⎛⎫=⨯+-=+-=--+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫=--+⎪⎝⎭110x≤≤所以当6x y=，取最大值为4575元.【点睛】本题考查了不等式和函数最值的应用，意在考查学生的应用能力.20.如图，已知点P是y轴左侧（不含y轴）一点，抛物线2:4C y x=上存在不同的两点A、B，满足PA、PB的中点均在抛物线C上.（1）求抛物线C的焦点到准线的距离；（2）设AB中点为M，且(,)P PP x y，(,)M MM x y，证明：P My y=；（3）若P是曲线2214yx+=（0x<）上的动点，求PAB∆面积的最小值.【答案】（1）2；（2）证明见解+析；（3）2【分析】（1）直接利用抛物线定义得到答案（2）设00(,)P x y，211(,)4yA y，222(,)4yB y，根据AP中点在抛物线上得到2210100280y y y x y -+-=，同理得到12,y y 是二次方程22000280y y y x y -+-=的两不等实根，计算得到答案.（3）设t =，代换得到30121()||2M S x x y y =--=计算得到答案. 【详解】（1）焦点坐标为（1,0），准线方程为x ＝－1，所以，焦点到准线的距离为2.（2）设00(,)P x y ，211(,)4y A y ，222(,)4y B y ，则PA 中点为20011(,)282x y y y ++，由AP 中点在抛物线上可得220101()4()228y y x y +=+，化简得2210100280y y y x y -+-=，显然21y y ≠， 且对2y 也有2220200280y y y x y -+-=，所以12,y y 是二次方程22000280y y y x y -+-=的两不等实根，所以1202y y y +=，1202M P y y y y y +===. （3）121()(||||)2M P M M S x x y y y y =--+-0121()||2M x x y y =--， 由（1）可得1202y y y +=，212008y y x y =-， 2220000012(2)4(8)8(4)0()y x y y x y y ∆=--=->≠，此时00(,)P x y 在半椭圆221(0)4y x x +=<上，∴2220000008(4)8[4(1)4]32(1)y x x x x x ∆=-=--=--，∵010x -≤<，∴>0∆，∴12||||y y a -=== 2222200012121200042(8)()2||888M P y x y y y y y y y x x x x x --++--=-=-=-2006(44)38x x -=-2003(1)x x =--，所以23012001()||2M S x x y y x x =--=--=，t =，所以3S =∈，即PAB ∆的面积的最小值是【点睛】本题考查了面积的最值问题，证明坐标关系，综合性强，计算量大，意在考查学生的综合应用能力和计算能力.21.记无穷数列{}n a 的前n 项中最大值为n M ，最小值为n m ，令2n nn M m b +=，n ∈*N . （1）若2cos2n n n a π=+，请写出3b 的值； （2）求证：“数列{}n a 是等差数列”是“数列{}n b 是等差数列”的充要条件；（3）若对任意n ，有||2018n a <，且||1n b =，请问：是否存在K ∈*N ，使得对于任意不小于K 的正整数n ，有1n n b b +=成立？请说明理由.【答案】（1）5；（2）证明见解+析；（3）存在，理由见解+析. 【分析】（1）计算得到1232,3,8a a a ===，代入计算得到答案. （2）分别证明充分性和必要性得到答案.（3）反证法，假设不成立，则1n b =或1n b =- 得到14i i k k M M +=+，114i i i k k k a M M ++==+，通过累加得到101012018k a +>，与题设矛盾，得证.【详解】（1）（1）2cos2n n n a π=+，则1232,3,8a a a ===，33382522M m b ++=== （2）数列{}n a 是等差数列，设公差为d则122n n n n M m a a b ++==，1122n n n n a a d b b ++--==为定值，故数列{}n b 是等差数列；数列{}n b 是等差数列，设公差为1d ，则111122n n n nn n M m M m b b d +++++-=-=n M 和1n M +，n m 和1n m +至少一组相等，不妨设只有1n n m m +=则11111202n nn n n n M M b b d M M d +++--==∴-=>故11n n n n a M M a ++=>= 故112n n a a d +-=，{}n a 为等差数列同理可得只有1n n M M +=和都相等的情况，故数列{}n a 是等差数列 综上所述：“数列{}n a 是等差数列”是“数列{}n b 是等差数列”的充要条件 （3）存在假设不存在，则1n b =或1n b =-，对任意K ∈*N ，一定存在i k ≥使得1,i i b b +符号相反. 所以数列{}n b 中存在1231,,,,,i i k k k k k b b b b b +L L ，其中123i k k k k <<<<L L 且12311i i k k k k k b b b b b +-====⋯==L ；1231111111i i k k k k k b b b b b ++++++======L 因为11,1i i k k b b +=-=，即111,122i ii i k k k k M m M m ++++=-=注意到：11,i i i i k k k k M M m m ++厔，有且仅有一个等号成立. 所以必有11,i i i i k k k k M M m m ++>=所以14i i k k M M +=+，所以114i i i k k k a M M ++==+因为1i i k k ->，所以11i i k k -+…，所以11i i t k M M -+… 11144i i i k k k a M M -++=++…；1114i i k k a a -++-…；21114k k a a ++-…… 累加可得1114(1)m k k a a m ++--…；1114(1)m k k a a m +++-… 故10101114(10101)201840362018k k a a +++->-+=…这与||2018n a <矛盾，假设不成立故存在K ∈*N ，使得对于任意不小于K 的正整数n ，有1n n b b +=成立【点睛】本题考查了数列的项，充分必要条件 ，反证法，综合性强，计算量大，意在考查学生的综合应用能力和计算能力.。

杨浦区2018-2019学年第一学期高三年级质量调研考试 数学试卷 2018.12考生注意：1．本场考试时间120分钟.试卷共4页，满分150分．2．作答前，在试卷与答题纸正面填写学校、班级、考生号、姓名等．3．所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位．在试卷上作答一律不得分．4．用2B 铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题．一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1. 设全集{1,2,3,4,5}U =，若集合{3,4,5}A =，则U A =ð 2. 已知扇形的半径为6，圆心角为3π，则扇形的面积为 3. 已知双曲线221x y -=，则其两条渐近线的夹角为 4. 若()n a b +展开式的二项式系数之和为8，则n = 5. 若实数x 、y 满足221x y +=，则xy 的取值范围是6. 若圆锥的母线长5()l cm =，高4()h cm =，则这个圆锥的体积等于 3()cm7. 在无穷等比数列{}n a 中，121lim()2n n a a a →∞++⋅⋅⋅+=，则1a 的取值范围是 8. 若函数1()ln1xf x x+=-的定义域为集合A ，集合(,1)B a a =+，且B A ⊆，则实数a 的 取值范围为9. 在行列式274434651xx--中，第3行第2列的元素的代数余子式记作()f x ，则 1()y f x =+的零点是10. 已知复数1cos 2()i z x f x =+，2(3sin cos )i z x x =++（x ∈R ，i 为虚数单位），在复平面上，设复数1z 、2z 对应的点分别为1Z 、2Z ，若1290Z OZ ︒∠=，其中O 是坐标原点，则函数()f x 的最小正周期为 11. 当0x a <<时，不等式22112()x a x +≥-恒成立，则实数a 的最大值为 12. 设d 为等差数列{}n a 的公差，数列{}n b 的前n 项和n T ，满足1(1)2n n n n T b +=-（n ∈*N ），且52d a b ==，若实数23{|}k k k m P x a x a -+∈=<<（k ∈*N ，3k ≥），则称m 具有性质k P ，若n H 是数列{}n T 的前n 项和，对任意的n ∈*N ，21n H -都具有性质k P ，则所有满足条件的k 的值为二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13. 下列函数中既是奇函数，又在区间[1,1]-上单调递减的是（ ）A. ()arcsin f x x =B. ()lg ||f x x =C. ()f x x =-D. ()cos f x x = 14. 某象棋俱乐部有队员5人，其中女队员2人，现随机选派2人参加一个象棋比赛，则选出的2人中恰有1人是女队员的概率为（ ） A.310 B. 35 C. 25 D. 2315. 已知sin ()log f x x θ=，(0,)2πθ∈，设sin cos ()2a f θθ+=，(sin cos )b f θθ=⋅， sin 2()sin cos c f θθθ=+，则a 、b 、c 的大小关系是（ ）A. a c b ≤≤B. b c a ≤≤C. c b a ≤≤D. a b c ≤≤ 16. 已知函数2()2x f x m x nx =⋅++，记集合{|()0,}A x f x x ==∈R ，集合{|[()]0,}B x f f x x ==∈R ，若A B =，且都不是空集，则m n +的取值范围是（ ） A. [0,4) B. [1,4)- C. [3,5]- D. [0,7)三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17. 如图，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为矩形，1PA AB ==，2AD =，点F 是PB 的中心，点E 在边BC 上移动.（1）求三棱锥E PAD -的体积；（2）证明：无论点E 在边BC 的何处，都有AF ⊥PE .18. 在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且5cos 13B =. （1）若4sin 5A =，求cos C ； （2）已知4b =，证明：5AB BC ⋅≥-.19. 上海某工厂以x 千克/小时的速度匀速生产某种产品，每一小时可获得的利润是3(51)x x+-元，其中110x ≤≤.（1）要使生产该产品2小时获得的利润不低于30元，求x 的取值范围；（2）要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：该厂应选取何种生产速度？并求最大利润.20. 如图，已知点P 是y 轴左侧（不含y 轴）一点，抛物线2:4C y x =上存在不同的两点A 、B ，满足PA 、PB 的中点均在抛物线C 上.（1）求抛物线C 的焦点到准线的距离；（2）设AB 中点为M ，且(,)P P P x y ，(,)M M M x y ，证明：P M y y =；（3）若P 是曲线2214y x +=（0x <）上的动点，求△PAB 面积的最小值.21. 记无穷数列{}n a 的前n 项中最大值为n M ，最小值为n m ，令2n nn M m b +=，n ∈*N . （1）若2cos2nn n a π=+，请写出3b 的值； （2）求证：“数列{}n a 是等差数列”是“数列{}n b 是等差数列”的充要条件；（3）若对任意n ，有||2018n a <，且||1n b =，请问：是否存在K ∈*N ，使得对于任意不小于K 的正整数n ，有1n n b b +=成立？请说明理由.杨浦区2018-2019学年第一学期高三年级质量调研考试数学试卷参考答案一. 填空题1. {1,2}2. 6π3.2π4. 35. 11[,]22- 6. 12π 7. 11(0,)(,1)228. [1,0]- 9. 1x =- 10. π 11. 2 12. 3或4 二. 选择题13. C 14. B 15. D 16. A 三. 解答题19.答案：（1）[3,10]；（2）6x =，最大值为4575. 解析：（1）2（5x+1－3x )≥30，即5x+1－3x≥15 整理可得：251430x x --≥，解得：x≥3或x≤－15(舍去） 所以： 3≤x≤10（2） 要使生产900千克该产品获得的利润最大时为y ， 生产900千克该产品需要时间：t=900x， y ＝900x ×3(51)x x +-＝4500＋900x －22700x ＝－2700（2113x x-）＋4500＝－2700211()6x-＋45751≤x≤10，所以当x=6，y 取最大值为4575元20.（1）焦点坐标为（1,0），准线方程为x ＝－1，所以，焦点到准线的距离为2（2）设00(,)P x y ，211(,)4y A y ，222(,)4y B y ，则PA 中点为20011(,)282x y y y ++，由AP 中点在抛物线上，可得220101()4()228y y x y +=+，化简得2210100280y y y x y -+-=，显然21y y ≠， 且对2y 也有2220200280y y y x y -+-=，所以12,y y 是二次方程22000280y y y x y -+-=的两不等实根，所以1202y y y +=，1202M P y y y y y +===。

1杨浦区2019学年度第一学期高三年级模拟质量调研数学学科试卷 2019.12.考生注意： 1．答卷前，考生务必在答题纸写上姓名、考号,并将核对后的条形码贴在指定位置上.2． 本试卷共有21道题，满分150分，考试时间120分钟．一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置填写结果. 1．函数12()f x x-= 的定义域为 .2．关于,x y 的方程组2130x y x y -=⎧⎨+=⎩的增广矩阵为 .3．已知函数()f x 的反函数12()log -=fx x ，则(1)-=f .4．设R ∈a ，22(1)i --++a a a 为纯虚数（i 为虚数单位），则a = . 5．已知圆锥的底面半径为1cm ，侧面积为22cm π，则母线与底面所成角的大小为 .6．已知7(1)ax +的二项展开式中3x 的系数为280，则实数a = .7．椭圆22194x y +=的焦点为12 ,F F ，P 为椭圆上一点，若1||5PF =，则 12cos F PF ∠= .8．已知数列{}n a 的通项公式为1(2)1(3)2-≤⎧⎪=⎨⎛⎫≥ ⎪⎪⎝⎭⎩n n nn a n （*N ∈n ），n S 是数列{}n a 的前n 项和.则lim n n S →+∞= .9. 在直角坐标平面xOy 中，(2,0),(0,1)-A B ，动点P 在圆22:2C x y +=上，则PA PB ⋅ 的取值范围为 .210．已知六个函数：①21y x=；②c o s y x =；③12y x =；④a r c s i n y x =；⑤1l g ()1xy x+=-；⑥1y x =+.从中任选三个函数，则其中既有奇函数又有偶函数的选法有 种.11．已知函数1()1f x x=-（0x >），若关于x 的方程2[()]()230+++=f x m f x m 有三个不相等的实数解，则实数m 的取值范围为 .12 ．向量集合(){},,R ==∈ 、S a a x y xy ．对于任意,S αβ∈，以及任意()1,0∈λ，都有()1S λαλβ+-∈，则称S 为“C 类集”．现有四个命题：① 若S 为“C 类集”，则集合{}M a a S μ=∈（μ为实常数）也是“C 类集”； ② 若,S T 都是“C 类集”，则集合{},=+∈∈M a b a S b T 也是“C 类集”； ③ 若12A ,A都是“C 类集”，则1A 2A 也是“C 类集”；④ 若12A ,A 都是“C 类集”，且交集非空，则1A 2A 也是“C 类集”．其中正确的命题有_________.（填所有正确命题的序号）二、选择题（本题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.13．已知实数,a b 满足>a b ，则下列不等式中恒成立的是 （ ）()A 22>a b ()B11<a b()C >a b ()D 22>a b 14．要得到函数2sin(2)3y x π=+的图象，只要将2sin 2y x =的图象 （ ）()A 向左平移6π个单位 ()B 向右平移6π个单位 ()C 向左平移3π个单位 ()D 向右平移3π个单位15．设12、z z 为复数,则下列命题中一定成立的是 ( )3()A 如果120->z z ,那么12>z z ()B 如果12||||=z z ,那么12=±z z ()C 如果121>z z ,那么12>z z ()D 如果22120+=z z ,那么120==z z 16．对于全集R 的子集A ，定义函数1()()0()∈⎧=⎨∈⎩A Rx A f x x A ð为A 的特征函数.设,A B 为全集R 的子集，下列结论中错误的是 （ ）()A 若A B ⊆，则()()A B f x f x ≤ ()B ()1()=-R A A f x f x ð()C ()()()A B A B f x f x f x =⋅ ()D ()()()A B A B f x f x f x =+三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥底面ABCD .1AB PA ==，AD =,E F 分别为棱,PD PA 的中点.⑴ 求证：B C E F 、、、四点共面； ⑵ 求异面直线PB 与AE 所成的角．418．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 已知函数()22x x af x =+，其中a 为实常数. ⑴ 若(0)7f =，解关于x 的方程()5f x =； ⑵ 判断函数()f x 的奇偶性，并说明理由．19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）东西向的铁路上有两个道口A B 、，铁路两侧的公路分布如图，C 位于A 的南偏西15︒，且位于B 的南偏东15︒方向，D 位于A 的正北方向，2AC AD km ==，C 处一辆救护车欲通过道口前往D 处的医院送病人，发现北偏东45︒方向的E 处（火车头位置）有一列火车自东向西驶来，若火车通过每个道口都需要1分钟，救护车和火车的速度均为60/km h . ⑴ 判断救护车通过道口A 是否会受火车影响，并说明理由；⑵ 为了尽快将病人送到医院，救护车应选择A B 、中的哪个道口？通过计算说明．DECA B520．（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分） 如图,在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，点A 是第一象限内抛物线C 上的一点,点D 的坐标为(,0)t (0>t ). ⑴若||OA =A 的坐标；⑵ 若AFD ∆为等腰直角三角形，且90∠=︒FAD ，求点D 的坐标；⑶ 弦AB 经过点D ，过弦AB 上一点P 作直线x t =-的垂线，垂足为点Q ，求证：“直线QA 与抛物线相切”的一个充要条件是“P 为弦AB 的中点”．621．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分） 已知无穷数列{}n a 的前n 项和为n S ，若对于任意的正整数n ，均有2120,0n n S S -≥≤，则称数列{}n a 具有性质P .⑴ 判断首项为1，公比为2-的无穷等比数列{}n a 是否具有性质P ，并说明理由； ⑵ 已知无穷数列{}n a 具有性质P ，且任意相邻四项之和都相等，求证：40S =；⑶ 已知21n b n =-（*N n ∈），数列{}n c 是等差数列，122()()n n n b n a c n +⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数，若无穷数列{}n a 具有性质P ，求2019c 的取值范围．。