2019上海高考数学试卷及参考答案

2019.6.7上海市高考数学试卷一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）1. 已知集合 A ( ,3) ，B (2, ) ，则A B 。

12. 已知z C，且满足i3.z 5，求z 。

4. 已知向量 a (1,0,2) ，b (2,1,0) ，则a 与b 的夹角为。

5. 已知二项式 5(2x 1) ，则展开式中含2x 项的系数为。

x 06. 已知x 、y满足y 0 ，求z 2x 3y 的最小值为。

x y 27. 已知函数 f (x) 周期为1，且当0 x 1，f (x) log2 x，则3f ( ) 。

28. 若x, y R，且1x2y 3，则yx的最大值为。

9. 已知数列{ a } 前n 项和为n S ，且满足S a 2，则n n nS 。

510. 过曲线 2 4y x的焦点 F 并垂直于x 轴的直线分别与曲线2 4y x 交于A、B ，A在B 上方，M 为抛物线上一点，OM OA ( 2)OB ，则。

11. 某三位数密码，每位数字可在0 9 这10 个数字中任选一个，则该三位数密码中，恰有两位数字相同的概率是。

12. 已知数列{ a } 满足n a a （n n 1*n N），若P (n, a ) (n 3) 均在双曲线n n2 2x y6 21上，则lim | P n P n 1 | 。

n13. 已知2f (x) | a |x 1（x 1，a 0）， f (x) 与x 轴交点为A，若对于 f (x) 图像上任意一点P，在其图像上总存在另一点Q （P、Q 异于A），满足AP AQ ，且| AP | | AQ |，则a 。

二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）14. 已知直线方程2x y c 0 的一个方向向量 d 可以是（）A. (2, 1)B. (2,1)C. ( 1,2)D. (1,2)15. 一个直角三角形的两条直角边长分别为 1 和2，将该三角形分别绕其两个直角边旋转得到的两个圆锥的体积之比为（）A. 1B. 2C. 4D. 82019.6.8已知R ，函数2f ( x) ( x 6) sin( x) ，存在常数 a R ，使得 f (x a) 为偶函数，则的值可能为（）A. B. C. D.2 3 4 52019.6.9已知tan tan tan( ) ，有下列两个结论：①存在在第一象限，在第三象限；②存在在第二象限，在第四象限；则（）A. ①②均正确B. ①②均错误C. ①对②错D. ①错②对三. 解答题（本大题共 5 题，共14+14+14+16+18=76 分）2019.6.10如图，在长方体A BCD A B C D 中，M 为1 1 1 1BB 上一点，已知BM 2 ，CD 3，1AD 4，A A15 .（1）求直线A C 与平面ABCD 的夹角；1（2）求点 A 到平面A MC 的距离.112019.6.11已知f (x) ax ，a R .x 1（1）当a 1时，求不等式 f (x) 1 f (x1) 的解集；（2）若 f (x) 在x [1,2] 时有零点，求 a 的取值范围.2019.6.12如图， A B C 为海岸线，AB 为线段，BC 为四分之一圆弧，BD 39.2km，BDC 22 ，CBD 68 ，BDA 58 .（1）求BC 的长度；（2）若AB 40 km，求 D 到海岸线 A B C 的最短距离.（精确到0.001km）2019.6.13已知椭圆2 2x y 8 4 1 ，F1 、F 为左、右焦点，直线l 过2F 交椭圆于A、B 两点.2（1）若直线l 垂直于x 轴，求| AB |；（2）当F1 AB 90 时，A 在x 轴上方时，求A、B 的坐标；（3）若直线A F 交y 轴于M ，直线1 BF 交y 轴于N，是否存在直线l，使得1S S ，F AB F MN1 1若存在，求出直线l 的方程，若不存在，请说明理由.*2019.6.14数列{a } (n N) 有100 项，n a a ，对任意n [2,100] ，存在1a a d ，n ii [1,n 1]，若a与前n 项中某一项相等，则称k a 具有性质P.k（1）若a1 1，d 2，求a所有可能的值；4（2）若{ a } 不是等差数列，求证：数列{a } 中存在某些项具有性质P；n n（3）若{ a } 中恰有三项具有性质P，这三项和为c，请用a、d、c 表示n a a a .1 2 100参考答案一、填空题1、(2,3)2、5 i3、25arccos4、405、 66、 17、98（提示：1 13 2y 2 2yx x，∴yx3 92( )2 2 8）8、31169、310、27100（分析：2 1 1C C C 2710 3 2P ，选用到的两个数字×选用一次的数字的位置×310 100选用一次的数字）11、2 33（解析：法一，由条件有22nan8 21 ，得 26na ，则n322n 12 2 22 2n 1 6 n 6 n 1 6 n 6 2| P P | 1 1 ，所以n n 13 3 321 2 3lim | P P | 1+ = ；）n n 1n3 3（解析：法二（极限法），当n 时，P P 与渐近线平行，n n 1 P P 在x 轴投影为1，渐近n n 1线斜角满足：tan331 2 3，∴ 1lim | P P | ）n nn 3cos612、a 2（分析：2f (x) | a |=0x 1，解得x 12a，则A21 ,0a，取1P 1 ,aa，则：1AP ,aa，因为A、P、Q 满足AP AQ ，且| AP | | AQ |，则AQ a ,1a，所以2 1Q 1 a,a a，Q 点在2f (x) | a |x 1图像上，则2 1aa21 a 1a，得2a 1 | a |2 ，a2a 12a 2 a， 2 1 2 2 0a a ，所以2 2a ，a 2 ）a 2 a二. 选择题13、D 14.、B15、C（分析： 2f (x a) ( x a 6) sin[ ( x a)] ，因为 f (x a)为偶函数，所以 a 6 ，且sin[ (x6)] 也为偶函数，所以 6 k ，当k 1时，）2 416、D（分析：特殊值验证，取tan 1，则tan 1 2 ，所以②正确，再取几组验证，①错）三、解答题17、（1）4 ；（2）103 .【解析】（1）连接AC，A A 面ABCD ，则1 ACA 即为直线1AC 与平面ABCD 的夹角。

1拿到试卷：熟悉试卷刚拿到试卷一般心情比较紧张，建议拿到卷子以后看看考卷一共几页，有多少道题，了解试卷结构，通览全卷是克服“前面难题做不出，后面易题没时间做”的有效措施，也从根本上防止了“漏做题”。

2答题顺序：从卷首依次开始一般来讲，全卷大致是先易后难的排列。

所以，正确的做法是从卷首开始依次做题，先易后难，最后攻坚。

但也不是坚决地“依次”做题，虽然考卷大致是先易后难，但试卷前部特别是中间出现难题也是常见的，执着程度适当，才能绕过难题，先做好有保证的题，才能尽量多得分。

3答题策略答题策略一共有三点：1. 先易后难、先熟后生。

先做简单的、熟悉的题，再做综合题、难题。

2. 先小后大。

先做容易拿分的小题，再做耗时又复杂的大题。

3. 先局部后整体。

把疑难问题划分成一系列的步骤，一步一步的解决，每解决一步就能得到一步的分数。

4学会分段得分会做的题目要特别注意表达准确、书写规范、语言科学，防止被“分段扣点分”。

不会做的题目我们可以先承认中间结论，往后推，看能否得到结论。

如果不能，说明这个途径不对，立即改变方向；如果能得出预期结论，就回过头来，集中力量攻克这一“卡壳处”。

如果题目有多个问题，也可以跳步作答，先回答自己会的问题。

5立足中下题目，力争高水平考试时，因为时间和个别题目的难度，多数学生很难做完、做对全部题目，所以在答卷中要立足中下题目。

中下题目通常占全卷的80%以上，是试题的主要构成，学生能拿下这些题目，实际上就是有了胜利在握的心理，对攻克高档题会更放得开。

6确保运算正确，立足一次性成功在答卷时，要在以快为上的前提下，稳扎稳打，步步准确，尽量一次性成功。

不能为追求速度而丢掉准确度，甚至丢掉重要的得分步骤。

试题做完后要认真做好解后检查，看是否有空题，答卷是否准确，格式是否规范。

7要学会“挤”分考试试题大多分步给分，所以理科要把主要方程式和计算结果写在显要位置，文科尽量把要点写清晰，作文尤其要注意开头和结尾。

2019年上海市高考数学试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）. 1．（4分）已知集合A＝（﹣∞，3），B＝（2，+∞），则A∩B＝．2．（4分）已知z∈C，且满足＝i，求z＝．3．（4分）已知向量＝（1，0，2），＝（2，1，0），则与的夹角为．4．（4分）已知二项式（2x+1）5，则展开式中含x2项的系数为．5．（4分）已知x，y满足，则z＝2x﹣3y的最小值为．6．（4分）已知函数f（x）周期为1，且当0＜x≤1时，f（x）＝log2x，则f（）＝．7．（5分）若x，y∈R+，且+2y＝3，则的最大值为．8．（5分）已知数列{a n}前n项和为S n，且满足S n+a n＝2，则S5＝．9．（5分）过曲线y2＝4x的焦点F并垂直于x轴的直线分别与曲线y2＝4x交于A，B，A 在B上方，M为抛物线上一点，＝λ+（λ﹣2），则λ＝．10．（5分）某三位数密码，每位数字可在0﹣9这10个数字中任选一个，则该三位数密码中，恰有两位数字相同的概率是．11．（5分）已知数列{a n}满足a n＜a n+1（n∈N*），P n（n，a n）（n≥3）均在双曲线﹣＝1上，则|P n P n+1|＝．12．（5分）已知f（x）＝|﹣a|（x＞1，a＞0），f（x）与x轴交点为A，若对于f（x）图象上任意一点P，在其图象上总存在另一点Q（P、Q异于A），满足AP⊥AQ，且|AP|＝|AQ|，则a＝．二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.13．（5分）已知直线方程2x﹣y+c＝0的一个方向向量可以是（）A．（2，﹣1）B．（2，1）C．（﹣1，2）D．（1，2）14．（5分）一个直角三角形的两条直角边长分别为1和2，将该三角形分别绕其两个直角边旋转得到的两个圆锥的体积之比为（）A．1 B．2 C．4 D．815．（5分）已知ω∈R，函数f（x）＝（x﹣6）2•sin（ωx），存在常数a∈R，使f（x+a）为偶函数，则ω的值可能为（）A．B．C．D．16．（5分）已知tanα•tanβ＝tan（α+β）．有下列两个结论：①存在α在第一象限，β在第三象限；②存在α在第二象限，β在第四象限；则（）A．①②均正确B．①②均错误C．①对②错D．①错②对三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17．（14分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为BB1上一点，已知BM＝2，CD ＝3，AD＝4，AA1＝5．（1）求直线A1C和平面ABCD的夹角；（2）求点A到平面A1MC的距离．18．（14分）已知f（x）＝ax+，a∈R．（1）当a＝1时，求不等式f（x）+1＜f（x+1）的解集；（2）若f（x）在x∈[1，2]时有零点，求a的取值范围．19．（14分）如图，A﹣B﹣C为海岸线，AB为线段，为四分之一圆弧，BD＝39.2km，∠BDC＝22°，∠CBD＝68°，∠BDA＝58°．（1）求的长度；（2）若AB＝40km，求D到海岸线A﹣B﹣C的最短距离．（精确到0.001km）20．（16分）已知椭圆+＝1，F1，F2为左、右焦点，直线l过F2交椭圆于A，B两点．（1）若直线l垂直于x轴，求|AB|；（2）当∠F1AB＝90°时，A在x轴上方时，求A、B的坐标；（3）若直线AF 1交y轴于M，直线BF1交y轴于N，是否存在直线l，使得S＝S，若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．21．（18分）数列{a n}（n∈N*）有100项，a1＝a，对任意n∈[2，100]，存在a n＝a i+d，i∈[1，n﹣1]，若a k与前n项中某一项相等，则称a k具有性质P．（1）若a1＝1，d＝2，求a4所有可能的值；（2）若{a n}不为等差数列，求证：数列{a n}中存在某些项具有性质P；（3）若{a n}中恰有三项具有性质P，这三项和为c，使用a，d，c表示a1+a2+…+a100．2019年上海市高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）. 1．（4分）已知集合A＝（﹣∞，3），B＝（2，+∞），则A∩B＝（2，3）．【分析】根据交集的概念可得．【解答】解：根据交集的概念可得A∩B＝（2，3）．故答案为：（2，3）．【点评】本题考查了交集及其运算，属基础题．2．（4分）已知z∈C，且满足＝i，求z＝5﹣i．【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：由＝i，得z﹣5＝，即z＝5+＝5﹣i．故答案为：5﹣i．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题．3．（4分）已知向量＝（1，0，2），＝（2，1，0），则与的夹角为．【分析】直接利用向量的夹角公式的应用求出结果．【解答】解：向量＝（1，0，2），＝（2，1，0），则，，所以：cos＝，故：与的夹角为．故答案为：【点评】本题考查的知识要点：向量的夹角公式的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．4．（4分）已知二项式（2x+1）5，则展开式中含x2项的系数为40 ．【分析】先求得二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于2，求得r的值，即可求得含x2项的系数值．【解答】解：二项式（2x﹣1）5的展开式的通项公式为T r+1＝C5r•25﹣r•x5﹣r，令5﹣r＝2，求得r＝3，可得展开式中含x2项的系数值为C53•22＝40，故答案为：40．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题．5．（4分）已知x，y满足，则z＝2x﹣3y的最小值为﹣6 ．【分析】画出不等式组表示的平面区域，由目标函数的几何意义，结合平移直线，可得所求最小值．【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，由z＝2x﹣3y即y＝，表示直线在y轴上的截距的相反数的倍，平移直线2x﹣3y＝0，当经过点（0，2）时，z＝2x﹣3y取得最小值﹣6，故答案为：﹣6．【点评】本题考查线性规划的运用，考查平移法求最值的方法，数形结合思想，考查运算能力，属于基础题．6．（4分）已知函数f（x）周期为1，且当0＜x≤1时，f（x）＝log2x，则f（）＝﹣1 ．【分析】由题意知函数f（x）周期为1，所以化简f（）再代入即可．【解答】解：因为函数f（x）周期为1，所以f（）＝f（），因为当0＜x≤1时，f（x）＝log2x，所以f（）＝﹣1，故答案为：﹣1．【点评】本题考查函数的周期性，属于简单题．7．（5分）若x，y∈R+，且+2y＝3，则的最大值为．【分析】根据基本不等式可得．【解答】解：3＝+2y≥2，∴≤（）2＝；故答案为：【点评】本题考查了基本不等式及其应用，属基础题．8．（5分）已知数列{a n}前n项和为S n，且满足S n+a n＝2，则S5＝．【分析】由已知数列递推式可得数列{a n}是等比数列，且，再由等比数列的前n项和公式求解．【解答】解：由S n+a n＝2，①得2a1＝2，即a1＝1，且S n﹣1+a n﹣1＝2（n≥2），②①﹣②得：（n≥2）．∴数列{a n}是等比数列，且．∴．故答案为：．【点评】本题考查数列递推式，考查等比关系的确定，训练了等比数列前n项和的求法，是中档题．9．（5分）过曲线y2＝4x的焦点F并垂直于x轴的直线分别与曲线y2＝4x交于A，B，A 在B上方，M为抛物线上一点，＝λ+（λ﹣2），则λ＝ 3 ．【分析】直接利用直线和抛物线的位置关系的应用求出点的坐标，进一步利用向量的运算求出结果．【解答】解：过y2＝4x的焦点F并垂直于x轴的直线分别与y2＝4x交于A，B，A在B 上方，依题意：得到：A（1，2）B（1，﹣2），设点M（x，y），所以：M为抛物线上一点，＝λ+（λ﹣2），则：（x，y）＝λ（1，2）+（λ﹣2）（1，﹣2）＝（2λ﹣2，4），代入y2＝4x，得到：λ＝3．故答案为：3【点评】本题考查的知识要点：直线和抛物线的位置关系的应用，向量的坐标运算的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．10．（5分）某三位数密码，每位数字可在0﹣9这10个数字中任选一个，则该三位数密码中，恰有两位数字相同的概率是．【分析】分别运用直接法和排除法，结合古典概率的公式，以及计数的基本原理：分类和分步，计算可得所求值．【解答】解：方法一、（直接法）某三位数密码锁，每位数字在0﹣9数字中选取，总的基本事件个数为1000，其中恰有两位数字相同的个数为C C＝270，则其中恰有两位数字相同的概率是＝；方法二、（排除法）某三位数密码锁，每位数字在0﹣9数字中选取，总的基本事件个数为1000，其中三位数字均不同和全相同的个数为10×9×8+10＝730，可得其中恰有两位数字相同的概率是1﹣＝．故答案为：．【点评】本题考查古典型概率的求法，注意运用直接法和排除法，考查排列组合数的求法，以及运算能力，属于基础题．11．（5分）已知数列{a n}满足a n＜a n+1（n∈N*），P n（n，a n）（n≥3）均在双曲线﹣＝1上，则|P n P n+1|＝．【分析】法一：根据两点之间的距离和极限即可求出，法二：根据向量法，当n→+∞时，P n P n+1与渐近线平行，P n P n+1在x轴的投影为1，渐近线倾斜角为θ，则tanθ＝，即可求出．【解答】解：法一：由﹣＝1，可得a n＝，∴P n（n，），∴P n+1（n+1，），∴|P n P n+1|＝＝∴求解极限可得|P n P n+1|＝，方法二：当n→+∞时，P n P n+1与渐近线平行，P n P n+1在x轴的投影为1，渐近线倾斜角为θ，则tanθ＝，故P n P n+1＝＝故答案为：．【点评】本题考查了双曲线的简单性质和点与点的距离公式，极限的思想，向量的投影，属于中档题．12．（5分）已知f（x）＝|﹣a|（x＞1，a＞0），f（x）与x轴交点为A，若对于f（x）图象上任意一点P，在其图象上总存在另一点Q（P、Q异于A），满足AP⊥AQ，且|AP|＝|AQ|，则a＝．【分析】本题根据题意对函数f（x）分析之后可画出f（x）大致图象，然后结合图象可不妨设点P在左边曲线上，点Q在右边曲线上．设直线AP的斜率为k，联立直线与曲线的方程可得P点坐标，同理可得Q点坐标．再分别算出|AP|、|AQ|，再根据|AP|＝|AQ|及k的任意性可解得a的值．【解答】解：由题意，可知：令f（x）＝|﹣a|＝0，解得：x＝+1，∴点A的坐标为：（+1，0）．则f（x）＝．∴f（x）大致图象如下：由题意，很明显P、Q两点分别在两个分段曲线上，不妨设点P在左边曲线上，点Q在右边曲线上．设直线AP的斜率为k，则l AP：y＝k（x﹣﹣1）．联立方程：，整理，得：kx2+[a﹣k（+2）]x+k（+1）﹣a﹣2＝0．∴x P+x A＝﹣＝+2﹣．∵x A＝+1，∴x P＝+2﹣﹣x A＝1﹣．再将x P＝1﹣代入第一个方程，可得：y P＝﹣a﹣．∴点P的坐标为：（1﹣，﹣a﹣）．∴|AP|＝＝＝．∵AP⊥AQ，∴直线AQ的斜率为﹣，则l AQ：y＝﹣（x﹣﹣1）．同理类似求点P的坐标的过程，可得：点Q的坐标为：（1﹣ak，a+）．∴|AQ|＝＝＝∵|AP|＝|AQ|，及k的任意性，可知：＝a2，解得：a＝．故答案为：．【点评】本题主要考查对函数分析能力，根据平移对称画出符合函数的图象，采用数形结合法分析问题，以及用平面解析几何的方法进行计算，以及设而不求法的应用．本题是一道较难的中档题．二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.13．（5分）已知直线方程2x﹣y+c＝0的一个方向向量可以是（）A．（2，﹣1）B．（2，1）C．（﹣1，2）D．（1，2）【分析】先根据直线方程得直线的一个法向量，再根据法向量可得直线的方向向量．【解答】解：依题意，（2，﹣1）为直线的一个法向量，∴方向向量为（1，2），故选：D．【点评】本题考查了直线的方向向量，空间直线的向量，属基础题．14．（5分）一个直角三角形的两条直角边长分别为1和2，将该三角形分别绕其两个直角边旋转得到的两个圆锥的体积之比为（）A．1 B．2 C．4 D．8【分析】直接利用圆锥的体积公式求得两个圆锥的体积，作比得答案．【解答】解：如图，则，，∴两个圆锥的体积之比为．故选：B．【点评】本题考查圆锥的定义，考查圆锥体积的求法，是基础题．15．（5分）已知ω∈R，函数f（x）＝（x﹣6）2•sin（ωx），存在常数a∈R，使f（x+a）为偶函数，则ω的值可能为（）A．B．C．D．【分析】直接利用三角函数的性质的应用和函数的奇偶性的应用求出结果．【解答】解：由于函数f（x）＝（x﹣6）2•sin（ωx），存在常数a∈R，f（x+a）为偶函数，则：f（x+a）＝（x+a﹣6）2•sin[ω（x+a）]，由于函数为偶函数，故：a＝6，所以：，当k＝1时．ω＝故选：C．【点评】本题考查的知识要点：三角函数的性质的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．16．（5分）已知tanα•tanβ＝tan（α+β）．有下列两个结论：①存在α在第一象限，β在第三象限；②存在α在第二象限，β在第四象限；则（）A．①②均正确B．①②均错误C．①对②错D．①错②对【分析】考虑运用二次方程的实根的分布，结合导数判断单调性可判断①；运用特殊值法，令tanα＝﹣，结合两角和的正切公式，计算可得所求结论，可判断②．【解答】解：由tanα•tanβ＝tan（α+β），即为tanα•tanβ＝，设m＝tanα，n＝tanβ，可得n2m2+n（1﹣m）+m＝0，若m＞0，可得上式关于n的方程有两个同号的根，若为两个正根，可得n＞0，即有m＞1，考虑△＝f（m）＝（1﹣m）2﹣4m3，f′（m）＝2m﹣2﹣8m2＝﹣8（m﹣）2﹣，当m＞1时，f（m）递减，可得f（m）＜f（1）＝﹣4＜0，则方程无解，β在第三象限不可能，故①错；可令tanα＝﹣，由tanα•tanβ＝tan（α+β），即为tanα•tanβ＝，可得﹣tanβ＝，解得tanβ＝﹣6±，存在β在第四象限，故②对．故选：D．【点评】本题考查三角函数的正切公式，以及方程思想、运算能力，属于基础题．三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17．（14分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为BB1上一点，已知BM＝2，CD ＝3，AD＝4，AA1＝5．（1）求直线A1C和平面ABCD的夹角；（2）求点A到平面A1MC的距离．【分析】（1）由题意可得A1C与平面ABCD所成夹角为∠A1CA，判断△A1CA为等腰三角形，即可求出，（2）如图建立坐标系，根据向量的关系可得点A到平面A1MC的距离d＝，求出法向量即可求出．【解答】解：（1）依题意：AA1⊥平面ABCD，连接AC，则A1C与平面ABCD所成夹角为∠A1CA，∵AA1＝5，AC＝＝5，∴△A1CA为等腰三角形，∴∠A1CA＝，∴直线A1C和平面ABCD的夹角为，（2）（空间向量），如图建立坐标系，则A（0，0，0），C（3，0，0），A1（0，0，5），M（3，0，2），∴＝（3，4，0），＝（3，4，﹣5），＝（0，4．﹣2），设平面A1MC的法向量＝（x，y，z），由，可得＝（2，1，2），∴点A到平面A1MC的距离d＝＝＝．【点评】本题考查了线面角的求法和点到平面的距离，考查了运算求解能力和转化与化归能力，空间想象能力，属于中档题．18．（14分）已知f（x）＝ax+，a∈R．（1）当a＝1时，求不等式f（x）+1＜f（x+1）的解集；（2）若f（x）在x∈[1，2]时有零点，求a的取值范围．【分析】（1）直接利用转换关系，解分式不等式即可．（2）利用分离参数法和函数的值域的应用求出参数的范围．【解答】解：（1）f（x）＝ax+（a∈R）．当a＝1时，f（x）＝x+．所以：f（x）+1＜f（x+1）转换为：x++1，即：，解得：﹣2＜x＜﹣1．故：{x|﹣2＜x＜﹣1}．（2）函数f（x）＝ax+在x∈[1，2]时，f（x）有零点，即函数在该区间上有解，即：，即求函数g（x）在x∈[1，2]上的值域，由于：x（x+1）在x∈[1，2]上单调，故：x（x+1）∈[2，6]，所以：，故：【点评】本题考查的知识要点：分式不等式的解法及应用，分离参数法的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题．19．（14分）如图，A﹣B﹣C为海岸线，AB为线段，为四分之一圆弧，BD＝39.2km，∠BDC＝22°，∠CBD＝68°，∠BDA＝58°．（1）求的长度；（2）若AB＝40km，求D到海岸线A﹣B﹣C的最短距离．（精确到0.001km）【分析】（1）由题意可求BC，及弧BC所在的圆的半径R，然后根据弧长公式可求；（2）根据正弦定理可得，，可求sin A，进而可求A，进而可求∠ABD，根据三角函数即可求解．【解答】解：（1）由题意可得，BC＝BD sin22°，弧BC所在的圆的半径R＝BC sin＝，弧BC的长度为＝＝＝16.310km；（2）根据正弦定理可得，，∴sin A＝＝0.831，A＝56.2°，∴∠ABD＝180°﹣56.2°﹣58°＝65.8°，∴DH＝BD×sin∠ABD＝35.750km＜CD＝36.346km∴D到海岸线A﹣B﹣C的最短距离为35.750km【点评】本题主要考查了利用三角函数，正弦定理求解三角形，还考查了基本运算．20．（16分）已知椭圆+＝1，F1，F2为左、右焦点，直线l过F2交椭圆于A，B两点．（1）若直线l垂直于x轴，求|AB|；（2）当∠F1AB＝90°时，A在x轴上方时，求A、B的坐标；（3）若直线AF 1交y轴于M，直线BF1交y轴于N，是否存在直线l，使得S＝S，若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．【分析】（1）由题意方程求得右焦点坐标，进一步求得A，B的坐标，则|AB|可求；（2）设A（x1，y1），由∠F1AB＝90°（∠F1AF2＝90°），利用数量积为0求得x1与y1的方程，再由A在椭圆上，得x1与y1的另一方程，联立即可求得A的坐标．得到直线AB 的方程，与椭圆方程联立即可求得B的坐标；（3）设A（x1，y1），B（x2，y2），M（0，y3），N（0，y4），直线l：x＝my+2（斜率不存在时不满足题意），联立直线方程与椭圆方程，结合S＝S，得2|y 1﹣y2|＝|y3﹣y4|，再由直线AF1的方程：，得M纵坐标，由直线BF1的方程：，得N的纵坐标，结合根与系数的关系，得||＝4，解得m值，从而得到直线方程．【解答】解：（1）依题意，F2（2，0），当AB⊥x轴时，则A（2，），B（2，﹣），得|AB|＝2；（2）设A（x1，y1），∵∠F1AB＝90°（∠F1AF2＝90°），∴＝，又A在椭圆上，满足，即，∴，解得x1＝0，即A（0，2）．直线AB：y＝﹣x+2，联立，解得B（，﹣）；（3）设A（x1，y1），B（x2，y2），M（0，y3），N（0，y4），直线l：x＝my+2（斜率不存在时不满足题意），则，．联立，得（m2+2）y2+4my﹣4＝0．则，．由直线AF1的方程：，得M纵坐标；由直线BF1的方程：，得N的纵坐标．若S＝S，即2|y 1﹣y2|＝|y3﹣y4|，|y3﹣y4|＝||＝||＝||＝2|y1﹣y2|，∴|（my1+4）（my2+4）|＝4，|m2y1y2+4m（y1+y2）+16|＝4，代入根与系数的关系，得||＝4，解得m＝．∴存在直线x+或满足题意．【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，属难题．21．（18分）数列{a n}（n∈N*）有100项，a1＝a，对任意n∈[2，100]，存在a n＝a i+d，i∈[1，n﹣1]，若a k与前n项中某一项相等，则称a k具有性质P．（1）若a1＝1，d＝2，求a4所有可能的值；（2）若{a n}不为等差数列，求证：数列{a n}中存在某些项具有性质P；（3）若{a n}中恰有三项具有性质P，这三项和为c，使用a，d，c表示a1+a2+…+a100．【分析】（1）根据a1＝1，d＝2逐一求出a2，a3，a4即可；（2）{a n}不为等差数列，数列{a n}存在a m使得a m＝a m﹣1+d不成立，根据题意进一步推理即可证明结论；（3）去除具有性质P的数列{a n}中的前三项后，数列{a n}的剩余项重新排列为一个等差数列，且该数列的首项为a，公差为d，求a1+a2+…+a100即可．【解答】解：（1）∵数列{a n}有100项，a1＝a，对任意n∈[2，100]，存在a n＝a i+d，i∈[1，n﹣1]，∴若a1＝1，d＝2，则当n＝2时，a2＝a1+d＝3，当n＝3时，i∈[1，2]，则a3＝a1+d＝3或a3＝a2+d＝5，当n＝4时，i∈[1，3]，则a4＝a1+d＝3或a4＝a2+d＝5或a4＝a3+d＝（a1+d）+d ＝5或a4＝a3+d＝（a2+d）+d＝7∴a4的所有可能的值为：3，5，7；（2）∵{a n}不为等差数列，∴数列{a n}存在a m使得a m＝a m﹣1+d不成立，∵对任意n∈[2，10]，存在a n＝a i+d，i∈[1，n﹣1]；∴存在p∈[1，n﹣2]，使a m＝a p+d，则对于a m﹣q＝a i+d，i∈[1，n﹣q﹣1]，存在p＝i，使得a m﹣q＝a m，因此{a n}中存在具有性质P的项；（3）由（2）知，去除具有性质P的数列{a n}中的前三项，则数列{a n}的剩余项均不相等，∵对任意n∈[2，100]，存在a n＝a i+d，i∈[1，n﹣1]，则一定能将数列{a n}的剩余项重新排列为一个等差数列，且该数列的首项为a，公差为d，∴a1+a2+…+a100＝＝97a+4656d+c．【点评】本题考查了等差数列的性质和前n项和公式，考查了逻辑推理能力和计算能力，关键是对新定义的理解，属难题．。

2019年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷） 数学一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．（4分）已知集合，2，3，4，，，5，，则 ．2．（4分）计算 ． 3．（4分）不等式的解集为 ．4．（4分）函数的反函数为 ．5．（4分）设为虚数单位，，则的值为 6．（4分）已知，当方程有无穷多解时，的值为 ． 7．（5分）在的展开式中，常数项等于 ．8．（5分）在中，，，且，则 ． 9．（5分）首届中国国际进口博览会在上海举行，某高校拟派4人参加连续5天的志愿者活动，其中甲连续参加2天，其他人各参加1天，则不同的安排方法有 种（结果用数值表示）10．（5分）如图，已知正方形，其中，函数交于点，函数交于点，当最小时，则的值为 ．11．（5分）在椭圆上任意一点，与关于轴对称，若有，则与的夹角范围为 ．{1A =5}{3B =6}AB =22231lim 41n n n n n →∞-+=-+|1|5x +<2()(0)f x x x =>i 365z i i -=+||z 22214x y x a y a +=-⎧⎨+=⎩a 61()x x+ABC ∆3AC =3sin 2sin A B =1cos 4C =AB =OABC (1)OA a a =>23y x =BC P 12y x-=AB Q ||||AQ CP +a 22142x y +=P Q P x 121F P F P 1F P 2F Q12．（5分）已知集合，，，，存在正数，使得对任意，都有，则的值是 ．二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分） 13．（5分）下列函数中，值域为，的是 A ．B ．C ．D ．14．（5分）已知、，则“”是“”的 A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件15．（5分）已知平面、、两两垂直，直线、、满足：，，，则直线、、不可能满足以下哪种关系 A ．两两垂直B ．两两平行C ．两两相交D ．两两异面16．（5分）以，，，为圆心的两圆均过，与轴正半轴分别交于，，，，且满足，则点的轨迹是 A ．直线 B ．圆 C ．椭圆 D ．双曲线三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18＝76分）17．（14分）如图，在正三棱锥中，． （1）若的中点为，的中点为，求与的夹角； （2）求的体积．18．（14分）已知数列，，前项和为． （1）若为等差数列，且，求；（2）若为等比数列，且，求公比的取值范围．[A t =1][4t t ++9]t +0A ∉λa A ∈A aλ∈t [0)+∞()2xy =12y x =tan y x =cos y x =a b R ∈22a b >||||a b >()αβγa b c a α⊆b β⊆c γ⊆a b c ()1(a 0)2(a 0)(1,0)y 1(y 0)2(y 0)120lny lny +=1211(,)a a ()P ABC -2,3PA PB PC AB BC AC ======PB M BC N AC MN P ABC -{}n a 13a =n n S {}n a 415a =n S {}n a lim 12n n S →∞<q19．（14分）改革开放40年，我国卫生事业取得巨大成就，卫生总费用增长了数十倍．卫生总费用包括个人现在支出、社会支出、政府支出，如表为2012年年我国卫生货用中个人现金支出、社会支出和政府支出的费用（单位：亿元）和在卫生总费用中的占比．（数据来源于国家统计年鉴）（1）指出2012年到2015年之间我国卫生总费用中个人现金支出占比和社会支出占比的变化趋势：（2）设表示1978年，第年卫生总费用与年份之间拟合函数研究函数的单调性，并预测我国卫生总费用首次超过12万亿的年份．2015-1t =n t 6.44200.1136357876.6053()1tf t e -=+()f t20．（16分）已知抛物线方程，为焦点，为抛物线准线上一点，为线段与抛物线的交点，定义：． （1）当时，求；（2）证明：存在常数，使得；（3），，为抛物线准线上三点，且，判断与的关系．21．（18分）已知等差数列的公差，，数列满足，集合．（1）若，求集合； （2）若，求使得集合恰好有两个元素；（3）若集合恰好有三个元素：，是不超过7的正整数，求的所有可能的值．24y x =F P Q PF ||()||PF d P FQ =8(1,)3P --()d P a 2()||d P PF a =+1P 2P 3P 1223||||PP P P =13()()d P d P +22()d P {}n a (0d ∈]π{}n b sin()n n b a ={}*|,n S x x b n N ==∈120,3a d π==S 12a π=d S S n T n b b +=T T2019年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数 学 答 案一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．（4分）已知集合，2，3，4，，，5，，则 ， ．【解答】解：集合，2，3，4，，，5，， ，．故答案为：，．2．（4分）计算 2 ． 【解答】解：． 故答案为：2．3．（4分）不等式的解集为 ． 【解答】解：由得，即 故答案为：，．4．（4分）函数的反函数为 ．【解答】解：由解得，故答案为5．（4分）设为虚数单位，，则的值为【解答】解：由，得，即，故答案为：．{1A =5}{3B =6}A B ={35}{1A =5}{3B =6}{3AB ∴=5}{35}22231lim 41n n n n n →∞-+=-+2222312231lim lim 241411n n n n n n n n n n→∞→∞-+-+==-+-+|1|5x +<(6,4)-|1|5x +<515x -<+<64x -<<{6-4)2()(0)f x x x =>1()0)f x x -=>2(0)y x x =>x =1()0)f x x -∴=>1f -()0)x x =>i 365z i i -=+||z 365z i i -=+366z i =+22z i =+||||z z ∴===6．（4分）已知，当方程有无穷多解时，的值为 ． 【解答】解：由题意，可知： 方程有无穷多解，可对①，得：．再与②式比较，可得：． 故答案为：． 7．（5分）在的展开式中，常数项等于 15 ．【解答】解：展开式的通项为令得， 故展开式的常数项为第3项：．故答案为：15．8．（5分）在中，，，且，则【解答】解：，由正弦定理可得：， 由，可得：，， 由余弦定理可得：，解得：．9．（5分）首届中国国际进口博览会在上海举行，某高校拟派4人参加连续5天的志愿者活动，其中甲连续参加2天，其他人各参加1天，则不同的安排方法有 24 种（结果用数值表示）【解答】解：在五天里，连续的2天，一共有4种，剩下的3人排列，故有种，故答案为：24．10．（5分）如图，已知正方形，其中，函数交于点，函数22214x y x a y a +=-⎧⎨+=⎩a 2-∴2⨯442x y +=-2a =-2-6(x 6(x 36216r r r T C x-+=3902r -=2r =2615C =ABC ∆3AC =3sin 2sin A B =1cos 4C =AB 3sin 2sin A B =∴32BC AC =∴3AC =2BC =1cos 4C =∴2221324232AB +--=⨯⨯∴AB =33424A =OABC (1)OA a a =>23y x =BC P交于点，当最小时，则．【解答】解：由题意得：点坐标为，，点坐标为，，当且仅当．11．（5分）在椭圆上任意一点，与关于轴对称，若有，则与的夹角范围为 ， ．【解答】解：设，则点，椭圆的焦点坐标为，，，， ，，结合 可得：，故与的夹角满足：，故，故答案为：，12y x-=AB Q||||AQ CP +aP )a Q (a 11||||23AQ CP a+=a 22142x y +=P Q P x 121F P F P 1F P 2F Q 1[arccos 3π-]π(,)P x y Q (,)x y -22142x y +=(0)0)121F P F P 2221x y ∴-+22142x y +=2[1y ∈2]1F P 2F Q θ222122212238cos 3[122(F P F Qy y y F P F Q x θ-====-+∈-++1]3-1[arccos 3θπ∈-]π1[arccos 3π-]π12．（5分）已知集合，，，，存在正数，使得对任意，都有，则的值是 1或 ．【解答】解：当时，当，时，则，，当，时，则，，即当时，；当时，，即； 当时，，当时，，即，，解得．当时，当，时，则，．当，，则，，即当时，，当时，，即，即当时，，当时，，即，，解得．[A t =1][4t t ++9]t +0A ∉λa A ∈A aλ∈t 3-0t >[a t ∈1]t +[4t aλ∈+9]t +[4a t ∈+9]t +[t aλ∈1]t +a t =9t aλ+9a t =+t aλ(9)t t λ=+1a t =+4t aλ+4a t =+1t aλ+(1)(4)t t λ=++(9)(1)(4)t t t t ∴+=++1t=104t t +<<+[a t ∈1]t +[t aλ∈1]t +[4a t ∈+9]t +[4t aλ∈+9]t +a t =1t aλ+1a t =+t aλ(1)t t λ=+4a t =+9t aλ+9a t =+4t aλ+(4)(9)t t λ=++(1)(4)(9)t t t t ∴+=++3t =-当时，同理可得无解． 综上，的值为1或． 故答案为：1或．二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分） 13．（5分）下列函数中，值域为，的是 A ．B ．C ．D ．【解答】解：，的值域为，故错，的定义域为，，值域也是，，故正确．，的值域为，故错 ，的值域为，，故错． 故选：．14．（5分）已知、，则“”是“”的 A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件【解答】解：等价，，得“”，“”是“”的充要条件，故选：．15．（5分）已知平面、、两两垂直，直线、、满足：，，，则直线、、不可能满足以下哪种关系90t +<t 3-3-[0)+∞()2xy =12y x =tan y x =cos y x =A 2xy =(0,)+∞AB y [0)+∞[0)+∞BC tan y x =(,)-∞+∞CD cos y x =[1-1]+D B a b R ∈22a b >||||a b >()22a b >22||||a b >||||a b >∴22a b >||||a b >C αβγa b c a α⊆b β⊆c γ⊆a b c ()A ．两两垂直B ．两两平行C ．两两相交D ．两两异面【解答】解：如图1，可得、、可能两两垂直； 如图2，可得、、可能两两相交； 如图3，可得、、可能两两异面；故选：．16．（5分）以，，，为圆心的两圆均过，与轴正半轴分别交于，，，，且满足，则点的轨迹是 A ．直线 B ．圆 C ．椭圆 D ．双曲线【解答】解：因为，则，同理可得，又因为， 所以， 则， 即， 则， 设，则为直线，故选：．三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18＝76分）a b c a b c a bc B 1(a 0)2(a 0)(1,0)y 1(y 0)2(y 0)120lny lny +=1211(,)a a ()11|1|r a =-21112y a =-22212y a =-120lny lny +=121y y =12(12)(12)1a a --=12122a a a a =+12112a a +=1211x a y a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩2x y +=A17．（14分）如图，在正三棱锥中，． （1）若的中点为，的中点为，求与的夹角； （2）求的体积．【解答】解：（1），分别为，的中点，， 则为与所成角，在中，由，，可得，与的夹角为； （2）过作底面垂线，垂直为，则为底面三角形的中心， 连接并延长，交于，则，． ．．18．（14分）已知数列，，前项和为． （1）若为等差数列，且，求；（2）若为等比数列，且，求公比的取值范围．【解答】解：（1），，P ABC-2,PA PB PC AB BC AC ======PB M BC N AC MN P ABC-M N PB BC //MN PC ∴PCA ∠AC MN PAC ∆2PA PC ==AC=222cos 2PC AC PA PCA PC AC +-∠===AC ∴MN P O O AO BC N 32AN=213AO AN ==PO ∴∴11333224P ABC V -=⨯={}n a 13a =n n S {}n a 415a =n S {}n a lim 12n n S →∞<q 4133315a a d d =+=+=4d ∴=； （2），存在，，存在，且，，，，或，公比的取值范围为，，．19．（14分）改革开放40年，我国卫生事业取得巨大成就，卫生总费用增长了数十倍．卫生总费用包括个人现在支出、社会支出、政府支出，如表为2012年年我国卫生货用中个人现金支出、社会支出和政府支出的费用（单位：亿元）和在卫生总费用中的占比．（数据来源于国家统计年鉴）（1）指出2012年到2015年之间我国卫生总费用中个人现金支出占比和社会支出占比的变化趋势：（2）设表示1978年，第年卫生总费用与年份之间拟合函数研究函数的单调性，并预测我国卫生总费用首次超过12万亿的年份．【解答】解：（1）由表格数据可知个人现金支出占比逐渐减少，社会支出占比逐渐增多． （2）是减函数，且， 在上单调递增，2(1)3422n n n S n n n -∴=+⨯=+3(1)1n n q S q-=-lim n n S →∞11q ∴-<<∴lim n n S →∞11q ∴-<<0q ≠∴3(1)3lim lim 11n n n n q S q q→∞→∞-==--∴3121q<-34q ∴<10q ∴-<<304q <<∴q (1-0)(0⋃3)42015-1t =n t 6.44200.1136357876.6053()1tf t e -=+()f t 6.44200.1136t y e -= 6.44200.11360t y e -=>6.44200.1136357876.6053()1tf t e -∴=+N令，解得，当时，我国卫生总费用超过12万亿，预测我国到2028年我国卫生总费用首次超过12万亿．20．（16分）已知抛物线方程，为焦点，为抛物线准线上一点，为线段与抛物线的交点，定义：． （1）当时，求；（2）证明：存在常数，使得；（3），，为抛物线准线上三点，且，判断与的关系． 【解答】解：（1）抛物线方程的焦点，，，的方程为，代入抛物线的方程，解得， 抛物线的准线方程为，可得， ，； （2）证明：当时，， 设，，，则，联立和，可得，， ，则存在常数，使得； （3）设，，，则， 6.44200.1136357876.60531200001te ->+50.68t >∴51t ∴24y x =F P Q PF ||()||PF d P FQ =8(1,)3P --()d P a 2()||d P PF a =+1P 2P 3P 1223||||PP P P =13()()d P d P +22()d P 24y x =(1,0)F 8(1,)3P --84323PFk ==PF 4(1)3y x =-14Q x =1x =-10||3PF =15||144QF =+=||8()||3PF d P QF ==(1,0)P -2()||2222a d P PF =-=⨯-=(1,)P P y -0P y >:1PF x my =+2P my =-1x my =+24y x =2440y my --=2Q y m ==+22()||22(22P P Q y d P PF y m m --==+2122m m +-=-=a 2()||d P PF a=+11(1,)P y -22(1,)P y -33(1,)P y -1321322[()()]4()||||2||d P d pd P PF P FP F+-=+-由，，则．21．（18分）已知等差数列的公差，，数列满足，集合．（1）若，求集合； （2）若，求使得集合恰好有两个元素；（3）若集合恰好有三个元素：，是不超过7的正整数，求的所有可能的值． 【解答】解：（1）等差数列的公差，，数列满足，集合．当， 集合，0． （2），数列满足，集合恰好有两个元素，如图：根据三角函数线，①等差数列的终边落在轴的正负半轴上时，集合恰好有两个元素，此时，②终边落在上，要使得集合恰好有两个元素，可以使，的终边关于轴对称，如图，，此时， 综上，或者．（3）①当时，，集合，，，符合题意．②当时，，，，或者，221313[()16]28y y y y -++=-2222221313131313(4)(4(4)4()84()0y y y y y y y y y y ++-+=+-=->132()()2()d P d P d P +>{}n a (0d ∈]π{}n b sin()n n b a ={}*|,n S x x b n N ==∈120,3a d π==S 12a π=d S S n T n b b +=T T {}n a (0d ∈]π{}n b sin()n n b a ={}*|,n S x x b n N ==∈∴120,3a d π=={S =12a π={}n b sin()n n b a ={}*|,n S x x b n N ==∈{}n a y S d π=1a OA S 2a 3a y OB OC 23d π=23d π=d π=3T =3n n b b +=1{S b =2b 3}b 4T =4n n b b +=sin(4)sin n n a d a +=42n n a d a k π+=+42n n a d k a π+=-等差数列的公差，，故，，又，2 当时满足条件，此时，1，．③当时，，，，或者，因为，，故，2． 当时，，1，满足题意． ④当时，，，所以或者，，，故，2，3． 当时，，满足题意． ⑤当时，，，所以，或者，，，故，2，3当时，因为对应着3个正弦值，故必有一个正弦值对应着3个点，必然有，，，，不符合条件． 当时，因为对应着3个正弦值，故必有一个正弦值对应着3个点，必然有，，不是整数，不符合条件． 当时，因为对应着3个正弦值，故必有一个正弦值对应着3个点，必然有或者，，或者，此时，均不是整数，不符合题意．综上，，4，5，6．{}n a (0d ∈]π42n n a d a k π+=+2k d π=1k ∴=1k ={S =-1}-5T =5n n b b +=sin(5)sin n n a d a +=52n n a d a k π+=+52n n a d k a π+=-(0d ∈]π1k =1k ={sin10S π=sin}10π-6T =6n n b b +=sin(6)sin n n a d a +=62n n a d a k π+=+62n n a d k a π+=-(0d ∈]π1k =1k=S =7T =7n n b b +=sin(7)sin sin n n n a d a a +==72n n a d a k π+=+72n n a d k a π+=-(0d ∈]π1k =1k =17~b b 2m n a a π-=227d m n ππ==-7m n -=7m >2k =17~b b 2m n a a π-=247d m n ππ==-m n -3k =17~b b 2m n a a π-=4π267d m n ππ==-467d m n ππ==-m n -3T =。

数学试卷 第1页（共14页） 数学试卷 第2页（共14页）绝密★启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数 学本试卷满分150分,考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题 共36分)一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．已知集合{1,2,3,4,5}A =，{356}B =，，，则AB = ．2．计算22231lim 41n n n n n →∞-+=-+ ．3．不等式|1|5x +<的解集为 ． 4．函数2()(0)f x x x =>的反函数为 ．5．设i 为虚数单位，365z i i -=+，则||z 的值为6．已知22214x y x a y a +=-⎧⎨+=⎩，当方程有无穷多解时，a 的值为 ． 7．在6x ⎛⎝的展开式中，常数项等于 ．8．在ABC △中，3AC =，3sin 2sin A B =，且1cos 4C =，则AB = ． 9．首届中国国际进口博览会在上海举行，某高校拟派4人参加连续5天的志愿者活动，其中甲连续参加2天，其他人各参加1天，则不同的安排方法有 种（结果用数值表示）10．如图，已知正方形OABC ，其中(1)OA a a =>，函数23y x =交BC 于点P ，函数12y x -=交AB 于点Q ，当||||AQ CP +最小时，则a 的值为 ．11．在椭圆22142x y +=上任意一点P ，Q 与P 关于x 轴对称，若有121F P F P ⋅，则1F P与2F Q 的夹角范围为 ．12．已知集合[,1]U[4,9]A t t t t =+++，0A ∉，存在正数λ，使得对任意a A ∈，都有A aλ∈，则t 的值是 ．二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分） 13．下列函数中，值域为[0,)+∞的是（ ） A ．2xy =B ．12y x = C ．tan y x =D ．cos y x = 14．已知,a b R ∈，则“22a b ＞”是“||||a b ＞”的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件15．已知平面αβγ、、两两垂直，直线a b c 、、满足：a α⊆，b β⊆，c γ⊆，则直线a b c 、、不可能满足以下哪种关系（ ） A ．两两垂直B ．两两平行C ．两两相交D ．两两异面16．以()1,0a ，()20,a 为圆心的两圆均过(1,0)，与y 轴正半轴分别交于()1,0y ，()2,0y ，且满足12ln ln 0y y +=，则点1211,a a ⎛⎫⎪⎝⎭的轨迹是（ ） A ．直线B ．圆C ．椭圆D ．双曲线三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18＝76分）17．如图，在正三棱锥P ABC -中，2,PA PB PC AB BC AC ====== （1）若PB 的中点为M ，BC 的中点为N ，求AC 与MN 的夹角； （2）求P ABC -的体积．毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------数学试卷 第3页（共14页） 数学试卷 第4页（共14页）18．已知数列{}n a ，13a =，前n 项和为n S ． （1）若{}n a 为等差数列，且415a =，求n S ；（2）若{}n a 为等比数列，且lim 12n n S →∞＜，求公比q 的取值范围．19．改革开放40年，我国卫生事业取得巨大成就，卫生总费用增长了数十倍．卫生总费用包括个人现在支出、社会支出、政府支出，如表为2012年—2015年我国卫生货用中个人现金支出、社会支出和政府支出的费用（单位：亿元）和在卫生总费用中的占（数据来源于国家统计年鉴）（1）指出2012年到2015年之间我国卫生总费用中个人现金支出占比和社会支出占比的变化趋势：（2）设1t =表示1978年，第n 年卫生总费用与年份之间拟合函数6.44200.1136357876.6053()1tf t e -=+研究函数()f t 的单调性，并预测我国卫生总费用首次超过12万亿的年份．20．已知抛物线方程24y x =，F 为焦点，P 为抛物线准线上一点，Q 为线段PF 与抛物线的交点，定义：||()||PF d P FQ =．（1）当81,3P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭时，求()d P ；（2）证明：存在常数a ，使得2()||d P PF a =+；（3）123,,P P P 为抛物线准线上三点，且1223PP P P =，判断()()13d P d P +与()22d P 的关系．21．已知等差数列{}n a 的公差(0,]d π∈，数列{}n b 满足()sin n n b a =，集合{}*|,n S x x b n N ==∈．（1）若120,3a d π==，求集合S ； （2）若12a π=，求d 使得集合S 恰好有两个元素；（3）若集合S 恰好有三个元素：n T n b b +=，T 是不超过7的正整数，求T 的所有可能的值．t数学试卷 第5页（共14页） 数学试卷 第6页（共14页）2019年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学答案解析1.【答案】{3,5}【解析】解：集合{1,2,3,4,5}A =，{356}B =，，，{3,5}A B ∴=．故答案为：{3,5}． 2．【答案】2【解析】解：2222312231lim lim 241411n n n n n n n n n n→∞→∞-+-+==-+-+． 故答案为：2． 3．【答案】{6,4}-【解析】解：由15x +<得515x -<+<，即64x -<<. 故答案为：{6,4}-．4．【答案】1()0)f x x -> 【解析】解：由2(0)y x x =>解得x1()0)f x x -∴=>故答案为1()0)f x x -∴=> 5．【答案】【解析】解：由365z i i -=+，得366z i =+，即22z i =+，||||z z ∴=故答案为： 6．【答案】2-【解析】解：由题意，可知： 方程有无穷多解，∴可对①，得：442x y +=-．再与②式比较，可得：2a =-．故答案为：2-． 7．【答案】15【解析】解：6x ⎛ ⎝展开式的通项为36216r rr T C x -+=令3902r -=得2r =， 故展开式的常数项为第3项：2615C =． 故答案为：15． 8．【解析】解：3sin 2sin A B =，∴由正弦定理可得：32BC AC =， ∴由3AC =，可得：2BC =，1cosC 4=，∴由余弦定理可得：2221324232AB +--=⨯⨯，∴解得：AB9．【答案】24【解析】解：在五天里，连续的2天，一共有4种，剩下的3人排列，故有33424A =种， 故答案为：24．10．【解析】解：由题意得：点坐标为a ⎫⎪⎪⎭，点坐标为a ⎛ ⎝，11||||23AQ CP a +=，当且仅当a =时，取最小值，11．【答案】1arccos ,3ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】解：设(,)P x y ，则Q 点(,)x y -，椭圆22142x y+=的焦点坐标为(，(，2⨯P Q数学试卷 第7页（共14页） 数学试卷 第8页（共14页）121F P F P ⋅，2221x y ∴-+≤，结合22142x y +=可得：2[1,2]y ∈故1F P 与2F Q 的夹角θ满足：(2221222122381cos 31,223F P F Qy y y F P F Q x θ⋅-⎡⎤====-+∈--⎢⎥++⎣⎦⋅故1arccos ,3θππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦故答案为：1arccos ,3ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦12．【答案】1或3-【解析】解：当0t >时，当[,1]a t t ∈+时，则[4,9]t t aλ∈++，当[4,9]a t t ∈++时，则[,1]t t aλ∈+，即当a t =时，9t aλ+；当9a t =+时，t aλ，即(9)t t λ=+； 当1a t =+时，4t aλ+，当4a t =+时，1t aλ+，即(1)(4)t t λ=++，(9)(1)(4)t t t t ∴+=++，解得=1t ．当104t t +<<+时，当[,1]a t t ∈+时，则[,1]t t aλ∈+．当[4,9]a t t ∈++，则[4,9]t t aλ∈++，即当a t =时，1t aλ+，当1a t =+时，t aλ，即(1)t t λ=+，即当4a t =+时，9t aλ+，当9a t =+时，4t aλ+，即(4)(9)t t λ=++，(1)(4)(9)t t t t ∴+=++，解得3t =-．当90t +<时，同理可得无解． 综上，的值为1或3-． 故答案为：1或3-．13．【答案】B【解析】解：A ，2xy =的值域为(0,)+∞，故A 错B ，y [0,)+∞，值域也是[0,)+∞，故B 正确C ，tan y x =的值域为(,)-∞+∞，故C 错D ，cos y x =的值域为[1,1]-+，故D错故选：B 14．【答案】C【解析】解：22a b >等价，22|||a b >，得“||||a b >”，∴“22a b >”是“||||a b >”的充要条件，故选：C 15．【答案】B【解析】解：如图1，可得,,a b c 可能两两垂直； 如图2，可得,,a b c 可能两两相交；t数学试卷 第9页（共14页） 数学试卷 第10页（共14页）如图3，可得,,a b c 可能两两异面；故选：B 16．【答案】A【解析】解：因为111r a =-21112y a =-，同理可得22212y a =-， 又因为12ln ln 0y y +=， 所以121y y =，则()()1212121a a --=， 即12122a a a a =+， 则12112a a +=， 设1211x a y a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则2x y +=为直线，故选：A17．【答案】解：（1）,M N 分别为,PB BC 的中点，//MN PC ∴， 则PCA ∠为AC 与MN 所成角， 在PAC △中，由2,PA PC AC ===可得222cos 2PC AC PA PCA PC AC +-∠===⋅AC ∴与MN的夹角为； （2）过P 作底面垂线，垂直为O ，则O 为底面三角形的中心， 连接AO 并延长，交BC 于N ，则32123AN AO AN ===，．PO ∴==11333224P ABC V -∴=⨯=．18．【答案】解：（1）4133315,4a a d d d =+=+=∴=，2(1)3422n n n S n n n -∴=+⨯=+； （2）()31,lim 1n n n n q S S q →∞-=-存在，11q ∴-<<，lim n n S →∞∴存在，11q ∴-<<且0q ≠，()313lim lim11n n n n q S qq→∞→∞-∴==--， 3121q ∴<-，34q ∴<，10q ∴-<<或304q <<， ∴公比q 的取值范围为3(1,0)0,4⎛⎫-⋃ ⎪⎝⎭．19．【答案】解：（1）由表格数据可知个人现金支出占比逐渐减少，社会支出占比逐渐增多． （2）6.44200.1136t y e -=是减函数，且 6.44200.11360t y e -=>，6.44200.1136357876.6053()1tf t e -∴=+在N 上单调递增， 令 6.4200.1136357876.60531200001t e->+，解得50.68t >，数学试卷 第11页（共14页） 数学试卷 第12页（共14页）当51t 时，我国卫生总费用超过12万亿，预测我国到2028年我国卫生总费用首次超过12万亿．20．【答案】解：（1）抛物线方程24y x =的焦点8(1,0),1,3F P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，84323PF k ==，PF 的方程为4(1)3y x =-，代入抛物线的方程，解得14Q x =，抛物线的准线方程为1x =-，可得103PF =， 15||144QF =+=，||8()||3PF d P QF ==； （2）证明：当(1,0)P -时，2()||2222a d P PF =-=⨯-=， 设()1,P P y -，0P y >，:1PF x my =+，则2P my =-， 联立1x my =+和24y x=，可得2440y my --=，2Q y m ==+，2()||22P P Q y d P PF y -==22=-=，则存在常数a ，使得2()||d P PF a =+； （3）设()()()1122331,,1,,1,P y P y P y ---，则()()()132132242d P d p d P PFP F P F ⎡+⎤-=+-=⎣⎦=由()2213131628y y y y ⎡⎤-++=-⎣⎦，()()()()(22222213131313134444840y y y yy y y y y y ++-+=+-=->，则()()()1322d P d P d P +>．21．【答案】解：（1）等差数列{}n a 的公差(0,]d π∈，数列{}n b 满足()sin n n b a =，集合{}*|,n S x x b n N ==∈．当120,3a d π==，集合S ⎧⎪=⎨⎪⎪⎩⎭． （2）12a π=，数列{}n b 满足()sin n n b a =，集合{}*|,n S x x b n N ==∈恰好有两个元素，如图：根据三角函数线，①等差数列{}n a 的终边落在y 轴的正负半轴上时，集合S 恰好有两个元素，此时d π=，②1a 终边落在OA 上，要使得集合S 恰好有两个元素，可以使2a ，3a 的终边关于y 轴对称，如图OB ，OC ，此时23d π=，综上，23d π=或者d π=．（3）①当3T =时，3n n b b +=，集合{}123,,S b b b =，符合题意．②当4T =时，4n n b b +=，()sin 4sin n n a d a +=，42n n a d a k π+=+，或者42n n a d k a π+=-，等差数列{}n a 的公差(0,]d π∈，故42n n a d a k π+=+，2k d π=，又1,2k ∴= 当1k =时满足条件，此时{,1,1}S =--．③当5T =时，5n n b b +=，()sin 5sin ,52n n n n a d a a d a k π+=+=+，或者52n n a d k a π+=-，因为(0,]d π∈，故1,2k =．当1k =时，sin ,1,sin 1010S ππ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭满足题意．④当6T =时，6n n b b +=，()sin 6sin n n a d a +=，所以62n n a d a k π+=+或者62n n a d k a π+=-，(0,]d π∈，故1,2,3k =．当1k =时，22S =⎨⎪⎪⎩⎭，满足题意．⑤当7T =时，()7,sin 7sin sin n n n n n b b a d a a +=+==，所以72n n a d a k π+=+，或者72n n a d k a π+=-，(0,]d π∈，故1,2,3k =∴∴∴数学试卷 第13页（共14页） 数学试卷 第14页（共14页）当1k =时，因为17~b b 对应着3个正弦值，故必有一个正弦值对应着3个点，必然有2m n a a π-=，227d m n ππ==-，7,7m n m -=>，不符合条件． 当2k =时，因为17~b b 对应着3个正弦值，故必有一个正弦值对应着3个点，必然有2m n a a π-=，247d m n ππ==-，m n -不是整数，不符合条件． 当3k =时，因为17~b b 对应着3个正弦值，故必有一个正弦值对应着3个点，必然有2m n a a π-=或者4π，267d m n ππ==-，或者467d m n ππ==-，此时，m n -均不是整数，不符合题意． 综上，3,4,5,6T =．。

⎨ ⎩f ( ) n →∞绝密★启用前2019 年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学试卷（满分 150 分，考试时间 120 分钟）考生注意1. 本场考试时间 120 分钟，试卷共 4 页，满分 150 分，答题纸共 2 页.2. 作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号，反面填写姓名，将核对后的条形码贴在答题纸指定位置.3. 所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位.在试卷上作答一律不得分.4. 用 2B 铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题.一、选择题：（本大题共 12 题，1-6 题每题 4 分，7-12 题每题 5 分，共 54 分） 1. 已知集合 A = (-∞, 3)、B = (2, +∞) ，则 A B =.2. 已知 z ∈ C 且满足 1- 5 = i ，求 z = .z 3. 已知向量a = (1,0,2) ， b = (2,1,0) ，则a 与b 的夹角为 . 4. 已知二项式(2x +1)5，则展开式中含 x 2 项的系数为. ⎧ 5. 已知 x 、y 满足⎪x ≥ 0 y ≥ 0 ，求 z = 2x - 3y 的最小值为.⎪x + y ≤ 2 6. 已知函数 f (x ) 周期为1，且当0 < x ≤ 1， f ( x ) = - log 2x ，则 3= .27. 若 x 、y ∈ R + ，且 1+ 2 y = 3 ，则 yx x的最大值为.8. 已知数列{a n }前 n 项和为 S n ，且满足 S n + a n = 2 ，则 S 5 =.9. 过 y 2 = 4x 的焦点 F 并垂直于 x 轴的直线分别与 y 2 = 4x 交于 A 、B ， A 在 B 上方， M 为抛物线上一点， OM = λOA + (λ - 2)OB ，则λ =.10. 某三位数密码锁，每位数字在0 - 9 数字中选取，其中恰有两位数字相同的概率是.11. 已知数列{a n } 满足a n < a n +1 （ n ∈ N *）， P n (n , a n ) 在双曲线 x 2 - y 2 = 上，则lim P n P n +1 6 2= .12. 已知 f (x ) = - a ( x > 1, a > 0) ，若a = a 0 ， f ( x ) 与 x 轴交点为 A ， f ( x ) 为曲线 L ，在 L 上任意一点 P ，总存在一点Q （ P 异于 A ）使得 AP ⊥ AQ 且 AP = a 0 =.AQ ，则 2 x -11二.选择题（本大题共 4 题，每题 5 分，共 20 分） 13. 已知直线方程2x - y + c = 0 的一个方向向量d 可以是（ ） A. (2,-1)B. (2,1)C. (-1,2)D. (1,2)14. 一个直角三角形的两条直角边长分别为 1 和 2，将该三角形分别绕其两个直角边旋转得到的两个圆锥的体积之比为（ ） A. 1B. 2C. 4D. 815. 已知ω ∈ R ，函数 f (x ) = ( x - 6)2⋅sin (ωx ) ，存在常数 a ∈ R ，使得 f ( x + a ) 为偶函数，则ω 可能的值为（ ）A.πB.2πC. 3πD. π4516. 已知tan α ⋅ tan β = tan(α + β ) . ①存在α 在第一象限，角 β 在第三象限； ②存在α 在第二象限，角 β 在第四象限； A. ①②均正确；B. ①②均错误；C. ①对，②错；D. ①错，②对；三.解答题（本大题共 5 题，共 76 分）17. （本题满分 14 分）如图，在长方体 ABCD - A 1B 1C 1D 1 中， M 为 BB 1 上一点，已知BM = 2 ， AD = 4 ， CD = 3 ， AA 1 = 5 .（1） 求直线 A 1C 与平面 ABCD 的夹角； （2） 求点 A 到平面 A 1MC 的距离.18.（本题满分 14 分）已知 f ( x ) = ax +1x +1(a ∈ R ) . （1） 当a = 1 时，求不等式 f (x ) +1 < f ( x +1) 的解集； （2） 若 x ∈[1, 2]时， f ( x ) 有零点，求a 的范围.19.（本题满分 14 分）如图， A - B - C 为海岸线， AB 为线段， BC 为四分之一圆弧，BD = 39.2km ， ∠BDC = 22， ∠CBD = 68， ∠BDA = 58.（1） 求 BC 长度；2 （2） 若 AB = 40km ，求 D 到海岸线 A - B - C 的最短距离.（精确到0.001km ）20.（本题满分 16 分）已知椭圆 x+ y 8 4= 1， F 1 , F 2 为左、右焦点，直线l 过 F 2 交椭圆于 A 、B 两点.（1） 若 AB 垂直于 x 轴时，求 AB ；（2） 当∠F 1 AB = 90 时， A 在 x 轴上方时，求 A , B 的坐标；（3） 若直线 AF 1 交 y 轴于 M ，直线 BF 1 交 y 轴于 N ，是否存在直线l ，使 S △F AB = S △F MN ，11若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由.21.（本题满分 18 分）数列{a n } 有100 项，a 1 = a ，对任意n ∈[2,100] ，存在a n = a i + d , i ∈[1, n -1]，若a k与前n 项中某一项相等，则称 a k 具有性质 P .（1） 若a 1 = 1，求a 4 可能的值；（2） 若{a n } 不为等差数列，求证：{a n } 中存在满足性质 P ；（3） 若{a n } 中恰有三项具有性质 P ，这三项和为C ，使用a , d , c 表示 a 1 + a 2 ++ a 100 .25 ⎨ ⎩3上海市 2019 届秋季高考数学考试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共 12 题，1-6 题每题 4 分，7-12 题每题 5 分，共 54 分）1. 已知集合 A =(-∞, 3)、B = (2, +∞) ，则 A B =.【思路分析】然后根据交集定义得结果． 【解析】：根据交集概念，得出： (2,3) .【归纳与总结】本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2. 已知 z ∈ C 且满足 1- 5 = i ，求 z = .z 【思路分析】解复数方程即可求解结果．【解析】： 1 = 5 + i ， z =z1 5 + i = 5 - i (5 + i )(5 - i ) = 5 - 26 1 i . 26 【归纳与总结】本题主要考查复数的基本运算，比较基础．3. 已知向量a = (1,0,2) ， b = (2,1,0) ，则a 与b 的夹角为.【思路分析】根据夹角运算公式cos θ 求解．【解析】： cos θ a ⋅ b = = 2 .5【归纳与总结】本题主要考查空间向量数量积，比较基础．4. 已知二项式(2x +1)5，则展开式中含 x 2 项的系数为.【思路分析】根据二项式展开式通项公式求出取得含 x 2项的的项，再求系数．【解析】： T = C r ⋅ (2x )5-r ⋅1r = C r ⋅ 25-r ⋅ x 5-rr +155令5 - r = 2 ，则r = 3 ， x 2 系数为C 3 ⋅ 22 = 40 .【归纳与总结】本题主要考查项式展开式通项公式的应用，比较基础．⎧ 5. 已知 x 、y 满足⎪x ≥ 0y ≥ 0 ，求 z = 2x - 3y 的最小值为.⎪x + y ≤ 2 【思路分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案． 【解析】：线性规划作图：后求出边界点代入求最值，当 x = 0 ，y = 2 时， z min = -6 .【归纳与总结】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．6. 已知函数 f( x ) 周期为1，且当0 < x ≤ 1， f ( x ) = - log 2 x ，则 f ( 2) =.【思路分析】直接利用函数周期为 1，将转 3 到已知范围0 < x ≤ 1内，代入函数解析式即2a ⋅b a ⋅ ba ⋅ b2 5 ⋅ 51⋅ 2 y x S n →∞3 可．【解析】：f ( ) = 21 f ( ) 2= -log1 = 1 .2 2【归纳与总结】本题考查函数图像与性质，是中档题．7. 若 x 、y ∈ R + ，且1 +2 y =3 ，则 yx x的最大值为 .y 【思路分析】利用已知等式转化为一个变量或者转化为函有x的式子求解1y ⎛ 3 ⎫2 9 【解析】：法一： 3 = + 2 y ≥ 2 x ，∴ ≤ ⎪ = ；x ⎝ 2 2 ⎭ 8 法二：由 1 = 3 - 2 y ， y = (3 - 2 y ) ⋅ y = -2 y 2+ 3y （ 0 < y < 3 ），求二次最值⎛ y ⎫ = 9 .⎪x x 2 ⎝ x ⎭max 8【归纳与总结】本题考查基本不等式的应用，是中档题．8. 已知数列{a n }前 n 项和为 S n ，且满足 S n + a n = 2 ，则 S 5 =.【思路分析】将和的关系转化为项的递推关系，得到数列为等比数列. 【解析】：由⎧S n + a n = 2 得： a = 1a （ n ≥ 2 ） ⎨ ⎩ n -1{ } + a n -1 = 2(n ≥ 2)1n 2 n -1 1⋅[1 -( 1 )5] 231 ∴ a n 为等比数列，且a 1 = 1 ， q = 2 ，∴ S 5 == . 1 -1 16 29. 过 y 2 = 4x 的焦点 F 并垂直于 x 轴的直线分别与 y 2= 4x 交于 A 、B ，A 在 B 上方，M 为抛物线上一点， OM = λOA + (λ - 2)OB ，则λ = .【思路分析】根据等式建立坐标方程求解【解析】：依题意求得： A (1,2) ， B (1,-2) ，设 M 坐标 M (x , y )有： (x , y ) = λ(1,2) + (λ - 2) ⋅ (1,-2) = (2λ - 2,4) ，代入 y 2 = 4x 有：16 = 4 ⋅ (2λ - 2) 即： λ = 3 .【归纳与总结】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．10 某三位数密码锁，每位数字在0 - 9 数字中选取，其中恰有两位数字相同的概率是.【思路分析】分别计算出总的排列数和恰有两位数字相同的种类求解.C 1 ⋅ C 2 ⋅ C 1 27【解析】：法一： P = 10 3 9 = 103100 （分子含义：选相同数字×选位置×选第三个数字） C 1 + P 3 27 法二： P = 1 - 10 10= 103100 （分子含义：三位数字都相同+三位数字都不同） 【归纳与总结】本题考查古典概型的求解，是中档题．11. 已知数列{a n } 满足a n < a n +1 （ n ∈ N * ）， P n (n , a n ) 在双曲线 x 2 - y2= 上，则lim P n P n +1 6 2= .1n →∞ 2 2【思路分析】利用点在曲线上得到 P n P n +1 关于 n 的表达式，再求极限.【解析】：法一：由 n 8 a 2 - n = 1 得： a n = 2 n 2 2( 6-1) ，∴ P n (n , 2( n -1)) ， 6 P n +1 (n +1, (n +1)2 2(61) ) ，利用两点间距离公式求解极限。

2019年上海高考数学试卷一、填空题(每小题 4分，满分56分)1 11 .函数f(x)的反函数为f (X ) ______________ .x 22 若全集 U R ，集合 A {x x 1} U{x|x 0}，则 C U A _________________23. 设m 是常数，若点F(0,5)是双曲线mx 14.不等式 ______________ 3的解为x(结果用反三角函数值表示)之间的距离为 千米.7.若圆锥的侧面积为 2 ，底面面积为，则该圆锥的体积为 _____________8. 函数v sin x cos x 的最大值为2 69.马老师从课本上抄录一个随机变量 的概率分布律如下表：请小牛同学计算 的数学期望.尽管“！ ”处完全无法看清，且两个“”处字迹模糊，但能断 定这两个“”处的数值相同.据此，小牛给出了正确答案E = ____________ .a b 10.行列式 ____________________________________________________ (a,b,c,d{ 1,1,2})所有可能的值中，最大的是 __________________________________________ . c duuu mur11. 在正三角行 ABC 中，D 是BC 上的点 若AB=3，BD=1，则ABgAD ___________ .12. 随机抽取的9位同学中，至少有2位同学在同一月份出生的概率为 _____________ 默认每个月 的天数相同，结果精确到 ).1的一个焦点，则 m= __________5.在极坐标系中，直线(2COS sin )2与直线 cos 1的夹角大小为 _________________6.在相距2千米的A 、B 两点处测量目标点C ,若 CAB 75： CBA 60o ，则 A C 两点13.设g(x)是定义在R上，以1为周期的函数，若函数f(x) x g(x)在区间［3,4］上的值域为［2,5］，贝U f （x ）在区间［10,10］上的值域为 _________14.已知点0（0,0）、Q （0,1）和点R o （3,1）,记Q o R O 的中点为 P i ,取Q o P i 和P i R o 中的一条，记其 端点为Q 1、R 1,使之满足|OQ 1I 2 |OR I 2 0，记Q 1R 1的中点为P 2,取Q 1P 2和P 2RI中的一条，记其端点为Q 2、R 2,使之满足 |OQ 2| 2 |OR 2 I 2P,P 2丄,P n ,L ，则 n im QRI0成立的点M 的个数为（三、解答题（本大题满分 74 分） 19. （本大题满分12分）已知复数 乙满足（乙 2）（1 i ） 1 i （i 为虚数单位），复数Z 2的虚部为2,且乙Z 2是(A ) ｛a n ｝是等比数列.(B )4 ,a3 丄,a 2n 1,L 或 a ?, a 4 ,L ,a 2n 丄 是等比数列. (C ) a 1, a 3,L,a 2n 1,L 和a 2,a 4丄 ,a 2n ,L均是等比数列.(D )4,a3 丄,a2n 1,L 和 a 2, a 4,L,a2n 丄 均是等比数列，且公比相同｛A n ｝为等比数列的充要条件是（)0.依次下去，得到二、选择题 （每小题 5分，满分20分） 15.若 a, bR ，且ab 0，则下列不等式中，恒成立的是（(A) a 22b 2ab . ( B ) a b1 (C)—a、abb a 小(D )a b 2.16.下列函数中，既是偶函数，又是在区间(0,）上单调递减的函数是（(A) y In 丄|x|(B ) y x 3.(C )2|x|.(D ) yCOSX .17.设A,A 2,A 3, A 4, A s 是平面上给定的5个不同点, uiuu 则使MA , uuu MA >uuu MA 3 iuuuMA mur MA 5(A ) 0.(B ) 1.(C ) 5.(D ) 10.18.设｛a n ｝是各项为正数的无穷数列,A 是边长为a i ,a i 1的矩形的面积（i1,2,L ），则实数，求z 2.20. (本大题满分12分，第1小题满分4分，第二小题满分 8分)xx已知函数f(x) a 2 b 3 ,其中常数a,b 满足a b 0(1 )若a b 0，判断函数f (x)的单调性;(2)若a b 0，求f (x 1) f (x)时的x 的取值范围.21. (本大题满分14分，第1小题满分6分，第二小题满分 8分)已知ABCD A 1B 1C 1D 1是底面边长为1的正四棱柱，。

2019年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学答案解析1.【答案】{3,5}【解析】解：集合{1,2,3,4,5}A =，{356}B =，，，{3,5}A B ∴=．故答案为：{3,5}． 2．【答案】2【解析】解：2222312231lim lim 241411n n n n n n n n n n→∞→∞-+-+==-+-+． 故答案为：2． 3．【答案】{6,4}-【解析】解：由15x +<得515x -<+<，即64x -<<. 故答案为：{6,4}-．4．【答案】1()0)f x x -=> 【解析】解：由2(0)y x x =>解得x =1()0)f x x -∴=>故答案为1()0)f x x -∴=> 5．【答案】【解析】解：由365z i i -=+，得366z i =+，即22z i =+，||||z z ∴==故答案为： 6．【答案】2-【解析】解：由题意，可知：方程有无穷多解，∴可对①，得：442x y +=-．再与②式比较，可得：2a =-． 故答案为：2-． 7．【答案】15【解析】解：6x ⎛ ⎝展开式的通项为36216r r r T C x -+=令3902r -=得2r =， 故展开式的常数项为第3项：2615C =．故答案为：15． 8．【解析】解：3sin 2sin A B =，∴由正弦定理可得：32BC AC =， ∴由3AC =，可得：2BC =，1cosC 4=，∴由余弦定理可得：2221324232AB +--=⨯⨯， ∴解得：AB9．【答案】24【解析】解：在五天里，连续的2天，一共有4种，剩下的3人排列，故有33424A =种， 故答案为：24． 10．【解析】解：由题意得：点坐标为a ⎫⎪⎪⎭，点坐标为a ⎛ ⎝，11||||23AQ CP +=，当且仅当a =时，取最小值，2⨯P Q11．【答案】1arccos ,3ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】解：设(,)P x y ，则Q 点(,)x y -，椭圆22142x y +=的焦点坐标为(，(， 121F P F P ⋅， 2221x y ∴-+≤，结合22142x y += 可得：2[1,2]y ∈故1F P 与2F Q 的夹角θ满足：(2221222122381cos 31,223F P F Qy y y F P F Q x θ⋅-⎡⎤====-+∈--⎢⎥++⎣⎦⋅故1arccos ,3θππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦故答案为：1arccos ,3ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦12．【答案】1或3-【解析】解：当0t >时，当[,1]a t t ∈+时，则[4,9]t t aλ∈++，当[4,9]a t t ∈++时，则[,1]t t aλ∈+，即当a t =时，9t aλ+；当9a t =+时，t aλ，即(9)t t λ=+；当1a t =+时，4t aλ+，当4a t =+时，1t aλ+，即(1)(4)t t λ=++，(9)(1)(4)t t t t ∴+=++，解得=1t ．当104t t +<<+时，当[,1]a t t ∈+时，则[,1]t t aλ∈+．当[4,9]a t t ∈++，则[4,9]t t aλ∈++，即当a t =时，1t aλ+，当1a t =+时，t aλ，即(1)t t λ=+，即当4a t =+时，9t aλ+，当9a t =+时，4t aλ+，即(4)(9)t t λ=++，(1)(4)(9)t t t t ∴+=++，解得3t =-．当90t +<时，同理可得无解． 综上，的值为1或3-． 故答案为：1或3-． 13．【答案】B【解析】解：A ，2xy =的值域为(0,)+∞，故A 错B，y =[0,)+∞，值域也是[0,)+∞，故B 正确 C ，tan y x =的值域为(,)-∞+∞，故C 错tD ，cos y x =的值域为[1,1]-+，故D 错 故选：B 14．【答案】C【解析】解：22a b >等价，22|||a b >，得“||||a b >”，∴“22a b >”是“||||a b >”的充要条件，故选：C 15．【答案】B【解析】解：如图1，可得,,a b c 可能两两垂直； 如图2，可得,,a b c 可能两两相交； 如图3，可得,,a b c 可能两两异面；故选：B 16．【答案】A【解析】解：因为111r a =-21112y a =-，同理可得22212y a =-， 又因为12ln ln 0y y +=， 所以121y y =，则()()1212121a a --=， 即12122a a a a =+， 则12112a a +=，设1211x a y a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则2x y +=为直线，故选：A17．【答案】解：（1）,M N 分别为,PB BC 的中点，//MN PC ∴，则PCA ∠为AC 与MN 所成角， 在PAC △中，由2,PA PC AC ==可得222cos 24PC AC PA PCA PC AC +-∠===⋅，AC ∴与MN的夹角为arccos4； （2）过P 作底面垂线，垂直为O ，则O 为底面三角形的中心，连接AO 并延长，交BC 于N ，则32123AN AO AN ===，．PO ∴=11333224P ABC V -∴=⨯=．18．【答案】解：（1）4133315,4a a d d d =+=+=∴=，2(1)3422n n n S n n n -∴=+⨯=+； （2）()31,lim 1n n n n q S S q→∞-=-存在，11q ∴-<<，lim n n S →∞∴存在，11q ∴-<<且0q ≠，()313lim lim11n n n n q S qq→∞→∞-∴==--， 3121q ∴<-，34q ∴<，10q ∴-<<或304q <<，∴公比q 的取值范围为3(1,0)0,4⎛⎫-⋃ ⎪⎝⎭．19．【答案】解：（1）由表格数据可知个人现金支出占比逐渐减少，社会支出占比逐渐增多． （2）6.44200.1136t y e -=是减函数，且 6.44200.11360t y e -=>，6.44200.1136357876.6053()1tf t e -∴=+在N 上单调递增， 令 6.4200.1136357876.60531200001t e ->+，解得50.68t >， 当51t 时，我国卫生总费用超过12万亿，预测我国到2028年我国卫生总费用首次超过12万亿．20．【答案】解：（1）抛物线方程24y x =的焦点8(1,0),1,3F P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，84323PFk ==，PF 的方程为4(1)3y x =-，代入抛物线的方程，解得14Q x =，抛物线的准线方程为1x =-，可得103PF ==， 15||144QF =+=，||8()||3PF d P QF ==； （2）证明：当(1,0)P -时，2()||2222a d P PF =-=⨯-=， 设()1,P P y -，0P y >，:1PF x my =+，则2P my =-，联立1x my =+和24y x =，可得2440y my --=，2Q y m ==+，2()||22P P Q y d P PF y -==22=-=，则存在常数a ，使得2()||d P PF a =+；（3）设()()()1122331,,1,,1,P y P y P y ---，则()()()132132242d P d p d P PF P F P F ⎡+⎤-=+-=⎣⎦∴∴=由()2213131628y y y y⎡⎤-++=-⎣⎦，()()()()(22222213131313134444840y y y y y y y y y y++-+=+-=->，则()()()1322d P d P d P+>．21．【答案】解：（1）等差数列{}n a的公差(0,]dπ∈，数列{}n b满足()sinn nb a=，集合{}*|,nS x x b n N==∈．当120,3a dπ==，集合S⎧⎪=⎨⎪⎪⎩⎭．（2）12aπ=，数列{}n b满足()sinn nb a=，集合{}*|,nS x x b n N==∈恰好有两个元素，如图：根据三角函数线，①等差数列{}n a的终边落在y轴的正负半轴上时，集合S恰好有两个元素，此时dπ=，②1a终边落在OA上，要使得集合S恰好有两个元素，可以使2a，3a的终边关于y轴对称，如图OB，OC，此时23dπ=，综上，23dπ=或者dπ=．（3）①当3T=时，3n nb b+=，集合{}123,,S b b b=，符合题意．②当4T=时，4n nb b+=，()sin4sinn na d a+=，42n na d a kπ+=+，或者42n na d k aπ+=-，等差数列{}n a的公差(0,]dπ∈，故42n na d a kπ+=+，2kdπ=，又1,2k∴=当1k=时满足条件，此时{,1,1}S=--．∴③当5T =时，5n n b b +=，()sin 5sin ,52n n n n a d a a d a k π+=+=+，或者52n n a d k a π+=-，因为(0,]d π∈，故1,2k =．当1k =时，sin ,1,sin 1010S ππ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭满足题意．④当6T =时，6n n b b +=，()sin 6sin n n a d a +=，所以62n n a d a k π+=+或者62n n a d k a π+=-，(0,]d π∈，故1,2,3k =．当1k =时，S =⎪⎪⎩⎭，满足题意．⑤当7T =时，()7,s i n 7s i n s i n n nn n n b b a d a a +=+==，所以72n n a d a k π+=+，或者72n n a d k a π+=-，(0,]d π∈，故1,2,3k =当1k =时，因为17~b b 对应着3个正弦值，故必有一个正弦值对应着3个点，必然有2m n a a π-=，227d m n ππ==-，7,7m n m -=>，不符合条件． 当2k =时，因为17~b b 对应着3个正弦值，故必有一个正弦值对应着3个点，必然有2m n a a π-=，247d m n ππ==-，m n -不是整数，不符合条件． 当3k =时，因为17~b b 对应着3个正弦值，故必有一个正弦值对应着3个点，必然有2m n a a π-=或者4π，267d m n ππ==-，或者467d m n ππ==-，此时，m n -均不是整数，不符合题意． 综上，3,4,5,6T =．。

一 . 填空题（本大题共12 题，满分54 分，第 1~6 题每题 4 分，第 7~12 题每题 5 分）1. 已知集合 A (,3) ， B(2, ) ，则 A I B2. 已知 z C ，且满足1 i ，求 zz 5rr r3.r已知向量 a (1,0,2) ， b(2,1,0) ，则 a 与 b 的夹角为4. 已知二项式 (2 x 1) 5 ，则展开式中含 x 2 项的系数为x 05. 已知 x 、 y 满足y，求 z2x3y 的最小值为x y 26. 已知函数 f (x) 周期为 1，且当 0x 1 ， f (x)log 2 x ，则 f ( 3)27. 若 x, y R ，且1 2y 3，则 y的最大值为x x8. 已知数列{ a n项和为SSan2，则Sn } 前 n，且满足n59. 过曲线 y 24x 的焦点 F 并垂直于 x 轴的直线分别与曲线y 24x 交于 A 、 B ， A 在 B 上uuuuruuur uuur方， M 为抛物线上一点， OMOA (2) OB ，则10. 某三位数密码，每位数字可在 0 9 这 10 个数字中任选一个，则该三位数密码中，恰有两位数字相同的概率是11. 已知数列 { a n } 满足 a n a n 1 （ nN * ），若 P n (n, a n ) (n 3) 均在双曲线 x 2y 2 1上，6 2则 lim | P n P n 1 |n12. 已知 f (x) |2a | （ x 1 ， a 0 ）， f (x) 与 x 轴交点为 A ，若对于 f (x) 图像x1上任意一点 P ，在其图像上总存在另一点 Q （ P 、 Q 异于 A ），满足 AP AQ ，且| AP || AQ |，则 a二 . 选择题（本大题共 4 题，每题 5 分，共 20 分）13. 已知直线方程 2xy c 0 的一个方向向量urd 可以是（）A.(2, 1)B.(2,1)C.( 1,2)D.(1,2)14.一个直角三角形的两条直角边长分别为1 和 2，将该三角形分别绕其两个直角边旋转得到的两个圆锥的体积之比为（）A. 1B. 2C. 4D. 815.已知R ，函数 f ( x) ( x 6) 2 sin(x) ，存在常数a R ，使得 f (x a) 为偶函数，则的值可能为（）A. B. C. D.523416. 已知tan tan tan() ，有下列两个结论：①存在在第一象限，在第三象限；②存在在第二象限，在第四象限；则（）A. ①②均正确B.①②均错误C.①对②错D.①错②对三. 解答题（本大题共 5 题，共 14+14+14+16+18=76 分）17.如图，在长方体ABCD A1B1C1D1中， M 为 BB1上一点，已知B M 2 ， CD 3 ， AD 4 ， AA1 5 .（ 1）求直线AC 与平面 ABCD 的夹角；1（ 2）求点A到平面A1MC的距离 .18. 已知f (x) ax1， a R .x1（ 1）当a1时，求不等式 f (x) 1 f ( x 1) 的解集；（ 2）若f ( x)在x[1,2] 时有零点，求 a 的取值范围.19. 如图，A B C 为海岸线， AB为线段，?BD39.2km BDC22CBD 68为四分之一圆弧，，，，BDA 58 .（ 1）求BC的长度；（ 2）若AB40km，求D到海岸线A B C 的最短距离.（精确到）20. 已知椭圆x2y21， F1、 F2为左、右焦点，直线l 过 F2交椭圆于A、B两点.84（ 1）若直线l垂直于x轴，求| AB |；（ 2）当F1AB90 时，A在x轴上方时，求A、 B 的坐标；（ 3）若直线AF1交 y 轴于 M，直线BF1交 y 轴于 N，是否存在直线l ，使得 S V F AB SV F MN，11若存在，求出直线l 的方程，若不存在，请说明理由.21.数列{ a n} ( n N * ) 有100项， a1 a ，对任意 n [2,100] ，存在 a n a i d ，i[1,n1] ，若 a k与前 n 项中某一项相等，则称a k具有性质P.（ 1）若a11， d 2 ，求 a4所有可能的值；（ 2）若{a n} 不是等差数列，求证：数列{ a n}中存在某些项具有性质P；（ 3）若{a n} 中恰有三项具有性质P，这三项和为c，请用 a、 d、 c 表示a1a2a100.参考答案一 .填空题1.(2,3)2. 5 i ， z 15 5 iir r3. arccos 2， cosrab r52 25| a | | b |554. 40 ， x 2 的系数为 C 53 22 405. 6 ，线性规划作图，后求出边界点代入求最值，当 x 0 ， y 2 时， z min66.1 ， f (3)f (1)log 2 1 12227.9，法一： 3 1 2 y 2 12y ，∴ y( 3 )2 9 ；8x x x 2 2 8法二：由13y(3 2 y) y2y 23y （ 0 y3( y)max9x2 y ， x2 ），求二次最值 x88.31，由S n a n 2得： a n1 a n 1 （ n2 ），∴ { a n } 为等比数列，且 a 1 1，16 Sn 1a n2(n2 12)11 [1 ( 1)5 ]31q2，∴ S 51162129. 3 ，依题意求得： A(1,2) ， B(1, 2) ，设 M 坐标为 M (x, y) ，有： (x, y)(1,2) ( 2) (1, 2) (22,4) ，带入 y 24x 有： 16 4 (22) ，即310.27 ，法一： P C 101 C 32 C 9127选位置 选第三个数字） ；100103（分子含义：选相同数字100法二：C 101 P 10327+三位数字都不同）P 1（分子含义：三位数字都相同10310011.23，法一：由 n 2a n 21得： a n2( n 21) ，∴ P n (n,2( n 21)) ， P n 1 (n1, 2( (n 1)21)) ，382666利用两点间距离公式求解极限：lim | P n P n 1 |2 3 ；n3法二（极限法）：当 n时， P n P n 1 与渐近线平行， P n P n 1 在 x 轴投影为 1，渐近线斜角满足： tan3 ，3∴ P n P n 11 2 3cos36 12. a2二 . 选择题13. 选 D ，依题意： (2, 1) 为直线的一个法向量，∴方向向量为(1,2)14. 选 B ，依题意： V 1122 14 ， V 2 1 12 2233 3315. 选 C ，法一：依次代入选项的值，检验 f (x a) 的奇偶性；法二： f ( x a) ( x a 6) 2sin[( x a)] ，若 f (x a) 为偶函数，则 a6 ，且sin[ ( x 6)] 也为偶函数（偶函数偶函数 =偶函数），∴ 6k ，当 k 1时，2416. 选 D ，取特殊值检验法：例如：令tan1和 tan1，求 tan是否存在（考试中，33若有解时则认为存在，取多组解时发现没有解，则可认为不存在）三 . 解答题17. （ 1）；（ 2）10.4318. （ 1） x( 2, 1) ；（ 2） a [ 1 , 1] .2 619.R22BD sin 2216.310 km ；（ 2） .（ 1） BC2 BC42220. （ ） 2 2 ；（ ） A(0,2) ，B( 8 , 2) ；（ 3） x 3 y 2 0 .123 321. （ 1） 3、 5、7；（ 2）略；（ 3） 97a 4656d c .。

5 2019 年高考真题上海卷数学试卷一、填空题（1-6 题每小题 4 分，7-12 题每小题 5 分，共 54 分）1.已知集合A = (−∞, 3)，B = (2, +∞)，则A ∩ B =．【答案】(2,3)【解析】 ∵A = (−∞, 3)，B = (2, +∞)，∴A ∩ B = (2,3)， 故答案为：(2,3)．2.已知z ∈ C ，且满足 1z−5= i ，求z = ．【答案】 5 − i【解析】 设z = a + b i ，1 = (a + bi − 5)i= − b + (a − 5)i ，根据待定系数法可得：{b = −1， a = 5故z = 5 − i ．→→→→3.已知向量a = (1,0,2)，b = (2,1,0)，则a 与b 的夹角为 ．【答案】 arccos2 5→ → 【解析】 cos θ = a⋅b2= 2．→ → √5⋅√55 |a |⋅|b |故答案为：arccos 2．54.已知二项式(2x + 1)5，则展开式中含x 2项的系数为．【答案】 40【解析】 ∵(2x + 1)5的通项式式是C r (2x )5−r = C r 25−r x 5−r，55当5 − r = 2时，即r = 3时，得到含有x 2的项，∴它的系数是C 322 = 40．故答案为40．x ⩾ 05.已知x 、y 满足{ y ⩾ 0 ，求z = 2x − 3y 的最小值为．x + y ⩽ 2【答案】 −6【解析】 画可行域如图，z = 2x − 3y ，即y =2x−z，3平移直线过(0,2)点时z 有最小值−6故答案为−6．6.已知函数f (x )周期为1，且当0 < x ⩽ 1，f (x ) = logx ，则3．【答案】 −13 1f ( ) = f ( ) = log1= −1．f ( ) =2222 27.若x ，y ∈ R +，且1+ 2y = 3，则y的最大值为．xx【答案】9 8【解析】 方法一：3 = 1+ 2y ⩾ 2√1⋅ 2y ，xx∴y ⩽ ( 3 )2 = 9． x2√2 8故答案为9．8方法二：有1= 3 − 2y ，xy= (3 − 2y ) ⋅ y = −2y 2x+ 3y (0 < y < 3)，2y (x )min故答案为9．8= 9． 88.已知数列{a n }前n 项和为S n ，且满足S n + a n = 2，则S 5 = ．【答案】31 16【解析】 由{S n + a n = 2得： 1(n ⩾ 2)， S n−1 + a n−1 = 2(n ⩾ 2)a n = 2 a n−1【解析】求二次最值 25 C⋅C ⋅C 2 ∵{a n }为等比数列，且a 1 = 1，q = 1，2∴S 511⋅[1−( ) ] =2 = 1−1231． 169.过曲线y 2 = 4x 的焦点F 并垂直于x 轴的直线分别与曲线y 2 = 4x 交于A 、B ，A 在B 上方，M 为抛 → → →物线上一点，OM = λOA + (λ − 2)OB ，则λ =．【答案】 3【解析】 依题意得：A (1,2)，B (1, −2)，设M 坐标为M (x , y )，有：(x , y ) = λ(1,2) + (λ − 2) ⋅ (1,2) = (2λ − 2,4)， 带入y 2 = 4x 有：16 = 4 ⋅ (2λ − 2)， 即λ = 3．10. 某三位数密码，每位数字可在0 − 9这10个数字中任选一个，则该三位数密码中，恰有两位数字相同的概率是 ．【答案】2710012 1【解析】 方法一：P = 10 3 9 = 27（分子含义：选相同数字×选位置×选第三个数字）．103100C 1+P327方法二：P = 1 − 10 10 = 103（分子含义：三位数字都相同+三位数字都不同）．10011. 已知数列{a }满足a < a22(n ∈ N ∗)，若P (n , a )(n ⩾ 3)均在双曲线x− y= 1上，则nnn +1nn62lim |P n P n +1| =．n→∞【答案】 2√33n 2a 2n 2【解析】 方法一：由 8− n = 1 得 ：a n = √2( − 1)，∴P (n , √2(n 2− 1))，P√(n +1)2− 1))，利用两点间距离公式求解极限：nlim |P P6 | = 2√3．n +1(n + 1, 2( 6n→∞ n n +13方法二：当n → ∞时，P n P n +1与渐近线平行，P n P n +1在x 轴投影为1，渐近线斜角θ满足：tan θ = √3，3∴P P=1=2√3．n n +1 π cos 612.已知f (x ) = |2x−1− a |(x > 1, a > 0)，f (x )与x 轴交点为A ，若对于f (x )图像上任意一点P ，在 其图像上总存在另一点Q （P 、Q 异于A ），满足AP ⊥ AQ ，且|AP | = |AQ |,则a = ．【答案】 √26 32 22 【解析】 由题意，A 点坐标为(1 + 2, 0)， a设P 在A 左侧，坐标为 2 ，则Q 点在A 右侧，且坐标为 2，1− a = n(1 + a− m , n ) (1 + a+ n , m ){1+a −m−1，1− a = −m1+ +n−1 a∴a−2a +2a 2m = n = a 2m−a ，m = a 2n +a ，2−am 2−am 2+an∴{a 2m − a = 2n − amn ，且a > 0，解得：a = √2． a 2n + a = 2m + amn二、选择题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）→13.已知直线方程2x − y + c = 0的一个方向向量d 可以是（ ）．A.(2, −1)B.(2,1)C.(−1,2)D.(1,2)【答案】 D【解析】 依题意：(2, −1)为直线的一个法向量，∴方向向量为(1,2)． 故选D ．14. 一个直角三角形的两条直角边长分别为1和2，将该三角形分别绕其两个直角边旋转得到的两个圆锥的体积之比为（ ）．A.1B.2C.4D.8【答案】 B【解析】 依题意： 12 4 ，V 1 = 3 ⋅ π ⋅ 2 ⋅ 1 = π 31V 2 = ⋅ π ⋅ 1 故选B ．⋅ 2 = π． 3215.已知ω∈ R，函数f(x) = (x− 6)2⋅ sin (ωx)，存在常数a∈ R，使得f(x + a)为偶函数，则ω的值可能为（）．A.π2B.π3C.π4D.π5【答案】C【解析】方法一：依次代入选项的值，检验f(x + a)的奇偶性．方法二：f(x + a) = (x + a− 6)2⋅ sin [ω(x +a)]，若f(x + a)为偶函数，则a = 6，且sin [ω(x + 6)]也为偶函数（偶函数×偶函数=偶函数），∴6ω = π+ kπ，2当k = 1时，ω = π．416.已知tan α⋅ tan β = tan (α + β)，有下列两个结论：①存在α在第一象限，β在第三象限；②存在α在第三象限，β在第四象限；则（）．A.①②均正确B.①②均错误C.①对②错D.①错②对【答案】D【解析】方法一：由tan α=⋅ tan β = tan (α + β)，则tan α⋅ tan β = tan α+tan β，tan α +1−tan α⋅tan βtan β = tan α⋅ tanβ− (tanα⋅ tan β)2，设tan α，tan β为二次方程x2− (tan α + tan β)x + tan α⋅ tan β = 0 = x2 + bx + c两根，即tan α + tan β= −b，tan α⋅ tan b = c > 0（由题干，两正切值必定同号），且−b = c− c2，判别式b2− 4c = (c− c2)2− 4c = c4− 2c3 + c2− 4c = c(c3− 2c2 + c− 4)，当c∈ (0,1)时，−b = c− c2 > 0，由c3 + c < 2c2 + 4，此时判别式为负，方程无解；即两根之积为正，两根之和也为正确值时，方程无解；也即两根不可能同为正数，故①错误；。

2019年上海市高考数学试卷试题数：21.满分：1501.（填空题.4分）已知集合A=（-∞.3）.B=（2.+∞）.则A∩B=___ ． 2.（填空题.4分）已知z∈C .且满足 1z−5 =i.求z=___ ．3.（填空题.4分）已知向量 a ⃗ =（1.0.2）. b ⃗⃗ =（2.1.0）.则 a ⃗ 与 b ⃗⃗ 的夹角为___ ．4.（填空题.4分）已知二项式（2x+1）5.则展开式中含x 2项的系数为___ ． 5.（填空题.4分）已知x.y 满足 {x ≥0y ≥0x +y ≤2.则z=2x-3y 的最小值为___ ．6.（填空题.4分）已知函数f （x ）周期为1.且当0＜x≤1时.f （x ）=log 2x.则f （ 32 ）=___ ． 7.（填空题.5分）若x.y∈R +.且 1x +2y=3.则 yx 的最大值为___ ．8.（填空题.5分）已知数列{a n }前n 项和为S n .且满足S n +a n =2.则S 5=___ ．9.（填空题.5分）过曲线y 2=4x 的焦点F 并垂直于x 轴的直线分别与曲线y 2=4x 交于A.B.A 在B 上方.M 为抛物线上一点. OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λ OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +（λ-2） OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .则λ=___ ．10.（填空题.5分）某三位数密码.每位数字可在0-9这10个数字中任选一个.则该三位数密码中.恰有两位数字相同的概率是___ ．11.（填空题.5分）已知数列{a n }满足a n ＜a n+1（n∈N*）.P n （n.a n ）（n≥3）均在双曲线 x 26 - y 22 =1上.则 lim n→∞|P n P n+1|=___ ．12.（填空题.5分）已知f （x ）=| 2x−1 -a|（x ＞1.a ＞0）.f （x ）与x 轴交点为A.若对于f （x ）图象上任意一点P.在其图象上总存在另一点Q （P 、Q 异于A ）.满足AP⊥AQ .且|AP|=|AQ|.则a=___ ．13.（单选题.5分）已知直线方程2x-y+c=0的一个方向向量 d ⃗ 可以是（ ） A.（2.-1） B.（2.1） C.（-1.2） D.（1.2）14.（单选题.5分）一个直角三角形的两条直角边长分别为1和2.将该三角形分别绕其两个直角边旋转得到的两个圆锥的体积之比为（ ） A.1B.2C.4D.815.（单选题.5分）已知ω∈R.函数f（x）=（x-6）2•sin（ωx）.存在常数a∈R.使f（x+a）为偶函数.则ω的值可能为（）A. π2B. π3C. π4D. π516.（单选题.5分）已知tanα•tanβ=tan（α+β）．有下列两个结论：① 存在α在第一象限.β在第三象限；② 存在α在第二象限.β在第四象限；则（）A. ① ② 均正确B. ① ② 均错误C. ① 对② 错D. ① 错② 对17.（问答题.14分）如图.在长方体ABCD-A1B1C1D1中.M为BB1上一点.已知BM=2.CD=3.AD=4.AA1=5．（1）求直线A1C和平面ABCD的夹角；（2）求点A到平面A1MC的距离．18.（问答题.14分）已知f（x）=ax+ 1x+1.a∈R．（1）当a=1时.求不等式f（x）+1＜f（x+1）的解集；（2）若f（x）在x∈[1.2]时有零点.求a的取值范围．19.（问答题.14分）如图.A-B-C为海岸线.AB为线段. BĈ为四分之一圆弧.BD=39.2km.∠BDC=22°.∠CBD=68°.∠BDA=58°．（1）求BĈ的长度；（2）若AB=40km.求D到海岸线A-B-C的最短距离．（精确到0.001km）20.（问答题.16分）已知椭圆x28 + y24=1.F1.F2为左、右焦点.直线l过F2交椭圆于A.B两点．（1）若直线l垂直于x轴.求|AB|；（2）当∠F1AB=90°时.A在x轴上方时.求A、B的坐标；（3）若直线AF1交y轴于M.直线BF1交y轴于N.是否存在直线l.使得S △F1AB =S △F1MN.若存在.求出直线l的方程；若不存在.请说明理由．21.（问答题.18分）数列{a n}（n∈N*）有100项.a1=a.对任意n∈[2.100].存在a n=a i+d.i∈[1.n-1].若a k与前n项中某一项相等.则称a k具有性质P．（1）若a1=1.d=2.求a4所有可能的值；（2）若{a n}不为等差数列.求证：数列{a n}中存在某些项具有性质P；（3）若{a n}中恰有三项具有性质P.这三项和为c.使用a.d.c表示a1+a2+…+a100．2019年上海市高考数学试卷 参考答案与试题解析试题数：21.满分：1501.（填空题.4分）已知集合A=（-∞.3）.B=（2.+∞）.则A∩B=___ ． 【正确答案】：[1]（2.3） 【解析】：根据交集的概念可得．【解答】：解：根据交集的概念可得A∩B=（2.3）． 故答案为：（2.3）．【点评】：本题考查了交集及其运算.属基础题． 2.（填空题.4分）已知z∈C .且满足 1z−5 =i.求z=___ ． 【正确答案】：[1]5-i【解析】：把已知等式变形.再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】：解：由 1z−5 =i.得z-5= 1i .即z=5+ 1i =5-i ． 故答案为：5-i ．【点评】：本题考查复数代数形式的乘除运算.是基础的计算题．3.（填空题.4分）已知向量 a ⃗ =（1.0.2）. b ⃗⃗ =（2.1.0）.则 a ⃗ 与 b ⃗⃗ 的夹角为___ ． 【正确答案】：[1] arccos 25【解析】：直接利用向量的夹角公式的应用求出结果．【解答】：解：向量 a ⃗ =（1.0.2）. b ⃗⃗ =（2.1.0）. 则 |a ⃗|=√5 . |b ⃗⃗|=√5 . 所以：cos θ=a ⃗⃗•b ⃗⃗|a⃗⃗||b⃗⃗| = 25 . 故： a ⃗ 与 b ⃗⃗ 的夹角为 arccos 25．故答案为： arccos 25 ．【点评】：本题考查的知识要点：向量的夹角公式的应用.主要考查学生的运算能力和转换能力.属于基础题型．4.（填空题.4分）已知二项式（2x+1）5.则展开式中含x 2项的系数为___ ． 【正确答案】：[1]40【解析】：先求得二项式展开式的通项公式.再令x 的幂指数等于2.求得r 的值.即可求得含x 2项的系数值．【解答】：解：二项式（2x+1）5的展开式的通项公式为T r+1=C 5r •25-r •x 5-r . 令5-r=2.求得 r=3.可得展开式中含x 2项的系数值为C 53•22=40. 故答案为：40．【点评】：本题主要考查二项式定理的应用.二项式展开式的通项公式.求展开式中某项的系数.属于基础题．5.（填空题.4分）已知x.y 满足 {x ≥0y ≥0x +y ≤2 .则z=2x-3y 的最小值为___ ．【正确答案】：[1]-6【解析】：画出不等式组表示的平面区域.由目标函数的几何意义.结合平移直线.可得所求最小值．【解答】：解：作出不等式组 {x ≥0y ≥0x +y ≤2 表示的平面区域.由z=2x-3y 即y=2x−z3.表示直线在y 轴上的截距的相反数的 13 倍.平移直线2x-3y=0.当经过点（0.2）时.z=2x-3y 取得最小值-6. 故答案为：-6．【点评】：本题考查线性规划的运用.考查平移法求最值的方法.数形结合思想.考查运算能力.属于基础题．6.（填空题.4分）已知函数f（x）周期为1.且当0＜x≤1时.f（x）=log2x.则f（32）=___ ．【正确答案】：[1]-1【解析】：由题意知函数f（x）周期为1.所以化简f（32）再代入即可．【解答】：解：因为函数f（x）周期为1.所以f（32）=f（12）.因为当0＜x≤1时.f（x）=log2x.所以f（12）=-1. 故答案为：-1．【点评】：本题考查函数的周期性.属于简单题．7.（填空题.5分）若x.y∈R+.且1x +2y=3.则yx的最大值为___ ．【正确答案】：[1] 98【解析】：根据基本不等式可得．【解答】：解：3= 1x +2y≥2 √1x•2y .∴ yx≤2√2）2= 98；故答案为：98【点评】：本题考查了基本不等式及其应用.属基础题．8.（填空题.5分）已知数列{a n}前n项和为S n.且满足S n+a n=2.则S5=___ ．【正确答案】：[1] 3116【解析】：由已知数列递推式可得数列{a n }是等比数列.且 a 1=1，q =12 .再由等比数列的前n 项和公式求解．【解答】：解：由S n +a n =2. ① 得2a 1=2.即a 1=1.且S n-1+a n-1=2（n≥2）. ②① - ② 得： a n =12a n−1 （n≥2）． ∴数列{a n }是等比数列.且 a 1=1，q =12 ． ∴ S 5=1×[1−(12)5]1−12=3116 ．故答案为： 3116．【点评】：本题考查数列递推式.考查等比关系的确定.训练了等比数列前n 项和的求法.是中档题．9.（填空题.5分）过曲线y 2=4x 的焦点F 并垂直于x 轴的直线分别与曲线y 2=4x 交于A.B.A 在B 上方.M 为抛物线上一点. OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λ OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +（λ-2） OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .则λ=___ ． 【正确答案】：[1]3【解析】：直接利用直线和抛物线的位置关系的应用求出点的坐标.进一步利用向量的运算求出结果．【解答】：解：过y 2=4x 的焦点F 并垂直于x 轴的直线分别与y 2=4x 交于A.B.A 在B 上方. 依题意：得到：A （1.2）B （1.-2）. 设点M （x.y ）.所以：M 为抛物线上一点. OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λ OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +（λ-2） OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . 则：（x.y ）=λ（1.2）+（λ-2）（1.-2）=（2λ-2.4）. 代入y 2=4x. 得到：λ=3． 故答案为：3【点评】：本题考查的知识要点：直线和抛物线的位置关系的应用.向量的坐标运算的应用.主要考查学生的运算能力和转换能力.属于基础题型．10.（填空题.5分）某三位数密码.每位数字可在0-9这10个数字中任选一个.则该三位数密码中.恰有两位数字相同的概率是___ ． 【正确答案】：[1]27100【解析】：分别运用直接法和排除法.结合古典概率的公式.以及计数的基本原理：分类和分步.计算可得所求值．【解答】：解：方法一、（直接法）某三位数密码锁.每位数字在0-9数字中选取. 总的基本事件个数为1000.其中恰有两位数字相同的个数为 C 101 C 32 C 91=270.则其中恰有两位数字相同的概率是2701000 = 27100； 方法二、（排除法）某三位数密码锁.每位数字在0-9数字中选取. 总的基本事件个数为1000.其中三位数字均不同和全相同的个数为10×9×8+10=730. 可得其中恰有两位数字相同的概率是1- 7301000 = 27100． 故答案为： 27100 ．【点评】：本题考查古典型概率的求法.注意运用直接法和排除法.考查排列组合数的求法.以及运算能力.属于基础题．11.（填空题.5分）已知数列{a n }满足a n ＜a n+1（n∈N*）.P n （n.a n ）（n≥3）均在双曲线 x 26 - y 22=1上.则 lim n→∞|P n P n+1|=___ ．【正确答案】：[1]2√33【解析】：法一：根据两点之间的距离和极限即可求出.法二：根据向量法.当n→+∞时.P n P n+1与渐近线平行.P n P n+1在x 轴的投影为1.渐近线倾斜角为θ.则tanθ= √33.即可求出．【解答】：解：法一：由 n 26- a n 22=1.可得a n = √2(n 26−1) .∴P n （n. √2(n 26−1) ）. ∴P n+1（n+1. √2((n+1)26−1) ）.∴|P n P n+1|=. √(n +1−n )2+[√2(n+16)2−1−√2(n 26−1)]2=√2n2+2n−113−4√((n+1)26−1)(n 26−1)∴求解极限可得 lim n→∞|P n P n+1|=2√33. 方法二：当n→+∞时.P n P n+1与渐近线平行.P n P n+1在x 轴的投影为1.渐近线倾斜角为θ.则tanθ= √33. 故P n P n+1=1cosπ6=2√33故答案为： 2√33．【点评】：本题考查了双曲线的简单性质和点与点的距离公式.极限的思想.向量的投影.属于中档题．12.（填空题.5分）已知f （x ）=| 2x−1 -a|（x ＞1.a ＞0）.f （x ）与x 轴交点为A.若对于f （x ）图象上任意一点P.在其图象上总存在另一点Q （P 、Q 异于A ）.满足AP⊥AQ .且|AP|=|AQ|.则a=___ ．【正确答案】：[1] √2【解析】：本题根据题意对函数f （x ）分析之后可画出f （x ）大致图象.然后结合图象可不妨设点P 在左边曲线上.点Q 在右边曲线上．设直线AP 的斜率为k.联立直线与曲线的方程可得P 点坐标.同理可得Q 点坐标．再分别算出|AP|、|AQ|.再根据|AP|=|AQ|及k 的任意性可解得a 的值．【解答】：解：由题意.可知： 令f （x ）=| 2x−1 -a|=0.解得：x= 2a +1. ∴点A 的坐标为：（ 2a +1.0）． 则f （x ）= {2x−1−a ，1＜x ≤x A −2x−1+a ，x ＞x A．∴f （x ）大致图象如下：由题意.很明显P 、Q 两点分别在两个分段曲线上.不妨设点P 在左边曲线上.点Q 在右边曲线上．设直线AP 的斜率为k.则l AP ：y=k （x- 2a -1）．联立方程： {y =k (x −2a −1)y =2x−1−a. 整理.得：kx 2+[a-k （ 2a +2）]x+k （ 2a +1）-a-2=0．∴x P +x A =-a−k(2a +2)k = 2a +2- a k ． ∵x A = 2a +1.∴x P = 2a +2- a k -x A =1- a k．再将x P =1- a k 代入第一个方程.可得：y P =-a- 2k a ．∴点P 的坐标为：（1- a k .-a- 2k a ）．∴|AP|= √(x P −x A )2+(y P −y A )2= √(1−a k −2a −1)2+(−a −2k a )2 = √4a 2•k 2+4k +a 2•1k 2+4•1k +a 2+4a 2． ∵AP⊥AQ .∴直线AQ 的斜率为- 1k .则l AQ ：y=- 1k （x- 2a -1）．同理类似求点P 的坐标的过程.可得：点Q 的坐标为：（1-ak.a+ 2ak ）．∴|AQ|= √(x Q −x A )2+(y Q −y A )2= √(1−ak−2a −1)2+(a+2ak)2= √a2•k2+4k+4a2•1k2+4•1k+a2+4a2∵|AP|=|AQ|.及k的任意性.可知：4a2=a2.解得：a= √2．故答案为：√2．【点评】：本题主要考查对函数分析能力.根据平移对称画出符合函数的图象.采用数形结合法分析问题.以及用平面解析几何的方法进行计算.以及设而不求法的应用．本题是一道较难的中档题．13.（单选题.5分）已知直线方程2x-y+c=0的一个方向向量d⃗可以是（）A.（2.-1）B.（2.1）C.（-1.2）D.（1.2）【正确答案】：D【解析】：先根据直线方程得直线的一个法向量.再根据法向量可得直线的方向向量．【解答】：解：依题意.（2.-1）为直线的一个法向量.∴方向向量为（1.2）.故选：D．【点评】：本题考查了直线的方向向量.空间直线的向量.属基础题．14.（单选题.5分）一个直角三角形的两条直角边长分别为1和2.将该三角形分别绕其两个直角边旋转得到的两个圆锥的体积之比为（）A.1B.2C.4D.8【正确答案】：B【解析】：直接利用圆锥的体积公式求得两个圆锥的体积.作比得答案．【解答】：解：如图.则V1=13π×22×1=43π . V2=13π×12×2=23π .∴两个圆锥的体积之比为43π23π=2．故选：B．【点评】：本题考查圆锥的定义.考查圆锥体积的求法.是基础题．15.（单选题.5分）已知ω∈R.函数f（x）=（x-6）2•sin（ωx）.存在常数a∈R.使f（x+a）为偶函数.则ω的值可能为（）A. π2B. π3C. π4D. π5【正确答案】：C【解析】：直接利用三角函数的性质的应用和函数的奇偶性的应用求出结果．【解答】：解：由于函数f（x）=（x-6）2•sin（ωx）.存在常数a∈R.f（x+a）为偶函数.则：f（x+a）=（x+a-6）2•sin[ω（x+a）].由于函数为偶函数.故：a=6.所以：6ω=π2+kπ .当k=1时．ω= π4故选：C．【点评】：本题考查的知识要点：三角函数的性质的应用.主要考查学生的运算能力和转换能力.属于基础题型．16.（单选题.5分）已知tanα•tanβ=tan（α+β）．有下列两个结论：① 存在α在第一象限.β在第三象限；② 存在α在第二象限.β在第四象限；则（）A. ① ② 均正确B. ① ② 均错误C. ① 对② 错D. ① 错② 对【正确答案】：D【解析】：考虑运用二次方程的实根的分布.结合导数判断单调性可判断① ；运用特殊值法.令tanα=- 13.结合两角和的正切公式.计算可得所求结论.可判断② ．【解答】：解：由tanα•tanβ=tan（α+β）.即为tanα•tanβ= tanα+tanβ1−tanαtanβ.设m=tanα.n=tanβ.可得n2m2+n（1-m）+m=0.若m＞0.可得上式关于n的方程有两个同号的根.若为两个正根.可得n＞0.即有m＞1.考虑△=f（m）=（1-m）2-4m3.f′（m）=2m-2-12m2=-12（m- 112）2- 2312.当m＞1时.f（m）递减.可得f（m）＜f（1）=-4＜0.则方程无解. β在第三象限不可能.故① 错；可令tanα=- 13.由tanα•tanβ=tan（α+β）.即为tanα•tanβ= tanα+tanβ1−tanαtanβ.可得- 13tanβ= tanβ−131+13tanβ.解得tanβ=-6± √39 .存在β在第四象限.故② 对．故选：D．【点评】：本题考查三角函数的正切公式.以及方程思想、运算能力.属于基础题．17.（问答题.14分）如图.在长方体ABCD-A1B1C1D1中.M为BB1上一点.已知BM=2.CD=3.AD=4.AA1=5．（1）求直线A1C和平面ABCD的夹角；（2）求点A到平面A1MC的距离．【正确答案】：【解析】：（1）由题意可得A1C与平面ABCD所成夹角为∠A1CA.判断△A1CA为等腰三角形.即可求出..求出法向量即（2）如图建立坐标系.根据向量的关系可得点A到平面A1MC的距离d= |AC⃗⃗⃗⃗⃗⃗•n⃗⃗||n⃗⃗|可求出．【解答】：解：（1）依题意：AA1⊥平面ABCD.连接AC.则A1C与平面ABCD所成夹角为∠A1CA.∵AA1=5.AC= √32+42 =5.∴△A1CA为等腰三角形..∴∠A1CA= π4∴直线A1C和平面ABCD的夹角为π.4（2）（空间向量）.如图建立坐标系.则A （0.0.0）.C （3.4.0）.A 1（0.0.5）.M （3.0.2）.∴ AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（3.4.0）. A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（3.4.-5）. MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（0.4．-2）.设平面A 1MC 的法向量 n ⃗⃗ =（x.y.z ）.由 {n ⃗⃗•A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=3x +4y −5z =0n ⃗⃗•MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=4y −2z =0.可得 n ⃗⃗ =（2.1.2）. ∴点A 到平面A 1MC 的距离d=|AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•n ⃗⃗||n ⃗⃗| = √22+12+22 = 103 ．【点评】：本题考查了线面角的求法和点到平面的距离.考查了运算求解能力和转化与化归能力.空间想象能力.属于中档题．18.（问答题.14分）已知f （x ）=ax+ 1x+1.a∈R ． （1）当a=1时.求不等式f （x ）+1＜f （x+1）的解集；（2）若f （x ）在x∈[1.2]时有零点.求a 的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）直接利用转换关系.解分式不等式即可．（2）利用分离参数法和函数的值域的应用求出参数的范围．【解答】：解：（1）f （x ）=ax+ 1x+1 （a∈R ）．当a=1时.f （x ）=x+ 1x+1 ．所以：f （x ）+1＜f （x+1）转换为：x+ 1x+1 +1 ＜x +1+1x+2 .即：1x+1＜1x+2.解得：-2＜x＜-1．故：{x|-2＜x＜-1}．（2）函数f（x）=ax+ 1x+1在x∈[1.2]时.f（x）有零点. 即函数在该区间上有解.即：a=−1x(x+1).即求函数g（x）在x∈[1.2]上的值域.由于：x（x+1）在x∈[1.2]上单调递减.故：x（x+1）∈[2.6].所以：−1x(x+1)∈[−12，−16] .故：a∈[−12，−16]【点评】：本题考查的知识要点：分式不等式的解法及应用.分离参数法的应用.主要考查学生的运算能力和转换能力.属于基础题．19.（问答题.14分）如图.A-B-C为海岸线.AB为线段. BĈ为四分之一圆弧.BD=39.2km.∠BDC=22°.∠CBD=68°.∠BDA=58°．（1）求BĈ的长度；（2）若AB=40km.求D到海岸线A-B-C的最短距离．（精确到0.001km）【正确答案】：【解析】：（1）由题意可求BC.及弧BC所在的圆的半径R.然后根据弧长公式可求；（2）根据正弦定理可得. BDsinA =ABsin58°.可求sinA.进而可求A.进而可求∠ABD.根据三角函数即可求解．【解答】：解：（1）由题意可得.BC=BDsin22°.弧BC 所在的圆的半径R=BCsin π4 = √22BC . 弧BC 的长度为 12πR = 12π•BC •√22 = √24×3.141×39.2×sin22° =16.310km ； （2）根据正弦定理可得. BD sinA =AB sin58° .∴sinA= 39.240×sin58° =0.831.A=56.2°.∴∠ABD=180°-56.2°-58°=65.8°.∴DH=BD×sin∠ABD=35.750km ＜CD=36.346km∴D 到海岸线A-B-C 的最短距离为35.750km【点评】：本题主要考查了利用三角函数.正弦定理求解三角形.还考查了基本运算．20.（问答题.16分）已知椭圆 x 28 + y 24 =1.F 1.F 2为左、右焦点.直线l 过F 2交椭圆于A.B 两点．（1）若直线l 垂直于x 轴.求|AB|；（2）当∠F 1AB=90°时.A 在x 轴上方时.求A 、B 的坐标；（3）若直线AF 1交y 轴于M.直线BF 1交y 轴于N.是否存在直线l.使得S △F 1AB =S △F 1MN .若存在.求出直线l 的方程；若不存在.请说明理由．【正确答案】：【解析】：（1）由题意方程求得右焦点坐标.进一步求得A.B 的坐标.则|AB|可求；（2）设A （x 1.y 1）.由∠F 1AB=90°（∠F 1AF 2=90°）.利用数量积为0求得x 1与y 1的方程.再由A 在椭圆上.得x 1与y 1的另一方程.联立即可求得A 的坐标．得到直线AB 的方程.与椭圆方程联立即可求得B 的坐标；（3）设A （x 1.y 1）.B （x 2.y 2）.M （0.y 3）.N （0.y 4）.直线l ：x=my+2.联立直线方程与椭圆方程.结合S △F 1AB =S △F 1MN .得2|y 1-y 2|=|y 3-y 4|.再由直线AF 1 的方程： y =y 1x 1+2(x +2) .得M 纵坐标 y 3=2y 1x 1+2 .由直线BF 1 的方程： y =y 2x 2+2(x +2) .得N 的纵坐标 y 4=2y 2x 2+2.结合根与系数的关系.得| −4m 2m 2+2+4m •−4mm 2+2+16 |=4.解得m 值.从而得到直线方程．【解答】：解：（1）依题意.F 2（2.0）.当AB⊥x 轴时.则A （2. √2 ）.B （2.- √2 ）.得|AB|=2 √2 ；（2）设A （x 1.y 1）.∵∠F 1AB=90°（∠F 1AF 2=90°）.∴ AF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗•AF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(x 1+2，y 1)•(x 1−2，y 1) = x 12−4+y 12=0 .又A 在椭圆上.满足x 128+y 124=1 .即 y 12=4(1−x 128) . ∴ x 12−4+4(1−x 128)=0 .解得x 1=0.即A （0.2）．直线AB ：y=-x+2.联立 {y =−x +2x 28+y 24=1 .解得B （ 83 .- 23 ）； （3）设A （x 1.y 1）.B （x 2.y 2）.M （0.y 3）.N （0.y 4）.直线l ：x=my+2.则 S △F 1AB =12|F 1F 2|•|y 1−y 2|=2|y 1−y 2| .S △F 1MN =12|F 1O |•|y 3−y 4|=|y 3−y 4| ．联立 {x =my +2x 28+y 24=1 .得（m 2+2）y 2+4my-4=0． 则 y 1+y 2=−4m m 2+2 . y 1y 2=−4m 2+2 ．由直线AF 1 的方程： y =y 1x1+2(x +2) .得M 纵坐标 y 3=2y 1x 1+2 ； 由直线BF 1 的方程： y =y 2x 2+2(x +2) .得N 的纵坐标 y 4=2y 2x2+2 ． 若S △F 1AB =S △F 1MN .即2|y 1-y 2|=|y 3-y 4|.|y 3-y 4|=| 2y 1x 1+2−2y 2x 2+2 |=| 2y 1my 1+4−2y 2my 2+4 |=| 8(y 1−y 2)(my 1+4)(my 2+4) |=2|y 1-y 2|. ∴|（my 1+4）（my 2+4）|=4.|m 2y 1y 2+4m （y 1+y 2）+16|=4.代入根与系数的关系.得| −4m 2m 2+2+4m •−4m m 2+2+16 |=4.解得m= ±√3 ．∴存在直线x+ √3y −2=0 或 x −√3y −2=0 满足题意．【点评】：本题考查椭圆的简单性质.考查直线与椭圆位置关系的应用.考查计算能力.属难题．21.（问答题.18分）数列{a n}（n∈N*）有100项.a1=a.对任意n∈[2.100].存在a n=a i+d.i∈[1.n-1].若a k与前n项中某一项相等.则称a k具有性质P．（1）若a1=1.d=2.求a4所有可能的值；（2）若{a n}不为等差数列.求证：数列{a n}中存在某些项具有性质P；（3）若{a n}中恰有三项具有性质P.这三项和为c.使用a.d.c表示a1+a2+…+a100．【正确答案】：【解析】：（1）根据a1=1.d=2逐一求出a2.a3.a4即可；（2）{a n}不为等差数列.数列{a n}存在a m使得a m=a m-1+d不成立.根据题意进一步推理即可证明结论；（3）去除具有性质P的数列{a n}中的前三项后.数列{a n}的剩余项重新排列为一个等差数列.且该数列的首项为a.公差为d.求a1+a2+…+a100即可．【解答】：解：（1）∵数列{a n}有100项.a1=a.对任意n∈[2.100].存在a n=a i+d.i∈[1.n-1].∴若a1=1.d=2.则当n=2时.a2=a1+d=3.当n=3时.i∈[1.2].则a3=a1+d=3或a3=a2+d=5.当n=4时.i∈[1.3].则a4=a1+d=3或a4=a2+d=5或a4=a3+d=（a1+d）+d=5或a4=a3+d=（a2+d）+d=7∴a4的所有可能的值为：3.5.7；（2）∵{a n}不为等差数列.∴数列{a n}存在a m使得a m=a m-1+d不成立.∵对任意n∈[2.10].存在a n=a i+d.i∈[1.n-1]；∴存在p∈[1.n-2].使a m=a p+d.则对于a m-q=a i+d.i∈[1.n-q-1].存在p=i.使得a m-q=a m.因此{a n}中存在具有性质P的项；（3）由（2）知.去除具有性质P的数列{a n}中的前三项.则数列{a n}的剩余项均不相等.∵对任意n∈[2.100].存在a n=a i+d.i∈[1.n-1].则一定能将数列{a n}的剩余项重新排列为一个等差数列.且该数列的首项为a.公差为d.∴a1+a2+…+a100= 97a+97×(97−1)d+c=97a+4656d+c．2【点评】：本题考查了等差数列的性质和前n项和公式.考查了逻辑推理能力和计算能力.关键是对新定义的理解.属难题．。

2019年上海高考数学试卷及答案(总7页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--2019年上海高考数学试卷一、填空题（每小题4分，满分56分） 1．函数1()2f x x =-的反函数为1()f x -= . 2. 若全集U R =，集合{1}{|0}A x x x x =≥≤，则U C A = .3.设m 是常数，若点F (0,5)是双曲线2219y x m -=的一个焦点，则m = .4.不等式13x x+≤的解为 . 5.在极坐标系中，直线(2cos sin )2ρθθ+=与直线cos 1ρθ=的夹角大小为 .（结果用反三角函数值表示）6.在相距2千米的A 、B 两点处测量目标点C ，若75,60CAB CBA ∠=∠=，则A 、C 两点之间的距离为 千米.7.若圆锥的侧面积为2π，底面面积为π，则该圆锥的体积为 .8.函数sin cos 26y x x ππ⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最大值为 .9.马老师从课本上抄录一个随机变量ξ的概率分布律如下表：x1 2 3 ()P x ξ=！请小牛同学计算ξ的数学期望.尽管“！”处完全无法看清，且两个“”处字迹模糊，但能断定这两个“”处的数值相同.据此，小牛给出了正确答案E ξ= . 10.行列式(,,,{1,1,2})a b a b c d c d∈-所有可能的值中，最大的是 .11.在正三角行ABC 中，D 是BC 上的点.若AB =3，BD =1，则AB AD = .12.随机抽取的9位同学中，至少有2位同学在同一月份出生的概率为 （默认每个月的天数相同，结果精确到）.13. 设()g x 是定义在R 上，以1为周期的函数，若函数()()f x x g x =+在区间[3,4]上的值域为[2,5]-，则()f x 在区间[10,10]-上的值域为 .14.已知点O (0,0)、Q 0(0,1)和点R 0(3,1)，记Q 0R 0的中点为P 1，取Q 0P 1和P 1R 0中的一条，记其端点为Q 1、R 1，使之满足()()11||2||20OQ OR --<，记Q 1R 1的中点为P 2，取Q 1P 2和P 2R 1中的一条，记其端点为Q 2、R 2，使之满足()()22||2||20OQ OR --<.依次下去，得到12,,,,n P P P ，则0lim ||n n Q P →∞= .二、选择题（每小题5分，满分20分）15. 若,a b R ∈，且0ab >，则下列不等式中，恒成立的是（ ）（A ）222a b ab +>. （B ）2a b ab +≥. （C ）112a b ab+>. （D ）2b aa b +≥.16.下列函数中，既是偶函数，又是在区间(0,)+∞上单调递减的函数是（ ） （A ）1ln||y x =. （B ）3y x =. （C ）||2x y =. （D ）cos y x =. 17. 设12345,,,,A A A A A 是平面上给定的5个不同点，则使12345MA MA MA MA MA ++++0=成立的点M 的个数为（ ）（A ）0. （B ）1. （C ）5. （D ）10.18.设{}n a 是各项为正数的无穷数列，i A 是边长为1,i i a a +的矩形的面积（1,2,i =），则{}n A 为等比数列的充要条件是（ ）（A ）{}n a 是等比数列. （B ）1321,,,,n a a a -或242,,,,n a a a 是等比数列. （C ）1321,,,,n a a a -和242,,,,n a a a 均是等比数列.O 1D 1C 1B 1A 1CDBA（D ）1321,,,,n a a a -和242,,,,n a a a 均是等比数列，且公比相同.三、解答题（本大题满分74分） 19．（本大题满分12分）已知复数1z 满足1(2)(1)1z i i -+=-（i 为虚数单位），复数2z 的虚部为2，且12z z ⋅是实数，求2z ．20.（本大题满分12分，第1小题满分4分，第二小题满分8分）已知函数()23x x f x a b =⋅+⋅，其中常数,a b 满足0a b ⋅≠ （1）若0a b ⋅>，判断函数()f x 的单调性；（2）若0a b ⋅<，求(1)()f x f x +>时的x 的取值范围．21. （本大题满分14分，第1小题满分6分，第二小题满分8分）已知1111ABCD A B C D -是底面边长为1的正四棱柱，1O 为11A C 与11B D 的交点. （1）设1AB 与底面1111A B C D 所成角的大小为α，二面角111A B D A --的大小为β.求证：tan 2tan βα=；（2）若点C 到平面AB 1D 1的距离为43，求正四棱柱1111ABCD A B C D -的高.22.（本大题满分18分，第1小题满分4分，第二小题满分6分，第3小题满分8分）已知数列{}n a 和{}n b 的通项公式分别为36n a n =+，27n b n =+（*)n N ∈.将集合{,*}{,*}n n x x a n N x x b n N =∈=∈中的元素从小到大依次排列，构成数列123,,,,,n c c c c（1）写出1234,,,c c c c ；（2）求证：在数列{}n c 中，但不在数列{}n b 中的项恰为242,,,,n a a a ；（3）求数列{}n c 的通项公式.23.（本大题满分18分，第1小题满分4分，第二小题满分6分，第3小题满分8分）已知平面上的线段l 及点P ，任取l 上一点Q ，线段PQ 长度的最小值称为点P 到线段l 的距离，记作(,)d P l（1）求点(1,1)P 到线段:30(35)l x y x --=≤≤的距离(,)d P l ；（2）设l 是长为2的线段，求点的集合{(,)1}D P d P l =≤所表示的图形面积； （3）写出到两条线段12,l l 距离相等的点的集合12{(,)(,)}P d P l d P l Ω==，其中12,l AB l CD ==，,,,A B C D 是下列三组点中的一组.对于下列三种情形，只需选做一种，满分分别是①2分，②6分，③8分；若选择了多于一种情形，则按照序号较小的解答计分. ①(1,3),(1,0),(1,3),(1,0)A B C D --. ②(1,3),(1,0),(1,3),(1,2)A B C D ---. ③(0,1),(0,0),(0,0),(2,0)A B C D .2019年上海高考数学试题（理科）答案一、填空题1、12x +；2、{|01}x x <<；3、16；4、0x <或12x ≥；5、5arccos 5；6、6；73； 823+；9、2；10、6；11、152；12、0.985；13、[15,11]-；143 二、选择题15、D ；16、A ；17、B ；18、D 。