上海市上海中学2019-2020学年高三第一学期数学期中考试卷(简答)

12019-2020年上海市上海中学高一上期中一. 填空题1. 已知集合{1,0,2,3}U =-，{0,3}A =，则U A =ð2. 若关于x 的不等式||x a b +<（,a b ∈R ）的解集为{|24}x x <<，则ab =3. 命题“若2x =-，则230x x +<”的逆否命题是4. 若全集{1,2,3,4,5,6,7,8,9}U =，A 、B 为U 的子集，且(){1,9}U A B =I ð，{2}A B =I ，()(){4,6,8}U U A B =I 痧，则集合A =5. 已知集合{,,2}A a b =，2{2,,2}B b a =（,a b ∈R ），且A B =，则b =6. 若正实数x 、y 满足31x y +=，则xy 的最大值为7. 已知集合{|230}A x x =∈-≥R ，{|}B x x a =∈<R ，若A B =∅I ，则实数a 的取值范围为8. 已知x ∈R ，定义：()A x 表示不小于x 的最小整数，如(2)2A =，(0.4)1A =，( 1.1)1A -=-，(2())5A x A x ⋅=，则正实数x 的取值范围为9. ,a b ∈R ，||1a ≤，||1a b +≤，则(1)(1)a b ++的最大值为 ，最小值为10. 若使集合2(){|(6)(4)0,}A k x kx k x x =---≥∈Z 中元素个数最少，则实数k 的取值范围是 ，设B ⊆Z ，对B 中的每一个元素x ，至少存在一个()A k ，有()x A k ∈，则B =2二. 选择题1. 下列命题中正确的有（ ）① 很小的实数可以构成集合；② 集合2{|1}y y x =-与集合2{(,)|1}x y y x =-是同一个集合；③ 集合{(,)|0,,}x y xy x y ≤∈R 是指第二和第四象限内的点集；A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个2. 设0x >，0y >，下列不等式中等号能成立的有（ ）① 11()()4x y x y ++≥；② 11()()4x y x y ++≥；③2245x ≥+；④ 4x y xy ++≥； A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个3. 集合(2)0{|}||1x x A x x +>⎧=⎨<⎩，集合1{|0}|3|x B x x +=>-，则x A ∈是x B ∈的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件4. 使关于x 的不等式23(1)2(3)0x t x t t --+-≥恒成立的实数t （ ）A. 不存在B. 有且仅有一个C. 有不止一个的有限个D. 无穷多个三. 解答题31. 设0a >，0b >22a b b aa b +.2. 解下列不等式：（1）|1||21|1x x +-->；（2）21712xx x ≤-+.3. 据市场分析，某绿色蔬菜加工点月产量为10吨至25吨（包含10吨和25吨），月生产总成本y （万元）可以看成月产量x （吨）的二次函数，当月产量为10吨时，月总成本为20万元，当月产量为15吨时，月总成本最低为17.5万元.（1）写出月总成本y （万元）关于月产量x （吨）的函数解析式；（2）若[10,25]x ∈，当月产量为多少时，每吨平均成本最低？最低平均成本是多少万元？4. 已知命题：“存在{|11}x x x ∈-<<，使等式20x x m --=成立”是真命题.（1）求实数m 的取值集合M ；（2）设不等式()(2)0x a x a -+-<的解集为N ，若x N ∈是x M ∈的必要条件，求实数a 的取值范围.45. 已知二次函数21()f x x ax b =-+，22()f x x bx c =-+，23()f x x cx a =-+.（1）若3a =，2b =，1c =，解不等式组：123()0()0()0f x f x f x >⎧⎪>⎨⎪>⎩；（2）若,,{1,2,3,4}a b c ∈，对任意x ∈R ，证明：1()f x 、2()f x 、3()f x 中至少有一个非负；（3）设a 、b 、c 是正整数，求所有可能的有序三元组(,,)a b c ，使得1()0f x =，2()0f x =，3()0f x =均有整数根.参考答案一. 填空题1. {1,2}-2. 3-3. 若230x x +≥，则2x ≠-4. {2,3,5,7}5.12或1 6. 112 7. 32a ≤ 8. 514x <≤59.94，2- 10. (3,2)--，Z 二. 选择题1. A2. C3. A4. B三. 解答题1.22a b a b b a≥2.（1）1(,1)3；（2）(,2][6,)-∞+∞U .3.（1）21(15)17.5(1025)10y x x =-+≤≤； （2）当月产量为20吨时，每吨平均成本最低，最低平均成本是1万元.4.（1）1{|2}4M x x =-≤<；（2）94a >或14a <-. 5.（1）(,1)(2,)-∞+∞U ；（2）214ab ∆=-，224bc ∆=-，234c a ∆=-，相加得123∆+∆+∆=222(2)(2)(2)12a b c -+-+--，∵,,{1,2,3,4}a b c ∈，∴1230∆+∆+∆≤即1∆、2∆、3∆至少有一个小于等于0，∴1()f x 、2()f x 、3()f x 中至少有一个非负；（3）(4,4,4)，(6,8,7)，(7,6,8)，(8,7,6). 由判别式大于等于0，及(1)0f ≥可得24a b ≥，24b c ≥，24c a ≥，1a b ≤+，1b c ≤+，1c a ≤+，4a ≥，4b ≥，4c ≥，6∴12a b a -≤≤+，21a c a -≤≤+，∴222(2)124(2)a a b a --≤-≤-，∵24a b -为平方数，∴当9a ≥时，224(2)1a b a b a -=-⇒=-，同理可得当9b ≥时，12c b a =-=-，此时21()10f x x ax a =-+-=两根为1和1a -，21()10f x x bx b =-+-=两根为1和1b -，23()(2)0f x x a x a =--+=无整数解，不符.故9a ≥不满足题意；当8a ≤时，讨论可得(4,4,4)，(6,8,7)，(7,6,8)，(8,7,6)符合.。

上海市 2019-2020 年度高一上学期数学期中考试试卷 A 卷姓名:________班级:________成绩:________一、 单选题 (共 12 题；共 24 分)1. （2 分） 下列函数中，是偶函数且在上为减函数的是（ ）A.B.C.D.2. （2 分） (2020 高一下·崇礼期中) 已知向量 共线，则 m 的值为（ ）A . -3 B.3C.D. 3. （2 分） (2019 高一上·吉林期中) 函数 A . (2, ) B . (-∞,2)∪(2,3） C . (2,3）∪(3,+∞) D . (3,+∞)，若向量与向量的定义域是（ ）4. （2 分） (2019 高一上·双鸭山期中) 函数第 1 页 共 10 页的值域是（ ）A. B. C. D. 5. （2 分） (2019 高一上·双鸭山期中) 下列四组函数中，表示同一函数的是（ ）A.，B.，C.，D.，6. （2 分） (2019 高一上·双鸭山期中) 已知函数 A.2，且，则 的值是（ ）B. C . 2或 D . 2或7. （2 分） (2019 高一上·双鸭山期中) 已知，A.B.C.D.，，则（ ）8. （2 分） (2019 高一上·合肥月考) 若函数满足第 2 页 共 10 页，则的解析式为（ ）A. B. C. D. 9. （2 分） (2019 高一上·双鸭山期中) 函数的图象大致是（ ）A. B. C.D.10. （2 分） (2019 高一上·双鸭山期中) 若幂函数 f（x）=（m2–3m–3）xm 在（0，+∞）上为增函数，则 实数 m=（ ）A.4B . –1第 3 页 共 10 页C.2 D . –1 或 411. （2 分） (2019 高一上·双鸭山期中) 若函数的取值范围是（）A.B.在定义域上是单调递增函数，则C.D.12. （2 分） (2019 高一上·双鸭山期中) 设奇函数有的及任意的都满足在上是增函数，且，则 的取值范围是（ ），若对所A.B. C. D.二、 填空题 (共 4 题；共 4 分)13. （1 分） 设 n= 10sinxdx，则（ ﹣ ）n 展开式中的常数项为________ （用数字作答）14. （1 分） (2019 高一上·西城期中) 已知，，则的值为________.15.（1 分）(2019 高三上·牡丹江月考) 已知实数满足，则的最大值为________．16. （1 分） (2016 高三上·嘉兴期末) 设，实数第 4 页 共 10 页满足若 的最大值是0，则实数 =________， 的最小值是________．三、 解答题 (共 6 题；共 65 分)17. （10 分） 已知函数 f（x）=﹣alnx（a∈R）．（1） 若 f（x）在 x=2 时取得极值，求 a 的值；（2） 求 f（x）的单调区间．18. （10 分） (2019 高一上·唐山期中) 设全集为 ,，．求.19.（10 分）设数列{an}是公比小于 1 的正项等比数列，Sn 为数列{an}的前 n 项和，已知 S2=12，且 a1 ，a2+1， a3 成等差数列．（1） 求数列{an}的通项公式；（2） 若 bn=an•（n﹣λ），且数列{bn}是单调递减数列，求实数 λ 的取值范围．20. （10 分） (2020·新课标Ⅲ·理) 设 a，b，c R，a+b+c=0，abc=1．（1） 证明：ab+bc+ca<0；（2） 用 max{a，b，c}表示 a，b，c 中的最大值，证明：max{a，b，c}≥ ． 21. （10 分） (2016 高一上·青海期中) 已知函数 f（x）的定义域是（0，+∞），并在定义域内为减函数，且 满足 f（xy）=f（x）+f（y），及 f（4）=1， （1） 求 f（1）； （2） 解不等式 f（﹣x）+f（3﹣x）≥1．22. （15 分） 在中，角所对的边分别为，且满足，.（1） 求的面积；第 5 页 共 10 页（2） 若、的值.第 6 页 共 10 页一、 单选题 (共 12 题；共 24 分)1-1、 2-1、 3-1、 4-1、 5-1、 6-1、 7-1、 8-1、 9-1、 10-1、 11-1、 12-1、二、 填空题 (共 4 题；共 4 分)13-1、 14-1、 15-1、参考答案第 7 页 共 10 页16-1、三、 解答题 (共 6 题；共 65 分)17-1、17-2、18-1、第 8 页 共 10 页19-1、19-2、 20-1、 20-2、 21-1、第 9 页 共 10 页21-2、 22-1、 22-2、第 10 页 共 10 页。

位育中学高一期中数学卷一.填空题1.设全集U R =．若集合{}1,2,3,4A =，{}|23x x B =≤≤，则U A C B ⋂= ． 【答案】{}1,4 【解析】因为{32}U C B x x x =<或，所以{}4,1U A C B ⋂= 考点：集合运算2.函数()1x f x -=的定义域为_______________ 【答案】[1,2)(2,)⋃+∞ 【解析】函数()1x f x -=，有：1020x x -≥⎧⎨-≠⎩，解得1x ≥且2x ≠.所以定义域为：[)()1,22,⋃+∞.3.函数2()2f x x x =-+的单调递增区间为________ 【答案】(,1]-∞ 【解析】 【分析】先求出函数的对称轴，再结合函数图像的开口方向写出函数的单调递增区间【详解】因为2()2f x x x =-+是图像开口向下的二次函数，其对称轴为1x =，所以()f x 的单调递增区间为(,1]-∞. 故答案为：(,1]-∞.【点睛】本题主要考查二次函数的单调区间，二次函数单调区间的求解主要关注其图像的开口方向和对称轴，侧重考查直观想象的核心素养.4.已知集合{||1|2,}A x x x =-≤∈Z ，则集合A 的非空子集个数为________个【答案】31 【解析】 【分析】先求出集合A 的元素，从而求出其非空子集个数.【详解】因为|1|2x -≤，所以212x -≤-≤，所以13x -≤≤，所以有{}{|13,}1,0,1,2,3A x x x =-≤≤∈=-Z ，则集合A 中元素有5个，则集合A 的非空子集个数为52131-=.故答案为：31.【点睛】本题主要考查集合子集个数问题，确定集合子集个数的关键是确定集合的所有元素，然后利用公式可求，若集合含有n 个元素，则其子集有2n 个，非空子集有21n -个，真子集有21n -个.5.命题“若5a b +≤，则3a ≠或3b ≤”为________命题（填“真”或“假”） 【答案】真 【解析】 【分析】先写出原命题的逆否命题，再由逆否命题的真假，即可得出原命题的真假.【详解】命题“若5a b +≤，则3a ≠或3b ≤”的逆否命题为“若3a =且3b >，则5a b +>”，易知该命题成立，再由命题与其逆否命题等价，可得命题“若5a b +≤，则3a ≠或3b ≤”成立.故答案为：真.【点睛】本题主要考查四种命题，命题真假的判定可以直接根据命题来判定，也可以通过它的等价命题来判定，侧重考查逻辑推理的核心素养. 6.已知函数22()32x xx f x x x x ⎧-<=⎨-≥⎩，若()2f x =-，则x =________【答案】2 【解析】 【分析】分段函数已知函数值求自变量，分段代入函数值，讨论即可. 【详解】若2x <，则2x x -=-，可得x 无解；若2x ≥，则232x x -=-，求得2x =或1x =（舍去）.故答案为：2.【点睛】本题主要考查分段函数的求值问题，已知函数值求解自变量时，要根据分段情况进行讨论求解，侧重考查数学运算的核心素养.7.已知定义在R 上的函数()f x 为奇函数，且0x >时，2()23f x x x =+-，则0x <时，()f x =________【答案】223x x -++ 【解析】 【分析】求0x <的解析式()f x ，可先求出()f x -的解析式，再利用奇函数()f x 与()f x -的关系求出()f x .【详解】设0x <，则0x ->，所以2()23f x x x -=--，又因为()f x 为定义在R 上的奇函数，所以()2()23f x f x x x =--=-++.故答案为：223x x -++.【点睛】本题主要考查利用奇偶性求解函数的解析式，主要利用转化法把所求转化到已知区间，结合奇偶性可得，侧重考查数学抽象的核心素养. 8.已知,x y +∈R 且41y x +=，则y x的最大值为________ 【答案】116【解析】 【分析】由题意可得41y x =+≥，变形可求y x的最大值，注意等号成立的条件即可.【详解】因为,x y +∈R 且41y x +=，所以41y x =+≥14≤，即116y x ≤， 当且仅当4y x =，即8x =且12y =时取等号，此时y x 取最大值为116.故答案为：116. 【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，利用基本不等式求解最值时，要注意不等式的使用条件“一正，二定，三相等”，尤其不要忘记验证等号成立，侧重考查逻辑推理的核心素养.9.若关于x 的不等式22kx x k >--的解集为R ，则k 的取值范围是________ 【答案】1k > 【解析】 【分析】恒成立问题求k 的取值范围，分别讨论0k =和0k ≠时是否符合题意，进一步由2440k k >⎧⎨∆=-<⎩求出k 的取值范围. 【详解】由题意，即求对于任意x ∈R ，不等式220kx x k ++>恒成立. 当0k =时，不等式为20x >，解得0x >，不符合题意；当0k ≠时，满足题意，需满足20440k k >⎧⎨∆=-<⎩，解得1k >.故答案为：1k >. 【点睛】本题主要考查不等式的恒成立问题，二次型不等式恒成立一般成立策略是：先验证二次项为零时是否成立，再结合二次函数图像的开口方向及零点情况可求，侧重考查直观想象的核心素养. 10.关于x的不等式01x a bx +>-解集是(1,2)-，则20x bx a-≥+的解集为________ 【答案】(2,2]- 【解析】 【分析】先利用不等式的解集与对应方程根的关系，求出,a b 的值，然后再求20x bx a-≥+的解集即可. 【详解】关于x 的不等式01x abx +>-可化为()()10x a bx +->，则()()10x a bx +->的解集为(1,2)-，所以()()1=0x a bx +-的两个解为1,2-.则有0(1)(1)0(2)(21)0b a b a b <⎧⎪---=⎨⎪+-=⎩，所以2,1a b =-=-.所以易求202x x -≥--的解集为(2,2]-.故答案为：(2,2]-.【点睛】本题主要考查分式不等式的求解，分式不等式一般转化为整式不等式求解，注意转化的等价性；利用不等式的解集与其对应方程的根的关系，能简便的求解参数，侧重考查数学运算的核心素养.11.设集合A 、B 是实数集R 的子集，[2,0]AB =-R，[1,2]BA =R，()()[3,5]A B =R R ，则A =________【答案】(,1)(2,3)(5,)-∞+∞【解析】 【分析】 根据条件()()[3,5]A B =R R 可得()(),35,AB =-∞+∞，结合[1,2]BA =R的意义，可得集合A .【详解】因为集合A 、B 是实数集R 的子集，若AB =∅,则[2,0]AB A =-=R，[1,2]BA B ==R，但不满足()()[3,5]A B =R R ，所以A B ⋂≠∅.因为()()[3,5]A B =R R ,所以()()()[3,5]AB A B ==R R R ，所以有()(),35,A B =-∞+∞.又因为[1,2]BA =R表示集合B 的元素去掉集合A 中的元素，()(),35,A B =-∞+∞表示A 集合和B 集合中的所有元素，所以把()(),35,AB =-∞+∞中的元素去掉[1,2]BA =R中元素，即为所求的集合A ，所以(,1)(2,3)(5,)A =-∞+∞.故答案为：(,1)(2,3)(5,)-∞+∞.【点睛】本题主要考查集合的运算，根据集合的运算性质可求也可借助数轴或者韦恩图求解，侧重考查逻辑推理的核心素养.12.已知关于x 的不等式2(6)(4)0mx m x --+<（其中m ∈R ）的解集为A ，若满足A B =Z （其中Z 为整数集），则使得集合B 中元素个数最少时m 取值范围是________【答案】23m ≤≤ 【解析】 【分析】先对m 分类讨论，利用一元二次不等式的解法求出解集确定出A ，再根据A B =Z （其中Z为整数集），写出当集合B 中元素个数最少时m 的取值范围. 【详解】分情况讨论：当0m =时，()640x -+<，解得{}4A x x =>-；当0m <时，()2640m x x m ⎛⎫+-+> ⎪⎝⎭，266=4m m m m ++≤--，解得26m A x x m ⎧+⎪=<⎨⎪⎩或}4x >-；当0m >时，()2640m x x m ⎛⎫+-+< ⎪⎝⎭，解得264m A x x m ⎧⎫+⎪⎪=-<<⎨⎬⎪⎪⎩⎭. 因为AB =Z ，集合B 中元素个数最少，所以0m ≤不符合题意；当0m >时，2664m m m m +=+≥>，所以要使集合B 中元素个数最少，需要265m m+≤，解得23m ≤≤.故答案为：23m ≤≤.【点睛】本题主要考查不等式的解法，不等式的整数解问题需要关注边界值的影响，稍有难度，侧重考查逻辑推理和数学运算的核心素养. 二.选择题13.若a b >，c d >，则下列不等式中正确的是（ ） A.a bd c> B. ac bd > C. a c b d +>+D.a cb d ->-【答案】C 【解析】 【分析】由条件利用不等式的性质可得a c b d +>+，其它选项可利用特值法检验排除. 【详解】因为a b >，c d >，由不等式的性质可得a c b d +>+，故C 正确； 令2,1,1,2a b c d ===-=-，所以1,1a b d c =-=-，所以a bd c=，故A 错；2ac bd =-=,故B 错；3a c b d -==-，故D 错. 故选：C .【点睛】本题主要考查不等式的性质，熟记不等式的性质是求解的关键，特值法也是求解选择题的常用方法，侧重考查逻辑推理的核心素养. 14.“11x<”是“1x >”的（ ）条件 A. 充分非必要 B. 必要非充分C. 充要D. 既非充分也非必要 【答案】B 【解析】 【分析】先解11x<，得0x <或1x >，由0x <或1x >和1x >的关系可得答案. 【详解】因为11x<，所以110x -<，所以10x x ->，可得0x <或1x >，于是有0x <或1x >是1x >的必要非充分条件，所以“11x<”是“1x >”的必要非充分条件.故选：B.【点睛】本题主要考查充要条件的判定，化简不等式是求解关键，熟记四类条件的判定方法是求解的前提，侧重考查逻辑推理的核心素养.15.下列函数是奇函数且在[1,)+∞上单调递增的是（ ）A. 1y x=B. 2yx C. 2y x x=+D.1y x x=-【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与单调性，便可得到答案. 【详解】对于A ，1y x=是奇函数，但在[1,)+∞上单调递减，不符合题意； 对于B ，2yx 是偶函数，不符合题意；对于C ，2y x x=+是奇函数，但在[1,)+∞上先减再增，不符合题意； 对于D ，1y x x=-是奇函数，且在[1,)+∞上单调递增，所以正确.故选：D. 【点睛】本题主要考查函数的性质，奇偶性判定一般利用定义可判定，单调性结合常见函数的单调性可以判定，侧重考查数学抽象的核心素养.16.记方程①：2110x a x ++=，方程②：2220x a x ++=，方程③：2340x a x ++=，其中1a ，2a ，3a 是正实数．当1a ，2a ，3a 成等比数列时，下列选项中，能推出方程③无实根的是（ ）A. 方程①有实根，且②有实根B. 方程①有实根，且②无实根C. 方程①无实根，且②有实根D. 方程①无实根，且②无实根【答案】B 【解析】当方程①有实根，且②无实根时，22124,8a a ≥<，从而4222321816,4a a a =<=即方程③：2340x a x ++=无实根，选B.而A,D 由于不等式方向不一致，不可推；C 推出③有实根考点：不等式性质三.解答题17.若a +∈R ，b +∈R ，且a b <，试比较44a b -与3322a b ab -的大小. 【答案】443322a b a b ab -<-. 【解析】 【分析】利用作差比较法来比较大小，44a b -33322()()a b ab a b a b -+=+-，结合,a b 的大小可得. 【详解】443322222222()()2()a b a b ab a b a b ab a b --+=-+--2223()()()()a b a b a b a b =--=+-因为a +∈R ，b +∈R ，且a b <，所以0a b +>，0a b -< 所以443322a b a b ab -<-.【点睛】本题主要考查作差比较法比较大小，作差、变形、定号是求解的主要步骤，侧重考查逻辑推理的核心素养.18.解关于x 的不等式：2(1)10ax a x +--<.【答案】当1a <-时，解集为1(,1)(,)a-∞-+∞；当1a =-时，解集为(,1)(1,)-∞-⋃-+∞；当10a -<<时，解集为1(,)(1,)a-∞-+∞；当0a =时，解集为(1,)-+∞；当0a >时，解集为1(1,)a-. 【解析】 【分析】通过对a 分类讨论，并且利用一元二次不等式的解法即可得出答案. 【详解】不等式2(1)10ax a x +--<可化为：()()110ax x -+<. 当0a >时，不等式化为()110x x a ⎛⎫-+< ⎪⎝⎭，解得11x a-<<； 当0a =时，不等式化为10x --<，解得1x >-；当0a <时，不等式化为()110x x a ⎛⎫-+> ⎪⎝⎭，若110a -<<，即1a <-，解得1x <-或1x a>； 若11a=-，即1a =-，解得1x ≠-； 若11a<-，即10a -<<，解得1x >-或1x a <；综上所述：当1a <-时，解集为1(,1)(,)a-∞-+∞；当1a =-时，解集为(,1)(1,)-∞-⋃-+∞；当10a -<<时，解集为1(,)(1,)a-∞-+∞；当0a =时，解集为(1,)-+∞；当0a >时，解集为1(1,)a-.【点睛】本题主要考查分类讨论求解不等式，分类的依据主要有开口方向，根的大小等，侧重考查逻辑推理的核心素养.19.某商场预计全年分批购入电视机3600台，其中每台价值2000元，每批购入的台数相同，且每批均需付运费400元，储存购入的电视机全年所付保管费与每批购入的电视机的总价值（不含运费）成正比，比例系数为k ，若每批购入400台，则全年需要支付运费和保管费共43600元. （1）求k 的值；（2）请问如何安排每批进货的数量，使支付运费与保管费的和最少？并求出相应最少费用.【答案】（1）0.05k =；（2）每批进货120台，支付运费与保管费的和最少，最少费用为24000元. 【解析】 【分析】（1）根据每批购入400台的需要支付运费和保管费共43600元可求k 的值；（2）先求解关于进货量的所支付的费用之和，结合解析式的特点求解最值即可. 【详解】（1）由题意，当每批购入400台时，全年的运费为36004003600400⨯=， 每批购入的电视机的总价值为4002000800000⨯=（元），所以保管费为800000k ⋅（元） 因为全年需要支付运费和保管费共43600元，所以360080000043600k +⋅=，解得0.05k =. （2）设每批进货x 台，则运费为36001440000400x x⨯=，保管费为0.052000100x x ⨯=， 所以支付运费与保管费的和为1440000100x x +， 因为144000010024000x x +≥=，当且仅当1440000100x x =，即120x =时取到等号，所以每批进货120台，支付运费与保管费的和最少，最少费用为24000元.【点睛】本题主要考查基本不等式的实际应用，构建数学模型是求解的关键，注意不等式求解最值时的条件，侧重考查数学建模的核心素养.20.已知函数2()(1)f x ax a x =+-，其中a 为常数且a ∈R . （1）若函数()f x 为奇函数，求实数a 的值；（2）若函数()f x 在[0,2]x ∈上单调递减，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）0a =；（2）15a ≤. 【解析】 【分析】（1）利用奇函数的定义可求实数a 的值；（2）结合函数的图象，观察对称轴和区间的位置关系可求.【详解】（1）因为函数()f x 为奇函数，所以()()f x f x -=-，而22()()(1)()(1)f x a x a x ax a x -=-+--=--，所以0a =.经检验符合题意.（2）当0a =时，()f x x =-，符合题意；当0a >时，若函数()f x 在[0,2]x ∈上单调递减，则有122a a --≥，解之得105a <≤； 当0a <时，若函数()f x 的对称轴102a x a -=-≤，符合题意； 综上可得15a ≤. 【点睛】本题主要考查函数的性质，利用奇偶性求解参数时，一般是利用奇偶性的定义求解，也可以利用特殊的函数值求解；已知函数的单调性求解参数时，要注意数形结合21.如果存在常数c （0c ≠），对于任意x ∈R ，都有()()f x c f x +>成立，那么称该函数为“()P c 函数”.（1）分别判断函数()2f x x =，2()g x x =是否为“(1)P 函数”，若不是，说明理由；（2）若函数3()f x ax x =+是“(1)P 函数”，求实数a 的取值范围；（3）记所有定义在R 上的单调函数组成的集合为M ，所有函数()P c 组成的集合为N ，求证：M N .【答案】（1）()f x 是“(1)P 函数”，()g x 不是“(1)P 函数”；详见解析（2）0a ≥；（3）证明见解析【解析】【分析】（1）根据()P c 函数的定义逐个检验可得；（2）根据题意可得(+1)()0f x f x ->恒成立，结合恒成立问题可求；（3）结合单调函数的定义可证单调函数均为()P c 函数，通过特殊函数可得()P c 函数不一定是单调函数，所以可证结论.【详解】（1）因为()2f x x =，所以(+1)2+2f x x =，所以(+1)()f x f x >，故()2f x x =是“(1)P 函数”； 因为(+1)()21g x g x x -=+不恒大于0，所以()g x 不是“(1)P 函数”.（2）因为函数3()f x ax x =+是“(1)P 函数”，所以332(+1)()=(1)(1)3310f x f x a x x ax x ax ax a -+++--=+++>恒成立， 当0a =时，显然成立；当0a ≠时，需要20912(1)0a a a a >⎧⎨-+<⎩，解之得0a >， 综上可得0a ≥.（3）证明：若()f x 为单调递增函数，则0c >时，都有()()f x c f x +>成立；若()f x 为单调递减函数，则0c <时，都有()()f x c f x +>成立；所以单调函数一定是()P c 函数，即M N .反之，()P c 函数不一定是单调函数，比如，取整函数[]()f x x =是(1)P 函数，但是它不是单调函数.综上可得M N .【点睛】本题主要考查新定义问题，结合题目环境，精准把握定义是求解的关键，虽然是新定义，但还是考查旧知识，转化回归到熟悉的问题是求解这类问题的关键.。

2019-2020年上海市建平中学高一上期中一. 填空题1. 已知全集{5,6,7,8,9}U =，{6,7,8}A =，那么U A =ð2. 不等式2101x x +<-的解集是 3. 命题“若0xy ≠，则0x ≠且0y ≠”的逆否命题是4. 已知函数2220190()0x x f x x x ⎧-≤=⎨->⎩，则(2)f = 5. 若“x a >”是“5x >”的充分非必要条件，则实数a 的取值范围是6. 若,x y +∈R ，且4xy =，则4x y +的最小值是7. 函数y =的定义域是8. 设函数2460()60x x x f x x x ⎧-+≥=⎨+<⎩，则不等式()3f x >的解集是9. 若函数()f x =的定义域为R ，则实数m 的取值范围是10. 若2{|(2)10,}A x x m x x =+++=∈R ，且A +=∅R I ，则m 的取值范围是11. 关于x 的不等式2|3||1|5x x a a +--≤-的解集不是∅，则实数a 的取值范围为12. 已知,x y +∈R ，21x y +=，可以利用不等式1ax x +≥42ay y +≥0a >） 求得14x y +的最小值，则其中正数a 的值是二. 选择题13. 对于集合M 、N ，若MN ，则下面集合的运算结果一定是空集的是（ ） A. U M N ð B. U M N ð C. U U M N 痧I D. M N I14. 如果a 、b 、c 满足c b a <<且0ac <，那么下列选项中不一定成立的是（ ）A. ab ac >B. 22cb ab <C. ()0c b a ->D. ()0ac a c -<15. 若集合2{|540}A x x x =-+<，{|||1}B x x a =-<，则“(2,3)a ∈”是“B A ⊆”的（ ）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分又不必要条件16. 已知A 与B 是集合{1,2,3,,100}⋅⋅⋅的两个子集，满足：A 与B 的元素个数相同，且A BI为空集，若n A ∈时总有22n B +∈，则集合A B U 的元素个数最多为（ ）A. 62B. 66C. 68D. 74三. 解答题17. 解不等式组|3|1(1)(5)0x x x ->⎧⎨--≥⎩.18. 已知：a 、b 是正实数，求证：22a b a b b a+≥+.19. 若()f x x=()g x =()()()F x f x g x =+. （1）分别求()f x 与()g x 的定义域；（2）求()F x 的定义域与值域；（3）在平面直角坐标系内画出函数()F x 的图像，并标出特殊点的坐标.20. 设集合2{|10}A x x =-=，集合2{|0,}B x x ax b x =-+=∈R ，且B ≠∅.（1）若B A ⊆，求实数a 、b 的值；（2）若A C ⊆，且2{1,21,}C m m =-+，求实数m 的值；21. 按照某学者的理论，假设一个人生产某产品单件成本为a 元，如果他卖出该产品的单价 为m 元，则他的满意度为m m a +，如果他买进该产品的单价为n 元，则他的满意度为n n a +， 如果一个人对两种交易（卖出或买进）的满意度分别为1h 和2h ，则他对这两种交易的综合现假设甲生产A 、B 两种产品的单件成本分别为12元和5元，乙生产A 、B 两种产品的单件成本分别为3元和20元，设产品A 、B 的单价分别为A m 元和B m 元（根据经济学常识，212A m ≤≤，520B m ≤≤），甲买进A 与卖出B 的综合满意度为h 甲，乙卖出A 与买 进B 的综合满意度为h 乙.（1）求h 甲和h 乙关于A m 、B m 的表达式，当35A B m m =时，求证：h h =乙甲； （2）设35A B m m =，当A m 、B m 分别为多少时，甲、乙两人的综合满意度均最大？最大 的综合满意度为多少？（3）记（2）中最大的综合满意度为0h ，试问能否适当选取A m 、B m 的值，使得0h h ≥甲和0h h ≥乙同时成立，但等号不同时成立？试说明理由.参考答案一. 填空题1. {5,9}2. 1{|1}2x x -<< 3. 若0x =或0y =，则0xy = 4. 4- 5. (5,)+∞ 6. 8 7. (2,)+∞ 8. (3,1)(3,)-+∞U 9. 1[,)4+∞ 10. (4,)-+∞11. (,1][4,)-∞+∞U12. 9+二. 选择题13. A 14. B 15. A 16. B三. 解答题17. [1,2)(4,5]U18. 证明略.19.（1）()f x 的定义域为(0,)+∞，()g x 的定义域为(0,2)(2,)+∞U ；（2）()F x 的定义域 是(0,2)(2,)+∞U ，()F x 的值域是[2,)+∞；（3）1()F x x x=+，(0,2)(2,)x ∈+∞U . 20.（1）若{1}B =，则2a =，1b =；若{1}B =-，则2a =-，1b =；若{1,1}B =-， 则0a =，1b =-；（2）0m =或1m =.21.（1）h =甲h =乙[3,12]A m ∈，[5,20]B m ∈）； 证明略；（2）当12A m =，20B m =（3）不存在满足条件的A m 、B m 的值.。

上海市闵行区闵行中学2019-2020年高一上学期期中考试数学一.填空题1.已知集合{}1,0,1,2P =-，集合{}1,2,3,4Q =，则P Q ⋂= ；【答案】{}1,2。

【解析】交集就是由两个集合的公共元素组成的集合。

2.已知集合2{1,1,4}M m m =++，如果5M ∈且2M -∉，那么m =________【答案】4或1或1-【解析】【分析】根据元素与集合的关系,可得关于m 的方程,解方程且满足5M ∈且2M -∉,即可求得m 的值。

【详解】集合2{1,1,4}M m m =++,5M ∈且2M -∉所以若15m +=,解得4m =若245m ,解得1m =±所以m 的值为4或1或1-故答案为: 4或1或1-【点睛】本题考查了元素与集合的关系,根据元素属于集合求参数,属于基础题.3.已知21(1)()(1)(1)x x f x f x x -<⎧=⎨-≥⎩，则(3)f =________ 【答案】1-【解析】【分析】根据分段函数的定义域,代入即可求得(3)f 的值. 【详解】因为21(1)()x x f x -<⎧=⎨所以(3)(2)(1)f f f ==(0)1f ==-故答案为:1-【点睛】本题考查了求分段函数的值,注意自变量的取值范围,属于基础题.4.若关于x 的不等式0x b x a -<-的解集是(2,3)，则a b +=________ 【答案】5【解析】【分析】根据不等式与方程的关系,将不等式转化为方程,求得a b 、的值,即可求得+a b 的值. 【详解】因为不等式0x b x a-<-的解集是(2,3) 即2,3x x ==是方程()()0x b x a --=的解所以2,3b a ==或2,3a b ==则5a b +=故答案为:5【点睛】本题考查了不等式与方程的关系,根据不等式的解集求参数,属于基础题.5.函数13y x x =-+________【答案】1{|}3x x ≤≤-【解析】【分析】根据二次根式有意义的条件,即可求得函数的定义域. 【详解】函数13y x x =-+所以满足1030x x -≥⎧⎨+≥⎩解不等式可得31x -≤≤ 所以函数13y x x =-+{}3|1x x -≤≤故答案为: {}3|1x x -≤≤【点睛】本题考查了函数定义域的求法,注意二次根式有意义的条件,属于基础题.6.“2a =”是“集合{(,)|}{(,)|||}x y y x a x y y a x =+=的子集恰有4个”的________条件（填充分不必要、必要不充分、充要、既不充分又不必要之一）【答案】充分不必要【解析】【分析】将2a =代入函数解析式, 画出函数图像,根据交点个数即可判断是否有4个子集;根据有有4个子集,可知两个函数有2个交点,即可求得a 的取值范围,进而判断充分必要性.【详解】当2a =时,集合为{(,)|2}x y y x =+,{(,)|2||}x y y x =,画出两个函数图像如下图所示:由图像可知, 2y x =+与2y x =有2个交点,所以{(,)|}{(,)|||}x y y x a x y y a x =+=有两个元素.则有4个子集,所以是充分性若集合{(,)|}{(,)|||}x y y x a x y y a x =+=的子集恰有4个,则两个函数必有2个交点,满足条件的得a 的取值范围为1a >,所以是非必要性综上可知, “2a =”是“集合{(,)|}{(,)|||}x y y x a x y y a x =+=的子集恰有4个”的充分不必要条件故答案为: 充分不必要【点睛】本题考查了充分必要条件的简单应用,注意问题最后不是求的交点个数,而是交集的子集个数,属于中档题.7.如果2属于关于x 的不等式2(21)(1)0x k x k k -+++<的解集，则实数k 的取值范围是________【答案】(1,2)【解析】分析】将不等式因式分解后,求得解集,由元素与集合的关系即可求得实数k 的取值范围.【详解】因为2(21)(1)0x k x k k -+++<即()1()0x k x k -+-<⎡⎤⎣⎦所以不等式的解集为1k x k <<+因为()2,1k k ∈+所以212k k <⎧⎨+>⎩,解不等式组可得12k << 故答案为:(1,2)【点睛】本题考查了含参数一元二次不等式的解法,元素与集合的关系,属于基础题.8.任意两个正整数x 、y ，定义某种运算⊗：()()x y x y x y x y x y +⎧⊗=⎨⨯⎩与奇偶相同与奇偶不同，则集合{(,)|6,,}M x y x y x y =⊗=∈*N 中元素的个数是________【答案】9【解析】【分析】根据正整数的奇偶,讨论x y 、的不同取值情况:若一奇一偶,则取6xy =;若都是奇数或都是偶数,则取6x y +=,列举出所有可能即可.【详解】集合{(,)|6,,}M x y x y x y =⊗=∈*N若x y 、一奇一偶,则取6xy =,此时所有个数为16x y =⎧⎨=⎩,23x y =⎧⎨=⎩,32x y =⎧⎨=⎩,61x y =⎧⎨=⎩,此时(),x y 共有4个; 若x y 、都是偶数,则取6x y +=,此时所有个数为24x y =⎧⎨=⎩,42x y =⎧⎨=⎩,此时共(),x y 有2个; 若x y 、都是奇数,则取6x y +=,此时所有个数为15x y =⎧⎨=⎩,33x y =⎧⎨=⎩, 51x y =⎧⎨=⎩此时(),x y 共有3个; 综上可知,满足条件的元素共有9个.故答案为:9【点睛】本题考查了新定义运算与集合的综合应用,注意分析题意并正确理解新定义是解决此类问题的关键,属于中档题.9.已知直角三角形的面积为2，则它的周长的最小值为________【答案】422+【解析】【分析】设出直角三角形的两条边长,根据面积用一条边表示出另外一条边长,即可表示出周长,结合基本不等式即可求得最小值.【详解】设直角三角形的两条边长分别为a 、b , 则122ab =,即4ab =,22a b +所以周长为22l a b a b =++ 由基本不等式可知22l a b a b =++22ab ab ≥824422≥=+当且仅当a b =时取等号 所以周长的最小值为422+故答案为: 422+【点睛】本题考查了基本不等式的简单应用,积定求和的最小值,属于中档题.10.若函数2()1f x ax ax =++的定义域为R ，则实数a 的取值范围是_______.【答案】04a ≤<【解析】210ax ax ++> 对于x ∈R 恒成立，当0a = 时，10> 恒成立；当0a ≠时，200440a a a a >⎧⇒<<⎨∆=->⎩，综上04a ≤< .11.若关于x 的不等式|2||1|x x a -≥++的解集不是∅，则实数a 的最大值是________【答案】3【解析】将不等式变形,并构造函数()21f x x x =--+,对x分类讨论,求得不同x 取值范围内解析式.画出函数图像,并根据图像求得a 的取值范围.【详解】不等式21x x a -≥++ 变形为21x x a --+≥构造函数()21f x x x =--+当1x <-时, ()()()213f x x x =--++=当12x -≤≤时, ()()()2121f x x x x =---+=-+当2x >时, ()()()213f x x x =--+=-即()3213f x x ⎧⎪=-+⎨⎪-⎩1122x x x <--≤≤>,画出函数图像如下图所示:因为()21f x x x a =--+≥不是空集,即()21f x x x a =--+≥有解所以从图像可知, 3a ≤即实数a 的最大值是3故答案为:3【点睛】本题考查了分类讨论绝对值不等式相关问题,将不等式转化为函数,结合图像来分析参数取值是常用方法,属于基础题.12.已知有限集12{,,,}(2,)n A a a a n n =⋅⋅⋅≥∈N ，如果A 中元素(1,2,,)i a i n =⋅⋅⋅满足1212n n a a a a a a ++⋅⋅⋅+=⨯⨯⋅⋅⋅⨯，就称A 为“完美集”.①集合{1,3,13}---+不是“完美集”；②若1a 、2a 是两个不同的正数，且12{,}a a 是“完美集”，则1a 、2a 至少有一个大于2；③二元“完美集”有无穷多个；④若i a ∈*N ，则“完美集”A 有且只有一个，且3n =；其中正确的结论是________(填上你认为正确的所有结论的序号)【答案】②③④【解析】【分析】 对于①,根据定义检验((1,313--+-+与((1,313--⨯-是否相等即可.对于②根据韦达定理即可判断是否正确.对于③根据②可知,二元完美集可以看成一元二次方程对应的两个根,所以有无数组.对于④,检验当3n =时,求得完美集的个数;同时检验当4n ≥时不存在完美集即可.【详解】对于①, 根据定义.则((1,3132--+-=-,((1,3132-⨯-+=- 则()(((1,3131,313--+-=-⨯-+,所以集合{1,3,13}---+是“完美集”,则①错误; 对于②,设12120a a a a t +==>,由韦达定理可知 12,a a 可以看成一元二次方程20x tx t -+=则240t t ∆=->,解得4t >或0t <(舍)即124a a >,所以至少有一个大于2,所以②正确;对于③,根据②可知一元二次方程20x tx t -+=当t 取不同值时, 12,a a 的值是不同的.而4t >有无穷多个值,因而二元“完美集”有无穷多个,所以③正确;对于④,设123n a a a a <<⋅⋅⋅< ,则123123n n n a a a a a a a a na ⋅⋅⋅=+++⋅⋅⋅+<所以1231n a a a a n -⋅⋅⋅<所以当3n =时, 123a a <因为a ∈*N所以只能是121,2a a ==,由123123a a a a a a =++代入解得33a =,所以此时完美集只有一个为{}1,2,3,所以④正确;故答案为: ②③④【点睛】本题考查了元素与集合的关系,正确理解题意解决问题的关键,对理解能能力和分析解决问题能力要求较高,属于难题.二.选择题13.“12019x y >⎧⎨>⎩”是“20202019x y xy +>⎧⎨>⎩”的（ ）条件 A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充要D. 既不充分也不必要 【答案】A【解析】【分析】根据不等式及运算即可判断充分性,由特殊值即可判断非必要性.【详解】若12019x y >⎧⎨>⎩,则不等式左右两边分别相加,可得2020x y +> 两边分别相乘可得2019xy >,所以是充分条件若100000.9x y =⎧⎨=⎩,满足不等式组20202019x y xy +>⎧⎨>⎩成立,但12019x y >⎧⎨>⎩不成立,所以不是必要条件 综上可知, “12019x y >⎧⎨>⎩”是“20202019x y xy +>⎧⎨>⎩”的充分不必要条件 故选:A 【点睛】本题考查了不等式的基本性质,注意特殊值法在判断中的应用,属于基础题.14.下列四个图象中，是函数图象的是( )A. (1)B. (1)(3)(4)C. (1)(2)(3)D. (3)(4)【答案】B【详解】试题分析：根据函数的定义，对于x 在某一范围内的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与它对应，所以(1)(2)不对．故选：B考点：函数的概念．15.下列结论正确的是（ ）A. 命题“若a b <，则a c b c +<+”为假命题B. 命题“若x A B ∈，则x B ∈”的否命题为假命题C. 命题“若0mn <，则方程20mx x n -+=有实根”的逆命题为真命题D. 命题“若05x <<，则|2|3x -<”的逆否命题为真命题【答案】D【解析】【分析】根据不等式性质,可判断A;根据集合关系及否命题定义,可判断B;根据方程有实数根的条件,即可判断C;逆否命题与原命题真假一致,所以判断原命题的真假即可判断D. 【详解】对于A,由不等式性质”不等式两边同时加上或减去同一个数,不等号方向不变”可知A 为真命题,所以A 错误; 对于B,命题的否命题为 “若x A B ∉,则x B ∉”,根据集合关系可知命题为真命题,所以B 错误; 对于C,逆命题为 “若方程20mx x n -+=有实根,则0mn <”,根据方程有实数根,140mn ∆=-≥,可得14mn ≤,所以为假命题,C 错误; 对于D,当05x <<时,不等式|2|3x -<成立所以命题为真命题.而逆否命题与原命题真假一致,所以逆否命题也为真命题,所以D 正确. 故选:D 【点睛】本题考查了原命题、逆命题、否命题及逆否命题间的关系,命题真假的判断,属于基础题。

1上海中学2023学年第一学期高三年级数学期中2023.11一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第16∼题每题4分,第7-12题每题5分） 1．若集合{}12,A x x x N =−<≤∈，{},,B x x ab a A b A ==∈∈，则集合B 的非空真子集的个数为______． 2．函数()f x =______．3．函数12y x x =+−−的值域是______． 4．关于x 的不等式4131xx <−的解是______． 5．已知函数1101()f x x=，若()()182f a f a −<−，则a 的取值范围是______． 6．设()f x 是定义在R 上以2为周期的偶函数，当[]0,1x ∈时，()2()log 1f x x =+，则当[]1,2x ∈时，()f x =______．7．若2(n )si x f x x =+，则0()limh f h h→=______． 8．已知存在[]11,3x ∈，对任意[]21,1x ∈−，不等式2121423x x a x +≥++成立，则实数a 的取值范围是______．9．设函数()24,()2,ax x af x x x a−+< = −≥ 存在最小值，则实数a 的取值范围是______． 10．已知正实数a ，b 满足1a b +=，则()()2214a b ab+++的最小值为______．211．已知正实数a ，b 满足221125a b +=______．12．给定一张()21n ×+的数表（如下表），统计1a ，1a ，⋅⋅⋅，n a 中各数出现次数．若对任意0k =，1，⋅⋅⋅，n ，均满足数k 恰好出现n a ，次，则称之为1n +阶自指表，举例来说，下表是一张4阶自指表． 0123⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 1n −n0a 1a2a3a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅1n a −n a0 1 2 3 121对于如下的一张7阶自指表．记654320123456101010101010N a a a a a a a =++++++，N 的所有可能值为______． 01234560a 1a 2a 3a 4a 5a 6a二、选择题(本大题共有4题,满分20分,每题5分) 13．已知1sin 62πθ+=，则2cos 3πθ+=（ ）． A ． B C ．12−D ．1214．设函数(),(,)f a bx x c a b c Z x =++∈，则点()()()22f f −，不可能在函数 （ ）的图像上．A ．2023y x =+B ．2024y x =+C ．2023y x= D ．2024y x=15．从商业化书店到公益性城市书房，再到“会呼吸的文化森林”——图书馆，建设高水平、3现代化、开放式的图书馆一直以来是大众的共同心声，现有一块不规则的地，其平面图形如图1所示，8AC =（百米），建立如图2所示的平面直角坐标系，将曲线AB看成函数()f x =图像的一部分，BC 为一次函数图像的一部分，若在此地块上建立一座图书馆，平面图为直角梯形CDEF （如图2），则图书馆占地面积（万平方米）的最大值为（ ）A ．2B ．1169 CD ．35227 16．已知定义在R 上的函数()f x ，()g x ，()h x 依次是严格增函数、严格减函数与周期函数，记{}()max (),(),()K x f x g x h x =．则对于下列命题： �若()K x 是严格增函数，则()()K x f x =； �若()K x 是严格减函数，则()()K x g x =；�若()K x 是周期函数，则()()K x h x =．正确的有（ ） A ．无一正确 B ．�� C ．� D ．���三、解答题(共5道大题,其中17题14分,18题14分,19题14分,20题16分,21题18分,共计76分)17.（本题满分14分.本题共2小题,第（1）小题7分,第（2）小题7分.) 已知:31x m α<−或x m >−，:2x β<或4x ≥． （1）若α是β的充分条件，求实数m 的取值范围； （2）若α是β的必要条件，求实数m 的取值范围．418．(本题满分14分.本题共2小题，第（1）小题8分,第（2）小题6分.) 已知0a >，关于x 的不等式223bx x c a +≤+≤． （1）若{}{},,1,0,1a b c =−，且2c c >，求解该不等式；（2）若该不等式解集为[]2,3，求a 的取值范围．19．(本题满分14分.本题共2小题，第（1）小题8分,第（2）小题6分.) 设实数a ，b ，c 满足1a b c ++=． （1）若a ，b ，c 均为正实数，求111111a b c  −−−   的最小值； （2）求()()()222112a b c −++++的最小值．520.（本题满分16分.)已知a R ∈，函数()xf x e ax =−，()lng xax x =−． （1）当a e =时，若斜率为0的直线l 是()g x 的一条切线，求切点的坐标； （2）若()f x 与()g x 有相同的最小值，求实数a ．21.（本题满分18分.本题共有3个小题,第（1）小题满分4分,第（2）小题满分6分,在第(3)小题满分8分)给定自然数i ．称非空集合A 为减i 集，若A 满足： （i ）*A N ⊆，{1}A ≠；（ii ）对任意x ，*y N ∈，只要x A y +∈，就有xy A i −∈．问： （1）直接判断{}1,2P =是否为减0集，是否为减1集；（2）是否存在减2集?若存在，求出所有的减2集；若不存在，请说明理由； （3）是否存在减1集?若存在，求出所有的减1集；若不存在，请说明理由．6参考答案一、填空题1.14;2.()2,+∞;3.[]3,3−; 4. ()3,4; 6.()2log 3x −;; 9.[]0,2; 10.36； 11.12512.3211000 11．已知正实数a ，b 满足221125a b +=______． 【答案】125【解析】由2222221125a b a b a b++==,则222225a b a b +=,且,0a b >, 341555b a ab+−∣ 令110,0x y a b=>=>,1435x y xy +−,且2225x y +=, 22252x y xy ∴+=…,即252xy …,仅当xy ==,对于43t x y xy xy =+−≥−恒成立,当且仅当43x y =,即3,4x y ==时,等号成立, 综上,若k =,则(2212y k k −=−−+,而0−>−,即12t =,即11,34a b ==时,等号成立,112555tt=≥,仅当12t=,即11,34a b==时,等号成立,∴目标式最小值为125.二、选择题13.C 14.A 15.D 16.D15．从商业化书店到公益性城市书房，再到“会呼吸的文化森林”——图书馆，建设高水平、现代化、开放式的图书馆一直以来是大众的共同心声，现有一块不规则的地，其平面图形如图1所示，8AC=（百米），建立如图2所示的平面直角坐标系，将曲线AB看成函数()f x=图像的一部分，BC为一次函数图像的一部分，若在此地块上建立一座图书馆，平面图为直角梯形CDEF（如图2），则图书馆占地面积（万平方米）的最大值为（）A．2 B．1169 C D．35227【答案】D【解析】(1)由图可知,直线AB过点()4,4B,所以4=解得2k=,所以曲线AB方程为())04f x x=≤≤;设函数BC的解析式为y ax b=+,由直线过点()()4,4,8,0B C,得4408a ba b=+=+,解得1,8a b=−=,所以BC的解析式为8(48)y x x=−+<…,所以折线ABC的函数解析式为()4;8,48xf xx x≤≤=−+<≤78(2)设(),0D t ,则04t <<,所以E y =,又F Ey y ==,所以8F x =−+,得8F x =−,则8EF t =−−,又8,DC t DE =− 所以())31221188221622CDEFS DE EF DC t t t t t =+=×−−+−=−−+梯形 设()31222216(04)g t t t t t =−−+<<,则()1213822g t t t −′=−+− 令()1609g t t =⇒=′,当1609x <<时,()0g t ′>,函数()g t 单调递增,当1049x <<时,()0g t ′<,函数()g t 单调递减, 所以()16352927max g t g== ,即梯形CDEF 的面积的最大值为35227. 故选D 三．解答题17.（1）(],4−∞ （2）1,4+∞18.（1）（2）19.（1）8 (2) 320.（1）（221.（本题满分18分.本题共有3个小题,第（1）小题满分4分,第（2）小题满分6分,在第(3)小题满分8分)给定自然数i ．称非空集合A 为减i 集，若A 满足： （i ）*A N ⊆，{1}A ≠；（ii ）对任意x ，*y N ∈，只要x A y +∈，就有xy A i −∈．问： （1）直接判断{}1,2P =是否为减0集，是否为减1集；（2）是否存在减2集?若存在，求出所有的减2集；若不存在，请说明理由；9（3）是否存在减1集?若存在，求出所有的减1集；若不存在，请说明理由．【答案】（1）P 是“减0集”不是“减1集”.（2）不存在，理由见解析（3）存在，理由见解析【解析】（1）{}*,1,112P N P P ⊆≠+=∈ ,110,P P ×−∈∴是“减0集”同理,{}*,1,112P N P P ⊆≠+=∈ ,111,P P ×−∉∴不是“减1集”.（2）不存在，理由如下：假设存在A 是“减2集”,则若x y A +∈,那么2xy A −∈,�当2x y xy +=−时,有()()113x y −−=,则,x y 一个为2,一个为4,所以集合A 中有元素6 但是33,332A A +∈×−∉,与A 是“减2集”,矛盾;�当2x y xy +≠−时,则1x y xy +=−或者(2)x y xy m m +=−>,若1,1x y xy m +=−=时M 为除1以外的最小元素,则1,1x M y =−=时,23xy M −−小于M ,如果要符合题意必须4M =,此时取2x =,2,22y xy =−=不属于A ,故不符合题意.2m >时,()()111x y m −−=+,同样得出矛盾.综上可得:不存在A 是“减2集”.（3）存在“减1集”{}.1A A ≠.假设1A ∈,则A 中除了元素1以外,必然还含有其它元素. 假设2,11A A ∈+∈,而111A ×−∉,因此2A ∉.假设3,12A A ∈+∈,而121A ×−∈,因此3A ∈.因此可以有{}1,3A =. 假设4,13A A ∈+∈,而131A ×−∉,因此4A ∉.假设5,14,141A A A ∈+∈×−∈,235,231A +=×−∈,因此5A ∈. 因此可以有{}1,3,5A =.以此类推可得:{}()*1,3,5,,21,,,A n n N =……−……∈{}{}{}*:1,3,1,3,5,|21,A x x k k N =−∈以及的满足以下条件的非空子集。

上海市宜川中学2019届高三第一学期期中考试数学试卷22y x +的最小值为12.设函数⎩⎨⎧>≤=-0,10,2)(x x x f x ，则满足)2()1(x f x f <+的实数x的取值范围是二、选择题（本大题4小题，每小题5分，满分20分）13.下列函数中，既是偶函数，又在区间（1，2）内单调递增的为（ ）A.R x x y ∈=,2cosB.0,|,|log 2≠∈=x R x x yC.Rx e e y x x ∈-=-,2D.Rx xy ∈+=,1314.设a 、b ∈R ，则“ab ≠0”是“1||||||≤++b a b a ”成立的（ ）条件A.充分非必要B.必要非充分C.充分且必要D.非充分非必要 15.关于函数21)(sin )32()(2||+-=x x f x ，有下面四个结论：（1）f(x)为非奇非偶函数 （2）f(x)有无数个零点（3）f(x)的最大值是23 （4）f(x)的最小值是21- 其中正确的结论个数为（ ）A.1个B.2个C.3个D.4个 16.设n nna2sin 22sin 21sin 2+⋅⋅⋅++=，对任意正整数m 、n （m>n ）都成立的是（ ）A.mm n a a21||<- B.mm n a a21||>- C.nm n a a21||<-D.nm n a a21||>-三、解答题（本大题共5小题，每一问均需写出必要的步骤，满分76分）17.（本题14分，第一问7分，第二问7分） 在正方体1111D C B A ABCD -中，E 、F 分别是BC 、11D A 的中点，如图（1）求证：点B 1、E 、D 、F 共面； （2）求异面直线DC 1与AE 所成角的大小. 18.（本题14分，第一问7分，第二问7分） 已知不等式5)1(42+≤+k k，其中x 、k 均为实数.（1）若3=x ，解关于k 的不等式；（2）若对任意实数k ，上述不等式恒成立，求x 的取值范围.19.（本题14分，第一问6分，第二问8分） 如图，A 、B 、C 、D 都在同一个与水平面垂直的平面内，B 、D 为两岛上的两座灯塔的塔顶，侧量船于水面A 处测得B 和D 点的仰角分别为75°、30°，于水面C 处测得B 点和D 点的仰角均为60°，AC=1千米。

1上海中学2024学年第一学期高三年级数学期中2024.11一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）1.若集合{}1,0,1,5,10,20,{|1}A B x lgx =-=<,则A B ⋂=.2.已知全集U R =,集合{}{}|0,||1|3A x x a ,x R B x x ,x R =+≥∈=-≤∈.若()[]24U C A B ,⋂=-,则实数a 的取值范围是.3.已知幂函数()f x 的图像过点222⎛ ⎪⎝⎭,则()f x 的定义域为.4.若函数()(f x xln x =+是偶函数,则a =.5.已知0a >,则()()141a a a--的最小值为.6.已知函数()22f x x log x =+:则不等式()()120f x f +-<的解集为.7.设,,a b c 都是正实数,则"1abc ="是"a b c ++≥"的条件.8.已知函数()()212f x lg x ax =-+在[]13,-上是减函数,则实数a 的取值范围是.9.已知当[]11a ,∈-时,不等式()24420x a x a +-+->恒成立,则x 的取值范围为.10.已知函数()2f x +=,当(]01x ,∈时，()2f x x =,若在区间(]11,-内()()()1g x f x t x =-+有两个不同的零点,则实数t 的取值范围是.11.设,b c 均为实数,关于x 的方程0bx c x++=在区间[)1,+∞上有解,则22b c +的取值范围是.12.设[],01a b ,∈,记()()1111a b S a b b a=++--++,则它的最大值和最小值的差为.2二、选择题（本大题共4题，满分18分，第13-14题4分，第15-16题5分）13.若0a b <<,则下列不等式恒成立的是（）.A.11a b> B.a b-> C.22a b > D.33a b <14.已知函数()()22,01,0x x ax a x f x e ln x x ⎧---<⎪=⎨++≥⎪⎩是R 上的严格增函数,则实数a 的取值范围是（）.A.(]0,-∞B.[]10,-C.[]11,- D.[)0,+∞15.若12,x x 是方程280x ax ++=的两相异实根,则有（）.A.122,2x x >> B.123,3x x >>C.12x x -≤D.12x x +>16.已知定义在R 上的函数()(),f x g x 的导数满足()()''f x g x ≤,给出两个命题:（1）对任意12,x x R ∈,都有()()()()1212f x f x g x g x -≤-;（2）若()g x 的值域为[]()(),1,1m,M f m f M -==,则对任意x R ∈都有()()f x g x =.则下列判断正确的是（）.A.(1)(2)都是假命题B.(1)(2)都是真命题C.(1)是假命题,(2)是真命题D.(1)是真命题，(2)是假命题三、解答题（本大题共有5题，满分78分）17.(本题满分14分)已知三个集合:(){}22|581A x R log x x =∈-+=,{}22822{|21},|190xx B x R C x R x ax a +-=∈==∈-+->.（1）求A B ⋃;（2）已知,A C B C ⋂≠∅⋂=∅,求实数a 的取值范围.318.(本题满分14分)记函数()f x =的定义域为()()(),21A g x lg x b ax ⎡⎤=-+⎣⎦(0,)b a R >∈的定义域为B .（1）求集合A ;（2）若A B ⊆,求,a b 的取值范围.19.（本题满分14分）某个体户计划经销,A B 两种商品，据调查统计，当投资额为()0x x ≥万元时，在经销,A B 商品中所获得的收益分别为()f x 万元与()g x 万元，其中()()()()12(0),6(0)f x a x a g x ln x b b =-+>=+>.已知投资额为零时,收益为零.（1）试求出,a b 的值;（2）如果该个体户准备投入5万元经营这两种商品，请你帮他制定一个资金投入方案，使他能获得最大收益，并求出其收入的最大值.（精确到0.1万元）加入高中数学资料QQ 群734924357，获取更多精品资料！420.(本题满分18分)已知函数()()()(),,0;b f x ln ax g x ln x a b R ==>∈.（1）若,1a e b ==-,求()()f x g x ⋅的最大值;（2）若2a =，求关于x 的不等式()()0g x f x ≤的解集；（3）记()()()F x f x g x =+，对于给定的实数b ，若存在x 满足()1F x ≤，求a 的取值范围.加入高中数学资料QQ 群734924357，获取更多精品资料！521.（本题满分18分）若定义在R 上的函数()y f x =和()y g x =分别存在导函数()'f x 和()'g x .且对任意x 均有()()''f x g x ≥，则称函数()y f x =是函数()y g x =的"导控函数".我们将满足方程()()''f x g x =的0x 称为"导控点"（1）试问函数y x =是否为函数y sinx =的"导控函数"?（2）若函数32813y x x =++是函数3213y x bx cx =++的"导控函数"，且函数3213y x bx cx =++是函数24y x =的"导控函数",求出所有的"导控点";（3）若()x x p x e ke -=+，函数()y q x =为偶函数，函数()y p x =是函数()y q x =的"导控函数"，求证："1"k =的充要条件是"存在常数c 使得()()p x q x c -=恒成立。

金山中学2019学年度第一学期高一年级数学学科期中考试卷一、填空题(本大题共有12题,满分54分)只要求直接填写结果,1-6题每个空格填对得4分,7-12题每个空格填对得5分,否则一律得零分）1.集合{},,A a b c =有_______个子集.【答案】8【分析】集合{a ，b ，c }的子集是指属于集合的部分或所有元素组成的集合，包括空集得到结论．【详解】集合{a ，b ，c }的子集有：∅，{a }，{b }，{c }，{a ，b }，{a ，c }，{c ，b }，{a ，b ，c }共8个．故答案为：8【点睛】本题考查集合的子集个数问题，对于集合M 的子集问题一般来说，若M 中有n 个元素，则集合M 的子集共有2n个．2.不等式11x -<的解集是 .【答案】(0,2)由11102x x -<-<⇒<<.3.已知命题P 是“若实数a 、b 满足1a >且2b >，则3a b +>”,则命题P 的否命题是________.【答案】若实数a 、b 满足1a ≤或2b ≤，则3a b +≤【分析】直接由否命题的定义得到结论.【详解】由否命题的定义既否条件又否结论得：“若1a >且2b >，则3a b +>”的否命题为“若a ≤1或b ≤2，则a +b ≤3”，故答案为：若实数a 、b 满足1a ≤或2b ≤，则3a b +≤【点睛】本题考查四种命题的关系，考查了否命题的形式，注意含“且”的命题，否定时要变为“或”，是易错题．4.已知集合{|A x y ==，2{|}B y y x ==，则A B =I ________【答案】[0,1]【分析】求出集合A,B ，即可得到A B ⋂.【详解】由题集合{{}[]||11 1.1,A x y x x ===-≤≤=- 集合[)2{|}{|0}0.,B y y x y y ===≥=+∞故[]0,1A B ⋂=.故答案为[]0,1.【点睛】本题考查集合的交集运算，属基础题5.已知,,a b c ∈R ，则“a b >”是“22ac bc >”的_________条件(填:充分非必要、必要非充分、充分且必要、非充分非必要)【答案】必要非充分【分析】当c ＝0时，a >b ⇏ac 2>bc 2；当ac 2＞bc 2时，说明c ≠0，有c 2＞0，得ac 2>bc 2⇒a >b ．显然左边不一定推导出右边，但右边可以推出左边．【详解】必要不充分条件当c ＝0时，a >b ⇏ac 2>bc 2；反之当ac 2＞bc 2时，说明c ≠0，则c 2＞0，得ac 2>bc 2⇒a >b ．显然左边不一定推导出右边，但右边可以推出左边，所以“a b >”是“22ac bc >”的必要非充分条件.故答案为：必要非充分．【点睛】本题考查了充分必要条件的判断，解题的关键是充分利用不等式的基本性质是推导不等关系，是基础题．6.已知11a b -<<<，则-a b 的取值范围是________【答案】(2,0)-【分析】作出可行域，目标函数z=a-b 可化b=a-z ，经平移直线可得结论． 【详解】作出11a b -<<<所对应的可行域，即1111a b a b -<<⎧⎪-<<⎨⎪<⎩（如图阴影），目标函数z=a-b 可化为b=a-z ，可看作斜率为1的直线，平移直线可知，当直线经过点A （1，-1）时，z 取最小值-2，当直线经过点O （0，0）时，z 取最大值0，∴a -b 的取值范围是()2,0-，故答案为：()2,0-．【点睛】本题考查线性规划，准确作图是解决问题的关键，属中档题．7.已知函数3()1f x ax bx =++，且(2)f -=3，则(2)f = ．【答案】－1试题分析：设3()()1g x f x ax bx =-=+，则()g x 是奇函数，(2)(2)1312g f -=--=-=，所以(2)(2)2g g =--=-，即(2)12f -=-，(2)1f =-．考点：函数的奇偶性．8.已知不等式250ax x b -+>的解集是{}|32x x -<<-，则不等式250bx x a -+>的解集是_________. 【答案】11(,)23--【分析】根据不等式250ax x b -+>的解集是{}|32x x -<<-，求得,a b 的值，从而求解不等式250bx x a -+>的解集，得到答案.【详解】由题意，因为不等式250ax x b -+>的解集是{}|32x x -<<-， 可得53(2)(3)(2)a b a ⎧-+-=⎪⎪⎨⎪-⨯-=⎪⎩，解得1,6a b =-=-， 所以不等式250bx x a -+>为26510x x --->，即2651(31)(21)0x x x x ++=++<，解得1123x -<<-， 即不等式250bx x a -+>的解集为11(,)23--.【点睛】本题主要考查了一元二次不等式的解法，其中解答中根据三个二次式之间的关键，求得,a b 的值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.9.某班有50名学生报名参加A 、B 两项比赛，参加A 项的有30人，参加B 项的有33人，且A 、B 都不参加的同学比A 、B 都参加的同学的三分之一多一人，则只参加A 项，没有参加B 项的学生有__人.【答案】9【分析】利用方程思想，设A 、B 都参加的同学为x 人，则可分别得到只参加A ，不参加B ，只参加B ，不参加A ，以及AB 都不参加的人数，然后利用人数关系建立方程，求解即可．【详解】设A 、B 都参加的同学为x 人，则只参加A ，不参加B 的为30x -，只参加B ，不参加A 的为33x -，则AB 都不参加的人数为()50303313x x x x --++-=-．因为A 、B 都不参加的同学比A 、B 都参加的同学的三分之一多一人， 所以1313x x --=，解得21x =． 所以只参加A 项，没有参加B 项的学生有30219-=．故答案为：9【点睛】本题主要考查集合元素关系的运算，利用维恩图是解决此类问题的基本方法，比较基础．10.若关于x 的不等式2(2)2(2)40a x a x -+--<的解集是R ,则实数a 的取值范围是_______.【答案】(2,2]-【分析】对x 2的系数分类讨论：当a ＝2时，直接得出；当a ≠2时，根据二次函数的图象性质，得到关于a 的不等式组，解出即可．【详解】当a ＝2时，不等式化为﹣4＜0对于任意实数x 都成立，因此a ＝2满足题意； 当a ≠2时，要使关于x 的不等式（a ﹣2）x 2+2（a ﹣2）x ﹣4＜0的解集为R ， 则()()220421620a a a -⎧⎪⎨=-+-⎪⎩V ＜＜， 化为()()2220a a a ⎧⎨-+⎩＜＜， 解得﹣2＜a ＜2． 故答案为（﹣2，2]． 【点睛】本题考查了不等式的恒成立问题，考查二次函数的图象与性质、分类讨论的基础知识与基本技能方法，属于基础题． 11.已知函数24()6f x x x =+-，22()32g x x ax a =-+（0a <），若不存在实数x 使得()1f x >和()0<g x 同时成立，则a 的取值范围是________ 【答案】1(,2][,0)2-∞-⋃- 【分析】通过f （x ）＞1和g （x ）＜0，求出集合A 、B ，利用A∩B=∅，求出a 的范围即可．【详解】由f （x ）＞1，得246x x+-＞1，化简整理得()()(2)1 0(3)2x x x x -+-+＜ ，解得2123x x --＜＜或＜＜，即()1f x >的解集为A={x|-2＜x ＜-1或2＜x ＜3}． 由g （x ）＜0得x 2-3ax+2a 2＜0，即（x-a ）（x-2a ）＜0，g （x ）＜0的解集为B={x|2a ＜x ＜a ，a ＜0}．由题意A∩B =∅，因此a≤-2或-1≤2a＜0，故a 的取值范围是{a|a≤-2或-12≤a＜0}． 即答案为][1,2,02⎛⎫-∞-⋃- ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查分式不等式的解法，二次不等式的解法，集合的交集运算，考查分析问题解决问题的能力．12.已知数集12{,,,}n A a a a =⋅⋅⋅（120n a a a ≤<<⋅⋅⋅<，3n ≥）具有性质P ：对任意i 、j （1i j n ≤≤≤），j i a a +与j i a a -两数中至少有一个属于集合A ，现给出以下四个命题：①数集{0,1,3,5,7}具有性质P ；②数集{}0,2,4,6,8具有性质P ；③若数集A 具有性质P ，则10a =；④若数集{}125,,,A a a a =⋅⋅⋅（1250a a a ≤<<⋅⋅⋅<）具有性质P ，则1322a a a +=；其中真命题有________（填写序号）【答案】②③④【分析】利用a i +a j 与a j -a i 两数中至少有一个属于A ．即可判断出结论．【详解】①数集{}0,1,3,5,7中，{}7520,1,3,5,7-=∉，故数集{}0,1,3,5,7不具有性质P ； ②数集{}0,2,4,6,8满足对任意i 、j （1i j n ≤≤≤），j i a a +与j i a a -两数中至少有一个属于集合A ，故数集{}0,2,4,6,8具有性质P ；③若数列A 具有性质P ，则a n +a n =2a n 与a n -a n =0两数中至少有一个是该数列中的一项， ∵0≤a 1＜a 2＜…＜a n ，n≥3，而2a n 不是该数列中的项，∴0是该数列中的项，∴a 1=0；故③正确；④当 n=5时，取j=5，当i≥2时，a i +a 5＞a 5，由A 具有性质P ，a 5-a i ∈A，又i=1时，a 5-a 1∈A，∴a 5-a i ∈A，i=1，2，3，4，5∵0=a 1＜a 2＜a 3＜a 4＜a 5，∴a 5-a 1＞a 5-a 2＞a 5-a 3＞a 5-a 4＞a 5-a 5=0，则a 5-a 1=a 5，a 5-a 2=a 4，a 5-a 3=a 3，从而可得a 2+a 4=a 5，a 5=2a 3，故a 2+a 4=2a 3，即答案为②③④.【点睛】本题考查数列的综合应用，此题能很好的考查学生的应用知识分析、解决问题的能力，侧重于对能力的考查，属中档题．二、选择题(本大题共有4题,满分20分)每小题都给出四个选项,其中有且只有一个选项是正确的,选对得5分,否则一律得零分13.如图，U 为全集，M 、P 、S 是U 的三个子集，则阴影部分所表示的集合是（ ）A. ()M P S ⋂⋂B. ()M P S ⋂⋃ C ()()U M P S ⋂⋂ðD. ()()U M P S ⋂⋃ð 【答案】C【分析】 先根据图中的阴影部分是M∩P 的子集，但不属于集合S ，属于集合S 的补集，然后用关系式表示出来即可．【详解】图中的阴影部分是： M∩P 的子集，不属于集合S ，属于集合S 的补集,即是C U S 的子集则阴影部分所表示的集合是（M∩P）∩(∁U S).故选：C ．【点睛】本题主要考查了Venn 图表达集合的关系及运算，同时考查了识图能力，属于基础题．14.下列各组函数中,表示同一函数的是( )A. 2(),()=f x xg x =B. ()(f x g x =C. 1(0)1(0)()()=1(0)1(0)x x x x f x g x x x x x +>+≥⎧⎫⎧⎫=⎨⎬⎨⎬-≤-<⎩⎭⎩⎭, D. {}{}()2()2(1)()=21f x x x g x xx =∈∈；【答案】D【分析】 若两个函数是同一个函数，则函数的定义域以及函数的对应关系都相同，所以只要逐一判断每个选项中定义域和对应关系是否都相同即可．【详解】对于A 选项，f （x ）的定义域为R ，g （x ）的定义域为[0，+∞），∴不是同一函数．对于B 选项，f （x ）=（x ≤﹣2，或x ≥2）和g （x ）=（x ≥2）定义域不同，∴不是同一函数；对于C 选项，当x =0时，对应关系不同，∴不是同一函数对于D 选项，f （x ）的定义域与g （x ）的定义域均为{1}，且f （x ）2==g （x ） ∴是同一函数故选：D ．【点睛】本题主要考查了函数三要素的判断，只有三要素都相同，两函数才为同一函数，属基础题．15.已知()f x 是R 上的偶函数,且当()()20,1x f x x x >=- ,则0x <时,()f x = ( ) A. 2(1)x x - B. 2(1)x x + C. 2(1)x x -- D.2(1)x x -+【答案】B【分析】由x ＜0得﹣x ＞0，代入已知式子得f （﹣x ），由偶函数f （﹣x ）＝f （x ），可得f （x ）的解+析式．【详解】设x ＜0，则﹣x ＞0，∴()()()22()11f x x x x x -=-+=+， 又∵y ＝f （x ）是R 上的偶函数，∴f （﹣x ）＝f （x ），∴()()21f x x x =+， ∴当x ＜0时，()()21f x x x =+． 故选：B ．【点睛】本题考查了利用函数的奇偶性求函数解+析式的基础知识，是基础题目．16. 汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况. 下列叙述中正确的是（ ）A. 消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B. 以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C. 甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D. 某城市机动车最高限速80千米/小时. 相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油【答案】D【详解】解：对于A ，由图象可知当速度大于40km /h 时，乙车的燃油效率大于5km /L ， ∴当速度大于40km /h 时，消耗1升汽油，乙车的行驶距离大于5km ，故A 错误；对于B ，由图象可知当速度相同时，甲车的燃油效率最高，即当速度相同时，消耗1升汽油，甲车的行驶路程最远，∴以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最少，故B 错误；对于C ，由图象可知当速度为80km /h 时，甲车的燃油效率为10km /L ，即甲车行驶10km 时，耗油1升，故行驶1小时，路程为80km ，燃油为8升，故C 错误； 对于D ，由图象可知当速度小于80km /h 时，丙车的燃油效率大于乙车的燃油效率， ∴用丙车比用乙车更省油，故D 正确故选：D ．考点：1、数学建模能力；2、阅读能力及化归思想.三、解答题(本大题共有5题,满分76分)解答下列各题必须写出必要的步骤17.已知集合{}222,1,A a a a =+-，{0,B =7，25a a --，2}a -，且5A ∈，求集合B ．【答案】{0,B =1，4，7}【分析】由5A ∈，得到215a +=或25(a a -=舍)，从而得2a =±，分别代入集合A 和B ，利用集合中元素的互异性能求出集合B ．【详解】Q 集合{}222,1,A a a a =+-， {0,B =7，25a a --，2}a -，且5A ∈，215a ∴+=或25(a a -=舍)，解得2a =±，当2a =时，{2,A =5，2}，不成立；当2a =-时，{2,A =5，6}，{0,B =7，1，4}，成立．∴集合{0,B =1，4，7}．【点睛】本题考查集合的求法，考查元素与集合的关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．18.“0,0a b >>,≥,还可以有如下证法:≥+≥当且仅当a b=时等号成立≥,尝试解决下列问题:(1)证明:若0,0,0a b c>>>，则222a b ca b cb c a++≥++,并指出等号成立的条件；(2)试将上述不等式推广到(2)n n≥个正数121,,,,n na a a a-⋅⋅⋅的情形,并加以证明.【答案】（1）见解+析；（2）见解+析.【分析】（1）根据题设例题证明过程，类比b2ab++c2bc++a2ba+可得证明，（2）根据题设例题证明过程，类比b2ab++c2bc++a2ba+可得证明【详解】（1）∵222222a b cb c a a b cb c a+++++≥++，∴222a b ca b cb c a++≥++，当且仅当a＝b＝c时等号成立；（2）∵212aa+a2223aa++a32211n nnna aaa a-+++++L a1≥2a1+2a2+…+2a n﹣1+2a n，∴222211212231n nnna aa aa a aa a a a-++++≥+++L L．当且仅当a1＝a2＝…＝a n﹣1＝a n时取等号【点睛】本题考查了基本不等式的应用，考查了不等式的证明和类比的思想，属于中档题19.某公司有价值10万元的一条流水线，要提高该流水线的生产能力，就要对其进行技术改造，改造就需要投入，相应就要提高产品附加值，假设附加值y万元与技术改造投入x万元之间的关系满足：① y与10x-和x的乘积成正比；② 当5x=时，100y=；③02(10)xtx≤≤-，其中t为常数，且1[,1]2t∈.（1）设()y f x=，求出()f x的表达式，并求出()y f x=的定义域；（2）求出附加值y 的最大值，并求出此时的技术改造投入的x 的值.【答案】（1）()410y x x =-，200,21t x t ⎡⎤∈⎢⎥+⎣⎦；（2）()()max 5100f x f ==.【分析】（1）列出f （x ）的表达式，求函数的定义域时，要注意条件③的限制性．（2）本题为含参数的二次函数在特定区间上求最值，结合二次函数的图象及单调性解决，注意分类讨论． 【详解】（1）设()10y k x x -＝，当5x ＝ 时100y =，可得k=4，∴410y x x =-（） ∴定义域为200,21t t ⎡⎤⎢⎥+⎣⎦，t 为常数，1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦； （2）因为定义域中202012020,,1,5,,12122132t t t t t t ⎡⎤⎛⎫⎡⎤=∈∴∈ ⎪⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎝⎭⎣⎦+ 函数()()241045100y x x x =-=--+在205,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，故()()max 5100f x f ==. 【点睛】本题考查函数的应用问题，函数的解+析式、二次函数的最值及分类讨论思想，牵扯字母太多，容易出错．20.对于函数()f x ，若00()f x x =，则称0x 为()f x 的“不动点”；若00[()]f f x x =，则称0x 为()f x 的“稳定点”．函数()f x 的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为A 和B ，即{}|()A x f x x ==，{}|[()]B x f f x x ==．（1）设函数()34f x x =+，求集合A 和B ．（2）求证：A B ⊆．（3）设函数2()(0)f x ax bx c a =++≠，且A =∅，求证：B =∅．【答案】（1）{}2A =-，{}2B =-；（2）证明见解+析；（3）证明见解+析．分析】（1）由34x x +=，解得2x =-，{}2A =-；由()3344x x ++=，解得2x =-，，{}2B =-；（2）若A =∅，则A B ⊆成立；若A ≠∅，设t 为A 中任意一个元素，则有()f t t =，可得()()f f x f t t ⎡⎤==⎣⎦，故t B ∈，从而可得结果；（3）①当0a >时，()()21y f x x ax b x c =-=+-+的图象在x 轴的上方，可得对于x R ∀∈，()()f f x f x x ⎡⎤>>⎣⎦恒成立，则B =∅．②当0a <时，()()21y f x x ax b x c=-=+-+的图象在x 轴的下方，可得对于任意x R ∈，()()f f x f x x ⎡⎤<<⎣⎦恒成立，则B =∅．【详解】（1）由()f x x =，得34x x +=，解得2x =-，由()f f x x ⎡⎤=⎣⎦，得()3344x x ++=，解得2x =-，∴{}2A =-，{}2B =-．（2）若A =∅，则A B ⊆成立，若A ≠∅，设t 为A 中任意一个元素，则有()f t t =，∴()()f f x f t t ⎡⎤==⎣⎦，故t B ∈，∴A B ⊆．（3）由A ≠∅，得方程2ax bx c x ++=无实数解，∴()2140b ac ∆=--<．①当0a >时，()()21y f x x ax b x c =-=+-+的图象在x 轴的上方， 所以任意x R ∈，()0f x x ->恒成立，即对于任意x R ∈，()f x x >恒成立，对于()f x ，则有()()f f x f x ⎡⎤>⎣⎦成立，∴对于x R ∀∈，()()f f x f x x ⎡⎤>>⎣⎦恒成立，则B =∅．②当0a <时，()()21y f x x ax b x c =-=+-+的图象在x 轴的下方， 所以任意x R ∈，()0f x x -<恒成立，即对于x R ∀∈，()f x x <恒成立，对于实数()f x ，则有()()f f x f x ⎡⎤<⎣⎦成立，所以对于任意x R ∈，()()f f x f x x ⎡⎤<<⎣⎦恒成立，则B =∅，综上知，对于()()20f x ax bx c a =++≠， 当A =∅时，B =∅．【点睛】本题主要考查集合的性质以及二次函数的性质、意在考查转化与划归思想、数形结合思想的应用，考查了分类讨论思想，属于难题. 分类讨论思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决含参数问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点. 充分利用分类讨论思想方法能够使问题条理清晰，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用与解题当中.21.设数集A 由实数构成，且满足：若x A ∈（1x ≠且0x ≠），则11A x ∈-. （1）若2A ∈，试证明A 中还有另外两个元素；（2）集合A 是否为双元素集合，并说明理由；（3）若A 中元素个数不超过8个，所有元素的和为143，且A 中有一个元素的平方等于所有元素的积，求集合A .【答案】(1) 1-，12;(2)见解+析；（3）112,2,1,,3,223A ⎧⎫=--⎨⎬⎩⎭.【分析】（1）根据集合的互异性进行求解，注意条件2∈A，把2代入进行验证；（2）可以假设A 为单元素集合，求出其等价条件，从而进行判断；（3）先求出集合A 中元素的个数，21 x x -⎛⎫ ⎪⎝⎭=1，求出x 的值，从而求出集合A ． 【详解】（1）证明：若x∈A，则11A x ∈-． 又∵2∈A， ∴1112A =-∈-． ∵-1∈A，∴()11112A =∈--． ∴A 中另外两个元素为1-，12； （2）x A ∈，11A x ∈-，1x A x -∈，且11x x ≠-，111x x x-≠-， 1x x x -≠，故集合A 中至少有3个元素，∴不是双元素集合； （3）由x A ∈，11A x ∈-，可得111x A x x x -⎧⎫=⎨⎬-⎩⎭，， ，所有元素积为1，∴21112x x x -⎛⎫=⇒= ⎪⎝⎭， 111141212132m m m m m -+-+++=⇒=--、3、23，∴112,2,1,,3,223A ⎧⎫=--⎨⎬⎩⎭. 【点睛】本题考查了元素和集合的关系，考查集合的含义，分类讨论思想，是一道中档题．。

上海市莘庄中学2019学年第一学期期中考试高一年级数学试卷一、填空题（本题满分54分）本大题共有12小题.1-6每题4分，7-12每题5分，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得分，否则一律得零分.1.已知全集={13579}U ，，，， ，集合A={579}，，，则A=U C ____________ 【答案】{}1,3【解析】【分析】由A,B 结合补集的定义,求解即可.【详解】结合集合补集计算方法,得到{}1,3U C A =【点睛】本道题考查了补集计算方法,难度较容易.2.不等式11x<的解为 。

【答案】0x <或1x >【解析】 【详解】由11x <，可得10x x-＜ 即()x x-10＞ 所以不等式11x <的解为0x <或1x >3.函数4x y -=的定义域为：________________. 【答案】{}41x x x ≤≠且.【解析】【分析】根据偶次根式下被开方数非负，以及分母不为零列不等式组解出x 的取值范围，可得出函数的定义域.【详解】由题意可得4010x x -≥⎧⎨-≠⎩，解得4x ≤且1x ≠，因此，函数1y x =-的定义域为{}41x x x ≤≠且，故答案为：{}41x x x ≤≠且. 【点睛】本题考查具体函数的定义域，熟悉常见求定义域原则是解本题的关键，考查计算能力，属于基础题.4.已知,a b ∈R ，写出命题“若0ab ≠，则220a b ->”的否命题__________.【答案】若0ab =，则220a b -≤【解析】【分析】根据否命题的形式写出即可.【详解】命题“若0ab ≠，则220a b ->”的否命题是“若0ab =，则220a b -≤” 故答案为:若0ab =，则220a b -≤【点睛】本题主要考查了否命题的形式，属于基础题.5.已知集合{}|A x x a =<，{}|2B x x =>，若A B ⋂=∅，则实数a 的取值范围是____________.【答案】2a ≤【解析】【分析】由条件可知，集合A 与集合B 没有公共元素，即可求出实数a 的取值范围.【详解】因为A B =∅I ，所以集合A 与集合B 没有公共元素则2a ≤故答案为:2a ≤【点睛】本题主要考查了集合之间的基本关系，属于基础题.6.已知,x y R +∈且2xy =,则当x =________时，224x y +取得最小值. 【答案】2【解析】【分析】由2xy =，解出2y x=，代入224x y +中，化简利用基本不等式即可求出x 的值. 【详解】因为2xy =，所以2y x = 222222216448x y x x x x ⎛⎫+= =++≥⎝⎭=⎪ 当且仅当2216x x=，即2x =时，224x y +取得最小值. 故答案为：2【点睛】本题主要考查了基本不等式的运用，注意基本不等式使用的条件，考查学生利用知识分析和解决问题的能力，属于基础题.7.已知命题：13x α-≤≤：，32a x a β-≤≤+：，若α是β的充分条件，则实数a 的取值范围是________.【答案】[]1,2【解析】【分析】由α是β的充分条件，得到{}{}1332x x x a x a -≤≤⊆-≤≤+，根据题意列出不等式组，化简即可求出实数a 的取值范围.【详解】因为α是β的充分条件，所以{}{}1332x x x a x a -≤≤⊆-≤≤+ 即3123a a -≤-⎧⎨+≥⎩，解得12a ≤≤ 故答案为：[]1,2【点睛】本题主要考查了充分条件的性质以及集合之间的基本关系、不等式的解法，属于基础题.8.一元二次不等式220ax bx ++>的解集为{}|12x x -<<，那么+a b 的值等于_______.【答案】0【解析】【分析】根据题意得出一元二次方程220ax bx ++=两根分别为1-，2，结合韦达定理求解即可.【详解】因为一元二次不等式220ax bx ++>的解集为{}|12x x -<<所以一元二次方程220ax bx ++=的两根分别为1-，2 由韦达定理可知12212b a a ⎧-+=-⎪⎪⎨⎪-⨯=⎪⎩，解得1,1a b =-= 即110a b +=-+=故答案为：0【点睛】本题主要考查了一元二次不等式的解法以及一元二次不等式与一元二次方程的关系，属于基础题.9.已知(){},,|3a Z A x y ax y ∈=-≤，且()()2,1,1,4A A ∈-∉，则满足条件的a 的值所组成的集合为______.【答案】{}0,1,2【解析】【分析】由()()2,1,1,4A A ∈-∉得到213a -≤且()43a -->，解不等式结合a Z ∈，即可求出a 的值.【详解】()()2,1,1,4A A ∈-∉Q213a ∴-≤且()43a -->解得12a -<≤又因为a Z ∈所以满足条件的a 的值所组成的集合为{}0,1,2故答案为：{}0,1,2【点睛】本题主要考查了元素与集合之间的关系，属于基础题.10.定义满足不等式(,0)x A B A R B -<∈>的实数x 的集合叫做A 的B 邻域。

2019-2020学年上海中学高一下学期期中数学试卷一、单选题（本大题共6小题，共18.0分）1.若sin(π+α)=√53且α∈(−π2,0)，则cos(π−α)=()A. −23B. −√53C. 23D. ±232.若sinαsinβ=1，则cos(α+β)=()A. 1B. −1C. 0D. 0或−13.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π2)的部分图象如图所示，则f(x)的解析式是()A. f(x)=2sin(2x+π3)B. f(x)=2sin(x+π3)C. f(x)=2sin(2x+π6)D. f(x)=2sin(x+π6)4.函数f(x)=cos(π6−x)的单调递减区间是()A. [2kπ+π6,2kπ+7π6]，k∈Z B. [2kπ−5π6,2kπ+π6]，k∈ZC. [2kπ+7π6,2kπ+13π6]，k∈Z D. [2kπ,2kπ+π]，k∈Z5.求满足2x(2sinx−√3)≥0，x∈(0,2π)的角α的集合()A. (0,π3) B. [π3,2π3] C. [π3,π2] D. [π2,2π3]6.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且ctanC=√3acosB+√3bcosA，若c=√7,a=2，则b的值为()A. 3B. 1C. 2D. √2二、单空题（本大题共10小题，共30.0分）7.点P是角α的终边上的一点，且P(3,−4)，则sinα−cosα=______ ．8.函数y=3sin(π2x+3)的最小正周期为________。

9.在单位圆中，面积等于1的扇形所对的圆心角的弧度数为____．10.已知(x0,0)是函数f(x)=3sin(x+π6)图象的一个对称中心，则tan(5π+x0)=．11.已知α，β∈(0,π2)，sin(α−β)=35，cosβ=1213，则sinα=______．12.已知，则的值为_________．13.若，则的值为__________．14.在△ABC中，角A，B，C所对边长分别为a，b，c，若b2+c2=4a2，则cos A的最小值为______．15.函数y=2sin(3x+π3)在区间[−π6,π3]上的最小值为__________．16.函数y=x+5x−a在(−1,+∞)上是单调递减函数，则实数a的取值范围是____．三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）17.已知α为第三象限角，f(α)=sin(α−π2)cos(3π2+α)tan(π−α)tan(−α−π)sin(−α−π)．(1)化简f(α)；(2)若f(α)=45，求tanα18.设函数的最小正周期为．(1)若f(α2+3π8)=2425，且α∈(−π2,π2)，求tanα的值．(2)“五点法”画出函数y=f(x)在区间[0,π]上的简图．(3)y=f(x)的图象经过怎样的图象变换，可以得到y=sinx的图象．y=f(x)→ _____________ →y=sinx19.已知sinα=23，α∈(π2,π)，cosβ=−35，β∈(π,3π2)，求sin(α+β)的值．20.如图所示，在斜度一定的山坡上的一点A测得山顶上一建筑物顶端C对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100米后到达点B，又从点B 测得斜度为45°，建筑物的高CD为50米．求此山对于地平面的倾斜角θ的余弦值．21.已知函数f(x)=2√3sin(x+π4)cos(x+π4)+sin2x+a的最大值为1．(1)求实数a的值;(2)若将f(x)的图象向左平移π6个单位，得到函数g(x)的图象，求函数g(x)在区间[0,π2]上的最小值．【答案与解析】1.答案：A解析：解：∵sin(π+α)=√53，∴sinα=−√53，且α∈(−π2,0)，∴cosα=√1−sin 2α=23，则cos(π−α)=−cosα=−23． 故选：A ．已知等式利用诱导公式化简求出sinα的值，根据α的范围，利用同角三角函数间基本关系求出cosα的值，所求式子利用诱导公式化简后将cosα的值代入计算即可求出值． 此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．2.答案：B解析：解：由sinαsinβ=1，得cosαcosβ=0， ∴cos(α+β)=cosαcosβ−sinαsinβ=−1． 故选：B ．由sinαsinβ=1，得cosαcosβ=0，利用两角和的余弦函数公式可得答案． 本题考查两角和与差的余弦公式，考查学生的运算能力，属基础题．3.答案：B解析：本题主要考查由函数y =Asin(ωx +φ)的部分图象求解析式，属于基础题．由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由f (76π)=−2结合0<φ<π2求出φ的值． 解：由函数过点(2π3,0)，(7π6,−2) 可得A =2，14T =π2ω=7π6−2π3=π2则ω=1，即f (x )=2sin (x +φ)，又f(76π)=−2，即sin(76π+φ)=−1，所以76π+φ=32π+2kπ(k∈Z)，又0<φ<π2，所以φ=π3，所以函数f(x)=2sin(x+π3)．故选B．4.答案：A解析：本题考查了余弦函数的单调性，属于基础题．先根据余弦函数的单调性判断出单调递减时x−π6的范围，进而求得x的范围，求得函数的单调递减区间．解：对于函数，∵y=cosx的单调减区间为[2kπ,2kπ+π]，k∈Z，∴2kπ≤x−π6≤2kπ+π，k∈Z，解得2kπ+π6≤x≤2kπ+7π6，k∈Z，故函数f(x)的单调减区间为[2kπ+π6,2kπ+7π6]，k∈Z故选A．5.答案：B解析：解：∵满足2x(2sinx−√3)≥0，2x>0．∴sinx≥√32，∵x∈(0,2π)，∴π3≤x≤2π3，故选：B．满足2x(2sinx−√3)≥0，化为sinx≥√32，由于x∈(0,2π)，利用正弦函数的单调性即可得出．本题考查了指数函数的单调性、正弦函数的单调性，属于基础题．6.答案：A解析：本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，余弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．由正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式可得sinCtanC =√3sinC ，结合sinC ≠0，可求得tanC =√3，结合范围C ∈(0,π)，可求C ，进而根据余弦定理b 2−2b −3=0，解方程可求b 的值． 解：∵ctanC =√3acosB +√3bcosA ，∴由正弦定理可得：sinCtanC =√3(sinAcosB +sinBcosA)=√3sin(A +B)=√3sinC ， ∵sinC ≠0， ∴可得tanC =√3， ∵C ∈(0,π)， ∴C =π3， ∵c =√7，a =2，∴由余弦定理c 2=a 2+b 2−2abcosC ，可得7=4+b 2−2×2×b ×12，可得b 2−2b −3=0， ∴解得b =3，或b =−1(负值舍去)． 故选A ．7.答案：−73解析：解：∵|OP|=√32+(−4)2=5， ∴sinα=−45，cosα=35． ∴sinα−cosα=−45−35=−75．故答案为：−75．利用三角函数的定义即可得出．本题考查了三角函数的定义，属于基础题．8.答案：4解析：本题考查三角函数的周期公式．依题意，最小正周期为2ππ2=4，即可得到结果．解：因为y=3sin(π2x+3)，所以最小正周期为2ππ2=4，故答案为4．9.答案：2解析：本题考查了扇形的面积公式应用问题，根据扇形的面积公式，计算该扇形的圆心角弧度数即可，是基础题．解：由题意可知扇形的半径为r=1，面积为S=1，则S=12α⋅r2=12α=1，α=2，∴该扇形的圆心角α的弧度数是2．故答案为2．10.答案：−√33解析：本题主要考查正弦函数的图像及性质和正切的诱导公式及周期，属于基础题．首先根据正弦函数的图像和性质求出x0，然后利用诱导公式求正切即可．解：因为(x0,0)是函数f(x)=3sin(x+π6)图象的一个对称中心，所以x0+π6=kπ(k∈Z)，即x0=kπ−π6(k∈Z)，所以tan(5π+x0)=tanx0=tan(kπ−π6)=−tanπ6=−√33．11.答案：5665解析：解：α，β∈(0,π2)，sin(α−β)=35，cosβ=1213，可得cos(α−β)=√1−sin2(α−β)=45，sinβ=√1−cos2β=513，sinα=sin(α−β+β)=sin(α−β)cosβ+cos(α−β)sinα=35×1213+45×513=5665．故答案为：5665．利用同角三角函数基本关系式以及两角和与差的正弦函数化简求解即可．本题考查同角三角函数基本关系式以及两角和与差的三角函数，考查计算能力．12.答案：78解析：题主要考查了诱导公式，二倍角的余弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．由诱导公式，二倍角的余弦函数公式化简所求，结合已知即可计算求值．解：，，∴sin2x=cos(π2−2x)=1−2sin2(π4−x)=78．故答案为78.13.答案：解析：，则14.答案：34解析：本题考查了余弦定理和基本不等式的应用问题，是基础题．利用余弦定理和基本不等式，即可求得cos A的最小值．解：△ABC中，b2+c2=4a2，则a2=14(b2+c2)，由余弦定理得，cosA=b2+c2−a22bc=b2+c2−14(b2+c2)2bc=3(b2+c2)8bc ≥3×2bc8bc=34，当且仅当b=c时取等号，∴cosA的最小值为34．故答案为：34．15.答案：−√3解析：因为x∈[−π6,π3]，所以3x+π3∈[−π6,4π3]，所以当3x+π3=4π3时，函数y=2sin(3x+π3)有最小值−√3...16.答案：(−5,−1]解析：本题以分式函数为例，考查了函数的单调性的判断与证明，属于基础题.题中的分式函数与反比例函数有关，因此用反比例函数的图象研究比较恰当．根据题意，将题中的函数分离常数，变形为y=1+a+5x−a ，进而研究反比例函数y=a+5x在区间(0,+∞)上是一个单调减的函数，从而得出实数a的取值范围．解：函数y=x+5x−a =1+a+5x−a函数的图象可由函数y=a+5x的图象先向右平移a个单位，再向上平移1个单位而得，∵函数在(−1,+∞)上单调递减，∴{a +5>0a ≤−1，可得−5<a ≤−1， 故答案为(−5,−1]．17.答案：解：(1)由f(α)=sin(α−π2)cos(3π2+α)tan(π−α)tan(−α−π)sin(−α−π)=−cosαsinα⋅(−tanα)−tanα⋅sinα=−cosα． (2)∵f(α)=45，即cosα=−45，α为第三象限角，那么：sinα=−√1−cos 2α=−35可得tanα=sinαcosα=34．解析：(1)根据诱导公式化简可得f(α)；(2)利用同角三角函数关系式即可得解．本题主要考察了同角三角函数关系式和诱导公式的应用，属于基本知识的考查．18.答案：解：(1)∵函数的最小正周期为， ∴2πω=π，∴ ω=2.可知f(x)=sin(2x −3π4) ， 由f(α2+3π8)=2425得：sinα=2425， ∵−π2<α<π2， ∴cosα=725，∴tanα=247.(2)由(1)知f(x)=sin(2x −3π4)，于是有： x 0 π8 5π8π y −√22−1 0 1 0 −√22描点，连线，函数y =f(x)在区间[0,π]上的图象如下：(3)把y =f(x)=sin(2x −3π4)图象上点的横坐标变为原来的2倍， 可得函数y =sin(x −3π4)的图象； 再把图象向左平移3π4个单位长度，可得函数y =sinx 的图象.解析：本题主要考查正弦函数的性质，用五点法作函数y =Asin(ωx +φ)在一个周期上的简图，函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，属于中档题．(1)由周期可得：f(x)=sin(2x −3π4)，然后利用已知结合α的取值范围求解．(2)用五点法作函数y =Asin(ωx +φ)在一个周期上的简图．(3)根据函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，可得结论．19.答案：解：∵sinα=23，α∈(π2,π)，cosβ=−35，β∈(π,3π2)，∴cosα=−√1−sin 2α=−√53，sinβ=−√1−cos 2β=−45， ∴sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=23×(−35)+(−√53)×(−45)=4√5−615． 解析：由已知利用同角三角函数基本关系式可求cosα，sinβ的值，进而利用两角和的正弦函数公式即可计算得解sin(α+β)的值．本题主要考查了同角三角函数基本关系式，两角和的正弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想和计算能力，属于基础题．20.答案：解：在△ABC 中，∠BAC =15°，AB =100米，∠ACB =45°−15°=30°. (3分)根据正弦定理有100sin30∘=BC sin15∘，∴BC =100sin15°sin30∘. (6分)又在△BCD 中，∵CD =50，BC =100sin15°sin30∘，∠CBD =45°，∠CDB =90°+θ，根据正弦定理有50sin45∘=100sin15°sin30∘sin(90∘+θ).(10分)解得cosθ=√3−1(12分)解析：在△ABC中，根据正弦定理求出BC，在△BCD中，推出∠CDB=90°+θ，通过正弦定理转化求解即可．本题考查正弦定理的实际应用，解三角形的方法，考查计算能力．21.答案：解：(1)∵函数f(x)=2√3sin(x+π4)cos(x+π4)+sin2x+a=√3cos2x+sin2x+a=2sin(2x+π3)+a≤2+a=1，∴a=−1；(2)将f(x)的图象向左平移π6个单位，得到函数g(x)的图象，∴g(x)=f(x+π6 )=2sin[2(x+π6)+π3]−1=2sin(2x+2π3)−1．当x∈[0,π2]时，2x+2π3∈[2π3,5π3]，故当2x+2π3=3π2时，sin (2x+2π3)=−1，函数g(x)取得最小值为−2−1=−3．解析：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，正弦函数的图像和性质，属于中档题．(1)由条件利用三角恒等变换化简函数的解析式为函数f(x)=2sin(2x+π3)+a，可得a=−1．(2)根据函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，可得g(x)=2sin(2x+2π3)−1.再根据x∈[0,π2]，利用正弦函数的图像和性质求得函数g(x)的最小值．。