上海市奉贤区2019高三一模数学试卷

上海市奉贤区2019届高三一模数学试卷
2018.12
一、填空题
1. 已知}13|{xxA，)}1lg(|{xyxB，则BA ；
2. 双曲线1322yx的一条渐近线的一个方向向量),(vud，则vu ；
3. 设函数cxfyx2)(的图像经过点)5,2(，则)(xfy的反函数)(1xf ；
4. 在5)2(xx的展开式中，x的系数为 ；
5. 若复数)43)((iiaz（i是虚数单位）的实部与虚部相等，则复数z的共轭复数的模
等于 ；
6. 有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本，若将其随机地摆放到书
架的同一层上，则同一科目的书都相邻的概率是 ；
7. 在ABC△中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，面积为S，若Scba3)(222，
则角B的值为 ；（用反正切表示）
8. 椭圆1422tyx上任意一点到其中一个焦点的距离恒大于1，则t的取值范围为 ；
9. 函数)(xg对任意的Rx，有2)()(xxgxg，设函数2)()(2xxgxf，且)(xf在区
间),0[上单调递增，若0)2()(2afaf，则实数a的取值范围为 ；
10. 天干地支纪年法，源于中国，中国自古便有十天干与十二地支。
十天干：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸
十二地支：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥
天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天
干由“甲”起，地支由“子”起，比如第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙
寅”，…，以此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，
之后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，…，以此类推，已知2016年为丙申年，那么到
改革开放100年时，即2078年为 年；

11. 点P在曲线192522yx上运动，E是曲线第二象限上的定点，E的纵坐标是815，
)0,0(O，)0,4(F
，若OEyOFxOP，则yx的最大值是 ；

12. 设),(11yxA，),(22yxB是曲线yxyx4222的两点，则1221yxyx的最大值为 ；

二、选择题
13. 下列以行列式表达的结果中，与)sin(相等的是（ ）

A. coscossinsin B. cossinsincos C. coscossinsin D. cossinsincos
14. 若空间中有四个点，则“这四个点中有三点在同一直线上”是“这四个点在同一平面上”
的（ ）
A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件
C. 充要条件 D. 非充分也非必要条件

15. 各项均为正数的等比数列}{na的前n项和为nS，若31limnnnnnaSaS，则q的取值范围是
（ ）
A. )1,0( B. ),2( C. ),2[]1,0( D. )2,0(

16. 若三个非零且互不相等的实数1x、2x、3x成等差数列且满足321211xxx，则称1x、2x、

3
x
成“等差数列”，已知集合},100|||{ZxxxM，则由M中的三个元素组成的所有

数列中，“等差数列”的个数为（ ）
A. 25 B. 50 C. 51 D. 100

三、解答题
17. 如图，三棱柱111CBAABC中，1AA底面ABC，ACAB，D是BC的中点。
（1）求证：BC平面11ADA；
（2）若90BAC，4BC，三棱柱111CBAABC的体积是38，
求异面直线DA1与1AB所成角的大小。
18. 函数)0,0()sin()(xAxf在一个周期内的图像经过)0,6(B，
)0,32(C，)1,4(D
三点，求)sin()(xAxf的表达式。

19. 入秋以来，某市多有雾霾天气，空气污染较为严重，市环保研究所对近期每天的空气污
染情况进行调查研究后发现，每一天中空气污染指数)(xf与时刻x（时）的函数关系为

12|)1(log|)(25aaxxf
，]24,0[x，其中a为空气治理调节参数，且)1,0(a。

（1）若21a，求一天中哪个时刻该市的空气污染指数最低；
（2）规定每天中)(xf的最大值最为当天空气污染指数，要使该市每天的空气污染指数不超
过3，则调节参数a应控制在什么范围内？
20. 已知抛物线2xy上的A、B两点满足2OBOA，点A、B在抛物线对称轴的左右两
侧，且A的横坐标小于零，抛物线顶点为O，焦点为F。
（1）当点B的横坐标为2，求点A的坐标；
（2）抛物线上是否存在点M，使得)0(||MOMF，若不存在，请说明理由；
（3）设焦点F关于直线OB的对称点是C，求当四边形OABC面积取得最小值时点B的坐
标。
21. 若对任意的正整数n，总存在正整数m，使得数列}{na的前n项和mnaS，则称数列
}{na
是“回归数列”。

（1）前n项和为nnS2的数列}{na是否是“回归数列”？请说明理由；
（2）设}{na是等差数列，首项11a，公差0d，若}{na是“回归数列”，求d的值；
（3）是否对任意的等差数列}{na，总存在两个“回归数列”}{nb和}{nc，使得nnncba
)(Nn
成立，请给出你的结论，并说明理由。