第九章二重积分
【本章逻辑框架】
重积分的大小，估计二重积分的取值范围。
⒉领会将二重积分化为二次积分时如何确定积分次序和积分限，如何改换二次积分的积分次序，并且如何根据被积函数和积分区域的特征选择坐标系。熟练掌握直角坐标系和极坐标系下重积分的计算方法。 ⒊掌握曲顶柱体体积的求法，会求由曲面围成的空间区域的体积。 9.1二重积分的概念与性质
【学习方法导引】
1．二重积分定义
为了更好地理解二重积分的定义，必须首先引入二重积分的两个“原型”，一个是几何的“原型”－曲顶柱体的体积如何计算，另一个是物理的“原型”—平面薄片的质量如何求。从这两个“原型”出发，对所抽象出来的二重积分的定义就易于理解了。
在二重积分的定义中，必须要特别注意其中的两个“任意”，一是将区域D 成n 个小区域12,,,n σσσ∆∆∆的分法要任意，二是在每个小区域i σ∆上的点
(,)i i i ξησ∈∆的取法也要任意。有了这两个“任意”，如果所对应的积分和当各
小区域的直径中的最大值0λ→时总有同一个极限，才能称二元函数(,)f x y 在区域D 上的二重积分存在。
2．明确二重积分的几何意义。
(1)若在D 上(,)f x y ≥0，则(,)d D
f x y σ⎰⎰表示以区域D 为底，以(,)f x y 为曲顶
的曲顶柱体的体积。特别地，当(,)f x y ＝1时，(,)d D
f x y σ⎰⎰表示平面区域D 的面
积。
(2)若在D 上(,)f x y ≤0，则上述曲顶柱体在Oxy 面的下方，二重积分
(,)d D
f x y σ⎰⎰的值是负的，其绝对值为该曲顶柱体的体积
(3)若(,)f x y 在D 的某些子区域上为正的，在D 的另一些子区域上为负的，则(,)d D
f x y σ⎰⎰表示在这些子区域上曲顶柱体体积的代数和(即在Oxy 平面之上的
曲顶柱体体积减去Oxy 平面之下的曲顶柱体的体积).
3．二重积分的性质，即线性、区域可加性、有序性、估值不等式、二重积分中值定理都与一元定积分类似。有序性常用于比较两个二重积分的大小，估值不等式常用于估计一个二重积分的取值范围，在用估值不等式对一个二重积分估值的时候，一般情形须按求函数(,)f x y 在闭区域D 上的最大值、最小值的方法求出其最大值与最小值，再应用估值不等式得到取值范围。
【主要概念梳理】
1.二重积分的定义设二元函数f(x,y)在闭区域D 上有定义且有界.
分割用任意两组曲线分割D 成n 个小区域12,,,n σσσ∆∆∆，同时用i σ∆表示它们的面积，1,2,,.i n =其中任意两小块i σ∆和()j i j σ∆≠除边界外无公共点。i σ∆既表示第i 小块,又表示第i 小块的面积.
近似、求和对任意点(,)i i i ξησ∈∆,作和式1(,).n
i i i i f ξησ=∆∑
取极限若i λ为i σ∆的直径，记12max{,,,}n λλλλ=,若极限0
1
lim (,)n
i i i i f λξησ→=∆∑ 存在，且它不依赖于区域D 的分法，也不依赖于点(,)i i ξη的取法，称此极限为f (x,y )在D 上的二重积分.记为
称f (x,y )为被积函数，D 为积分区域，x 、y 为积分变元，d σ为面积微元(或面积元素).
2.二重积分(,)d D
f x y σ⎰⎰的几何意义
(1)若在D 上f (x,y )≥0，则(,)d D
f x y σ⎰⎰表示以区域D 为底，以f (x,y )为曲顶的
曲顶柱体的体积.
(2)若在D 上f (x,y )≤0，则上述曲顶柱体在Oxy 面的下方，二重积分(,)d D
f x y σ
⎰⎰的值是负的，其绝对值为该曲顶柱体的体积
(3)若f (x,y )在D 的某些子区域上为正的，在D 的另一些子区域上为负的，则(,)d D
f x y σ⎰⎰表示在这些子区域上曲顶柱体体积的代数和(即在Oxy 平面之上的
曲顶柱体体积减去Oxy 平面之下的曲顶柱体的体积).
3．二重积分的存在定理
3.1若f (x,y )在有界闭区域D 上连续，则f (x,y)在D 上的二重积分必存在(即f (x,y )在D 上必可积).
3.2若有界函数f (x,y )在有界闭区域D 上除去有限个点或有限个光滑曲线外都连续，则f (x,y )在D 可积.
4．二重积分的性质
二重积分有与定积分类似的性质.假设下面各性质中所涉及的函数f (x ,y )，g(x,y)在区域D 上都是可积的.
性质1有限个可积函数的代数和必定可积，且函数代数和的积分等于各函数积分的代数和，即
性质2被积函数中的常数因子可以提到积分号前面，即
性质3若D 可以分为两个区域D 1,D 2，它们除边界外无公共点，则 性质4若在积分区域D 上有f (x ,y )=1，且用S (D )表示区域D 的面积，则 性质5若在D 上处处有f (x ,y )≤g (x ,y )，则有
推论(,)d (,)d .D
D
f x y f x y σσ≤⎰⎰⎰⎰
性质6(估值定理)若在D 上处处有m ≤f (x ,y )≤M ，且S (D )为区域D 的面积，则
性质7(二重积分中值定理)设f (x ,y )在有界闭区域D 上连续，则在D 上存在一点(,)ξη,使
【基本问题导引】
根据二重积分的几何意义或性质求解下列各题：
1．2d D
a xdy =⎰⎰，其中222{(,)|}D x y x y a =+≤
2．设D 是由x 轴，y 轴与直线1x y +=所围成的区域，则
21(),D
I x y d σ=+⎰⎰32()D
I x y d σ=+⎰⎰的大小关系是.
【巩固拓展提高】
1．若f (x ,y )在有界闭区域D 上连续，且在D 的任一子区域D *上有
*
(,)d 0D f x y σ=⎰⎰，试证明在D 内恒有f (x ,y )＝0
2．估计22(y )d D
I x xy x xdy =+--⎰⎰的值，其中{(,)|02,01}.D x y x y =≤≤≤≤
3．设f (x ,y )是有界闭区域D ：222x y a +≤上的连续函数，则2
1lim
(,)a D
f x y dxdy
a π→⎰⎰的值为多少？
【数学思想方法】
二重积分是一元函数定积分的推广与发展，它们都是某种形式的和的极限，即分割求和、取极限，故可用微元法的思想来理解二重积分的概念与性质。
9.2在直角坐标系中二重积分的计算
【学习方法导引】
本章的重点是二重积分的计算问题，而直角坐标系中二重积分的
计算问题关键是如何确定积分区域及确定X 型区域还是Y 型区域，这也是本章
的难点。
直角坐标系中二重积分计算的基本技巧：
(1)在定积分计算中，如果D 的形状不能简单地用类似12()()
x y x a x b
ϕϕ≤≤⎧⎨
≤≤⎩或
12()()
y x y c y d φφ≤≤⎧⎨
≤≤⎩
的形式来表示，则我们可以将D 分成若干块，并由积分性质 对右端各式进行计算。
(2)交换积分次序不仅要考虑到区域D 的形状，还要考虑被积函数 的特点。如果按照某一积分次序的积分比较困难，若交换积分次序后，由于累次积分的积分函数(一元积分)形式发生变化，可能会使新的积分次序下的积分容易计算，从而完成积分的求解。但是无论是先对x 积分，再对y 积分，还是先对y 积分，再对x 积分最终计算的结果应该是相同的。一般的处理方法是由积分限确定积分区域D ，并按照新的积分次序将二重积分化成二次积分。具体步骤如下：①确定D 的边界曲线，画出D 的草图；
②求出D 边界曲线的交点坐标；
③将D 的边界曲线表示为x 或y 的单值函数； ④考虑是否要将D 分成几块； ⑤用x ,y 的不等式表示D .
注：在积分次序选择时，应考虑以下几个方面的内容：(ⅰ)保证各层积分的原函数能够求出；(ⅱ)若D 为X 型(Y 型),先对x (y )积分；(ⅲ)若D 既为X 型又为Y 型，且满足(ⅰ)时，要使对D 的分块最少。
(3)利用对称性等公式简化计算 设f (x ,y )在区域D 上连续，则 ①当区域D 关于x 轴对称
若(,)(,)f x y f x y -=-，则(,)d D
f x y σ⎰⎰＝0；
若(,)(,)f x y f x y -=，则(,)d D
f x y σ⎰⎰＝21
(,)d D f x y σ⎰⎰，其中D 1为D 在x 轴上方
部分。
②当区域D 关于y 轴对称
若(,)(,)f x y f x y -=-，则(,)d D
f x y σ⎰⎰＝0；
若(,)(,)f x y f x y -=，则(,)d D
f x y σ⎰⎰＝22
(,)d D f x y σ⎰⎰，其中D 2为D 在y 轴右侧
部分。
③当区域D 关于x 轴和y 轴都对称
若(,)(,)f x y f x y -=-或(,)(,)f x y f x y -=-，则(,)d D
f x y σ⎰⎰＝0；
若(,)(,)(,)f x y f x y f x y -=-=，则(,)d D
f x y σ⎰⎰＝41
(,)d D f x y σ⎰⎰，其中D 1为D 在第一
象限部分。
④轮换对称式
设D 关于直线y x =对称，则(,)d D
f x y σ⎰⎰＝(,)d D
f y x σ⎰⎰.
【基本问题导引】
一．判断题
1．dxdy=D
xy ⎰⎰41
22221dxdy,:4;:4,0,0D xy D x y D x y x y +≤+≤≥≥⎰⎰()
2.若f 为连续函数，则
2
1
2210
1
2(,)(,)(,)x x
y
dx f x y dy dx f x y dy dy f x y dx
--+=⎰⎰
⎰⎰
⎰()
【主要概念梳理】
直角坐标系中二重积分计算
当被积函数f (x ,y )≥0且在D 上连续时,
若D 为X -型区域12()()
:x y x D a x b ϕϕ≤≤⎧⎨≤≤⎩
则21
()
()(,)d d d (,)d b
x D a x f x y x y x f x y y ϕϕ=⎰⎰⎰⎰
若D 为Y –型区域12()()
:y x y D c y d ψψ≤≤⎧⎨
≤≤⎩
,
则21()
()
(,)d d d (,)d d
y D c y f x y x y y f x y x ψψ
=⎰⎰⎰⎰
说明:若积分区域既是X –型区域又是Y –【巩固拓展提高】
1.(1992)计算1121112
2
4
.y y x
x
y I dy e dx dy e dx =+⎰⎰⎰
2.设1()x x
y
f x e dy =⎰，计算1
0()f x dx ⎰.
9.3在极坐标系中二重积分的计算
【学习方法导引】
极坐标系中二重积分计算的基本技巧：
(1)一般地，如果积分区域是圆域、扇形域或圆环形域，且被积函数为
22(),f x y +
(),y
f x
()x f y 等形式时，计算二重积分时，往往采用极坐标系来计算。
【基本问题导引】
1.若二重积分的积分区域D 是2214,x y ≤+≤则D
dxdy ⎰⎰＝。
2．设222:,0,(0).D x y a x a +≤
≥>将二重积分(,)d D I f x y σ=⎰⎰化为极坐标形式的二次
积分，则=I .
3．设2222:,0.
Da
x y b a b ≤+≤<<将二重积分(,)d D I f x y σ=⎰⎰化为极坐标形式的二次
积分，则=I .
【主要概念梳理】
利用极坐标系计算二重积分
在极坐标系下,用同心圆r =常数及射线θ=常数,分划区域D 为(1,2,,)k k n σ∆=。
则(,)d (cos ,sin )d d D D f x y f r r r r σθθθ=⎰⎰⎰⎰
特别地 若12()()
:,r D ϕθϕθαθβ
≤≤⎧⎨
≤≤⎩
则有21
()
()(cos ,sin )d d d (cos ,sin )d D f r r r r f r r r β
ϕθαϕθθθθθθθ=⎰⎰⎰⎰
若0():r D ϕθαθβ≤≤⎧⎨≤≤⎩
则有()
(cos ,sin )d d d (cos ,sin )D f r r r r f r r βϕθαθθθθθθ=⎰⎰⎰⎰
若0()
:02r D ϕθθπ≤≤⎧⎨
≤≤⎩
则有2()
00
(cos ,sin )d d d (cos ,sin )D f r r r r f r r π
ϕθθθθθθθ=⎰⎰⎰⎰【巩固拓展提高】
1．计算二重积分：22|1|d ,D
x y σ--⎰⎰其中22: 4.D x y +≤
2．设22:1,0,0.D x y x y +≤≥≥计算二重积分：22ln(1)d .D
x y σ++⎰⎰
9.4二重积分的应用
【学习方法导引】
二重积分的应用主要在几何方面和物理方面。几何应用之一是求曲线所围成的面积，应用之二是求曲面所围成的立体的体积；物理应用主要是平面薄片的质量。
【主要概念梳理】
(1)空间立体的体积V
设空间立体Ω由曲面1:(,)z f x y ∑=与2:(,)z g x y ∑=所围成，Ω在xoy 面投影为平面区域D ，并且(,)(,)f x y g x y ≥.则
[(,)(,)]d D
V f x y g x y σ=-⎰⎰或V dv Ω
=⎰⎰⎰.
(2)曲面面积S
设光滑曲面∑为:(,)z z x y ∑=，则xy
D S =⎰⎰，其中xy D 为∑在xoy 面
上的投影区域。
同理可得：设光滑曲面∑为:(,)x x y z ∑=，则yz
D S =⎰⎰，其中yz D 为
∑在yoz 面上的投影区域。
设光滑曲面∑为:(,)y y x z ∑=，则xz
D S =，其中xz D 为∑在xoz 面
上的投影区域。 (3)平面薄片的质量
设平面薄片的面密度为(,)x y ρ，物体所占区域为D ，则它的质量为
(,)D
m x y d ρσ=⎰⎰，其中(,),dm x y d ρσ=称为质量元素。
重积分的理解 引言： 在高等数学中，重积分是多元函数积分学的内容，在一元函数积分学中我们知道定积分是某种确定形式的和的极限。这种和的概念推广到定义在区域、曲线及曲面上多元函数的情形，便得到重积分、曲线积分及曲面积分的概念。高等数学讨论的重积分主要包括二重积分和三重积分两部分，引起二重积分概念的过程是测量曲顶柱体体积的过程的反映，三重积分概念是作为二重积分概念的推广而引出的，但事实上三重积分也是某些具体现实过程的反映。在本章中将介绍重积分的概念、计算法以及它们的一些应用。重积分在各种知识领域中的应用非常广阔，我们将在理论力学，材料力学，水力学及其它一些工程学科中碰到它们。 摘要： 重积分是大学高等数学学习过程中很重要的一部分，在一元函数积分学中，定积分的定义是将定义在区间[],a b 上的一元函数()f x 采用划分，近似，求和，取极限等四个步骤，得到某种确定形式的和的极限，这就是定积分()()b a f x d dx ?. 若将一元函数分别推广成平面区域和空间区域，这就得到了二重积分和三重积分的概念。本篇论文主要讲述了重积分的性质，计算，应用以及所涉及的习题，这些事我对重积分学习的一个总结。 关键词：重积分，二重积分，三重积分，性质，应用
二重积分的定义： 设(),f x y 为有界闭区间D 上的有界函数，将D 任意划分为n 个小闭区域12,,...,n σσσ???并以i σ?表示第i 块闭区域的面积，在第i 块上任意取点(),i i ξη。令λ为所有i σ?的直径的最大值，若 ()0 1lim ,n i i i i f f λξησ→=?∑. 存在，则成(),f x y 在闭区间D 上可积，并把上述极限称为(),f x y 在D 上的二重积分，记为 (),D f x y d σ??. 即 (),D f x y d σ??()0 1 l i m ,n i i i i f λξησ→==?∑. 其中()1 ,n i i i i f ξησ=?∑. 称为积分和，(),f x y . 称为被积函数，d σ称为面 积元，(),f x y d σ称为被积表达式D 称为积分区域。 定理一：若(),f x y 在为有界闭区间D 上连续，则(),f x y 在D 上必可积 一般的，二重积分(),D f x y d σ??的几何意义可以叙述为：它表示以xOy 面 上闭区域D 为底，以曲面(),z f x y =为顶的曲顶柱体的体积的代数和，其中曲面在xOy 面上方部分取正号，下方取负号。 例 题：设 1211 :,,12;:,,12D y x y y D y x y y x x ≥≥ ≤≤≤≥≤≤若 1 2 22 1122,D D x x I d I d y y σσ==?? ??，则12,I I 的关系为（B ） A,12I I >. B,12I I <. C 12I I =. D,无法比较 分析：在1D 内221x y <. 在2D 内2 21x y >. 而1D 和2D 面积相等，所以选B 二重积分的性质：
第八章重积分 本章和下一章是多元函数积分学的内容．在一元函数积分学中我们知道，定积分是某种确定形式的和的极限．这种和的极限的概念推广到定义在区域、曲线及曲面上多元函数的情形，便得到重积分、曲线积分及曲面积分的概念．本章将介绍重积分（包括二重积分和三重积分）的概念、性质、计算以及它们的一些应用． 第一节 二重积分的概念与性质 一、二重积分的概念 1．曲顶柱体的体积 设有一个立体，它的底是xOy 面上的闭区域D （为简便起见，本章以后除特别说明外，都假定平面闭区域和空间闭区域是有界的，且平面闭区域有有限面积，空间闭区域有有限体积），它的侧面是以D 的边界曲线为准线而母线平行于z 轴的柱面，它的顶是曲面 (,)z f x y =，这里(,)0f x y ≥且在D 上连续（图8-1），这种立体叫做曲顶柱体．现在我们来讨论如何计算上述曲顶柱体的体积V . 我们知道，平顶柱体的高是不变的，它的体积可以用公式 体积=底面积×高 来定义和计算．关于曲顶柱体，当点(,)x y 在区域D 上变动时，高度(,)f x y 是个变量，因此它的体积不能直接用上式来计算．但如果回忆起第五章中求曲边梯形面积的问题．就不难想到，那里所采用的解决方法，原则上可以用来解决目前的问题． 首先，用一组曲线网把D 分成n 个小闭区域 12,,,,n σσσ???L 分别以这些小闭区域的边界曲线为准线，作母线平行于z 轴的柱面，这些柱面把原来的曲顶柱体分为n 个细曲顶柱体．当这些小闭区域的直径（一个闭区域的直径是指区域上任意两点间距离的最大值）很小时，由于(,)f x y 连续，对同一个小闭区域来说，(,)f x y 变化很小，这时细曲顶柱体可近似地看作平顶柱体．我们在每个i σ?（这小闭区域的面积也记作i σ?）中任取一点(,)i i ξη，以(,)i i f ξη为高而底为i σ?的平顶柱体（图8-2）的体积为 (,)(1,2,,).i i i f i n ξησ?=L 这n 个平顶柱体体积之和 1 (,)n i i i i f ξησ =?∑ 可以认为是整个曲顶柱体体积的近似值．令n 个小闭区域的
高等数学二重积分总 结.
第九章二重积分 【本章逻辑框架】 【本章学习目标】 ⒈理解二重积分的概念与性质，了解二重积分的几何意义以及二重积分与定积分之间的联系，会用性质比较二重积分的大小，估计二重积分的取值范围。 ⒉领会将二重积分化为二次积分时如何确定积分次序和积分限，如何改换二次积分的积分次序，并且如何根据被积函数和积分区域的特征选择坐标系。熟练掌握直角坐标系和极坐标系下重积分的计算方法。 ⒊掌握曲顶柱体体积的求法，会求由曲面围成的空间区域的体积。 9.1 二重积分的概念与性质 【学习方法导引】 1．二重积分定义 为了更好地理解二重积分的定义，必须首先引入二重积分的两个“原型”，一个是几何的“原型”－曲顶柱体的体积如何计算，另一个是物理的“原型”—平面薄片的
质量如何求。从这两个“原型”出发，对所抽象出来的二重积分的定义就易于理解了。 在二重积分的定义中，必须要特别注意其中的两个“任意”，一是将区域D 成n 个小区域12, , , n σσσ??? 的分法要任意，二是在每个 小区域i σ?上的点(, i i i ξησ∈?的取法也要任意。有了这两个“任意”， 如果所对应的积分和当各小区域的直径中的最大值0λ→时总有同一个极限，才能称二元函数(, f x y 在区域D 上的二重积分存在。 2．明确二重积分的几何意义。 (1 若在D 上(, f x y ≥0，则(, d D f x y σ??表示以区域D 为底，以 (, f x y 为曲顶的曲顶柱体的体积。特别地，当(, f x y ＝1时，(, d D f x y σ ??表示平面区域D 的面积。 (2 若在D 上(, f x y ≤0，则上述曲顶柱体在Oxy 面的下方，二重积分(, d D f x y σ??的值是负的，其绝对值为该曲顶柱体的体积 (3若(, f x y 在D 的某些子区域上为正的，在D 的另一些子区域上为负的，则(, d D f x y σ??表示在这些子区域上曲顶柱体体积的代数和 (即在Oxy 平面之上的曲顶柱体体积减去Oxy 平面之下的曲顶柱体的体积.
第九章二重积分 【本章逻辑框架】 重积分的大小，估计二重积分的取值范围。 ⒉领会将二重积分化为二次积分时如何确定积分次序和积分限，如何改换二次积分的积分次序，并且如何根据被积函数和积分区域的特征选择坐标系。熟练掌握直角坐标系和极坐标系下重积分的计算方法。 ⒊掌握曲顶柱体体积的求法，会求由曲面围成的空间区域的体积。 9.1二重积分的概念与性质 【学习方法导引】 1．二重积分定义 为了更好地理解二重积分的定义，必须首先引入二重积分的两个“原型”，一个是几何的“原型”－曲顶柱体的体积如何计算，另一个是物理的“原型”—平面薄片的质量如何求。从这两个“原型”出发，对所抽象出来的二重积分的定义就易于理解了。 在二重积分的定义中，必须要特别注意其中的两个“任意”，一是将区域D 成n 个小区域12,,,n σσσ∆∆∆的分法要任意，二是在每个小区域i σ∆上的点 (,)i i i ξησ∈∆的取法也要任意。有了这两个“任意”，如果所对应的积分和当各 小区域的直径中的最大值0λ→时总有同一个极限，才能称二元函数(,)f x y 在区域D 上的二重积分存在。 2．明确二重积分的几何意义。 (1)若在D 上(,)f x y ≥0，则(,)d D f x y σ⎰⎰表示以区域D 为底，以(,)f x y 为曲顶 的曲顶柱体的体积。特别地，当(,)f x y ＝1时，(,)d D f x y σ⎰⎰表示平面区域D 的面 积。 (2)若在D 上(,)f x y ≤0，则上述曲顶柱体在Oxy 面的下方，二重积分
(,)d D f x y σ⎰⎰的值是负的，其绝对值为该曲顶柱体的体积 (3)若(,)f x y 在D 的某些子区域上为正的，在D 的另一些子区域上为负的，则(,)d D f x y σ⎰⎰表示在这些子区域上曲顶柱体体积的代数和(即在Oxy 平面之上的 曲顶柱体体积减去Oxy 平面之下的曲顶柱体的体积). 3．二重积分的性质，即线性、区域可加性、有序性、估值不等式、二重积分中值定理都与一元定积分类似。有序性常用于比较两个二重积分的大小，估值不等式常用于估计一个二重积分的取值范围，在用估值不等式对一个二重积分估值的时候，一般情形须按求函数(,)f x y 在闭区域D 上的最大值、最小值的方法求出其最大值与最小值，再应用估值不等式得到取值范围。 【主要概念梳理】 1.二重积分的定义设二元函数f(x,y)在闭区域D 上有定义且有界. 分割用任意两组曲线分割D 成n 个小区域12,,,n σσσ∆∆∆，同时用i σ∆表示它们的面积，1,2,,.i n =其中任意两小块i σ∆和()j i j σ∆≠除边界外无公共点。i σ∆既表示第i 小块,又表示第i 小块的面积. 近似、求和对任意点(,)i i i ξησ∈∆,作和式1(,).n i i i i f ξησ=∆∑ 取极限若i λ为i σ∆的直径，记12max{,,,}n λλλλ=,若极限0 1 lim (,)n i i i i f λξησ→=∆∑ 存在，且它不依赖于区域D 的分法，也不依赖于点(,)i i ξη的取法，称此极限为f (x,y )在D 上的二重积分.记为 称f (x,y )为被积函数，D 为积分区域，x 、y 为积分变元，d σ为面积微元(或面积元素). 2.二重积分(,)d D f x y σ⎰⎰的几何意义
高等数学重积分总结 重积分是高等数学中的一个重要章节，包括了二重积分和三重积分。本文将对重积分的相关概念、性质、计算方法等进行总结。 一、重积分的定义和性质 重积分可以看作是对多元函数在一个区域内的积分，其中二重积分和三重积分分别对应了二元函数和三元函数。对于一个区域D，其可以用极限值对角线的方法划分成n个微小的小区域Di，其中i的取值范围为1到n。设函数f(x,y)在小区域Di上的面积为S，且S趋近于0，则重积分可以表示为： $$\iint_D f(x,y)dxdy=\lim_{\substack{n,m\to \infty}} \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m f(x_{ij},y_{ij})\Delta S$$ 其中$\Delta S$为小区域Di的面积，$(x_{ij},y_{ij})$为小区域Di的任意一点。 与一元函数的积分类似，重积分也具有线性性、可加性、区间可减性和保号性等数学特征。同时，由于重积分的定义，其也满足如下性质： 1.积分与被积函数与积分区域的连续性，即对于在区域D上连续的函数f(x,y)，有： 2.积分与区域的可加性，即对于一个区域D可以分割成两个没有公共点的子区间，则： 同时还有极坐标和柱面坐标下的重积分公式： 对于极坐标，有： $$\iint_D f(x,y)dxdy=\iint_D f(rcos\theta,rsin\theta)rdrd\theta$$ $$\iiint_W f(x,y,z)dxdydz=\int_a^b\int_{\varphi_1}^{\varphi_2} \int_{\rho_1}^{\rho_2} f(\rho cos\varphi,\rho sin\varphi, z)\rho d\rho d\varphi dz$$ 其中W为三维区域，$(\rho,\varphi,z)$为柱面坐标系。 三、重积分的计算方法 对于重积分的具体计算，常用的有以下几种方法： 1.累次积分法 累次积分法就是将多重积分化为多个一元积分，以二重积分为例，若：
重积分的积分方法和积分公式重积分是高等数学中的重要概念，也是应用数学和物理学中使 用最广泛的数学工具之一。重积分包括二重积分和三重积分两种 形式，其积分方法和积分公式对于求解各种物理量的大小、均值、中心、惯性矩等、数学物理问题的衍生、傅里叶级数的变换等都 有着非常重要的应用价值。 1.二重积分的积分方法 在二维空间内，设有一函数$f(x,y)$，在有界区域$D$上有定义，那么$f(x,y)$在$D$上的二重积分可以通过将$D$分成若干个无穷小的小矩形，然后对每个小矩形求面积乘上$f(x,y)$在矩形内的均值 得出，公式如下： $\iint_Df(x,y)dxdy=\lim_{\Delta x, \Delta y \to 0} \sum_{i=1}^n f(x_i, y_i) \Delta x_i \Delta y_i$ 这里，$\Delta x$和$\Delta y$表示$x$和$y$在区域$D$上的最小 划分，$n$表示小矩形的个数，而$f(x_i,y_i)$则为小矩形中心点$(x_i,y_i)$处的函数值。
不同的小矩形划分方式会影响到二重积分的精确度，一种常用的划分方式是网格划分方法，即将区域D分成若干格子，然后在每个格子中取其中心点作为较准确的位置来求积分。 2.二重积分的积分公式 (1) Fubini定理：对于在矩形域$D$上的二重积分，其积分范围可以交换。 $\iint_Df(x,y)dxdy=\int_{a}^{b}dx\int_{c}^{d}f(x,y)dy=\int_{c}^ {d}dy\int_{a}^{b}f(x,y)dx$ (2) 极坐标变换：若对于$f(x,y)$在极坐标下的表示为 $f(r,\theta)$，则对于圆域$D$有以下公式成立。 $\iint_Df(x,y)dxdy=\int_{0}^{2\pi}d\theta\int_{0}^{R(\theta)}f(r\c os\theta,r\sin\theta)rdr$
重积分知识点总结 重积分是微积分中的一个重要概念，用于求解曲面、体积、质量等问题。重积分包括二重积分和三重积分，分别对应二维和三维空间中的曲面和体积。 一、二重积分 二重积分是对二维区域上的函数进行积分，常用于求解平面区域的面积、重心、质心等问题。求解二重积分的方法有直接计算和变量代换两种。 1. 直接计算：将二重积分转化为累次积分，先对一个变量积分再对另一个变量积分。需要注意的是积分的次序可能会影响结果。 2. 变量代换：通过变量代换，将原积分转化为更简单的形式。常用的变量代换有极坐标代换、参数方程代换等。 二、三重积分 三重积分是对三维空间内的函数进行积分，常用于求解空间区域的体积、质量、重心等问题。求解三重积分的方法有直接计算和变量代换两种。 1. 直接计算：将三重积分转化为累次积分，先对一个变量积分再对另一个变量积分，最后再对剩下的变量积分。同样，积分的次序可能会影响结果。
2. 变量代换：通过变量代换，将原积分转化为更简单的形式。常用的变量代换有柱面坐标代换、球面坐标代换等。 三、重积分的应用 重积分在物理学、工程学、经济学等领域中有广泛的应用。 1. 物理学：重积分可以用于计算物体的质量、质心、转动惯量等物理量。例如，可以通过三重积分计算物体的质量分布情况，进而求解物体的质心位置。 2. 工程学：重积分可以用于计算三维物体的体积、表面积等。例如，在建筑设计中，可以通过三重积分计算建筑物的体积，帮助设计师合理规划空间。 3. 经济学：重积分可以用于计算经济领域的总产出、总消费等指标。例如，在城市规划中，可以通过二重积分计算城市的总人口、总收入等。 四、重积分的性质 重积分具有一些重要的性质，如线性性、保号性、保序性等。 1. 线性性：重积分具有线性性质，即对于常数a和函数f(x, y)、g(x, y)，有∬(af(x, y) + bg(x, y))dxdy = a∬f(x, y)dxdy + b∬g(x, y)dxdy。
高数积分总结 一、不定积分 1、不定积分的概念也性质 定义1：如果在区间I上，可导函数F（x）的导函数为f(x)，即对任一，都有 F`(x）=f(x)或dF(x）=f（x)dx， 那么函数F（x)就称为f（x)（或f（x)dx）在区间I上的原函数. 定义2：在区间I上,函数f（x）的带有任意常数项的原函数称为f （x）（或者f(x）dx）在区间I上的不定积分，记作 。 性质1：设函数f（x）及g（x)的原函数存在，则 。 性质2：设函数f(x）的原函数存在，k为非零常数，则 。 2、换元积分法 （1）第一类换元法： 定理1：设f（u）具有原函数，可导，则有换元公式 。 例：求 解 将代入，既得 (2)第二类换元法：
定理2:设是单调的、可导的函数，并且又设具有原函数,则有换元公式 其中是的反函数。 例:求 解∵, 设，那么 ， 于是 ∴ ∵，且 ∴， 3、分部积分法 定义：设函数及具有连续导数。那么,两个函数乘积的导数公式为 移项得 对这个等式两边求不定积分,得 此公式为分部积分公式。 例：求 解 ∴ 分部积分的顺序：反对幂三指。 4、有理函数的积分 例:求
解∵,故设 其中A,B为待定系数。上式两端去分母后，得 即 比较上式两端同次幂的系数，既有 从而解得 于是 其他有些函数可以化做有理函数。 5、积分表的查询 二、定积分 1、定积分的定义和性质 （1）定义：设函数在上有界，在中任意插入若干个分点 把区间分成n个小区间 各个小区间的长度依次为 在每个小区间上任取一点，作函数值与小区间长度的乘积，并作出和记，如果不论对怎么划分,也不论在小区间上点怎么选取，只要当时，和总趋于确定的极限,那么称这个极限为函数在区间上的定积分（简称积分)，记作，即 其中叫做被积函数，叫做被积表达式，叫做积分变量，叫做积分下限，叫做积分上限，叫做积分区间。 定理1：设在区间上连续，则在上可积。 定理2：设在区间上有界,且只有有限个间断点,则在上可积。 （2）性质1：
高数d知识点总结大一 【高数D知识点总结大一】 一、数列与极限 在高数D课程中，数列与极限是一个非常重要的概念。数列是 由一系列有规律的数按照一定顺序排列而成的，而极限则是描述 数列趋于无穷时的性质。数列通常可以用递推公式、通项公式或 递归公式来表示。 二、函数 函数是高数D课程中另一个重要的概念。函数是一个输入和输 出的对应关系，常用字母表示为f(x)、g(x)等。函数的图像通常可 以通过绘制坐标系来进行观察与分析，其中包括函数的单调性、 奇偶性、周期性等性质。常见的函数类型有代数函数、三角函数、指数函数等。 三、导数与微分
导数是高数D中的一个核心概念，其表示函数在某一点处的变 化率。通过导数可以求解函数的最大值、最小值，也可以确定函 数的凸凹性与拐点等性质。微分则是导数的一种运算方式，微分 可以求得函数在某一点的局部线性近似。 四、不定积分 不定积分也是高数D的重要内容之一。它是求解函数的原函数 的反向运算，通常用符号∫ f(x) dx表示。在计算不定积分时，我们 可以利用一系列的基本积分公式、换元法、分部积分法等来简化 计算过程。 五、定积分 定积分是将函数在一定区间上的取值求和的运算。它可以用来 求解曲线与x轴所围成的面积、空间曲线的长度以及函数在某个 区间上的平均值等问题。通过积分的性质，我们可以利用换元法、分部积分法、定积分的比较大小等方法来求解各种类型的定积分。 六、基本常微分方程
基本常微分方程是高数D中的重要内容之一，它是描述自然现象和数学模型的数学方程。常见的基本常微分方程包括一阶线性常微分方程、一阶非线性常微分方程、二阶线性常微分方程等。通过求解微分方程，我们可以得到函数的解析解或数值解，用以描述问题的发展和变化。 七、多元函数与偏导数 多元函数是含有多个变量的函数，在高数D中我们主要关注二元函数。偏导数是多元函数在某一变量上的变化率，通过偏导数可以得到函数在特定方向上的变化趋势。在多元函数的极值问题中，我们可以利用偏导数的性质来求解最大值和最小值。 八、重积分 重积分是对二元及以上的函数在多维空间中某一区域上进行求和的运算。它可以用于求解物理问题中的质量、体积、质心等相关性质。在计算重积分时，我们可以利用Fubini定理、变量替换等方法来简化计算过程。
多重积分的方法总结 计算根据被积区域和被积函数的形式要选择适当的方法处理，这里主要是看被积区域的形式来选择合适的坐标形式，并给区域一个相应的表达，从而可以转化多重积分为多次的积分形式．具体的一些作法在下面给出． 一．二重积分的计算 重积分的计算主要是化为多次的积分．这里首先要看被积区域的形式, 选择合适的坐标系来进行处理．二重积分主要给出了直角坐标系和极坐标系的计算方法．我们都可以从以下几个方面把握相应的具体处理过程：1.被积区域在几何直观上的表现（直观描述，易于把握）；2.被积分区域的集合表示（用于下一步确定多次积分的积分次序和相应的积分限）；3.化重积分为多次积分． 1. 在直角坐标下： (a) X-型区域 几何直观表现：用平行于y 轴的直线穿过区域内部，与边界的交点最多两个．从而可以由下面和上面交点位于的曲线确定两个函数1()y y x =和2()y y x =； 被积区域的集合表示：12{(,),()()}D x y a x b y x y y x =≤≤≤≤； 二重积分化为二次积分： 21()() (,)(,)b y x a y x D f x y dxdy dx f x y dy =⎰⎰ ⎰⎰ ． (b) Y-型区域 几何直观表现：用平行于x 轴的直线穿过区域内部，与边界的交点最多两个．从而可以由左右交点位于的曲线确定两个函数1()x x x =和2()x x x =； 被积区域的集合表示：12{(,),()()}D x y c y d x x x x x =≤≤≤≤；
二重积分化为二次积分： 21() () (,)(,)d x y c x y D f x y dxdy dx f x y dx =⎰⎰ ⎰⎰ ． 2. 在极坐标下： 几何直观表现：从极点出发引射线线穿过区域内部，与边界的交点最多两个．从而可以由下面和上面交点位于的曲线确定两个函数1()r r θ=和2()r r θ=（具体如圆域，扇形域和环域等）； 被积区域的集合表示：1212{(,),()()}D r r r r θθθθθθ=≤≤≤≤，注意，如果极点在被积区域的内部，则有特殊形式2{(,)02,0()}D r r r θθπθ=≤≤≤≤； 直角坐标下的二重积分化为极坐标下的二重积分，并表示成相应的二次积分： 2211() () (,)(cos ,sin )(cos ,sin )r r D D f x y dxdy f r r rdrd d f r r rdr θθθθθθθθθθ==⎰⎰ ⎰⎰⎰⎰ ． 注：具体处理题目时，首要要能够选择适当的处理方法，并能够实现不同积分次序及直角坐标和极坐标的转化． 3. 二重积分的换元法： (,)z f x y =在闭区域D 上连续，设有变换 (,),(,)(,)x x u v T u v D y y u v =⎧'∈⎨=⎩ 将D '一一映射到D 上，又(,),(,)x u v y u v 关于u , v 有一阶连续的偏导数，且 (,) 0(,) x y J u v ∂= ≠∂, (,)u v D '∈ 则有
第九章 重积分 以前我们学过一元函数的积分字,若f(x)在(a ，b)上可积，到积分⎰b a dx x f )(其中)(x f 为 被积函数，（a ，b ）为积分区间。我们若把)(x f 推广到多元函数。(a ，b)推广到区域。曲线，曲面等危围上去，便得到重积分，曲线积分，曲面积分等，本章只讲二重积分。〖补充〗：这章的所有图形请老师自己为学生画出，并讲述画图的经过！ 第一节 二重积分的概念和性质 一、二重积分的概念 先讲二个具体的问题：（1）、求曲顶柱体体积。（二）求平方薄片的质量。 （一） 求曲顶柱体体体积： 设z=f(x.，y)是定义在有界区域性D 上的非负连续函数。我们称曲面z=f(x ，y)，xoy 平面上的区域D 和准线为D 的边界，母线平行于z 轴的柱体所围成的立体为曲顶柱体。现在的问题是求这个曲顶柱体的体积V 。 首先用一组曲线T 把区域D 划分为n 个小区域i σ∆（i=1，2，…,n ）这样就把原柱体分为n 个小曲顶柱体V i 。又记i σ∆为T i 的面积，λi 为i σ∆的直径，对于i σ∆来说，由于f(x ，y)在i σ∆连续。故当λi 很小时，f(x ，y)在i σ∆上各点的函数值近似相等，从而可视i σ∆上的曲顶柱体为平顶柱体，为此在i σ∆中任放一点以),(i i f ηξ为高的小平顶柱体的体积为 i i i f σηξ∆),(。并用它来代替这个小曲顶柱体的体积V i 把所有这些小平顶柱体的体积加起 来便得曲顶柱体的体积的近似值： ∑∑==∆⋅≈∨=N i N i i i i i f V 1 1 )(σηξ 最后，当分割T 的细度O Max T i →=λ时有： ∑=→∆⋅N i i i i V f 1 )(σ ηξ
高等数学知识点总结 第一篇：微积分学 微积分学是数学中的一个分支，主要研究函数和曲线的 变化过程，是现代科学及工程技术的基础。微积分学包括微分学和积分学两个部分。下面将具体介绍微积分学中的一些重要知识点。 1. 极限 极限是微积分的基本概念之一，是函数在某一点处的变 化规律的精确定义。其中最常用的就是函数在无穷大或无穷小处的极限。极限可以用极限符号“lim”表示，例如：当x趋于0时，f(x)趋于无穷大，即lim f(x) = ∞ 或 f(x)→∞ 2. 导数 导数是函数在某一点上的变化率，可解释为一个瞬间的 斜率，也是微积分中的一个重要概念。导数常用符号“f'(x)”表示，可理解为对函数f(x)在x点处进行微小的变化求极限。常见求导法则包括： (1) 常数规则：导数为0 (2) 幂律：导数为nx^(n-1) (3) 和差法则：f(x)+g(x)的导数为f'(x)+g'(x) (4) 积法则：(f(x)g(x))' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x) (5) 商法则：(f(x)/g(x))' = (f'(x)g(x) - f(x)g'(x)) / (g(x))^2 3. 泰勒公式
泰勒公式是微积分中非常重要的一个公式，它是一种函 数在某一点附近的泰勒级数展开式，可以方便地用于计算函数的近似值。泰勒公式的基本形式为： f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)^2/2! + ... + f^n(a)(x-a)^n/n! + ... 其中f(x)表示函数在x点处的值，f(a)表示函数在a点 处的值，f^(n)(a)表示函数在a点处的n阶导数，n为正整数。 4. 不定积分 不定积分是微积分中的一个概念，表示对一个函数的求 导逆运算。也就是说，如果把一个函数f(x)求导，得到的结 果是g(x)，那么不定积分就是求出函数g(x)的一个原函数 F(x)，使得F'(x) = g(x)。常用符号为∫。 5. 定积分 定积分是微积分学中的一个重要概念，表示函数f(x)在 区间[a,b]上的面积。它可以表示为： ∫a^b f(x)dx = lim Δx→0 ∑i=1^n f(xi)*Δxi 其中，Δx=(b-a)/n，xi为子区间[a+(i-1)Δx,a+iΔx] 上的任意一点，n表示将区间[a,b]分成n个子区间。 以上就是微积分学中的一些重要知识点，深入学习这些 知识将对理解数学、物理等相关领域中的问题有很大帮助。 第二篇：多元函数与偏导数 多元函数是指依赖于两个或以上自变量的函数，与一元 函数类似，也可以进行求导和积分等运算。下面将具体介绍多元函数中的一些重要知识点。 1. 偏导数 偏导数是多元函数的一个重要概念，如果f(x,y)是一个 函数，那么f(x,y)关于x的偏导数就是在y取定的情况下，
重积分知识点 重积分是数学分析中的一个重要概念，是对多元函数在三维空间中的积分，也称为三重积分。它是高等数学、微积分、物理学等领域中必须掌握的基本知识点。下面将从定义、性质、计算方法和应用四个方面详细介绍重积分知识点。 一、定义 重积分是对三元函数在三维空间中某一区域内的积分，表示为： $$\iiint_{\Omega}f(x,y,z)dV$$ 其中，$\Omega$表示被积区域，$dV$表示体积元素。 二、性质 1.线性性质：若$f(x,y,z)$和$g(x,y,z)$在$\Omega$上可积，则有： $$\iiint_{\Omega}(af+bg)dV=a\iiint_{\Omega}f(x,y,z)dV+b\iiint_{ \Omega}g(x,y,z)dV$$
其中$a,b$为常数。 2.可加性质：若将$\Omega$划分成若干个互不相交的子区域 $\Omega_1,\Omega_2,...,\Omega_n$，则有： $$\iiint_{\Omega}f(x,y,z)dV=\sum^n_{i=1}\iiint_{\Omega_i}f(x,y,z )dV$$ 3.保号性质：若$f(x,y,z)\geq0$在$\Omega$上成立，则有： $$\iiint_{\Omega}f(x,y,z)dV\geq0$$ 4.单调性质：若$f(x,y,z)\leq g(x,y,z)$在$\Omega$上成立，则有： $$\iiint_{\Omega}f(x,y,z)dV\leq\iiint_{\Omega}g(x,y,z)dV$$ 三、计算方法 1.直接计算法：将被积函数$f(x,y,z)$转化为三元积分的形式，然后按照定积分的方法进行计算。 2.累次积分法：将三重积分转化为三个定积分的累次积分，然后按照定积分的方法进行计算。
高等数学中的三重积分与曲面积分 在高等数学中，三重积分和曲面积分是两个重要的概念和计算方法。它们在物 理学、工程学和计算机图形学等领域中有着广泛的应用。本文将介绍三重积分和曲面积分的基本概念、计算方法以及它们的应用。 一、三重积分 三重积分是对三维空间中某一区域内的函数进行求和的方法。它可以看作是二 重积分的推广。三重积分的计算需要确定积分区域的边界和积分函数的形式。一般来说，三重积分可以分为直角坐标系下的三重积分和柱坐标系下的三重积分。 在直角坐标系下，三重积分的计算可以通过分割积分区域为小立方体，并对每 个小立方体进行求和来实现。具体地，我们可以将积分区域分割成若干个小立方体，每个小立方体的体积为ΔV，然后对每个小立方体内的函数值进行求和，并在极限 情况下求得积分的值。这种方法称为立体分割法。 在柱坐标系下，三重积分的计算可以通过极坐标变换来实现。具体地，我们可 以将积分区域由直角坐标系转化为柱坐标系，然后对柱坐标系下的函数进行积分。柱坐标系下的三重积分的计算方法相对简单，适用于具有旋转对称性的问题。 二、曲面积分 曲面积分是对曲面上的函数进行求和的方法。它可以看作是线积分的推广。曲 面积分的计算需要确定曲面的参数方程和积分函数的形式。一般来说，曲面积分可以分为第一类曲面积分和第二类曲面积分。 第一类曲面积分是对曲面上的标量函数进行求和的方法。具体地，我们可以将 曲面分割为若干个小面元，每个小面元的面积为ΔS，然后对每个小面元上的函数 值进行求和，并在极限情况下求得积分的值。第一类曲面积分的计算方法相对简单，适用于曲面上的标量场问题。
第二类曲面积分是对曲面上的向量函数进行求和的方法。具体地，我们可以将曲面分割为若干个小面元，每个小面元的面积为ΔS，然后对每个小面元上的向量函数进行求和，并在极限情况下求得积分的值。第二类曲面积分的计算方法相对复杂，适用于曲面上的向量场问题。 三、应用 三重积分和曲面积分在物理学、工程学和计算机图形学等领域中有着广泛的应用。 在物理学中，三重积分可以用来计算物体的体积、质量以及物体上的质心等。曲面积分可以用来计算物体的表面积、质量分布以及物体上的力场等。 在工程学中，三重积分可以用来计算流体的质量、动量以及能量等。曲面积分可以用来计算电场的通量、磁场的通量以及流体的流量等。 在计算机图形学中，三重积分可以用来进行体绘制和体数据处理。曲面积分可以用来进行曲面绘制和曲面数据处理。 总之，高等数学中的三重积分和曲面积分是两个重要的概念和计算方法。它们在物理学、工程学和计算机图形学等领域中有着广泛的应用。通过学习和掌握三重积分和曲面积分的基本概念和计算方法，我们能够更好地理解和应用数学知识，为解决实际问题提供有效的数学工具。
高等数学三重积分计算方法总结 1、利用直角坐标计算三重积分： （1）投影法（先一后二）： 1）外层(二重积分)：区域Ω在xoy 面上的投影区域Dxy 2）内层(定积分)： 从区域Ω的底面上的z 值，到区域Ω的顶面上的z 值。 （2）截面法（先二后一）： 1)外层(定积分): 区域Ω在z 轴上的投影区间。 2)内层(二重积分):Ω垂直于z 轴的截面区域。 2、利用柱坐标计算三重积分 3、利用球面坐标计算三重积分 定限方法: (1)转面定θ(2)转线定φ (3)线段定r 4、利用对称性化简三重积分计算 设积分区域Ω关于xoy 平面对称， (1)若被积函数 f (x,y,z ) 是关于z 的奇函数，则三重积分为零。 (2)若被积函数 f (x,y,z ) 是关于z 的偶函数，则三重积分等于：在xoy 平面上方的半个Ω，区域上的三重积分的两倍. 使用对称性时应注意： 1）积分区域关于坐标面的对称性； ２）被积函数关于变量的奇偶性。 (cos ,sin ,)f z d d dz ρθρθρρθΩ ⎰⎰⎰(,,)f x y z dv Ω=⎰⎰⎰(,,)f x y z dxdydz Ω⎰⎰⎰(sin cos ,sin sin ,cos )f r r r φθφθφΩ =⎰⎰⎰2sin r drd d φφθ
例 计算 ，其中Ω是由曲面z = x 2 + y 2和x 2 + y 2 + z 2 =2所围成的空间闭区域. 解： 是关于x 的奇函数，且Ω关于 yoz 面对称 故其积分为零。 2x 2 y 是关于y 的奇函数,且关于 zox 面对称 ⎰⎰⎰Ω++dxdydz z y x x 2)(2 )(z y x x ++ 22222222)(zx xyz y x z y x x +++++=xyz z y x x 2)(222+++ ,022⎰⎰⎰Ω=∴ydv x ⎰⎰⎰Ω ++=∴dxdydz z y x x I 2)(,22⎰⎰⎰Ω=zdxdydz x ⎰⎰⎰Ωθρρ⋅⋅θρ=dz d d z 22cos 2⎰⎰⎰⋅θρρθ=zdz d d 23cos 2 ⎰⎰πρρ-ρ-θρθ=20104223)2(cos d d 245π =222ρ-ρπ20
重积分的积分性质和计算规则重积分是高等数学中的一种重要概念，指对于一个二元函数而言，将其在一个二维区域上进行积分的过程。与单积分类似，重积分也有其特定的积分性质和计算规则。本文将详细介绍重积分的这些性质和规则，以帮助读者更好地理解和应用重积分的相关知识。 一、积分性质 1. 线性性质：重积分具有线性性，即对于常数c与两个可积函数f(x,y)和g(x,y)，有如下式子成立： ∬ (c*f(x,y) + g(x,y)) dxdy = c * ∬ f(x,y) dxdy + ∬g(x,y)dxdy 2. 可积性与非负性：如果函数f(x,y)在一个有限二维区域上是可积的，那么它在该区域上的积分一定存在；而如果函数g(x,y)在该区域上非负，则其积分也是非负的。
3. 积分次序可交换：如果二元函数f(x,y)在一个矩形区域上是可积的，则对于该区域内的任意两个积分限定，这两个积分的次序可以任意交换而不影响结果，即： ∬ f(x,y) dxdy = ∬ ( ∬f(x,y)dy ) dx = ∬(∬f(x,y) dx)dy 二、计算规则 1. Fubini定理：Fubini定理是重积分中的一个重要定理，可以将对二元函数在一个区域上的重积分转化为两个一元函数相应区域上的积分，即： ∬f(x,y)dxdy = ∫a∫b f(x,y)dxdy = ∫b∫a f(x,y)dydx = ∫a∫b f(x,y)dydx 其中f(x,y)为被积函数，a和b分别为区域在x和y轴上的积分限。 2. 直角坐标系下的计算规则：在直角坐标系下，重积分可以用二重积分的形式表示，即：
∬f(x,y)dxdy = ∫c∫d f(x,y)dxdy 其中 c 和 d 分别为区域在x和y轴上的积分限，这个积分区域 可以是矩形、梯形、三角形等形状。在进行计算时，通常需先用 对x或y的积分公式进行计算，再对另一个变量进行积分。 3. 极坐标系下的计算规则：在极坐标系下，重积分可以用二重 积分的极坐标形式表示，即： ∬f(x,y)dxdy = ∫α∫β f(r*cosθ,r*sinθ)rdrdθ 其中α和β为对应极角的积分限，r是到极点的距离，θ是到x 轴的角度。在进行计算时，需要先对r进行积分，然后再对θ进行积分。 总之，重积分作为高等数学中的重要概念，具有其特定的积分 性质和计算规则。通过熟练掌握这些性质和规则，可以更好地理 解和应用重积分的相关知识，在解决实际问题时也更为得心应手。
大一高数重积分知识点 重积分是高等数学中的重要概念，主要是对二重积分的推广和拓展。在本篇文章中，将介绍一些大一高数课程中涉及的重积分的基本知识点和相关概念。 一、重积分的概念 重积分是对多变量函数在某个区域上的积分，主要用于计算空间内的体积、重心以及质心等物理量。 在二维情况下，重积分被称为二重积分，表示对平面上的区域进行积分；在三维情况下，重积分被称为三重积分，表示对空间内的区域进行积分。 二、二重积分的计算 对于二重积分的计算，常用的方法有直角坐标法和极坐标法。 1. 直角坐标法
通过将二重积分化为两个一重积分的形式来计算。 例如，对于函数f(x, y)，其在矩形区域D上的二重积分可以表示为： ∬D f(x, y) dxdy 通过确定积分的上下限，将二重积分转化为两个单变量函数的积分。 2. 极坐标法 对于具有极坐标对称性的函数，可以采用极坐标来进行计算。 通过将二重积分转化为极坐标下的一重积分，可以简化计算过程。 三、三重积分的计算
对于三重积分的计算，也可以采用直角坐标法或柱坐标法进行计算。 1. 直角坐标法 对于函数f(x, y, z)，其在空间内的三重积分可以表示为： ∭E f(x, y, z) dxdydz 通过逐次进行积分，将三重积分转化为三个一重积分的形式。 2. 柱坐标法 对于具有柱坐标对称性的函数，可以采用柱坐标来进行计算。 通过将三重积分转化为柱坐标下的一重积分，可以简化计算过程。 四、变量替换法
在计算重积分时，有时可以通过变量替换法来简化积分的计算过程。 通过适当选择变量替换，可以将原先复杂的积分问题转化为更简单的形式。 变量替换法在求解一些特殊的积分问题时非常有用。 五、应用领域 重积分在物理学、工程学等领域中具有广泛的应用。 在物理学中，通过重积分可以计算物体的质量、质心、转动惯量等物理量。 在工程学中，通过重积分可以计算流体的流量、电荷分布等问题。 总结：
重积分的定义与性质 重积分是高等数学中的一个重要概念，是对多元函数在空间内的积分运算。在实际应用中，经常需要对物理量、几何量等进行多个变量的积分运算，这时就需要用到重积分。本文将对重积分的定义和性质进行详细阐述。 一、连续函数的重积分 对于连续函数$f(x,y)$，其中$(x,y)$为定义域内的任意一个点，其重积分定义如下： $$\iint_D f(x,y) dxdy$$ 在上式中，$D$为定义域。这个式子的含义是在二维平面上对函数$f(x,y)$从定义域$D$内的每个点$(x,y)$到坐标轴正方向的区域进行积分。其中，$dxdy$表示微元，用来表示积分的范围。重积分也可以用极坐标系进行表示： $$\iint_D f(x,y) dxdy=\iint_D f(r\cos\theta,r\sin\theta) rdrd\theta$$
这里，$r$和$\theta$分别表示极坐标系下的径向坐标和角度坐标。 二、重积分的性质 对于重积分，我们要了解一些基本的性质。 1. 线性性：若$f(x,y)$和$g(x,y)$是$D$上的可积函数，$k_1$和$k_2$为常数，则： $$\iint_D (k_1f(x,y)+k_2g(x,y)) dxdy=k_1\iint_D f(x,y) dxdy+k_2\iint_D g(x,y) dxdy$$ 也就是说，重积分运算具有线性性。 2. 绝对可积性：如果$\iint_D |f(x,y)| dxdy$有定义，则称 $f(x,y)$是$D$上的绝对可积函数。 3. 积分中值定理：如果$f(x,y)$在$D$上连续，则存在一点$(\xi,\eta)\in D$，使得：
高等数学重积分笔记 重积分是高等数学中的一个重要概念，它涉及到空间内某些图形的面积、体积、重量等方面的计算。以下是一些重积分的笔记内容: 1. 重积分的概念：重积分是一种积分方法，它可以用来计算空间内某些图形的面积、体积、重量等。重积分的基本思想是将空间内的某个区域分割成多个小区域，然后对每个小区域进行积分。最终通过求和的方式得到整个区域的面积、体积、重量等。 2. 重积分的基本公式：重积分的基本公式可以用来计算任意函数的重积分。基本公式如下: ∫ABf(x,y)dxdy = ∫ABF(x,y)dydx + ∫BFCA(x,y)dydx - ∫ACBf(x,y)dxdy 其中，∫AB 表示空间内某个区域 AB 的面积，f(x,y) 表示区域AB 内的函数值，∫ABF(x,y)dydx 表示区域 AB 内部的函数值，∫BFCA(x,y)dydx 表示区域 AB 外部的函数值，CB 表示区域 AB 的边界。 3. 重积分的应用领域：重积分广泛应用于空间内的图形计算，例如计算球的体积、圆柱的体积、圆锥的体积等。此外，重积分还可以用于计算曲线的长度、曲线的弧长、函数的极值点等。 4. 重积分的变量替换法：在重积分的计算中，有时候会遇到难以求解的积分，这时可以通过变量替换法来解决。变量替换法是指将某些变量替换成其他变量，使得积分变得容易求解。例如，当积分式中含有根号时，可以通过变量替换来解决。
5. 重积分的分部积分法：在重积分的计算中，有时候会遇到难以求解的积分，这时可以通过分部积分法来解决。分部积分法是指将积分式中的某些变量拆分成两个变量，然后分别进行积分。例如，当积分式中含有 lnx 时，可以通过分部积分来解决。 以上是重积分的一些笔记内容，希望有所帮助。