03.2019年上海高三数学二模分类汇编：函数

2019年上海市各区高三二模数学分类汇编—函数及答案2019上海各区高三二模汇编-函数一、填空题11.（崇明3）设函数f(x)=x^2(x>0)，的反函数为y=f^-1(x)，则y=_______。

答案：√x2.（崇明11）已知函数f(x)=x+1(x∈[-∞,8])，则f^-1(4)=_____________。

答案：33.（奉贤3）设函数y=f(x)=log2(x+c)的图像经过点（2,5），则y=f(x)的反函数f^-1(x)=_________。

答案：2x-4，x∈R4.（奉贤9）已知函数y=f(x)是定义在R上的奇函数，且在[0,+∞)单调递减，当x+y=2019时，恒有f(x)+f(2019)>f(y)成立，则x的取值范围是_________。

答案：(-∞,2019)5.（虹口7）若函数f(x)=x|x-a|-4（a∈R）有3个零点，则实数a的取值范围是_________。

答案：(4,+∞)6.（虹口8）若函数f(x)=log3(9x+1)+kx（k∈R）为偶函数，则k的值为_________。

答案：-17.（虹口11）若函数f(x)={2-x(x≤1),f(x-1)-f(x-2)(x>1)}，则f(2019)的值为_________。

答案：-18.（金山1）函数f(x)=x-4的定义域是_________。

答案：[4,+∞)9.（闵行3）已知函数f(x)=log2(x)的反函数为f^-1(x)=_______。

答案：2^x解析：1.第一题没有明显错误，不需要改写。

2.第二题已经给出了函数的定义域，没有明显错误，不需要改写。

3.第三题已经给出了函数的反函数，没有明显错误，不需要改写。

4.第四题的解析中，最后一句话应该是“可解得x-y=-(2019-x)，可解得x<2019.因此，x的取值范围为(-∞,2019)。

”5.第五题的解析中，第二个等式应该是“x|x-a|-4=0”，改写为“x|x-a|-4=0，解得|x-a|=4/x，即|x-a|=4x或|x-a|=-4x，因为取绝对值，所以|x-a|=4x，即a=x±4，而函数f(x)有3个零点，说明a有两个解，即x+4>4或x-40或x4，即实数a的取值范围为(4,+∞)。

第二学期期中高三年级数学学科教学质量监测试卷（满分150分，时间120分钟）一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果． 1. 若集合{}0A x x =>，{}1B x x =<，则AB = ．2. 已知复数z 满1z i ⋅=+（i 为虚数单位），则z = ．3. 函数()sinx cosxf x cosx sinx=的最小正周期是 ．4. 已知双曲线222181x y a -=（0a >）的一条渐近线方程为3y x =，则a = ．5. 若圆柱的侧面展开图是边长为4的正方形，则圆柱的体积为 ．6. 已知x y ，满足0220x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，则2z x y =+的最大值是 ． 7. 直线12x t y t =-⎧⎨=-⎩（t 为参数）与曲线32x cos y sin θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）的交点个数是 ．8. 已知函数()()220()01xx f x log x x ⎧≤⎪=⎨<≤⎪⎩ 的反函数是1()f x -，则11()2f -= ．9. 设多项式231(1)(1)(1)nx x x x ++++++++（*0x n N ≠∈，）的展开式中x 项的系数为n T ，则2nn T limn →∞= ．10. 生产零件需要经过两道工序，在第一、第二道工序中产生废品的概率分别为0.01和p ，每道工序产生废品相互独立．若经过两道工序后得到的零件不是废品的概率是0.9603，则p = ．11. 设向量m ()x y =，，n ()x y =-，，P 为曲线1m n ⋅=（0x >）上的一个动点，若点P 到直线10x y -+=的距离大于λ恒成立，则实数λ的最大值为 ．12. 设1210x x x ，，，为1210，，，的一个排列，则满足对任意正整数m n ，，且110m n ≤<≤，都有m n x m x n +≤+成立的不同排列的个数为 ．二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分） 每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13. 设a b R ∈，，则“4a b +>”是“1a >且3b >”的………………………（ ）（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分又不必要条件14. 如图，P 为正方体1111ABCD A BC D -中1AC 与1BD 的交点，则PAC ∆在该正方体各个面上的射影可能是 …………………………………………………………………（ ）（A ）①②③④ （B ）①③ （C ）①④ （D ）②④ 15. 如图，在同一平面内，点P 位于两平行直线12l l ，同侧，且P 到12l l ，的距离分别为13，．点M N ，分别在12l l ，上，8PM PN +=，则PM PN ⋅的最大值为…………………（ ）（A ）15 （B ）12 （C ）10 （D ）9 16. 若存在t R ∈与正数m ，使()()F t m F t m -=+成立，则称“函数()F x 在x t =处存在距离为2m 的对称点”．设2()x f x xλ+=（0x >），若对于任意t ∈，总存在正数m ，使得“函数()f x 在x t =处存在距离为2m 的对称点”，则实数λ的取值范围是…………………………………………………………………………………………（ ）（A ）(]02， （B ）(]12，（C ）[]12， （D ）[]14， 三、解答题（本大题共有5题，满分76分） 解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出 必要的步骤．17. （本题满分14分，第1小题满分8分，第2小题满分6分）如图，在正方体1111ABCD A BC D -中，E F 、分别是线段1BC CD 、的中点．（1）求异面直线EF 与1AA 所成角的大小； （2）求直线EF 与平面11AA B B 所成角的大小．18. （本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）已知抛物线22y px =（0p >），其准线方程为10x +=，直线l 过点(0)T t ，（0t >）且与抛物线交于A B 、两点，O 为坐标原点．（1）求抛物线方程，并证明：OB OA ⋅的值与直线l 倾斜角的大小无关； （2）若P 为抛物线上的动点，记||PT 的最小值为函数()d t ，求()d t 的解析式．19. （本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）对于定义域为D 的函数()y f x =，如果存在区间[]m n D ⊆，（m n <），同时满足： ①()f x 在[]m n ，内是单调函数；②当定义域是[]m n ，时，()f x 的值域也是[]m n ，．则称函数()f x 是区间[]m n ，上的“保值函数”． （1）求证：函数2()2g x x x =-不是定义域[01]，上的“保值函数”； （2）已知211()2f x a a x=+-（0a R a ∈≠，）是区间[]m n ，上的“保值函数”，求a 的取值范围．20. （本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）数列{}n a 中，已知12121()n n n a a a a k a a ++===+，，对任意*n N ∈都成立，数列{}n a 的前n 项和为n S ．（这里a k ，均为实数） （1）若{}n a 是等差数列，求k 的值；（2）若112a k ==-，，求n S ； （3）是否存在实数k ，使数列{}n a 是公比不为1的等比数列，且任意相邻三项12m m m a a a ++，，按某顺序排列后成等差数列？若存在，求出所有k 的值；若不存在，请说明理由．21. （本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）设T R ⊂≠，若存在常数0M >，使得对任意t T ∈，均有t M ≤，则称T 为有界集合，同时称M 为集合T 的上界．（1）设12121x x A y y x R ⎧⎫-⎪⎪==∈⎨⎬+⎪⎪⎩⎭，、212A x sinx ⎧⎫=>⎨⎬⎩⎭，试判断1A 、2A 是否为有界集合，并说明理由； （2）已知2()f x x u =+，记11()()()(())n n f x f x f x f f x -==，（23n =，，）．若m R ∈，1[)4u ∈+∞，，且{}()n B f m n N *=∈为有界集合，求u 的值及m 的取值范围；（3）设a b c 、、均为正数，将222()()()a b b c c a ---、、中的最小数记为d ．是否存在正数(01)λ∈，，使得λ为有界集合222{|dC y y a b c==++，a b c 、、均为正数}的上界，若存在，试求λ的最小值；若不存在，请说明理由．参考答案及评分标准一、填空题（本大题共有12题，满分54分） 1、()0,1 2、1 3、π 4、3 5、16π6、37、28、1-9、1210、0.03 1112、512 二、选择题（本大题共有4题，满分20分） 13、B 14、C 15、A 16、A三、解答题（本大题共有5题，满分76分）17. 解：（1）方法一：设正方体棱长为2，以D 为原点，直线DA ，DC ，1DD 为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，则(000)D ，，，(220)B ，，，(020)C ，，，1(002)D ，，，故(12E ，，，(011)F ，，，()111EF =--，，，()1002AA =，，， …………………4/设异面直线EF 与1AA 所成角的大小为α，向量EF 与1AA 所成角为β，则11EF AA cos cos EF AA αβ⋅==⋅…… 6/3==，……7/注意到02πα⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，，故3arccosα=，即异面直线EF 与1AA 所成角的大小为3arccos．…………………8/ （2）由（1）可知，平面11AA B B 的一个法向量是(100)n =，，，…………………10/设直线EF 与平面11AA B B 所成角的大小是θ，向量EF 与n 所成角为γ，则EF n sin cos EF nθγ⋅==⋅………12/3=13/1又02πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，θ∴=线EF 与平面11AA B B 所成角的大小为．………………14/方法二：设正方体棱长为2．（1）在面11CC D D 内，作FH CD ⊥于H ，联结HE ．因为正方体1111ABCD A BC D -，所以1AA ∥1DD ；在面11CC D D 内，有FH ∥1DD ，故异面直线EF 与1AA 所成的角就是EFH ∠（或其补角）．………………………4/由已知及作图可知，H 为CD 的中点，于是，在Rt EFH ∆中，易得1FH =，HE=，故HE tanEFH FH∠=， ………………………………………… 6/== 7/ 又(0)2EFH π∠∈，，所以EFH∠=从而异面直线EF 与1AA 所成角的大小为8/（2）因为正方体1111ABCD A BC D -，所以平面11AA B B ∥平面11CC D D ，故直线EF 与平面11AA B B 所成角的大小就是直线EF 与平面11CC D D 所成角．注意到BC ⊥平面11CC D D ，即EC ⊥平面11CC D D ，所以直线EF 与平面11AA B B所成角的大小即为EFC∠． ………………………………10/在Rt EFC∆中，易得1EC FC ==，，故ECtan EFCFC∠=……………………12/2==，………………13/又(0)2EFCπ∠∈，，故2E F C a r c ta n∠=，即直线EF与平面11AA B B所成角的大小为……14/18.解：（1）方法一：由题意，2=p，所以抛物线的方程为xy42=．……………2/当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为tx=，则(A t，(B t-，，ttOBOA42-=⋅．…………3/当直线l的斜率k存在时，则0≠k，设l的方程为)(txky-=，11()A x y，，22()B x y，，由24()y xy k x t⎧=⎨=-⎩消去x，得0442=--ktyky，故121244y yky y t⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，所以，ttyyyyyyxx41622122212121-=+=+=⋅．…………………………………………5/综上，OBOA⋅的值与直线l倾斜角的大小无关．…………………………………………6/方法二：由题意，2=p，所以抛物线的方程为xy42=．………………………………2/依题意，可设直线l 的方程为x my t =+（m R ∈），11()A x y ，，22()B x y ，，由24y x x my t ⎧=⎨=+⎩得2440y my t --=， 故121244y y my y t+=⎧⎨=-⎩， 所以，12121212()()OA OB x x y y my t my t y y ⋅=+=+++221212(1)()m y y mt y y t =++++ …………………………5/22(1)(4)4m t mt m t =+-+⋅+24t t =-综上，OB OA ⋅的值与直线l倾斜角的大小无关． …………………………6/（2）设00()P x y ，，则0204x y =，||PT =， ……………………… (8)/注意到00≥x ，所以，若20t -≥，即2t ≥，则当02x t =-时，||PT 取得最小值，即()2)d t t =≥；………10/若20t -<，即有02t <<，则当00x =时，||PT 取得最小值，即()(02)d t t t =<<；………12/综上所述，()()2()02t d t tt ⎧≥⎪=⎨<<⎪⎩…………………………………………………14/19.解：（1）函数2()2g x x x =-在[01]x ∈，时的值域为[10]-，，…………………………4/不满足“保值函数”的定义，因此函数2()2g x x x =-不是定义域[01]，上的“保值函数”．………………………6/（2）因xa a x f 2112)(-+=在[]m n ，内是单调增函数，故()()f m mf n n ==，，……8/这说明m n ，是方程x xa a =-+2112的两个不相等的实根， ………………………………10/其等价于方程1)2(222=++-x a a x a 有两个不相等的实根，……………………………11/由222(2)40a a a ∆=+->解得23-<a 或21>a ． ………………………………………13/ 故a的取值范围为3122⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，． ………………………………………………14/20.解：（1）若{}n a 是等差数列，则对任意*n N ∈，有122n n n a a a ++=+，………………2/即121()2n n n a a a ++=+，………………………………………………………………………3/故12k =．………………………………………………………………………………………4/（2）当12k =-时，121()2n n n a a a ++=-+，即122n n n a a a ++=--， 211()n n n n a a a a ++++=-+，故32211()n n n n n n a a a a a a ++++++=-+=+． …………………………………………5/所以，当n 是偶数时，1234112()(11)22n n n n nS a a a a a a a a n -=++++++=+=+=；……………………7/当n 是奇数时，2312()2a a a a +=-+=-，12341n n n S a a a a a a -=++++++123451()()()n n a a a a a a a -=+++++++11(2)22n n -=+⨯-=-． ……………9/综上，()()222n n n S nn-=⎧⎪=⎨=⎪⎩（*k N ∈）． …………………………………………10/（3）若}{n a 是等比数列 ，则公比a a a q ==12，由题意1≠a ，故1-=m m a a ，m m a a =+1，12++=m m a a ．……11/① 若1m a +为等差中项，则122m m m a a a ++=+，即112m m m a a a -+=+⇔221a a =+，解得1=a （舍去）；……12/② 若ma 为等差中项，则122m m m a a a ++=+，即112m m m a a a -+=+⇔22a a =+，因1≠a ，故解得，2a =-，11122215m m m m m m a a a k a a a a a +-++====-+++； ……………………………14/③ 若2m a +为等差中项，则212m m m a a a ++=+，即112221m mma a aa a+-=+⇔=+， 因为1≠a ，解得212215a a k a =-==-+，． …………………………………………15/综上，存在实数k满足题意，25k =-．…………………………………………………16/21.解：（1）对于1A ，由2121x xy -=+得1201x y y +=>-，解得11y -<<，………………2/1A ∴为有界集合； …………………………………………3/显然252266A x k x k k Z ππππ⎧⎫=+<<+∈⎨⎬⎭⎩，不是有界集合． ………………………4/（2）记()n n a f m =，则21n n a a u +=+．若14u =，则21()4f m m =+，22111()42n n n n n a a a a a +=+=-+≥，即1n n a a +≥，且211111()()2422n n n n a a a a +-=-=-+，从而1111222n n n a a a +-=-⋅+． （ⅰ）当12m =时，1()2n n f m a ==，所以1{}2B =，从而B 为有界集合．…………5/（ⅱ）当12m <时，由2114n n a a +=+，2111()()4a f m f m m ===+，显然，此时0n a >，利用数学归纳法可得12n a <，故B 为有界集合．…………………………………………6/（ⅲ）当12m >时，211111()()42n n a a a f m f m m m +≥≥≥===+≥>，2114n n n n a a a a +-=-+21()2n a =- 211()2a ≥-，即2111()2n n a a a +-≥-，由累加法得2111(1)()2n a a n a ≥+--→+∞，故B 不是有界集合．因此，当14u =，且12m ≤时，B 为有界集合；当14u =，且12m >时，B 不是有界集合； 若14u >，则211()()a f m f m m u u ===+≥，即114a u ≥>， 又2114n n a a u u +=+>>（n N *∈）， 即14n a >（n N *∈）． 于是，对任意n N *∈，均有221111()244n n n n n a a a a u a u u +-=-+=-+-≥-，即114n n a a u +-≥-（n N *∈），再由累加法得11(1)()4n a a n u ≥+--→+∞，故B 不是有界集合．………8/综上，当14u =，且12m ≤时，B 为有界集合；当14u =，且12m >时，B 不是有界集合；当14u >(m R ∈)时，B 不是有界集合． 故，满足题设的实数u 的值为14，且实数m 的取值范围是11[]22-，．………………10/ （3）存在．………………………………………………………………………11/不妨设a b c ≥≥．若2a cb +≤，则2a b c ≥-，且2()d b c =-． 故22222225()5()()d a b c b c a b c -++=--++22225()[(2)]b c b c b c ≤---++3(2)0c c b =-<，即22222215()05d d a b c a b c -++<⇔<++；…………13/若2a cb +>，则2a ac b <+<，即220a b a b <⇔-<， 又2a cb bc a b +>⇔->-，故2()d a b =-，又 22222225()5()()d a b c a b a b c -++=--++22(2)(2)0a b a b c =---<，即 2225()0d a b c -++<22215d a b c ⇔<++，因此，15是有界集合C 的一个上界．…………………………15/下证：上界15λ<不可能出现． 假设正数15λ<出现，取2a c b +=，1()05c a λ=->，则22a c d -⎛⎫= ⎪⎝⎭，此时，d22222213()()()55a b c a b c acλλ=+++-++-22221()()5a b c a acλλ>+++--222()a b c λ=++（*）…17/由式（*）可得222222()dd a b c a b c λλ>++⇔>++，与λ是C 的一个上界矛盾！．综上所述，满足题设的最小正数λ的值为15． …………………………………………18/。

1 二模真题汇编-三角比与三角函数一、填空题1、（金山区2019年二模2题）函数()2sin cos y x x =+的最小正周期是 .【答案】π【解析】()2sin cos 12sin cos 1sin 2y x x x x x =+=+=+则22T ππ== 2、（宝山区2019年二模9题）如图，扇形OAB 的半径为1，圆心角为2π，若P 为弧AB 上异于,A B 的点，且PQ OB ⊥交OB 于点Q ，当POQ ∆时，POQ ∠的大小范围为_________【答案】,63ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭【解析】()111sin 11cos sin sin 2224S OP OQ θθθθ===>,63ππθ⎛⎫∈⎪⎝⎭3、（崇明区2019年二模2题）函数sin cos y x x =的最小正周期=T _______________.【答案】π2 【解析】x x x y 2sin 21cos sin ==，则ππωπ===222T4、（徐汇区2019年二模5题）函数cos2sin ()cos x xf x x-=在区间(0,]2π上的最小值为【答案】【解析】23)(34,3)32(2,0),32sin()(cos sin 2cos 23)(min -=∴⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈+∴⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈+=+=x f x x x x f x x x x f πππππ5、（杨浦区2019年二模1题）函数2()12sin f x x =-的最小正周期是 【答案】π【解析】()212sin cos2f x x x =-=22T ππ⇒==．6、（杨浦区2019年二模7题）函数arcsin 211xx y =-的值域是【答案】14[,]22ππ-+【解析】由题意()arcsin 211x y x x =+-≤≤，在[]1,1-上单调递增，当1x =-时，12y π-=，当1x =时，42y π+=，故该函数的值域是14,22ππ-+⎡⎤⎢⎥⎣⎦3 7、（杨浦区2019年二模11题） 若△ABC 的内角A 、B 、C ，其中G 为△ABC 的重心，且0GA GB ⋅=，则cos C 的 最小值为【答案】45【解析】0GA GB ⋅=90AGB ⇒∠=︒，如图，CD 为AB 边上中线，设GD k =，则AD BD k ==，3CD k =，设ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，根据平行四边形的性质（四条边的平方和等于两条对角线的平方和），可得()()222222CA CB AB CD +=+，即()222221436202a b k k k +=+=， 所以222220ab a b k ≤+=， 在ABC ∆中由余弦定理得2222222044cos 2205a b c k k C ab k +--==≥，所以()min 4cos 5C =．8、（闵行区2019年二模6题）在ABC D 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，其面积()22213S a c b =+-，则 tanB = ． 【答案】43． 【解析】1sinB 2S ac =，222cos 2a b c B ab +-=，sin tan cos B B B =由上述三个公式可得4tan 3B =．4 9、（闵行区2019年二模9题）若函数()2x sin xcos x x f w w w =的图像关于直线3x p=对称， 则正数w 的最小值为 ． 【答案】14． 【解析】化简可得()sin(2)3f x x p w =+3x p =对称，所以3x p=的时候，()f x 取得最值，所以2sin 133p w 骣???琪桫，即2332k p p w p +=+（k Z ∈），所以1342k w =+（k Z ∈），即最小的正数w 为14． 10、（浦东新区2019年二模6题）已知函数()()()sin 20f x x ϕϕ=+>是偶函数，则ϕ的最小值是______.【答案】4π【解析】()()0sin 21,=024k f k Z ππϕϕ==±+∈>得,min 4πϕ∴=11、（青浦区2019年二模7题）函数|sin arcsin |y x x =+的最大值为________ 【答案】sin12π+【解析】|sin arcsin |y x x =+在[]1,1-上为偶函数，且在[]0,1上为单调递增，所以最大值为sin12π+ 二、选择题1.（长宁、嘉定区2019年二模16题）对于ABC ∆,若存在111C B A ∆，满足1cos cos sin cos sin cos 111===C C B B A A ，则称ABC ∆为类三角形”“V .类三角形”“V 一定满足 （ ）5 【A 】有一个内角为︒30 【B 】有一个内角为︒45 【C 】有一个内角为︒60 【D 】有一个内角为︒75 【答案】B【解析】由题意可得等腰三角形ABC ∆的三个内角C B A ,,均为锐角，且1,11sin cos sin cos ,sin cos C C B B A A ===，απα2,-===A C B 则设，由于111C B A ∆中，111,,C B A 不会全是锐角，否则，有2,2,2111πππ=+=+=+C C B B A A ，与三角形内角和矛盾，所以111,,C B A 必有一个钝角，只能是顶角1A 为钝角，11B C 和为锐角.所以απαπ-2-211==C B ，，所以α21=A ，再根据1sin cos A A =,可得ααπ2sin )2cos(=-，即02cos 2sin =+αα，432πα=，顶角为4π.2.（普陀区2019年二模16题）设函数()⎪⎭⎫⎝⎛-=6sin πx x f ，若对于任意,2,65⎥⎦⎤⎢⎣⎡--∈ππα在区间[]m ,0上总存在唯一确定的β，使得()(),0=+βαf f 则m 的最小值为（ ） A 、6π B 、2π C 、67πD 、π 【参考答案】B【解析】画出()x f 图像，()()βαππαf f ⊆⎥⎦⎤⎢⎣⎡⇒⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈⇒⎥⎦⎤⎢⎣⎡--∈23,00,232,65，所以m 的最小值为2π，选B3.（青浦区2019年二模14题）已知△ABC 是斜三角形，则“A B >”是“|tan ||tan |A B >”的（ ）6 【A 】充分不必要条件 【B 】必要不充分条件 【C 】充要条件 【D 】 既不充分又不必要条件 【答案】C【解析】A B >可得B 为锐角；充分性：当A 为锐角时，tan y x =在(0,)2π上单调递增，tan tan A B >成立；当A 为钝角时，A B π+<，则B A π<-，tan()tan A B π->；|tan ||tan |A B >成立。

上海市普陀区2019届高三3月模拟练习（二模）数学试题一、选择题（本大题共4小题，共20.0分）1.已知球O的半径为1，A、B、C三点都在球面上，且每两点间的球面距离均为，则球心O到平面ABC的距离为A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先由题意得到OA、OB、OC两两垂直，结合几何体，设为ABC所在平面截球所得圆的圆心，由勾股定理即可求出结果.【详解】显然OA、OB、OC两两垂直，如图，设为ABC所在平面截球所得圆的圆心，，且，．为的中心．由，可得．故选：B．【点睛】本题主要考查点到平面的距离，结合勾股定理即可求解，属于基础题型.2.在中，，，，若将绕直线BC旋转一周，则所形成的旋转体的体积是A. B. C. D.【答案】D【解析】如图，绕直线旋转一周，，则所形成的几何体是以ACD为轴截面的圆锥中挖去一个以ABD为轴截面的校园追后剩余的部分.因为，，，所以.，所以.故选D.3.将函数图象上的点向左平移个单位，得到点，若位于函数的图象上，则A. ，s的最小值为B. ，s的最小值为C. ，s的最小值为D. ，s的最小值为【答案】C【解析】【分析】先由题意求出，再由将函数图象上的点向左平移个单位，得到点，以及位于函数的图象上，可表示出，进而可求出结果.【详解】将代入得：，进而求出平移后的坐标，将函数图象上的点向左平移个单位，得到点()，若位于函数的图象上，则，则，，则，，由得：当时，s的最小值为，故选：C．【点睛】本题主要考查三角函数的图像变换，熟记平移原则以及三角函数性质即可，属于常考题型.4.已知x，，且，则存在，使得成立的构成的区域面积为A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由目标函数作出可行域，根据可得，由换元法令，则，可将存在，使得成立，转化为存在，使得成立，进而可确定x，所满足的平面区域，继而可求出结果.【详解】作出不等式组对应的平面区域如图：对应的区域为三角形OAB，若存在，使得成立，则，令，则，则方程等价为，即，存在，使得成立，，即，则对应的区域为单位圆的外部，由，解得，即，，则三角形OAB的面积，直线的倾斜角为，则，即扇形的面积为，则构成的区域面积为，故选：A．【点睛】本题主要考查线性规划问题，只需作出可行域，再根据题意确定x，所满足的平面区域，即可求解，属于常考题型.二、填空题（本大题共12小题，共54.0分）5.已知集合，，则______．【答案】【解析】【分析】先解将得到集合，进而可求出结果.【详解】或或，则，故答案为：．【点睛】本题主要考查补集的运算，熟记概念即可，属于基础题型.6.已知复数是虚数单位，则的虚部等于______．【答案】-1【解析】【分析】先由复数的运算化简，进而可求出结果.【详解】，的虚部等于．故答案为：．【点睛】本题主要考查复数的运算，熟记运算法则和复数的概念即可，属于基础题型.7.计算______．【答案】【解析】【分析】先对化简，再分子与分母同除以，即可求出结果.【详解】，．原式．故答案为：．【点睛】本题主要考查“”的极限问题，先将原式进行化简即可，属于基础题型.8.行列式中第2行第1列元素的代数余子式的值为，则______．【答案】-14【解析】【分析】先由题意得到，再进一步计算即可得出结果.【详解】由题意得解得：．故答案为：．【点睛】本题主要考查矩阵的计算，熟记概念和公式即可，属于基础题型.9.被7除后的余数为______．【答案】2【解析】【分析】先由化为，再由二项展开式展开即可得出结果.【详解】．被7除后的余数为2，故答案为：2．【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，熟记二项展开式即可，属于常考题型.10.某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的侧面积是______【答案】【解析】观察三视图可知：该几何体为底面半径为2，高为6的圆锥，则母线长为，故侧面积为，故答案为.11.已知，，则______．【答案】【解析】【分析】利用两角差正切公式即可得到结果.【详解】,故答案为：【点睛】本题考查两角和与差的正切公式，考查计算能力，属于基础题.12.从5名同学中任选3人担任上海进博会志愿者，则“甲被选中，乙没有被选中”的概率是______．【答案】【解析】【分析】先求出“从5名同学中任选3人担任上海进博会志愿者”所包含的基本事件总数，再求出满足“甲被选中，乙没有被选中”的基本事件数，即可求出结果.【详解】从5名同学中任选3人担任上海进博会志愿者，基本事件总数，“甲被选中，乙没有被选中”包含的基本事件有，“甲被选中，乙没有被选中”的概率．故答案为：．【点睛】本题主要考查古典概型，熟记概率计算公式即可求解，属于常考题型.13.如果的展开式中只有第4项的二项式系数最大，那么展开式中的所有项的系数之和是______．【答案】【解析】二项式的展开式中只有第4项的二项式系数最大，则,令可得展开式中的所有项的系数之和是.14.若关于x、y的二元一次方程组至少有一组解，则实数m的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】先将方程组化为二元一次方程组，根据题意求出直线与直线平行时的值，即可得出满足题意的m的取值范围。

2019年上海各区高三二模汇编——解析几何专题一、 填空题 1、（宝山2）圆22266x y x y +-+=的半径r =__________【答案】4【解析】写出圆的标准方程：22222266(1)(3)4xy x y x y +-+=⇒-++=2、 （宝山3）过点()2,4A -，且开口向左的抛物线的标准方程是___________【答案】28yx =-【解析】设抛物线为22,0ypx p =->，代入点()2,4A -，则28y x =-3、 （宝山6）在平面直角坐标系xOy 中，已知点()2,1P ，若(),Qxy 为平面区域221x y x y +≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩上一个动点，则OP OQ 的取值范围是_____________ 【答案】[]3,5【解析】数形结合，画出平面区域，则()()2,1,2OP OQ x y x y ==+，令2x y z +=则即求z 的取值范围，2y x z =-+，线性规划得到分别在点()1,1和()2,1P 取到最值，为[]3,5 4、（崇明5）已知椭圆的焦点在x 轴上，焦距为2，且经过点（0,2），则该椭圆的标准方程为_________.【答案】14522=+y x【解析】由题意可知，1=c ，2=b ，则522=+=c b a ，所以，椭圆方程为14522=+y x5、 （崇明7）已知直线:1l 01)4()3=+-+-y a x a （与:2l 032-)32=+-y x a （平行，则=a _____. 【答案】3或5【解析】当两直线中一条斜率为0，另一条斜率不存在时，轻易可知3=a ；当两条直线斜率都存在时，两直线方向向量或法向量平行，以法向量为例，)4,3(a a --与)2,62(--a 为共线向量，计算可得5=a6、 （奉贤4）参数方程2cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数，[0,2)θπ∈）表示的普通方程为【答案】()1222=+-y x【解析】由圆的参数方程可知()1222=+-y x .7、（奉贤6）若x 、y 满足约束条件0262x y x y x y -≥⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，则3x y +的最小值为【答案】2-【解析】由线性规划，画图可知，直线过点()2-4，时，取到最小值2-. 8、（奉贤8）双曲线的右焦点恰好是24y x =的焦点，它的两条渐近线的夹角为2π，则双曲线的标准 方程为【答案】1212122=-y x【解析】设双曲线的标准方程，为12222=-by a x 。

目录第一套：2019年上海市静安区高考数学二模试卷第二套：2019年上海市虹口高考数学二模试卷2019年上海市静安区高考数学二模试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1．设f ﹣1（x ）为的反函数，则f ﹣1（1）= ．2．函数y=2sin 2（2x ）﹣1的最小正周期是 ． 3．设i 为虚数单位，复数，则|z|= ．4．= ．5．若圆锥的侧面积是底面积的2倍，则其母线与轴所成角的大小是 ．6．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若=，则= ．7．直线（t 为参数）与曲线（θ为参数）的公共点的个数是 ．8．已知双曲线C 1与双曲线C 2的焦点重合，C 1的方程为，若C 2的一条渐近线的倾斜角是C 1的一条渐近线的倾斜角的2倍，则C 2的方程为 ． 9．若，则满足f （x ）＞0的x 的取值范围是 ．10．某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为和．现安排甲组研发新产品A ，乙组研发新产品B ，设甲、乙两组的研发相互独立，则至少有一种新产品研发成功的概率为 ．11．设等差数列{a n }的各项都是正数，前n 项和为S n ，公差为d ．若数列也是公差为d 的等差数列，则{a n }的通项公式为a n = ．12．设x ∈R ，用[x]表示不超过x 的最大整数（如[2.32]=2，[﹣ 4.76]=﹣5），对于给定的n ∈N *，定义C =，其中x ∈[1，+∞），则当时，函数f （x ）=C的值域是 ．二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13．命题“若x=1，则x 2﹣3x+2=0”的逆否命题是（ ） A ．若x ≠1，则x 2﹣3x+2≠0 B ．若x 2﹣3x+2=0，则x=1 C ．若x 2﹣3x+2=0，则x ≠1 D ．若x 2﹣3x+2≠0，则x ≠1 14．如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，M 、E 是AB 的三等分点，G 、N 是CD 的三等分点，F 、H 分别是BC 、MN 的中点，则四棱锥A 1﹣EFGH 的左视图是（ ）A ．B ．C ．D ．15．已知△ABC 是边长为4的等边三角形，D 、P 是△ABC 内部两点，且满足，，则△ADP 的面积为（ ） A ．B ．C ．D ．16．已知f （x ）是偶函数，且f （x ）在[0，+∞）上是增函数，若f （ax+1）≤f （x ﹣2）在上恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[﹣2，1]B ．[﹣2，0]C ．[﹣1，1]D ．[﹣1，0]三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．17．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ﹣b=2，c=4，sinA=2sinB ． （Ⅰ）求△ABC 的面积； （Ⅱ）求sin （2A ﹣B ）．18．如图，在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB=8，BC=5，AA 1=4，平面α截长方体得到一个矩形EFGH ，且A 1E=D 1F=2，AH=DG=5．（1）求截面EFGH 把该长方体分成的两部分体积之比； （2）求直线AF 与平面α所成角的正弦值．19．如图，已知椭圆C ：（a ＞b ＞0）过点，两个焦点为F 1（﹣1，0）和F 2（1，0）．圆O 的方程为x 2+y 2=a 2． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）过F 1且斜率为k （k ＞0）的动直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，与圆O 交于P 、Q 两点（点A 、P 在x 轴上方），当|AF 2|，|BF 2|，|AB|成等差数列时，求弦PQ 的长．20．如果函数y=f （x ）的定义域为R ，且存在实常数a ，使得对于定义域内任意x ，都有f （x+a ）=f （﹣x ）成立，则称此函数f （x ）具有“P（a ）性质”．（1）判断函数y=cosx 是否具有“P （a ）性质”，若具有“P （a ）性质”，求出所有a 的值的集合；若不具有“P（a ）性质”，请说明理由；（2）已知函数y=f （x ）具有“P（0）性质”，且当x ≤0时，f （x ）=（x+m ）2，求函数y=f （x ）在区间[0，1]上的值域； （3）已知函数y=g （x ）既具有“P （0）性质”，又具有“P （2）性质”，且当﹣1≤x ≤1时，g （x ）=|x|，若函数y=g （x ）的图象与直线y=px 有2019个公共点，求实数p 的值．21．给定数列{a n }，若满足a 1=a （a ＞0且a ≠1），对于任意的n ，m ∈N *，都有a n+m =a n •a m ，则称数列{a n }为指数数列． （1）已知数列{a n }，{b n }的通项公式分别为，，试判断{a n }，{b n }是不是指数数列（需说明理由）；（2）若数列{a n }满足：a 1=2，a 2=4，a n+2=3a n+1﹣2a n ，证明：{a n }是指数数列；（3）若数列{a n }是指数数列，（t ∈N *），证明：数列{a n }中任意三项都不能构成等差数列．2019年上海市静安区高考数学二模试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1．设f﹣1（x）为的反函数，则f﹣1（1）= 1 ．【考点】4R：反函数．【分析】根据反函数的性质，原函数的值域是反函数的定义域即可求解【解答】解：的反函数，其反函数f﹣1（x），反函数的性质，反函数的定义域是原函数的值域，即．可得：x=1，∴f﹣1（x）=1．故答案为1．2．函数y=2sin2（2x）﹣1的最小正周期是．【考点】H1：三角函数的周期性及其求法．【分析】利用二倍角公式基本公式将函数化为y=Acos（ωx+φ）的形式，再利用周期公式求函数的最小正周期，【解答】解：函数y=2sin2（2x）﹣1，化简可得：y=1﹣cos4x﹣1=﹣cos4x；∴最小正周期T=．故答案为3．设i为虚数单位，复数，则|z|= 1 ．【考点】A8：复数求模．【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．【解答】解：复数===﹣i，则|z|=1．故答案为：1．4． = 3 ．【考点】8J：数列的极限．【分析】通过分子分母同除3n+1，利用数列极限的运算法则求解即可．【解答】解： ===3．故答案为：3．5．若圆锥的侧面积是底面积的2倍，则其母线与轴所成角的大小是30°．【考点】MI：直线与平面所成的角．【分析】根据圆锥的底面积公式和侧面积公式，结合已知可得l=2R ，进而解母线与底面所成角，然后求解母线与轴所成角即可． 【解答】解：设圆锥的底面半径为R ，母线长为l ，则： 其底面积：S 底面积=πR 2，其侧面积：S 侧面积=2πRl=πRl， ∵圆锥的侧面积是其底面积的2倍， ∴l=2R ，故该圆锥的母线与底面所成的角θ有， cosθ==， ∴θ=60°，母线与轴所成角的大小是：30°． 故答案为：30°．6．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若=，则=．【考点】85：等差数列的前n 项和． 【分析】=，可得3（a 1+4d ）=5（a 1+2d ），化为：a 1=d ．再利用等差数列的求和公式即可得出． 【解答】解：∵=，∴3（a 1+4d ）=5（a 1+2d ），化为：a 1=d ．则==．故答案为：．7．直线（t为参数）与曲线（θ为参数）的公共点的个数是 1 ．【考点】QK：圆的参数方程；QJ：直线的参数方程．【分析】根据题意，将直线的参数方程变形为普通方程，再将曲线的参数方程变形为普通方程，分析可得该曲线为圆，且圆心坐标为（3，5），半径r=，求出圆心到直线的俄距离，分析可得直线与圆相切，即可得直线与圆有1个公共点，即可得答案．【解答】解：根据题意，直线的参数方程为，则其普通方程为x+y﹣6=0，曲线的参数方程为，则其普通方程为（x﹣3）2+（y ﹣5）2=2，该曲线为圆，且圆心坐标为（3，5），半径r=，圆心到直线x+y﹣6=0的距离d===r，则圆（x﹣3）2+（y﹣5）2=2与直线x+y﹣6=0相切，有1个公共点；故答案为：1．8．已知双曲线C1与双曲线C2的焦点重合，C1的方程为，若C2的一条渐近线的倾斜角是C1的一条渐近线的倾斜角的2倍，则C2的方程为．【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】求出双曲线的焦点坐标，利用渐近线的倾斜角的关系，列出方程，然后求解即可．【解答】解：双曲线C1与双曲线C2的焦点重合，C1的方程为，焦点坐标（±2，0）．双曲线C1的一条渐近线为：y=，倾斜角为30°，C 2的一条渐近线的倾斜角是C1的一条渐近线的倾斜角的2倍，可得C2的渐近线y=．可得，c=2，解得a=1，b=，所求双曲线方程为：．故答案为：．9．若，则满足f（x）＞0的x的取值范围是（1，+∞）．【考点】7E：其他不等式的解法．【分析】由已知得到关于x的不等式，化为根式不等式，然后化为整式不等式解之．【解答】解：由f（x）＞0得到即，所以，解得x＞1；故x的取值范围为（1，+∞）；故答案为：（1，+∞）；10．某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为和．现安排甲组研发新产品A ，乙组研发新产品B ，设甲、乙两组的研发相互独立，则至少有一种新产品研发成功的概率为．【考点】C9：相互独立事件的概率乘法公式． 【分析】利用对立事件的概率公式，计算即可，【解答】解：设至少有一种新产品研发成功的事件为事件A 且事件B 为事件A 的对立事件，则事件B 为一种新产品都没有成功， 因为甲乙研发新产品成功的概率分别为和． 则P （B ）=（1﹣）（1﹣）=，再根据对立事件的概率之间的公式可得P （A ）=1﹣P （B ）=，故至少有一种新产品研发成功的概率．故答案为．11．设等差数列{a n }的各项都是正数，前n 项和为S n ，公差为d ．若数列也是公差为d 的等差数列，则{a n }的通项公式为a n =．【考点】84：等差数列的通项公式． 【分析】由题意可得：S n =na 1+d ．a n ＞0.=+（n ﹣1）d ，化简n ≠1时可得：a 1=（n ﹣1）d 2+2d ﹣d ．分别令n=2，3，解出即可得出．【解答】解：由题意可得：S n =na 1+d ．a n ＞0．=+（n ﹣1）d ，可得：S n =a 1+（n ﹣1）2d 2+2（n ﹣1）d ．∴na 1+d=a 1+（n ﹣1）2d 2+2（n ﹣1）d ． n ≠1时可得：a 1=（n ﹣1）d 2+2d ﹣d ． 分别令n=2，3，可得：a 1=d 2+2d ﹣d ，a 1=2d 2+2d ﹣d ．解得a 1=，d=． ∴a n =+（n ﹣1）=．故答案为：．12．设x ∈R ，用[x]表示不超过x 的最大整数（如[2.32]=2，[﹣ 4.76]=﹣5），对于给定的n ∈N *，定义C =，其中x ∈[1，+∞），则当时，函数f （x ）=C的值域是．【考点】57：函数与方程的综合运用．【分析】分类讨论，根据定义化简C x n ，求出C x 10的表达式，再利用函数的单调性求出C x 10的值域．【解答】解：当x ∈[，2）时，[x]=1，∴f （x ）=C =， 当x ∈[，2）时，f （x ）是减函数，∴f （x ）∈（5，）；当x ∈[2，3）时，[x]=2，∴f （x ）=C=，当x ∈[2，3）时，f （x ）是减函数，∴f （x ）∈（15，45]； ∴当时，函数f （x ）=C 的值域是，故答案为：．二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13．命题“若x=1，则x 2﹣3x+2=0”的逆否命题是（ ） A ．若x ≠1，则x 2﹣3x+2≠0 B ．若x 2﹣3x+2=0，则x=1 C ．若x 2﹣3x+2=0，则x ≠1 D ．若x 2﹣3x+2≠0，则x ≠1 【考点】25：四种命题间的逆否关系．【分析】根据逆否命题的定义，我们易求出命题的逆否命题 【解答】解：将命题的条件与结论交换，并且否定可得逆否命题：若x 2﹣3x+2≠0，则x ≠1 故选：D14．如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，M 、E 是AB 的三等分点，G 、N 是CD 的三等分点，F 、H 分别是BC 、MN 的中点，则四棱锥A 1﹣EFGH 的左视图是（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】L7：简单空间图形的三视图．【分析】确定5个顶点在面DCC 1D 1上的投影，即可得出结论． 【解答】解：A 1在面DCC 1D 1上的投影为点D 1，E 在面DCC 1D 1的投影为点G ，F 在面DCC 1D 1上的投影为点C ，H 在面DCC 1D 1上的投影为点N ，因此侧视图为选项C 的图形． 故选C15．已知△ABC 是边长为4的等边三角形，D 、P 是△ABC 内部两点，且满足，，则△ADP 的面积为（ ） A ．B ．C ．D ．【考点】9V ：向量在几何中的应用．【分析】以A 为原点，以BC 的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系．由于等边三角形△的边长为4，可得B ，C 的坐标，再利用向量的坐标运算和数乘运算可得，，利用△APD 的面积公式即可得出．【解答】解：以A 为原点，以BC 的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系．∵等边三角形△的边长为4， ∴B （﹣2，﹣2），C （2，﹣2），由足= [（﹣2，﹣2）+（2，﹣2）]=（0，﹣），=（0，﹣）+（4，0）=（，﹣），∴△ADP的面积为S=||•||=××=，故选：A．16．已知f（x）是偶函数，且f（x）在[0，+∞）上是增函数，若f（ax+1）≤f（x﹣2）在上恒成立，则实数a的取值范围是（）A．[﹣2，1] B．[﹣2，0] C．[﹣1，1] D．[﹣1，0]【考点】3N：奇偶性与单调性的综合．【分析】因为偶函数在对称区间上单调性相反，根据已知中f（x）是偶函数，且f（x）在（0，+∞）上是增函数，易得f（x）在（﹣∞，0）上为减函数，又由若时，不等式f（ax+1）≤f（x﹣2）恒成立，结合函数恒成立的条件，求出时f（x﹣2）的最小值，从而可以构造一个关于a的不等式，解不等式即可得到实数a的取值范围．【解答】解：∵f（x）是偶函数，且f（x）在（0，+∞）上是增函数，∴f（x）在（﹣∞，0）上为减函数，当时，x﹣2∈[﹣，﹣1]，故f（x﹣2）≥f（﹣1）=f（1），若时，不等式f（ax+1）≤f（x﹣2）恒成立，则当时，|ax+1|≤1恒成立，∴﹣1≤ax+1≤1，∴≤a≤0，∴﹣2≤a≤0，故选B．三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．17．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a ﹣b=2，c=4，sinA=2sinB．（Ⅰ）求△ABC的面积；（Ⅱ）求sin（2A﹣B）．【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用．【分析】解法一：（I）由已知及正弦定理可求a，b的值，由余弦定理可求cosB，从而可求sinB，即可由三角形面积公式求解．（II）由余弦定理可得cosA，从而可求sinA，sin2A，cos2A，由两角差的正弦公式即可求sin（2A﹣B）的值．解法二：（I）由已知及正弦定理可求a，b的值，又c=4，可知△ABC为等腰三角形，作BD⊥AC于D，可求BD==，即可求三角形面积．（II）由余弦定理可得cosB，即可求sinB，由（I）知A=C⇒2A ﹣B=π﹣2B．从而sin（2A﹣B）=sin（π﹣2B）=sin2B，代入即可求值．【解答】解：解法一：（I）由sinA=2sinB⇒a=2b．又∵a﹣b=2，∴a=4，b=2．cosB===．sinB===．=acsinB==．∴S△ABC（II）cosA===．sinA===．sin2A=2sinAcosA=2×．cos2A=cos2A﹣sin2A=﹣．∴sin（2A﹣B）=sin2AcosB﹣cos2AsinB==．解法二：（I）由sinA=2sinB⇒a=2b．又∵a﹣b=2，∴a=4，b=2．又c=4，可知△ABC为等腰三角形．作BD ⊥AC 于D ，则BD===．∴S △ABC ==． （II ）cosB===． sinB===．由（I ）知A=C ⇒2A ﹣B=π﹣2B ． ∴sin （2A ﹣B ）=sin （π﹣2B ）=sin2B =2sinBcosB =2××=．18．如图，在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB=8，BC=5，AA 1=4，平面α截长方体得到一个矩形EFGH ，且A 1E=D 1F=2，AH=DG=5． （1）求截面EFGH 把该长方体分成的两部分体积之比； （2）求直线AF 与平面α所成角的正弦值．【考点】MI ：直线与平面所成的角；LF ：棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】（1）由题意，平面α把长方体分成两个高为5的直四棱柱，转化求解体积推出结果即可．（2）解法一：作AM ⊥EH ，垂足为M ，证明HG ⊥AM ，推出AM ⊥平面EFGH ．通过计算求出AM=4．AF ，设直线AF 与平面α所成角为θ，求解即可．解法二：以DA 、DC 、DD 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，求出平面α一个法向量，利用直线AF 与平面α所成角为θ，通过空间向量的数量积求解即可．【解答】（本题满分，第1小题满分，第2小题满分8分） 解：（1）由题意，平面α把长方体分成两个高为5的直四棱柱，，… ，…所以，．…（2）解法一：作AM ⊥EH ，垂足为M ，由题意，HG ⊥平面ABB 1A 1，故HG ⊥AM ，所以AM ⊥平面EFGH ． … 因为，，所以S △AEH =10，）因为EH=5，所以AM=4． … 又，…设直线AF 与平面α所成角为θ，则．… 所以，直线AF 与平面α所成角的正弦值为． …解法二：以DA 、DC 、DD 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则A （5，0，0），H （5，5，0），E （5，2，4），F （0，2，4），… 故，，…设平面α一个法向量为，则即所以可取． …设直线AF 与平面α所成角为θ，则． …所以，直线AF 与平面α所成角的正弦值为． …19．如图，已知椭圆C ：（a ＞b ＞0）过点，两个焦点为F 1（﹣1，0）和F 2（1，0）．圆O 的方程为x 2+y 2=a 2． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）过F 1且斜率为k （k ＞0）的动直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，与圆O 交于P 、Q 两点（点A 、P 在x 轴上方），当|AF 2|，|BF 2|，|AB|成等差数列时，求弦PQ 的长．【考点】KH：直线与圆锥曲线的综合问题；K3：椭圆的标准方程；KL：直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）求出c=1，设椭圆C的方程为，将点代入，解得a2=4，然后求解椭圆C的方程．（2）由椭圆定义，|AF1|+|AF2|=4，|BF1|+|BF2|=4，通过|AF2|，|BF2|，|AB|成等差数列，推出．设B（x，y），通过解得B，然后求解直线方程，推出弦PQ的长即可．【解答】（本题满分，第1小题满分，第2小题满分8分）解：（1）由题意，c=1，…设椭圆C的方程为，将点代入，解得a2=4（舍去），…所以，椭圆C的方程为．…（2）由椭圆定义，|AF1|+|AF2|=4，|BF1|+|BF2|=4，两式相加，得|AB|+|AF 2|+|BF 2|=8，因为|AF 2|，|BF 2|，|AB|成等差数列，所以|AB|+|AF 2|=2|BF 2|， 于是3|BF 2|=8，即． …设B （x 0，y 0），由解得，…（或设，则，解得，，所以）． 所以，，直线l 的方程为，即，… 圆O 的方程为x 2+y 2=4，圆心O 到直线l 的距离，…此时，弦PQ 的长． …20．如果函数y=f （x ）的定义域为R ，且存在实常数a ，使得对于定义域内任意x ，都有f （x+a ）=f （﹣x ）成立，则称此函数f （x ）具有“P（a ）性质”．（1）判断函数y=cosx 是否具有“P （a ）性质”，若具有“P （a ）性质”，求出所有a 的值的集合；若不具有“P（a ）性质”，请说明理由；（2）已知函数y=f （x ）具有“P（0）性质”，且当x ≤0时，f （x ）=（x+m ）2，求函数y=f （x ）在区间[0，1]上的值域； （3）已知函数y=g （x ）既具有“P （0）性质”，又具有“P （2）性质”，且当﹣1≤x ≤1时，g （x ）=|x|，若函数y=g （x ）的图象与直线y=px 有2019个公共点，求实数p 的值．【考点】57：函数与方程的综合运用．【分析】（1）根据题意可知cos（x+a）=cos（﹣x）=cosx，故而a=2kπ，k∈Z；（2）由新定义可推出f（x）为偶函数，从而求出f（x）在[0，1]上的解析式，讨论m与[0，1]的关系判断f（x）的单调性得出f（x）的最值；（3）根据新定义可知g（x）为周期为2的偶函数，作出g（x）的函数图象，根据函数图象得出p的值．【解答】解：（1）假设y=cosx具有“P（a）性质”，则cos（x+a）=cos（﹣x）=cosx恒成立，∵cos（x+2kπ）=cosx，∴函数y=cosx具有“P（a）性质”，且所有a的值的集合为{a|a=2kπ，k∈Z}．（2）因为函数y=f（x）具有“P（0）性质”，所以f（x）=f （﹣x）恒成立，∴y=f（x）是偶函数．设0≤x≤1，则﹣x≤0，∴f（x）=f（﹣x）=（﹣x+m）2=（x﹣m）2．①当m≤0时，函数y=f（x）在[0，1]上递增，值域为[m2，（1﹣m）2]．②当时，函数y=f（x）在[0，m]上递减，在[m，1]上递增，y=f（m）=0，，值域为[0，（1﹣m）2]．min③当时，y=f（m）=0，，值域为[0，m2]．min④m＞1时，函数y=f（x）在[0，1]上递减，值域为[（1﹣m）2，m2]．（3）∵y=g（x）既具有“P（0）性质”，即g（x）=g（﹣x），∴函数y=g（x）偶函数，又y=g（x）既具有“P（2）性质”，即g（x+2）=g（﹣x）=g （x），∴函数y=g（x）是以2为周期的函数．作出函数y=g（x）的图象如图所示：由图象可知，当p=0时，函数y=g（x）与直线y=px交于点（2k，0）（k∈Z），即有无数个交点，不合题意．当p＞0时，在区间[0，2016]上，函数y=g（x）有1008个周期，要使函数y=g（x）的图象与直线y=px有2019个交点，则直线在每个周期内都有2个交点，且第2019个交点恰好为，所以．同理，当p＜0时，．综上，．21．给定数列{a n }，若满足a 1=a （a ＞0且a ≠1），对于任意的n ，m ∈N *，都有a n+m =a n •a m ，则称数列{a n }为指数数列． （1）已知数列{a n }，{b n }的通项公式分别为，，试判断{a n }，{b n }是不是指数数列（需说明理由）；（2）若数列{a n }满足：a 1=2，a 2=4，a n+2=3a n+1﹣2a n ，证明：{a n }是指数数列；（3）若数列{a n }是指数数列，（t ∈N *），证明：数列{a n }中任意三项都不能构成等差数列． 【考点】8B ：数列的应用．【分析】（1）利用指数数列的定义，判断即可； （2）求出{a n }的通项公式为，即可证明：{a n }是指数数列；（3）利用反证法进行证明即可．【解答】（1）解：对于数列{a n }，因为a 3=a 1+2≠a 1•a 2，所以{a n }不是指数数列． …对于数列{b n }，对任意n ，m ∈N *，因为，所以{b n }是指数数列． …（2）证明：由题意，a n+2﹣a n+1=2（a n+1﹣a n ），所以数列{a n+1﹣a n }是首项为a 2﹣a 1=2，公比为2的等比数列． … 所以．所以，=，即{a n }的通项公式为（n ∈N *）． …所以，故{a n }是指数数列． …（3）证明：因为数列{a n }是指数数列，故对于任意的n ，m ∈N *，有a n+m =a n •a m ，令m=1，则，所以{a n }是首项为，公比为的等比数列，所以，． …假设数列{a n }中存在三项a u ，a v ，a w 构成等差数列，不妨设u ＜v ＜w ，则由2a v =a u +a w ，得，所以2（t+4）w ﹣v （t+3）v ﹣u =（t+4）w ﹣u +（t+3）w ﹣u ，… 当t 为偶数时，2（t+4）w ﹣v （t+3）v ﹣u 是偶数，而（t+4）w ﹣u 是偶数，（t+3）w ﹣u 是奇数，故2（t+4）w ﹣v （t+3）v ﹣u =（t+4）w ﹣u +（t+3）w ﹣u 不能成立； … 当t 为奇数时，2（t+4）w ﹣v （t+3）v ﹣u 是偶数，而（t+4）w ﹣u 是奇数，（t+3）w ﹣u 是偶数，故2（t+4）w ﹣v （t+3）v ﹣u =（t+4）w ﹣u +（t+3）w ﹣u 也不能成立．… 所以，对任意t ∈N *，2（t+4）w ﹣v （t+3）v ﹣u =（t+4）w ﹣u +（t+3）w ﹣u不能成立，即数列{a n }的任意三项都不成构成等差数列． …2019年上海市虹口高考数学二模试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1．设f ﹣1（x ）为的反函数，则f ﹣1（1）= ．2．函数y=2sin 2（2x ）﹣1的最小正周期是 ． 3．设i 为虚数单位，复数，则|z|= ．4．= ．5．若圆锥的侧面积是底面积的2倍，则其母线与轴所成角的大小是 ．6．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若=，则= ．7．直线（t 为参数）与曲线（θ为参数）的公共点的个数是 ．8．已知双曲线C 1与双曲线C 2的焦点重合，C 1的方程为，若C 2的一条渐近线的倾斜角是C 1的一条渐近线的倾斜角的2倍，则C 2的方程为 ．9．若，则满足f （x ）＞0的x 的取值范围是 ．10．某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为和．现安排甲组研发新产品A ，乙组研发新产品B ，设甲、乙两组的研发相互独立，则至少有一种新产品研发成功的概率为 ．11．设等差数列{a n }的各项都是正数，前n 项和为S n ，公差为d ．若数列也是公差为d 的等差数列，则{a n }的通项公式为a n = ．12．设x ∈R ，用[x]表示不超过x 的最大整数（如[2.32]=2，[﹣ 4.76]=﹣5），对于给定的n ∈N *，定义C =，其中x ∈[1，+∞），则当时，函数f （x ）=C的值域是 ．二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13．命题“若x=1，则x 2﹣3x+2=0”的逆否命题是（ ） A ．若x ≠1，则x 2﹣3x+2≠0 B ．若x 2﹣3x+2=0，则x=1 C ．若x 2﹣3x+2=0，则x ≠1 D ．若x 2﹣3x+2≠0，则x ≠1 14．如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，M 、E 是AB 的三等分点，G 、N 是CD 的三等分点，F 、H 分别是BC 、MN 的中点，则四棱锥A 1﹣EFGH 的左视图是（ ）A．B．C．D．15．已知△ABC是边长为4的等边三角形，D、P是△ABC内部两点，且满足，，则△ADP的面积为（）A．B．C．D．16．已知f（x）是偶函数，且f（x）在[0，+∞）上是增函数，若f（ax+1）≤f（x﹣2）在上恒成立，则实数a的取值范围是（）A．[﹣2，1] B．[﹣2，0] C．[﹣1，1] D．[﹣1，0]三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．17．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a ﹣b=2，c=4，sinA=2sinB．（Ⅰ）求△ABC 的面积； （Ⅱ）求sin （2A ﹣B ）．18．如图，在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB=8，BC=5，AA 1=4，平面α截长方体得到一个矩形EFGH ，且A 1E=D 1F=2，AH=DG=5． （1）求截面EFGH 把该长方体分成的两部分体积之比； （2）求直线AF 与平面α所成角的正弦值．19．如图，已知椭圆C ：（a ＞b ＞0）过点，两个焦点为F 1（﹣1，0）和F 2（1，0）．圆O 的方程为x 2+y 2=a 2． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）过F 1且斜率为k （k ＞0）的动直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，与圆O 交于P 、Q 两点（点A 、P 在x 轴上方），当|AF 2|，|BF 2|，|AB|成等差数列时，求弦PQ 的长．20．如果函数y=f （x ）的定义域为R ，且存在实常数a ，使得对于定义域内任意x ，都有f （x+a ）=f （﹣x ）成立，则称此函数f （x ）具有“P（a ）性质”．（1）判断函数y=cosx 是否具有“P （a ）性质”，若具有“P （a ）性质”，求出所有a 的值的集合；若不具有“P（a ）性质”，请说明理由；（2）已知函数y=f （x ）具有“P（0）性质”，且当x ≤0时，f （x ）=（x+m ）2，求函数y=f （x ）在区间[0，1]上的值域； （3）已知函数y=g （x ）既具有“P （0）性质”，又具有“P （2）性质”，且当﹣1≤x ≤1时，g （x ）=|x|，若函数y=g （x ）的图象与直线y=px 有2019个公共点，求实数p 的值．21．给定数列{a n }，若满足a 1=a （a ＞0且a ≠1），对于任意的n ，m ∈N *，都有a n+m =a n •a m ，则称数列{a n }为指数数列． （1）已知数列{a n }，{b n }的通项公式分别为，，试判断{a n }，{b n }是不是指数数列（需说明理由）；（2）若数列{a n }满足：a 1=2，a 2=4，a n+2=3a n+1﹣2a n ，证明：{a n }是指数数列；（3）若数列{a n }是指数数列，（t ∈N *），证明：数列{a n }中任意三项都不能构成等差数列．2019年上海市虹口高考数学二模试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1．设f﹣1（x）为的反函数，则f﹣1（1）= 1 ．【考点】4R：反函数．【分析】根据反函数的性质，原函数的值域是反函数的定义域即可求解【解答】解：的反函数，其反函数f﹣1（x），反函数的性质，反函数的定义域是原函数的值域，即．可得：x=1，∴f﹣1（x）=1．故答案为1．2．函数y=2sin2（2x）﹣1的最小正周期是．【考点】H1：三角函数的周期性及其求法．【分析】利用二倍角公式基本公式将函数化为y=Acos（ωx+φ）的形式，再利用周期公式求函数的最小正周期，【解答】解：函数y=2sin2（2x）﹣1，化简可得：y=1﹣cos4x﹣1=﹣cos4x；∴最小正周期T=．故答案为3．设i为虚数单位，复数，则|z|= 1 ．【考点】A8：复数求模．【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．【解答】解：复数===﹣i，则|z|=1．故答案为：1．4． = 3 ．【考点】8J：数列的极限．【分析】通过分子分母同除3n+1，利用数列极限的运算法则求解即可．【解答】解： ===3．故答案为：3．5．若圆锥的侧面积是底面积的2倍，则其母线与轴所成角的大小是30°．【考点】MI：直线与平面所成的角．【分析】根据圆锥的底面积公式和侧面积公式，结合已知可得l=2R ，进而解母线与底面所成角，然后求解母线与轴所成角即可． 【解答】解：设圆锥的底面半径为R ，母线长为l ，则： 其底面积：S 底面积=πR 2， 其侧面积：S 侧面积=2πRl=πRl， ∵圆锥的侧面积是其底面积的2倍， ∴l=2R ，故该圆锥的母线与底面所成的角θ有， cosθ==， ∴θ=60°，母线与轴所成角的大小是：30°． 故答案为：30°．6．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若=，则=．【考点】85：等差数列的前n 项和． 【分析】=，可得3（a 1+4d ）=5（a 1+2d ），化为：a 1=d ．再利用等差数列的求和公式即可得出． 【解答】解：∵=，∴3（a 1+4d ）=5（a 1+2d ），化为：a 1=d ．则==．故答案为：．7．直线（t为参数）与曲线（θ为参数）的公共点的个数是 1 ．【考点】QK：圆的参数方程；QJ：直线的参数方程．【分析】根据题意，将直线的参数方程变形为普通方程，再将曲线的参数方程变形为普通方程，分析可得该曲线为圆，且圆心坐标为（3，5），半径r=，求出圆心到直线的俄距离，分析可得直线与圆相切，即可得直线与圆有1个公共点，即可得答案．【解答】解：根据题意，直线的参数方程为，则其普通方程为x+y﹣6=0，曲线的参数方程为，则其普通方程为（x﹣3）2+（y ﹣5）2=2，该曲线为圆，且圆心坐标为（3，5），半径r=，圆心到直线x+y﹣6=0的距离d===r，则圆（x﹣3）2+（y﹣5）2=2与直线x+y﹣6=0相切，有1个公共点；故答案为：1．8．已知双曲线C1与双曲线C2的焦点重合，C1的方程为，若C2的一条渐近线的倾斜角是C1的一条渐近线的倾斜角的2倍，则C2的方程为．【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】求出双曲线的焦点坐标，利用渐近线的倾斜角的关系，列出方程，然后求解即可．【解答】解：双曲线C1与双曲线C2的焦点重合，C1的方程为，焦点坐标（±2，0）．双曲线C1的一条渐近线为：y=，倾斜角为30°，C 2的一条渐近线的倾斜角是C1的一条渐近线的倾斜角的2倍，可得C2的渐近线y=．可得，c=2，解得a=1，b=，所求双曲线方程为：．故答案为：．9．若，则满足f（x）＞0的x的取值范围是（1，+∞）．【考点】7E：其他不等式的解法．【分析】由已知得到关于x的不等式，化为根式不等式，然后化为整式不等式解之．【解答】解：由f（x）＞0得到即，所以，解得x＞1；故x的取值范围为（1，+∞）；故答案为：（1，+∞）；10．某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为和．现安排甲组研发新产品A ，乙组研发新产品B ，设甲、乙两组的研发相互独立，则至少有一种新产品研发成功的概率为．【考点】C9：相互独立事件的概率乘法公式． 【分析】利用对立事件的概率公式，计算即可，【解答】解：设至少有一种新产品研发成功的事件为事件A 且事件B 为事件A 的对立事件，则事件B 为一种新产品都没有成功， 因为甲乙研发新产品成功的概率分别为和． 则P （B ）=（1﹣）（1﹣）=，再根据对立事件的概率之间的公式可得P （A ）=1﹣P （B ）=，故至少有一种新产品研发成功的概率．故答案为．11．设等差数列{a n }的各项都是正数，前n 项和为S n ，公差为d ．若数列也是公差为d 的等差数列，则{a n }的通项公式为a n =．【考点】84：等差数列的通项公式． 【分析】由题意可得：S n =na 1+d ．a n ＞0.=+（n ﹣1）d ，化简n ≠1时可得：a 1=（n ﹣1）d 2+2d ﹣d ．分别令n=2，3，解出即可得出．【解答】解：由题意可得：S n =na 1+d ．a n ＞0．=+（n ﹣1）d ，可得：S n =a 1+（n ﹣1）2d 2+2（n ﹣1）d ．∴na 1+d=a 1+（n ﹣1）2d 2+2（n ﹣1）d ． n ≠1时可得：a 1=（n ﹣1）d 2+2d ﹣d ． 分别令n=2，3，可得：a 1=d 2+2d ﹣d ，a 1=2d 2+2d ﹣d ．解得a 1=，d=． ∴a n =+（n ﹣1）=．故答案为：．12．设x ∈R ，用[x]表示不超过x 的最大整数（如[2.32]=2，[﹣ 4.76]=﹣5），对于给定的n ∈N *，定义C =，其中x ∈[1，+∞），则当时，函数f （x ）=C的值域是．【考点】57：函数与方程的综合运用．【分析】分类讨论，根据定义化简C x n ，求出C x 10的表达式，再利用函数的单调性求出C x 10的值域．【解答】解：当x ∈[，2）时，[x]=1，∴f （x ）=C =， 当x ∈[，2）时，f （x ）是减函数，∴f （x ）∈（5，）；当x ∈[2，3）时，[x]=2，∴f （x ）=C=，当x ∈[2，3）时，f （x ）是减函数，∴f （x ）∈（15，45]； ∴当时，函数f （x ）=C 的值域是，故答案为：．二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13．命题“若x=1，则x 2﹣3x+2=0”的逆否命题是（ ） A ．若x ≠1，则x 2﹣3x+2≠0 B ．若x 2﹣3x+2=0，则x=1 C ．若x 2﹣3x+2=0，则x ≠1 D ．若x 2﹣3x+2≠0，则x ≠1 【考点】25：四种命题间的逆否关系．【分析】根据逆否命题的定义，我们易求出命题的逆否命题 【解答】解：将命题的条件与结论交换，并且否定可得逆否命题：若x 2﹣3x+2≠0，则x ≠1 故选：D14．如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，M 、E 是AB 的三等分点，G 、N 是CD 的三等分点，F 、H 分别是BC 、MN 的中点，则四棱锥A 1﹣EFGH 的左视图是（ ）。

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高中数学上海19届二模真题基础题汇编姓名：年级：宝山区1. 已知i 为虚数单位，则集合{|i ,}n A x x n ==∈Z 中元素的个数为2。

圆22266x y x y +-+=的半径r =3. 过点(2,4)A -，且开口向左的抛物线的标准方程是4。

设z C ∈，且2i 2z z -=+,其中i 为虚数单位，则||z = 5. 在53(1)(1)x x -+的展开式中，3x 的系数为 (结果用数值表示）6。

在平面直角坐标系xOy 中，已知点(2,1)P ，若(,)Q x y 为平面区域221x y x y +≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩上的一个动点,则OP OQ ⋅的取值范围是7。

2019年上海市闸北区高考数学二模试卷（理科）一、填空题本大题共有10题，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得6分，否则一律得零分．1．已知函数f（x）=a x+a﹣x（a＞0，a≠1），且f（1）=3，则f（0）+f（1）+f（2）的值是．2．已知集合A={x||x﹣2|＜a}，B={x|x2﹣2x﹣3＜0}，若B⊆A，则实数a的取值范围是．3．如果复数z满足|z|=1且z2=a+bi，其中a，b∈R，则a+b的最大值是．4．在直角坐标系xOy中，已知三点A（a，1），B（2，b），C（3，4），若向量，在向量方向上的投影相同，则3a﹣4b的值是．5．某科技创新大赛设有一、二、三等奖（参与活动的都有奖）且相应奖项获奖的概率是以a为首项，2为公比的等比数列，相应的奖金分别是以7000元、5600元、4200元，则参加此次大赛获得奖金的期望是元．6．已知F1、F2是椭圆C：（a＞b＞0）的两个焦点，P为椭圆C上一点，且．若△PF1F2的面积为9，则b=．7．△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边且ac+c2=b2﹣a2，若△ABC最大边长是且sinC=2sinA，则△ABC最小边的边长为．8．在极坐标系中，曲线ρ=sinθ+2与ρsinθ=2的公共点到极点的距离为．9．如图，A，B是直线l上的两点，且AB=2．两个半径相等的动圆分别与l相切于A，B点，C是这两个圆的公共点，则圆弧，与线段AB围成图形面积S的取值范围是．10．设函数f（x）=x2﹣1，对任意x∈[，+∞），f（）﹣4m2f（x）≤f（x﹣1）+4f（m）恒成立，则实数m的取值范围是．二、选择题本大题共有3题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得5分，否则一律得零分.11．向量，均为单位向量，其夹角为θ，则命题“p：|﹣|＞1”是命题q：θ∈[，）的（）条件（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充分必要条件 D．非充分非必要条件12．已知S，A，B，C是球O表面上的点，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，SA=AB=1，，则球O的表面积等于（）A．4πB．3πC．2πD．π13．已知数列{a n}中，a n+1=3S n，则下列关于{a n}的说法正确的是（）A．一定为等差数列B．一定为等比数列C．可能为等差数列，但不会为等比数列D．可能为等比数列，但不会为等差数列三、解答题（本题满分75分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤．14．（理）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=2，AD=1，AA1=1，点E在棱AB上移动．（1）探求AE等于何值时，直线D1E与平面AA1D1D成45°角；（2）点E移动为棱AB中点时，求点E到平面A1DC1的距离．15．某公司生产的某批产品的销售量P万件（生产量与销售量相等）与促销费用x万元满足P=（其中0≤x≤a，a为正常数）．已知生产该产品还需投入成本6（P+）万元（不含促销费用），产品的销售价格定为（4+）元/件．（1）将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数；（2）促销费用投入多少万元时，该公司的利润最大？16．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的周期为π，图象的一个对称中心为（，0），将函数f（x）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得到的图象向右平移个单位长度后得到函数g（x）的图象．（1）求函数f（x）与g（x）的解析式；（2）求证：存在x0∈（，），使得f（x0），g（x0），f（x0）•g（x0）能按照某种顺序成等差数列．17．若动点M到定点A（0，1）与定直线l：y=3的距离之和为4．（1）求点M的轨迹方程，并画出方程的曲线草图；（2）记（1）得到的轨迹为曲线C，问曲线C上关于点B（0，t）（t∈R）对称的不同点有几对？请说明理由．18．已知数列{a n}，S n为其前n项的和，满足S n=．（1）求数列{a n}的通项公式；=n（T n （2）设数列{}的前n项和为T n，数列{T n}的前n项和为R n，求证：当n≥2，n∈N*时R n﹣1﹣1）；（3）已知当n∈N*，且n≥6时有（1﹣）n＜（）m，其中m=1，2，…，n，求满足3n+4n+…+（n+2）an的所有n的值．n=（an+3）2019年上海市闸北区高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题本大题共有10题，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得6分，否则一律得零分．1．已知函数f（x）=a x+a﹣x（a＞0，a≠1），且f（1）=3，则f（0）+f（1）+f（2）的值是12．【考点】指数函数的单调性与特殊点；函数的值．【专题】计算题．【分析】由f（1）=3可得到关于a的式子，由f（0）+f（1）+f（2）得到关于a的式子，寻找与已知表达式的联系即可求解．【解答】解：∵f（1）=a+a﹣1=3，f（0）=2，f（2）=a2+a﹣2=（a+a﹣1）2﹣2=7，∴f（1）+f（0）+f（2）=12．故答案为：12【点评】本题考查指数幂的运算和运算法则，属基本运算的考查．2．已知集合A={x||x﹣2|＜a}，B={x|x2﹣2x﹣3＜0}，若B⊆A，则实数a的取值范围是a≥3．【考点】集合的包含关系判断及应用．【专题】数形结合；转化思想；不等式的解法及应用；集合．【分析】利用绝对值不等式的解法、一元二次不等式的解法分别解出A，B，再利用B⊆A即可得出．【解答】解：由|x﹣2|＜a，可得2﹣a＜x＜2+a（a＞0），∴A=（2﹣a，2+a）（a＞0）．由x2﹣2x﹣3＜0，解得﹣1＜x＜3．B=（﹣1，3）．∵B⊆A，则，解得a≥3．故答案为：a≥3．【点评】本题考查了不等式的解法、集合的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．如果复数z满足|z|=1且z2=a+bi，其中a，b∈R，则a+b的最大值是．【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】计算题；转化思想；综合法；数系的扩充和复数．【分析】由|z|=1，得|z2|=1，结合z2=a+bi，得a2+b2=1，然后利用基本不等式求得a+b的最大值．【解答】解：∵|z|=1，∴|z2|=1，由z2=a+bi，得a2+b2=1，∴（a+b）2≤2（a2+b2）=2，故当时，a+b的最大值是．故答案为：．【点评】本题考查复数模的求法，训练了利用基本不等式求最值，是基础题．4．在直角坐标系xOy中，已知三点A（a，1），B（2，b），C（3，4），若向量，在向量方向上的投影相同，则3a﹣4b的值是2．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】计算题；对应思想；向量法；平面向量及应用．【分析】构造三个向量，起点是原点，那么三个向量的坐标和点的坐标相同，根据投影的概念，列出等式，用坐标表示，移项整理得到结果．【解答】解：向量，在向量方向上的投影相同，∴=•，∵A（a，1），B（2，b），C（3，4），∴3a+4=6+4b，∴3a﹣4b=2，故答案为：2．【点评】本题考查了向量的数量积运算、投影，考查了推理能力，属于基础题．5．某科技创新大赛设有一、二、三等奖（参与活动的都有奖）且相应奖项获奖的概率是以a为首项，2为公比的等比数列，相应的奖金分别是以7000元、5600元、4200元，则参加此次大赛获得奖金的期望是5000元．【考点】离散型随机变量的期望与方差．【专题】计算题；转化思想；综合法；概率与统计．【分析】由已知求出获得一、二、三等奖的概率分别为，由此利用一、三、三等奖相应的奖金分别是以7000元、5600元、4200元，能求出参加此次大赛获得奖金的期望．【解答】解：∵某科技创新大赛设有一、二、三等奖（参与活动的都有奖）且相应奖项获奖的概率是以a为首项，2为公比的等比数列，∴获得一、二、三等奖的概率分别为a，2a，4a，且a+2a+4a=1，解得a=，∴获得一、二、三等奖的概率分别为，∵一、三、三等奖相应的奖金分别是以7000元、5600元、4200元，∴参加此次大赛获得奖金的期望E（X）==5000元．故答案为：5000．【点评】本题考查离散型随机变量的分布列的数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．6．已知F1、F2是椭圆C：（a＞b＞0）的两个焦点，P为椭圆C上一点，且．若△PF1F2的面积为9，则b=3．【考点】椭圆的应用；椭圆的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由已知得|PF1|+|PF2|=2a，=4c2，，由此能得到b的值．【解答】解：∵F1、F2是椭圆C：（a＞b＞0）的两个焦点，P为椭圆C上一点，且．∴|PF1|+|PF2|=2a，=4c2，，∴（|PF1|+|PF2|）2=4c2+2|PF1||PF2|=4a2，∴36=4（a2﹣c2）=4b2，∴b=3．故答案为3．【点评】主要考查椭圆的定义、基本性质和平面向量的知识．7．△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边且ac+c2=b2﹣a2，若△ABC最大边长是且sinC=2sinA，则△ABC最小边的边长为1．【考点】正弦定理．【专题】方程思想；综合法；解三角形．【分析】根据余弦定理求出cosB=﹣，故b=，由sinC=2sinA得c=2a，代入余弦定理计算a．【解答】解：∵ac+c2=b2﹣a2，∴cosB==﹣，∴B=，∴b=．∵sinC=2sinA，∴c=2a，∴三角形的最短边为a．由余弦定理得cosB=，解得a=1．故答案为1．【点评】本题考查了余弦定理，正弦定理，判断三角形的最长边和最短边是关键，属于中档题．8．在极坐标系中，曲线ρ=sinθ+2与ρsinθ=2的公共点到极点的距离为1+．【考点】简单曲线的极坐标方程．【专题】计算题；规律型；转化思想；坐标系和参数方程．【分析】联立方程组消去sinθ求解即可．【解答】解：ρ=sinθ+2与ρsinθ=2消去sinθ，可得ρ（ρ﹣2）=2，由于ρ＞0，解得ρ=1+．故答案为：．【点评】本题考查极坐标方程的应用，利用ρ的几何意义是解题的关键．9．如图，A，B是直线l上的两点，且AB=2．两个半径相等的动圆分别与l相切于A，B点，C是这两个圆的公共点，则圆弧，与线段AB围成图形面积S的取值范围是．【考点】圆与圆的位置关系及其判定．【专题】计算题；压轴题；数形结合．【分析】结合图形，可见当⊙O1与⊙O2外切于点C时，S最大，圆弧AC，CB与线段AB围成图形面积S就是矩形ABO2O1的面积减去两扇形面积，解答即可．【解答】解：如图，当⊙O1与⊙O2外切于点C时，S最大，此时，两圆半径为1，S等于矩形ABO2O1的面积减去两扇形面积，∴，随着圆半径的变化，C可以向直线l靠近，当C到直线l的距离d→0时，S→0，∴S∈．【点评】本题考查圆与圆的位置关系，数形结合的思想，是中档题．10．设函数f（x）=x2﹣1，对任意x∈[，+∞），f（）﹣4m2f（x）≤f（x﹣1）+4f（m）恒成立，则实数m的取值范围是．【考点】函数的值；函数恒成立问题．【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】由已知得﹣4m2≤﹣﹣+1在x∈[，+∞）上恒成立，上由此能求出实数m的取值范围．【解答】解：依据题意得﹣1﹣4m2（x2﹣1）≤（x﹣1）2﹣1+4（m2﹣1）在x∈[，+∞）上恒定成立，即﹣4m2≤﹣﹣+1在x∈[，+∞）上恒成立．当x=时，函数y=﹣﹣+1取得最小值﹣，∴﹣4m2≤﹣，即（3m2+1）（4m2﹣3）≥0，解得m≤﹣或m≥，故答案为：．【点评】本题考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要注意函数性质和等价转化思想的合理运用．二、选择题本大题共有3题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得5分，否则一律得零分.11．向量，均为单位向量，其夹角为θ，则命题“p：|﹣|＞1”是命题q：θ∈[，）的（）条件（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充分必要条件 D．非充分非必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】平面向量及应用；简易逻辑．【分析】根据向量数量积的运算公式，以及充分条件和必要条件的定义即可得到结论．【解答】解：若|﹣|＞1，则平方得：2﹣2•+2=2﹣2•＞1，即•＜，则cosθ==•＜，∴θ∈（，π]，即p：θ∈（，π]，∵命题q：θ∈[，），∴p是q的必要不充分条件，故选：B【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据向量数量积的应用求出向量夹角是解决本题的关键．12．已知S，A，B，C是球O表面上的点，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，SA=AB=1，，则球O的表面积等于（）A．4πB．3πC．2πD．π【考点】直线与平面垂直的性质；球的体积和表面积．【专题】压轴题．【分析】先寻找球心，根据S，A，B，C是球O表面上的点，则OA=OB=OC=OS，根据直角三角形的性质可知O为SC的中点，则SC即为直径，根据球的面积公式求解即可．【解答】解：∵已知S，A，B，C是球O表面上的点∴OA=OB=OC=OS=1又SA⊥平面ABC，AB⊥BC，SA=AB=1，，∴球O的直径为2R=SC=2，R=1，∴表面积为4πR2=4π．故选A．【点评】本题主要考查了直线与平面垂直的性质，以及球的表面积等有关知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．13．已知数列{a n}中，a n+1=3S n，则下列关于{a n}的说法正确的是（）A．一定为等差数列B．一定为等比数列C．可能为等差数列，但不会为等比数列D．可能为等比数列，但不会为等差数列【考点】等差关系的确定；等比关系的确定．【专题】等差数列与等比数列．【分析】由条件可得S n+1=4S n，对S1分类讨论，即可得出结论．【解答】解：∵a n+1=3S n，∴S n+1﹣S n=3S n，∴S n+1=4S n，若S1=0，则数列{a n}为等差数列；若S1≠0，则数列{S n}为首项为S1，公比为4的等比数列，∴S n=S1•4n﹣1，=3S1•4n﹣2（n≥2），即数列从第二项起，后面的项组成等比数列．此时a n=S n﹣S n﹣1综上，数列{a n}可能为等差数列，但不会为等比数列．故选C．【点评】本题考查等差数列、等比数列的判断，考查学生分析解决问题的能力，正确分类讨论是关键．三、解答题（本题满分75分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤．14．（理）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=2，AD=1，AA1=1，点E在棱AB上移动．（1）探求AE等于何值时，直线D1E与平面AA1D1D成45°角；（2）点E移动为棱AB中点时，求点E到平面A1DC1的距离．【考点】直线与平面所成的角；点、线、面间的距离计算．【专题】计算题．【分析】（1）解法一：先找到直线D1E与平面AA1D1D所成的平面角，放入直角三角形中，根据角的大小为45°，来求三角形中边之间的关系，即可求出AE长度．解法二：利用空间向量来解，先建立空间直角坐标系，求出坐标，以及平面AA1D1D的法向量的坐标，因为直线D1E与平面AA1D1D成45°角，所以与平面AA1D1D的法向量成45°角，再用向量的数量积公式即可求出坐标，进而判断E点位置．（2）利用空间向量的知识，点到平面的距离可用公式来求，其中为平面的法向量，为E点到平面上任意一点的向量．【解答】解：（1）解法一：长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，因为点E在棱AB上移动，所以EA⊥平面AA1D1D，从而∠ED1A为直线D1E与平面AA1D1D所成的平面角，Rt△ED1A中，∠ED1A=45°．解法二：以D为坐标原点，射线DA、DC、DD1依次为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，则点D1（0，0，1），平面AA1D1D的法向量为，设E（1，y，0），得，由，得，故（2）以D为坐标原点，射线DA、DC、DD1依次为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，则点E（1，1，0），A1（1，0，1），C1（0，2，1），从而，，设平面DA1C1的法向量为，由令，所以点E到平面A1DC1的距离为=1．【点评】本题主要考查了向量法求直线与平面所成角，以及点到平面的距离．属于立体几何的常规题．15．某公司生产的某批产品的销售量P万件（生产量与销售量相等）与促销费用x万元满足P=（其中0≤x≤a，a为正常数）．已知生产该产品还需投入成本6（P+）万元（不含促销费用），产品的销售价格定为（4+）元/件．（1）将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数；（2）促销费用投入多少万元时，该公司的利润最大？【考点】函数模型的选择与应用．【专题】应用题；函数的性质及应用．【分析】（1）根据产品的利润=销售额﹣产品的成本建立函数关系；（2）利用导数基本不等式可求出该函数的最值，注意等号成立的条件．【解答】解：（Ⅰ）由题意知，y=（4+）p﹣x﹣6（p+），将p=代入化简得：y=19﹣﹣x（0≤x≤a）；（Ⅱ）y=22﹣（+x+2）≤22﹣3=10，当且仅当=x+2，即x=2时，上式取等号；当a≥2时，促销费用投入2万元时，该公司的利润最大；y=19﹣﹣x，y′=﹣，∴a＜2时，函数在[0，a]上单调递增，∴x=a时，函数有最大值．即促销费用投入a万元时，该公司的利润最大．【点评】本题主要考查了函数模型的选择与应用，以及基本不等式在最值问题中的应用，同时考查了计算能力，属于中档题．16．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的周期为π，图象的一个对称中心为（，0），将函数f（x）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得到的图象向右平移个单位长度后得到函数g（x）的图象．（1）求函数f（x）与g（x）的解析式；（2）求证：存在x0∈（，），使得f（x0），g（x0），f（x0）•g（x0）能按照某种顺序成等差数列．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；函数与方程的综合运用．【专题】函数思想；转化思想；数形结合法；三角函数的图像与性质．【分析】（1）由周期公式可得ω，ω＞0，再由对称中心可得φ值，可得f（x）解析式，由函数图象变换和诱导公式化简可得；（2）当x∈（，）时sinx＞cos2x＞sinx•cos2x，问题转化为方程2cos2x=sinx+sinx•cos2x在（，）内是否有解，由函数零点的存在性定理可得．【解答】解：（1）∵函数f （x ）=sin （ωx+φ）的周期为π，ω＞0，∴，又曲线y=f （x ）的一个对称中心为（，0），φ∈（0，π），∴sin （2×+φ）=0，可得，∴f （x ）=cos2x ，将函数f （x ）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）后可得y=cosx 的图象，再将y=cosx 的图象向右平移个单位长度后得到函数g （x ）=cos （x ﹣）的图象，由诱导公式化简可得g （x ）=sinx ；（2）当x ∈（，）时，，，∴sinx ＞cos2x ＞sinx •cos2x ，问题转化为方程2cos2x=sinx+sinx •cos2x 在（，）内是否有解．设G （x ）=sinx+sinx •cos2x ﹣2cos2x ，x ∈（，），∵，，且函数G （x ）的图象连续不断，∴函数G （x ）在（，）内存在零点x 0，即存在x 0∈（，），使得f （x 0），g （x 0），f （x 0）•g （x 0）能按照某种顺序成等差数列．【点评】本题考查三角函数图象变换，问题转化为方程2cos2x=sinx+sinx •cos2x 在（，）内是否有解是解决问题的关键，属中档题．17．若动点M 到定点A （0，1）与定直线l ：y=3的距离之和为4． （1）求点M 的轨迹方程，并画出方程的曲线草图；（2）记（1）得到的轨迹为曲线C ，问曲线C 上关于点B （0，t ）（t ∈R ）对称的不同点有几对？请说明理由． 【考点】轨迹方程．【专题】综合题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）设M （x ，y ），由题意，分类讨论，可得点M 的轨迹方程，并画出方程的曲线草图；（2）当t≤0或t≥4显然不存在符合题意的对称点．当0＜t＜4时，注意到曲线C关于y轴对称，至少存在一对（关于y轴对称的）对称点，下面研究曲线C上关于B（0，t）对称但不关于y轴对称的对称点即可．【解答】解：（1）设M（x，y），由题意…①：当y≤3时，有，化简得：x2=4y②：当y＞3时，有，化简得：x2=﹣12（y﹣4）（二次函数）综上所述：点M的轨迹方程为（如图）…（2）当t≤0或t≥4显然不存在符合题意的对称点当0＜t＜4时，注意到曲线C关于y轴对称，至少存在一对（关于y轴对称的）对称点下面研究曲线C上关于B（0，t）对称但不关于y轴对称的对称点设P（x0，y0）是轨迹x2=4y（y≤3）上任意一点，则，它关于B（0，t）的对称点为Q（﹣x0，2t﹣y0），由于点Q在轨迹x2=﹣12（y﹣4）上，所以，联立方程组（*）得4y0=﹣12（2t﹣y0﹣4），化简得①当y0∈（0，3）时，t∈（2，3），此时方程组（*）有两解，即增加有两组对称点．②当y0=0时，t=2，此时方程组（*）只有一组解，即增加一组对称点．（注：对称点为P（0，0），Q（0，4））③当y0=3时，t=3，此时方程组（*）有两解为，没有增加新的对称点．综上所述：…【点评】本题考查轨迹方程，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，难度大．18．已知数列{a n}，S n为其前n项的和，满足S n=．（1）求数列{a n}的通项公式；=n（T n （2）设数列{}的前n项和为T n，数列{T n}的前n项和为R n，求证：当n≥2，n∈N*时R n﹣1﹣1）；（3）已知当n∈N*，且n≥6时有（1﹣）n＜（）m，其中m=1，2，…，n，求满足3n+4n+…+（n+2）an的所有n的值．n=（an+3）【考点】数列的求和；数列递推式．【专题】分类讨论；等差数列与等比数列；点列、递归数列与数学归纳法；不等式的解法及应用．【分析】（1）利用递推关系即可得出；（2）法一：直接计算化简即可证明；法二：利用数学归纳法即可证明．（3）利用“累加求和”方法、不等式的性质、分类讨论即可得出．【解答】（1）解：当n≥2时，，又∵a1=S1=1，∴a n=n．（2）证明：＜法一＞：∵，∴，∴==．＜法二＞：数学归纳法①n=2时，，，=k（T k﹣1），②假设n=k（k≥2，k∈N*）时有R k﹣1当n=k+1时，=，∴n=k+1是原式成立=n（T n﹣1）．由①②可知当n≥2，n∈N*时R n﹣1（3）解：∵，m=1，2，…，n．⇒相加得，，∵，∴3n+4n+…+（n+2）n＜（n+3）n，∴n≥6时，∴3n+4n+…+（n+2）n=（n+3）n无解，又当n=1时；3＜4，n=2时，32+42=52；n=3时，33+43+53=63n=4时，34+44+54+64为偶数，而74为奇数，不符合n=5时，35+45+55+65+75为奇数，而85为偶数，不符合．综上所述n=2或者n=3．【点评】本题考查了递推关系、学归纳法、“累加求和”方法、不等式的性质、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。

高三二模汇编——函数一、填空题1、（宝山、长宁、金山、青浦2018二模4）已知双曲线222181x y a -=（0a >）的一条渐近线方程为3y x =，则a = ． 【参考答案】32、（宝山、长宁、金山、青浦2018二模7）直线12x t y t =-⎧⎨=-⎩（t 为参数）与曲线32x cos y sin θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）的交点个数是 ．【参考答案】23、（宝山、长宁、金山、青浦2018二模8）已知函数()()220()01xx f x log x x ⎧≤⎪=⎨<≤⎪⎩ 的反函数是1()f x -，则11()2f -= ．【参考答案】-14、（崇明2018二模9）若函数1()42x x f x +=+的图像与函数()y g x =的图像关于直线y x =对称，则(3)g = ．【参考答案】165、（崇明2018二模11）已知函数[)22sin(),0(),0,23cos(),0x x x f x x x x παπα⎧++>⎪=∈⎨⎪-++<⎩是奇函数，则α= ．【参考答案】76π6、（奉贤2018二模2）若关于,x y 的方程组⎩⎨⎧=+=+21y x y ax 无解，则=a ________．【参考答案】17、（奉贤2018二模5）设点()9,3在函数()()()log 10,1a f x x a a =->≠的图像上，则()f x 的反函数()1f x -=________．【参考答案】21x +8、（虹口2018二模4）若方程组2322ax y x ay +=⎧⎨+=⎩无解，则实数a = ．【参考答案】2±9、（虹口2018二模9）函数21()(2)1xx f x x x ⎧≤⎪=⎨->⎪⎩，如果方程()f x b =有四个不同的实数解1x 、2x 、3x 、4x ，则1234x x x x +++= ．【参考答案】410、（黄浦2018二模1）函数22y x x =-的定义域是 ． 【参考答案】[0 2]，11、（黄浦2018二模2）若关于,x y 的方程组10420ax y x ay +-=⎧⎨+-=⎩，有无数多组解，则实数a =_________．【参考答案】212、 （黄浦2018二模3）若“2230x x -->”是“x a <”的必要不充分条件，则a 的最大值为 ． 【参考答案】-113、 （黄浦2018二模5）若函数3 (0),() 1 (0)x x a x f x a x -+<⎧=⎨+≥⎩(a >0,且a ≠1)是R 上的减函数，则a 的取值范围是 ． 【参考答案】2[ 1)3，14、 （嘉定2018二模3）设)(1x f -为12)(+=x x x f 的反函数，则=-)1(1f _____________． 【参考答案】115、（嘉定2018二模9）若2131)(--=x x x f ，则满足0)(>x f 的x 的取值范围是_______________．【参考答案】),1(∞+16、 （嘉定2018二模12）设R ∈x ，用][x 表示不超过x 的最大整数（如2]32.2[=，5]76.4[-=-），对于给定的*N ∈n ，定义)1][()1()1][()1(+--+--=x x x x x n n n C xn ，其中),1[∞+∈x ，则当⎪⎭⎫⎢⎣⎡∈3,23x 时，函数xC x f 10)(=的值域是____________________．【参考答案】(]45,15320,5 ⎥⎦⎤⎝⎛17、（静安2018二模5）设)(x f 为R 上的奇函数．当0≥x 时，b x x f x++=22)( (b 为常数)，则)1(-f 的值为________． 【参考答案】3-18、（静安2018二模9）设0>a ，若对于任意的0>x ，都有x xa 211≤-，则a 的取值范围是________． 【参考答案】⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,42 19、（静安2018二模11）已知x x x f +-=11)(，数列}{n a 满足211=a ，对于任意*N ∈n 都满足)(2n n a f a =+，且0>n a ，若1820a a =，则20172016a a +的值为_________．【参考答案】212-20、（闵行2018二模1）方程()3log 212x +=的解是 ．【参考答案】4x =21、（闵行2018二模7）若函数()2()1xf x x a =+-在区间[]0,1上有零点，则实数a 的取值范围是 ．【参考答案】1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦22、（浦东新区2018二模10）已知定义在R 上的函数()f x 满足：①()()20f x f x +-=；②()()20f x f x ---=；③在[]1,1-上的表达式为()[](]21,1,01,0,1x x f x x x ⎧-∈-⎪=⎨-∈⎪⎩，则函数()f x 与函数()122,0l o g ,0x x g x x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩的图像在区间[]3,3-上的交点的个数为____________．【参考答案】623、（普陀2018二模2） 函数⎪⎭⎫⎝⎛-=x y 11log 2的定义域为 .【参考答案】()()+∞∞-,10,24、（普陀2018二模9）若函数1log log )(222+-=x x x f （2≥x ）的反函数为)(1x f-，则)3(1-f= .【参考答案】425、（普陀2018二模11）设0<a ，若不等式01cos )1(sin 22≥-+-+a x a x 对于任意的R ∈x 恒成立，则a 的取值范围是 . 【参考答案】2-≤a26、（松江2018二模1）已知()21xf x =-，则1(3)f-= ．【参考答案】227、（徐汇2018二模9）已知函数2log 02()25()239x x x f x x <<⎧⎪=⎨+≥⎪⎩，，．若函数()()g x f x k =-有两个不同的零点，则实数k 的取值范围是____________．【参考答案】5(,1)928、（徐汇2018二模12）设单调函数()y p x =的定义域为D ，值域为A ，如果单调函数()y q x =使得函数(())y p q x =的值域也是A ，则称函数()y q x =是函数()y p x =的一个“保值域函数”．已知定义域为[],a b 的函数2()3h x x =-，函数()f x 与()g x 互为反函数，且()h x 是()f x 的一个“保值域函数”，()g x 是()h x 的一个“保值域函数”，则b a -=___________．【参考答案】129、（杨浦2018 二模7）设()f x 是定义在R 上的奇函数, 当0x >时, 3()2xf x =-. 则不等式()5f x <-的解为________.【参考答案】(,3)-∞- 二、选择题1、（宝山、长宁、金山、青浦2018二模16）若存在t R ∈与正数m ，使()()F t m F t m -=+成立，则称“函数()F x 在x t =处存在距离为2m 的对称点”．设2()x f x xλ+=（0x >），若对于任意(26)t ∈，，总存在正数m ，使得“函数()f x 在x t =处存在距离为2m 的对称点”，则实数λ的取值范围是…（ ）（A ）(]02， （B ）(]12， （C ）[]12， （D ）[]14，【参考答案】A2、（崇明2018二模16）设函数()x x x f x a b c =+-，其中0,0c a c b >>>>．若a 、b 、c 是ABC ∆的三条边长，则下列结论中正确的个数是（ ）①对于一切(,1)x ∈-∞都有()0f x >；②存在0x >使,,x x x xa b c 不能构成一个三角形的三边长；③若ABC ∆为钝角三角形，则存在(1,2)x ∈，使()0f x =．(A)3个 (B)2个 (C)1个 (D)0个【参考答案】A3、（奉贤2018二模14）若()f x 为奇函数，且0x 是()xy f x e =-的一个零点，则0x -一定是下列哪个函数的零点 （ ） A ．()1xy f x e =+ B ．()1x y f x e-=--C ．()1x y f x e =-D ．()1xy f x e =-+【参考答案】A4、（虹口2018二模15）已知函数()2x xe ef x --=，1x 、2x 、3x R ∈，且120x x +>，230x x +>，310x x +>，则123()()()f x f x f x ++的值（ ）.A 一定等于零． .B 一定大于零． .C 一定小于零． .D 正负都有可能．【参考答案】 B5、（虹口2018二模16）已知点(,)M a b 与点(0,1)N -在直线3450x y -+=的两侧，给出以下结论：①3450a b -+>；②当0a >时，a b +有最小值，无最大值；③221a b +>；x y O①②③④ x y Ox y OxyO④当0a >且1a ≠时，11b a +-的取值范围是93(,)(,)44-∞-+∞.正确的个数是（ ）.A 1 .B 2 .C 3 .D 4【参考答案】B6、（嘉定2018二模16）已知)(x f 是偶函数，且)(x f 在),0[∞+上是增函数，若)2()1(-≤+x f ax f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈1,21x 上恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）． （A ）]1,2[- （B ）]0,2[- （C ）]1,1[- （D ）]0,1[- 【参考答案】B7、（静安2018二模14）当⎪⎭⎫ ⎝⎛∈21,0k 时，方程()1+=x k x 的根的个数是（ ）．A ．1B ．2C ．3D ．4 【参考答案】C8、（闵行2018二模15）某条公共汽车线路收支差额y 与乘客量x 的函数关系如下图所示（收支差额=车票收入-支出费用），由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两条建议：建议(Ⅰ)不改变车票价格，减少支出费用；建议(Ⅱ)不改变支出费用，提高车票价格，下面给出的四个图形中，实线和虚线分别表示目前和建议后的函数关系，则 ( )(A) ①反映了建议（Ⅱ），③反映了建议（Ⅰ） (B) ①反映了建议（Ⅰ），③反映了建议（Ⅱ） (C) ②反映了建议（Ⅰ），④反映了建议（Ⅱ） (D) ④反映了建议（Ⅰ），②反映了建议（Ⅱ）【参考答案】B9、（闵行2018二模16）设函数()y f x =的定义域是R ，对于以下四个命题： （1）若()y f x =是奇函数，则(())y f f x =也是奇函数； （2）若()y f x =是周期函数，则(())y f f x =也是周期函数； （3）若()y f x =是单调递减函数，则(())y f f x =也是单调递减函数； （4）若函数()y f x =存在反函数1()y f x -=，且函数1()()y f x f x -=-有零点，则函数()y f x x =-也有零点．其中正确的命题共有 ( ) (A)1个 (B) 2个 (C) 3个 (D) 4个 【参考答案】B10、（杨浦2018二模16）对于定义在R 上的函数()f x , 若存在正常数,a b , 使得()()f x a f x b +≤+对一切x ∈R 均成立, 则称()f x 是“控制增长函数”。

六大注意1 考生需自己粘贴答题卡的条形码考生需在监考老师的指导下，自己贴本人的试卷条形码。

粘贴前，注意核对一下条形码上的姓名、考生号、考场号和座位号是否有误，如果有误，立即举手报告。

如果无误，请将条形码粘贴在答题卡的对应位置。

万一粘贴不理想，也不要撕下来重贴。

只要条形码信息无误，正确填写了本人的考生号、考场号及座位号，评卷分数不受影响。

2 拿到试卷后先检查有无缺张、漏印等拿到试卷后先检查试卷有无缺张、漏印、破损或字迹不清等情况，尽管这种可能性非常小。

如果有，及时举手报告；如无异常情况，请用签字笔在试卷的相应位置写上姓名、考生号、考场号、座位号。

写好后，放下笔，等开考信号发出后再答题，如提前抢答，将按违纪处理。

3 注意保持答题卡的平整填涂答题卡时，要注意保持答题卡的平整，不要折叠、弄脏或撕破，以免影响机器评阅。

若在考试时无意中污损答题卡确需换卡的，及时报告监考老师用备用卡解决，但耽误时间由本人负责。

不管是哪种情况需启用新答题卡，新答题卡都不再粘贴条形码，但要在新答题卡上填涂姓名、考生号、考场号和座位号。

4 不能提前交卷离场按照规定，在考试结束前，不允许考生交卷离场。

如考生确因患病等原因无法坚持到考试结束，由监考老师报告主考，由主考根据情况按有关规定处理。

5 不要把文具带出考场考试结束，停止答题，把试卷整理好。

然后将答题卡放在最上面，接着是试卷、草稿纸。

不得把答题卡、试卷、草稿纸带出考场，试卷全部收齐后才能离场。

请把文具整理好，放在座次标签旁以便后面考试使用，不得把文具带走。

6 外语听力有试听环外语考试14:40入场完毕，听力采用CD播放。

14：50开始听力试听，试听结束时，会有“试听到此结束”的提示。

听力部分考试结束时，将会有“听力部分到此结束”的提示。

听力部分结束后，考生可以开始做其他部分试题。

上海市虹口区2019届高三数学二模试题（含解析）一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1.设全集，若，则________【答案】【解析】【分析】先化简集合A，再利用补集定义直接求解．【详解】∵全集U＝R，集合A＝{x||x﹣3|＞1}＝{x|x＞4或x＜2），∴∁U A＝{x|2≤x≤4}＝[2，4]故答案为：[2，4]【点睛】本题考查补集的求法，考查补集定义、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.若复数（为虚数单位），则的共轭复数________【答案】【解析】【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念得答案．【详解】由z＝i（2﹣i）＝1+2i，得．故答案为：1﹣2i．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查共轭复数的基本概念，是基础题．3.已知，在第四象限，则________【答案】【解析】【分析】利用同角三角函数的基本关系及诱导公式，求得的值．【详解】∵cosθ，且θ是第四象限角，则si nθ，又sinθ=，故答案为．【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系式及诱导公式的应用，考查了三角函数在各个象限中的符号，属于基础题．4.行列式的元素的代数余子式的值等于________【答案】7【解析】【分析】利用代数余子式的定义和性质直接求解．【详解】行列式的元素π的代数余子式的值为：（﹣1）2+1（4cos9sin）＝﹣（2﹣9）＝7．故答案为：7．【点睛】本题考查行列式的元素的代数余子式的值的求法，考查代数余子式的定义和性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5.5位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为________【答案】【解析】【分析】设A＝{周六、周日都有同学参加公益活动}，计算出事件A包含的基本事件的个数，除以基本事件的总数可得．【详解】设A＝{周六、周日都有同学参加公益活动}，基本事件的总数为25＝32个，而5人都选同一天包含2种基本事件，故A包含32﹣2＝30个基本事件，∴p（A）．故填：．【点睛】本题考查古典概型的概率计算，考查了利用对立事件来求事件A包含的基本事件的方法，属于基础题．6.已知、是椭圆的两个焦点，点为椭圆上的点，，若为线段的中点，则线段的长为________【答案】2【解析】【分析】求出椭圆的焦点坐标，利用椭圆的定义转化求解即可．【详解】F1、F2是椭圆的两个焦点，可得F1（﹣3，0），F2（3，0）．a＝6．点P为椭圆C上的点，|PF1|＝8，则|PF2|＝4，M为线段PF1的中点，则线段OM的长为：|PF2|＝2．故答案为：2．【点睛】本题考查椭圆的的定义及简单性质的应用，是基本知识的考查．7.若函数（）有3个零点，则实数的取值范围是________【答案】【解析】【分析】利用数形结合，通过a与0的大小讨论，转化求解a的范围即可．【详解】函数f（x）＝x|x﹣a|﹣4有三个不同的零点，就是x|x﹣a|＝4有三个不同的根；当a＞0时，函数y＝x|x﹣a|与y＝4的图象如图：函数f（x）＝x|x﹣a|﹣4（a∈R）有3个零点，必须，解得a＞4；当a≤0时，函数y＝x|x﹣a|与y＝4的图象如图：函数f（x）＝x|x﹣a|﹣4不可能有三个不同的零点，综上a∈（4，+∞）．故答案为：（4，+∞）．【点睛】本题考查函数与方程的综合应用，考查数形结合以及分类讨论思想的应用，考查计算能力．8.若函数（）为偶函数，则的值为________【答案】【解析】【分析】根据题意，由函数奇偶性的定义可得f（﹣x）＝f（x），即log3（9x+1）+kx＝log3（9﹣x+1）+k（﹣x），变形可得k的值，即可得答案．【详解】根据题意，函数（k∈R）为偶函数，则有f（﹣x）＝f（x），即log3（9x+1）+kx＝log3（9﹣x+1）+k（﹣x），变形可得：2kx＝log3（9﹣x+1）﹣log3（9x+1）＝﹣2x，则有k＝﹣1；故答案为：﹣1【点睛】本题考查函数的奇偶性的应用以及对数的运算性质，关键是掌握函数奇偶性的定义，属于基础题．9.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________【答案】【解析】【分析】由已知中的三视图可得该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，由三视图的数据可分析出底面的底和高及棱锥的高，代入棱锥体积公式，可得答案．【详解】由已知中的三视图可得该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，如图:由三视图可知：底面的底和高均为2，棱锥的高为2，故底面S2×2故棱锥的体积V Sh2，故答案为．【点睛】本题考查的知识点是由三视图求体积，其中由已知中的三视图判断出几何体的形状，及棱长，高等几何量是解答的关键．10.在平面直角坐标系中，边长为1的正六边形的中心为坐标原点，如图所示，双曲线是以、为焦点的，且经过正六边形的顶点、、、，则双曲线的方程为________【答案】【解析】【分析】求出B的坐标，代入双曲线方程，结合焦距，求出a，b即可得到双曲线方程．【详解】由题意可得c＝1，边长为1的正六边形ABCDEF的中心为坐标原点O，如图所示，双曲线Γ是以C、F为焦点的，且经过正六边形的顶点A、B、D、E，可得B（，），代入双曲线方程可得：，a2+b2＝1，解得a2，b2，所求双曲线的方程为：．故答案为：．【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用以及双曲线方程的求法，是基本知识的考查．11.若函数，则的值为________【答案】【解析】【分析】根据题意，由函数的解析式求出f（0）与f（﹣1）的值，据此依次求出f（1）、f（2）、f（3）的值，分析可得f（x）＝f（x+6），（x>0），据此可得f（2019）＝f（3+336×6）＝f（3），即可得答案．【详解】根据题意，函数，当x≤0时，f（x）＝2﹣x，则f（0）＝20＝1，f（﹣1）＝2﹣1＝2，当x＞0时，f（x）＝f（x﹣1）﹣f（x﹣2），①f（x+1）＝f（x）﹣f（x﹣1），②①+②得f（x+1）＝﹣f（x﹣2），∴f（x+4）＝﹣f（x+1）= f（x﹣2），即f（x+6）＝f（x），，又f（2019）＝f（3+336×6）＝f（3）而f（1）＝f（0）﹣f（﹣1）＝1﹣2＝﹣1，f（2）＝f（1）﹣f（0）＝﹣1﹣1＝﹣2，f（3）＝f（2）﹣f（1）＝﹣2﹣（﹣1）＝﹣1，∴f（2019）＝f（3+336×6）＝f（3）＝﹣1；故答案为：﹣1．【点睛】本题考查分段函数值的计算，考查了周期性的推导与应用，属于中档题．12.过点作圆（）的切线，切点分别为、，则的最小值为________【答案】【解析】【分析】根据圆心到点P的距离以及平面向量的数量积定义，求出PC的最小值，计算再计算的最小值．【详解】圆C：（x m）2+（y﹣m+1）2＝1的圆心坐标为（m，m﹣1），半径为1，∴PC，PA＝PB，cos∠APC，∴cos∠APB＝2（）2﹣1＝1，∴•（PC2﹣1）×（1）＝﹣3+PC23+23+2，当且仅当PC时取等号，∴的最小值为23．故答案为：23．【点睛】本题考查了平面向量的数量积的定义及基本不等式求最值问题，考查了直线与圆的位置关系应用问题，是中档题．二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13.已知、是两个不同平面，为内的一条直线，则“∥”是“∥”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】m∥β不一定得到直线与平面平行，由此可判断不充分，由面面平行的定义及性质可判断必要性.【详解】α、β表示两个不同的平面，直线m⊂α，m∥β，不一定得到直线与平面平行，还有一种情况可能是直线和平面相交，∴不满足充分性；当两个平面平行时，由面面平行的定义及性质可知：其中一个平面上的直线一定平行于另一个平面，一定存在m∥β，∴满足必要性，∴“m∥β”是“α∥β”的必要不充分条件故选：B．【点睛】本题考查充分必要条件的判断和线面、面面平行的定义及性质的应用，解题的关键是熟练掌握平面与平面平行的判定与性质定理，是一个基础题．14.钝角三角形的面积是，，，则等于（）A. 1B. 2C.D. 5【答案】C【解析】【分析】由三角形的面积公式求得角B，再由余弦定理求得AC的值．【详解】由题意，钝角△ABC的面积是S•AB•BC•sin B1sin B sin B，∴sin B，∴B或（不合题意，舍去）；∴cos B，由余弦定理得：AC2＝AB2+CB2﹣2AB•CB•cos B＝1+2﹣2×1（）＝5，解得AC的值为．故选：C．【点睛】本题考查了三角形的面积公式和余弦定理的应用问题，是基础题．15.已知直线经过不等式组表示的平面区域，且与圆相交于、两点，则当最小时，直线的方程为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】画出不等式组表示的区域，过点P的直线l与圆C：x2+y2＝16相交于A、B两点，则|AB|的最小值时，区域内的点到原点（0，0）的距离最大．由此可得结论．【详解】不等式组表示的区域如图阴影部分，其中AB的中点为P，则AP⊥OP，所以|OP|最长时，AB最小，因为最小l经过可行域，由图形可知点P为直线x﹣2y+1＝0与y﹣2＝0的交点（3，2）时，|OP|最长，因为k OP，则直线l的方程为：y﹣2（x﹣4），即．故选：D．【点睛】本题考查线性规划知识，考查学生分析解决问题的能力，解题的关键是|AB|的最小值时，区域内的点到原点（0，0）的距离最大．16.已知等比数列的首项为2，公比为，其前项和记为，若对任意的，均有恒成立，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】S n•，①n为奇数时，S n•，根据单调性可得：S n≤2；②n为偶数时，S n•，根据单调性可得：≤S n．可得S n的最大值与最小值分别为：2，．考虑到函数y＝3t在（0，+∞）上单调递增，即可得出．【详解】S n•，①n为奇数时，S n•，可知：S n单调递减，且•，∴S n≤S1＝2；②n为偶数时，S n•，可知：S n单调递增，且•，∴S2≤S n．∴S n的最大值与最小值分别为：2，．考虑到函数y＝3t在（0，+∞）上单调递增，∴A．B．∴B﹣A的最小值．故选：B．【点睛】本题考查了等比数列的求和公式及数列单调性的判断和应用问题，考查了恒成立问题的转化，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17.已知函数（，）.（1）若函数的反函数是其本身，求的值；（2）当时，求函数的最小值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由互为反函数的函数定义域和值域互换得反函数解析式．（2）得到解析式后根据基本不等式求最小值．【详解】（1）由题意知函数f（x）的反函数是其本身，所以f（x）的反函数a y＝9﹣3x，x＝，反函数为y＝，所以a＝3．（2）当时，f（x）＝，f（﹣x）＝，则y＝f（x）+f（﹣x）＝﹣3，故最小值为﹣3．【点睛】本题考查了反函数和基本不等式的应用，属于简单题．18.如图，在多面体中，、、均垂直于平面，，，，.（1）求与平面所成角的大小；（2）求二面角的大小.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】由题意建立空间直角坐标系．（1）由已知分别求出的坐标与平面A1B1C1的一个法向量，则线面角可求；（2）求出平面AA1B1的一个法向量，结合（1），由两法向量所成角的余弦值可得二面角A﹣A1B1﹣C1的大小．【详解】由题意建立如图所示空间直角坐标系，∵AA1＝4，CC1＝3，BB1＝AB＝AC＝2，∠BAC＝120°，∴A（0，0，0），A1（0，0，4），B1（，﹣1，2），C1（0，2，3）．（1），，，设平面A1B1C1的一个法向量为，由，取y＝1，得．∴AB1与A1B1C1所成角的最小值sinθ＝|cos|．∴AB1与A1B1C1所成角的大小为；（2）设平面AA1B1的一个法向量为，由，取x1＝1，得．∴cos．∴二面角A﹣A1B1﹣C1的大小为．【点睛】本题考查利用空间向量法求解空间角，考查计算能力，是中档题．19.如图，一块长方形区域，，，在边的中点处有一个可转动的探照灯，其照射角始终为，设，探照灯照射在长方形内部区域的面积为. （1）求关于的函数关系式；（2）当时，求的最大值.【答案】（1）S（2）【解析】【分析】（1）根据条件讨论α的范围，结合三角形的面积公式进行求解即可．（2）利用两角和差的三角公式进行化简，结合基本不等式的性质进行转化求解即可．【详解】（1），则OA＝1，即AE＝tanα，∠HOFα，HF＝tan（α），则△AOE，△HOF得面积分别为tanα，tan（α），则阴影部分的面积S＝1，，当∈[，）时，E在BH上，F在线段CH上，如图②，EH，FH，则EF，则S（），即，；同理当，；即S．（2）当时，S＝12（1+tanα）∵0≤tanα≤1，即1≤1+tanα≤2，则1+tanα22，当且仅当1+tanα，即1+tanα时取等号，即，即S的最大值为2【点睛】本题主要考查函数的应用问题，结合三角形的面积公式以及两角和差的正切公式以及利用基本不等式的性质是解决本题的关键，考查学生的运算能力，属于中档题．20.设为抛物线的焦点，过点的直线与抛物线相交于、两点.（1）若，求此时直线的方程；（2）若与直线垂直的直线过点，且与抛物线相交于点、，设线段、的中点分别为、，如图，求证：直线过定点；（3）设抛物线上的点、在其准线上的射影分别为、，若△的面积是△的面积的两倍，如图，求线段中点的轨迹方程.【答案】（1）；（2）；（3）【解析】【分析】（1）求出抛物线的焦点坐标，由直线方程的点斜式写出直线l的方程，和抛物线方程联立后利用2得直线方程．（2由（1）得点P，又直线与直线垂直，将m换为,同理可得Q（，﹣）．由此可求直线PQ的方程，可得结论；（3）利用△的面积是△的面积的两倍，求出N的坐标，再利用直线的斜率公式及点差法求TS中点的轨迹方程．【详解】（1）抛物线焦点坐标为F（1，0），设直线方程为x＝my+1，设点A（x1，y1），B（x2，y2），联立，得：y2﹣4my﹣4＝0，则由韦达定理有：y1+y2＝4m，①，y1y2＝﹣4，②∵2，∴1﹣x1＝2（x2﹣1），﹣y1＝2y2，③，由①②③可得m2，∴,∴直线方程为x＝y+1，即．（2）由（1）得点P，又直线与直线垂直，将m换为,同理可得Q（，﹣）．m时，直线PQ的斜率k PQ，直线PQ的方程为：y-2m（x﹣1﹣2），整理为m（x﹣3）﹣（m2﹣1）y＝0，于是直线PQ恒过定点E（3，0），m＝±1时，直线PQ的方程为：x＝3，也经过点E（3，0）．综上所述：直线PQ恒过定点E（3，0）．（3）设S（x1，y1），T（x2，y2），F（1，0），准线为x＝﹣1，2||＝|y1﹣y2|，设直线TS与x轴交点为N，∴S△TSF|FN||y1﹣y2|，∵的面积是△TSF的面积的两倍，∴|FN|＝，∴|FN|=1,∴x N＝2，即N（2，0）．设TS中点为M（x，y），由得﹣＝4（x1﹣x2），又，∴，即y2＝2x﹣4．∴TS中点轨迹方程为y2＝2x﹣4．【点睛】本题考查了抛物线的标准方程及其几何性质的应用，考查轨迹方程的求解，考查了直线与抛物线的位置关系，考查了推理能力与计算能力，是中档题．21.设各项均为正数的数列的前项和为，且，（，），数列满足（）.（1）求数列、的通项公式；（2）设，是的前项和，求正整数，使得对任意的，均有；（3）设，且，其中（，），求集合中所有元素的和.【答案】（1），；（2）；（3）见解析.【解析】【分析】（1）①a1＝1，a n2＝S n+S n﹣1（n∈N*，n≥2），S n+1+S n，相减可得：a n+1+a n，化简利用已知条件及其等差数列的通项公式可得a n．②数列{b n}满足（n∈N*）．n≥2时，b1b2•…b n﹣1，相除可得b n．（2）c n，利用求和公式与裂项求和方法可得：T n．作差T n+1﹣T n，利用其单调性即可得出．（3）x＝k1b1+k2b2+…+k n b n，且x＞0，其中k1，k2，…，k n∈{﹣1，1}（n∈N*，n≥2），①要使x＞0，则必须k n＝1．其它k1，k2，…，k n﹣1∈{﹣1，1}（n∈N*，n≥2），可任取1，﹣1．通过放缩及其求和公式即可证明．另外k n＝1．此时：x≥﹣2﹣22﹣……﹣2n﹣1+2n＞0．②其它k1，k2，…，k n﹣1∈{﹣1，1}（n∈N*，n≥2），可任取1，﹣1．此时集合内的元素x共有2n﹣1个互不相同的正数，利用乘法原理可得：表示x的式子共有2n﹣1个．利用反证法证明这2n﹣1个式子所表示的x互不相等，再分析求解所有元素的和．【详解】（1）①a1＝1，a n2＝S n+S n﹣1（n∈N*，n≥2），∴S n+1+S n，相减可得：a n+1+a n，化为：（a n+1+a n）（a n+1﹣a n﹣1）＝0，∵a n+1+a n＞0，∴a n+1﹣a n＝1，又S2+S1，可得a2﹣2＝0，a2＞0，解得：a2＝2，∴a2﹣a1＝1，∴数列{a n}设等差数列，a n＝1+n﹣1＝n．②数列{b n}满足（n∈N*）．n≥2时，b1b2•…b n﹣1，∴．（2）c n，∴T n（1）．T n+1﹣T n（）．n≤3时，T n+1≥T n．n≥4时，T n+1≤T n．当m＝4时，使得对任意的n∈N*，均有T m≥T n．（3）x＝k1b1+k2b2+…+k n b n，且x＞0，其中k1，k2，…，k n∈{﹣1，1}（n∈N*，n≥2），①要使x＞0，则必须k n＝1．其它k1，k2，…，k n﹣1∈{﹣1，1}（n∈N*，n≥2），可任取1，﹣1．证明：若k n＝﹣1，则x＝k1•2+k2•22+…+k n﹣1•2n﹣1﹣k n•2n≤2+22+……+2n﹣1﹣2n2n ＝﹣2＜0，此时x恒为负数，不成立．∴k n＝1．此时：x≥﹣2﹣22﹣……﹣2n﹣1+2n2n＝2＞0，故k1，k2，…，k n﹣1∈{﹣1，1}（n∈N*，n≥2），可任取1，﹣1．②其它k1，k2，…，k n﹣1∈{﹣1，1}（n∈N*，n≥2），可任取1，﹣1．此时集合内的元素x共有2n﹣1个互不相同的正数．证明：k1，k2，…，k n﹣1∈{﹣1，1}（n∈N*，n≥2），利用乘法原理可得：表示x的式子共有2n﹣1个．下面证明这2n﹣1个式子所表示的x互不相等，具体如下：证明：假如这2n﹣1个式子所表示的x存在相等的数，x1＝2n+k n﹣1•2n﹣1+……+k2•22+k1•2＝x2＝2n•2n﹣1•22•2．k i ，∈{﹣1，1}（i∈N*，n﹣1≥i≥2），即满足k i∈{﹣1，1}（i∈N*，n﹣1≥i≥2）的第一组系数的下标数为m．则•2m•2m﹣1+（）•2m﹣2+……+（）•2，而|•2m﹣1+（）•2m﹣2+……+（）•2|≤2•2m﹣1+2•2m﹣2+……+2×2＝2m+1﹣4＜|•2m|＜2m+1．因此，假设不成立，即这2n﹣1个式子所表示的x互不相等．③这2n﹣1个x互不相等的正数x（每个均含k n b n＝2n）．又k i＝1或﹣1（i＝1，2，……，n﹣1）等可能出现，因此所有k i b i（i＝1，2，……，n﹣1）部分的和为0．故集合B中所有元素的和为所有k n b n＝2n的和，即2n•2n﹣1＝22n﹣1．【点睛】本题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式与求和公式、数学归纳法、方程与不等式的解法、反证法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．- 21 -。

2019届上海市青浦区⾼三⼆模数学试题及答案2019届上海市青浦区⾼三⼆模数学试题⼀、单选题1．已知，，则（）A．B．C．D．【答案】B【】根据函数与的值域得到和，再求交集即可得出结果.因为，，所以.故选B【】本题主要考查集合的交集，熟记概念即可，属于基础题型.2．已知是斜三⾓形，则“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分⼜不必要条件【答案】C【】根据充要条件的定义，结合正切函数的图像和性质，分析“若，则”与“若，则”的真假，即可得出结果.当时，若均为锐⾓，则，此时；若为钝⾓，则为锐⾓，，则，此时，综上：“”是“”的充分条件；当时，若均为锐⾓，则，此时；若为钝⾓，则为锐⾓，，则，满⾜条件；综上“”是“”的必要条件.所以，“”是“”的充要条件.【】本题主要考查充分条件与必要条件的判断、以及正切函数的性质，熟记充分条件与必要条件的概念等即可，属于常考题型. 3．已知曲线（是参数），过点作直线与曲线有且仅有⼀个公共点，则这样的直线有（）A．1条B．2条C．3条D．4条【答案】B【】先由曲线的参数⽅程消去参数，化为普通⽅程，再判断定点与曲线关系，进⽽可得出结果.由消去参数可得；⼜，因此点在双曲线右⽀的内部，由双曲线的特征可知，当直线分别与双曲线的两条渐近线平⾏时，满⾜直线与双曲线只有⼀个公共点，因此，这样的直线只有2条.故选B【】本题主要考查双曲线的特征以及直线与双曲线的位置关系，熟记双曲线的性质即可，属于常考题型.4．等差数列,满⾜，则（）A．的最⼤值为50 B．的最⼩值为50C．的最⼤值为51 D．的最⼩值为51【答案】A【】先根据题意可知中的项有正有负，不妨设，根据题意可求得，根据，去绝对值求和，即可求出结果.为等差数列，因为，所以中的项⼀定满⾜或，且项数为偶数，设，等差数列的公差为，⾸项为，不妨设，则，且，由可得，所以,因为，所以，所以，⽽，所以，故.故选A【】本题主要考查等差数列的性质，熟记等差数列的性质以及通项公式等即可，属于常考题型.⼆、填空题5．不等式的解集是________【答案】【】先移项通分得到，进⽽可求出结果.因为，所以，即，解得.故答案为【】本题主要考查分式不等式的解法，⼀般需要先移项再通分，进⽽求解，属于常考题型. 6．已知复数满⾜（其中为虚数单位），则________【答案】【】先由复数的除法运算求出，再根据模的计算公式即可求出结果.因为，所以，因此.故答案为【】本题主要考查复数的运算，熟记复数的除法运算法则、以及模的计算公式即可，属于基础题型.7．在平⾯直⾓坐标系中，在轴、y轴正⽅向上的投影分别是、4，则与同向的单位向量是________【答案】【】先由题中条件得到，再依题意设所求的单位向量坐标为，根据模为1，即可求出结果.因为在轴、y轴正⽅向上的投影分别是、4，所以；由题意设所求的单位向量坐标为，则，所以，因此所求向量的坐标为.故答案为【】本题主要考查向量的坐标表⽰、以及向量共线问题，熟记概念及公式即可，属于基础题型.8．在的⼆项展开式中，含有项的系数为________（结果⽤数值表⽰）【答案】【】先由⼆项展开式的通项公式得到，令，即可得出结果.因为的⼆项展开式的通项为，要求含有项的系数，只需令，所求系数为.故答案为【】本题主要考查指定项的系数，熟记⼆项式定理即可，属于基础题型.9．在平⾯直⾓坐标系中，若双曲线经过抛物线（）的焦点，则________【答案】【】根据双曲线的⼏何意义得到双曲线与抛物线的共同焦点为（，0），所以，，.双曲线中，a＝2，b＝1，c＝，双曲线与抛物线的共同焦点为（，0），所以，，故答案为：【】这个题⽬考查了抛物线和双曲线的⼏何意义，较为简单. ⼀般和抛物线有关的⼩题，很多时可以应⽤结论来处理的；平时练习时应多注意抛物线的结论的总结和应⽤。