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第九章 重积分
一、学习目的与要求
1、加深理解二重积分与三重积分的概念，熟悉重积分的性质。
2、熟练掌握二重积分的计算方法（包括直角坐标与极坐标系下的计算）。
3、熟练掌握三重积分的计算方法（包括直角坐标、柱坐标以及球坐标系下的计算）。
4、能用重积分来表达一些几何量与物理量（如体积、曲面面积、质量、重心、转动惯量
等）。
二、学习重点
二重积分和三重积分的计算法
三、内容提要
1、重积分的定义
⎰⎰∑=→∆=D
n
i i
i
i
f d y x f 1
),(lim ),(σηξσλ
（与D 的划分及),(i i ηξ取法无关），其中D 为平面
有界闭区域，}{max ),,,2,1(),(1的直径i n
i i i i n i σλσηξ∆==∆∈≤≤ 。
⎰⎰⎰∑Ω
=→∆=n
i i i
i
i
V f dV z y x f 1
),,(lim ),,(ζηξλ
（与Ω的划分及),,(i i i ζηξ取法无关，其中Ω
为空间有界闭区域，}{max ),,,2,1(),,(1的直径i n
i i i i i V n i V ∆==∆∈≤≤λζηξ 。
2、重积分的几何意义
当0),(≥y x f 时，
⎰⎰D
d y x f σ),(表示以区域D 为底，以曲面z =f (x,y )为顶的曲顶柱体
体积。当1),(≡y x f 时，
⎰⎰D
d σ表示平面区域D 的面积。当1),,(≡z y x f 时，⎰⎰⎰Ω
dV
表示空间区域Ω的体积。
3、重积分的可积性
若),(y x f （或),,(z y x f ）在有界闭区域D （或Ω）上分块连续，则),(y x f （或
),,(z y x f ）在D （或Ω）上可积。
4、重积分的性质
二重积分与三重积分具有类似的性质，现以二重积分为例，并假设所有被积函数都是可积的。 （Ⅰ）线性性质
⎰⎰⎰⎰⎰⎰+=+D
D
D
d y x g k d y x f k d y x g k y x f k
σσσ),(),()],(),([2121
，其中k 1,k 2为
常数。
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（Ⅱ）区域可加性
⎰⎰⎰⎰⎰⎰+=D
D D d y x f d y x f d y x f 1
2
),(),(),(σσσ，其中,21
D D
D ⋃=且D 1，D 2除
边界外无其它公共点。 （Ⅲ）比较性质
若D y x y x g y x f ∈≤),(),,(),(，则
⎰⎰⎰⎰≤D
D
d y x g d y x f σσ),(),(
特别有
⎰⎰
⎰⎰≤D
D
d y x f d y x f σσ),(),(
（Ⅳ）估值定理
设}),(),(min{},),(),(max{D y x y x f m D y x y x f M ∈=∈=，则
⎰⎰≤≤D
D M d y x f D m σ),(，其中D 为有界闭区域D 的面积。
（Ⅴ）中值定理：若f (x,y )在D 上连续，则D f d y x f D
⋅=⎰⎰),(),(ηξσ，其中
D ∈),(ηξ
5、重积分的计算
重积分计算需化为累次积分，积分顺序的选取应视区域形状及被积函数的特点而定。 （Ⅰ）二重积分计算
（1）在直角坐标系下，面积元dxdy d =σ 若⎩⎨
⎧≤≤≤≤)
()(:21x y y x y b
x a D （x -型区域），则
⎰⎰
⎰⎰
=D
b
a
x y x y dy y x f dx d y x f )()
(21),(),(σ
若⎩⎨⎧≤≤≤≤)()(:21y x x y x d
y c D （y -型区域），则⎰⎰⎰⎰=D
d c y x y x dx y x f dy d y x f )()(21),(),(σ （2）在极坐标系)sin ,cos (θθr y r x ==下，面积元素θσrdrd d =
若⎩⎨⎧≤≤≤≤),()(,
:21θθβθr r r a D 则⎰⎰⎰⎰=D
r r rdr r r f d d y x f )()(21)sin ,cos (),(θθβαθθθσ 特别，若极点O 在D 的内部，则0)(,201=≤≤θπθr ；若极点O 在D 的边界上， 则0)(1=θr
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若⎩⎨⎧≤≤≤≤)()(,
:21r r b r a D θθθ，则⎰⎰⎰⎰=b a r r D
d r r f rdr d y x f θθθσϕϕ)sin ,cos (),()()(12
（Ⅱ）三重积分的计算
（1）在直角坐标系下，体积元dxdydz dv =
若⎩⎨⎧≤≤∈Ω),,(),(,
),(:21y x z z y x z D y x 则⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ω=D
y x z y x z dz z y x f dxdy dV z y x f ),(),(21),,(),,(
此方法俗称“先一后二”法，区域D 为Ω在xOy 面的投影区域。 若⎩⎨
⎧≤≤∈Ω,,
),(:21c z c D y x z 则⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ω=z
D c c dxdy z y x f dz dV z y x f ),,(),,(21
此法俗称“先二后一”法，区域D z 为平面z=z(c 1 （2）在柱坐标系),sin ,cos (z z r y r x ===θθ下，体积元drdz rd dV θ= 若⎪⎩⎪ ⎨⎧≤≤≤≤≤≤Ω, ),()(),,(),(:21 2121θθθθθθθr r r r z z r z 则 ⎰⎰⎰⎰⎰ ⎰ Ω =2 1 2121)() (),() ,(),sin ,cos (),,(θθ θθθθθθθr r r z r z rdz z r r f dr d dV z y x f 若⎪⎩⎪ ⎨⎧≤≤≤≤≤≤Ω), ,(),(),()(, :21 21z r r z r z z a c z c θθβθ则 ⎰⎰⎰⎰ ⎰ ⎰ Ω =21 21)() (),() ,(),sin ,cos (),,(c c z z z r z r rdr z r r f d dz dV z y x f βαθθθθθ （3）在球坐标系)cos ,sin sin ,cos sin (ϕρθϕρθϕρ===z y x 下，体积 ρϕθϕρd d d dV sin 2= 若⎪⎩⎪ ⎨⎧≤≤≤≤≤≤Ω, ),()(), ,(),(:21 2121θθθθϕϕθϕϕθρρϕθρ则⎰⎰⎰ΩdV z y x f ),,( 精品文档 = ⎰⎰ ⎰ 2 1 2121)() (),() ,(2sin )cos ,sin sin ,cos sin (θθ θϕθϕϕθϕθρϕρϕρθϕρθϕρϕθr r d f d d 6、重积分的应用 （Ⅰ）平面图形的面积 设D 为平面区域，其面积为⎰⎰=D d A σ （Ⅱ）空间立体的体积 设Ω为空间区域，其体积为⎰⎰⎰Ω = dV V （Ⅲ）曲面的面积 设曲面方程为D y x y x f z ∈=),(),,(，函数f (x,y )在D 上有连续的 偏导数，则该曲面面积为: dxdy f f S D y x ⎰⎰ ++=221 (IV) 物体的质量 ( 1) 平面薄片的质量：设薄片占有平面区域D,其面密度为),(y x ρρ=，则其质 量为： ⎰⎰= D d y x M σρ),( （2）空间立体的质量：设物体占有空间区域Ω，其体密度为),,(z y x ρρ=，则其 质量为 ⎰⎰⎰Ω =dV z y x m ),,(ρ （Ⅴ）物体的质心 （1） 平面薄片的质心：设薄片占有平面区域D ，其面密度为),(y x ρρ=，则薄片 的重心坐标),(y x 为： ⎰⎰=D d y x x m x σρ),(1，⎰⎰=D d y x y m y σρ),(1 ， 其中m 为薄片的质量⎰⎰= D d y x m σρ),( （2） 空间物体的质心：设物体占有空间区域Ω，其体密度为),,(z y x ρρ=，则物体 的质心坐标),,(z y x 为： ⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ω Ω Ω = = = dv z y x xz M z dv z y x y M y dv z y x x M x ),,(1,),,(1,),,(1 ρρρ 其中⎰⎰⎰Ω = dv z y x M ),,(ρ （Ⅵ）物体的转动惯量： （1）平面薄片的转动惯量：设平面薄片占有区域D ，其面密度为),(y x ρρ=，则薄 精品文档 片对x 轴和y 轴的转动惯量I x 、I y 分别为： ⎰⎰⎰⎰==D y D x d y x x I d y x y I σρσρ),(,),(22 （2）物体的转动惯量：设物体占有空间区域Ω，其体密度为),,(z y x ρρ=，则物体 对x,y,z 轴的转动惯量I x 、I y 和I z 分别为： ⎰⎰⎰Ω +=,),,()(22dV z y x z y I x ρ⎰⎰⎰Ω +=,),,()(22dV z y x z x I y ρ ⎰⎰⎰Ω +=dV z y x y x I z ),,()(22ρ （Ⅶ）引力 设立体Ω的密度为),,(z y x ρρ=，Ω外一点),,(0000z y x P 处有质量为m 的一 质点，则立体Ω对质点P 0的引力为 F=F x i+F y j+F z k ，其中 ⎰⎰⎰ Ω -=,),,(30dV z y x r x x km F x ρ⎰⎰⎰Ω -=,),,(30dV z y x r y y km F y ρ ⎰⎰⎰ Ω -=,),,(3 dV z y x r z z km F z ρ其中k z z y y x x r ,)()()(202020-+-+-= 为引力常数。 四、思考题 1、设函数),(y x f 在区域D 上连续，则符号 ⎰⎰D dxdy y x f ),(表示什么？这个量与什么有 关？与什么无关？其几何意义是什么？ 2、采用极坐标计算二重积分时，其面积元素的表达式是什么？一般在什么情况下采用极 坐标计算比较方便？ 3、试问下列等式是否成立，为什么？ （1）⎰⎰⎰⎰=D D xydxdxy xydxdy 1 ,4其中D:x 2 +y 2 ≤4,D 1 :x 2 +y 2 ≤4,及x ≥0,y ≥0 （2） ⎰⎰⎰⎰ =+D D xdxdy dxdy y x ,)(其中D:（x-a ）2+y 2≤a 2 (a>0) （3） ⎰⎰ ⎰⎰=D rdr r r f d dxdy y x f 2 1 20 )sin ,cos (4),(θθθπ ，其中D:1≤:x 2+y 2≤4 （4） ⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩΩ Ω ==1 1 4,4υυυυzd zd xd xd ，其中0,:2222 ≥≤++Ωz R z y x ， R z y x ≤++Ω2221:2及x ≥0,y ≥0,z ≥0 精品文档 （5） ⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ω Ω =++xdxdydz dxdydz z y x 3)(，其中1:=++Ωz y x 及 x ≥0,y ≥0,z ≥0 4、通常在什么情况下采用柱坐标或球坐标计算三重积分比较方便？ 5、何谓三重积分的“先二后一”计算法？在什么情况下采用此法比较方便？ 五、典型例题分析 例 1 将⎰⎰= D d y x f I σ ),(表示为累次积分，其中D:由 1,2 1 ,0,8222====+y y x y y x 所围。 分析 先画出积分域D 的草图。由图可见，若选择先y 后x 的积分次序，积分将分为三段， 计算量较大。所以本题应选先x 后y 的积分次序。 解 ⎰ ⎰-= 10 82 1 22 ),(y y dx y x f dy I 例2 计算 ⎰⎰ ⎰⎰ +42 221 2sin 2sin dy y x dx dy y x dx x x x ππ 分析 按题中所给积分次序进行积分，将比较困难，若更换积分次序，会比较方便。 这 首先需要根据所给积分限画出积分区域的草图（图9-1），然后改选先x 后y 的积分次 序，再定限积分。 解 原式= dx y x dy y y ⎰ ⎰21 2 2sin π=⎰- 2 1 22cos 2dy y x y y y ππ =⎰ -- 21 )2cos 2(cos 2 dy y y ππ π =)2(4 2ππ + 小结 如何选择积分次序？ （1）取决于积分区域的形状，要使积分域的分块情况最简单； （2）取决于被积函数的具体形式，使先作的积分简便，有时甚至先积分中的被积函数没 有初等原函数，如积分 ⎰ ⎰-20 2 2 x y dy e dx 只有改变积分次序，才能达到积分的目的。 在作重积分计算时，应注意下面几点： 1） 应选择好适当的坐标系，一般选坐标系应兼顾被积函数与积分区域两头。如被积函 数为f (x 2+y 2)积分区域为圆形，或其一部分，应选极坐标系。但两头都能兼顾的情况是很少的，一般以区域优先考虑。如区域为圆形、扇形、圆环或区域边界用极坐标方程表达较简单时，应选极坐标，否则选直角坐标。 2）应尽量利用对称性，但对称性也必须兼顾两头，即区域或被积函数。具体方法如下： （1）若区域D 关于x 轴对称（图9-2），则 图9-1 精品文档 ⎰⎰ ⎰⎰⎪⎩ ⎪⎨⎧-=-=-=D D y x f y x f y x f y x f dxdy y x f dxdy y x f ),(),(,0),(),(,),(2),(1当当 （2）若区域D 关于y 轴对称（图9-3），则 ⎰⎰ ⎰⎰⎪⎩ ⎪⎨⎧-=-=-=D D y x f y x f y x f y x f dxdy y x f dxdy y x f ),(),(,0),(),(,),(2),(1当当 （3）若区域D 关于x 轴和y 轴均对称（图9-4），则 ⎰⎰ ⎰⎰⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨⎧-=--=--=--=D D y x f y x f y x f y x f y x f y x f dxdy y x f dxdy y x f ),(),() ,(),(,0),(),(,),(4),(1 或当当 图9-2 图9-3 图9-4 例3 计算下列二重积分 （1）⎰⎰≤+=+D y x y x D dxdy y x }1),{(,)(其中 （2）⎰⎰+D dxdy y x )(22 ，其中D 是以(0,0),(1,0)(0,1)为顶点的三角形。 （3） ⎰⎰ ++D dxdy y x yf x )](1[2 2，其中D 由y =x 3，y =1，x =-1围成，f 是连续函数。 分析 （1）D 为方形域，应选直角坐标系。因积分区域关于x 、y 轴都对称，函数f(x,y)=y x + 中y 关于y 是奇函数，而x 关于x ，y 都是偶函数，故应分成两个积分。 （2）虽然f (x,y )=f (x 2+y 2)，但区域为方形，故仍应选直坐标计算。又因D 为轮换对称 （如D x y D y x ∈⇒∈),(),(），故 ⎰⎰⎰⎰=D D dxdy y dxdy x 2 2 (3)被积函数出现抽象形式f(x 2+y 2)，直接积分是不可能得到结果的。但应注意，其 精品文档 中)(),(2 2y x xyf y x +=ϕ满足),(),(y x y x ϕϕ-=-及),(),(y x y x ϕϕ-=- 若能创造条件使积分区域D 分为两部分，其图形分别关于x 轴和y 轴对称，则可利用 对称性使问题迎刃而解。 解：（1） ⎰⎰⎰⎰⎰⎰= ==+D D D xdxdy dxdy x dxdy y x 1 3 2 4)( （2）由轮换对称性 ⎰⎰⎰⎰==+D D dxdy x dxdy y x 6 12)(222 （3）用曲线3 x y -=将D 分为D 1与D 2（图9-5）。显然D 1关于y 轴为对称，D 2关于x 轴 对称。 dxdy y x xyf D ⎰⎰+)(2 2 ⎰⎰⎰⎰=+++=1 2 0)()(2222D D dxdy y x xyf dxdy y x xyf 故 ⎰⎰⎰⎰⎰⎰-==++D D x xdy dx xdxdy dxdy y x yf x 11 1 223)](1[ = ⎰⎰--=-=-1 110 4 45220)(dx x dx x x 图9-5 小结 利用被积函数与积分域的对称性质，常常使重积分的计 算简化许多，避去容易错的繁琐计算，而且使一些无法 直接积分的问题得以解决。但必须注意正确利用这种性 质，否则会导致错误。 例4 计算 ⎰⎰-≤≤≤≤+x y x dxdy y x ππ 00)cos( 分析 带有绝对值（或偶次根号）的函数的积分关键是适当划分积分区域，使在绝对值内的 被积函数在各小区域上保持定号，然后利用区域可加性去掉绝对值后再积分。 解：将D 表成D 1+D 2，其中121,2 0,2 0:D D D x y x D -=-≤ ≤≤ ≤π π ，则 ⎰⎰ ⎰⎰ ⎰⎰⎰⎰⎰⎰+-+-+=+-+=----ππππ ππππ2 2 2020 220 )cos()cos()cos()cos()cos(1 2 dy y x dx dy y x dx dy y x dx dxdy y x dxdy y x x x x D D 原试 = ⎰ ⎰⎰=++-20 20 2 sin )sin 1(π π π ππxdx dx dx x y 精品文档 例5 计算 0,02,1,2 222≥≤-+≥+⎰⎰y x y x y x D xydxdy D 由其中所围。 分析 当（1）积分域的边界曲线以极坐标方程给出方便（如圆，心形线，双纽线等），且 被积函数是f (x 2+y 2)或f (xy )等形式；（2）用直角坐标积分较繁，甚至不可积时（如 ⎰⎰--D y x d e σ2 2 ） ，常采用极坐标进行积分。本 题属于（1）的形式，故可利用极坐标来计算。 解 如图9-63 0,cos 21:π θθ≤≤≤≤r D ⎰⎰⎰ ⎰⋅=D dr r d xydxdy θθθθ π cos sin 3cos 21 30 =⎰⎰=-30305 16 9cos sin 41cos sin 4π π θθθθθθd d *例6 计算 ⎰⎰D D xydxoy ,是由xy =2, xy =4,y=x ,y =2x 围成 分析 积分区域较复杂，直接用直角坐标计算较麻烦，故可根据区域的不等式表示选择一 般坐标变换。 解 令xy=u , x y ν=，则 x y y x D v u D 2),(),(= ，故v y x J 212==，D 变为21,42≤≤≤≤νu ， 于是原式= ⎰⎰⎰ ⎰=⋅=⋅ 4 22142 2 1 2ln 32121v dv udu dv v u du * 例7 计算⎰⎰≤++D b y a x D dxdy y x 1:,)(22 222 2 分析 本题适合用广义极坐标变换：θθsin ,cos br y ar x ==，会使问题简化。 解 a b r J J == π θ201 0: ≤≤≤≤'→r D D 原式=⎰⎰' +D abrdrd b a r θθθ)sin cos (22222 = ⎰⎰ += ⋅+1 2232 22220 )(4 )sin cos (b a ab dr abr d b a π θθθπ * 例8 计算⎰⎰ += D dxdy y x I )(，其中D 由曲线x 2+y 2 =x+y 所界 分析 此边界直接画图较难，可先化成极坐标方程再绘草图，也可不绘图，通过解不等式， 图9-6 精品文档 来决定变化范围即积分限。 解（Ⅰ）D 为圆形域，引入极坐标ϕρϕρsin ,cos ==y x 代入曲线方程得 )4 sin(2sin cos π ϕϕϕρ+=+= 由0)4 sin(2:0cos sin sin cos ≥+≥++≤≤ π ϕϕϕϕϕρυ得及 故4 34 :,0,2,)12(4 2π ϕπ πϕππ ϕπ≤ ≤- =≤+≤+ ≤得故取但n n n ，于是 ⎰ ⎰ +-= +=ϕϕπππ ρρϕϕρϕsin cos 0 434 2 )sin (cos d d I （Ⅱ）易知圆心在点)21,21(，令2 1 sin ,21cos +=+ =θθr y r x ， （即极点取在圆心而 非原点），显见πθ20≤≤，将变换代入圆的方程，得21 2 = r ，于是得2 10≤≤r ， 故 2 )sin cos 1(21 20 π θθθϕπ= ⋅++= ⎰ ⎰ rdr r r d I （Ⅲ）画图见限（略） 例9 设f (x )在[a ,b ]连续，且f (x )>0，利用二重积分证明 ⎰ ⎰ -≥b a b a a b x f dx dx x f 2)() ()( 分析 所证不等式右端（b -a ）2可视为二重积分 dxdy b a b a ⎰⎰ ，那么就希望将左端也化为二 重积分，这是可能的。重积分的计算方法，是化做累次积分。反过来累次积分也可 以化成一个重积分，根据定积分之值与积分变量的记号无关的性质，可将两个定积 分之积写为二次积分，进而化为二重积分，然后利用被积函数的不等关系来证明。 证 ⎰ ⎰ ⎰⎰=b a b a b a b a y f dy dx x f x f dx dx x f )()()()( =⎰⎰b a b a dxdy y f x f ) ()( 又 ⎰ ⎰ ⎰⎰=b a b a b a b a x f dy dy y f x f dx dx x f )()()()(=⎰⎰b a b a dxdy x f y f )()( 那么， ⎰⎰ ⎰⎰+=b a b a b a b a dxdy y f x f y f x f x f dx dx x f ) ()()()(21)()(22 ⎰⎰⎰⎰-==≥b a b a b a b a a b d x d y d x d y y f x f y f x f 2)() ()() ()(221 精品文档 例10 计算dxdy y x e r D y x r )cos(1lim 2 2 2 0+⎰⎰-→π，其中D 是中心为原点，半径为r 的圆所 围区域。 分析 本题若先求积分，后算极限是困难的，注意被积函数连续，故可考虑用重积分的 中值定理估计出积分值，再取极限。 解 ⎰⎰≤++=+--0 2222,)cos()cos(2 22 2r r e dxdy y x e y x ηξπηξηξ其中，当0→r 时， 0,0→→ηξ，于是 1)cos(lim )cos(1 lim 2 2 2 2 2 0=+=+-→-→⎰⎰ ηξπηξ e dxdy y x e r r y x r 例11 计算⎰⎰⎰Ω ≤++Ω= 1:,222z y x xyzdxdydz I 球体其中在第一卦限的部分。 分析 见图9-7，此三重积分可用多种方法计算，以使读者搞清在不同坐标系下的体积元素 是什么，如何定限等问题。 解法1 采用直角坐标计算 ⎰⎰ ⎰ ---= =1 10 10 22248 1x y x xyzdz dy dx I 解法2 采用柱坐标计算 ⎰ ⎰⎰ -= ⋅=2 1 10 2248 1cos sin π θθθr zdz r rdr d I 解法3 采用球坐标计算。 dr r r r r d d I ϕϕθϕθϕϕθπ sin cos sin sin cos sin 22 10 1 ⋅⋅⋅=⎰ ⎰⎰ = ⎰ ⎰ ⎰= 2 2 1 053 48 1cos sin cos sin π π ϕϕϕθθθdr r d d 解法4 采用“先二后一”法计算。 2 2 2 1:z y x D z -≤+ ⎰⎰⎰=10][zdz xydxdy I z D =⎰⎰ ⎰ -10 2 /0 310 ]cos sin [2zdz dr r d z πθθθ = ⎰ ⎰ ⎰ = -10 310 2 /0 48 1cos sin 2dr r d zdz z πθθθ 尽管可用多种方法求解，但此题用球坐标或“先二后一”法还是比较简便。 图9-7 精品文档 例12 计算⎰⎰⎰Ω ⎩⎨⎧==Ω+02:,)(22 2 x z y d y x 由曲线其中υ绕z 轴旋转一周而成的曲面与平面 z=2,z=8所围的立体。 分析 先写出旋转曲面的方程)(2 122 y x z += ，并画出Ω的 草图（图9-8）。本题可采用柱坐标来积分。此时要注意， 对z 积分时的上下限在圆域x 2+y 2≤4与环形域 4≤x 2+y 2≤9上不同（读者往往不注意这一点），故积分应 分为两部分。又因用竖标为z 的平面去截区域Ω所得到的 平面闭区域D z 为一个圆域，本题用“先二后一”法计算更 简便。 解法1 采用柱坐标 ⎰⎰⎰⎰ ⎰⎰ ⋅+⋅=82 8 2 242 20 220 20 2r dz rdr r d dz rdr r d I θθππ =πππ33628848=+ 解法2 用“先二后一”法，截面z y x D z 2:2 2 ≤+。 ⎰⎰ ⎰ ⎰⎰⎰=+=82 320 20 2 28 2 )(dr r d dz dxdy y x dz I z z D z θ =ππ336282 2=⎰ dz z 例13 计算 ⎰⎰⎰Ω +υd z y )(，其中2 2221:z x y z x y --=+=Ω与由所围的立体。 分析 积分域Ω为顶点在原点的锥面与球面所围，采用球坐标较为方便，且依习惯将坐标 系作旋转，如图9-9所示，这样可将x,y,z 表示为： ϕθϕθϕcos ,sin sin ,cos sin r y r x r z === 解 dr r r r d d I ϕϕθϕϕθπ π πsin )cos cos sin (20 4 20 +=⎰ ⎰⎰ 其中 ⎰⎰⎰⎰⎰⎰ Ω =dr r d d zd 31 240 20 sin cos ϕϕθθυπ π =0 （注意： 0cos 20 =⎰ θθπd ） 图9-8 图9-9 精品文档 ⎰⎰⎰⎰⎰ ⎰ Ω = =8 cos sin 31 40 20 π ϕϕϕθυπ πdr r d d yd ,所以 ⎰⎰⎰Ω = +8 )(π υd z y 三重积分计算中也经常用到对称或轮换对称性，现叙述如下： （1）如区域Ω关于x o y 面对称。 （ⅰ）被积函数关于z 为奇函数，则 ⎰⎰⎰Ω =0),,(υd z y x f （ⅱ）被积函数关于z 为偶函数，则 ⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ω Ω=2 ),,(2),,(υυd z y x f d z y x f ，其中2Ω 是关于x o y 面对称的上或下半个区域。如果Ω关于yoz 或z o x 对称，则考虑被积 函数关于x 或y 的奇偶性可得出类似结论。 （2）如果区域Ω关于x o y ，y o z 平面都对称，而被积函数关于z 及x 都是偶函数，则 ⎰⎰⎰ ⎰⎰⎰Ω Ω=4 ),,(4),,(υυd z y x f d z y x f ，其中4Ω是关于xoy 及yoz 平面对称的41 个 区域。如果Ω关于x o y 或z o x 或y o z ,z o x 对称，则应相应考虑函数关于z 及y 或x 及y 的奇偶性可得出类似结论。 （3）如果区域关于x o y ，y o z ，z o x 平面都对称，被积函数关于x,y,z 都是偶函数，则 ⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ω Ω=8 ),,(8),,(υυd z y x f d z y x f ，其中Ω为Ω位于任一卦限的区域。 例14 计算下列三重积分 （1）⎰⎰⎰ Ω +=dv y x e I z ]3)tan([3 23 ，其中H z R y x ≤≤≤+Ω0,:222 （2）⎰⎰⎰ Ω = dv x I 2 ，其中)0(:2222>≤++ΩR R z y x （3）⎰⎰⎰Ω ++=dv c z b y a x I 2 )(，其中1:222222≤++Ωc z b y a x （4）⎰⎰⎰Ω ++= dv z y x I )753(222，其中)0(0:2 22>--≤≤ΩR y x R z 分析 上述积分区域都是对称区域，应尽量利用对称性，对（3）最好用广义球坐标变换。 解 （1）Ω关于x o z 对称，被积函数中) tan(323y x z e 关于y 为奇函数，故此项积分为0，于是 原式= ⎰⎰ Ω Ω⨯=33dv 的体积=H R 23π （2）因Ω轮换对称，故 ⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ω Ω Ω Ω ++==== υυυυd z y x d z d y d x I )(31 2222 22 精品文档 用球坐标代换θϕθϕθcos ,sin sin ,cos sin r z r y r x === 于是5200205 4 sin 31R dr r r d d I R πθθϕππ=⋅=⎰⎰⎰ （3）注意到Ω关于y o z ,x o z 平面都对称，所以x 的奇函数及y 的奇函数部分为零 即 yz bc xz ac xy ab 2 ,2,2的积分为0，即⎰⎰⎰Ω =++ 0)222(υd yz bc xz ac xy ab 因此⎰⎰⎰Ω ++=νd c z b y a x I )(22 2222令θϕθϕθcos ,sin sin ,cos sin cr z br y ar x === θs i n 2 r abc J ⋅=则 a b c dr r d d abc d r r abc I r πθθϕνθπ ππθπ ϕ5 4 sin sin 41 20 1 002022= =⋅=⎰⎰ ⎰ ⎰⎰⎰-≤≤≤≤≤≤ （4）直接计算较麻烦，因此区域为上半球域，不具轮换对称性，而被积函数是z 的偶函 数，若将区域扩展到整个球Ω，则有 ⎰⎰⎰Ω++= 1 )753(212 22νd z y x I ，其中22221:R z y x ≤++Ω，由1Ω的轮换 对称性知 ⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩΩΩ++===1 1 1 1 )(31 2222 22ννθνd z y x d z d y d x 故 ⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ==++== 5 4002022222sin 2 5)(2515211R d r d d d z y x d x I R πθθθϕννππ 注 本例（4）将Ω延展成1Ω再利用对称性计算，使问题得到简化。这种思路应重视，值得 借鉴。 例15 求z y x z y x 452 2 2 2 2 =+=++及所围立体的体积。 分析 此立体为球面与旋转抛物面所围，利用三重积分计算体积时，选用柱坐标为好。 （不可选用球坐标） 解 由054452 2 2 2 =-+=-=+z z z z y x 得 解得 5121-==z z 及（舍去） 再将z=1代入两个曲面方程之中的一个，可得立体在x o y 面的投影区域 精品文档 4:22≤+y x D xy ⎰⎰⎰⎰⎰⎰ -Ω ==2 54 20 2 2 dz rdr d d r r πθυυ=)455(3 2 )45(222 20 -=--⎰ ππdr r r r 例16 求由y 2=ax 及直线x=a (a >0)所围成的均匀薄片（面密度为常数μ）对直线y =-a 的转动惯量。 分析 如图9-10，平面薄片对x 轴的转动惯量，可表示为 ⎰⎰= D x d y I σμ2其中y 实质上代表了 平面域D 上的点 (x ,y )到转动轴（y =0）的距离，那么若转动轴为某直线时， 只须找出点(x,y )到此直线的距离就可以了。当然也可以利用 坐标平移的方法。 解 ⎰⎰+= -=D a y d a y I σμ2 )(（选择先x 后y 积分方便） =⎰⎰-+a a a a y dx a y dy 2 2 )(μ =dy a y a y a y a a )22(3234 ++--⎰ -μ =dy y a a a )1(24 30 - ⎰ μ（注意利用奇、偶函数在对称区间上积分的性质） = 45 8a μ 例17 设半径为R 的球面Σ的球心在定球面x 2+y 2+z 2=a 2(a >0)上，问当R 取何值时，球面 Σ在定球面内部的那部分面积最大？ 分析 本题是求曲面面积与最值的综合应用题。其关键是（1）恰当选取坐标系，使曲面Σ 的方程最简捷；（2）利用二重积分将所求部分曲面的面积表为R 的函数A （R ）；（3） 求A （R ）的最大值。 解 取坐标系如图9-11所示。球面Σ的方程为x 2+y 2+(z-a )2=R 2。球面Σ在定球面内的部分的方 程为222y x R a z --- =，且该部分曲面在x o y 面的投影区域为 )4(4:2222 2 2 R a a R y x D xy -≤+ ⎰⎰ ++= XY D y x dxdy z z R A 2 21)( 图9-10 精品文档 = ⎰⎰ --xy D dxdy y x R R 2 2 2 = ⎰ ⎰ -- =-22420 3 2 2 2 20 2R a a R x a R R dr r R Rr d ππθ 求A （R ）对R 的导数：2 34)(R a R R A ππ-=' 解方程0)(='R A ，得R 1=0（舍去），a R 3 42= 由于所求曲面面积的最大值存在，且在（0,2a ）内取得，又a R 3 4 =是其内部的唯一驻 点，故当a R 3 4 = 时，所求部分曲面面积最大。 例18 例19 在底半径为R ，高为H 的圆柱体上面，拼加一个同半径的半球体，使整个立体的重 心位于球心处，求R 与H 的关系（设立体的密度为1=ρ）。 分析 取坐标原点在球心，如图9-12，依题意，立体的重心坐标0===z y x 。又由立体本 身的对称性可知必有0==y x ，故只需从z =0中确定R 与H 的关系。 解 立体的密度1=ρ ⎰⎰⎰Ω = υυzd z 1 =]sin cos [1 20 2 20 20 dr r r d d zdz rdr d R x x x H R x ϕϕϕθθυ ⋅+⎰ ⎰⎰ ⎰ ⎰ ⎰ = )4 121(1422R H R ππυ- 图9-12 精品文档 由0=z 解得H R 2= 第九章 重积分 (一) 1．填空题 (1) 设()y x y x P 2,=，()23,y x y x Q =，定义于:D 10< 5．交换积分()?? -2 120 ,y dx y x f dy 的积分次序。 6．交换二次积分()?? +-a a y y a y x f dy 02 2,的积分次序。 7．计算()??+D d y x σ23，其中D 是由两坐标轴及直线2=+y x 所围成的闭区域。 8．计算()??+D d y x x σcos ，其中D 是顶点分别为()0,0，()0,π和()ππ,的三角形区域。 9．计算()??+D yd x σsin 1，其中D 是顶点分别为()0,0，()0,1，()2,1和()1,0的梯形闭区域。 10．计算二重积分??D dxdy ，其中区域D 由曲线21x y -=与12-=x y 围成。 精品文档 第九章 重积分 一、学习目的与要求 1、加深理解二重积分与三重积分的概念，熟悉重积分的性质。 2、熟练掌握二重积分的计算方法（包括直角坐标与极坐标系下的计算）。 3、熟练掌握三重积分的计算方法（包括直角坐标、柱坐标以及球坐标系下的计算）。 4、能用重积分来表达一些几何量与物理量（如体积、曲面面积、质量、重心、转动惯量 等）。 二、学习重点 二重积分和三重积分的计算法 三、内容提要 1、重积分的定义 ⎰⎰∑=→∆=D n i i i i f d y x f 1 ),(lim ),(σηξσλ （与D 的划分及),(i i ηξ取法无关），其中D 为平面 有界闭区域，}{max ),,,2,1(),(1的直径i n i i i i n i σλσηξ∆==∆∈≤≤ 。 ⎰⎰⎰∑Ω =→∆=n i i i i i V f dV z y x f 1 ),,(lim ),,(ζηξλ （与Ω的划分及),,(i i i ζηξ取法无关，其中Ω 为空间有界闭区域，}{max ),,,2,1(),,(1的直径i n i i i i i V n i V ∆==∆∈≤≤λζηξ 。 2、重积分的几何意义 当0),(≥y x f 时， ⎰⎰D d y x f σ),(表示以区域D 为底，以曲面z =f (x,y )为顶的曲顶柱体 体积。当1),(≡y x f 时， ⎰⎰D d σ表示平面区域D 的面积。当1),,(≡z y x f 时，⎰⎰⎰Ω dV 表示空间区域Ω的体积。 3、重积分的可积性 若),(y x f （或),,(z y x f ）在有界闭区域D （或Ω）上分块连续，则),(y x f （或 ),,(z y x f ）在D （或Ω）上可积。 4、重积分的性质 二重积分与三重积分具有类似的性质，现以二重积分为例，并假设所有被积函数都是可积的。 （Ⅰ）线性性质 ⎰⎰⎰⎰⎰⎰+=+D D D d y x g k d y x f k d y x g k y x f k σσσ),(),()],(),([2121 ，其中k 1,k 2为 常数。 积分的应用 定积分的应用 平面图形面积 1、图形由0)(≥=x f y ,a x =,b x =及0=y 围成： ?=b a dx x f A )(. 2、 图形由)(x f y =,)(x g y =,a x =及b x =围成： ?-=b a dx x g x f A )]()([, 其中：],[),()(b a x x g x f ∈≥. 3曲线由参数方程)(),(t y y t x x ==给出时，在],[21t t t ∈上所围图形的面积公式为 dt t x t y A t t )()(2 1 '=? 4曲边扇形的面积 由曲线)(θ?=r 及矢径)(,βαβθαθ<==所围成的曲边扇形的面积公式为 θ θ?θβ α βαd d r A ??==22)]([2121 例1求由x y 22 =,4-=x y 所围成的图形的面积A . 解：由 ???-==4 22x y x y 得 ???-==22y x 或 ???==48 y x . ?--+=4 2 2]21)4[(dy y y A .18642 14 232=??? ???-+=-y y y 例2 计算由曲线3)cos 1(=+θr 和直线1cos =θr 所围成图形的面积 解：?? ?==+1 cos 3)cos 1(θθr r 解之得3 ,2πθ±==r . 则 θθ θθθθπ π πd d S ]cos 1)cos 1(9[]cos 1)cos 1(9[2130223322??-+=-+=- 3cos 29][tan 2 cos 229cos 1)cos 1(960430304302302-=-=-+=????ππππ πθθθ θθθθt dt d d d 3 23]tan 31[tan 293)tan 1(sec 2960360 22=-+=-+=?ππ t t dt t t 平面曲线的弧长 光滑（即连续可微分的）曲线)(x y y =在区间[a ，b ]上的弧长公式为 第九章 重积分 (A) 1．填空题 (1) 设()y x y x P 2,=，()23,y x y x Q =，定义于:D 10< 第九章(二) 重积分的应用 重积分的应用十分广泛。尤其是在几何和物理两方面。几何方面的应用有利用二重积分求平面图形的面积；求曲面面积；利用三重积分求立体体积。物理方面的应用有求质量；求重心；求转动惯量；求引力等。在研究生入学考试中，该内容是《高等数学一》和《高等数学二》的考试内容。 通过这一章节的学习，我们认为应达到如下要求： 1、掌握重积分的几何和物理意义，并能应用于实际计算。 2、对于重积分的应用领域和常见应用问题有全面的了解，并能利用重积分解决应用问题。 3、具备空间想象能力，娴熟的重积分计算技巧和将理论转化为应用的能力。 一、知识网络图 ???? ? ?? ? ?? ??????? ??????求引力求转动慣量求重心求质量物理应用求曲面面积求立体体积求平面图形面积几何应用重积分的应用 二、典型错误分析 例1． 求如下平面区域D 的面积，其中D 由直线x y x ==,2及曲线1=xy 所围成。 如图： y [错解]89 )2(2 212 2 21=-===?????dy y dx dy d S y D σ [分析]平面图形的面积可以利用二重积分来计算，这一点并没有错。问题在于区 域D ，若先按x 积分，再按y 积分，则应注意到区域D 因此划分为两个部分，在这两个部分，x 、y 的积分限并不相同，因此此题若先积x, 后积y ，则应分两部分分别积分，再相加。 [正确解] 2ln 2 3 2 21 12 121-= +==??????y y D dx dy dx dy d S σ 例 2..设平面薄片所占的闭区域D 是由螺线θγ2=上一段弧)20(π θ≤ ≤与直线 2 π θ= 所围成，它的面密度为22),(y x y x +=ρ，求该薄片的质量。 [错解] 24 023420320 220 π θθθσρπ θ π ====?? ???d r dr r d d M D [分析] 平面物体的质量是以面密度函数为被积函数的二重积分，因此解法的第一步是正确的。注意到积分区域的边界有圆弧，而被积函数为22),(y x y x +=ρ，因此积分的计算采用极坐标系算，这一点也是正确的。问题在于在直角坐标转化为极坐标时，dxdy 应由θrdrd 来代替，解题过程中缺少了一项r 。导致计算结果错误。因此r 务必不能遗漏。 [正确解] 400245 20420 2 20 π θθθσρπ θ π ==?==?? ???d r rdr r d d M D 例3. 计算以xoy 面上的圆周122=+y x 围成的区域为底，而以曲面22y x z +=为顶的曲顶柱体的体积。 [错解] ? ? ???+----==2 22 2 111 1 y x y y D dz dx dy dV V [分析]如按此思路求解，即使接下去采用极坐标变换法，计算量仍然相当大，极 易导致计算错误。该解法的不当之处在于没有注意到底和面都具有对称性，可利用对称性减少计算量。 [正确解] 2 4)(1 220 1 2 222 π θπ = ?=+==??????≤+rdr r d dxdy y x dV V y x D 例4.求锥面22y x z +=被柱面x z 22=所割下部分的曲面面积。 [错解] 锥面22y x z +=被柱面x z 22=所割下部分的曲面在xoy 面上的投影区 域为x y x 222≤+，因此=== ? ???θ π θcos 20 20 2rdr d dxdy S D πθθπ =?20 2cos 4d [分析]求曲面的面积，应首先确定曲面在坐标面上的投影区域，这一点是正确的。 但解法中忽略了求曲面积分在dxdy 前应有一因子2 2 1? ?? ? ????+??? ????+y z x z 。 第九章二重积分 【本章逻辑框架】 重积分的大小，估计二重积分的取值范围。 ⒉领会将二重积分化为二次积分时如何确定积分次序和积分限，如何改换二次积分的积分次序，并且如何根据被积函数和积分区域的特征选择坐标系。熟练掌握直角坐标系和极坐标系下重积分的计算方法。 ⒊掌握曲顶柱体体积的求法，会求由曲面围成的空间区域的体积。 9.1二重积分的概念与性质 【学习方法导引】 1．二重积分定义 为了更好地理解二重积分的定义，必须首先引入二重积分的两个“原型”，一个是几何的“原型”－曲顶柱体的体积如何计算，另一个是物理的“原型”—平面薄片的质量如何求。从这两个“原型”出发，对所抽象出来的二重积分的定义就易于理解了。 在二重积分的定义中，必须要特别注意其中的两个“任意”，一是将区域D 成n 个小区域12,,,n σσσ∆∆∆的分法要任意，二是在每个小区域i σ∆上的点 (,)i i i ξησ∈∆的取法也要任意。有了这两个“任意”，如果所对应的积分和当各 小区域的直径中的最大值0λ→时总有同一个极限，才能称二元函数(,)f x y 在区域D 上的二重积分存在。 2．明确二重积分的几何意义。 (1)若在D 上(,)f x y ≥0，则(,)d D f x y σ⎰⎰表示以区域D 为底，以(,)f x y 为曲顶 的曲顶柱体的体积。特别地，当(,)f x y ＝1时，(,)d D f x y σ⎰⎰表示平面区域D 的面 积。 (2)若在D 上(,)f x y ≤0，则上述曲顶柱体在Oxy 面的下方，二重积分 (,)d D f x y σ⎰⎰的值是负的，其绝对值为该曲顶柱体的体积 (3)若(,)f x y 在D 的某些子区域上为正的，在D 的另一些子区域上为负的，则(,)d D f x y σ⎰⎰表示在这些子区域上曲顶柱体体积的代数和(即在Oxy 平面之上的 曲顶柱体体积减去Oxy 平面之下的曲顶柱体的体积). 3．二重积分的性质，即线性、区域可加性、有序性、估值不等式、二重积分中值定理都与一元定积分类似。有序性常用于比较两个二重积分的大小，估值不等式常用于估计一个二重积分的取值范围，在用估值不等式对一个二重积分估值的时候，一般情形须按求函数(,)f x y 在闭区域D 上的最大值、最小值的方法求出其最大值与最小值，再应用估值不等式得到取值范围。 【主要概念梳理】 1.二重积分的定义设二元函数f(x,y)在闭区域D 上有定义且有界. 分割用任意两组曲线分割D 成n 个小区域12,,,n σσσ∆∆∆，同时用i σ∆表示它们的面积，1,2,,.i n =其中任意两小块i σ∆和()j i j σ∆≠除边界外无公共点。i σ∆既表示第i 小块,又表示第i 小块的面积. 近似、求和对任意点(,)i i i ξησ∈∆,作和式1(,).n i i i i f ξησ=∆∑ 取极限若i λ为i σ∆的直径，记12max{,,,}n λλλλ=,若极限0 1 lim (,)n i i i i f λξησ→=∆∑ 存在，且它不依赖于区域D 的分法，也不依赖于点(,)i i ξη的取法，称此极限为f (x,y )在D 上的二重积分.记为 称f (x,y )为被积函数，D 为积分区域，x 、y 为积分变元，d σ为面积微元(或面积元素). 2.二重积分(,)d D f x y σ⎰⎰的几何意义 高等数学重积分总结 重积分是高等数学中的一个重要章节，包括了二重积分和三重积分。本文将对重积分的相关概念、性质、计算方法等进行总结。 一、重积分的定义和性质 重积分可以看作是对多元函数在一个区域内的积分，其中二重积分和三重积分分别对应了二元函数和三元函数。对于一个区域D，其可以用极限值对角线的方法划分成n个微小的小区域Di，其中i的取值范围为1到n。设函数f(x,y)在小区域Di上的面积为S，且S趋近于0，则重积分可以表示为： $$\iint_D f(x,y)dxdy=\lim_{\substack{n,m\to \infty}} \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m f(x_{ij},y_{ij})\Delta S$$ 其中$\Delta S$为小区域Di的面积，$(x_{ij},y_{ij})$为小区域Di的任意一点。 与一元函数的积分类似，重积分也具有线性性、可加性、区间可减性和保号性等数学特征。同时，由于重积分的定义，其也满足如下性质： 1.积分与被积函数与积分区域的连续性，即对于在区域D上连续的函数f(x,y)，有： 2.积分与区域的可加性，即对于一个区域D可以分割成两个没有公共点的子区间，则： 同时还有极坐标和柱面坐标下的重积分公式： 对于极坐标，有： $$\iint_D f(x,y)dxdy=\iint_D f(rcos\theta,rsin\theta)rdrd\theta$$ $$\iiint_W f(x,y,z)dxdydz=\int_a^b\int_{\varphi_1}^{\varphi_2} \int_{\rho_1}^{\rho_2} f(\rho cos\varphi,\rho sin\varphi, z)\rho d\rho d\varphi dz$$ 其中W为三维区域，$(\rho,\varphi,z)$为柱面坐标系。 三、重积分的计算方法 对于重积分的具体计算，常用的有以下几种方法： 1.累次积分法 累次积分法就是将多重积分化为多个一元积分，以二重积分为例，若： 重积分知识点总结 重积分是微积分中的一个重要概念，用于求解曲面、体积、质量等问题。重积分包括二重积分和三重积分，分别对应二维和三维空间中的曲面和体积。 一、二重积分 二重积分是对二维区域上的函数进行积分，常用于求解平面区域的面积、重心、质心等问题。求解二重积分的方法有直接计算和变量代换两种。 1. 直接计算：将二重积分转化为累次积分，先对一个变量积分再对另一个变量积分。需要注意的是积分的次序可能会影响结果。 2. 变量代换：通过变量代换，将原积分转化为更简单的形式。常用的变量代换有极坐标代换、参数方程代换等。 二、三重积分 三重积分是对三维空间内的函数进行积分，常用于求解空间区域的体积、质量、重心等问题。求解三重积分的方法有直接计算和变量代换两种。 1. 直接计算：将三重积分转化为累次积分，先对一个变量积分再对另一个变量积分，最后再对剩下的变量积分。同样，积分的次序可能会影响结果。 2. 变量代换：通过变量代换，将原积分转化为更简单的形式。常用的变量代换有柱面坐标代换、球面坐标代换等。 三、重积分的应用 重积分在物理学、工程学、经济学等领域中有广泛的应用。 1. 物理学：重积分可以用于计算物体的质量、质心、转动惯量等物理量。例如，可以通过三重积分计算物体的质量分布情况，进而求解物体的质心位置。 2. 工程学：重积分可以用于计算三维物体的体积、表面积等。例如，在建筑设计中，可以通过三重积分计算建筑物的体积，帮助设计师合理规划空间。 3. 经济学：重积分可以用于计算经济领域的总产出、总消费等指标。例如，在城市规划中，可以通过二重积分计算城市的总人口、总收入等。 四、重积分的性质 重积分具有一些重要的性质，如线性性、保号性、保序性等。 1. 线性性：重积分具有线性性质，即对于常数a和函数f(x, y)、g(x, y)，有∬(af(x, y) + bg(x, y))dxdy = a∬f(x, y)dxdy + b∬g(x, y)dxdy。 重积分应用与计算 重积分是微积分中一项重要的概念，它广泛应用于各个科学领域，特别是物理学、工程学和经济学等。重积分的计算方法包括二重积分和三重积分，通过对多元函数进行积分，可以解决许多实际问题。本文将介绍重积分的应用，并重点讨论其计算方法。 一、重积分的应用 1. 质量和质心 重积分可以用于计算物体的质量和质心。对于一个二维物体，其质量可以通过计算其面积的重积分来得到。例如，一个有界闭区域D的质量可以表示为： m = ∬D ρ(x,y) dA 其中，ρ(x,y)表示单位面积上的密度函数。质心的坐标可以由下式给出： (x_c, y_c) = (∬D xρ(x,y) dA, ∬D yρ(x,y) dA) 类似地，对于一个三维物体，质量和质心的计算也可以通过重积分来实现。 2. 总量和平均值 重积分可以用于计算一个区域内某个量的总量和平均值。例如，在物理学中，可以通过对速度场进行重积分来计算液体或气体的总质量 流量。在经济学中，可以通过对产量或消费量的重积分来计算总产量 或总消费量。 对于一个二维区域D，某个量f(x,y)的总量可以表示为： Q = ∬D f(x,y) dA 平均值可以表示为： f_avg = (1/area(D)) * ∬D f(x,y) dA 其中，area(D)表示D的面积。 3. 概率和期望值 在概率论中，重积分可以用于计算概率和期望值。对于一个二维区 域D上的离散随机变量，其概率函数可以表示为p(x,y)，概率p(x,y)在 区域D上的积分即为该随机变量落在D内的概率。期望值可以表示为：E[f(x,y)] = ∬D f(x,y) * p(x,y) dA 其中，f(x,y)是随机变量的函数。 二、重积分的计算方法 1. 二重积分 二重积分用于计算平面二维区域上的积分。常用的计算方法包括直 角坐标系下的面积法和极坐标系下的极坐标法。 面积法： 微积分教案 §9.1 二重积分的概念与性质 教学目的与要求：理解二重积分的概念，熟悉二重积分的几何意义；了解二重积分的性质，知道二重积分中值定理。 教学重点（难点）：二重积分的性质，知道二重积分中值定理。 一、二重积分的概念 1、曲顶柱体的体积 设有一空间立体Ω,它的底是xoy 面上的有界区域D ,它的侧面是以D 的边界曲线为准线,而母线平行于z 轴的柱面,它的顶是曲面()y x f z ,=(()y x f ,在D 上连续)且 ()0,≥y x f ,这种立体称为曲顶柱体。曲顶柱体的体积V 可以这样来计算: 用任意一组曲线网将区域D 分成n 个小区域 ∆∆∆σσσ12,,, n ,以这些小区域的边界曲线为准线,作母线平行于z 轴的柱面,这些柱面将原来的曲顶柱体Ω分划成n 个小曲顶柱体 ∆Ω∆Ω∆Ω12,,, n 。（假设∆σi 所对应的小曲顶柱体为∆Ωi ,这里∆σi 既代表第i 个小 区域,又表示它的面积值, ∆Ωi 既代表第i 个小曲顶柱体,又代表它的体积值。）从而 ∑=∆Ω=n i i V 1 。 由于()y x f ,连续,对于同一个小区域来说,函数值的变化不大。因此,可以将小曲顶柱体近似地看作小平顶柱体,于是()()()i i i i i i i f σηξσηξ∆∈∀∆≈∆Ω,,。 整个曲顶柱体的体积近似值为()∑=∆≈ n i i i i f V 1 ,σηξ 。为得到V 的精确值,只需让这n 个小区域越来越小,即让每个小区域向某点收缩。为此,我们引入区域直径的概念:一个闭区域的直径是指区域上任意两点距离的最大者。所谓让区域向一点收缩性地变小,意指让区域的直径趋向于零。设n 个小区域直径中的最大者为λ, 则 ()∑=→∆=n i i i i f V 1 ,lim σηξλ 2、二重积分的定义 定义 设()y x f ,是有界闭区域D 上的有界函数, 将区域D 任意分成n 个小闭区域： ∆∆∆σσσ12,,, n , 其中: i σ∆既表示第i 个小闭区域, 也表示它的面积。在每个i σ ∆上任取一点()i i ηξ,，作乘积()()n i f i i i ,,2,1, =∆σηξ，并作和 ()∑=∆n i i i i f 1 ,σηξ 。如果 当各小闭区域的直径中的最大值λ趋于零时，这和的极限总存在，则称此极限为函数 重积分的定义和基本概念 重积分，是计算空间中某个区域内函数值的一种数学工具。重 积分可以理解成是对三维空间中的物体进行划分，并将每个小立 方体的体积和函数值相乘，最终将乘积总和加起来。这个加总过 程称为三重积分。三重积分是重积分的一种形式，二重积分是它 的特殊情况。在教学中，会先深入学习二重积分，再逐步学习三 重积分。 重积分的定义 用双重积分的思想，可以扩展到三重积分（即重积分）的概念。在二元函数方程 $f(x,y)$ 的平面区域 $D$ 上，已经学习了如何用 双重积分求其平面积。而在曲面 $z=f(x,y)$ 的三维空间区域 $G$ 上，将区域 $G$ 分解成很多小的部分，每个小部分 $V_{i}$ 的体积为 $\Delta V_{i}$，则重积分的式子可以表示为： $$\iiint\limits_{G}f(x,y,z)\mathrm{d}V=\lim_{\Delta V_{i} \rightarrow 0}\sum f(x_{i},y_{i},z_{i})\Delta V_{i}$$ 其中 $\Delta V_{i}$ 表示体积元素，$\lim_{\Delta V_{i} \rightarrow 0}$ 表示等式右侧的求和式的迭代极限。 基本概念 在学习重积分时，需要了解一些基本概念。 1. 曲面 $z=f(x,y)$ 的方程 曲面 $z=f(x,y)$ 是三重积分的重要对象。它可以用来描述物体在三维空间中的形状。 2. 积分区域 积分区域是曲面区域 $G$ 在空间内的一个划分。可以通过网格方法将空间划分为很多小的体积元素 $V_{i}$，然后对每个体积元素 $V_{i}$ 进行积分求和。 3. 坐标轴和方向 重积分基本概念 重积分是微积分中的一个重要概念，它主要应用于对三维空间中复 杂体积的计算。通过重积分，我们可以将曲线、曲面以及空间区域的 某种量进行求和或者平均。本文将介绍重积分的基本概念，包括重积 分的定义、性质以及计算方法。 一、重积分的定义 在三维空间中，如果将一个曲线、曲面或者空间区域划分成无数个 微小的体积元素，每个微小体积元素的体积可以表示为dV，并且在每 个体积元素上都定义了一个函数f(x, y, z)，那么重积分可以用下式表示：∬f(x, y, z)dV 其中，∬代表重积分的符号，f(x, y, z)是被积函数，dV表示微小体 积元素。 二、重积分的性质 1.线性性质：如果f(x, y, z)和g(x, y, z)是可积函数，k是常数，那么 以下性质成立： ∬[kf(x, y, z) + g(x, y, z)]dV = k∬f(x, y, z)dV + ∬g(x, y, z)dV 2.保号性质：如果在积分区域上，f(x, y, z) ≥ 0，那么∬f(x, y, z)dV ≥ 0；如果f(x, y, z) ≤ 0，那么∬f(x, y, z)dV ≤ 0。 3.单调性质：如果在积分区域上，f(x, y, z) ≤ g(x, y, z)，那么∬f(x, y, z)dV ≤ ∬g(x, y, z)dV。 三、重积分的计算方法 1.直角坐标系的计算方法：在直角坐标系中，我们可以采用三重积 分的方法来计算重积分。具体而言，我们可以将积分区域划分成小的 立体体积，然后通过求和的方式将每个小立体体积的贡献加起来，得 到整体的重积分值。 2.柱坐标系的计算方法：在柱坐标系中，我们可以将被积函数和微 小体积元素表示为f(r,θ,z)和r dθ dr dZ，其中r表示从原点到点(x,y)的 距离。通过应用柱坐标系的变量替换和雅可比行列式的计算，可以将 立体体积的重积分转化为曲线和平面的二重积分。 3.球坐标系的计算方法：在球坐标系中，我们可以将被积函数和微 小体积元素表示为f(ρ,θ,φ)和ρ²sinφ dφ dθ dρ，其中ρ表示从原点到点(x,y,z)的距离，θ和φ分别表示极角和方位角。通过应用球坐标系的变 量替换和雅可比行列式的计算，可以将立体体积的重积分转化为球面、圆环和平面的二重积分。 四、重积分的应用 重积分在物理学、工程学、经济学等领域有着广泛的应用。例如， 在物理学中，我们可以通过重积分来计算物体的质心和形心；在工程 学中，我们可以利用重积分来计算流体的质量和物体的质量矩；在经 济学中，我们可以使用重积分来计算连续分布的收入和效用。 总结： 第9章 重积分及其应用 1．用二重积分表示下列立体的体积： (1) 上半球体：2222{(,,)|;0}x y z x y z R z ++≤≥； (2) 由抛物面222z x y =--，柱面x 2+y 2=1及xOy 平面所围成的空间立体 解答：(1) 222d ,{(,)|}D V x y D x y x y R ==+≤； (2) 2222(2)d d ,{(,)|1}D V x y x y D x y x y =--=+≤⎰⎰ 所属章节：第九章第一节 难度：一级 2．根据二重积分的几何意义，确定下列积分的值： (1)D σ，其中D 为222x y a +≤； (2) (D b σ-⎰⎰ ，其中D 为222,0x y a b a +≤>> 解答：(1)32 π3D a σ=； (2)232 (ππ3D b a b a σ=-⎰⎰ 所属章节：第九章第一节 难度：一级 3．一带电薄板位于xOy 平面上，占有闭区域D ，薄板上电荷分布的面密度为(,)x y μμ=，且 (,)x y μ在D 上连续，试用二重积分表示该板上的全部电荷Q ． 解答：(,)d D Q x y μσ=⎰⎰ 所属章节：第九章第一节 难度：一级 4．将一平面薄板铅直浸没于水中，取x 轴铅直向下，y 轴位于水平面上，并设薄板占有xOy 平面上的闭区域D ，试用二重积分表示薄板的一侧所受到的水压力 解答：d D p g x ρσ=⎰⎰ 所属章节：第九章第一节 难度：一级 5．利用二重积分性质，比较下列各组二重积分的大小 (1)21()d D I x y σ=+⎰⎰与32()d D I x y σ=+⎰⎰，其中D 是由x 轴，y 轴及直线x +y =1所围成的区域； (2)1ln(1)d D I x y σ=++⎰⎰与222ln(1)d D I x y σ=++⎰⎰，其中D 是矩形区域：0≤x ≤1，0≤y ≤1； (3)21sin ()d D I x y σ=+⎰⎰与22()d D I x y σ=+⎰⎰，其中D 是任一平面有界闭区域； (4)1e d xy D I σ=⎰⎰与22e d xy D I σ=⎰⎰，其中D 是矩形区域：–1≤x ≤0，0≤y ≤1； 解答：(1) 在区域D 部，1x y +<，所以I 1>I 2； (2)在区域D 部，22,x x y y <<，故22ln(1)ln(1)x y x y ++<++，所以 I 1>I 2；？ (3)由于22sin ()()x y x y +<+，所以I 1，所以I 1>I 2 所属章节：第九章第一节 难度：一级 6．利用二重积分性质，估计下列二重积分的值 V AC ： 第九章 重积分 第一节二重积分的概念与性质 教学目的：理解并掌握二重积分的概念 ；几何意义；二重积分存在的条 件. 熟练掌握二重积分的性质； 能正确运用性质进行判断、计算与证明 • 重点：二重积分的性质• 难点：运用性质判断与计算• 教学方法：直观教学,讲练结合. 教学过程： 一、二重积分的概念 1、【定义】：设f(x,y)是有界闭区域 D 上的有界函数，将闭区域 任意分成n 个小闭区域 △ cr 1 , A CT 2,…，心J ，其中心巧 表示第i 个小闭区域，也表示它的面积，在每个△码上任取一点(£,3)，作 乘积 f ( i ，i K--i ， (i =12 …，n)，并作和 n 瓦f c j ,—)△耳，如果当各小闭区域的直径 d i 中的最大值 i =1 y n ■二max{d}r 0时，这和式lim f( 1, 的极限存在，且1_11> 0 v 此极限与小区间人码的分法以及点(©,3)的取法无关，则称此极限 为函数f (x, y)在闭区域D上的二重积分，记为 I l f (x, y)d匚，即D n H f (x,y)db =|再送f(©,0)^w. 其中：① f (x, y)称为被积函数，②f(x, y)d二称为被积表达式 ③x, y称为积分变量，④d二称为面积元素，⑤ D称为积分区域 ⑥' f ( i , i) *i称为积分和. i 1 2、面积元素de 在直角坐标系下用平行于坐标 轴的直线网来划分区域D,则面积元 素为d；「= dxdy 故二重积分可写为11 f (x, y)d 3、【二重积分存在定理】设f (x, y)是有界闭区域D上的连续函数，则存在二重积分j\| f (x, yjdb . D 4、二重积分的几何意义 (1)当被积函数f ( x, y)_ 0寸,二重积分f(x, y)d二表示以 D f (x,y)为顶，以D为底面的曲顶柱体的体积. ⑵当被积函数f(x, y)乞0时,二重积分表示曲顶柱体体积的相反数. 二、二重积分的性质 假设被积函数在有界闭区域D上连续• D 重积分知识点 什么是重积分？ 重积分是微积分中的一个重要概念。它是对有一定形状的曲线、曲面或者立体内某一物理量的总量进行求解的数学工具。重积分可以用于求解多元函数在一个区域内的平均值、体积、质心等问题。 一重积分与二重积分 在重积分中，存在一重积分和二重积分两种形式。 一重积分也叫定积分，是对一元函数在一个区间上的积分运算。它可以表示为： b (x) dx ∫f a 其中a和b表示积分区间的起点和终点，f(x)表示被积函数。 二重积分则是对二元函数在一个闭区域上的积分运算。它可以表示为： (x,y) dA ∬f D 其中D表示积分区域，f(x,y)表示被积函数，dA表示面积元素。 重积分的计算方法 重积分的计算方法有多种，其中较常见的有换元法、分部积分法和极坐标法等。 换元法 换元法是指通过变量替换将一个积分转化为另一个形式的积分，从而使得计算变得更加简单。常见的变量替换包括线性换元，平方换元和三角换元等。 分部积分法 分部积分法是通过对积分表达式进行分部拆分，将一个积分转化为另一个形式的积分。分部积分法的公式可以表示为： ∫u dv=uv−∫v du 极坐标法 极坐标法是将二重积分的计算问题转化为极坐标系下的积分问题。通过引入极坐标系的坐标变换，可以简化积分表达式，并且适用于具有对称性的问题。 重积分应用举例 重积分在实际问题中有着广泛的应用，以下是几个常见的例子： 计算曲线长度 对于曲线y=f(x)，可以使用一重积分来计算曲线的长度。具体的计算方法是将 曲线分成一个个小线段，计算每个小线段的长度，然后将所有小线段长度相加。 b L=∫√1+(f′(x))2 dx a 其中a和b是积分的区间。 计算表面积 对于曲面z=f(x,y)，可以使用二重积分来计算曲面的面积。具体的计算方法是 将曲面分成一个个小面元，计算每个小面元的面积，然后将所有小面元的面积相加。 2 dA S=∬√1+(f x(x,y))2+(f y(x,y)) D 其中D是曲面的投影区域。 计算质心 对于曲线、曲面或者立体，可以使用重积分来计算质心的坐标。例如对于平面区域的质心，可以使用二重积分来计算。具体的计算方法是将平面区域分成一个个小面 多重积分的方法总结 计算根据被积区域和被积函数的形式要选择适当的方法处理，这里主要是看被积区域的形式来选择合适的坐标形式，并给区域一个相应的表达，从而可以转化多重积分为多次的积分形式．具体的一些作法在下面给出． 一．二重积分的计算 重积分的计算主要是化为多次的积分．这里首先要看被积区域的形式, 选择合适的坐标系来进行处理．二重积分主要给出了直角坐标系和极坐标系的计算方法．我们都可以从以下几个方面把握相应的具体处理过程：1.被积区域在几何直观上的表现（直观描述，易于把握）；2.被积分区域的集合表示（用于下一步确定多次积分的积分次序和相应的积分限）；3.化重积分为多次积分． 1. 在直角坐标下： (a) X-型区域 几何直观表现：用平行于y 轴的直线穿过区域内部，与边界的交点最多两个．从而可以由下面和上面交点位于的曲线确定两个函数1()y y x =和2()y y x =； 被积区域的集合表示：12{(,),()()}D x y a x b y x y y x =≤≤≤≤； 二重积分化为二次积分： 21()() (,)(,)b y x a y x D f x y dxdy dx f x y dy =⎰⎰ ⎰⎰ ． (b) Y-型区域 几何直观表现：用平行于x 轴的直线穿过区域内部，与边界的交点最多两个．从而可以由左右交点位于的曲线确定两个函数1()x x x =和2()x x x =； 被积区域的集合表示：12{(,),()()}D x y c y d x x x x x =≤≤≤≤； 二重积分化为二次积分： 21() () (,)(,)d x y c x y D f x y dxdy dx f x y dx =⎰⎰ ⎰⎰ ． 2. 在极坐标下： 几何直观表现：从极点出发引射线线穿过区域内部，与边界的交点最多两个．从而可以由下面和上面交点位于的曲线确定两个函数1()r r θ=和2()r r θ=（具体如圆域，扇形域和环域等）； 被积区域的集合表示：1212{(,),()()}D r r r r θθθθθθ=≤≤≤≤，注意，如果极点在被积区域的内部，则有特殊形式2{(,)02,0()}D r r r θθπθ=≤≤≤≤； 直角坐标下的二重积分化为极坐标下的二重积分，并表示成相应的二次积分： 2211() () (,)(cos ,sin )(cos ,sin )r r D D f x y dxdy f r r rdrd d f r r rdr θθθθθθθθθθ==⎰⎰ ⎰⎰⎰⎰ ． 注：具体处理题目时，首要要能够选择适当的处理方法，并能够实现不同积分次序及直角坐标和极坐标的转化． 3. 二重积分的换元法： (,)z f x y =在闭区域D 上连续，设有变换 (,),(,)(,)x x u v T u v D y y u v =⎧'∈⎨=⎩ 将D '一一映射到D 上，又(,),(,)x u v y u v 关于u , v 有一阶连续的偏导数，且 (,) 0(,) x y J u v ∂= ≠∂, (,)u v D '∈ 则有 (完整版)§-9-重积分习题与答案 编辑整理： 尊敬的读者朋友们： 这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（(完整版)§-9-重积分习题与答案）的内容能够给您的工作和学习带来便利。同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。 本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为(完整版)§-9-重积分习题与答案的全部内容。 第九章 重积分 A 1、 填空题 1）交换下列二次积分的积分次序 （1）()=⎰⎰ -dx y x f dy y y 102,______________________________________________ （2)()=⎰⎰dx y x f dy y y 2 22,______________________________________________ （3）()=⎰⎰dx y x f dy y 1 0,_______________________________________________ (4）()=⎰⎰ ---dx y x f dy y y 1 112 2 ,___________________________________________ （5）()=⎰⎰ dy y x f dx e x 1ln 0 ,______________________________________________ （6）()()=⎰⎰ ---dx y x f dy y y 4 42 1 4,________________________________________ 2)积分dy e dx x y ⎰⎰-20 2 2 的值等于__________________________________ 3)设(){}10,10,≤≤≤≤=y x y x D ，试利用二重积分的性质估计()σd y x xy I D ⎰⎰+=的 值则 。 4）设区域D 是有x 轴、y 轴与直线1=+y x 所围成，根据二重积分的性质，试比较积分 ()σd y x I D 2 ⎰⎰+=与()σd y x I D 3 ⎰⎰+=的大小________________________________ 5)设()⎭⎬⎫ ⎩⎨⎧≤≤≤≤=20,20,ππy x y x D ，则积分()dxdy y x I D ⎰⎰+-=2sin 1 ___________________________________________ 6）已知Ω是由12,0,0,0=++===z y x z y x 所围，按先z 后y 再x 的积分次序将 ⎰⎰⎰Ω =xdxdydz I 化为累次积分，则__________________________ =I 7）设Ω是由球面222y x z --=与锥面22y x z +=的围面，则三重积分 dxdydz z y x f I ⎰⎰⎰Ω ++=)(222在球面坐标系下的三次积分表达式为 2、 把下列积分化为极坐标形式,并计算积分值 第九讲 重积分 §1 二重积分及其性质 (),D f x y d σ⎰⎰的几何意义：表示以曲面:∑(),0z f x y =≥为曲项，母线∥z 轴的柱面及 ∑在xoy 平面上的投影；D 为所构成的柱体体积。 性质： ① k 为常数，()(),,D D kf x y d k f x y d σσ=⎰⎰⎰⎰； ② ()()()1 2 ,,,k D f x y f x y f x y d σ±±±⎡ ⎤⎣⎦⎰⎰L ()()()1 2 ,,,k D D D f x y d f x y d f x y d σσσ=±±⎰⎰⎰⎰⎰⎰L ； ③ D dv A =⎰⎰，A 为D 的面积； ④ 1 2 k D D D D =±±⎰⎰ ⎰⎰⎰⎰⎰⎰ L ；12,k i j D D D D D D =⋃⋃⋃ ⋂=∅L ； ⑤ （比较定理）设(),,x y D ∀∈恒有()(),,f x y g x y <， 则有： ()(),,D D f x y d g x y d σσ≤⎰⎰⎰⎰； ⑥（估值定理）设(),,x y D ∈恒有(),m f x y M ≤≤， 则有：(),D mA f x y d MA σ≤ ≤⎰⎰，A 为D 的面积； ⑦（中值定理）设(),f x y 在闭区域D 上连续，则在D 内至少∃一个(),ξη，使： ()(),,D f x y d f A σξη=⎰⎰，A 为D 的面积； ⑧（对称性） ⑴ 设积分域D 关于x 轴对称，则： ()()()()()()()()* 0,,,,2,,,,D D f x y y f x y f x y f x y d f x y d f x y y f x y f x y σσ⎧ -=-⎪ =⎨ -=-⎪⎩⎰⎰ ⎰⎰当对为奇函数当对为偶函数 其中，* D 为D 在x 轴的上半部分。 ⑵ 设积分域D 关于y 轴对称，则： ()()()()()()()()* 0,,,,2,,,,D D f x y x f x y f x y f x y d f x y d f x y x f x y f x y σσ⎧ -=-⎪ =⎨ -=-⎪⎩⎰⎰ ⎰⎰当对为奇函数当对为偶函数第九章 重积分
(整理)第九讲重积分
(整理)定积分应用二重积分三重积分.
重积分习题及答案
第十章 重积分的应用
高等数学重积分总结
高等数学重积分总结
重积分知识点总结
重积分应用与计算
第九章二重积分
重积分的定义和基本概念
重积分基本概念
高数二重积分习题解答
第一节二重积分的概念与性质09-3-22
重积分知识点
重积分总结
§-9-重积分习题与答案(2021年整理精品文档)
第九讲 重分
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